V článku si ukážeme ako riešiť zlomky s jednoduchými jasnými príkladmi. Poďme pochopiť, čo je zlomok a zvážiť riešenie zlomkov!

koncepcie zlomky sa zavádza do kurzu matematiky od 6. ročníka strednej školy.

Zlomky vyzerajú takto: ±X / Y, kde Y je menovateľ, hovorí, na koľko častí bol celok rozdelený, a X je čitateľ, hovorí, koľko takýchto častí bolo prevzatých. Pre prehľadnosť si uveďme príklad s koláčom:

V prvom prípade sa torta prekrojila rovnako a odobrala sa jedna polovica, t.j. 1/2. V druhom prípade sa torta rozrezala na 7 častí, z ktorých sa odobrali 4 časti, t.j. 7. 4.

Ak časť delenia jedného čísla druhým nie je celé číslo, zapíše sa ako zlomok.

Napríklad výraz 4:2 \u003d 2 dáva celé číslo, ale 4:7 nie je úplne deliteľné, takže tento výraz je napísaný ako zlomok 4/7.

Inými slovami zlomok je výraz, ktorý označuje delenie dvoch čísel alebo výrazov a ktorý sa píše s lomkou.

Ak je čitateľ menší ako menovateľ, zlomok je správny, ak naopak, je nesprávny. Zlomok môže obsahovať celé číslo.

Napríklad 5 celých 3/4.

Tento záznam znamená, že na získanie celých 6 nestačí jedna časť zo štyroch.

Ak si chcete zapamätať ako riešiť zlomky pre 6. ročník musíš tomu rozumieť riešenie zlomkov v podstate ide o pochopenie niekoľkých jednoduchých vecí.

• Zlomok je v podstate výraz pre zlomok. Teda číselné vyjadrenie toho, aká časť je daná hodnota z jedného celku. Napríklad zlomok 3/5 vyjadruje, že ak niečo celé rozdelíme na 5 častí a počet častí alebo častí tohto celku je tri.
• Zlomok môže byť menší ako 1, napríklad 1/2 (alebo v podstate polovica), potom je to správne. Ak je zlomok väčší ako 1, napríklad 3/2 (tri polovice alebo jeden a pol), tak je to nesprávne a pre zjednodušenie riešenia je pre nás lepšie vybrať celú časť 3/2= 1 celok 1 /2.
• Zlomky sú rovnaké čísla ako 1, 3, 10 a dokonca aj 100, len čísla nie sú celé, ale zlomkové. S nimi môžete vykonávať všetky rovnaké operácie ako s číslami. Počítanie zlomkov nie je zložitejšie a ďalej si to ukážeme na konkrétnych príkladoch.

Ako riešiť zlomky. Príklady.

Na zlomky sa dajú použiť rôzne aritmetické operácie.

Privedenie zlomku k spoločnému menovateľovi

Napríklad musíte porovnať zlomky 3/4 a 4/5.

Na vyriešenie problému najprv nájdeme najnižšieho spoločného menovateľa, t.j. najmenšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné každým z menovateľov zlomkov

Najmenší spoločný menovateľ (4,5) = 20

Potom sa menovateľ oboch zlomkov zredukuje na najmenší spoločný menovateľ

Odpoveď: 15/20

Sčítanie a odčítanie zlomkov

Ak je potrebné vypočítať súčet dvoch zlomkov, najskôr sa privedú k spoločnému menovateľovi, potom sa pridajú čitatelia, pričom menovateľ zostáva nezmenený. Rozdiel zlomkov sa zvažuje podobným spôsobom, jediný rozdiel je v tom, že čitatelia sa odčítajú.

Napríklad musíte nájsť súčet zlomkov 1/2 a 1/3

Teraz nájdite rozdiel medzi zlomkami 1/2 a 1/4

Násobenie a delenie zlomkov

Tu je riešenie zlomkov jednoduché, tu je všetko celkom jednoduché:

• Násobenie – čitatelia a menovatelia zlomkov sa medzi sebou násobia;
• Delenie - najprv dostaneme zlomok, prevrátenú druhú zlomok, t.j. zameníme jeho čitateľa a menovateľa, po čom výsledné zlomky vynásobíme.

Napríklad:

Na tomto o ako riešiť zlomky, všetky. Ak máte akékoľvek otázky týkajúce sa riešenie zlomkov, niečo nie je jasné, napíšte do komentárov a my vám odpovieme.

Ak ste učiteľ, potom je možné stiahnuť si prezentáciu pre základnú školu (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html), ktorá sa vám bude hodiť.

Tento článok je všeobecným pohľadom na operácie so zlomkami. Tu formulujeme a zdôvodňujeme pravidlá sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania zlomkov všeobecného tvaru A/B , kde A a B sú nejaké čísla, číselné výrazy alebo výrazy s premennými. Ako obvykle, materiál dodáme vysvetľujúcimi príkladmi s podrobným popisom riešení.

Navigácia na stránke.

Pravidlá vykonávania operácií s číselnými zlomkami všeobecného tvaru

Dohodnime sa, že všeobecné číselné zlomky sú zlomky, v ktorých čitateľ a/alebo menovateľ môže byť reprezentovaný nielen prirodzenými číslami, ale aj inými číslami alebo číselnými výrazmi. Pre prehľadnosť uvádzame niekoľko príkladov takýchto zlomkov: .

Poznáme pravidlá, podľa ktorých . Podľa rovnakých pravidiel môžete vykonávať operácie so zlomkami všeobecného tvaru:

Zdôvodnenie pravidiel

Na zdôvodnenie platnosti pravidiel vykonávania akcií so všeobecnými číselnými zlomkami je možné vychádzať z nasledujúcich bodov:

• zlomková čiara je v podstate deliaci znak,
• delenie nejakým nenulovým číslom možno považovať za násobenie prevrátenou hodnotou deliteľa (toto hneď vysvetľuje pravidlo delenia zlomkov),
• vlastnosti akcií s reálnymi číslami,
• a jeho všeobecné chápanie,

Umožňujú vám vykonávať nasledujúce transformácie, ktoré odôvodňujú pravidlá pre sčítanie, odčítanie zlomkov s rovnakými a rôznymi menovateľmi, ako aj pravidlo pre násobenie zlomkov:

Príklady

Uveďme príklady vykonania akcie so zlomkami všeobecného tvaru podľa pravidiel naučených v predchádzajúcom odseku. Povedzme si hneď, že zvyčajne po vykonaní akcií so zlomkami si výsledný zlomok vyžaduje zjednodušenie a proces zjednodušenia zlomku je často komplikovanejší ako vykonanie predchádzajúcich akcií. Nebudeme sa zaoberať zjednodušením zlomkov (príslušné transformácie sú popísané v článku Transformácia zlomkov), aby sme neboli odvedení od témy, ktorá nás zaujíma.

Začnime príkladmi sčítania a odčítania zlomkov s rovnakými menovateľmi. Začnime sčítaním zlomkov a . Je zrejmé, že menovatelia sú si rovní. Podľa príslušného pravidla zapíšeme zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčtu čitateľov pôvodných zlomkov, a menovateľa necháme rovnakého, máme . Pridanie je hotové, zostáva zjednodušiť výslednú frakciu: . takze .

Rozhodnutie bolo možné vykonať iným spôsobom: najprv vykonajte prechod na bežné zlomky a potom vykonajte sčítanie. S týmto prístupom máme .

Teraz odpočítajte od zlomku zlomok . Menovatelia zlomkov sú si rovní, preto postupujeme podľa pravidla pre odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi:

Prejdime na príklady sčítania a odčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi. Tu je hlavný problém priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi. Pre zlomky všeobecného tvaru ide o pomerne rozsiahlu tému, podrobne ju rozoberieme v samostatnom článku. redukcia zlomkov na spoločného menovateľa. Zatiaľ sa obmedzíme na niekoľko všeobecných odporúčaní, pretože v súčasnosti nás viac zaujíma technika vykonávania akcií so zlomkami.

Vo všeobecnosti je proces podobný redukcii na spoločného menovateľa obyčajných zlomkov. To znamená, že menovatele sú prezentované ako produkty, potom sa zoberú všetky faktory z menovateľa prvého zlomku a k nim sa pridajú chýbajúce faktory z menovateľa druhého zlomku.

Keď menovatelia sčítaných alebo odčítaných zlomkov nemajú spoločné faktory, potom je logické brať ich súčin ako spoločného menovateľa. Vezmime si príklad.

Povedzme, že potrebujeme sčítať zlomky a 1/2. Tu ako spoločného menovateľa je logické brať súčin menovateľov pôvodných zlomkov, teda . V tomto prípade bude dodatočný faktor pre prvý zlomok 2 . Po vynásobení čitateľa a menovateľa ním získa zlomok tvar . A pre druhý zlomok je ďalším faktorom výraz. S jeho pomocou sa zlomok 1/2 zredukuje na formu. Zostáva pridať výsledné zlomky s rovnakými menovateľmi. Tu je zhrnutie celého riešenia:

Pri zlomkoch všeobecného tvaru už nehovoríme o najmenšom spoločnom menovateľovi, na ktorý sa obyčajné zlomky zvyčajne redukujú. Aj keď v tejto veci je stále žiaduce snažiť sa o nejaký minimalizmus. Tým chceme povedať, že netreba hneď brať za spoločného menovateľa súčin menovateľov pôvodných zlomkov. Napríklad nie je vôbec potrebné brať spoločného menovateľa zlomkov a súčinu . Tu ako spoločného menovateľa môžeme brať .

Obrátime sa na príklady násobenia zlomkov všeobecného tvaru. Vynásobte zlomky a . Pravidlo na vykonanie tejto akcie nám hovorí, aby sme zapísali zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov pôvodných zlomkov a menovateľ je súčinom menovateľov. Máme . Tu, ako v mnohých iných prípadoch pri násobení zlomkov, môžete zlomok znížiť: .

Pravidlo delenia zlomkov vám umožňuje prejsť od delenia k násobeniu reciprokou. Tu si musíte pamätať, že ak chcete získať zlomok prevrátený k danému zlomku, musíte vymeniť čitateľa a menovateľa tohto zlomku. Tu je príklad prechodu od delenia všeobecných zlomkov k násobeniu: . Zostáva vykonať násobenie a zjednodušiť výsledný zlomok (ak je to potrebné, pozri transformáciu iracionálnych výrazov):

Na záver informácií v tomto odseku pripomíname, že každé číslo alebo číselný výraz možno znázorniť ako zlomok s menovateľom 1, preto sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie čísla a zlomku možno považovať za vykonanie zodpovedajúcej akcie s zlomky, z ktorých jeden má v menovateli jednotku . Napríklad nahradenie vo výraze odmocnine troch zlomkov, prejdeme od násobenia zlomku číslom k násobeniu dvoch zlomkov: .

Vykonávanie operácií so zlomkami obsahujúcimi premenné

Pravidlá z prvej časti tohto článku platia aj pre vykonávanie operácií so zlomkami, ktoré obsahujú premenné. Zdôvodňujeme prvý z nich - pravidlo na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi, ostatné sa dokazujú úplne rovnakým spôsobom.

Dokážme, že pre ľubovoľné výrazy A , C a D (D je zhodne nenulové) máme rovnosť na svojom rozsahu prijateľných hodnôt premenných.

Zoberme si niekoľko premenných z ODZ. Nech výrazy A, C a D nadobúdajú hodnoty a 0, c 0 a d 0 pre tieto hodnoty premenných. Potom dosadením hodnôt premenných z vybranej množiny do výrazu sa z neho stane súčet (rozdiel) číselných zlomkov s rovnakými menovateľmi tvaru , ktorý podľa pravidla sčítania (odčítania) číselných zlomkov s rovnakých menovateľov, sa rovná . Nahradením hodnôt premenných z vybranej množiny do výrazu sa však zmení na rovnaký zlomok. To znamená, že pre vybranú množinu premenných hodnôt z ODZ sú hodnoty výrazov a rovnaké. Je jasné, že hodnoty týchto výrazov budú rovnaké pre akúkoľvek inú množinu hodnôt premenných z ODZ, čo znamená, že výrazy a sú identicky rovnaké, to znamená, že dokazovaná rovnosť je pravdivá. .

Príklady sčítania a odčítania zlomkov s premennými

Keď sú menovatelia zlomkov, ktoré sa sčítajú alebo odčítajú, rovnaké, potom je všetko celkom jednoduché - čitatelia sa sčítajú alebo odčítajú a menovateľ zostáva rovnaký. Je zrejmé, že frakcia získaná potom je zjednodušená, ak je to potrebné a možné.

Všimnite si, že niekedy sa menovatelia zlomkov líšia len na prvý pohľad, no v skutočnosti ide o identicky rovnaké výrazy, ako napr. a , alebo a . A niekedy stačí počiatočné zlomky zjednodušiť, aby sa „objavili“ ich identické menovatele.

Príklad.

, b) , v) .

rozhodnutie.

a) Potrebujeme odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Podľa zodpovedajúceho pravidla necháme menovateľa rovnakého a odčítame čitateľov, máme . Akcia vykonaná. Stále však môžete otvoriť zátvorky v čitateli a uviesť podobné výrazy: .

b) Je zrejmé, že menovatele sčítaných zlomkov sú rovnaké. Čitateľov teda sčítame a menovateľa necháme rovnaký: . Pridávanie dokončené. Je však ľahké vidieť, že výsledný zlomok možno znížiť. Čitateľ výsledného zlomku môže byť skutočne znížený o druhú mocninu súčtu ako (lgx + 2) 2 (pozri skrátené vzorce pre násobenie), takže dochádza k nasledujúcim transformáciám: .

c) Zlomky v súčte majú rôznych menovateľov. Prevedením jedného zo zlomkov však môžete pristúpiť k pridávaniu zlomkov s rovnakými menovateľmi. Ukážeme dve riešenia.

Prvý spôsob. Menovateľ prvého zlomku možno rozdeliť pomocou vzorca rozdielu štvorcov a potom tento zlomok znížiť: . Teda, . Nezaškodí zbaviť sa iracionality v menovateli zlomku: .

Druhý spôsob. Vynásobením čitateľa a menovateľa druhého zlomku (tento výraz nezmizne pre žiadne hodnoty premennej x z DPV pre pôvodný výraz) vám umožní dosiahnuť dva ciele naraz: zbaviť sa iracionality a prejsť na sčítanie zlomky s rovnakými menovateľmi. Máme

odpoveď:

a) , b) , v) .

Posledný príklad nás priviedol k otázke privedenia zlomkov k spoločnému menovateľovi. Tam sme sa takmer náhodou dostali k rovnakým menovateľom, zjednodušujúc jeden zo sčítaných zlomkov. Ale vo väčšine prípadov pri sčítaní a odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi treba zlomky cielene priviesť k spoločnému menovateľovi. Na tento účel sa menovatelia zlomkov zvyčajne prezentujú ako produkty, všetky faktory sa prevezmú z menovateľa prvého zlomku a k nim sa pridajú chýbajúce faktory z menovateľa druhého zlomku.

Príklad.

Vykonajte akcie so zlomkami: a) , b), c) .

rozhodnutie.

a) S menovateľmi zlomkov netreba nič robiť. Ako spoločného menovateľa berieme produkt . V tomto prípade je dodatočným faktorom pre prvý zlomok výraz a pre druhý zlomok - číslo 3. Tieto dodatočné faktory prinášajú zlomky do spoločného menovateľa, ktorý nám ďalej umožňuje vykonať akciu, ktorú potrebujeme, máme

b) V tomto príklade sú menovatelia už prezentovaní ako produkty a nie sú potrebné žiadne ďalšie transformácie. Je zrejmé, že faktory v menovateľoch sa líšia iba v exponentoch, preto ako spoločného menovateľa berieme súčin faktorov s najväčšími exponentmi, tj. . Potom bude dodatočný faktor pre prvý zlomok x 4 a pre druhý - ln(x+1) . Teraz sme pripravení odčítať zlomky:

c) A v tomto prípade na začiatok budeme pracovať s menovateľmi zlomkov. Vzorce rozdielu štvorcov a druhej mocniny súčtu umožňujú prejsť od pôvodného súčtu k výrazu . Teraz je jasné, že tieto zlomky možno zredukovať na spoločného menovateľa . S týmto prístupom bude riešenie vyzerať takto:

odpoveď:

a)

b)

v)

Príklady násobenia zlomkov s premennými

Násobením zlomkov sa získa zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov pôvodných zlomkov a menovateľ je súčinom menovateľov. Tu, ako vidíte, je všetko známe a jednoduché a môžeme len dodať, že frakcia získaná v dôsledku tejto akcie sa často znižuje. V týchto prípadoch sa znižuje, pokiaľ to, samozrejme, nie je nevyhnutné a opodstatnené.

Tento článok sa zaoberá operáciami so zlomkami. Vytvoria sa a zarovnajú sa pravidlá pre sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie alebo umocňovanie zlomkov tvaru A B, kde A a B môžu byť čísla, číselné výrazy alebo výrazy s premennými. Na záver sa zvážia príklady riešení s podrobným popisom.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pravidlá vykonávania operácií s číselnými zlomkami všeobecného tvaru

Číselné zlomky všeobecného tvaru majú čitateľa a menovateľa, v ktorých sú prirodzené čísla alebo číselné výrazy. Ak vezmeme do úvahy také zlomky ako 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , potom je zrejmé, že čitateľ a menovateľ môže mať nielen čísla, ale aj vyjadrenia iného plánu.

Definícia 1

Existujú pravidlá, podľa ktorých sa akcie vykonávajú s obyčajnými zlomkami. Je vhodný aj pre zlomky všeobecného tvaru:

• Pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi sa pridávajú iba čitatelia a menovateľ zostáva rovnaký, konkrétne: a d ± c d \u003d a ± c d, hodnoty a, c a d ≠ 0 sú nejaké čísla alebo číselné výrazy.
• Pri pridávaní alebo odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné znížiť na spoločný a potom pridať alebo odčítať výsledné zlomky s rovnakými ukazovateľmi. Doslova to vyzerá takto a b ± c d = a p ± c r s , kde hodnoty a, b ≠ 0, c , d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 sú reálne čísla a b p = d r = s. Keď p = d a r = b, potom a b ± c d = a d ± c d b d.
• Pri násobení zlomkov sa vykoná akcia s čitateľmi, po ktorej s menovateľmi dostaneme a b c d \u003d a c b d, kde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 pôsobia ako reálne čísla.
• Pri delení zlomku zlomkom vynásobíme prvý druhým prevráteným, to znamená, že vymeníme čitateľa a menovateľa: a b: c d \u003d a b d c.

Zdôvodnenie pravidiel

Definícia 2

Existujú nasledujúce matematické body, na ktoré by ste sa mali pri výpočte spoliehať:

• zlomková čiara znamená deliaci znak;
• delenie číslom sa považuje za násobenie jeho recipročným;
• aplikácia vlastnosti akcií s reálnymi číslami;
• aplikácia základnej vlastnosti zlomku a číselných nerovností.

S ich pomocou môžete vykonávať transformácie formulára:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Príklady

V predchádzajúcom odseku bolo povedané o akciách so zlomkami. Potom je potrebné zlomok zjednodušiť. Táto téma bola podrobne diskutovaná v časti o prevode zlomkov.

Najprv zvážte príklad sčítania a odčítania zlomkov s rovnakým menovateľom.

Príklad 1

Dané zlomky 8 2 , 7 a 1 2 , 7 , potom podľa pravidla treba doplniť čitateľa a prepísať menovateľa.

rozhodnutie

Potom dostaneme zlomok tvaru 8 + 1 2 , 7 . Po vykonaní sčítania dostaneme zlomok tvaru 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Takže 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

odpoveď: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Existuje aj iný spôsob riešenia. Na začiatok sa vykoná prechod do formy obyčajnej frakcie, po ktorej vykonáme zjednodušenie. Vyzerá to takto:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Príklad 2

Odčítajme od 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 zlomky tvaru 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Keďže sú dané rovnaké menovatele, znamená to, že počítame zlomok s rovnakým menovateľom. Chápeme to

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Existujú príklady výpočtu zlomkov s rôznymi menovateľmi. Dôležitým bodom je redukcia na spoločného menovateľa. Bez toho nebudeme môcť vykonávať ďalšie akcie so zlomkami.

Proces vzdialene pripomína redukciu na spoločného menovateľa. To znamená, že sa hľadá najmenší spoločný deliteľ v menovateli a potom sa chýbajúce faktory pridajú k zlomkom.

Ak pridané frakcie nemajú žiadne spoločné faktory, ich produkt sa môže stať jedným.

Príklad 3

Zoberme si príklad sčítania zlomkov 2 3 5 + 1 a 1 2 .

rozhodnutie

V tomto prípade je spoločný menovateľ súčinom menovateľov. Potom dostaneme, že 2 · 3 5 + 1 . Potom pri nastavovaní ďalších faktorov máme, že k prvému zlomku sa rovná 2 a k druhému 3 5 + 1. Po vynásobení sa zlomky zredukujú na tvar 4 2 3 5 + 1. Všeobecné obsadenie 1 2 bude 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Pridáme výsledné zlomkové výrazy a dostaneme to

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

odpoveď: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Keď máme čo do činenia so zlomkami všeobecného tvaru, potom ten najmenší spoločný menovateľ zvyčajne neplatí. Je nerentabilné brať ako menovateľ súčin čitateľov. Najprv musíte skontrolovať, či existuje číslo, ktoré má nižšiu hodnotu ako ich produkt.

Príklad 4

Uvažujme o príklade 1 6 2 1 5 a 1 4 2 3 5, keď sa ich súčin rovná 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Potom vezmeme 12 · 2 3 5 ako spoločného menovateľa.

Zvážte príklady násobenia zlomkov všeobecného tvaru.

Príklad 5

Na tento účel je potrebné vynásobiť 2 + 1 6 a 2 · 5 3 · 2 + 1.

rozhodnutie

Podľa pravidla je potrebné prepísať a zapísať ako menovateľ súčin čitateľov. Dostaneme, že 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Keď sa zlomok vynásobí, možno ho znížiť, aby sa to zjednodušilo. Potom 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Pomocou pravidla prechodu od delenia k násobeniu prevrátenou dostaneme prevrátenú hodnotu daného. Na tento účel sa čitateľ a menovateľ obrátia. Pozrime sa na príklad:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Potom musia vykonať násobenie a zjednodušiť výsledný zlomok. V prípade potreby sa zbavte iracionality v menovateli. Chápeme to

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

odpoveď: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Tento odsek je použiteľný, keď číslo alebo číselný výraz možno reprezentovať ako zlomok s menovateľom rovným 1, potom sa operácia s takýmto zlomkom považuje za samostatný odsek. Napríklad výraz 1 6 7 4 - 1 3 ukazuje, že koreň 3 možno nahradiť iným výrazom 3 1. Potom bude tento záznam vyzerať ako násobenie dvoch zlomkov tvaru 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Vykonanie akcie so zlomkami obsahujúcimi premenné

Pravidlá opísané v prvom článku sú použiteľné pre operácie so zlomkami obsahujúcimi premenné. Zvážte pravidlo odčítania, keď sú menovatelia rovnakí.

Je potrebné dokázať, že A , C a D (D sa nerovná nule) môžu byť ľubovoľné výrazy a rovnosť A D ± C D = A ± C D je ekvivalentná rozsahu platných hodnôt.

Je potrebné vziať súbor premenných ODZ. Potom A, C, D musia nadobudnúť zodpovedajúce hodnoty a 0, c 0 a d0. Substitúciou tvaru A D ± C D vznikne rozdiel tvaru a 0 d 0 ± c 0 d 0 , kde podľa pravidla sčítania dostaneme vzorec tvaru a 0 ± c 0 d 0 . Ak dosadíme výraz A ± CD D , dostaneme rovnaký zlomok tvaru a 0 ± c 0 d 0 . Z toho usudzujeme, že zvolená hodnota, ktorá spĺňa ODZ, A ± CD a AD ± CD sa považuje za rovnakú.

Pre akúkoľvek hodnotu premenných sa tieto výrazy budú rovnať, to znamená, že sa nazývajú identicky rovné. To znamená, že tento výraz sa považuje za dokázateľnú rovnosť tvaru A D ± C D = A ± CD D .

Príklady sčítania a odčítania zlomkov s premennými

V prípade rovnakých menovateľov je potrebné iba pripočítať alebo odčítať čitateľa. Tento zlomok sa dá zjednodušiť. Niekedy musíte pracovať so zlomkami, ktoré sú identicky rovnaké, ale na prvý pohľad to nie je viditeľné, pretože je potrebné vykonať určité transformácie. Napríklad x 2 3 x 1 3 + 1 a x 1 3 + 1 2 alebo 1 2 sin 2 α a sin a cos a. Najčastejšie sa vyžaduje zjednodušenie pôvodného výrazu, aby sa zobrazili rovnaké menovatele.

Príklad 6

Vypočítajte: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1.

rozhodnutie

1. Ak chcete vykonať výpočet, musíte odpočítať zlomky, ktoré majú rovnaký menovateľ. Potom dostaneme, že x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Potom môžete otvoriť zátvorky s redukciou podobných výrazov. Dostaneme, že x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Keďže menovatele sú rovnaké, ostáva už len sčítať čitatelia a ponechať menovateľ: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Doplnenie bolo dokončené. Je vidieť, že zlomok sa môže znížiť. Jeho čitateľ sa dá zložiť pomocou štvorcového vzorca, potom dostaneme (l g x + 2) 2 zo skrátených vzorcov násobenia. Potom to dostaneme
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Dané zlomky tvaru x - 1 x - 1 + x x + 1 s rôznymi menovateľmi. Po transformácii môžete pristúpiť k pridávaniu.

Uvažujme o obojsmernom riešení.

Prvý spôsob spočíva v tom, že menovateľ prvého zlomku sa podrobí rozkladu pomocou štvorcov a následnej redukcii. Dostaneme zlomok formy

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Takže x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

V tomto prípade je potrebné zbaviť sa iracionality v menovateli.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Druhým spôsobom je vynásobenie čitateľa a menovateľa druhého zlomku x-1. Tým sa zbavíme iracionality a pristúpime k sčítaniu zlomku s rovnakým menovateľom. Potom

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

odpoveď: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

V poslednom príklade sme zistili, že redukcia na spoločného menovateľa je nevyhnutná. Aby ste to dosiahli, musíte zjednodušiť zlomky. Na sčítanie alebo odčítanie je vždy potrebné hľadať spoločného menovateľa, ktorý vyzerá ako súčin menovateľov s pridaním ďalších faktorov k čitateľom.

Príklad 7

Vypočítajte hodnoty zlomkov: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

rozhodnutie

1. Menovateľ nevyžaduje žiadne zložité výpočty, takže si musíte vybrať ich súčin v tvare 3 x 7 + 2 2, potom sa k prvému zlomku vyberie x 7 + 2 2 ako dodatočný faktor a 3 k druhému. Pri násobení dostaneme zlomok tvaru x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Je vidieť, že menovatele sú prezentované ako súčin, čo znamená, že ďalšie transformácie nie sú potrebné. Spoločným menovateľom bude súčin tvaru x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Odtiaľ x 4 je dodatočný faktor k prvému zlomku a ln (x + 1) do druhého. Potom odčítame a dostaneme:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - hriech x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - hriech x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - hriech x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - hriech x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Tento príklad dáva zmysel pri práci s menovateľmi zlomkov. Je potrebné použiť vzorce pre rozdiel druhých mocnín a štvorcov súčtu, pretože umožnia prejsť na výraz v tvare 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2. Je vidieť, že zlomky sú zredukované na spoločného menovateľa. Dostaneme, že cos x - x cos x + x 2 .

Potom to dostaneme

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

odpoveď:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - hriech x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - hriech x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Príklady násobenia zlomkov s premennými

Pri násobení zlomkov sa čitateľ násobí čitateľom a menovateľ menovateľom. Potom môžete použiť vlastnosť zmenšenia.

Príklad 8

Vynásobte zlomky x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 a 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

rozhodnutie

Musíte urobiť násobenie. Chápeme to

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriech (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 hriech (2 x - x)

Číslo 3 sa pre uľahčenie výpočtov prenesie na prvé miesto a zlomok môžete znížiť o x 2, potom dostaneme výraz tvaru

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 hriech (2 x - x)

odpoveď: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriechy (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 hriech (2 x - x).

divízie

Delenie zlomkov je podobné ako násobenie, keďže prvý zlomok sa násobí druhým prevráteným. Ak vezmeme napríklad zlomok x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 a vydelíme 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, potom to možno zapísať ako

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , potom nahraďte produktom v tvare x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriechy (2 x - x)

Umocňovanie

Prejdime k uvažovaniu o akcii so zlomkami všeobecného tvaru s umocnením. Ak existuje stupeň s prirodzeným indexom, potom sa akcia považuje za násobenie rovnakých zlomkov. Odporúča sa však použiť všeobecný prístup založený na vlastnostiach právomocí. Akékoľvek výrazy A a C, kde C nie je zhodne rovné nule a akékoľvek reálne r na ODZ pre výraz tvaru A C r, platí rovnosť A C r = A r C r. Výsledkom je zlomok umocnený na mocninu. Zvážte napríklad:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Poradie operácií so zlomkami

Akcie na zlomkoch sa vykonávajú podľa určitých pravidiel. V praxi si všimneme, že výraz môže obsahovať niekoľko zlomkov alebo zlomkových výrazov. Potom je potrebné vykonať všetky akcie v prísnom poradí: zvýšiť na moc, vynásobiť, rozdeliť, potom pridať a odčítať. Ak existujú zátvorky, prvá akcia sa vykoná v nich.

Príklad 9

Vypočítajte 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

rozhodnutie

Keďže máme rovnaký menovateľ, potom 1 - x cos x a 1 c o s x , ale nie je možné odčítať podľa pravidla, najskôr sa vykonajú akcie v zátvorkách, po ktorých sa vykoná násobenie a potom sčítanie. Potom pri výpočte dostaneme to

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Pri dosadení výrazu do pôvodného dostaneme, že 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Pri násobení zlomkov máme: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Po vykonaní všetkých substitúcií dostaneme 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Teraz musíte pracovať so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov. Dostaneme:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

odpoveď: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Poučenie

Redukcia na spoločného menovateľa.

Nech sú dané zlomky a/b a c/d.

Čitateľ a menovateľ prvého zlomku sa vynásobí LCM / b

Čitateľ a menovateľ druhého zlomku sa vynásobí LCM/d

Príklad je znázornený na obrázku.

Ak chcete porovnať zlomky, musia mať spoločného menovateľa a potom porovnajte čitateľov. Napríklad 3/4< 4/5, см. .

Sčítanie a odčítanie zlomkov.

Ak chcete nájsť súčet dvoch obyčajných zlomkov, musíte ich zredukovať na spoločného menovateľa a potom pridať čitateľov, menovateľ sa nemení. Príklad sčítania zlomkov 1/2 a 1/3 je na obrázku.

Rozdiel zlomkov sa zistí podobným spôsobom, po nájdení spoločného menovateľa sa odčítajú čitatelia zlomkov, pozri obrázok.

Pri násobení obyčajných zlomkov sa čitatelia a menovatelia násobia spolu.

Aby ste mohli rozdeliť dva zlomky, potrebujete zlomok druhého zlomku, t.j. zmeniť jeho čitateľa a menovateľa a potom vynásobiť výsledné zlomky.

Podobné videá

Zdroje:

• zlomky 5. stupňa na príklade
• Základné úlohy pre zlomky

modul predstavuje absolútnu hodnotu výrazu. Zátvorky sa používajú na označenie modulu. Hodnoty v nich obsiahnuté sa berú modulo. Riešením modulu je otvárať zátvorky podľa určitých pravidiel a nájsť množinu hodnôt výrazu. Vo väčšine prípadov je modul rozšírený takým spôsobom, že výraz submodulu nadobúda sériu kladných a záporných hodnôt vrátane nuly. Na základe týchto vlastností modulu sa zostavujú a riešia ďalšie rovnice a nerovnice pôvodného výrazu.

Poučenie

Zapíšte si pôvodnú rovnicu pomocou . Na to otvorte modul. Zvážte každý výraz podmodulu. Určte, pri akej hodnote neznámych veličín v ňom zahrnutých výraz v modulárnych zátvorkách zmizne.

Ak to chcete urobiť, prirovnajte výraz submodulu k nule a nájdite výslednú rovnicu. Zistené hodnoty zapíšte. Rovnakým spôsobom určte hodnoty neznámej premennej pre každý modul v danej rovnici.

Nakreslite číselnú os a nakreslite na ňu výsledné hodnoty. Hodnoty premennej v nulovom module budú slúžiť ako obmedzenia pri riešení modulárnej rovnice.

V pôvodnej rovnici musíte rozšíriť modulárne a zmeniť znamienko tak, aby hodnoty premennej zodpovedali hodnotám zobrazeným na číselnej osi. Vyriešte výslednú rovnicu. Skontrolujte nájdenú hodnotu premennej voči obmedzeniu špecifikovanému modulom. Ak riešenie spĺňa podmienku, je to pravda. Korene, ktoré nespĺňajú obmedzenia, by sa mali zlikvidovať.

Podobne rozbaľte moduly pôvodného výrazu s prihliadnutím na znamienko a vypočítajte korene výslednej rovnice. Zapíšte si všetky získané korene, ktoré spĺňajú obmedzujúce nerovnosti.

Zlomkové čísla umožňujú vyjadriť presnú hodnotu množstva rôznymi spôsobmi. So zlomkami môžete vykonávať rovnaké matematické operácie ako s celými číslami: odčítanie, sčítanie, násobenie a delenie. Aby ste sa naučili, ako sa rozhodnúť zlomky, je potrebné pamätať na niektoré ich vlastnosti. Závisia od typu zlomky, prítomnosť celočíselnej časti, spoločného menovateľa. Niektoré aritmetické operácie po vykonaní vyžadujú zníženie zlomkovej časti výsledku.

Budete potrebovať

• - kalkulačka

Poučenie

Pozrite sa pozorne na čísla. Ak sú medzi zlomkami desatinné miesta a nepravidelnosti, niekedy je vhodnejšie najprv vykonať akcie s desatinnými miestami a potom ich previesť do nesprávneho tvaru. Môžete preložiť zlomky v tejto forme na začiatku napíšte hodnotu za desatinnou čiarkou v čitateli a vložte 10 do menovateľa. Ak je to potrebné, zlomok znížte vydelením čísel nad a pod jedným deliteľom. Zlomky, v ktorých vyniká celá časť, vedú k nesprávnemu tvaru vynásobením menovateľom a pridaním čitateľa k výsledku. Táto hodnota sa stane novým čitateľom zlomky. Vytiahnuť celú časť z pôvodne nesprávneho zlomky, vydeľte čitateľa menovateľom. Napíšte celý výsledok z zlomky. A zvyšok delenia sa stáva novým čitateľom, menovateľom zlomky pričom sa nezmení. Pre zlomky s celočíselnou časťou je možné vykonávať akcie samostatne, najprv pre celé číslo a potom pre zlomkové časti. Napríklad možno vypočítať súčet 1 2/3 a 2 ¾:
- Prevod zlomkov do nesprávneho tvaru:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Súčet oddelených celých a zlomkových častí pojmov:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Pre hodnoty pod čiarou nájdite spoločného menovateľa. Napríklad pre 5/9 a 7/12 bude spoločný menovateľ 36. Čitateľ a menovateľ prvého zlomky musíte vynásobiť 4 (ukáže sa 28/36) a druhý - 3 (ukáže sa 15/36). Teraz môžete robiť výpočty.

Ak idete vypočítať súčet alebo rozdiel zlomkov, pod čiaru si najskôr zapíšte nájdeného spoločného menovateľa. Vykonajte potrebné akcie medzi čitateľmi a výsledok zapíšte nad nový riadok zlomky. Novým čitateľom teda bude rozdiel alebo súčet čitateľov pôvodných zlomkov.

Ak chcete vypočítať súčin zlomkov, vynásobte čitateľov zlomkov a výsledok zapíšte na miesto čitateľa konečného zlomky. Urobte to isté pre menovateľov. Pri delení jedného zlomky napíšte jeden zlomok na druhý a potom vynásobte jeho čitateľa menovateľom druhého. Zároveň menovateľ prvého zlomky zodpovedajúcim spôsobom vynásobiť čitateľom druhého. Zároveň akési prevrátenie druhého zlomky(rozdeľovač). Výsledný zlomok bude z výsledkov násobenia čitateľov a menovateľov oboch zlomkov. Ľahko sa učí zlomky, napísaný v podmienke vo forme "štvorposchodový" zlomky. Ak oddeľuje dvoch zlomky, prepíšte ich oddeľovačom ":" a pokračujte v normálnom delení.

Ak chcete získať konečný výsledok, znížte výsledný zlomok vydelením čitateľa a menovateľa jedným celým číslom, v tomto prípade najväčším. V tomto prípade musia byť nad a pod čiarou celé čísla.

Poznámka

Nerobte aritmetiku so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov. Vyberte číslo také, aby keď sa ním vynásobil čitateľ a menovateľ každého zlomku, boli menovatele oboch zlomkov rovnaké.

Užitočné rady

Pri písaní zlomkových čísel sa dividenda píše nad čiarou. Toto množstvo sa označuje ako čitateľ zlomku. Pod čiarou sa píše deliteľ alebo menovateľ zlomku. Napríklad jeden a pol kilogramu ryže vo forme zlomku bude napísané takto: 1 ½ kg ryže. Ak je menovateľ zlomku 10, nazýva sa desatinný zlomok. V tomto prípade sa čitateľ (dividenda) píše napravo od celej časti oddelenej čiarkou: 1,5 kg ryže. Pre pohodlie výpočtov môže byť takýto zlomok vždy napísaný v nesprávnom tvare: 1 2/10 kg zemiakov. Pre zjednodušenie môžete znížiť hodnoty čitateľa a menovateľa tak, že ich vydelíte jedným celým číslom. V tomto príklade je možné delenie číslom 2. Výsledkom je 1 1/5 kg zemiakov. Uistite sa, že čísla, s ktorými budete robiť aritmetiku, sú v rovnakom tvare.

Poučenie

Kliknite raz na položku ponuky „Vložiť“ a potom vyberte položku „Symbol“. Toto je jeden z najjednoduchších spôsobov vkladania zlomky do textu. Spočíva v nasledujúcom. Sada pripravených postáv má zlomky. Ich počet je zvyčajne malý, ale ak potrebujete do textu napísať ½, nie 1/2, potom bude táto možnosť pre vás najlepšia. Okrem toho počet zlomkových znakov môže závisieť od typu písma. Napríklad pre písmo Times New Roman je o niečo menej zlomkov ako pre rovnaký Arial. Obmieňajte písma, aby ste našli najlepšiu možnosť, pokiaľ ide o jednoduché výrazy.

Kliknite na položku ponuky „Vložiť“ a vyberte podpoložku „Objekt“. Zobrazí sa okno so zoznamom možných objektov na vloženie. Vyberte si z nich Microsoft Equation 3.0. Táto aplikácia vám pomôže písať zlomky. A nielen to zlomky, ale aj zložité matematické výrazy obsahujúce rôzne goniometrické funkcie a ďalšie prvky. Dvakrát kliknite na tento objekt ľavým tlačidlom myši. Uvidíte okno obsahujúce veľa znakov.

Ak chcete vytlačiť zlomok, vyberte symbol predstavujúci zlomok s prázdnym čitateľom a menovateľom. Kliknite naň raz ľavým tlačidlom myši. Objaví sa ďalšie menu špecifikujúce schému zlomky. Možností môže byť niekoľko. Vyberte si pre vás najvhodnejšie a kliknite naň raz ľavým tlačidlom myši.

Akcie so zlomkami. V tomto článku budeme analyzovať príklady, všetko je podrobné s vysvetleniami. Budeme brať do úvahy obyčajné zlomky. V budúcnosti budeme analyzovať desatinné čísla. Odporúčam pozrieť si celé a študovať postupne.

1. Súčet zlomkov, rozdiel zlomkov.

Pravidlo: pri sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi je výsledkom zlomok, ktorého menovateľ zostáva rovnaký a jeho čitateľ sa bude rovnať súčtu čitateľov zlomkov.

Pravidlo: pri výpočte rozdielu zlomkov s rovnakými menovateľmi dostaneme zlomok - menovateľ zostáva rovnaký a čitateľ druhého sa odčíta od čitateľa prvého zlomku.

Formálny zápis súčtu a rozdielu zlomkov s rovnakými menovateľmi:

Príklady (1):

Je jasné, že keď sú uvedené bežné zlomky, potom je všetko jednoduché, ale ak sú zmiešané? Nič zložité...

možnosť 1- môžete ich previesť na obyčajné a potom ich vypočítať.

Možnosť 2- môžete samostatne "pracovať" s celými a zlomkovými časťami.

Príklady (2):

Viac:

A ak je daný rozdiel dvoch zmiešaných zlomkov a čitateľ prvého zlomku je menší ako čitateľ druhého? Dá sa to urobiť aj dvoma spôsobmi.

Príklady (3):

* Preložené do obyčajných zlomkov, vypočítané rozdiel, previesť výsledný nesprávny zlomok na zmiešaný.

* Po rozdelení na celé číslo a zlomkové časti dostaneme tri, potom uvedieme 3 ako súčet 2 a 1, pričom jednotku predstavíme ako 11/11, potom nájdeme rozdiel medzi 11/11 a 7/11 a vypočítame výsledok. Zmyslom vyššie uvedených transformácií je zobrať (vybrať) jednotku a prezentovať ju ako zlomok s menovateľom, ktorý potrebujeme, potom od tohto zlomku už môžeme odčítať ďalší.

Ďalší príklad:

Záver: existuje univerzálny prístup - na výpočet súčtu (rozdielu) zmiešaných zlomkov s rovnakými menovateľmi je možné ich vždy previesť na nesprávne a potom vykonať potrebnú akciu. Potom, ak v dôsledku toho dostaneme nesprávny zlomok, preložíme ho na zmiešaný.

Vyššie sme sa pozreli na príklady so zlomkami, ktoré majú rovnakých menovateľov. Čo ak sa menovatelia líšia? V tomto prípade sa zlomky znížia na rovnaký menovateľ a vykoná sa zadaná akcia. Na zmenu (transformáciu) zlomku sa využíva hlavná vlastnosť zlomku.

Zvážte jednoduché príklady:

V týchto príkladoch okamžite vidíme, ako možno jeden zo zlomkov previesť na rovnakých menovateľov.

Ak určíme spôsoby, ako zredukovať zlomky na jeden menovateľ, potom sa tento bude nazývať PRVÁ SPÔSOB.

To znamená, že ihneď pri „vyhodnotení“ zlomku musíte zistiť, či takýto prístup bude fungovať - ​​skontrolujeme, či je väčší menovateľ deliteľný menším. A ak sa delí, tak vykonáme transformáciu – vynásobíme čitateľa a menovateľa tak, aby sa menovatelia oboch zlomkov vyrovnali.

Teraz sa pozrite na tieto príklady:

Tento prístup sa na nich nevzťahuje. Existujú aj iné spôsoby, ako znížiť zlomky na spoločného menovateľa, zvážte ich.

Metóda DRUHÁ.

Vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého a čitateľa a menovateľa druhého zlomku menovateľom prvého zlomku:

*V skutočnosti zlomky do tvaru privedieme, keď sa menovatelia stanú rovnakými. Ďalej použijeme pravidlo sčítania nesmelý s rovnakými menovateľmi.

Príklad:

*Túto metódu možno nazvať univerzálnou a vždy funguje. Jediným negatívom je, že po výpočtoch môže vyjsť zlomok, ktorý bude potrebné ďalej znižovať.

Zvážte príklad:

Je vidieť, že čitateľ a menovateľ sú deliteľné 5:

Metóda TRETÍ.

Nájdite najmenší spoločný násobok (LCM) menovateľov. Toto bude spoločný menovateľ. čo je to za číslo? Toto je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné každým z čísel.

Pozri, tu sú dve čísla: 3 a 4, existuje veľa čísel, ktoré sú nimi deliteľné - sú to 12, 24, 36, ... Najmenšie z nich je 12. Alebo 6 a 15, 30, 60, 90 sú nimi deliteľné.... Najmenej 30. Otázka - ako určiť tento najmenší spoločný násobok?

Existuje jasný algoritmus, ale často sa to dá urobiť okamžite bez výpočtov. Napríklad podľa vyššie uvedených príkladov (3 a 4, 6 a 15) nie je potrebný žiadny algoritmus, zobrali sme veľké čísla (4 a 15), zdvojnásobili sme ich a videli sme, že sú deliteľné druhým číslom, ale páry čísel môžu byť aj iné, napríklad 51 a 119.

Algoritmus. Ak chcete určiť najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel, musíte:

- rozložiť každé z čísel na JEDNODUCHÉ faktory

- vypíšte rozklad VÄČŠIEHO z nich

- vynásobte ho CHYBAJÚCImi faktormi iných čísel

Zvážte príklady:

50 a 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

pri rozšírení väčšieho počtu chýba jedna päťka

=> LCM(50;60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 a 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

pri rozšírení väčšieho počtu chýbajú dvojka a trojka

=> LCM(48;72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Najmenší spoločný násobok dvoch prvočísel sa rovná ich súčinu

Otázka! A prečo je užitočné nájsť najmenší spoločný násobok, pretože môžete použiť druhú metódu a jednoducho znížiť výsledný zlomok? Áno, môžete, ale nie vždy je to pohodlné. Pozrite sa na menovateľ čísel 48 a 72, ak ich vynásobíte 48∙72 = 3456. Súhlaste, že je príjemnejšie pracovať s menšími číslami.

Zvážte príklady:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

pri rozšírení väčšieho počtu chýba trojka

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

A teraz použijeme prvú metódu:

* Pozrite sa na rozdiel vo výpočtoch, v prvom prípade je ich minimum a v druhom musíte pracovať oddelene na papieri a dokonca aj zlomok, ktorý ste dostali, je potrebné znížiť. Nájdenie LCM značne zjednodušuje prácu.

Ďalšie príklady:

* V druhom príklade je už jasné, že najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 40 a 60, je 120.

CELKOM! VŠEOBECNÝ ALGORITMUS VÝPOČTU!

- zlomky privedieme k obyčajným, ak je tam celá časť.

- zlomky privedieme na spoločného menovateľa (najskôr sa pozrieme, či je jeden menovateľ deliteľný druhým, ak je deliteľný, potom čitateľa a menovateľa tohto druhého zlomku vynásobíme; ak nie je deliteľný, postupujeme pomocou iné metódy uvedené vyššie).

- po prijatí zlomkov s rovnakými menovateľmi vykonávame akcie (sčítanie, odčítanie).

- v prípade potreby znížime výsledok.

- v prípade potreby vyberte celú časť.

2. Súčin frakcií.

Pravidlo je jednoduché. Pri násobení zlomkov sa ich čitatelia a menovatelia násobia:

Príklady: