Pokračujme v diskusii o najmenšom spoločnom násobku, ktorú sme začali v časti LCM - Najmenší spoločný násobok, definícia, príklady. V tejto téme sa pozrieme na spôsoby, ako nájsť LCM pre tri alebo viac čísel, analyzujeme otázku, ako nájsť LCM záporného čísla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd

Vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom sme už stanovili. Teraz sa naučíme, ako definovať LCM prostredníctvom GCD. Po prvé, poďme zistiť, ako to urobiť pre kladné čísla.

Definícia 1

Najmenší spoločný násobok môžete nájsť pomocou najväčšieho spoločného deliteľa pomocou vzorca LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Príklad 1

Je potrebné nájsť LCM čísel 126 a 70.

rozhodnutie

Vezmime si a = 126 , b = 70 . Dosaďte hodnoty vo vzorci na výpočet najmenšieho spoločného násobku cez najväčšieho spoločného deliteľa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Nájde GCD čísel 70 a 126. Na to potrebujeme Euklidov algoritmus: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , teda gcd (126 , 70) = 14 .

Vypočítajme LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

odpoveď: LCM (126, 70) = 630.

Príklad 2

Nájdite číslo 68 a 34.

rozhodnutie

GCD je v tomto prípade ľahké nájsť, pretože 68 je deliteľné 34. Vypočítajte najmenší spoločný násobok pomocou vzorca: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odpoveď: LCM(68,34) = 68.

V tomto príklade sme použili pravidlo na nájdenie najmenšieho spoločného násobku kladných celých čísel a a b: ak je prvé číslo deliteľné druhým, potom sa LCM týchto čísel bude rovnať prvému číslu.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory

Teraz sa pozrime na spôsob, ako nájsť LCM, ktorý je založený na rozklade čísel na prvočísla.

Definícia 2

Aby sme našli najmenší spoločný násobok, musíme vykonať niekoľko jednoduchých krokov:

• tvoríme súčin všetkých prvočísel čísel, pre ktoré potrebujeme nájsť LCM;
• z ich získaných produktov vylúčime všetky hlavné faktory;
• produkt získaný po odstránení spoločných prvočísel sa bude rovnať LCM daných čísel.

Tento spôsob hľadania najmenšieho spoločného násobku je založený na rovnosti LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Ak sa pozriete na vzorec, bude jasné: súčin čísel a a b sa rovná súčinu všetkých faktorov, ktoré sa podieľajú na rozširovaní týchto dvoch čísel. V tomto prípade sa GCD dvoch čísel rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v rozkladoch týchto dvoch čísel.

Príklad 3

Máme dve čísla 75 a 210 . Môžeme ich vypočítať takto: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Ak vytvoríte súčin všetkých faktorov dvoch pôvodných čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ak vylúčime faktory spoločné pre čísla 3 a 5, dostaneme súčin v nasledujúcom tvare: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pre čísla 75 a 210.

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 441 a 700 , rozklad oboch čísel na prvočíselné faktory.

rozhodnutie

Nájdite všetky prvočísla čísel uvedených v podmienke:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dostaneme dva reťazce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .

Súčin všetkých faktorov, ktoré sa podieľali na rozšírení týchto čísel, bude vyzerať takto: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poďme nájsť spoločné faktory. Toto číslo je 7. Vylučujeme ho zo všeobecného produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje sa, že NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odpoveď: LCM (441, 700) = 44100.

Uveďme ešte jednu formuláciu metódy na nájdenie LCM rozkladom čísel na prvočiniteľa.

Definícia 3

Predtým sme z celkového počtu vylúčili faktory spoločné pre obe čísla. Teraz to urobíme inak:

• Rozložme obe čísla na prvočísla:
• doplniť k súčinu prvočísel prvého čísla chýbajúce činitele druhého čísla;
• dostaneme súčin, ktorým bude požadovaná LCM dvoch čísel.

Príklad 5

Vráťme sa k číslam 75 a 210 , pre ktoré sme už LCM hľadali v jednom z predchádzajúcich príkladov. Rozdeľme ich na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Na súčin faktorov 3 , 5 a 5 číslo 75 doplniť chýbajúce faktory 2 a 7 čísla 210. Dostaneme: 2 3 5 5 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.

Príklad 6

Je potrebné vypočítať LCM čísel 84 a 648.

rozhodnutie

Rozložme čísla z podmienky na prvočísla: 84 = 2 2 3 7 a 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pridajte k súčinu faktorov 2 , 2 , 3 a 7 čísla 84 chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a
3 čísla 648 . Dostaneme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Toto je najmenší spoločný násobok 84 a 648.

odpoveď: LCM (84, 648) = 4536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Bez ohľadu na to, s koľkými číslami máme čo do činenia, algoritmus našich akcií bude vždy rovnaký: postupne nájdeme LCM dvoch čísel. Pre tento prípad existuje veta.

Veta 1

Predpokladajme, že máme celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. NOC m k z týchto čísel sa zistí sekvenčný výpočet m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), …, m k = LCM (m k − 1, ak) .

Teraz sa pozrime na to, ako sa dá veta aplikovať na konkrétne problémy.

Príklad 7

Musíte vypočítať najmenší spoločný násobok štyroch čísel 140 , 9 , 54 a 250 .

rozhodnutie

Predstavme si notáciu: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Začnime výpočtom m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Použime euklidovský algoritmus na výpočet GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Získame: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Preto m 2 = 1 260.

Teraz vypočítajme podľa rovnakého algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . V priebehu výpočtov dostaneme m 3 = 3 780.

Zostáva nám vypočítať m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Postupujeme podľa rovnakého algoritmu. Získame m 4 \u003d 94 500.

LCM štyroch čísel z príkladu podmienky je 94500.

odpoveď: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Ako vidíte, výpočty sú jednoduché, ale dosť pracné. Ak chcete ušetriť čas, môžete ísť iným spôsobom.

Definícia 4

Ponúkame vám nasledujúci algoritmus akcií:

• rozložiť všetky čísla na prvočísla;
• k súčinu faktorov prvého čísla doplňte chýbajúce faktory súčinu druhého čísla;
• pridať chýbajúce faktory tretieho čísla k produktu získanému v predchádzajúcej fáze atď.;
• výsledný súčin bude najmenší spoločný násobok všetkých čísel z podmienky.

Príklad 8

Je potrebné nájsť LCM piatich čísel 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

rozhodnutie

Rozložme všetkých päť čísel na prvočiniteľa: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Prvočísla, čo je číslo 7, nemožno zahrnúť do prvočísel. Takéto čísla sa zhodujú s ich rozkladom na prvočísla.

Teraz zoberme súčin prvočiniteľov 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a pripočítajme k nim chýbajúce činitele druhého čísla. Rozložili sme číslo 6 na 2 a 3. Tieto faktory sú už v súčine prvého čísla. Preto ich vynechávame.

Pokračujeme v dopĺňaní chýbajúcich násobiteľov. Obrátime sa na číslo 48, zo súčinu prvočiniteľov, z ktorých vezmeme 2 a 2. Potom pridáme jednoduchý faktor 7 zo štvrtého čísla a faktory 11 a 13 z piateho. Získame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Toto je najmenší spoločný násobok z piatich pôvodných čísel.

odpoveď: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel

Aby sa našiel najmenší spoločný násobok záporných čísel, musia sa tieto čísla najskôr nahradiť číslami s opačným znamienkom a potom by sa mali výpočty vykonať podľa vyššie uvedených algoritmov.

Príklad 9

LCM(54,-34) = LCM(54,34) a LCM(-622,-46,-54,-888) = LCM(622,46,54,888).

Takéto akcie sú prípustné vzhľadom na skutočnosť, že ak sa prijme, že a a − a- opačné čísla
potom množina násobkov a sa zhoduje s množinou násobkov čísla − a.

Príklad 10

Je potrebné vypočítať LCM záporných čísel − 145 a − 45 .

rozhodnutie

Zmeňme čísla − 145 a − 45 na ich opačné čísla 145 a 45 . Teraz pomocou algoritmu vypočítame LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, pričom sme predtým určili GCD pomocou Euklidovho algoritmu.

Dostaneme, že LCM čísel − 145 a − 45 rovná sa 1 305 .

odpoveď: LCM (- 145 , - 45) = 1 305 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Zvážte tri spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný násobok.

Hľadanie faktoringom

Prvým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok rozdelením daných čísel na prvočísla.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť LCM čísel: 99, 30 a 28. Aby sme to dosiahli, rozložíme každé z týchto čísel na prvočísla:

Aby bolo požadované číslo deliteľné 99, 30 a 28, je potrebné a postačujúce, aby zahŕňalo všetky prvočísla týchto deliteľov. Aby sme to dosiahli, musíme vziať všetky prvočísla týchto čísel na najvyššiu vyskytujúcu sa mocninu a vynásobiť ich:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Takže LCM (99, 30, 28) = 13 860. Žiadne iné číslo menšie ako 13 860 nie je rovnomerne deliteľné 99, 30 alebo 28.

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok daných čísel, musíte ich rozložiť na prvočísla, potom zobrať každý prvočiniteľ s najväčším exponentom, s ktorým sa vyskytuje, a tieto faktory spolu vynásobiť.

Keďže prvočísla nemajú žiadne spoločné prvočísla, ich najmenší spoločný násobok sa rovná súčinu týchto čísel. Napríklad tri čísla: 20, 49 a 33 sú koprimé. Takže

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

To isté by sa malo urobiť pri hľadaní najmenšieho spoločného násobku rôznych prvočísel. Napríklad LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hľadanie výberom

Druhým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok preložením.

Príklad 1. Keď je najväčšie z daných čísel rovnomerne deliteľné inými danými číslami, potom sa LCM týchto čísel rovná väčšiemu z nich. Napríklad zadané štyri čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je deliteľné 60, preto:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

V ostatných prípadoch sa na nájdenie najmenšieho spoločného násobku používa nasledujúci postup:

1. Určte najväčšie číslo z uvedených čísel.
2. Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami najväčšieho čísla, vynásobíme ho prirodzenými číslami vo vzostupnom poradí a skontrolujeme, či zostávajúce dané čísla sú deliteľné výsledným súčinom.

Príklad 2. Dané tri čísla 24, 3 a 18. Určte najväčšie z nich – toto je číslo 24. Ďalej nájdite čísla, ktoré sú násobkami 24, pričom skontrolujte, či je každé z nich deliteľné 18 a 3:

24 1 = 24 je deliteľné 3, ale nie je deliteľné 18.

24 2 = 48 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.

24 3 \u003d 72 - deliteľné 3 a 18.

Takže LCM(24; 3; 18) = 72.

Hľadanie pomocou sekvenčného hľadania LCM

Tretím spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok postupným hľadaním LCM.

LCM dvoch daných čísel sa rovná súčinu týchto čísel vydelenému ich najväčším spoločným deliteľom.

Príklad 1. Nájdite LCM dvoch daných čísel: 12 a 8. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tieto čísla:

Produkt delíme na ich GCD:

Takže LCM(12; 8) = 24.

Na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel sa používa nasledujúci postup:

1. Najprv sa nájde LCM ľubovoľných dvoch z daných čísel.
2. Potom LCM nájdeného najmenšieho spoločného násobku a tretieho daného čísla.
3. Potom LCM výsledného najmenšieho spoločného násobku a štvrtého čísla atď.
4. Vyhľadávanie LCM teda pokračuje, pokiaľ existujú čísla.

Príklad 2. Nájdite LCM troch daných čísel: 12, 8 a 9. Už sme našli LCM čísel 12 a 8 v predchádzajúcom príklade (toto je číslo 24). Zostáva nájsť najmenší spoločný násobok 24 a tretie dané číslo - 9. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: gcd (24, 9) = 3. LCM vynásobte číslom 9:

Produkt delíme na ich GCD:

Takže LCM(12; 8; 9) = 72.

Pri sčítavaní a odčítaní algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi vedú najskôr zlomky k spoločný menovateľ. To znamená, že nájdu takého jediného menovateľa, ktorý sa vydelí pôvodným menovateľom každého algebraického zlomku, ktorý je súčasťou tohto výrazu.

Ako viete, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (alebo vydelia) rovnakým číslom iným ako nula, hodnota zlomku sa nezmení. Toto je hlavná vlastnosť zlomku. Preto, keď zlomky vedú k spoločnému menovateľovi, v skutočnosti sa pôvodný menovateľ každého zlomku vynásobí chýbajúcim faktorom na spoločného menovateľa. V tomto prípade je potrebné vynásobiť týmto faktorom a čitateľom zlomku (pre každý zlomok je iný).

Napríklad, ak vezmeme do úvahy nasledujúci súčet algebraických zlomkov:

Je potrebné výraz zjednodušiť, t.j. pridať dva algebraické zlomky. Na to je v prvom rade potrebné zredukovať členy-zlomky na spoločného menovateľa. Prvým krokom je nájsť jednočlen, ktorý je deliteľný 3x aj 2y. V tomto prípade je žiaduce, aby bol najmenší, t.j. nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) pre 3x a 2y.

Pre číselné koeficienty a premenné sa LCM vyhľadáva samostatne. LCM(3,2) = 6 a LCM(x, y) = xy. Ďalej sa nájdené hodnoty vynásobia: 6xy.

Teraz musíme určiť, akým faktorom musíme vynásobiť 3x, aby sme dostali 6xy:
6xy ÷ 3x = 2r

To znamená, že pri redukovaní prvého algebraického zlomku na spoločného menovateľa treba jeho čitateľa vynásobiť 2y (menovateľ je už vynásobený pri redukcii na spoločného menovateľa). Podobne sa hľadá faktor pre čitateľa druhého zlomku. Bude to rovné 3x.

Tak dostaneme:

Ďalej je už možné konať ako so zlomkami s rovnakými menovateľmi: čitatelia sa sčítajú a do menovateľa sa zapíše jeden spoločný:

Po transformáciách sa získa zjednodušený výraz, ktorým je jeden algebraický zlomok, ktorý je súčtom dvoch pôvodných:

Algebraické zlomky v pôvodnom výraze môžu obsahovať menovateľov, ktoré sú skôr polynómami než monočlenmi (ako vo vyššie uvedenom príklade). V tomto prípade pred nájdením spoločného menovateľa vynásobte menovateľov (ak je to možné). Ďalej sa spoločný menovateľ zhromažďuje z rôznych faktorov. Ak je faktor vo viacerých počiatočných menovateľoch, berie sa raz. Ak má faktor v pôvodných menovateľoch rôzne stupne, potom sa berie s väčším. Napríklad:

Polynóm a 2 - b 2 tu môže byť reprezentovaný ako súčin (a - b) (a + b). Faktor 2a – 2b je rozšírený ako 2(a – b). Spoločný menovateľ sa teda bude rovnať 2 (a - b) (a + b).

Online kalkulačka vám umožňuje rýchlo nájsť najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku dvoch alebo akéhokoľvek iného počtu čísel.

Kalkulačka na nájdenie GCD a NOC

Nájdite GCD a NOC

GCD a NOC nájdené: 5806

Ako používať kalkulačku

• Do vstupného poľa zadajte čísla
• V prípade zadania nesprávnych znakov bude vstupné pole zvýraznené červenou farbou
• stlačte tlačidlo "Nájsť GCD a NOC"

Ako zadávať čísla

• Čísla sa zadávajú oddelené medzerami, bodkami alebo čiarkami
• Dĺžka zadávaných čísel nie je obmedzená, takže nájdenie gcd a lcm dlhých čísel nebude ťažké

Čo je NOD a NOK?

Najväčší spoločný deliteľ viacerých čísel je najväčšie prirodzené celé číslo, ktorým sú všetky pôvodné čísla bezo zvyšku deliteľné. Najväčší spoločný deliteľ je skrátený ako GCD.
Najmenší spoločný násobok niekoľko čísel je najmenšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné každým z pôvodných čísel. Najmenší spoločný násobok sa označuje skratkou NOC.

Ako skontrolovať, či je číslo deliteľné iným číslom bez zvyšku?

Ak chcete zistiť, či je jedno číslo deliteľné druhým bezo zvyšku, môžete použiť niektoré vlastnosti deliteľnosti čísel. Potom ich kombináciou možno skontrolovať deliteľnosť niektorými z nich a ich kombináciami.

Niektoré znaky deliteľnosti čísel

1. Znamienko deliteľnosti čísla 2
Na určenie, či je číslo deliteľné dvoma (či je párne), sa stačí pozrieť na poslednú číslicu tohto čísla: ak sa rovná 0, 2, 4, 6 alebo 8, potom je číslo párne, čo znamená, že je deliteľné 2.
Príklad: zisti, či je číslo 34938 deliteľné 2.
rozhodnutie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo je deliteľné dvoma.

2. Znamienko deliteľnosti čísla 3
Číslo je deliteľné tromi, ak súčet jeho číslic je deliteľný tromi. Preto, aby ste zistili, či je číslo deliteľné 3, musíte vypočítať súčet číslic a skontrolovať, či je deliteľné 3. Aj keď sa ukázalo, že súčet číslic je veľmi veľký, môžete zopakovať rovnaký postup znova.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 3.
rozhodnutie: spočítame súčet číslic: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 3, čo znamená, že číslo je deliteľné tromi.

3. Znamienko deliteľnosti čísla 5
Číslo je deliteľné 5, ak je jeho posledná číslica nula alebo päť.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 5.
rozhodnutie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo NIE JE deliteľné piatimi.

4. Znamienko deliteľnosti čísla 9
Toto znamienko je veľmi podobné znamienku deliteľnosti tromi: číslo je deliteľné 9, ak súčet jeho číslic je deliteľný 9.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 9.
rozhodnutie: vypočítame súčet číslic: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 9, čo znamená, že číslo je deliteľné deviatimi.

Ako nájsť GCD a LCM dvoch čísel

Ako nájsť GCD dvoch čísel

Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel, je nájsť všetkých možných deliteľov týchto čísel a vybrať najväčšieho z nich.

Zvážte túto metódu pomocou príkladu hľadania GCD(28, 36):

1. Obe čísla rozkladáme na faktor: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Nájdeme spoločné faktory, teda tie, ktoré majú obe čísla: 1, 2 a 2.
3. Vypočítame súčin týchto faktorov: 1 2 2 \u003d 4 - toto je najväčší spoločný deliteľ čísel 28 a 36.

Ako nájsť LCM dvoch čísel

Existujú dva najbežnejšie spôsoby, ako nájsť najmenší násobok dvoch čísel. Prvým spôsobom je, že si môžete vypísať prvé násobky dvoch čísel a potom si z nich vybrať také číslo, ktoré bude pre obe čísla spoločné a zároveň najmenšie. A druhým je nájsť GCD týchto čísel. Len to zvážme.

Ak chcete vypočítať LCM, musíte vypočítať súčin pôvodných čísel a potom ho rozdeliť na predtým nájdené GCD. Nájdite LCM pre rovnaké čísla 28 a 36:

1. Nájdite súčin čísel 28 a 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) je už známe ako 4
3. LCM(28,36) = 1008/4 = 252.

Hľadanie GCD a LCM pre viac čísel

Najväčší spoločný deliteľ možno nájsť pre niekoľko čísel, nielen pre dve. Na tento účel sa čísla, ktoré sa majú nájsť pre najväčšieho spoločného deliteľa, rozložia na prvočísla, potom sa nájde súčin spoločných prvočísel týchto čísel. Ak chcete nájsť GCD niekoľkých čísel, môžete použiť nasledujúci vzťah: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Podobný vzťah platí aj pre najmenší spoločný násobok čísel: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Príklad: nájdite GCD a LCM pre čísla 12, 32 a 36.

1. Najprv rozložme čísla na faktor: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Poďme nájsť spoločné faktory: 1, 2 a 2 .
3. Ich súčin dá gcd: 1 2 2 = 4
4. Teraz nájdime LCM: najprv nájdeme LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Ak chcete nájsť LCM všetkých troch čísel, musíte nájsť GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.

Zvážte riešenie nasledujúceho problému. Chlapčenský krok má 75 cm, dievčenský 60 cm, je potrebné nájsť najmenšiu vzdialenosť, na ktorú obaja urobia celočíselný počet krokov.

rozhodnutie. Celá cesta, ktorou chalani prejdú, musí byť bezo zvyšku deliteľná 60 a 70, pretože každý musí urobiť celočíselný počet krokov. Inými slovami, odpoveď musí byť násobkom 75 aj 60.

Najprv vypíšeme všetky násobky pre číslo 75. Dostaneme:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Teraz si vypíšme čísla, ktoré budú násobkom 60. Dostaneme:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Teraz nájdeme čísla, ktoré sú v oboch riadkoch.

• Spoločné násobky čísel budú čísla, 300, 600 atď.

Najmenším z nich je číslo 300. V tomto prípade sa bude volať najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60.

Ak sa vrátime k problému, najmenšia vzdialenosť, na ktorú chlapci urobia celý počet krokov, bude 300 cm. Chlapec prejde touto cestou v 4 krokoch a dievča bude musieť urobiť 5 krokov.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku

• Najmenší spoločný násobok dvoch prirodzených čísel aab je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch.

Aby sme našli najmenší spoločný násobok dvoch čísel, nie je potrebné zapisovať všetky násobky týchto čísel za sebou.

Môžete použiť nasledujúcu metódu.

Ako nájsť najmenší spoločný násobok

Najprv musíte tieto čísla rozložiť na hlavné faktory.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Teraz si zapíšme všetky faktory, ktoré sú v expanzii prvého čísla (2,2,3,5) a pripočítajme k tomu všetky chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla (5).

Výsledkom je séria prvočísel: 2,2,3,5,5. Súčin týchto čísel bude pre tieto čísla najmenej spoločným faktorom. 2*2*3*5*5 = 300.

Všeobecná schéma na nájdenie najmenšieho spoločného násobku

• 1. Rozložte čísla na prvočísla.
• 2. Napíšte hlavné faktory, ktoré sú súčasťou jedného z nich.
• 3. Pridajte k týmto faktorom všetky, ktoré sú v rozklade zvyšku, ale nie vo vybranom.
• 4. Nájdite súčin všetkých vypísaných faktorov.

Táto metóda je univerzálna. Dá sa použiť na nájdenie najmenšieho spoločného násobku ľubovoľného počtu prirodzených čísel.