Dokončené práce

TIETO PRÁCE

Veľa je už pozadu a teraz ste absolvent, ak, samozrejme, prácu napíšete načas. Ale život je taká vec, že ​​až teraz je vám jasné, že keď prestanete byť študentom, stratíte všetky študentské radosti, z ktorých mnohé ste nevyskúšali, všetko odložíte a odložíte na neskôr. A teraz sa namiesto dobiehania babreš v diplomovej práci? Existuje skvelá cesta von: stiahnite si diplomovú prácu, ktorú potrebujete, z našej webovej stránky - a okamžite budete mať veľa voľného času!
Diplomové práce boli úspešne obhájené na popredných univerzitách Kazašskej republiky.
Cena práce od 20 000 tenge

KURZ FUNGUJE

Projekt kurzu je prvou serióznou praktickou prácou. Napísaním semestrálnej práce sa začína príprava na vypracovanie absolventských projektov. Ak sa študent naučí správne uviesť obsah témy v projekte kurzu a správne ho zostaviť, nebude mať v budúcnosti problémy ani s písaním referátov, ani so zostavovaním diplomových prác, ani s vykonávaním iných praktických úloh. S cieľom pomôcť študentom pri písaní tohto typu študentskej práce a objasniť otázky, ktoré sa vynárajú pri jej príprave, vznikla táto informačná časť.
Cena práce od 2 500 tenge

MAGISTERSKÉ PRÁCE

V súčasnosti je na vysokých školách v Kazachstane a krajinách SNŠ veľmi bežný stupeň vyššieho odborného vzdelávania, ktorý nasleduje po bakalárskom stupni - magisterský stupeň. Na magistrate študujú študenti s cieľom získať magisterský titul, ktorý je vo väčšine krajín sveta uznávaný viac ako bakalársky a uznávajú ho aj zahraniční zamestnávatelia. Výsledkom prípravy na magistra je obhajoba diplomovej práce.
Poskytneme Vám aktuálny analytický a textový materiál, v cene sú zahrnuté 2 vedecké články a abstrakt.
Cena práce od 35 000 tenge

PRAXE

Po absolvovaní akéhokoľvek typu študentskej praxe (pedagogickej, priemyselnej, bakalárskeho štúdia) je potrebná správa. Tento dokument bude potvrdením praktickej práce študenta a podkladom pre vypracovanie hodnotenia za prax. Aby ste mohli zostaviť správu o stáži, musíte zvyčajne zhromaždiť a analyzovať informácie o podniku, zvážiť štruktúru a pracovný harmonogram organizácie, v ktorej sa stáž koná, zostaviť plán kalendára a opísať svoje praktické činnosti.
Pomôžeme vám napísať správu o stáži, berúc do úvahy špecifiká činnosti konkrétneho podniku.

Mechanické kmity šíriace sa v elastickom prostredí (pevnom, kvapalnom alebo plynnom) sa nazývajú mechanické alebo elastické vlny.

Proces šírenia kmitov v spojitom prostredí sa nazýva vlnový proces alebo vlnenie. Častice prostredia, v ktorom sa vlna šíri, nie sú zapojené do translačného pohybu. Len oscilujú okolo svojich rovnovážnych polôh. Spolu s vlnou sa z častice na časticu média prenáša len stav kmitavého pohybu a jeho energia. Takže hlavnou vlastnosťou všetkých vĺn, bez ohľadu na ich povahu, je prenos energie bez prenosu hmoty.

V závislosti od smeru oscilácií častíc vzhľadom na

smerom k smeru, ktorým sa vlna šíri pro-

údolie a priečne vlny.

Elastická vlna je tzv pozdĺžne, ak oscilácie častíc média nastávajú v smere šírenia vlny. Pozdĺžne vlny sú spojené s objemovým ťahovým pretvorením - stláčaním média, takže sa môžu šíriť ako v pevných látkach, tak aj

v kvapalných a plynných médiách.

Xšmykové deformácie. Túto vlastnosť majú iba pevné telesá.

λ Na obr. 6.1.1 predstavuje harmóniu

závislosť posunu všetkých častíc média od vzdialenosti od zdroja vibrácií v danom čase. Vzdialenosť medzi najbližšími časticami oscilujúcimi v rovnakej fáze sa nazýva vlnová dĺžka. Vlnová dĺžka sa tiež rovná vzdialenosti, cez ktorú sa určitá fáza kmitania šíri počas periódy kmitania

Nielen častice umiestnené pozdĺž osi 0 kmitajú X, ale súbor častíc uzavretých v určitom objeme. Geometrická poloha bodov, ku ktorým v čase dosahujú fluktuácie t, sa volá čelo vlny. Čelo vlny je povrch, ktorý oddeľuje časť priestoru už zapojenú do vlnového procesu od oblasti, v ktorej ešte nevznikli oscilácie. Lokus bodov oscilujúcich v rovnakej fáze sa nazýva vlnová plocha. Vlnová plocha môže byť nakreslená cez akýkoľvek bod v priestore pokrytom vlnovým procesom. Vlnové povrchy môžu mať akýkoľvek tvar. V najjednoduchších prípadoch majú tvar roviny alebo gule. V súlade s tým sa vlna v týchto prípadoch nazýva plochá alebo sférická. V rovinnej vlne sú vlnové plochy množinou navzájom rovnobežných rovín a v sférickej vlne sú množinou sústredných gúľ.

Rovnica rovinných vĺn

Rovnica rovinných vĺn je výraz, ktorý udáva posun oscilujúcej častice ako funkciu jej súradníc X, r, z a čas t

S=S(X,r,z,t).

(6.2.1)

Táto funkcia musí byť periodická s ohľadom na čas t, ako aj vzhľadom na súradnice X, r, z. Periodicita v čase vyplýva z toho, že vysídlenie S popisuje oscilácie častice so súradnicami X, r, z a periodicita v súradniciach vyplýva zo skutočnosti, že body vzdialené od seba vo vzdialenosti rovnajúcej sa vlnovej dĺžke oscilujú rovnakým spôsobom.

Predpokladajme, že oscilácie majú harmonický charakter a os 0 X sa zhoduje so smerom šírenia vlny. Potom budú vlnové plochy kolmé na os 0 X a keďže všetko

body vlnoplochy kmitajú rovnakým spôsobom, posunutie S bude závisieť len od súradníc X a čas t

Nájdite typ kmitania bodov v rovine zodpovedajúcej ľubovoľnej hodnote X. Aby sme išli cestou z lietadla X= 0 do roviny X, vlna potrebuje čas τ = X/υ. Preto oscilácie častíc ležiacich v rovine X, bude zaostávať v čase o τ oscilácie častíc v rovine X= 0 a bude opísaný rovnicou

S(X;t)=A cosω( t− τ)+ϕ		= A cos	ω t −	X		+ϕ		. (6.2.4)
						υ

kde ALE je amplitúda vlny; ϕ 0 - počiatočná fáza vlny (určená výberom referenčných bodov X a t).

Opravme nejakú hodnotu fázy ω( t − Xυ) +ϕ 0 = konšt.

Tento výraz definuje vzťah medzi časom t a to miesto X, v ktorom má fáza pevnú hodnotu. Odlíšením tohto výrazu dostaneme

Uveďme rovnicu rovinnej vlny symetrickú vzhľadom na

efektívne X a t vyhliadka. Za týmto účelom zavedieme hodnotu k= 2 λ π , čo je tzv

etsya vlnové číslo, ktorý môže byť reprezentovaný ako

Predpokladali sme, že amplitúda oscilácie nezávisí od X. Pri rovinnej vlne sa to pozoruje vtedy, keď vlnová energia nie je absorbovaná médiom. Pri šírení v prostredí absorbujúcom energiu intenzita vlny so vzdialenosťou od zdroja kmitov postupne klesá, t.j. pozoruje sa útlm vlny. V homogénnom prostredí k takémuto tlmeniu dochádza exponenciálne

zákona A = A 0 e −β X. Potom rovnica rovinnej vlny pre absorbujúce médium má tvar

kde r r je vektor polomeru, vlnové body; k = k ⋅n r- vlnový vektor; n r je jednotkový vektor normály k povrchu vlny.

vlnový vektor je vektor, ktorý sa v absolútnej hodnote rovná vlnovému číslu k a majúci smer normály k povrchu vlny na-

volal.
Presuňme sa od vektora polomeru bodu k jeho súradniciam X, r, z
r	r	(6.3.2)
k	⋅r=k x x+k y y+k z z.
Potom rovnica (6.3.1) nadobúda tvar
S(X,r,z;t)=A cos(ω t−k x x−k y y−k z z+ϕ 0).	(6.3.3)

Stanovme tvar vlnovej rovnice. Aby sme to dosiahli, nájdeme druhú parciálnu deriváciu vzhľadom na súradnice a čas, výraz (6.3.3)

∂ 2 S

r

r

∂t

= −ω A cos

(ω t − k ⋅ r

+ϕ 0) = −ω S;

∂ 2 S

r

r

∂X

= − k x A cos(ω t − k

⋅r

+ϕ 0) = − k x S

.

(6.3.4)

∂ 2 S

r

r

∂r

= − k y A cos

(ω t − k ⋅ r

+ϕ 0) = − k y S;

∂ 2 S

r

r

∂z

= − kz A cos(ω t − k

⋅r

+ϕ 0) = − kz S

Pridanie derivácií vzhľadom na súradnice a zohľadnenie derivácie

časom dostaneme

∂

2

2

∂

2

∂

2

S 2

+ ∂

S 2

+

S 2

= − (kx 2 + k y 2 + kz 2)S

= − k 2 S =

k

S 2 .

(6.3.5)

∂t

∂X

∂r

∂z

ω

2

Urobíme náhradu

k

=

ω 2

=

a získajte vlnovú rovnicu

ω

υ

ω

υ

∂ 2 S

+

∂ 2 S

+

∂ 2 S

=

1 ∂ 2 S

alebo

S=

1 ∂ 2 S

,

(6.3.6)

∂X 2

∂r 2

∂z 2

υ 2 ∂ t 2

υ 2 ∂ t 2

kde =

∂ 2

+

∂ 2

+

∂ 2

je Laplaceov operátor.

∂X 2

∂r 2

∂z 2

vlny sú akékoľvek poruchy stavu hmoty alebo poľa, šíriace sa v priestore v priebehu času.

Mechanický nazývané vlny, ktoré vznikajú v elastických médiách, t.j. v médiách, v ktorých vznikajú sily, ktoré bránia:

1) ťahové (kompresné) deformácie;

2) šmykové deformácie.

V prvom prípade tam pozdĺžna vlna, pri ktorej dochádza k kmitom častíc média v smere šírenia kmitov. Pozdĺžne vlny sa môžu šíriť v pevných, kvapalných a plynných telesách, pretože sú spojené s výskytom elastických síl pri zmene objem.

V druhom prípade existuje vo vesmíre priečna vlna, v ktorej častice média kmitajú v smeroch kolmých na smer šírenia vibrácií. Priečne vlny sa môžu šíriť len v pevných látkach, pretože spojené so vznikom elastických síl pri zmene formulárov telo.

Ak teleso kmitá v pružnom prostredí, pôsobí na častice prostredia, ktoré s ním susedí, a núti ich vykonávať nútené oscilácie. Prostredie v blízkosti kmitajúceho telesa sa deformuje a vznikajú v ňom elastické sily, ktoré pôsobia na častice média, ktoré sa od telesa stále viac vzďaľujú, čím ich uvoľňujú z rovnovážnej polohy. Postupom času sa do oscilačného pohybu zapája stále väčší počet častíc média.

Mechanické vlnové javy majú veľký význam pre každodenný život. Napríklad vďaka zvukovým vlnám spôsobeným elasticitou prostredia môžeme počuť. Tieto vlny v plynoch alebo kvapalinách sú kolísanie tlaku šíriace sa v danom médiu. Ako príklady mechanických vĺn možno uviesť aj: 1) vlny na vodnej hladine, kde spojenie susedných úsekov vodnej hladiny nie je spôsobené elasticitou, ale gravitáciou a silami povrchového napätia; 2) nárazové vlny z výbuchov granátov; 3) seizmické vlny - kolísanie zemskej kôry, šíriace sa z miesta zemetrasenia.

Rozdiel medzi elastickými vlnami a akýmkoľvek iným usporiadaným pohybom častíc média je v tom, že šírenie kmitov nie je spojené s prenosom látky média z jedného miesta na druhé na veľké vzdialenosti.

Lokus bodov, do ktorých oscilácie dosiahnu určitý bod v čase, sa nazývajú vpredu vlny. Čelo vlny je povrch, ktorý oddeľuje časť priestoru už zapojenú do vlnového procesu od oblasti, v ktorej ešte nevznikli oscilácie.

Lokus bodov oscilujúcich v rovnakej fáze sa nazýva vlnová plocha. Vlnová plocha môže byť nakreslená cez akýkoľvek bod v priestore pokrytom vlnovým procesom. V dôsledku toho existuje nekonečný počet vlnových plôch, zatiaľ čo v každom okamihu existuje iba jedno čelo vlny, ktoré sa neustále pohybuje. Tvar čela môže byť rôzny v závislosti od tvaru a rozmerov zdroja kmitov a vlastností média.

V prípade homogénneho a izotropného prostredia sa sférické vlnenie šíri z bodového zdroja, t.j. čelo vlny je v tomto prípade guľa. Ak je zdrojom kmitov rovina, potom sa v jej blízkosti ktorýkoľvek úsek čela vlny len málo líši od časti roviny, preto sa vlny s takýmto čelom nazývajú rovinné vlny.

Predpokladajme, že v priebehu času sa nejaký úsek vlnoplochy presunul do . Hodnota

sa nazýva rýchlosť šírenia čela vlny resp fázová rýchlosť vlny na tomto mieste.

Čiara, ktorej dotyčnica sa v každom bode zhoduje so smerom vlny v tomto bode, t.j. so smerom prenosu energie je tzv lúč. V homogénnom izotropnom prostredí je lúč priamka kolmá na čelo vlny.

Oscilácie zo zdroja môžu byť harmonické alebo neharmonické. Vlny teda vychádzajú zo zdroja monochromatické a nemonochromatické. Nemonochromatickú vlnu (obsahujúcu vibrácie rôznych frekvencií) možno rozložiť na monochromatické vlny (každá z nich obsahuje vibrácie rovnakej frekvencie). Monochromatická (sínusová) vlna je abstrakcia: takáto vlna sa musí nekonečne rozširovať v priestore a čase.

Prednáška č.9

mechanické vlny

6.1. Šírenie vibrácií v elastickom prostredí.

6.2. Rovnica rovinných vĺn.

6.3. vlnová rovnica.

6.4. Rýchlosť šírenia vlny v rôznych médiách.

Mechanické kmity šíriace sa v elastickom prostredí (pevnom, kvapalnom alebo plynnom) sa nazývajú mechanické alebo elastické vlny.

Proces šírenia kmitov v spojitom prostredí sa bežne nazýva vlnový proces alebo vlna. Častice prostredia, v ktorom sa vlna šíri, nie sú vlnením zapojené do translačného pohybu. len oscilujú okolo svojich rovnovážnych polôh. Spolu s vlnou sa z častice na časticu média prenáša len stav kmitavého pohybu a jeho energia. Pre tento dôvod hlavnou vlastnosťou všetkých vĺn, bez ohľadu na ich povahu, je prenos energie bez prenosu hmoty.

Vzhľadom na závislosť od smeru kmitov častíc vzhľadom na smer, ktorým sa vlna šíri, rozlišujeme pozdĺžne a priečne vlny.

pozdĺžne, ak oscilácie častíc média nastávajú v smere šírenia vlny. Pozdĺžne vlny sú spojené s objemovou ťahovo-kompresnou deformáciou média, preto sa môžu šíriť ako v pevných látkach, tak aj v kvapalných a plynných médiách.

Elastická vlna sa nazýva priečne, ak sa kmity častíc média vyskytujú v rovinách kolmých na smer šírenia vlny.Priečne vlny sa môžu vyskytovať len v prostredí, ktoré má tvarovú elasticitu, t.j. je schopné odolávať šmykovej deformácii. Túto vlastnosť majú iba pevné telesá.

Na obr. 6.1.1 ukazuje harmonickú šmykovú vlnu šíriacu sa pozdĺž osi 0 X. Vlnový graf udáva závislosť posunu všetkých častíc média od vzdialenosti od zdroja vibrácií v danom čase. Vzdialenosť medzi najbližšími časticami oscilujúcimi v rovnakej fáze sa nazýva vlnová dĺžka. Vlnová dĺžka sa tiež rovná tejto vzdialenosti, určitá fáza oscilácie sa počas periódy oscilácie šíri cez ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ

Nielen častice umiestnené pozdĺž osi 0 kmitajú X, ale súbor častíc uzavretých v určitom objeme. Lokalizácia bodov, do ktorých oscilácie dosiahnu v čase t, bežne nazývaný čelo vlny. Čelo vlny je povrch, ktorý oddeľuje časť priestoru už zapojenú do vlnového procesu od oblasti, v ktorej ešte nevznikli oscilácie. Lokus bodov oscilujúcich v rovnakej fáze sa nazýva vlnová plocha. Vlnová plocha môže byť nakreslená cez akýkoľvek bod v priestore pokrytom vlnovým procesom. Vlnové povrchy majú všetky tvary. V najjednoduchších prípadoch majú tvar roviny alebo gule. V súlade s tým sa vlna v týchto prípadoch nazýva plochá alebo sférická. V rovinnej vlne sú vlnové plochy množinou navzájom rovnobežných rovín a v sférickej vlne sú množinou sústredných gúľ.

Vlny

Hlavné typy vĺn sú elastické (napríklad zvukové a seizmické vlny), vlny na povrchu kvapaliny a elektromagnetické vlny (vrátane svetelných a rádiových vĺn). Charakteristickým znakom vĺn je, že pri ich šírení dochádza k prenosu energie bez prenosu hmoty. Najprv zvážte šírenie vĺn v elastickom prostredí.

Šírenie vlny v elastickom prostredí

Oscilujúce teleso umiestnené v elastickom médiu bude ťahať a uvádzať do oscilačného pohybu častice média, ktoré k nemu priliehajú. Ten zase ovplyvní susedné častice. Je jasné, že unášané častice budú fázovo zaostávať za časticami, ktoré ich strhávajú, pretože prenos kmitov z bodu do bodu sa vždy uskutočňuje konečnou rýchlosťou.

Takže oscilujúce teleso umiestnené v elastickom prostredí je zdrojom vibrácií, ktoré sa z neho šíria všetkými smermi.

Proces šírenia kmitov v prostredí sa nazýva vlna. Alebo elastická vlna je proces šírenia poruchy v elastickom prostredí .

Dejú sa vlny priečne (kmitanie prebieha v rovine kolmej na smer šírenia vlny). Patria sem elektromagnetické vlny. Dejú sa vlny pozdĺžne keď sa smer kmitania zhoduje so smerom šírenia vlny. Napríklad šírenie zvuku vzduchom. Stláčanie a riedenie častíc média nastáva v smere šírenia vĺn.

Vlny môžu mať rôzny tvar, môžu byť pravidelné a nepravidelné. Osobitný význam v teórii vĺn má harmonická vlna, t.j. nekonečná vlna, v ktorej k zmene stavu prostredia dochádza podľa sínusového alebo kosínusového zákona.

Zvážte elastické harmonické vlny . Na opis vlnového procesu sa používa množstvo parametrov. Napíšme si definície niektorých z nich. Porucha, ktorá nastala v určitom bode média v určitom časovom bode, sa šíri v elastickom prostredí určitou rýchlosťou. Vlnový proces, ktorý sa šíri zo zdroja vibrácií, pokrýva stále viac nových častí vesmíru.

Miesto bodov, do ktorých oscilácie dosiahnu určitý časový bod, sa nazýva čelo vlny alebo čelo vlny.

Čelo vlny oddeľuje časť priestoru už zapojenú do vlnového procesu od oblasti, v ktorej ešte nevznikli oscilácie.

Lokus bodov oscilujúcich v rovnakej fáze sa nazýva vlnová plocha.

Vlnových plôch môže byť veľa a v každom čase existuje iba jedno čelo vlny.

Vlnové povrchy môžu mať akýkoľvek tvar. V najjednoduchších prípadoch majú tvar roviny alebo gule. Podľa toho sa vlna v tomto prípade nazýva plochý alebo guľovitý . V rovinnej vlne sú vlnové plochy súborom navzájom rovnobežných rovín, v sférickej vlne sú súborom sústredných gúľ.

Nech sa rovinná harmonická vlna šíri rýchlosťou pozdĺž osi . Graficky je takáto vlna znázornená ako funkcia (zeta) pre pevný časový okamih a predstavuje závislosť posunu bodov s rôznymi hodnotami od rovnovážnej polohy. je vzdialenosť od zdroja vibrácií, v ktorej sa napríklad častica nachádza. Obrázok poskytuje okamžitý obraz o rozložení porúch pozdĺž smeru šírenia vlny. Nazýva sa vzdialenosť, cez ktorú sa vlna šíri za čas rovnajúci sa perióde oscilácie častíc média vlnová dĺžka .

,

kde je rýchlosť šírenia vlny.

skupinová rýchlosť

Striktne monochromatická vlna je nekonečný sled „hrbov“ a „korýt“ v čase a priestore.

Fázová rýchlosť tejto vlny, príp (2)

Pomocou takejto vlny nie je možné prenášať signál, pretože. v ktoromkoľvek bode vlny sú všetky „hrby“ rovnaké. Signál musí byť iný. Buďte znakom (štítkom) na vlne. Potom však vlna už nebude harmonická a nebude opísaná rovnicou (1). Signál (impulz) môže byť reprezentovaný podľa Fourierovej vety ako superpozícia harmonických vĺn s frekvenciami obsiahnutými v určitom intervale Dw . Superpozícia vĺn, ktoré sa navzájom málo líšia vo frekvencii

volal vlnový balík alebo vlnová skupina .

Výraz pre skupinu vĺn možno zapísať nasledovne.

(3)

Ikona w zdôrazňuje, že tieto množstvá závisia od frekvencie.

Tento vlnový balík môže byť súčtom vĺn s mierne odlišnými frekvenciami. Tam, kde sa fázy vĺn zhodujú, dochádza k zvýšeniu amplitúdy a tam, kde sú fázy opačné, dochádza k tlmeniu amplitúdy (výsledok interferencie). Takýto obrázok je znázornený na obrázku. Aby bolo možné superpozíciu vĺn považovať za skupinu vĺn, musí byť splnená nasledujúca podmienka Dw<< w 0 .

V nedisperznom médiu sa všetky rovinné vlny tvoriace vlnový balík šíria rovnakou fázovou rýchlosťou v . Disperzia je závislosť fázovej rýchlosti sínusovej vlny v médiu od frekvencie. O fenoméne disperzie sa budeme venovať neskôr v časti Vlnová optika. V neprítomnosti disperzie sa rýchlosť pohybu vlnového paketu zhoduje s fázovou rýchlosťou v . V disperznom prostredí sa každá vlna rozptýli svojou vlastnou rýchlosťou. Preto sa vlnový balík v priebehu času šíri, jeho šírka sa zväčšuje.

Ak je rozptyl malý, k šíreniu vlnového paketu nedochádza príliš rýchlo. Preto je možné pohybu celého paketu priradiť určitú rýchlosť U .

Rýchlosť, ktorou sa pohybuje stred vlnového paketu (bod s maximálnou hodnotou amplitúdy) sa nazýva skupinová rýchlosť.

V disperznom médiu v¹ U . Spolu s pohybom samotného vlnového paketu dochádza k pohybu „hrbov“ vo vnútri samotného paketu. "Hrby" sa pohybujú v priestore rýchlosťou v , a balík ako celok s rýchlosťou U .

Pozrime sa podrobnejšie na pohyb vlnového balíka pomocou príkladu superpozície dvoch vĺn s rovnakou amplitúdou a rôznymi frekvenciami. w (rôzne vlnové dĺžky l ).

Zapíšme si rovnice dvoch vĺn. Zoberme si pre jednoduchosť počiatočné fázy j0 = 0.

Tu

Nechať byť Dw<< w , resp Dk<< k .

Pridáme fluktuácie a vykonáme transformácie pomocou trigonometrického vzorca pre súčet kosínusov:

V prvom kosíne zanedbávame Dwt a Dkx , ktoré sú oveľa menšie ako iné množstvá. Učíme sa to cos(–a) = cosa . Poďme si to konečne zapísať.

(4)

Faktor v hranatých zátvorkách sa mení s časom a súradnice oveľa pomalšie ako druhý faktor. Preto výraz (4) možno považovať za rovnicu rovinnej vlny s amplitúdou opísanou prvým faktorom. Graficky je vlna opísaná výrazom (4) znázornená na obrázku vyššie.

Výsledná amplitúda sa získa ako výsledok sčítania vĺn, preto budú pozorované maximá a minimá amplitúdy.

Maximálna amplitúda bude určená nasledujúcou podmienkou.

(5)

m = 0, 1, 2…

xmax je súradnica maximálnej amplitúdy.

Kosínus preberá maximálnu hodnotu modulo p .

Každé z týchto maxím možno považovať za stred príslušnej skupiny vĺn.

Riešenie (5) vzhľadom na xmax dostať.

Od fázovej rýchlosti nazývaná skupinová rýchlosť. S touto rýchlosťou sa pohybuje maximálna amplitúda vlnového balíka. V limite bude mať výraz pre skupinovú rýchlosť nasledujúci tvar.

(6)

Tento výraz platí pre stred skupiny ľubovoľného počtu vĺn.

Treba poznamenať, že keď sa presne vezmú do úvahy všetky členy expanzie (pre ľubovoľný počet vĺn), výraz pre amplitúdu sa získa takým spôsobom, že z neho vyplýva, že vlnový balík sa šíri v čase.
Výraz pre skupinovú rýchlosť môže mať inú formu.

Preto výraz pre grupovú rýchlosť možno zapísať nasledovne.

(7)

je implicitný výraz, keďže v a k závisí od vlnovej dĺžky l .

Potom (8)

Nahraďte (7) a získajte.

(9)

Toto je takzvaný Rayleighov vzorec. J. W. Rayleigh (1842 - 1919) anglický fyzik, nositeľ Nobelovej ceny za rok 1904 za objav argónu.

Z tohto vzorca vyplýva, že v závislosti od znamienka derivácie môže byť skupinová rýchlosť väčšia alebo menšia ako fázová rýchlosť.

V neprítomnosti disperzie

Maximum intenzity pripadá na stred skupiny vĺn. Preto sa rýchlosť prenosu energie rovná skupinovej rýchlosti.

Koncept skupinovej rýchlosti je použiteľný len za podmienky, že absorpcia vĺn v médiu je malá. Pri výraznom útlme vĺn stráca pojem skupinová rýchlosť zmysel. Tento prípad je pozorovaný v oblasti anomálnej disperzie. Toto zvážime v časti Vlnová optika.

vibrácie strún

Pri vybudení priečnych vibrácií sa v napnutej strune upevnenej na oboch koncoch vytvárajú stojaté vlny a na miestach, kde je struna upevnená, sa nachádzajú uzly. Preto sú iba také vibrácie vybudené v strune so znateľnou intenzitou, ktorej polovica vlnovej dĺžky sa celočíselne zmestí na dĺžku struny.

Z toho vyplýva nasledujúca podmienka.

Alebo

(n = 1, 2, 3, …),

l- dĺžka šnúrky. Vlnové dĺžky zodpovedajú nasledujúcim frekvenciám.

(n = 1, 2, 3, …).

Fázová rýchlosť vlny je určená napätím struny a hmotnosťou na jednotku dĺžky, t.j. lineárna hustota struny.

F - napínacia sila struny, ρ" je lineárna hustota materiálu strún. Frekvencie vn volal prirodzené frekvencie struny. Prirodzené frekvencie sú násobky základnej frekvencie.

Táto frekvencia sa nazýva základná frekvencia .

Harmonické vibrácie s takýmito frekvenciami sa nazývajú prirodzené alebo normálne vibrácie. Sú tiež tzv harmonické . Vo všeobecnosti je vibrácia struny superpozíciou rôznych harmonických.

Strunové vibrácie sú pozoruhodné v tom zmysle, že podľa klasických konceptov sa pre ne získavajú diskrétne hodnoty jednej z veličín charakterizujúcich vibrácie (frekvenciu). Pre klasickú fyziku je takáto diskrétnosť výnimkou. Pre kvantové procesy je diskrétnosť skôr pravidlom ako výnimkou.

Elastická vlnová energia

Nechajte v určitom bode média v smere X šíri sa rovinná vlna.

(1)

V médiu vyčleňujeme elementárny objem ΔV takže v rámci tohto objemu je rýchlosť posunu častíc média a deformácia média konštantná.

Objem ΔV má kinetickú energiu.

(2)

(ρ ΔV je hmotnosť tohto objemu).

Tento objem má tiež potenciálnu energiu.

Pamätajme na pochopenie.

relatívny posun, α - koeficient proporcionality.

Youngov modul E = 1/a . normálne napätie T=F/S . Odtiaľ.

V našom prípade.

V našom prípade máme

(3)

Spomeňme si tiež.

Potom . Dosadíme do (3).

(4)

Za celkovú energiu, ktorú získame.

Rozdeliť podľa základného objemu ΔV a získajte objemovú hustotu energie vlny.

(5)

Získame z (1) a .

(6)

Dosadíme (6) do (5) a berieme to do úvahy . dostaneme.

Z (7) vyplýva, že hustota objemovej energie v každom časovom okamihu v rôznych bodoch priestoru je iná. V jednom bode priestoru sa W 0 mení podľa štvorcového sínusového zákona. A priemerná hodnota tejto veličiny z periodickej funkcie . V dôsledku toho je priemerná hodnota objemovej hustoty energie určená výrazom.

(8)

Výraz (8) je veľmi podobný výrazu pre celkovú energiu kmitajúceho telesa . V dôsledku toho má médium, v ktorom sa vlna šíri, rezervu energie. Táto energia sa prenáša zo zdroja kmitov do rôznych bodov média.

Množstvo energie prenášanej vlnou cez určitý povrch za jednotku času sa nazýva energetický tok.

Ak cez danú plochu v čase dt energia sa prenáša dW , potom tok energie F budú rovné.

(9)

- Merané vo wattoch.

Na charakterizáciu toku energie v rôznych bodoch priestoru sa zavádza vektorová veličina, ktorá sa nazýva hustota energetického toku . Číselne sa rovná toku energie jednotkovou plochou umiestnenou v danom bode priestoru kolmo na smer prenosu energie. Smer vektora hustoty toku energie sa zhoduje so smerom prenosu energie.

(10)

Túto charakteristiku energie prenášanej vlnou zaviedol ruský fyzik N.A. Umov (1846 - 1915) v roku 1874.

Zvážte tok energie vĺn.

Tok energie vĺn

vlnová energia

W0 je objemová hustota energie.

Potom dostaneme.

(11)

Keďže sa vlna šíri v určitom smere, dá sa zapísať.

(12)

Toto je vektor hustoty energetického toku alebo tok energie cez jednotku plochy kolmú na smer šírenia vlny za jednotku času. Tento vektor sa nazýva Umov vektor.

~ hriech 2 ωt.

Potom sa priemerná hodnota Umovho vektora bude rovnať.

(13)

Intenzita vlny – časová priemerná hodnota hustoty energetického toku prenášaného vlnou .

Samozrejme.

(14)

Respektíve.

(15)

Zvuk

Zvuk je vibrácia elastického média vnímaná ľudským uchom.

Štúdium zvuku je tzv akustika .

Fyziologické vnímanie zvuku: hlasný, tichý, vysoký, nízky, príjemný, nepríjemný - je odrazom jeho fyzických vlastností. Harmonické kmitanie určitej frekvencie je vnímané ako hudobný tón.

Frekvencia zvuku zodpovedá výške tónu.

Ucho vníma frekvenčný rozsah od 16 Hz do 20 000 Hz. Pri frekvenciách menších ako 16 Hz - infrazvuk a pri frekvenciách nad 20 kHz - ultrazvuk.

Niekoľko simultánnych zvukových vibrácií je súzvuk. Príjemná je súzvuk, nepríjemná je nesúlad. Veľké množstvo súčasne znejúcich kmitov s rôznymi frekvenciami je hluk.

Ako už vieme, intenzita zvuku sa chápe ako časovo spriemerovaná hodnota hustoty energetického toku, ktorú so sebou nesie zvuková vlna. Aby vlna vyvolala zvukový vnem, musí mať určitú minimálnu intenzitu, ktorá je tzv sluchový prah (krivka 1 na obrázku). Prah počutia je u rôznych ľudí trochu odlišný a veľmi závisí od frekvencie zvuku. Ľudské ucho je najcitlivejšie na frekvencie od 1 kHz do 4 kHz. V tejto oblasti je prah sluchu v priemere 10 -12 W/m 2 . Pri iných frekvenciách je prah počutia vyšší.

Pri intenzitách rádovo 1 ÷ 10 W/m2 prestáva byť vlna vnímaná ako zvuk a spôsobuje len pocit bolesti a tlaku v uchu. Hodnota intenzity, pri ktorej sa to deje, sa nazýva prah bolesti (krivka 2 na obrázku). Prah bolesti, podobne ako prah počutia, závisí od frekvencie.

Teda leží takmer 13 objednávok. Preto ľudské ucho nie je citlivé na malé zmeny intenzity zvuku. Aby ste pocítili zmenu hlasitosti, musí sa intenzita zvukovej vlny zmeniť aspoň o 10 ÷ 20 %. Preto sa ako charakteristika intenzity nevolí samotný akustický výkon, ale ďalšia hodnota, ktorá sa nazýva hladina akustického výkonu (alebo úroveň hlasitosti) a meria sa v beloch. Na počesť amerického elektrotechnika A.G. Bell (1847-1922), jeden z vynálezcov telefónu.

I 0 \u003d 10 -12 W / m 2 - nulová úroveň (prah počutia).

Tie. 1B = 10 ja 0 .

Používajú aj 10-krát menšiu jednotku – decibel (dB).

Pomocou tohto vzorca možno pokles intenzity (útlm) vlny po určitej dráhe vyjadriť v decibeloch. Napríklad útlm 20 dB znamená, že intenzita vlny sa zníži o faktor 100.

Celý rozsah intenzít, pri ktorých vlna vyvoláva zvukový vnem v ľudskom uchu (od 10 -12 do 10 W/m2), zodpovedá hodnotám hlasitosti od 0 do 130 dB.

Energia, ktorú zvukové vlny so sebou nesú, je extrémne malá. Napríklad na zahriatie pohára vody z izbovej teploty do varu pomocou zvukovej vlny s úrovňou hlasitosti 70 dB (v tomto prípade voda absorbuje asi 2 10 -7 W za sekundu) to bude trvať asi desať tisíc rokov.

Ultrazvukové vlny možno prijímať vo forme usmernených lúčov, podobne ako lúče svetla. Smerované ultrazvukové lúče našli široké uplatnenie v sonaroch. Myšlienku predložil francúzsky fyzik P. Langevin (1872 - 1946) počas prvej svetovej vojny (v roku 1916). Mimochodom, metóda ultrazvukovej lokalizácie umožňuje netopierovi dobrú navigáciu pri lietaní v tme.

vlnová rovnica

V oblasti vlnových procesov existujú rovnice tzv mávať , ktoré opisujú všetky možné vlny bez ohľadu na ich konkrétnu formu. Významovo je vlnová rovnica podobná základnej rovnici dynamiky, ktorá popisuje všetky možné pohyby hmotného bodu. Rovnica akejkoľvek konkrétnej vlny je riešením vlnovej rovnice. Poďme na to. Aby sme to dosiahli, dvakrát rozlišujeme vzhľadom na t a vo všetkých súradniciach rovnica rovinných vĺn .

(1)

Odtiaľto sa dostaneme.

(*)

Pridajme rovnice (2).

Poďme vymeniť X v (3) z rovnice (*). dostaneme.

Učíme sa to a získať.

, alebo . (4)

Toto je vlnová rovnica. V tejto rovnici je fázová rýchlosť, je operátor nabla alebo operátor Laplace.

Akákoľvek funkcia, ktorá spĺňa rovnicu (4), opisuje určitú vlnu a druhá odmocnina prevrátenej hodnoty koeficientu pri druhej derivácii posunu od času udáva fázovú rýchlosť vlny.

Je ľahké overiť, že vlnová rovnica je splnená rovnicami rovinných a sférických vĺn, ako aj ľubovoľnou rovnicou tvaru

Pre rovinnú vlnu, ktorá sa šíri v smere , má vlnová rovnica tvar:

.

Toto je jednorozmerná vlnová rovnica druhého rádu v parciálnych deriváciách, platná pre homogénne izotropné médiá so zanedbateľným tlmením.

Elektromagnetické vlny

Vzhľadom na Maxwellove rovnice sme si zapísali dôležitý záver, že striedavé elektrické pole generuje magnetické pole, ktoré sa tiež ukazuje ako premenlivé. Striedavé magnetické pole zase generuje striedavé elektrické pole a tak ďalej. Elektromagnetické pole je schopné existovať samostatne - bez elektrických nábojov a prúdov. Zmena stavu tohto poľa má vlnový charakter. Polia tohto druhu sú tzv elektromagnetické vlny . Existencia elektromagnetických vĺn vyplýva z Maxwellových rovníc.

Zvážte homogénne neutrálne () nevodivé () médium, napríklad pre jednoduchosť vákuum. Pre toto prostredie môžete napísať:

, .

Ak sa uvažuje o akomkoľvek inom homogénnom neutrálnom nevodivom médiu, potom je potrebné pridať a do vyššie napísaných rovníc.

Napíšme Maxwellove diferenciálne rovnice vo všeobecnom tvare.

, , , .

Pre uvažované médium majú tieto rovnice tvar:

, , ,

Tieto rovnice zapíšeme takto:

, , , .

Akékoľvek vlnové procesy musia byť opísané vlnovou rovnicou, ktorá spája druhé derivácie s ohľadom na čas a súradnice. Z vyššie napísaných rovníc môžeme jednoduchými transformáciami získať nasledujúcu dvojicu rovníc:

,

Tieto vzťahy sú identické vlnové rovnice pre polia a .

Pripomeňme, že vo vlnovej rovnici ( ) činiteľ pred druhou deriváciou na pravej strane je prevrátená hodnota druhej mocniny fázovej rýchlosti vlny. Preto, . Ukázalo sa, že vo vákuu sa táto rýchlosť elektromagnetickej vlny rovná rýchlosti svetla.

Potom vlnové rovnice pre polia a môžu byť zapísané ako

a .

Tieto rovnice naznačujú, že elektromagnetické polia môžu existovať vo forme elektromagnetických vĺn, ktorých fázová rýchlosť vo vákuu sa rovná rýchlosti svetla.

Matematická analýza Maxwellových rovníc nám umožňuje vyvodiť záver o štruktúre elektromagnetickej vlny šíriacej sa v homogénnom neutrálnom nevodivom prostredí v neprítomnosti prúdov a voľných nábojov. Najmä môžeme vyvodiť záver o vektorovej štruktúre vlny. Elektromagnetická vlna je prísne priečna vlna v tom zmysle, že vektory ho charakterizujú a kolmo na vektor rýchlosti vlny , t.j. do smeru jeho šírenia. Vektory , a , v poradí, v akom sú napísané, tvoria pravotočivá ortogonálna trojica vektorov . V prírode existujú iba pravotočivé elektromagnetické vlny a neexistujú žiadne ľavotočivé vlny. Ide o jeden z prejavov zákonov vzájomného vytvárania striedavých magnetických a elektrických polí.