V tomto článku vám to ukážem algoritmy na riešenie siedmich typov racionálnych rovníc, ktoré sa pomocou zmeny premenných redukujú na štvorcové. Vo väčšine prípadov sú transformácie, ktoré vedú k nahradeniu, veľmi netriviálne a je dosť ťažké ich uhádnuť sami.
Pre každý typ rovnice vysvetlím, ako v nej urobiť premennú zmenu, a potom ukážem podrobné riešenie v príslušnom videonávode.
Máte možnosť pokračovať v riešení rovníc sami a potom svoje riešenie skontrolovať pomocou videonávodu.
Takže, začnime.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Všimnite si, že súčin štyroch zátvoriek je na ľavej strane rovnice a číslo je na pravej strane.
1. Zoskupme zátvorky po dvoch, aby bol súčet voľných členov rovnaký.
2. Vynásobte ich.
3. Zavedme zmenu premennej.
V našej rovnici zoskupujeme prvú zátvorku s treťou a druhú so štvrtou, pretože (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:
V tomto bode je zmena premennej zrejmá:
Dostaneme rovnicu 
odpoveď: 
2 .
Rovnica tohto typu je podobná predchádzajúcej s jedným rozdielom: na pravej strane rovnice je súčin čísla o. A rieši sa to úplne inak:
1. Zátvorky zoskupíme po dvoch tak, aby súčin voľných výrazov bol rovnaký.
2. Každý pár zátvoriek vynásobíme.
3. Z každého faktora vyberieme x zo zátvorky.
4. Vydeľte obe strany rovnice číslom .
5. Zavádzame zmenu premennej.
V tejto rovnici zoskupujeme prvú zátvorku so štvrtou a druhú s treťou, pretože:
Všimnite si, že v každej zátvorke sú koeficient at a voľný výraz rovnaké. Vyberme multiplikátor z každej zátvorky:
Keďže x=0 nie je koreň pôvodnej rovnice, obe strany rovnice vydelíme . Dostaneme:
Dostaneme rovnicu: 
odpoveď: 
3
. 
Všimnite si, že menovateľmi oboch zlomkov sú štvorcové trojčlenky, v ktorých sú vodiaci koeficient a voľný člen rovnaké. Vyberieme, ako v rovnici druhého typu, x zo zátvorky. Dostaneme:
Vydeľte čitateľa a menovateľa každého zlomku x:
Teraz môžeme zaviesť zmenu premennej:
Dostaneme rovnicu pre premennú t:
4 .
Všimnite si, že koeficienty rovnice sú symetrické vzhľadom na centrálny koeficient. Takáto rovnica sa nazýva vratné .
Aby som to vyriešil
1. Vydeľte obe strany rovnice (Môžeme to urobiť, pretože x=0 nie je koreňom rovnice.) Získame:
2. Zoskupte výrazy týmto spôsobom:
3. V každej skupine vyberieme spoločný faktor:
4. Predstavme si náhradu:
5. Vyjadrime výraz pomocou t:
Odtiaľ 
Dostaneme rovnicu pre t:
odpoveď:
5. Homogénne rovnice.
Rovnice, ktoré majú homogénnu štruktúru, sa môžu stretnúť pri riešení exponenciálnych, logaritmických a trigonometrických rovníc, takže ich musíte vedieť rozpoznať.
Homogénne rovnice majú nasledujúcu štruktúru:
V tejto rovnosti sú A, B a C čísla a tie isté výrazy sú označené štvorcom a krúžkom. To znamená, že na ľavej strane homogénnej rovnice je súčet monočlenov, ktoré majú rovnaký stupeň (v tomto prípade je stupeň monočlenov 2) a neexistuje žiadny voľný člen.
Na vyriešenie homogénnej rovnice delíme obe strany o
Pozor! Pri delení pravej a ľavej strany rovnice výrazom obsahujúcim neznámu môžete prísť o korene. Preto je potrebné skontrolovať, či korene výrazu, ktorým delíme obe časti rovnice, sú koreňmi pôvodnej rovnice.
Poďme prvým spôsobom. Dostaneme rovnicu:
Teraz zavedieme premennú substitúciu:
Zjednodušte výraz a získajte bikvadratickú rovnicu pre t:
odpoveď: alebo
7
. 
Táto rovnica má nasledujúcu štruktúru:
Aby ste to vyriešili, musíte vybrať celý štvorec na ľavej strane rovnice.
Ak chcete vybrať celý štvorec, musíte pridať alebo odčítať dvojitý súčin. Potom dostaneme druhú mocninu súčtu alebo rozdielu. Toto je rozhodujúce pre úspešnú substitúciu premennej.
Začnime nájdením dvojitého produktu. Bude kľúčom k nahradeniu premennej. V našej rovnici je dvojitý súčin
Teraz poďme zistiť, čo je pre nás výhodnejšie mať - druhú mocninu súčtu alebo rozdielu. Pre začiatok zvážte súčet výrazov:
Výborne! tento výraz sa presne rovná dvojnásobku súčinu. Potom, aby ste dostali druhú mocninu súčtu v zátvorkách, musíte pridať a odčítať dvojitý súčin:
Pozývame vás na lekciu riešenia rovníc so zlomkami, s najväčšou pravdepodobnosťou ste sa s takýmito rovnicami už v minulosti stretli, preto si v tejto lekcii zopakujeme a zhrnieme informácie, ktoré poznáte.
Viac lekcií na stránke
Zlomkovo-racionálna rovnica je rovnica, v ktorej sú racionálne zlomky, teda premenná v menovateli. S najväčšou pravdepodobnosťou ste sa už v minulosti zaoberali takýmito rovnicami, preto si v tejto lekcii zopakujeme a zhrnieme informácie, ktoré poznáte.
Najprv navrhujem odkázať na predchádzajúcu lekciu tejto témy - na lekciu „Riešenie kvadratických rovníc“. V tejto lekcii sa zvažoval príklad riešenia zlomkovej racionálnej rovnice. Zvážiť to
Riešenie tejto rovnice sa uskutočňuje v niekoľkých fázach:
- Transformácia rovnice obsahujúcej racionálne zlomky.
- Prechod na celú rovnicu a jej zjednodušenie;
- Riešenie kvadratickej rovnice.
Pri riešení akejkoľvek zlomkovo-racionálnej rovnice je potrebné prejsť prvými 2 stupňami. Tretia etapa je voliteľná, pretože rovnica získaná ako výsledok zjednodušení nemusí byť štvorcová, ale lineárna; riešenie lineárnej rovnice je oveľa jednoduchšie. Existuje ďalší dôležitý krok pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice. Bude to viditeľné pri riešení ďalšej rovnice.
čo treba urobiť ako prvé? - Samozrejme, priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi. A je veľmi dôležité nájsť presne najmenej spoločný menovateľ, inak bude rovnica ďalej v procese riešenia komplikovaná. Tu si všimneme, že menovateľ posledného zlomku môže byť faktorizovaný pri a y+2. Práve tento produkt bude v tejto rovnici spoločným menovateľom. Teraz musíte určiť ďalšie faktory pre každý zo zlomkov. Pre posledný zlomok nie je takýto faktor potrebný, pretože jeho menovateľ sa rovná spoločnému. Teraz, keď všetky zlomky majú rovnakých menovateľov, môžete prejsť na celú rovnicu zloženú z niekoľkých čitateľov. Treba však urobiť jednu poznámku, a to zistená hodnota neznámeho nemôže zaniknúť žiadneho z menovateľov. Toto je ODZ: y≠0, y≠2. Tým sa dokončí prvá z vyššie opísaných etáp riešenia a pristúpime k druhej – výslednú celú rovnicu zjednodušíme. Aby sme to urobili, otvoríme zátvorky, prenesieme všetky pojmy do jednej časti rovnice a dáme podobné. Urobte to sami a skontrolujte, či sú moje výpočty správne, v ktorých je rovnica získaná 3 roky 2 - 12 rokov = 0. Táto rovnica je kvadratická, je napísaná v štandardnom tvare a jeden z jej koeficientov sa rovná nule.
Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.
Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Rovnicu sme zaviedli vyššie v § 7. Najprv si pripomenieme, čo je racionálny výraz. Ide o algebraický výraz zložený z čísel a premennej x pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania s prirodzeným exponentom.
Ak je r(x) racionálny výraz, potom rovnica r(x) = 0 sa nazýva racionálna rovnica.
V praxi je však vhodnejšie použiť trochu širší výklad pojmu „racionálna rovnica“: ide o rovnicu tvaru h(x) = q(x), kde h(x) a q(x) sú racionálne prejavy.
Doteraz sme nevedeli vyriešiť žiadnu racionálnu rovnicu, ale iba jednu, ktorá sa v dôsledku rôznych transformácií a uvažovania zredukovala na lineárna rovnica. Teraz sú naše možnosti oveľa väčšie: budeme schopní vyriešiť racionálnu rovnicu, ktorá sa redukuje nielen na lineárnu
mu, ale aj ku kvadratickej rovnici.
Spomeňte si, ako sme predtým riešili racionálne rovnice a pokúste sa sformulovať algoritmus riešenia.
Príklad 1 vyriešiť rovnicu
Riešenie. Rovnicu prepíšeme do tvaru
V tomto prípade, ako obvykle, používame skutočnosť, že rovnosti A \u003d B a A - B \u003d 0 vyjadrujú rovnaký vzťah medzi A a B. To nám umožnilo preniesť výraz na ľavú stranu rovnice s opačné znamenie.
Vykonajte transformácie ľavej strany rovnice. Máme
Spomeňte si na podmienky rovnosti zlomky nula: vtedy a len vtedy, ak sú súčasne splnené dva vzťahy:
1) čitateľ zlomku je nula (a = 0); 2) menovateľ zlomku je iný ako nula).
Čitateľ zlomku na ľavej strane rovnice (1) dostaneme rovnú nule
Zostáva skontrolovať splnenie druhej vyššie uvedenej podmienky. Pomer znamená pre rovnicu (1), že . Hodnoty x 1 = 2 a x 2 = 0,6 vyhovujú uvedeným vzťahom a slúžia teda ako korene rovnice (1) a zároveň korene danej rovnice.
1) Transformujme rovnicu do tvaru
2) Vykonajte transformácie ľavej strany tejto rovnice:
(súčasne zmenil znamienka v čitateli a
zlomky).
Daná rovnica teda nadobúda tvar
3) Riešte rovnicu x 2 - 6x + 8 = 0. Nájdite
4) Pri zistených hodnotách skontrolujte stav 
. Číslo 4 túto podmienku spĺňa, ale číslo 2 nie. Takže 4 je koreň danej rovnice a 2 je cudzí koreň.
odpoveď: 4.
2. Riešenie racionálnych rovníc zavedením novej premennej
Spôsob zavedenia novej premennej je vám známy, použili sme ho viackrát. Ukážme si na príkladoch, ako sa používa pri riešení racionálnych rovníc.
Príklad 3 Vyriešte rovnicu x 4 + x 2 - 20 = 0.
Riešenie. Predstavujeme novú premennú y \u003d x 2. Pretože x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, potom je možné danú rovnicu prepísať do tvaru
y2 + y - 20 = 0.
Ide o kvadratickú rovnicu, ktorej korene nájdeme pomocou známeho vzorce; dostaneme y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ale y \u003d x 2, čo znamená, že problém bol zredukovaný na riešenie dvoch rovníc:
x2=4; x 2 \u003d -5.
Z prvej rovnice zistíme, že druhá rovnica nemá korene.
Odpoveď: .
Rovnica v tvare ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 sa nazýva bikvadratická rovnica („bi“ - dva, t. j. akoby rovnica „dvojitého štvorca“). Práve vyriešená rovnica bola presne bikvadratická. Akákoľvek bikvadratická rovnica sa rieši rovnakým spôsobom ako rovnica z príkladu 3: zavedie sa nová premenná y \u003d x 2, výsledná kvadratická rovnica sa vyrieši vzhľadom na premennú y a potom sa vráti k premennej x.
Príklad 4 vyriešiť rovnicu
Riešenie. Všimnite si, že rovnaký výraz x 2 + 3x sa tu vyskytuje dvakrát. Preto má zmysel zaviesť novú premennú y = x 2 + Zx. To nám umožní prepísať rovnicu do jednoduchšej a príjemnejšej formy (čo je v skutočnosti účelom zavedenia nového premenlivý- a nahrávanie je jednoduchšie
a štruktúra rovnice bude jasnejšia):
A teraz použijeme algoritmus na riešenie racionálnej rovnice.
1) Presuňme všetky členy rovnice do jednej časti:
= 0
2) Transformujme ľavú stranu rovnice
Danú rovnicu sme teda pretransformovali do tvaru
3) Z rovnice - 7y 2 + 29y -4 = 0 nájdeme (vyriešili sme už pomerne veľa kvadratických rovníc, takže sa asi neoplatí vždy dávať podrobné výpočty v učebnici).
4) Skontrolujme nájdené korene pomocou podmienky 5 (y - 3) (y + 1). Obidva korene spĺňajú túto podmienku.
Takže kvadratická rovnica pre novú premennú y je vyriešená: 
Pretože y \u003d x 2 + Zx a y, ako sme zistili, majú dve hodnoty: 4 a - stále musíme vyriešiť dve rovnice: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Korene prvej rovnice sú čísla 1 a - 4, korene druhej rovnice sú čísla
V uvažovaných príkladoch bol spôsob zavedenia novej premennej, ako radi hovoria matematici, adekvátny situácii, teda jej dobre zodpovedal. prečo? Áno, pretože rovnaký výraz sa v zázname rovnice jasne vyskytol niekoľkokrát a bolo rozumné označiť tento výraz novým písmenom. Ale nie vždy to tak je, niekedy sa nová premenná „objaví“ až v procese transformácií. Presne to sa stane v nasledujúcom príklade.
Príklad 5 vyriešiť rovnicu
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Riešenie. Máme
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.
Daná rovnica sa teda dá prepísať ako
(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24
Teraz sa "objavila" nová premenná: y = x 2 - Zx.
S jeho pomocou je možné rovnicu prepísať do tvaru y (y + 2) \u003d 24 a potom y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Korene tejto rovnice sú čísla 4 a -6.
Ak sa vrátime k pôvodnej premennej x, získame dve rovnice x 2 - Zx \u003d 4 a x 2 - Zx \u003d - 6. Z prvej rovnice nájdeme x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; druhá rovnica nemá korene.
Odpoveď: 4, - 1.
V prvom rade, aby ste sa naučili pracovať s racionálnymi zlomkami bez chýb, musíte sa naučiť vzorce pre skrátené násobenie. A nielen učiť sa – treba ich rozpoznať, aj keď sínusy, logaritmy a odmocniny fungujú ako pojmy.
Hlavným nástrojom je však faktorizácia čitateľa a menovateľa racionálneho zlomku. To možno dosiahnuť tromi rôznymi spôsobmi:
- V skutočnosti, podľa skráteného vzorca násobenia: umožňujú vám zbaliť polynóm do jedného alebo viacerých faktorov;
- Rozložením štvorcovej trojčlenky na faktory prostredníctvom diskriminantu. Rovnaká metóda umožňuje overiť, že žiadna trojčlenka nemôže byť vôbec faktorizovaná;
- Metóda zoskupovania je najkomplexnejší nástroj, ale je to jediný, ktorý funguje, ak predchádzajúce dva nefungovali.
Ako ste už z názvu tohto videa určite uhádli, opäť sa budeme baviť o racionálnych zlomkoch. Doslova pred pár minútami som skončil hodinu s desiatym ročníkom a tam sme analyzovali presne tieto výrazy. Preto bude táto hodina určená špeciálne pre stredoškolákov.
Mnohí si teraz určite položia otázku: „Prečo sa žiaci v 10. – 11. ročníku učia také jednoduché veci, ako sú racionálne zlomky, keď sa to robí v 8. ročníku?“. Ale to je ten problém, že väčšina ľudí si túto tému len „prejde“. V ročníkoch 10-11 si už nepamätajú, ako sa robí násobenie, delenie, odčítanie a sčítanie racionálnych zlomkov z ročníka 8, a práve na tomto jednoduchom poznaní sa budujú ďalšie, zložitejšie štruktúry, ako je riešenie logaritmických, goniometrických rovníc. a mnohé iné zložité výrazy, takže bez racionálnych zlomkov sa na strednej škole nedá robiť prakticky nič.
Vzorce na riešenie problémov
Prejdime k biznisu. V prvom rade potrebujeme dva fakty – dve sady vzorcov. Najprv musíte poznať vzorce pre skrátené násobenie:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\vľavo(a-b \vpravo)\vľavo(a+b \vpravo)$ je rozdiel štvorcov;
- $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ je druhá mocnina súčtu alebo rozdielu ;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ je súčet kociek;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \vpravo)$ je rozdiel kociek.
Vo svojej čistej forme sa nenachádzajú v žiadnych príkladoch a v skutočných vážnych prejavoch. Našou úlohou je preto naučiť sa vidieť pod písmenami $a$ a $b$ oveľa zložitejšie konštrukcie, napríklad logaritmy, korene, sínusy atď. Dá sa to naučiť iba neustálym cvičením. Preto je riešenie racionálnych zlomkov absolútne nevyhnutné.
Druhým, celkom zrejmým vzorcom je rozklad štvorcového trinomu:
$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ sú korene.
Zaoberali sme sa teoretickou časťou. Ale ako vyriešiť skutočné racionálne zlomky, ktoré sa zvažujú v 8. ročníku? Teraz ideme cvičiť.
Úloha č.1
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9(a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
Skúsme použiť vyššie uvedené vzorce na riešenie racionálnych zlomkov. V prvom rade chcem vysvetliť, prečo je faktorizácia vôbec potrebná. Faktom je, že na prvý pohľad na prvú časť úlohy chcem zmenšiť kocku štvorcom, ale je to absolútne nemožné, pretože sú to pojmy v čitateli a menovateli, ale v žiadnom prípade nie sú faktory .
Čo je to vlastne skratka? Redukcia je použitie základného pravidla pre prácu s takýmito výrazmi. Hlavnou vlastnosťou zlomku je, že čitateľa a menovateľa môžeme vynásobiť rovnakým číslom iným ako „nula“. V tomto prípade, keď znižujeme, potom naopak delíme rovnakým číslom iným ako „nula“. Všetky členy v menovateli však musíme vydeliť rovnakým číslom. To nemôžeš. A máme právo zmenšiť čitateľa s menovateľom len vtedy, keď sú oba faktory rozdelené na faktor. Poďme na to.
Teraz musíte vidieť, koľko výrazov je v konkrétnom prvku, v súlade s tým zistiť, ktorý vzorec musíte použiť.
Transformujme každý výraz na presnú kocku:
Prepíšeme čitateľa:
\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \vpravo))^(2))+3a\cdot 4b+((\vľavo(4b \vpravo))^(2)) \vpravo)\]
Pozrime sa na menovateľa. Rozšírime ho podľa vzorca rozdielu štvorcov:
\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ správny)\]
Teraz sa pozrime na druhú časť výrazu:
Čitateľ:
Zostáva sa zaoberať menovateľom:
\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]
Prepíšme celú konštrukciu, berúc do úvahy vyššie uvedené skutočnosti:
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \vpravo))(\vľavo(b-2 \vpravo)\vľavo(b+2 \vpravo))\cdot \frac(((\vľavo(b+2 \vpravo))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Nuansy násobenia racionálnych zlomkov
Kľúčový záver z týchto konštrukcií je nasledujúci:
- Nie každý polynóm môže byť faktorizovaný.
- Aj keď je rozložený, treba si pozorne pozrieť, ktorý konkrétny vzorec na skrátené násobenie.
Aby sme to urobili, musíme najprv odhadnúť, koľko členov existuje (ak sú dva, potom ich môžeme iba rozšíriť o súčet rozdielu štvorcov alebo súčtu alebo rozdielu kociek; a ak sú tri, potom toto , jedinečne, buď druhá mocnina súčtu alebo druhá mocnina rozdielu). Často sa stáva, že buď čitateľ, alebo menovateľ nepotrebuje faktorizáciu vôbec, môže byť lineárny, alebo jeho diskriminant bude záporný.
Úloha č. 2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
Vo všeobecnosti sa schéma riešenia tohto problému nelíši od predchádzajúceho - jednoducho bude viac akcií a budú rôznorodejšie.
Začnime prvým zlomkom: pozrite sa na jeho čitateľa a urobte možné transformácie:
Teraz sa pozrime na menovateľa:
S druhým zlomkom: v čitateli sa nedá robiť vôbec nič, pretože je to lineárny výraz a nie je možné z neho vyňať žiadny faktor. Pozrime sa na menovateľa:
\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right) ))^(2))\]
Ideme do tretej frakcie. Čitateľ:
Poďme sa zaoberať menovateľom posledného zlomku:
Prepíšme výraz berúc do úvahy vyššie uvedené skutočnosti:
\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \vpravo))(\vľavo (2x-1 \vpravo)\vľavo (2x+1 \vpravo))=\]
\[=\frac(-3)(2\vľavo(2-x \vpravo))=-\frac(3)(2\vľavo(2-x \vpravo))=\frac(3)(2\vľavo (x-2 \vpravo))\]
Nuansy riešenia
Ako vidíte, nie všetko a nie vždy spočíva na skrátených vzorcoch násobenia - niekedy stačí uviesť do zátvoriek konštantu alebo premennú. Existuje však aj opačná situácia, keď je pojmov toľko alebo sú konštruované tak, že vzorec na skrátené násobenie na ne je vo všeobecnosti nemožný. V tomto prípade nám prichádza na pomoc univerzálny nástroj, a to metóda zoskupovania. To je to, čo teraz použijeme v ďalšom probléme.
Úloha č. 3
\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]
Poďme sa pozrieť na prvú časť:
\[((a)^(2))+ab=a\vľavo(a+b \vpravo)\]
\[=5\vľavo (a-b \vpravo)-\vľavo (a-b \vpravo)\vľavo (a+b \vpravo)=\vľavo (a-b \vpravo)\vľavo (5-1\vľavo (a+b \vpravo) ) )\vpravo)=\]
\[=\vľavo(a-b \vpravo)\vľavo(5-a-b \vpravo)\]
Prepíšme pôvodný výraz:
\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]
Teraz sa poďme zaoberať druhou zátvorkou:
\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]
\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \správny)\]
Keďže dva prvky nebolo možné zoskupiť, zoskupili sme tri. Zostáva zaoberať sa iba menovateľom posledného zlomku:
\[((a)^(2))-((b)^(2))=\vľavo(a-b \vpravo)\vľavo(a+b \vpravo)\]
Teraz prepíšme celú našu štruktúru:
\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(a-b \right))^(2)))\]
Problém je vyriešený a už sa tu nedá nič zjednodušiť.
Nuansy riešenia
Prišli sme na zoskupenie a získali sme ďalší veľmi výkonný nástroj, ktorý rozširuje možnosti faktorizácie. Problém je ale v tom, že v reálnom živote nám nikto neposkytne také rafinované príklady, kde je niekoľko zlomkov, ktorým stačí rozložiť čitateľa a menovateľa a potom, ak je to možné, zmenšiť. Reálne výrazy budú oveľa komplikovanejšie.
S najväčšou pravdepodobnosťou budú okrem násobenia a delenia existovať aj odčítania a sčítania, všetky druhy zátvoriek - vo všeobecnosti budete musieť brať do úvahy poradie akcií. Najhoršie však je, že pri odčítaní a sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi ich bude treba zredukovať na jeden spoločný. Aby ste to dosiahli, každý z nich bude musieť byť rozložený na faktory a potom budú tieto frakcie transformované: dať podobné a oveľa viac. Ako to urobiť správne, rýchlo a zároveň dostať jednoznačne správnu odpoveď? O tom si teraz povieme na príklade nasledujúcej konštrukcie.
Úloha č. 4
\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \vpravo)\]
Napíšme prvý zlomok a skúsme sa s ním vysporiadať samostatne:
\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]
\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]
Prejdime k druhému. Vypočítajme diskriminant menovateľa:
Nerozdeľuje sa na faktor, takže píšeme nasledovné:
\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\vľavo(x+3 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))-3x+9 \vpravo))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]
Čitateľ píšeme samostatne:
\[((x)^(2))-2x+12=0\]
Preto tento polynóm nemožno faktorizovať.
Maximum, čo sme mohli urobiť a rozložiť, sme už urobili.
Celkovo prepíšeme našu pôvodnú konštrukciu a získame:
\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\vľavo(x+3 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))-3x+9 \vpravo))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]
Všetko, úloha je vyriešená.
Úprimne povedané, nebola to až taká ťažká úloha: všetko sa tam ľahko premietlo, rýchlo sa dali podobné termíny a všetko sa krásne zredukovalo. Skúsme teda problém vyriešiť vážnejšie.
Úloha číslo 5
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \vpravo)\]
Najprv sa pozrime na prvú zátvorku. Od samého začiatku vyčleňujeme menovateľa druhého zlomku samostatne:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \vpravo)\]
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]
\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\vľavo(x-2 \vpravo)+((x)^(2))+8-\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Teraz poďme pracovať s druhým zlomkom:
\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2) )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ vľavo(x-2 \vpravo))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))=\]
\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))\]
Vraciame sa k pôvodnému dizajnu a píšeme:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
Kľúčové body
Ešte raz kľúčové fakty dnešného videonávodu:
- Musíte vedieť naspamäť vzorce na skrátené násobenie – a nielen vedieť, ale vedieť v tých výrazoch aj vidieť, s ktorými sa stretnete pri reálnych problémoch. V tomto nám môže pomôcť úžasné pravidlo: ak existujú dva členy, potom je to buď rozdiel štvorcov, alebo rozdiel alebo súčet kociek; ak tri, môže to byť len druhá mocnina súčtu alebo rozdielu.
- Ak sa niektorá konštrukcia nedá rozložiť pomocou skrátených vzorcov násobenia, potom nám prichádza na pomoc buď štandardný vzorec na rozklad trojčlenov na faktory, alebo metóda zoskupovania.
- Ak niečo nefunguje, pozorne si prezrite pôvodný výraz – a či sú s ním vôbec potrebné nejaké premeny. Možno bude stačiť len vytiahnuť násobič zo zátvorky, a to je veľmi často len konštanta.
- V zložitých výrazoch, kde musíte vykonať niekoľko akcií za sebou, nezabudnite uviesť spoločného menovateľa a až potom, keď sa naň zredukujú všetky zlomky, nezabudnite uviesť to isté do nového čitateľa a potom faktor nového čitateľa znova - je možné, že - sa zníži.
To je všetko, čo som vám dnes chcel povedať o racionálnych zlomkoch. Ak niečo nie je jasné, na stránke je stále veľa videonávodov a tiež veľa úloh na samostatné riešenie. Tak zostaňte s nami!
