Článok je venovaný rozboru úloh 15 z profilovej skúšky z matematiky za rok 2017. V tejto úlohe sú žiaci ponúknutí riešiť nerovnice, najčastejšie logaritmické. Aj keď môžu byť orientačné. Tento článok poskytuje analýzu príkladov logaritmických nerovností vrátane tých, ktoré obsahujú premennú na báze logaritmu. Všetky príklady sú prevzaté z otvorenej banky USE úloh z matematiky (profil), takže takéto nerovnosti vám na skúške s veľkou pravdepodobnosťou narazia ako úloha 15. Ideálne pre tých, ktorí sa chcú naučiť riešiť úlohu 15 od druhej časť profilu POUŽÍVAJTE v krátkom časovom období v matematike, aby ste získali vyššie skóre na skúške.
Rozbor úloh 15 z profilovej skúšky z matematiky
| Príklad 1. Vyriešte nerovnosť: |
V úlohách 15 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (profil) sa často vyskytujú logaritmické nerovnosti. Riešenie logaritmických nerovností začína definovaním rozsahu prijateľných hodnôt. V tomto prípade nie je žiadna premenná v základe oboch logaritmov, je tam iba číslo 11, čo značne zjednodušuje úlohu. Preto tu máme jediné obmedzenie, že oba výrazy pod logaritmickým znamienkom sú kladné:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Prvá nerovnosť v systéme je kvadratická nerovnosť. Aby sme to vyriešili, naozaj by sme urobili dobre, keby sme ľavú stranu rozdelili na faktor. Myslím, že viete, že akákoľvek štvorcová trojčlenka tvaru 
Faktorizuje sa takto:
kde a sú korene rovnice . V tomto prípade je koeficient 1 (toto je číselný koeficient pred ). Koeficient sa tiež rovná 1 a koeficient je voľný termín, rovná sa -20. Korene trojčlenky sa najľahšie určujú pomocou Vietovej vety. Naša rovnica je daná, čo znamená súčet koreňov a bude sa rovnať koeficientu s opačným znamienkom, teda -1, a súčin týchto koreňov sa bude rovnať koeficientu, teda -20. Je ľahké uhádnuť, že korene budú -5 a 4.
Teraz je možné vypočítať ľavú stranu nerovnosti: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X v bodoch -5 a 4. Požadovaným riešením nerovnosti je teda interval . Pre tých, ktorí nerozumejú tomu, čo sa tu píše, si odteraz môžete pozrieť podrobnosti vo videu. Nájdete tam aj podrobné vysvetlenie, ako sa rieši druhá nerovnosť systému. Rieši sa to. Navyše, odpoveď je úplne rovnaká ako pri prvej nerovnosti systému. To znamená, že vyššie napísaný súbor je oblasťou prípustných hodnôt nerovnosti.
Takže, ak vezmeme do úvahy faktorizáciu, pôvodná nerovnosť má tvar:
Pomocou vzorca pripočítajme 11 k mocnine výrazu pod znamienkom prvého logaritmu a presuňte druhý logaritmus na ľavú stranu nerovnosti, pričom jeho znamienko zmeníme na opačné:
Po redukcii dostaneme:
Posledná nerovnosť je v dôsledku nárastu funkcie ekvivalentná nerovnosti 
, ktorého riešením je interval 
. Zostáva ju prekročiť s oblasťou prípustných hodnôt nerovnosti, a to bude odpoveďou na celú úlohu.
Požadovaná odpoveď na úlohu má teda tvar:
Túto úlohu sme vymysleli, teraz prejdeme k ďalšiemu príkladu úlohy 15 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (profil).
| Príklad 2. Vyriešte nerovnosť:
|
Riešenie začíname určením rozsahu prípustných hodnôt tejto nerovnosti. Základom každého logaritmu musí byť kladné číslo, ktoré sa nerovná 1. Všetky výrazy pod znamienkom logaritmu musia byť kladné. Menovateľ zlomku nesmie byť nula. Posledná podmienka je ekvivalentná , pretože inak oba logaritmy v menovateli zmiznú. Všetky tieto podmienky určujú rozsah prípustných hodnôt tejto nerovnosti, ktorý je daný nasledujúcim systémom nerovností:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
V rozsahu prijateľných hodnôt môžeme použiť vzorce logaritmickej transformácie, aby sme zjednodušili ľavú stranu nerovnosti. Pomocou vzorca 
zbaviť sa menovateľa:
Teraz máme len základné logaritmy. Už je to pohodlnejšie. Ďalej použijeme vzorec a tiež vzorec, aby sme výraz, ktorý stojí za slávu, dostali do nasledujúcej podoby:
Pri výpočtoch sme použili to, čo je v rozmedzí prijateľných hodnôt. Pomocou substitúcie sa dostaneme k výrazu:
Použime ešte jednu substitúciu: . V dôsledku toho dospejeme k nasledujúcemu výsledku:
Postupne sa teda vráťte k pôvodným premenným. Najprv k premennej:
Pri riešení logaritmických nerovností sa často vyskytujú problémy s premenlivou základňou logaritmu. Takže nerovnosť formy
je štandardná školská nerovnosť. Na jeho vyriešenie sa spravidla používa prechod na ekvivalentnú sadu systémov:
Nevýhodou tejto metódy je nutnosť riešiť sedem nerovností, nerátajúc dva systémy a jednu množinu. Aj pri daných kvadratických funkciách môže populačné riešenie vyžadovať veľa času.
Je možné navrhnúť alternatívny, časovo menej náročný spôsob riešenia tejto štandardnej nerovnosti. Aby sme to dosiahli, berieme do úvahy nasledujúcu vetu.
Veta 1. Nech je spojitá rastúca funkcia na množine X. Potom na tejto množine bude znamienko prírastku funkcie zhodné so znamienkom prírastku argumentu, t.j. , kde 
.
Poznámka: ak na množine X funguje nepretržité znižovanie, potom .
Vráťme sa k nerovnosti. Prejdime k desiatkovému logaritmu (môžete prejsť na ktorýkoľvek s konštantným základom väčším ako jedna).
Teraz môžeme použiť teorém a všimnúť si v čitateli prírastok funkcií 
a v menovateli. Takže je to pravda
V dôsledku toho sa počet výpočtov vedúcich k odpovedi zníži približne na polovicu, čo šetrí nielen čas, ale tiež umožňuje potenciálne robiť menej aritmetických a neopatrných chýb.
Príklad 1
Porovnaním s (1) zistíme 
, 
, .
Prechodom do (2) budeme mať:
Príklad 2
Porovnaním s (1) nájdeme , , .
Prechodom do (2) budeme mať:
Príklad 3
Keďže ľavá strana nerovnosti je rastúca funkcia pre a 
, potom je odpoveď nastavená .
Súbor príkladov, v ktorých možno použiť termín 1, možno ľahko rozšíriť, ak sa vezme do úvahy termín 2.
Pustite na scénu X funkcie , , , sú definované a na tejto množine sa znamienka a zhodujú, t.j. potom to bude spravodlivé.
Príklad 4
Príklad 5
Pri štandardnom prístupe je príklad riešený podľa schémy: súčin je menší ako nula, keď faktory majú rôzne znamienka. Tie. uvažujeme o množine dvoch systémov nerovností, v ktorých, ako bolo naznačené na začiatku, sa každá nerovnosť rozpadá na ďalších sedem.
Ak vezmeme do úvahy vetu 2, potom každý z faktorov, berúc do úvahy (2), môže byť nahradený inou funkciou, ktorá má rovnaké znamienko v tomto príklade O.D.Z.
Metóda nahradenia prírastku funkcie prírastkom argumentu, berúc do úvahy vetu 2, sa ukazuje ako veľmi výhodná pri riešení typických problémov C3 USE.
Príklad 6
Príklad 7
. Označme . Získajte
. Všimnite si, že nahradenie znamená: . Keď sa vrátime k rovnici, dostaneme
.
Príklad 8
Vo vetách, ktoré používame, neexistujú žiadne obmedzenia na triedy funkcií. V tomto článku boli ako príklad aplikované vety na riešenie logaritmických nerovností. Nasledujúcich niekoľko príkladov demonštruje prísľub metódy na riešenie iných typov nerovností.
LOGARITMICKÉ NEROVNOSTI V POUŽÍVANÍ
Sečin Michail Alexandrovič
Malá akadémia vied pre študentov Kazašskej republiky „hľadač“
MBOU "Sovietska stredná škola č. 1", ročník 11, mesto. Sovietsky sovietsky obvod
Gunko Lyudmila Dmitrievna, učiteľka MBOU "Sovietska stredná škola č. 1"
Sovietsky okres
Cieľ:štúdium mechanizmu riešenia logaritmických nerovností C3 pomocou neštandardných metód, odhaľujúce zaujímavé fakty o logaritme.
Predmet štúdia:
3) Naučte sa riešiť špecifické logaritmické nerovnosti C3 pomocou neštandardných metód.
Výsledky:
Obsah
Úvod……………………………………………………………………………………………….4
Kapitola 1. Pozadie………………………………………………………………...5
Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností ………………………… 7
2.1. Ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov…………… 7
2.2. Spôsob racionalizácie ……………………………………………………… 15
2.3. Neštandardná substitúcia………………………………………………………………………………………………………. ..... 22
2.4. Úlohy s pascami……………………………………………………… 27
Záver……………………………………………………………………… 30
Literatúra………………………………………………………………………………. 31
Úvod
Som v 11. ročníku a plánujem vstúpiť na univerzitu, kde je matematika nosným predmetom. A preto veľa pracujem s úlohami časti C. V úlohe C3 potrebujete vyriešiť neštandardnú nerovnicu alebo sústavu nerovníc, zvyčajne spojenú s logaritmami. Pri príprave na skúšku som narazil na problém nedostatku metód a techník na riešenie logaritmických nerovností skúšky ponúkaných v C3. Metódy, ktoré sa na túto tému študujú v školských osnovách, nedávajú základ pre riešenie úloh C3. Učiteľka matematiky mi navrhla, aby som pod jej vedením pracoval s úlohami C3 sám. Okrem toho ma zaujímala otázka: existujú v našom živote logaritmy?
S ohľadom na to bola vybraná téma:
"Logaritmické nerovnosti v skúške"
Cieľ:štúdium mechanizmu riešenia problémov C3 pomocou neštandardných metód, ktoré odhaľujú zaujímavé fakty o logaritme.
Predmet štúdia:
1) Nájdite potrebné informácie o neštandardných metódach riešenia logaritmických nerovností.
2) Nájdite ďalšie informácie o logaritmoch.
3) Naučte sa riešiť špecifické problémy C3 pomocou neštandardných metód.
Výsledky:
Praktický význam spočíva v rozšírení aparátu na riešenie úloh C3. Tento materiál je možné použiť na niektorých vyučovacích hodinách, na vedenie krúžkov, voliteľných hodín matematiky.
Produktom projektu bude kolekcia „Logaritmické nerovnosti C3 s riešeniami“.
Kapitola 1. Pozadie
Počas 16. storočia sa počet približných výpočtov rýchlo zvýšil, predovšetkým v astronómii. Zdokonaľovanie prístrojov, štúdium pohybu planét a iné práce si vyžadovali kolosálne, niekedy aj mnohoročné výpočty. Astronómii reálne hrozilo, že sa utopí v nenaplnených výpočtoch. Ťažkosti nastali aj v iných oblastiach, napríklad v poisťovníctve boli potrebné tabuľky zloženého úročenia pre rôzne percentuálne hodnoty. Hlavnou ťažkosťou bolo násobenie, delenie viacciferných čísel, najmä goniometrických veličín.
Objav logaritmov bol založený na známych vlastnostiach postupnosti koncom 16. storočia. Archimedes hovoril o spojitosti medzi členmi geometrickej postupnosti q, q2, q3, ... a aritmetickou postupnosťou ich ukazovateľov 1, 2, 3, ... v žalmite. Ďalším predpokladom bolo rozšírenie pojmu stupňa na záporné a zlomkové exponenty. Mnohí autori poukázali na to, že násobenie, delenie, umocňovanie a extrahovanie odmocniny exponenciálne korešpondujú v aritmetike – v rovnakom poradí – sčítaní, odčítaní, násobení a delení.
Tu bola myšlienka logaritmu ako exponentu.
V histórii vývoja doktríny logaritmov prešlo niekoľko etáp.
1. fáza
Logaritmy vynašiel najneskôr v roku 1594 nezávisle škótsky barón Napier (1550-1617) a o desať rokov neskôr švajčiarsky mechanik Burgi (1552-1632). Obaja chceli poskytnúť nový pohodlný spôsob aritmetických výpočtov, hoci k tomuto problému pristupovali rôznymi spôsobmi. Napier kinematicky vyjadril logaritmickú funkciu a vstúpil tak do novej oblasti teórie funkcií. Bürgi zostal na základe úvahy o jednotlivých postupoch. Definícia logaritmu pre obe však nie je podobná tej modernej. Termín "logaritmus" (logaritmus) patrí Napierovi. Vzniklo spojením gréckych slov: logos – „vzťah“ a ariqmo – „číslo“, čo znamenalo „počet vzťahov“. Spočiatku Napier používal iný termín: numeri artificiales – „umelé čísla“, na rozdiel od numeri naturalts – „prirodzené čísla“.
V roku 1615, v rozhovore s Henrym Briggsom (1561-1631), profesorom matematiky na Gresh College v Londýne, Napier navrhol brať nulu ako logaritmus jednotky a 100 ako logaritmus desiatich, čiže to isté. , len 1. Takto boli vytlačené desiatkové logaritmy a prvé logaritmické tabuľky. Neskôr Briggsove tabuľky doplnil holandský kníhkupec a matematik Andrian Flakk (1600-1667). Napier a Briggs, hoci prišli k logaritmom skôr ako ktokoľvek iný, publikovali svoje tabuľky neskôr ako ostatní - v roku 1620. Znaky log a Log zaviedol v roku 1624 I. Kepler. Termín "prirodzený logaritmus" zaviedol Mengoli v roku 1659, po ňom N. Mercator v roku 1668 a londýnsky učiteľ John Spadel publikoval tabuľky prirodzených logaritmov čísel od 1 do 1000 pod názvom "New Logaritmy".
V ruštine boli prvé logaritmické tabuľky publikované v roku 1703. Vo všetkých logaritmických tabuľkách sa však pri výpočte vyskytli chyby. Prvé bezchybné tabuľky vyšli v roku 1857 v Berlíne v spracovaní nemeckého matematika K. Bremikera (1804-1877).
2. fáza
Ďalší rozvoj teórie logaritmov je spojený so širšou aplikáciou analytickej geometrie a infinitezimálneho počtu. V tom čase sa vytvorilo spojenie medzi kvadratúrou rovnostrannej hyperboly a prirodzeným logaritmom. Teória logaritmov tohto obdobia je spojená s menami mnohých matematikov.
Nemecký matematik, astronóm a inžinier Nikolaus Mercator vo svojej eseji
"Logaritmotechnika" (1668) uvádza sériu, ktorá udáva rozšírenie ln(x + 1) v zmysle
mocniny x:
Tento výraz presne zodpovedá myšlienkovému smeru, aj keď, samozrejme, nepoužíval znaky d, ..., ale ťažkopádnejšie symboly. S objavom logaritmických radov sa zmenila technika výpočtu logaritmov: začali sa určovať pomocou nekonečných radov. F. Klein vo svojich prednáškach „Elementárna matematika z vyššieho hľadiska“, čítaných v rokoch 1907-1908, navrhol použiť vzorec ako východisko pre konštrukciu teórie logaritmov.
3. fáza
Definícia logaritmickej funkcie ako funkcie inverznej funkcie
exponenciálny, logaritmus ako exponent daného základu
nebola formulovaná okamžite. Dielo Leonharda Eulera (1707-1783)
"Úvod do analýzy infinitezimál" (1748) slúžil ako ďalší
vývoj teórie logaritmickej funkcie. Touto cestou,
Od prvého zavedenia logaritmov uplynulo 134 rokov
(počítajúc od roku 1614), než matematici prišli s definíciou
koncept logaritmu, ktorý je teraz základom školského kurzu.
Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností
2.1. Ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov.
Ekvivalentné prechody
ak a > 1
ak 0 <
а <
1
Zovšeobecnená intervalová metóda
Táto metóda je najuniverzálnejšia pri riešení nerovností takmer akéhokoľvek typu. Schéma riešenia vyzerá takto:
1. Uveďte nerovnosť do takého tvaru, kde je funkcia umiestnená na ľavej strane 
a 0 vpravo.
2. Nájdite rozsah funkcie .
3. Nájdite nuly funkcie , teda vyriešiť rovnicu 
(a riešenie rovnice je zvyčajne jednoduchšie ako riešenie nerovnice).
4. Nakreslite definičný obor a nuly funkcie na reálnu čiaru.
5. Určte znamienka funkcie v prijatých intervaloch.
6. Vyberte intervaly, v ktorých funkcia nadobúda potrebné hodnoty, a zapíšte si odpoveď.
Príklad 1
Riešenie:
Použite intervalovú metódu
kde
Pre tieto hodnoty sú všetky výrazy pod znamienkami logaritmu kladné.
odpoveď:
Príklad 2
Riešenie:
1 spôsobom . ODZ je určená nerovnosťou X> 3. Logaritmy X v základe 10 dostaneme
Posledná nerovnosť by sa dala vyriešiť aplikáciou pravidiel rozkladu, t.j. porovnanie faktorov s nulou. V tomto prípade je však ľahké určiť intervaly stálosti funkcie
takže je možné použiť intervalovú metódu.
Funkcia f(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ je spojité pre X> 3 a v bodoch mizne X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Určíme teda intervaly stálosti funkcie f(X):
odpoveď:
2. spôsob . Aplikujme myšlienky metódy intervalov priamo na pôvodnú nerovnicu.
Za týmto účelom pripomíname, že výrazy a b- a c a ( a - 1)(b- 1) mať jedno znamenie. Potom naša nerovnosť pre X> 3 sa rovná nerovnosti
alebo
Posledná nerovnosť sa rieši intervalovou metódou
odpoveď:
Príklad 3
Riešenie:
Použite intervalovú metódu
odpoveď:
Príklad 4
Riešenie:
Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pre všetky skutočné X, potom
Na vyriešenie druhej nerovnice použijeme intervalovú metódu
V prvej nerovnosti vykonáme zmenu
potom sa dostaneme k nerovnosti 2y 2 - r - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те r, ktoré spĺňajú nerovnosť -0,5< r < 1.
Odkiaľ, pretože
dostaneme nerovnosť
ktorá sa vykonáva s X, za čo 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Teraz, keď vezmeme do úvahy riešenie druhej nerovnosti systému, konečne získame
odpoveď:
Príklad 5
Riešenie:
Nerovnosť je ekvivalentom množiny systémov
alebo
Aplikujte intervalovú metódu resp
Odpoveď:
Príklad 6
Riešenie:
Nerovnosť sa rovná systému
Nechaj
potom r > 0,
a prvá nerovnosť
systém má formu
alebo rozšírenie
štvorcová trojčlenka k faktorom,
Aplikácia intervalovej metódy na poslednú nerovnosť,
vidíme, že jeho riešenia spĺňajú podmienku r> 0 bude všetko r > 4.
Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná systému:
Riešenia nerovnosti sú teda všetky
2.2. racionalizačná metóda.
Predtým sa metóda racionalizácie nerovnosti neriešila, nevedela. Ide o „novú modernú efektívnu metódu riešenia exponenciálnych a logaritmických nerovností“ (citát z knihy Kolesnikovej S.I.)
A aj keby ho učiteľ poznal, bol tam strach – ale pozná ho odborník na USE a prečo ho v škole nedávajú? Boli situácie, keď učiteľ povedal žiakovi: "Kde to máš? Sadni si - 2."
Teraz sa metóda všade propaguje. A pre odborníkov sú s touto metódou spojené usmernenia a v "Najúplnejších vydaniach typových variantov ..." v riešení C3 sa táto metóda používa.
METÓDA JE SKVELÁ!
"Magický stôl"
V iných zdrojoch
ak a >1 a b >1, potom log ab >0 a (a-1)(b-1)>0;
ak a >1 a 0 ak 0<a<1 и b
>1, potom log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ak 0<a<1 и 00 a (a-1)(b-1)>0. Vyššie uvedená úvaha je jednoduchá, ale výrazne zjednodušuje riešenie logaritmických nerovností. Príklad 4
log x (x 2 -3)<0
Riešenie:
Príklad 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤ log 2x (x 2 +x ) Riešenie: Príklad 6
Aby sme túto nerovnosť vyriešili, namiesto menovateľa napíšeme (x-1-1) (x-1) a namiesto čitateľa súčin (x-1) (x-3-9 + x). Príklad 7
Príklad 8
2.3. Neštandardná substitúcia. Príklad 1
Príklad 2
Príklad 3
Príklad 4
Príklad 5
Príklad 6
Príklad 7
log 4 (3 x -1) log 0,25 Urobme substitúciu y=3 x -1; potom táto nerovnosť nadobúda formu log 4 log 0,25 Pretože log 0,25 Urobme náhradu t =log 4 y a získajme nerovnosť t 2 -2t +≥0, ktorej riešením sú intervaly - Aby sme teda našli hodnoty y, máme množinu dvoch najjednoduchších nerovností Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná množine dvoch exponenciálnych nerovností, Riešením prvej nerovnosti tejto množiny je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Príklad 8
Riešenie:
Nerovnosť sa rovná systému Riešením druhej nerovnosti, ktorá určuje ODZ, bude množina tých X,
pre ktoré X > 0.
Aby sme vyriešili prvú nerovnosť, vykonáme zmenu Potom dostaneme nerovnosť alebo Množina riešení poslednej nerovnosti sa nájde metódou intervaly: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, dostaneme alebo Mnohé z nich X, ktoré vyhovujú poslednej nerovnosti patrí ODZ ( X> 0), preto je riešením systému, a teda pôvodná nerovnosť. odpoveď: 2.4. Úlohy s pascami. Príklad 1
Riešenie. ODZ nerovnosti je všetky x spĺňajúce podmienku 0 Príklad 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Odpoveď. (0; 0,5) U.
Odpoveď :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , potom poslednú nerovnosť prepíšeme ako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Riešením tejto kolekcie sú intervaly 0<у≤2 и 8≤у<+.
teda agregáty 
. Pôvodná nerovnosť teda platí pre všetky hodnoty x z intervalov 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Preto všetky x z intervalu 0
Záver
Nebolo ľahké nájsť špeciálne metódy na riešenie úloh C3 z veľkého množstva rôznych vzdelávacích zdrojov. V priebehu práce som mal možnosť študovať neštandardné metódy riešenia zložitých logaritmických nerovníc. Sú to: ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov, metóda racionalizácie , neštandardná substitúcia , úlohy s nástrahami na ODZ. Tieto metódy v školských osnovách chýbajú.
Pomocou rôznych metód som vyriešil 27 nerovností ponúkaných na USE v časti C, konkrétne C3. Tieto nerovnosti s riešeniami metódami tvorili základ zbierky „Logaritmické nerovnosti C3 s riešeniami“, ktorá sa stala projektovým produktom mojej činnosti. Potvrdila sa hypotéza, ktorú som uviedol na začiatku projektu: Problémy C3 možno efektívne riešiť, ak sú tieto metódy známe.
Okrem toho som objavil zaujímavé fakty o logaritmoch. Bolo pre mňa zaujímavé to urobiť. Moje projektové produkty budú užitočné pre študentov aj učiteľov.
Závery:
Cieľ projektu je teda dosiahnutý, problém vyriešený. A získal som najkompletnejšie a najuniverzálnejšie skúsenosti s projektovými aktivitami vo všetkých fázach práce. V priebehu práce na projekte som mal hlavný vývojový vplyv na mentálnu kompetenciu, činnosti súvisiace s logickými mentálnymi operáciami, rozvoj tvorivej kompetencie, osobnej iniciatívy, zodpovednosti, vytrvalosti a aktivity.
Záruka úspechu pri tvorbe výskumného projektu pre Stal som sa: významnou školskou praxou, schopnosťou čerpať informácie z rôznych zdrojov, kontrolovať ich spoľahlivosť, zoraďovať ich podľa významu.
Okrem priamo predmetových vedomostí z matematiky si rozšíril praktické zručnosti v oblasti informatiky, získal nové poznatky a skúsenosti z oblasti psychológie, nadviazal kontakty so spolužiakmi, naučil sa spolupracovať s dospelými. V priebehu projektových aktivít sa rozvíjali organizačné, intelektuálne a komunikatívne všeobecne vzdelávacie zručnosti a schopnosti.
Literatúra
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Systémy nerovností s jednou premennou (typické úlohy C3).
2. Malkova A. G. Príprava na jednotnú štátnu skúšku z matematiky.
3. S. S. Samarová, Riešenie logaritmických nerovností.
4. Matematika. Zbierka tréningových prác spracovaná A.L. Semjonov a I.V. Jaščenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-
