Definícia číselnej postupnosti je uvedená. Zvažujú sa príklady nekonečne rastúcich, konvergentných a divergentných postupností. Uvažuje sa postupnosť obsahujúca všetky racionálne čísla.

Obsah

Pozri tiež:

Definícia

Číselná postupnosť ( x n )- to je zákon (pravidlo), podľa ktorého je pre každé prirodzené číslo n = 1, 2, 3, . . . je priradené nejaké číslo x n.
Prvok x n sa nazýva n-tý člen alebo prvok postupnosti.

Postupnosť je označená ako n-tý člen v zložených zátvorkách: . Možné sú aj nasledujúce označenia: . Výslovne uvádzajú, že index n patrí do množiny prirodzených čísel a že samotná postupnosť má nekonečný počet členov. Tu je niekoľko príkladov sekvencií:
, , .

Inými slovami, číselná postupnosť je funkcia, ktorej doménou je množina prirodzených čísel. Počet prvkov v postupnosti je nekonečný. Medzi prvkami môžu byť aj členy, ktoré majú rovnakú hodnotu. Postupnosť možno tiež považovať za očíslovanú množinu čísel pozostávajúcu z nekonečného počtu členov.

Nás bude zaujímať hlavne otázka - ako sa správajú postupnosti, keď n smeruje k nekonečnu: . Tento materiál je uvedený v sekcii Limita postupnosti - základné vety a vlastnosti. A tu sa pozrieme na niekoľko príkladov sekvencií.

Príklady sekvencií

Príklady nekonečne rastúcich sekvencií

Uvažujme o postupnosti. Všeobecný termín tejto sekvencie je . Napíšeme si prvých pár výrazov:
.
Je vidieť, že ako číslo n rastie, prvky pribúdajú donekonečna smerom ku kladným hodnotám. Môžeme povedať, že táto postupnosť má tendenciu : at .

Teraz zvážte postupnosť so spoločným výrazom. Tu sú niektorí z jeho prvých členov:
.
Ako číslo n rastie, prvky tejto postupnosti narastajú v absolútnej hodnote neobmedzene, ale nemajú konštantné znamienko. To znamená, že táto postupnosť má tendenciu: pri .

Príklady postupností konvergujúcich ku konečnému číslu

Uvažujme o postupnosti. Jej spoločným členom Prvé termíny sú nasledovné:
.
Je vidieť, že ako číslo n rastie, prvky tejto postupnosti sa približujú k svojej limitnej hodnote a = 0 : o . Takže každý nasledujúci člen je bližšie k nule ako predchádzajúci. V istom zmysle môžeme predpokladať, že pre číslo a existuje približná hodnota = 0 s chybou. Je jasné, že ako n rastie, táto chyba smeruje k nule, to znamená, že výberom n môže byť chyba ľubovoľne malá. Navyše, pre akúkoľvek danú chybu ε > 0 je možné zadať také číslo N , že pre všetky prvky s číslami väčšími ako N : odchýlka čísla od hraničnej hodnoty a neprekročí chybu ε : .

Ďalej zvážte postupnosť. Jej spoločným členom Tu sú niektorí z jeho prvých členov:
.
V tomto poradí sú párne členy nula. Členovia s nepárnym n sú . Preto, ako n rastie, ich hodnoty sa blížia k limitnej hodnote a = 0 . Vyplýva to aj z toho, že
.
Rovnako ako v predchádzajúcom príklade môžeme zadať ľubovoľne malú chybu ε > 0 , pre ktoré je možné nájsť také číslo N, že prvky s číslami väčšími ako N sa budú odchyľovať od limitnej hodnoty a = 0 o hodnotu nepresahujúcu špecifikovanú chybu. Preto táto postupnosť konverguje k hodnote a = 0 : o .

Príklady divergentných sekvencií

Zvážte postupnosť s nasledujúcim bežným výrazom:

Tu sú jeho prví členovia:


.
Je vidieť, že výrazy s párnymi číslami:
,
konvergujú k hodnote a 1 = 0 . Členovia s nepárnymi číslami:
,
konvergujú k hodnote a 2 = 2 . Samotná postupnosť, ako n rastie, nekonverguje k žiadnej hodnote.

Postupnosť s členmi rozloženými v intervale (0;1)

Teraz zvážte zaujímavejšiu sekvenciu. Vezmite segment na číselnej osi. Rozdelíme na polovicu. Dostaneme dva segmenty. Nechaj
.
Každý zo segmentov je opäť rozdelený na polovicu. Získame štyri segmenty. Nechaj
.
Každý segment opäť rozdeľte na polovicu. Vezmime


.
A tak ďalej.

Výsledkom je postupnosť, ktorej prvky sú rozdelené v otvorenom intervale (0; 1) . Akýkoľvek bod vezmeme z uzavretého intervalu , vždy môžeme nájsť členy postupnosti, ktoré sú k tomuto bodu ľubovoľne blízko, alebo sa s ním zhodujú.

Potom z pôvodnej postupnosti možno vybrať podsekvenciu, ktorá bude konvergovať k ľubovoľnému bodu z intervalu . To znamená, že ako číslo n rastie, členovia podsekvencie sa budú stále viac a viac približovať k vopred zvolenému bodu.

Napríklad pre bod a = 0 môžete si vybrať nasledujúcu podsekvenciu:
.
= 0 .

Pre bod a = 1 vyberte nasledujúcu podsekvenciu:
.
Členovia tejto podsekvencie konvergujú k hodnote a = 1 .

Keďže existujú podsekvencie, ktoré konvergujú k rôznym hodnotám, samotná pôvodná postupnosť nekonverguje k žiadnemu číslu.

Postupnosť obsahujúca všetky racionálne čísla

Teraz zostrojme postupnosť, ktorá obsahuje všetky racionálne čísla. Navyše, každé racionálne číslo bude zahrnuté do takejto postupnosti nekonečne veľakrát.

Racionálne číslo r možno znázorniť takto:
,
kde je celé číslo; - prirodzený.
Ku každému prirodzenému číslu n musíme priradiť dvojicu čísel p a q, aby sa do našej postupnosti zaradila ľubovoľná dvojica p a q.

Za týmto účelom nakreslite osi p a q do roviny. Nakreslíme čiary mriežky cez celočíselné hodnoty p a q. Potom každý uzol tejto mriežky bude zodpovedať racionálnemu číslu. Celá množina racionálnych čísel bude reprezentovaná množinou uzlov. Musíme nájsť spôsob, ako očíslovať všetky uzly, aby sme nevynechali ani jeden uzol. To sa dá ľahko urobiť, ak uzly očíslujeme podľa štvorcov, ktorých stredy sa nachádzajú v bode (0; 0) (pozri obrázok). V tomto prípade spodné časti štvorcov s q < 1 nepotrebujeme. Preto nie sú na obrázku znázornené.

Takže pre hornú stranu prvého štvorca máme:
.
Ďalej očíslujeme hornú časť nasledujúceho štvorca:

.
Očíslujeme hornú časť nasledujúceho štvorca:

.
A tak ďalej.

Takto dostaneme postupnosť obsahujúcu všetky racionálne čísla. Je vidieť, že každé racionálne číslo sa v tejto postupnosti objavuje nekonečne veľakrát. Spolu s uzlom bude táto postupnosť zahŕňať aj uzly , kde je prirodzené číslo. Ale všetky tieto uzly zodpovedajú rovnakému racionálnemu číslu.

Potom z postupnosti, ktorú sme vytvorili, môžeme vybrať podsekvenciu (s nekonečným počtom prvkov), ktorej všetky prvky sa rovnajú vopred určenému racionálnemu číslu. Keďže postupnosť, ktorú sme vytvorili, má podsekvencie konvergujúce k rôznym číslam, postupnosť nekonverguje k žiadnemu číslu.

Záver

Tu sme uviedli presnú definíciu číselnej postupnosti. Dotkli sme sa aj otázky jej konvergencie, založenej na intuitívnych predstavách. Presnú definíciu konvergencie rozoberáme na stránke Určenie limity postupnosti. Súvisiace vlastnosti a vety sú uvedené na stránke Limit postupnosti – Základné vety a vlastnosti.

Pozri tiež:

Nechaj X (\displaystyle X) je buď množina reálnych čísel R (\displaystyle \mathbb (R) ) alebo množina komplexných čísel C (\displaystyle \mathbb (C) ). Potom postupnosť ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) nastaviť prvky X (\displaystyle X) volal číselná postupnosť.

Príklady

Operácie na sekvenciách

Následky

Následná sekvencia sekvencie (x n) (\displaystyle (x_(n))) je postupnosť (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), kde (n k) (\displaystyle (n_(k))) je rastúca postupnosť prvkov množiny prirodzených čísel.

Inými slovami, podsekvencia sa získa zo sekvencie odstránením konečného alebo spočítateľného počtu prvkov.

Príklady

• Postupnosť prvočísel je podsekvenciou postupnosti prirodzených čísel.
• Postupnosť prirodzených čísel, ktoré sú násobkami, je podsekvenciou postupnosti párnych prirodzených čísel.

Vlastnosti

Limitný bod sekvencie je bod v ktoromkoľvek okolí, v ktorom je nekonečne veľa prvkov tejto postupnosti. Pre konvergentné číselné postupnosti sa limitný bod zhoduje s limitom.

Limit sekvencie

Limit sekvencie je objekt, ku ktorému sa členovia postupnosti približujú, keď sa číslo zvyšuje. V ľubovoľnom topologickom priestore je teda limita postupnosti prvkom v ktoromkoľvek okolí, v ktorom ležia všetky členy postupnosti, počnúc od nejakého. Najmä pre číselné postupnosti je limita číslom v ktoromkoľvek okolí, v ktorom ležia všetky členy postupnosti, počnúc od nejakého.

Základné sekvencie

Základná postupnosť (samokonvergentná postupnosť , Cauchyho sekvencia ) je postupnosť prvkov metrického priestoru , v ktorom pre akúkoľvek vopred určenú vzdialenosť existuje taký prvok, ktorého vzdialenosť k žiadnemu z prvkov za ním nepresahuje danú vzdialenosť. Pre numerické postupnosti sú pojmy základných a konvergentných postupností ekvivalentné, ale vo všeobecnom prípade to tak nie je.

Matematika je veda, ktorá buduje svet. Vedec aj obyčajný človek – bez toho sa nikto nezaobíde. Najprv sa malé deti učia počítať, potom sčítať, odčítať, násobiť a deliť, strednou školou prichádzajú na rad písmenové označenia a v staršom sa už nedajú obísť.

Dnes si ale povieme, na čom je celá známa matematika založená. O komunite čísiel s názvom „limity sekvencie“.

Čo sú to postupnosti a kde je ich limit?

Význam slova „sekvencia“ nie je ťažké interpretovať. Toto je taká konštrukcia vecí, kde sa niekto alebo niečo nachádza v určitom poradí alebo rade. Napríklad rad na lístky do zoo je sekvencia. A môže byť len jeden! Ak sa napríklad pozriete na rad do obchodu, je to jedna sekvencia. A ak jedna osoba náhle opustí tento rad, potom je to iný rad, iné poradie.

Slovo "limit" sa tiež ľahko interpretuje - to je koniec niečoho. V matematike sú však limity postupností tie hodnoty na číselnej osi, ku ktorým má postupnosť čísel tendenciu. Prečo sa snaží a nekončí? Je to jednoduché, číselná os nemá koniec a väčšina sekvencií, podobne ako lúče, má iba začiatok a vyzerá takto:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Preto je definícia postupnosti funkciou prirodzeného argumentu. Jednoduchšie povedané, je to séria členov nejakej množiny.

Ako sa zostavuje číselná postupnosť?

Najjednoduchší príklad číselnej postupnosti môže vyzerať takto: 1, 2, 3, 4, …n…

Vo väčšine prípadov sa z praktických dôvodov zostavujú postupnosti z čísel a každý ďalší člen radu, označme ho X, má svoje meno. Napríklad:

x 1 - prvý člen postupnosti;

x 2 - druhý člen postupnosti;

x 3 - tretí člen;

x n je n-tý člen.

V praktických metódach je postupnosť daná všeobecným vzorcom, v ktorom je nejaká premenná. Napríklad:

X n \u003d 3n, potom samotná séria čísel bude vyzerať takto:

Je potrebné pripomenúť, že vo všeobecnom zápise sekvencií môžete použiť akékoľvek latinské písmená, nielen X. Napríklad: y, z, k atď.

Aritmetický postup ako súčasť sekvencií

Pred hľadaním limitov postupností je vhodné hlbšie preniknúť do samotného konceptu takéhoto číselného radu, s ktorým sa každý stretol, keď bol v stredných vrstvách. Aritmetická progresia je séria čísel, v ktorých je rozdiel medzi susednými členmi konštantný.

Úloha: „Nechajte 1 \u003d 15 a krok progresie číselného radu d \u003d 4. Postavte prvých 4 členov tohto radu"

Riešenie: a 1 = 15 (podľa podmienky) je prvým členom postupnosti (číselného radu).

a 2 = 15+4=19 je druhý člen postupu.

a 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 je tretí termín.

a 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 je štvrtý termín.

S touto metódou je však ťažké dosiahnuť veľké hodnoty, napríklad až 125. . Najmä pre takéto prípady bol odvodený vzorec vhodný pre prax: a n \u003d a 1 + d (n-1). V tomto prípade 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Typy sekvencií

Väčšina sekvencií je nekonečná, oplatí sa to pamätať na celý život. Existujú dva zaujímavé typy číselných radov. Prvý je daný vzorcom a n =(-1) n . Matematici sa často odvolávajú na tieto blikajúce sekvencie. prečo? Pozrime sa na jeho čísla.

1, 1, -1, 1, -1, 1 atď. S týmto príkladom je jasné, že čísla v sekvenciách sa môžu ľahko opakovať.

faktoriálna postupnosť. Je ľahké uhádnuť, že vo vzorci je faktoriál, ktorý definuje postupnosť. Napríklad: a n = (n+1)!

Potom bude sekvencia vyzerať takto:

a 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

a 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 atď.

Postupnosť daná aritmetickou progresiou sa nazýva nekonečne klesajúca, ak je pozorovaná nerovnosť -1 pre všetky jej členy.

a 3 \u003d - 1/8 atď.

Existuje dokonca aj postupnosť pozostávajúca z rovnakého čísla. Takže, a n \u003d 6 pozostáva z nekonečného počtu šiestich.

Určenie limitu postupnosti

Limity postupnosti v matematike existujú už dlho. Samozrejme, zaslúžia si svoj vlastný kompetentný dizajn. Takže je čas naučiť sa definíciu sekvenčných limitov. Najprv podrobne zvážte limit pre lineárnu funkciu:

1. Všetky limity sú skrátené ako lim.
2. Limitný záznam pozostáva zo skratky lim, nejakej premennej smerujúcej k určitému číslu, nule alebo nekonečnu, ako aj samotnej funkcie.

Je ľahké pochopiť, že definíciu limity postupnosti možno formulovať takto: je to určité číslo, ku ktorému sa nekonečne približujú všetky členy postupnosti. Jednoduchý príklad: a x = 4x+1. Potom bude samotná sekvencia vyzerať takto.

5, 9, 13, 17, 21...x...

Táto postupnosť sa teda bude zvyšovať donekonečna, čo znamená, že jej limita sa rovná nekonečnu ako x→∞, a to by sa malo zapísať takto:

Ak vezmeme podobnú postupnosť, ale x má tendenciu k 1, dostaneme:

A séria čísel bude takáto: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 atď. Zakaždým, keď potrebujete dosadiť číslo bližšie k jednotke (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Z tejto série je vidieť, že limit funkcie je päť.

Z tejto časti sa oplatí pripomenúť, aká je limita číselnej postupnosti, definícia a spôsob riešenia jednoduchých úloh.

Všeobecný zápis limity postupností

Po analýze limity číselnej postupnosti, jej definície a príkladov môžeme prejsť k zložitejšej téme. Absolútne všetky limity postupností môžu byť formulované jedným vzorcom, ktorý sa zvyčajne analyzuje v prvom semestri.

Čo teda znamená tento súbor písmen, modulov a znakov nerovnosti?

∀ je univerzálny kvantifikátor, ktorý nahrádza frázy „pre všetkých“, „pre všetko“ atď.

∃ je kvantifikátor existencie, v tomto prípade to znamená, že existuje nejaká hodnota N patriaca do množiny prirodzených čísel.

Dlhá zvislá palica za N znamená, že daná množina N je „taká, že“. V praxi to môže znamenať „také to“, „také to“ atď.

Ak chcete materiál upevniť, prečítajte si vzorec nahlas.

Neistota a istota limitu

Metóda hľadania limity postupností, o ktorej sme hovorili vyššie, hoci je jednoduchá na použitie, nie je v praxi taká racionálna. Skúste nájsť limit pre túto funkciu:

Ak dosadíme rôzne hodnoty x (zakaždým rastúce: 10, 100, 1000 atď.), dostaneme ∞ v čitateli, ale aj ∞ v menovateli. Ukazuje sa dosť zvláštny zlomok:

Ale je to naozaj tak? Výpočet limitu číselnej postupnosti sa v tomto prípade zdá byť dosť jednoduchý. Bolo by možné nechať všetko tak, ako je, pretože odpoveď je pripravená a bola prijatá za rozumných podmienok, ale špeciálne pre takéto prípady existuje iný spôsob.

Najprv nájdime najvyšší stupeň v čitateli zlomku - to je 1, pretože x môže byť vyjadrené ako x 1.

Teraz nájdime najvyšší stupeň v menovateli. Tiež 1.

Čitateľ aj menovateľ vydeľte premennou na najvyšší stupeň. V tomto prípade zlomok delíme x 1.

Ďalej zistime, akú hodnotu má každý výraz obsahujúci premennú. V tomto prípade sa berú do úvahy zlomky. Ako x→∞, hodnota každého zo zlomkov má tendenciu k nule. Pri písaní príspevku sa oplatí urobiť si tieto poznámky pod čiarou:

Získa sa nasledujúci výraz:

Samozrejme, že zlomky obsahujúce x sa nestali nulami! Ich hodnota je však taká malá, že je celkom prípustné, aby sa nezohľadnila pri výpočtoch. V skutočnosti sa x v tomto prípade nikdy nebude rovnať 0, pretože nemôžete deliť nulou.

Čo je to susedstvo?

Predpokladajme, že profesor má k dispozícii zložitú postupnosť, danú, samozrejme, nemenej zložitým vzorcom. Profesor našiel odpoveď, ale sedí? Všetci ľudia predsa robia chyby.

Auguste Cauchy prišiel na skvelý spôsob, ako dokázať limity sekvencií. Jeho metóda sa volala susedská operácia.

Predpokladajme, že existuje nejaký bod a, jeho okolie v oboch smeroch na skutočnej priamke sa rovná ε ("epsilon"). Keďže poslednou premennou je vzdialenosť, jej hodnota je vždy kladná.

Teraz nastavme nejakú postupnosť x n a predpokladajme, že desiaty člen postupnosti (x 10) sa nachádza v okolí a. Ako napísať túto skutočnosť v matematickom jazyku?

Predpokladajme, že x 10 je napravo od bodu a, potom vzdialenosť x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Teraz je čas vysvetliť v praxi vyššie uvedený vzorec. Je spravodlivé nazvať nejaké číslo a koncovým bodom postupnosti, ak pre niektorú z jej limitov platí nerovnosť ε>0 a celé okolie má svoje vlastné prirodzené číslo N, takže všetky členy postupnosti s vyššími číslami budú vnútri postupnosti |x n - a|< ε.

S takýmito znalosťami je ľahké vyriešiť limity postupnosti, dokázať alebo vyvrátiť hotovú odpoveď.

Vety

Vety o limitách postupností sú dôležitou súčasťou teórie, bez ktorej je prax nemožná. Existujú iba štyri hlavné vety, ktoré si pamätajte, môžete výrazne uľahčiť proces riešenia alebo dokazovania:

1. Jedinečnosť limity postupnosti. Každá sekvencia môže mať iba jeden limit alebo vôbec. Rovnaký príklad s frontom, ktorý môže mať iba jeden koniec.
2. Ak má séria čísel limit, potom je postupnosť týchto čísel obmedzená.
3. Limita súčtu (rozdielu, súčinu) postupností sa rovná súčtu (rozdielu, súčinu) ich limitov.
4. Podielová limita dvoch postupností sa rovná podielu limitov práve vtedy, ak menovateľ nezmizne.

Dôkaz sekvencie

Niekedy je potrebné vyriešiť inverzný problém, dokázať danú limitu číselnej postupnosti. Pozrime sa na príklad.

Dokážte, že limita postupnosti daná vzorcom sa rovná nule.

Podľa vyššie uvedeného pravidla je pre ľubovoľnú postupnosť nerovnosť |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Vyjadrime n v termínoch "epsilon", aby sme ukázali existenciu určitého čísla a dokázali existenciu limity postupnosti.

V tejto fáze je dôležité pripomenúť, že „epsilon“ a „en“ sú kladné čísla a nerovnajú sa nule. Teraz môžete pokračovať v ďalších transformáciách s využitím vedomostí o nerovnostiach získaných na strednej škole.

Odkiaľ vychádza, že n > -3 + 1/ε. Keďže stojí za to pripomenúť, že hovoríme o prirodzených číslach, výsledok možno zaokrúhliť vložením do hranatých zátvoriek. Bolo teda dokázané, že pre akúkoľvek hodnotu okolia „epsilon“ bodu a = 0 sa našla taká hodnota, že počiatočná nerovnosť je splnená. Z toho môžeme bezpečne tvrdiť, že číslo a je limita danej postupnosti. Q.E.D.

Takouto pohodlnou metódou dokážete limitu číselnej postupnosti, bez ohľadu na to, aká komplikovaná sa na prvý pohľad môže zdať. Hlavnou vecou nie je panika pri pohľade na úlohu.

Alebo možno neexistuje?

Existencia sekvenčného limitu nie je v praxi potrebná. Je ľahké nájsť také série čísel, ktoré naozaj nemajú konca. Napríklad rovnaký blikač x n = (-1) n . je zrejmé, že postupnosť pozostávajúca len z dvoch cyklicky sa opakujúcich číslic nemôže mať limitu.

Rovnaký príbeh sa opakuje so sekvenciami pozostávajúcimi z jediného čísla, zlomkového, ktoré majú v priebehu výpočtov neurčitosť ľubovoľného rádu (0/0, ∞/∞, ∞/0 atď.). Malo by sa však pamätať na to, že dochádza aj k nesprávnemu výpočtu. Niekedy vám opätovná kontrola vlastného riešenia pomôže nájsť hranicu nástupníctva.

monotónna postupnosť

Vyššie sme zvážili niekoľko príkladov postupností, metód ich riešenia a teraz skúsme zobrať konkrétnejší prípad a nazvať ho „monotónna postupnosť“.

Definícia: je spravodlivé nazvať akúkoľvek postupnosť monotónne rastúcou, ak spĺňa striktnú nerovnosť x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Spolu s týmito dvoma podmienkami existujú aj podobné neprísne nerovnosti. V súlade s tým x n ≤ x n +1 (neklesajúca sekvencia) a x n ≥ x n +1 (nerastúca sekvencia).

Ale je to ľahšie pochopiť na príkladoch.

Postupnosť daná vzorcom x n \u003d 2 + n tvorí nasledujúci rad čísel: 4, 5, 6 atď. Toto je monotónne rastúca postupnosť.

A ak vezmeme x n \u003d 1 / n, dostaneme sériu: 1/3, ¼, 1/5 atď. Toto je monotónne klesajúca postupnosť.

Limita konvergentnej a ohraničenej postupnosti

Ohraničená postupnosť je postupnosť, ktorá má limitu. Konvergentná postupnosť je séria čísel, ktorá má nekonečne malý limit.

Limitou ohraničenej postupnosti je teda akékoľvek reálne alebo komplexné číslo. Pamätajte, že limit môže byť len jeden.

Limita konvergentnej postupnosti je nekonečne malá veličina (reálna alebo komplexná). Ak nakreslíte sekvenčný diagram, potom v určitom bode bude, ako to bolo, konvergovať, má tendenciu premeniť sa na určitú hodnotu. Odtiaľ pochádza názov – konvergentná postupnosť.

Limit monotónnej postupnosti

Takáto postupnosť môže alebo nemusí mať limit. Po prvé, je užitočné pochopiť, kedy to je, odtiaľto môžete začať pri preukazovaní absencie limitu.

Medzi monotónnymi postupnosťami sa rozlišujú konvergentné a divergentné. Konvergentná - ide o postupnosť, ktorá je tvorená množinou x a má v tejto množine reálnu alebo komplexnú limitu. Divergentná – postupnosť, ktorá nemá vo svojej množine žiadnu hranicu (ani reálnu, ani komplexnú).

Okrem toho postupnosť konverguje, ak sa jej horná a dolná hranica zbiehajú v geometrickom zobrazení.

Limita konvergentnej postupnosti môže byť v mnohých prípadoch rovná nule, pretože každá infinitezimálna postupnosť má známu limitu (nulu).

Bez ohľadu na to, akú konvergentnú postupnosť vyberiete, všetky sú ohraničené, ale zďaleka nie všetky ohraničené postupnosti konvergujú.

Súčet, rozdiel, súčin dvoch konvergentných postupností je tiež konvergentná postupnosť. Kvocient však môže aj konvergovať, ak je definovaný!

Rôzne akcie s limitmi

Sekvenčné limity sú také významné (vo väčšine prípadov) ako čísla a čísla: 1, 2, 15, 24, 362 atď. Ukazuje sa, že niektoré operácie možno vykonávať s limitmi.

Po prvé, rovnako ako číslice a čísla, limity akejkoľvek postupnosti môžu byť sčítané a odčítané. Na základe tretej vety o limitách postupností platí nasledujúca rovnosť: limita súčtu postupností sa rovná súčtu ich limitov.

Po druhé, na základe štvrtej vety o limitách postupností platí nasledujúca rovnosť: limita súčinu n-tého počtu postupností sa rovná súčinu ich limitov. To isté platí pre delenie: limita podielu dvoch postupností sa rovná podielu ich limity, za predpokladu, že limita sa nerovná nule. Koniec koncov, ak je limit sekvencií rovný nule, potom sa ukáže delenie nulou, čo je nemožné.

Vlastnosti sekvenčnej hodnoty

Zdá sa, že hranica číselnej postupnosti už bola podrobne analyzovaná, ale také frázy ako „nekonečne malé“ a „nekonečne veľké“ čísla sa spomínajú viackrát. Je zrejmé, že ak existuje postupnosť 1/x, kde x→∞, potom je takýto zlomok nekonečne malý, a ak je rovnaká postupnosť, ale limita má tendenciu k nule (x→0), zlomok sa stáva nekonečne veľkou hodnotou. . A takéto hodnoty majú svoje vlastné charakteristiky. Vlastnosti limitu postupnosti s ľubovoľnými malými alebo veľkými hodnotami sú nasledovné:

1. Súčet ľubovoľného počtu ľubovoľne malých množstiev bude tiež malým množstvom.
2. Súčet ľubovoľného počtu veľkých hodnôt bude nekonečne veľká hodnota.
3. Produkt ľubovoľne malých množstiev je nekonečne malý.
4. Súčin ľubovoľne veľkých čísel je nekonečne veľká veličina.
5. Ak má pôvodná postupnosť tendenciu k nekonečnému číslu, potom jej prevrátená hodnota bude nekonečne malá a bude mať tendenciu k nule.

V skutočnosti výpočet limity postupnosti nie je taká náročná úloha, ak poznáte jednoduchý algoritmus. Ale limity sekvencií sú témou, ktorá si vyžaduje maximálnu pozornosť a vytrvalosť. Samozrejme, stačí jednoducho pochopiť podstatu riešenia takýchto výrazov. Začínajúc v malom, postupom času môžete dosiahnuť veľké výšky.

Číselná postupnosť sa nazýva numerická funkcia definovaná na množine prirodzených čísel .

Ak je funkcia daná na množine prirodzených čísel
, potom bude množina hodnôt funkcie spočítateľná a každé číslo
číslo sa zhoduje
. V tomto prípade hovoríme, že daný číselná postupnosť. Volajú sa čísla prvkov alebo členov postupnosti a číslo - všeobecný príp -tý člen postupnosti. Každý prvok má nasledovníka
. To vysvetľuje použitie výrazu „sekvencia“.

Postupnosť sa zvyčajne špecifikuje buď uvedením jej prvkov, alebo uvedením zákona, podľa ktorého sa prvok s číslom vypočíta , t.j. označujúci vzorec člen .

Príklad.Následná sekvencia
môže byť daný vzorcom:
.

Obvykle sa postupnosti označujú takto: atď., kde je vzorec jeho člen.

Príklad.Následná sekvencia
‑toto je poradie

Množina všetkých prvkov sekvencie
označené
.

Nechaj
a
- dve sekvencie.

OD hmm sekvencie
a
zavolajte sekvenciu
, kde
, t.j.

R aznosti z týchto postupností sa nazýva postupnosť
, kde
, t.j.

Ak a ‑ konštanty, potom postupnosť
,
volal lineárna kombinácia sekvencie
a
, t.j.

práca sekvencie
a
zavolajte sekvenciu -tý člen
, t.j.
.

Ak
, potom je možné určiť súkromné
.

Súčet, rozdiel, súčin a podiel postupností
a
volajú sa algebraickékompozície.

Príklad.Zvážte sekvencie
a
, kde. Potom
, t.j. podsekvencia
má všetky prvky rovné nule.

,
, t.j. všetky prvky produktu a kvocient sú rovnaké
.

Ak prečiarkneme niektoré prvky postupnosti
aby zostalo nekonečné množstvo prvkov, potom dostaneme ďalšiu postupnosť, tzv podsekvencia sekvencie
. Ak prečiarkneme prvých pár prvkov postupnosti
, potom sa zavolá nová sekvencia zvyšok.

Následná sekvencia
obmedzenévyššie(zdola) ak súprava
obmedzený zhora (zdola). Sekvencia je tzv obmedzené ak je ohraničený nad a pod. Postupnosť je ohraničená vtedy a len vtedy, ak je ohraničený ktorýkoľvek z jej zvyšku.

Konvergujúce sekvencie

To hovoria podsekvencia
konverguje, ak existuje číslo také, že pre akékoľvek
existuje taký
, ktorý pre hociktorý
platí nasledujúca nerovnosť:
.

číslo volal sekvenčný limit
. Zároveň nahrávajú
alebo
.

Príklad.
.

Ukážme to
. Nastavte ľubovoľné číslo
. Nerovnosť
vykonávané pre
, také že
že pre číslo platí definícia konvergencie
. znamená,
.

Inými slovami
znamená, že všetci členovia sekvencie
s dostatočne veľkými číslami sa len málo líši od počtu , t.j. počnúc od nejakého čísla
(keď) sú prvky postupnosti v intervale
, ktorá sa volá -okolie bodu .

Následná sekvencia
, ktorého limit sa rovná nule (
, alebo
pri
) sa nazýva nekonečne malý.

V prípade infinitezimálov platia nasledujúce tvrdenia:

Súčet dvoch infinitezimálov je nekonečne malý;

Súčin infinitezimálu s ohraničenou hodnotou je nekonečno.

Veta .V poradí pre postupnosť
mal limit, je potrebné a postačujúce, že
, kde - konštantný; - nekonečne malý .

Hlavné vlastnosti konvergentných postupností:

Vlastnosti 3. a 4. zovšeobecňujú na prípad ľubovoľného počtu konvergentných postupností.

Všimnite si, že pri výpočte limity zlomku, ktorého čitateľ a menovateľ sú lineárne kombinácie mocnín , hranica zlomku sa rovná hranici podielu najvyšších členov (t. j. členov obsahujúcich najväčšie mocniny čitateľ a menovateľ).

Následná sekvencia
s názvom:

Všetky takéto sekvencie sú tzv monotónna.

Veta . Ak postupnosť
rastie monotónne a je ohraničený zhora, potom konverguje a jeho hranica sa rovná jeho najväčšej hornej hranici; ak je postupnosť klesajúca a ohraničená nižšie, potom konverguje k svojej najväčšej dolnej hranici.

Ak je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel N, potom sa takáto funkcia nazýva nekonečná postupnosť čísel. Obvykle sa číselná postupnosť označuje ako (Xn), kde n patrí do množiny prirodzených čísel N.

Číselná postupnosť môže byť daná vzorcom. Napríklad Xn=1/(2*n). Každému prirodzenému číslu n teda priradíme nejaký určitý prvok postupnosti (Xn).

Ak teraz postupne vezmeme n rovné 1,2,3, …., dostaneme postupnosť (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Typy sekvencií

Postupnosť môže byť obmedzená alebo neobmedzená, rastúca alebo klesajúca.

Sekvencia (Xn) volá obmedzené ak existujú dve čísla m a M také, že pre ľubovoľné n patriace do množiny prirodzených čísel platí rovnosť m<=Xn

sekvencia (Xn), nie je obmedzený, sa nazýva neohraničená postupnosť.

zvyšujúci sa ak pre všetky kladné celé čísla n platí rovnosť: X(n+1) > Xn. Inými slovami, každý člen postupnosti, počnúc druhým, musí byť väčší ako predchádzajúci člen.

Zavolá sa postupnosť (Xn). ubúdajúce, ak pre všetky kladné celé čísla n platí nasledujúca rovnosť X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Príklad sekvencie

Skontrolujme, či postupnosti 1/n a (n-1)/n klesajú.

Ak je postupnosť klesajúca, potom X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn = n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Takže postupnosť (n-1)/n je zvyšujúci sa.