Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú celkom bežné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.
Tieto pravidlá musia byť známe - bez nich nemožno vyriešiť žiadny vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.
Sčítanie a odčítanie logaritmov
Zvážte dva logaritmy s rovnakým základom: log a X a log a r. Potom ich možno sčítať a odčítať a:
- log a X+ denník a r= log a (X · r);
- log a X−log a r= log a (X : r).
Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčovým bodom je tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!
Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď nie sú zohľadnené jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:
denník 6 4 + denník 6 9.
Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.
Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.
Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).
Odstránenie exponentu z logaritmu
Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak existuje stupeň v základe alebo argumente logaritmu? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:
Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.
Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, X> 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 7 49 6 .
Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
[Titul obrázku]
Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Máme:
[Titul obrázku] Myslím, že posledný príklad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Predložili základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stupňov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodový“ zlomok.
Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ majú rovnaké číslo: log 2 7. Keďže log 2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa stalo. Výsledkom je odpoveď: 2.
Prechod na nový základ
Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú základy odlišné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?
Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:
Nechajte logaritmus logovať a X. Potom pre ľubovoľné číslo c také že c> 0 a c≠ 1, platí rovnosť:
[Titul obrázku]
Najmä ak dáme c = X, dostaneme:
[Titul obrázku]
Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale celý výraz je „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.
Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.
Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.
Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Teraz otočme druhý logaritmus:
[Titul obrázku]Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme prišli na logaritmy.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.
Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:
[Titul obrázku]Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:
[Titul obrázku]Základná logaritmická identita
V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danej báze. V tomto prípade nám pomôžu vzorce:
V prvom prípade číslo n sa stáva exponentom argumentu. číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.
Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Nazýva sa to základná logaritmická identita.
Vskutku, čo sa stane, ak číslo b zdvihnúť k moci tak, že b do tejto miery dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.
Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
[Titul obrázku]
Všimnite si, že log 25 64 = log 5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá násobenia právomocí s rovnakým základom dostaneme:
[Titul obrázku]Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha zo skúšky :)
Logaritmická jednotka a logaritmická nula
Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu. Neustále sa nachádzajú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.
- log a a= 1 je logaritmická jednotka. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus na akúkoľvek základňu a z tejto základne sa rovná jednej.
- log a 1 = 0 je logaritmická nula. Základňa a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! pretože a 0 = 1 je priamym dôsledkom definície.
To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.
Ťažiskom tohto článku je logaritmus. Tu uvedieme definíciu logaritmu, ukážeme akceptovaný zápis, uvedieme príklady logaritmov a porozprávame sa o prirodzených a desiatkových logaritmoch. Potom zvážte základnú logaritmickú identitu.
Navigácia na stránke.
Definícia logaritmu
Koncept logaritmu vzniká pri riešení problému v istom zmysle inverznom, keď potrebujete nájsť exponent zo známej hodnoty stupňa a známeho základu.
Ale dosť preambuly, je čas odpovedať na otázku „čo je to logaritmus“? Uveďme vhodnú definíciu.
Definícia.
Logaritmus b na základ a, kde a>0 , a≠1 a b>0 je exponent, na ktorý musíte zvýšiť číslo a, aby ste dostali b.
V tejto fáze si všimneme, že hovorené slovo „logaritmus“ by malo okamžite vyvolať dve nasledujúce otázky: „aké číslo“ a „na akom základe“. Inými slovami, jednoducho neexistuje žiadny logaritmus, ale existuje iba logaritmus čísla v nejakom základe.
Hneď predstavíme logaritmický zápis: logaritmus čísla b k základu a sa zvyčajne označuje ako log a b . Logaritmus čísla b k základu e a logaritmus k základu 10 majú svoje vlastné špeciálne označenia lnb a lgb, to znamená, že nepíšu log e b , ale lnb , a nie log 10 b , ale lgb .
Teraz si môžete priniesť: .
A záznamy 
nedáva zmysel, pretože v prvom z nich je záporné číslo pod znamienkom logaritmu, v druhom - záporné číslo v základe a v treťom - záporné číslo pod znamienkom logaritmu a jednotka v základni.
Teraz si pohovorme o pravidlá čítania logaritmov. Záznam ab sa číta ako "logaritmus b na základ a". Napríklad log 2 3 je logaritmus troch k základu 2 a je to logaritmus dvoch celých čísel dvoch základných tretín druhej odmocniny z piatich. Logaritmus k základu e sa nazýva prirodzený logaritmus a zápis lnb sa číta ako "prirodzený logaritmus b". Napríklad ln7 je prirodzený logaritmus čísla sedem a budeme ho čítať ako prirodzený logaritmus čísla pí. Logaritmus na základ 10 má tiež špeciálny názov - desiatkový logaritmus a zápis lgb sa číta ako "desiatkový logaritmus b". Napríklad lg1 je desiatkový logaritmus jednej a lg2,75 je desiatkový logaritmus dvoch bodiek sedemdesiatpäť stotín.
Oplatí sa venovať osobitnú pozornosť podmienkam a>0, a≠1 a b>0, za ktorých je daná definícia logaritmu. Vysvetlíme, odkiaľ tieto obmedzenia pochádzajú. K tomu nám pomôže rovnosť tvaru s názvom , ktorá priamo vyplýva z definície logaritmu uvedenej vyššie.
Začnime s a≠1 . Keďže jedna sa rovná jednej akejkoľvek mocnine, rovnosť môže platiť iba pre b=1, ale log 1 1 môže byť akékoľvek reálne číslo. Aby sa predišlo tejto nejednoznačnosti, akceptuje sa a≠1.
Doložme účelnosť podmienky a>0 . S a=0 by sme podľa definície logaritmu mali rovnosť , čo je možné len s b=0 . Ale potom log 0 0 môže byť akékoľvek nenulové reálne číslo, pretože nula až akákoľvek nenulová mocnina je nula. Tejto nejednoznačnosti sa dá vyhnúť podmienkou a≠0 . A pre a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Nakoniec podmienka b>0 vyplýva z nerovnosti a>0 , keďže , a hodnota stupňa s kladnou bázou a je vždy kladná.
Na záver tohto odseku hovoríme, že vyjadrená definícia logaritmu vám umožňuje okamžite uviesť hodnotu logaritmu, keď je číslo pod znakom logaritmu určitým stupňom základne. Definícia logaritmu nám skutočne umožňuje tvrdiť, že ak b=a p , potom sa logaritmus čísla b k základu a rovná p . To znamená, že log rovnosti a a p = p je pravdivý. Napríklad vieme, že 2 3 = 8 , potom log 2 8 = 3 . Viac si o tom povieme v článku.
Jedným z prvkov algebry primitívnych úrovní je logaritmus. Názov pochádza z gréckeho jazyka zo slova „číslo“ alebo „stupeň“ a znamená stupeň, o ktorý je potrebné zvýšiť číslo v základni, aby sa zistilo konečné číslo.
Typy logaritmov
- log a b je logaritmus čísla b k základu a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- lg b - desiatkový logaritmus (základ logaritmu 10, a = 10);
- ln b - prirodzený logaritmus (základ logaritmu e, a = e).
Ako vyriešiť logaritmy?
Logaritmus čísla b k základu a je exponent, ktorý vyžaduje, aby základ a bol zvýšený na číslo b. Výsledok sa vyslovuje takto: „logaritmus b na základňu a“. Riešením logaritmických problémov je, že daný stupeň musíte určiť číslami podľa zadaných čísel. Existuje niekoľko základných pravidiel na určenie alebo riešenie logaritmu, ako aj na transformáciu samotného zápisu. Pomocou nich sa riešia logaritmické rovnice, nachádzajú sa derivácie, riešia sa integrály a vykonáva sa mnoho ďalších operácií. V zásade je riešením samotného logaritmu jeho zjednodušený zápis. Nižšie sú uvedené hlavné vzorce a vlastnosti:
Pre akékoľvek a ; a > 0; a ≠ 1 a pre ľubovoľné x; y > 0.
- a log a b = b je základná logaritmická identita
- log a 1 = 0
- log a a = 1
- log a (x y ) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x, pre k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x \u003d log b x / log b a - vzorec pre prechod na nový základ
- log a x = 1/log x a
Ako riešiť logaritmy - pokyny na riešenie krok za krokom
- Najprv si zapíšte požadovanú rovnicu.
Poznámka: ak je základný logaritmus 10, záznam sa skráti a získa sa desiatkový logaritmus. Ak existuje prirodzené číslo e, zapíšeme ho a zredukujeme na prirodzený logaritmus. Znamená to, že výsledkom všetkých logaritmov je mocnina, na ktorú sa základné číslo zvýši, aby sa získalo číslo b.
Priamo riešenie spočíva vo výpočte tohto stupňa. Pred riešením výrazu s logaritmom je potrebné ho zjednodušiť podľa pravidla, teda pomocou vzorcov. Hlavné identity nájdete tak, že sa v článku vrátite trochu späť.
Pri sčítaní a odčítaní logaritmov s dvoma rôznymi číslami, ale s rovnakým základom, nahraďte jediným logaritmom súčin alebo delenie čísel b a c. V tomto prípade môžete použiť prechodový vzorec na iný základ (pozri vyššie).
Ak používate výrazy na zjednodušenie logaritmu, musíte si uvedomiť určité obmedzenia. A to je: základ logaritmu a je iba kladné číslo, ale nie je rovné jednej. Číslo b, podobne ako a, musí byť väčšie ako nula.
Existujú prípady, keď po zjednodušení výrazu nebudete môcť vypočítať logaritmus v číselnej forme. Stáva sa, že takýto výraz nedáva zmysel, pretože mnohé stupne sú iracionálne čísla. Za tejto podmienky ponechajte mocninu čísla ako logaritmus.
