Na zjednodušenie tejto rovnice sa používa najmenší spoločný menovateľ. Táto metóda sa používa, keď nemôžete napísať danú rovnicu s jedným racionálnym výrazom na každej strane rovnice (a použite metódu krížového násobenia). Táto metóda sa používa, keď dostanete racionálnu rovnicu s 3 alebo viacerými zlomkami (v prípade dvoch zlomkov je lepšie krížové násobenie).

Nájdite najmenší spoločný menovateľ zlomkov (alebo najmenší spoločný násobok). NOZ je najmenšie číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné každým menovateľom.

• Niekedy je NOZ zjavným číslom. Napríklad, ak je daná rovnica: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, potom je zrejmé, že najmenší spoločný násobok čísel 3, 2 a 6 bude 6.
• Ak NOD nie je zrejmé, zapíšte si násobky najväčšieho menovateľa a nájdite medzi nimi taký, ktorý je násobkom aj ostatných menovateľov. NOD často nájdete jednoduchým vynásobením dvoch menovateľov dohromady. Napríklad, ak je daná rovnica x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, potom NOZ = 8*9 = 72.
• Ak jeden alebo viac menovateľov obsahuje premennú, potom je proces o niečo komplikovanejší (ale nie nemožný). NOZ je v tomto prípade výraz (obsahujúci premennú), ktorý je deliteľný každým menovateľom. Napríklad v rovnici 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), pretože tento výraz je deliteľný každým menovateľom: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Vynásobte čitateľa aj menovateľa každého zlomku číslom, ktoré sa rovná výsledku delenia NOZ príslušným menovateľom každého zlomku. Keďže násobíte čitateľa aj menovateľa rovnakým číslom, v skutočnosti násobíte zlomok 1 (napríklad 2/2 = 1 alebo 3/3 = 1).

• V našom príklade teda vynásobte x/3 2/2, aby ste dostali 2x/6, a vynásobte 1/2 3/3, aby ste dostali 3/6 (3x + 1/6 nie je potrebné násobiť, pretože menovateľ je 6).
• Podobne postupujte, keď je premenná v menovateli. V našom druhom príklade NOZ = 3x(x-1), takže 5/(x-1) krát (3x)/(3x) je 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x krát 3(x-1)/3(x-1), čím získate 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) vynásobte (x-1)/(x-1) a dostanete 2(x-1)/3x(x-1).

Nájdite x. Teraz, keď ste zlomky zredukovali na spoločného menovateľa, môžete sa menovateľa zbaviť. Ak to chcete urobiť, vynásobte každú stranu rovnice spoločným menovateľom. Potom vyriešte výslednú rovnicu, to znamená nájdite "x". Ak to chcete urobiť, izolujte premennú na jednej strane rovnice.

• V našom príklade: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Môžete pridať 2 zlomky s rovnakým menovateľom, takže rovnicu napíšte ako: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Vynásobte obe strany rovnice 6 a zbavte sa menovateľov: 2x+3 = 3x +1. Vyriešte a získajte x = 2.
• V našom druhom príklade (s premennou v menovateli) rovnica vyzerá takto (po redukcii na spoločného menovateľa): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Vynásobením oboch strán rovnice NOZ sa zbavíte menovateľa a dostanete: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), alebo 15x = 3x - 3 + 2x -2, príp. 15x = x - 5 Vyriešte a dostanete: x = -5/14.

Rovnicu sme zaviedli vyššie v § 7. Najprv si pripomenieme, čo je racionálny výraz. Ide o algebraický výraz zložený z čísel a premennej x pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania s prirodzeným exponentom.

Ak je r(x) racionálny výraz, potom rovnica r(x) = 0 sa nazýva racionálna rovnica.

V praxi je však vhodnejšie použiť trochu širší výklad pojmu „racionálna rovnica“: ide o rovnicu v tvare h(x) = q(x), kde h(x) a q(x) sú racionálne prejavy.

Doteraz sme nevedeli vyriešiť žiadnu racionálnu rovnicu, ale iba jednu, ktorá sa v dôsledku rôznych transformácií a uvažovania zredukovala na lineárna rovnica. Teraz sú naše možnosti oveľa väčšie: budeme schopní vyriešiť racionálnu rovnicu, ktorá sa redukuje nielen na lineárnu
mu, ale aj ku kvadratickej rovnici.

Spomeňte si, ako sme predtým riešili racionálne rovnice a pokúste sa sformulovať algoritmus riešenia.

Príklad 1 vyriešiť rovnicu

rozhodnutie. Rovnicu prepíšeme do tvaru

V tomto prípade, ako obvykle, používame skutočnosť, že rovnosti A \u003d B a A - B \u003d 0 vyjadrujú rovnaký vzťah medzi A a B. To nám umožnilo preniesť člen na ľavú stranu rovnice s opačné znamenie.

Vykonajte transformácie ľavej strany rovnice. Máme

Spomeňte si na podmienky rovnosti zlomky nula: vtedy a len vtedy, ak sú súčasne splnené dva vzťahy:

1) čitateľ zlomku je nula (a = 0); 2) menovateľ zlomku je iný ako nula).
Čitateľ zlomku na ľavej strane rovnice (1) dostaneme rovnú nule

Zostáva skontrolovať splnenie druhej vyššie uvedenej podmienky. Pomer znamená pre rovnicu (1), že . Hodnoty x 1 = 2 a x 2 = 0,6 vyhovujú uvedeným vzťahom a slúžia teda ako korene rovnice (1) a zároveň korene danej rovnice.

1) Transformujme rovnicu do tvaru

2) Vykonajte transformácie ľavej strany tejto rovnice:

(súčasne zmenil znamienka v čitateli a
zlomky).
Daná rovnica teda nadobúda tvar

3) Riešte rovnicu x 2 - 6x + 8 = 0. Nájdite

4) Pre zistené hodnoty skontrolujte stav . Číslo 4 túto podmienku spĺňa, ale číslo 2 nie. Takže 4 je koreň danej rovnice a 2 je cudzí koreň.
odpoveď: 4.

2. Riešenie racionálnych rovníc zavedením novej premennej

Spôsob zavedenia novej premennej je vám známy, použili sme ho viackrát. Ukážme si na príkladoch, ako sa používa pri riešení racionálnych rovníc.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu x 4 + x 2 - 20 = 0.

rozhodnutie. Predstavujeme novú premennú y \u003d x 2. Pretože x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, potom je možné danú rovnicu prepísať do tvaru

y2 + y - 20 = 0.

Ide o kvadratickú rovnicu, ktorej korene nájdeme pomocou známeho vzorce; dostaneme y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ale y \u003d x 2, čo znamená, že problém bol zredukovaný na riešenie dvoch rovníc:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Z prvej rovnice zistíme, že druhá rovnica nemá korene.
Odpoveď: .
Rovnica v tvare ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 sa nazýva bikvadratická rovnica („bi“ - dva, t. j. akoby rovnica „dvojitého štvorca“). Práve vyriešená rovnica bola presne bikvadratická. Akákoľvek bikvadratická rovnica sa rieši rovnakým spôsobom ako rovnica z príkladu 3: zavedie sa nová premenná y \u003d x 2, výsledná kvadratická rovnica sa vyrieši vzhľadom na premennú y a potom sa vráti k premennej x.

Príklad 4 vyriešiť rovnicu

rozhodnutie. Všimnite si, že rovnaký výraz x 2 + 3x sa tu vyskytuje dvakrát. Preto má zmysel zaviesť novú premennú y = x 2 + Zx. To nám umožní prepísať rovnicu do jednoduchšej a príjemnejšej formy (čo je v skutočnosti účelom zavedenia nového premenlivý- a nahrávanie je jednoduchšie
a štruktúra rovnice bude jasnejšia):

A teraz použijeme algoritmus na riešenie racionálnej rovnice.

1) Presuňme všetky členy rovnice do jednej časti:

= 0
2) Transformujme ľavú stranu rovnice

Danú rovnicu sme teda pretransformovali do tvaru

3) Z rovnice - 7y 2 + 29y -4 = 0 nájdeme (vyriešili sme už pomerne veľa kvadratických rovníc, takže sa asi neoplatí vždy dávať podrobné výpočty v učebnici).

4) Skontrolujme nájdené korene pomocou podmienky 5 (y - 3) (y + 1). Obidva korene spĺňajú túto podmienku.
Takže kvadratická rovnica pre novú premennú y je vyriešená:
Pretože y \u003d x 2 + Zx a y, ako sme zistili, majú dve hodnoty: 4 a - stále musíme vyriešiť dve rovnice: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Korene prvej rovnice sú čísla 1 a - 4, korene druhej rovnice sú čísla

V uvažovaných príkladoch bol spôsob zavedenia novej premennej, ako radi hovoria matematici, adekvátny situácii, teda jej dobre zodpovedal. prečo? Áno, pretože rovnaký výraz sa v zázname rovnice jasne vyskytol niekoľkokrát a bolo rozumné označiť tento výraz novým písmenom. Ale nie vždy to tak je, niekedy sa nová premenná „objaví“ až v procese transformácií. Presne to sa stane v nasledujúcom príklade.

Príklad 5 vyriešiť rovnicu
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
rozhodnutie. Máme
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Daná rovnica sa teda dá prepísať ako

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Teraz sa "objavila" nová premenná: y = x 2 - Zx.

S jeho pomocou je možné rovnicu prepísať do tvaru y (y + 2) \u003d 24 a potom y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Korene tejto rovnice sú čísla 4 a -6.

Ak sa vrátime k pôvodnej premennej x, získame dve rovnice x 2 - Zx \u003d 4 a x 2 - Zx \u003d - 6. Z prvej rovnice nájdeme x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; druhá rovnica nemá korene.

Odpoveď: 4, - 1.

Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Cvičte úlohy a cvičenia sebaskúšanie workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavých cheat sheets učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok metodické odporúčania programu diskusie Integrované lekcie

Doteraz sme riešili len celočíselné rovnice vzhľadom na neznámu, teda také rovnice, v ktorých menovatele (ak nejaké sú) neznámu neobsahovali.

Často musíte riešiť rovnice, ktoré obsahujú neznámu v menovateľoch: takéto rovnice sa nazývajú zlomkové.

Aby sme túto rovnicu vyriešili, vynásobíme jej obe strany, to znamená polynómom obsahujúcim neznámu. Bude nová rovnica ekvivalentná danej rovnici? Aby sme odpovedali na otázku, vyriešme túto rovnicu.

Vynásobením oboch jeho strán číslom dostaneme:

Vyriešením tejto rovnice prvého stupňa zistíme:

Takže rovnica (2) má jeden koreň

Dosadením do rovnice (1) dostaneme:

Preto je tiež koreňom rovnice (1).

Rovnica (1) nemá žiadne iné korene. V našom príklade je to vidieť napríklad z toho, že v rovnici (1)

Ako sa neznámy deliteľ musí rovnať dividende 1 vydelenej podielom 2, t.j.

Takže rovnice (1) a (2) majú jeden koreň, a preto sú ekvivalentné.

2. Teraz riešime nasledujúcu rovnicu:

Najjednoduchší spoločný menovateľ: ; vynásobte ním všetky členy rovnice:

Po redukcii dostaneme:

Rozšírime zátvorky:

Prinášame podobné výrazy a máme:

Vyriešením tejto rovnice zistíme:

Dosadením do rovnice (1) dostaneme:

Na ľavej strane sme dostali výrazy, ktoré nedávajú zmysel.

Koreň rovnice (1) teda nie je. To znamená, že rovnice (1) a nie sú ekvivalentné.

V tomto prípade hovoríme, že rovnica (1) získala cudzí koreň.

Porovnajme riešenie rovnice (1) s riešením rovníc, ktoré sme uvažovali skôr (pozri § 51). Pri riešení tejto rovnice sme museli vykonať dve také operácie, ktoré sme doteraz nevideli: po prvé sme obe strany rovnice vynásobili výrazom obsahujúcim neznámu (spoločný menovateľ) a po druhé sme algebraické zlomky zredukovali o faktory obsahujúce neznámy.

Pri porovnaní rovnice (1) s rovnicou (2) vidíme, že nie všetky hodnoty x platné pre rovnicu (2) sú platné pre rovnicu (1).

Práve čísla 1 a 3 nie sú prípustnými hodnotami neznámej pre rovnicu (1) a v dôsledku transformácie sa stali prípustnými pre rovnicu (2). Jedno z týchto čísel sa ukázalo byť riešením rovnice (2), ale, samozrejme, nemôže byť riešením rovnice (1). Rovnica (1) nemá žiadne riešenia.

Tento príklad ukazuje, že pri vynásobení oboch častí rovnice faktorom obsahujúcim neznámu a pri redukcii algebraických zlomkov možno získať rovnicu, ktorá nie je ekvivalentná danej rovnici, a to: môžu sa objaviť cudzie korene.

Preto vyvodíme nasledujúci záver. Pri riešení rovnice obsahujúcej v menovateli neznámu treba výsledné korene skontrolovať dosadením do pôvodnej rovnice. Cudzie korene sa musia zlikvidovať.

Už sme sa naučili riešiť kvadratické rovnice. Rozšírme teraz študované metódy na racionálne rovnice.

Čo je to racionálne vyjadrenie? S týmto konceptom sme sa už stretli. Racionálne výrazy nazývané výrazy zložené z čísel, premenných, ich stupňov a znakov matematických operácií.

Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami tvaru: , kde - racionálne prejavy.

Predtým sme zvažovali iba tie racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na lineárne. Teraz zvážime tie racionálne rovnice, ktoré možno zredukovať na kvadratické.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: .

rozhodnutie:

Zlomok je 0 práve vtedy, ak jeho čitateľ je 0 a jeho menovateľ nie je 0.

Získame nasledujúci systém:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica. Pred riešením vydelíme všetky jeho koeficienty 3. Dostaneme:

Získame dva korene: ; .

Keďže 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: . Pretože žiadny z koreňov rovnice získanej vyššie nezodpovedá neplatným hodnotám premennej, ktoré boli získané pri riešení druhej nerovnosti, sú obe riešeniami tejto rovnice.

odpoveď:.

Poďme teda sformulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu tak, aby na pravej strane bola 0.

2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Výsledný zlomok prirovnajte k 0 podľa nasledujúceho algoritmu: .

4. Napíšte tie korene, ktoré sú získané v prvej rovnici a ako odpoveď spĺňajú druhú nerovnosť.

Pozrime sa na ďalší príklad.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: .

rozhodnutie

Hneď na začiatku prenesieme všetky pojmy na ľavú stranu tak, aby na pravej strane zostala 0. Dostaneme:

Teraz privedieme ľavú stranu rovnice k spoločnému menovateľovi:

Táto rovnica je ekvivalentná systému:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica.

Koeficienty tejto rovnice: . Vypočítame diskriminant:

Získame dva korene: ; .

Teraz riešime druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak žiadny z faktorov nie je rovný 0.

Musia byť splnené dve podmienky: . Dostaneme, že z dvoch koreňov prvej rovnice je vhodný iba jeden - 3.

odpoveď:.

V tejto lekcii sme si pripomenuli, čo je to racionálny výraz, a tiež sme sa naučili riešiť racionálne rovnice, ktoré sú redukované na kvadratické rovnice.

V ďalšej lekcii budeme uvažovať o racionálnych rovniciach ako o modeloch reálnych situácií a tiež o pohybových problémoch.

Bibliografia

1. Bašmakov M.I. Algebra, 8. ročník. - M.: Osveta, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a kol., Algebra, 8. 5. vydanie. - M.: Vzdelávanie, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. ročník. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2006.

1. Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Domáca úloha

T. Kosyakova,
škola č. 80, Krasnodar

Riešenie kvadratických a zlomkovo-racionálnych rovníc obsahujúcich parametre

Lekcia 4

Téma lekcie:

Účel lekcie: formovať schopnosť riešiť zlomkovo-racionálne rovnice obsahujúce parametre.

Typ lekcie: uvedenie nového materiálu.

1. (Ústne.) Riešte rovnice:

Príklad 1. Vyriešte rovnicu

rozhodnutie.

Nájdite neplatné hodnoty a:

Odpoveď. Ak ak a = – 19 , potom nie sú žiadne korene.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu

rozhodnutie.

Nájdite neplatné hodnoty parametrov a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odpoveď. Ak a = 5 a № 5 , potom x=10– a .

Príklad 3. Pri akých hodnotách parametra b rovnica Má:

a) dva korene b) jediný koreň?

rozhodnutie.

1) Nájdite neplatné hodnoty parametrov b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 alebo b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 alebo b = – 2.

2) Vyriešte rovnicu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D = 4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

a)

Vrátane neplatných hodnôt parametrov b , dostaneme, že rovnica má dva korene, ak b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ale toto je neplatná hodnota parametra b ; ak b 2 –1=0 , t.j. b=1 alebo.

Odpoveď: a) ak b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , potom dva korene; b) ak b=1 alebo b = -1 , potom jediný koreň.

Samostatná práca

možnosť 1

Riešte rovnice:

Možnosť 2

Riešte rovnice:

Odpovede

V 1. A keď a=3 , potom nie sú žiadne korene; ak b) ak ak a № 2 , potom nie sú žiadne korene.

V 2. Ak a=2 , potom nie sú žiadne korene; ak a=0 , potom nie sú žiadne korene; ak
b) ak a=– 1 , potom rovnica stráca svoj význam; ak potom nie sú žiadne korene;
ak

Domáca úloha.

Riešte rovnice:

Odpovede: a) Ak a № –2 , potom x= a ; ak a=–2 , potom neexistujú žiadne riešenia; b) ak a № –2 , potom x=2; ak a=–2 , potom neexistujú žiadne riešenia; c) ak a=–2 , potom X- akékoľvek iné číslo ako 3 ; ak a № –2 , potom x=2; d) ak a=–8 , potom nie sú žiadne korene; ak a=2 , potom nie sú žiadne korene; ak

5. lekcia

Téma lekcie:"Riešenie zlomkovo-racionálnych rovníc obsahujúcich parametre".

Ciele lekcie:

naučiť sa riešiť rovnice s neštandardnou podmienkou;
vedomá asimilácia študentov algebraických pojmov a vzťahov medzi nimi.

Typ lekcie: systematizácia a zovšeobecňovanie.

Kontrola domácich úloh.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu

a) vzhľadom na x; b) vzhľadom na y.

rozhodnutie.

a) Nájdite neplatné hodnoty r: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– neplatná hodnota parametra r.

Ak r№ 0 , potom x=y-2; ak y=0, potom rovnica stráca zmysel.

b) Nájdite neplatné hodnoty parametrov X: y=x, 2x–x 2 +x 2 = 0, x=0– neplatná hodnota parametra X; y(2+x-y)=0, y=0 alebo y=2+x;

y=0 nespĺňa podmienku y(y–x)№ 0 .

Odpoveď: a) ak y=0, potom rovnica stráca svoj význam; ak r№ 0 , potom x=y-2; b) ak x=0 X№ 0 , potom y=2+x .

Príklad 2. Pre aké celočíselné hodnoty parametra a sú korene rovnice patria do intervalu

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Ak a № 0 alebo a № – 1 , potom

odpoveď: 5 .

Príklad 3. Nájsť relatívne X celé riešenia rovnice

Odpoveď. Ak y=0, potom rovnica nedáva zmysel; ak y=-1, potom X- akékoľvek celé číslo iné ako nula; ak y# 0, y# – 1, potom neexistujú žiadne riešenia.

Príklad 4 Vyriešte rovnicu s parametrami a a b .

Ak a№ – b , potom

Odpoveď. Ak a= 0 alebo b= 0 , potom rovnica stráca svoj význam; ak a№ 0,b№ 0, a = -b , potom X- akékoľvek číslo iné ako nula; ak a№ 0,b№ 0,a№ -b potom x=-a, x=-b .

Príklad 5. Dokážte, že pre akúkoľvek nenulovú hodnotu parametra n platí rovnica má jeden koreň rovný – n .

rozhodnutie.

t.j. x=-n, čo sa malo dokázať.

Domáca úloha.

1. Nájdite celé riešenia rovnice

2. Pri akých hodnotách parametra c rovnica Má:
a) dva korene b) jediný koreň?

3. Nájdite všetky celé korene rovnice ak a O N .

4. Vyriešte rovnicu 3xy - 5x + 5y = 7: a) relatívne r; b) relatívne X .

1. Rovnica je splnená ľubovoľným celým číslom rovným hodnotám x a y iným ako nula.
2. a) Kedy
b) pri alebo
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ak potom nie sú korene; ak
b) ak potom neexistujú žiadne korene; ak

Test

možnosť 1

1. Určte typ rovnice 7c(c + 3)x2 +(c–2)x–8=0 pri: a) c = -3; b) c = 2; v) c=4 .

2. Riešte rovnice: a) x2 –bx=0; b) cx 2 – 6x+1=0; v)

3. Vyriešte rovnicu 3x-xy-2y=1:

a) relatívne X ;
b) relatívne r .

nx 2 – 26x + n \u003d 0, vediac, že ​​parameter n nadobúda iba celočíselné hodnoty.

5. Pre aké hodnoty b platí rovnica Má:

a) dva korene
b) jediný koreň?

Možnosť 2

1. Určte typ rovnice 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 pri: a) c = -4; b) c = 7; v) c = 1 .

2. Riešte rovnice: a) y2+cy=0; b) ny2 – 8y+2=0; v)

3. Vyriešte rovnicu 6x-xy+2y=5:

a) relatívne X ;
b) relatívne r .

4. Nájdite celočíselné korene rovnice nx 2 -22x+2n=0, vediac, že ​​parameter n nadobúda iba celočíselné hodnoty.

5. Pre aké hodnoty parametra je rovnica Má:

a) dva korene
b) jediný koreň?

Odpovede

V 1. 1. a) Lineárna rovnica;
b) neúplná kvadratická rovnica; c) kvadratickú rovnicu.
2. a) Ak b = 0, potom x=0; ak b#0, potom x = 0, x = b;
b) ak cО (9;+Ґ ), potom nie sú žiadne korene;
c) ak a=–4 , potom rovnica stráca svoj význam; ak a№ –4 , potom x=- a .
3. a) Ak y=3, potom nie sú žiadne korene; ak);
b) a=–3, a=1.

Ďalšie úlohy

Riešte rovnice:

Literatúra

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametroch od úplného začiatku. - Doučovateľ, č. 2/1991, s. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Nevyhnutné podmienky v úlohách s parametrami. – Kvant, č. 11/1991, s. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Riešenie problémov s parametrami. Časť 2. - M., Perspektíva, 1990, s. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Päťstoštrnásť úloh s parametrami. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Úlohy s parametrami. - M., Vzdelávanie, 1986.