Lekcia a prezentácia na tému: "Sústavy rovníc. Substitučná metóda, metóda sčítania, metóda zavedenia novej premennej"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 9
Simulátor pre učebnice Atanasyan L.S. Simulátor pre učebnice Pogorelova A.V.

Spôsoby riešenia sústav nerovníc

Chlapci, študovali sme sústavy rovníc a naučili sme sa ich riešiť pomocou grafov. Teraz sa pozrime, aké iné spôsoby riešenia systémov existujú?
Takmer všetky spôsoby ich riešenia sa nelíšia od tých, ktoré sme študovali v 7. ročníku. Teraz musíme urobiť nejaké úpravy podľa rovníc, ktoré sme sa naučili riešiť.
Podstatou všetkých metód popísaných v tejto lekcii je nahradenie systému ekvivalentným systémom s jednoduchšou formou a spôsobom riešenia. Chlapci, pamätajte, aký je ekvivalentný systém.

Substitučná metóda

Prvý spôsob riešenia sústav rovníc s dvoma premennými je nám dobre známy – ide o substitučnú metódu. Túto metódu sme použili na riešenie lineárnych rovníc. Teraz sa pozrime, ako riešiť rovnice vo všeobecnom prípade?

Ako treba postupovať pri rozhodovaní?
1. Vyjadrite jednu z premenných pomocou druhej. Najbežnejšie premenné používané v rovniciach sú x a y. V jednej z rovníc vyjadrujeme jednu premennú pomocou inej. Tip: Pred začatím riešenia si pozorne prezrite obe rovnice a vyberte si tú, kde bude jednoduchšie vyjadriť premennú.
2. Dosaďte výsledný výraz do druhej rovnice namiesto premennej, ktorá bola vyjadrená.
3. Vyriešte rovnicu, ktorú sme dostali.
4. Dosaďte výsledné riešenie do druhej rovnice. Ak existuje niekoľko riešení, je potrebné ich nahradiť postupne, aby ste nestratili niekoľko riešení.
5. Vo výsledku dostanete dvojicu čísel $(x;y)$, ktoré je potrebné napísať ako odpoveď.

Príklad.
Riešte systém s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy: $\začiatok(prípady)x+y=5, \\xy=6\koniec(prípady)$.

rozhodnutie.
Pozrime sa bližšie na naše rovnice. Je zrejmé, že vyjadrenie y pomocou x v prvej rovnici je oveľa jednoduchšie.
$\začiatok(prípady)y=5-x, \\xy=6\koniec(prípady)$.
Dosaďte prvý výraz do druhej rovnice $\začiatok(prípady)y=5-x, \\x(5-2x)=6\koniec(prípady)$.
Vyriešme druhú rovnicu samostatne:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Získali sme dve riešenia druhej rovnice $x_1=2$ a $x_2=3$.
Dosadzujte postupne do druhej rovnice.
Ak $x=2$, potom $y=3$. Ak $x=3$, potom $y=2$.
Odpoveďou budú dva páry čísel.
Odpoveď: $(2;3)$ a $(3;2)$.

Algebraická metóda sčítania

Túto metódu sme študovali aj v 7. ročníku.
Je známe, že racionálnu rovnicu v dvoch premenných môžeme vynásobiť ľubovoľným číslom, pričom nezabudneme vynásobiť obe strany rovnice. Jednu z rovníc sme vynásobili určitým číslom, takže keď sa výsledná rovnica pridá k druhej rovnici systému, jedna z premenných sa zničí. Potom bola rovnica vyriešená vzhľadom na zostávajúcu premennú.
Táto metóda stále funguje, aj keď nie vždy je možné zničiť jednu z premenných. Umožňuje však výrazne zjednodušiť formu jednej z rovníc.

Príklad.
Vyriešte systém: $\začiatok(prípady)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\koniec(prípady)$.

rozhodnutie.
Vynásobte prvú rovnicu 2.
$\začiatok(prípady)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\koniec (prípady)$.
Odčítajte druhú od prvej rovnice.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Ako vidíte, tvar výslednej rovnice je oveľa jednoduchší ako pôvodný. Teraz môžeme použiť substitučnú metódu.
$\začiatok(prípady)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\koniec (prípady)$.
Vo výslednej rovnici vyjadrime x cez y.
$\začiatok(prípady)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\koniec (prípady)$.
Dostal $y=-1$ a $y=-3$.
Tieto hodnoty nahraďte postupne do prvej rovnice. Získame dve dvojice čísel: $(1;-1)$ a $(-1;-3)$.
Odpoveď: $(1;-1)$ a $(-1;-3)$.

Metóda na zavedenie novej premennej

Túto metódu sme študovali aj my, no pozrime sa na ňu ešte raz.

Príklad.
Vyriešte systém: $\začiatok(prípady)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\koniec(prípady)$.

rozhodnutie.
Predstavme si náhradu $t=\frac(x)(y)$.
Prepíšme prvú rovnicu novou premennou: $t+\frac(2)(t)=3$.
Vyriešme výslednú rovnicu:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Dostal $t=2$ alebo $t=1$. Zavedme opačnú zmenu $t=\frac(x)(y)$.
Mám: $x=2y$ a $x=y$.

Pre každý z výrazov musí byť pôvodný systém vyriešený samostatne:
$\začiatok(prípady)x=2r, \\2x^2-y^2=1\koniec (prípady)$. $\začiatok(prípady)x=y, \\2x^2-y^2=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=2r, \\8y^2-y^2=1\koniec (prípady)$. $\začiatok(prípady)x=y, \\2y^2-y^2=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=2y, \\7y^2=1\koniec(prípady)$. $\začiatok(prípady)x=2y, \\y^2=1\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\koniec (prípady)$. $\začiatok(prípady)x=y, \\y=±1\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\koniec(prípady)$. $\začiatok(prípady)x=±1, \\y=±1\koniec(prípady)$.
Dostali sme štyri dvojice riešení.
Odpoveď: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Príklad.
Vyriešte systém: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\koniec(prípady)$.

rozhodnutie.
Zavádzame náhradu: $z=\frac(2)(x-3y)$ a $t=\frac(3)(2x+y)$.
Prepíšme pôvodné rovnice novými premennými:
$\začiatok(prípady)z+t=2, \\4z-3t=1\koniec (prípady)$.
Použime metódu algebraického sčítania:
$\začiatok(prípady)3z+3t=6, \\4z-3t=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)7z=7, \\4z-3t=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)z=1, \\-3t=1-4\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)z=1, \\t=1\koniec (prípady)$.
Predstavme si spätnú substitúciu:
$\začiatok(prípady)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x-3y=2, \\2x+y=3\koniec (prípady)$.
Použime substitučnú metódu:
$\začiatok(prípady)x=2+3y, \\4+6y+y=3\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=2+3y, \\7y=-1\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\koniec (prípady)$.
Odpoveď: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Úlohy o sústavách rovníc pre nezávislé riešenie

Riešiť systémy:
1. $\začiatok(prípady)2x-2y=6, \\xy =-2\koniec (prípady)$.
2. $\začiatok(prípady)x+y^2=3, \\xy^2=4\koniec (prípady)$.
3. $\začiatok(prípady)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\koniec (prípady)$.
4. $\začiatok(prípady)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ koniec(prípady)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

Najprv si pripomeňme definíciu riešenia sústavy rovníc v dvoch premenných.

Definícia 1

Dvojica čísel sa nazýva riešením sústavy rovníc s dvoma premennými, ak sa po ich dosadení do rovnice získa správna rovnosť.

Ďalej budeme uvažovať o sústavách dvoch rovníc s dvoma premennými.

Existovať štyri základné spôsoby riešenia sústav rovníc: substitučná metóda, metóda sčítania, grafická metóda, nová metóda riadenia premenných. Pozrime sa na tieto metódy s konkrétnymi príkladmi. Aby sme opísali princíp použitia prvých troch metód, budeme uvažovať o systéme dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi:

Substitučná metóda

Substitučná metóda je nasledovná: vezme sa ktorákoľvek z týchto rovníc a $y$ sa vyjadrí ako $x$, potom sa $y$ dosadí do rovnice systému, odkiaľ sa nájde premenná $x.$. Potom môžeme jednoducho vypočítať premennú $y.$

Príklad 1

Vyjadrime z druhej rovnice $y$ v podmienkach $x$:

Dosaďte v prvej rovnici a nájdite $x$:

\ \ \

Nájsť $y$:

odpoveď: $(-2,\ 3)$

Spôsob pridávania.

Zvážte túto metódu s príkladom:

Príklad 2

\[\vľavo\( \začiatok(pole)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \koniec(pole) \vpravo.\]

Vynásobte druhú rovnicu 3, dostaneme:

\[\left\( \začiatok(pole)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \koniec(pole) \vpravo.\]

Teraz spočítajme obe rovnice:

\ \ \

Nájdite $y$ z druhej rovnice:

\[-6-y=-9\] \

odpoveď: $(-2,\ 3)$

Poznámka 1

Všimnite si, že pri tejto metóde je potrebné vynásobiť jednu alebo obe rovnice takými číslami, že pri sčítaní jedna z premenných „zmizne“.

Grafický spôsob

Grafická metóda je nasledovná: obe rovnice sústavy sa zobrazia na súradnicovej rovine a nájde sa ich priesečník.

Príklad 3

\[\vľavo\( \začiatok(pole)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \koniec(pole) \vpravo.\]

Vyjadrime $y$ z oboch rovníc pomocou $x$:

\[\left\( \begin(pole)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(pole) \right.\]

Nakreslíme oba grafy v rovnakej rovine:

Obrázok 1.

odpoveď: $(-2,\ 3)$

Ako zaviesť nové premenné

Túto metódu zvážime v nasledujúcom príklade:

Príklad 4

\[\left\( \begin(pole)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(pole) \right .\]

rozhodnutie.

Tento systém je ekvivalentný systému

\[\left\( \begin(pole)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(pole) \ správny.\]

Nech $2^x=u\ (u>0)$ a $3^y=v\ (v>0)$, dostaneme:

\[\left\( \začiatok(pole)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(pole) \vpravo.\]

Výslednú sústavu riešime sčítacou metódou. Pridajme rovnice:

\ \

Potom to dostaneme z druhej rovnice

Keď sa vrátime k nahradeniu, získame nový systém exponenciálnych rovníc:

\[\left\( \začiatok(pole)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(pole) \vpravo.\]

Dostaneme:

\[\left\( \začiatok(pole)(c) (x=0) \\ (y=1) \koniec(pole) \vpravo.\]

Uvažujme najskôr o prípade, keď sa počet rovníc rovná počtu premenných, t.j. m = n. Potom je matica systému štvorcová a jej determinant sa nazýva determinant systému.

Metóda inverznej matice

Uvažujme vo všeobecnosti sústavu rovníc AX = B s nesingulárnou štvorcovou maticou A. V tomto prípade existuje inverzná matica A -1 . Vynásobme obe strany A -1 vľavo. Dostaneme A -1 AX \u003d A -1 B. Odtiaľ EX \u003d A -1 B a

Posledná rovnosť je maticový vzorec na hľadanie riešení takýchto systémov rovníc. Použitie tohto vzorca sa nazýva metóda inverznej matice

Napríklad, poďme použiť túto metódu na vyriešenie nasledujúceho systému:

;

Na konci riešenia systému je možné vykonať kontrolu dosadením nájdených hodnôt do rovníc systému. V tomto prípade sa musia zmeniť na skutočnú rovnosť.

Pre tento príklad skontrolujme:

Metóda riešenia sústav lineárnych rovníc so štvorcovou maticou pomocou Cramerových vzorcov

Nech n=2:

Ak sa obe časti prvej rovnice vynásobia a 22 a obe časti druhej rovnice (-a 12), a potom sa výsledné rovnice spočítajú, potom premennú x 2 zo systému vylúčime. Podobne môžete eliminovať premennú x 1 (vynásobením oboch strán prvej rovnice číslom (-a 21) a oboch strán druhej rovnice číslom 11). V dôsledku toho dostaneme systém:

Výraz v zátvorkách je determinantom systému

Označiť

Potom bude mať systém podobu:

Z výsledného systému vyplýva, že ak je determinantom systému 0, tak systém bude konzistentný a určitý. Jeho jedinečné riešenie možno vypočítať podľa vzorcov:

Ak = 0, a 1 0 a/alebo  2 0, potom rovnice systému budú mať tvar 0*х 1 = 2 a/alebo 0*х 1 = 2. V tomto prípade bude systém nekonzistentný.

V prípade, že = 1 = 2 = 0, systém bude konzistentný a neurčitý (bude mať nekonečný počet riešení), pretože bude mať tvar:

Cramerova veta(vynecháme dôkaz). Ak sa determinant matice sústavy n rovníc  nerovná nule, potom má sústava jedinečné riešenie určené vzorcami:

,

kde  j je determinant matice získaný z matice A nahradením j-tého stĺpca stĺpcom voľných členov.

Vyššie uvedené vzorce sú tzv Cramerove vzorce.

Ako príklad použijeme túto metódu na riešenie systému, ktorý bol predtým riešený pomocou metódy inverznej matice:

Nevýhody uvažovaných metód:

1) výrazná zložitosť (výpočet determinantov a nájdenie inverznej matice);

2) obmedzený rozsah (pre systémy so štvorcovou maticou).

Reálne ekonomické situácie sú často modelované systémami, v ktorých je počet rovníc a premenných dosť významný a rovníc je viac ako premenných, preto je v praxi bežnejší nasledujúci spôsob.

Gaussova metóda (metóda postupnej eliminácie premenných)

Táto metóda sa používa na všeobecné riešenie systému m lineárnych rovníc s n premennými. Jeho podstata spočíva v aplikácii systému ekvivalentných transformácií na rozšírenú maticu, pomocou ktorej sa systém rovníc transformuje do tvaru, keď sa dajú ľahko nájsť jeho riešenia (ak nejaké existujú).

Toto je taký pohľad, v ktorom ľavá horná časť systémovej matice bude stupňovitá matica. To sa dosiahne použitím rovnakých techník, ktoré sa použili na získanie stupňovitej matice na určenie poradia. V tomto prípade sa na rozšírenú maticu aplikujú elementárne transformácie, ktoré umožnia získať ekvivalentný systém rovníc. Potom bude mať rozšírená matica tvar:

Získanie takejto matrice je tzv v priamke Gaussova metóda.

Nájdenie hodnôt premenných zo zodpovedajúceho systému rovníc sa nazýva dozadu Gaussova metóda. Zvážme to.

Všimnite si, že posledné (m – r) rovnice budú mať tvar:

Ak aspoň jedno z čísel
sa nerovná nule, potom bude zodpovedajúca rovnosť nepravdivá a celý systém bude nekonzistentný.

Preto pre akýkoľvek kĺbový systém
. V tomto prípade budú posledné (m – r) rovnice pre ľubovoľné hodnoty premenných identity 0 = 0 a možno ich pri riešení systému ignorovať (stačí zahodiť zodpovedajúce riadky).

Potom bude systém vyzerať takto:

Najprv zvážte prípad, keď r=n. Potom bude mať systém podobu:

Z poslednej rovnice systému možno jednoznačne nájsť x r .

Keď poznáme x r , môžeme z neho jednoznačne vyjadriť x r -1. Potom z predchádzajúcej rovnice, keď poznáme x r a x r -1 , môžeme vyjadriť x r -2 atď. až x 1.

Takže v tomto prípade bude systém kolaboratívny a definitívny.

Uvažujme teraz o prípade, keď r základné(základné) a všetko ostatné - nezákladné(malý, voľný). Posledná rovnica systému bude vyzerať takto:

Z tejto rovnice môžeme vyjadriť základnú premennú x r ako nebázické:

Predposledná rovnica bude vyzerať takto:

Nahradením výsledného výrazu namiesto x r bude možné vyjadriť základnú premennú x r -1 cez nebázické. Atď. do premennej x 1 . Ak chcete získať riešenie systému, môžete prirovnať nezákladné premenné k ľubovoľným hodnotám a potom vypočítať základné premenné pomocou získaných vzorcov. V tomto prípade teda bude systém konzistentný a neurčitý (mať nekonečný počet riešení).

Poďme napríklad vyriešiť sústavu rovníc:

Zavolá sa množina základných premenných základ systémov. Vyvolá sa aj množina stĺpcov koeficientov pre nich základ(základné stĺpce), príp základné menšie systémové matice. Zavolá sa také riešenie systému, v ktorom sú všetky nebázické premenné rovné nule základné riešenie.

V predchádzajúcom príklade bude základné riešenie (4/5; -17/5; 0; 0) (premenné x 3 a x 4 (c 1 a c 2) sú nastavené na nulu a základné premenné x 1 resp. x 2 sa počítajú cez ne). Aby sme uviedli príklad nebázického riešenia, je potrebné prirovnať x 3 a x 4 (c 1 a c 2) k ľubovoľným číslam, ktoré sa súčasne nerovnajú nule, a zvyšok premenných vypočítať cez ich. Napríklad s c 1 = 1 a c 2 = 0 dostaneme nebázické riešenie - (4/5; -12/5; 1; 0). Nahradením je ľahké overiť, či sú obe riešenia správne.

Je zrejmé, že v neurčitom systéme nezákladných riešení môže existovať nekonečný počet riešení. Koľko základných riešení môže byť? Každý riadok transformovanej matice musí zodpovedať jednej základnej premennej. Celkovo je v úlohe n premenných a r základných riadkov. Preto počet možných množín základných premenných nemôže presiahnuť počet kombinácií od n do 2 . Môže to byť menej ako , pretože nie vždy je možné transformovať systém do takej podoby, aby bola základom práve táto množina premenných.

čo je to za druh? Ide o taký tvar, keď matica vytvorená zo stĺpcov koeficientov pre tieto premenné bude stupňovitá a v tomto prípade bude pozostávať z riadkov. Tie. poradie matice koeficientov pre tieto premenné sa musí rovnať r. Nemôže byť väčší, pretože počet stĺpcov sa rovná r. Ak sa ukáže, že je menšia ako r, znamená to lineárnu závislosť stĺpcov s premennými. Takéto stĺpce nemôžu tvoriť základ.

Uvažujme, aké ďalšie základné riešenia možno nájsť vo vyššie uvedenom príklade. Za týmto účelom zvážte všetky možné kombinácie štyroch premenných s dvoma základnými. Takéto kombinácie budú
a jeden z nich (x 1 a x 2) už bol zvážený.

Zoberme si premenné x 1 a x 3 . Nájdite pre nich poradie matice koeficientov:

Keďže sa rovná dvom, môžu byť základné. Nezákladné premenné x 2 a x 4 prirovnáme k nule: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Potom zo vzorca x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 vyplýva, že x 1 \u003d 4/5 a zo vzorca x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 vyplýva, že x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Dostaneme teda základné riešenie (4/5; 0; 17/5; 0).

Podobne môžete získať základné riešenia pre základné premenné x 1 a x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x2 a x4 - (0; -9; 0; 4); x 3 a x 4 - (0; 0; 9; 4).

Premenné x 2 a x 3 v tomto príklade nemožno považovať za základné, pretože poradie zodpovedajúcej matice sa rovná jednej, t.j. menej ako dva:

.

Iný prístup je možné určiť, či je alebo nie je možné vytvoriť základ z niektorých premenných. Pri riešení príkladu v dôsledku transformácie matice systému do stupňovitej formy nadobudla tvar:

Výberom párov premenných bolo možné vypočítať zodpovedajúce minority tejto matice. Je ľahké vidieť, že pre všetky páry, okrem x 2 a x 3, sa nerovnajú nule, t.j. stĺpce sú lineárne nezávislé. A to len pre stĺpce s premennými x 2 a x 3
, čo naznačuje ich lineárnu závislosť.

Uvažujme ešte o jednom príklade. Poďme riešiť sústavu rovníc

Takže rovnica zodpovedajúca tretiemu riadku poslednej matice je nekonzistentná - viedla k nesprávnej rovnosti 0 = -1, preto je tento systém nekonzistentný.

Jordan-Gaussova metóda 3 je vývoj Gaussovej metódy. Jej podstatou je, že rozšírená matica systému sa transformuje do podoby, keď koeficienty premenných tvoria maticu identity až po permutáciu riadkov alebo stĺpcov 4 (kde je poradie matice systému).

Poďme vyriešiť systém pomocou tejto metódy:

Zvážte rozšírenú maticu systému:

V tejto matici vyberáme prvok identity. Napríklad koeficient na x 2 v treťom obmedzení je 5. Dáme pozor, aby v zostávajúcich riadkoch v tomto stĺpci boli nuly, t.j. urobte stĺpec jednoduchým. V procese transformácií to budeme nazývať stĺpecpovoľný(vedenie, kľúč). Tretie obmedzenie (tretie reťazec) bude tiež nazývaný povoľný. seba prvok, ktorý stojí na priesečníku povoľujúceho riadku a stĺpca (tu je to jednotka), sa tiež nazýva povoľný.

Prvý riadok teraz obsahuje koeficient (-1). Ak chcete získať nulu na jej mieste, vynásobte tretí riadok (-1) a odčítajte výsledok od prvého riadku (t. j. stačí pridať prvý riadok k tretiemu).

Druhý riadok obsahuje koeficient 2. Ak chcete namiesto neho dostať nulu, vynásobte tretí riadok 2 a odčítajte výsledok od prvého riadku.

Výsledok transformácií bude vyzerať takto:

Táto matica jasne ukazuje, že jedno z prvých dvoch obmedzení možno vymazať (zodpovedajúce riadky sú proporcionálne, t. j. tieto rovnice nasledujú za sebou). Preškrtnime to druhé:

Takže v novom systéme existujú dve rovnice. Prijme sa jeden stĺpec (druhý) a jednotka je tu v druhom riadku. Pripomeňme si, že základnej premennej x 2 bude zodpovedať druhá rovnica nového systému.

Vyberme si základnú premennú pre prvý riadok. Môže to byť akákoľvek premenná okrem x 3 (pretože pri x 3 má prvé obmedzenie nulový koeficient, t. j. množina premenných x 2 a x 3 tu nemôže byť základná). Môžete si vziať prvú alebo štvrtú premennú.

Vyberme x 1. Potom bude rozlišovacím prvkom 5 a obe časti rozlišovacej rovnice budú musieť byť vydelené piatimi, aby sa dostala jedna v prvom stĺpci prvého riadku.

Uistime sa, že zvyšné riadky (t. j. druhý riadok) majú v prvom stĺpci nuly. Keďže teraz druhý riadok neobsahuje nulu, ale 3, je potrebné od druhého riadku odpočítať prvky prevedeného prvého riadku, vynásobené 3:

Jedno základné riešenie možno priamo extrahovať z výslednej matice prirovnaním nebázických premenných k nule a základných premenných k voľným členom v zodpovedajúcich rovniciach: (0,8; -3,4; 0; 0). Všeobecné vzorce vyjadrujúce základné premenné môžete odvodiť aj prostredníctvom nezákladných: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6 x 4. Tieto vzorce opisujú celú nekonečnú množinu riešení systému (prirovnaním x 3 a x 4 k ľubovoľným číslam môžete vypočítať x 1 a x 2).

Všimnite si, že podstata transformácií v každej fáze Jordan-Gaussovej metódy bola nasledovná:

1) permisívny reťazec bol rozdelený permisívnym prvkom, aby sa na jeho miesto dostala jednotka,

2) od všetkých ostatných riadkov sa transformovaná rozlišovacia schopnosť vynásobená prvkom, ktorý bol v danom riadku v rozlišovacom stĺpci, odčítala, aby sa namiesto tohto prvku dostala nula.

Zvážte ešte raz transformovanú rozšírenú maticu systému:

Z tohto záznamu je zrejmé, že poradie matice systému A je r.

V rámci vyššie uvedených úvah sme zistili, že systém je konzistentný vtedy a len vtedy
. To znamená, že rozšírená matica systému bude vyzerať takto:

Vynechaním nula riadkov dostaneme, že poradie rozšírenej matice systému sa tiež rovná r.

Kronecker-Capelliho veta. Systém lineárnych rovníc je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa hodnosť matice systému rovná hodnosti rozšírenej matice tohto systému.

Pripomeňme, že poradie matice sa rovná maximálnemu počtu jej lineárne nezávislých riadkov. Z toho vyplýva, že ak je poradie rozšírenej matice menšie ako počet rovníc, potom sú rovnice systému lineárne závislé a jednu alebo viac z nich možno zo systému vylúčiť (pretože sú lineárne kombinácia ostatných). Systém rovníc bude lineárne nezávislý iba vtedy, ak sa poradie rozšírenej matice rovná počtu rovníc.

Okrem toho v prípade konzistentných systémov lineárnych rovníc možno tvrdiť, že ak sa poradie matice rovná počtu premenných, potom má systém jedinečné riešenie, a ak je menšie ako počet premenných, potom systém je neurčitý a má nekonečne veľa riešení.

1 Predpokladajme napríklad, že v matici je päť riadkov (počiatočné poradie riadkov je 12345). Musíme zmeniť druhý riadok a piaty riadok. Aby druhý riadok zapadol na miesto piateho, aby sa „pohol“ nadol, postupne zmeníme susedné riadky trikrát: druhý a tretí (13245), druhý a štvrtý (13425) a druhý a piaty. (13452). Potom, aby piaty riadok nahradil druhý v pôvodnej matici, je potrebné „posunúť“ piaty riadok nahor len o dve po sebe nasledujúce zmeny: piaty a štvrtý riadok (13542) a piaty a tretí (15342).

2Počet kombinácií od n do r volá sa počet všetkých rôznych r-prvkových podmnožín n-prvkovej množiny (rôzne množiny sú tie, ktoré majú rôzne zloženie prvkov, poradie výberu nie je dôležité). Vypočítava sa podľa vzorca:
. Spomeňte si na význam znaku „!“ (faktoriálne):
0!=1.)

3Keďže táto metóda je bežnejšia ako Gaussova metóda, o ktorej sme hovorili vyššie, a v podstate ide o kombináciu priamej a spätnej Gaussovej metódy, niekedy sa nazýva aj Gaussova metóda, pričom sa vynecháva prvá časť názvu.

4 Napríklad
.

5Ak by v matici sústavy neboli žiadne jednotky, potom by bolo možné napríklad obe časti prvej rovnice vydeliť dvomi a potom by sa prvý koeficient stal jednotným; alebo podobne.

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy a metódy sčítania.

Program dáva nielen odpoveď na problém, ale poskytuje aj podrobné riešenie s vysvetlením krokov riešenia dvoma spôsobmi: substitučnou metódou a metódou sčítania.

Tento program môže byť užitočný pre stredoškolákov pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, pre rodičov na ovládanie riešenia mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať domácu úlohu z matematiky či algebry hotovú čo najrýchlejšie? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvýši úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré je potrebné riešiť.

Pravidlá pre zadávanie rovníc

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atď.

Pri zadávaní rovníc môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sú rovnice najskôr zjednodušené. Rovnice po zjednodušeniach musia byť lineárne, t.j. tvaru ax+by+c=0 s presnosťou poradia prvkov.
Napríklad: 6x+1 = 5(x+y)+2

V rovniciach môžete použiť nielen celé čísla, ale aj zlomkové čísla vo forme desatinných a obyčajných zlomkov.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
Celé číslo a zlomkové časti v desatinných zlomkoch možno oddeliť bodkou alebo čiarkou.
Napríklad: 2,1n + 3,5m = 55

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.
Menovateľ nemôže byť záporný.
Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Časť celého čísla je oddelená od zlomku znakom ampersand: &

Príklady.
-1&2/3r + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Vyriešte sústavu rovníc

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy sa nenačítali a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

V prehliadači máte vypnutý JavaScript.
Aby sa riešenie zobrazilo, musí byť povolený JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Počkaj, prosím sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Riešenie sústav lineárnych rovníc. Substitučná metóda

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc substitučnou metódou:
1) vyjadriť jednu premennú z niektorej rovnice systému z hľadiska inej;
2) nahradiť výsledný výraz v inej rovnici systému namiesto tejto premennej;

$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Vyjadrime z prvej rovnice y až x: y = 7-3x. Dosadením výrazu 7-3x namiesto y do druhej rovnice dostaneme systém:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Je ľahké ukázať, že prvý a druhý systém majú rovnaké riešenia. V druhom systéme obsahuje druhá rovnica iba jednu premennú. Poďme vyriešiť túto rovnicu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Šípka doprava -5x+14-6x=3 \Šípka doprava -11x=-11 \Šípka doprava x=1 $$

Dosadením čísla 1 namiesto x do rovnice y=7-3x nájdeme zodpovedajúcu hodnotu y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Šípka doprava y=4 $$

Dvojica (1;4) - riešenie sústavy

Nazývame sústavy rovníc v dvoch premenných, ktoré majú rovnaké riešenia ekvivalent. Za ekvivalentné sa považujú aj systémy, ktoré nemajú riešenia.

Riešenie sústav lineárnych rovníc sčítaním

Zvážte iný spôsob riešenia systémov lineárnych rovníc - metódu sčítania. Pri takomto riešení sústav, ako aj pri riešení substitučnou metódou prechádzame z danej sústavy do inej jemu ekvivalentnej sústavy, v ktorej jedna z rovníc obsahuje len jednu premennú.

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc metódou sčítania:
1) vynásobte rovnice systémového člena členmi, pričom vyberte faktory tak, aby sa koeficienty pre jednu z premenných stali opačnými číslami;
2) pridajte člen po člene ľavú a pravú časť rovníc systému;
3) vyriešiť výslednú rovnicu s jednou premennou;
4) nájdite zodpovedajúcu hodnotu druhej premennej.

Príklad. Poďme vyriešiť sústavu rovníc:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

V rovniciach tohto systému sú koeficienty y opačné čísla. Sčítaním členov po členoch ľavej a pravej časti rovníc dostaneme rovnicu s jednou premennou 3x=33. Jednu z rovníc sústavy, napríklad prvú, nahraďme rovnicou 3x=33. Zoberme si systém
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

Z rovnice 3x=33 zistíme, že x=11. Dosadením tejto hodnoty x do rovnice \(x-3y=38 \) dostaneme rovnicu s premennou y: \(11-3y=38 \). Poďme vyriešiť túto rovnicu:
\(-3y=27 \šípka doprava y=-9 \)

Riešenie systému rovníc sme teda našli pridaním: \(x=11; y=-9 \) alebo \((11; -9) \)

Využijúc fakt, že v rovniciach sústavy sú koeficienty y opačné čísla, zredukovali sme jej riešenie na riešenie ekvivalentnej sústavy (sčítaním oboch častí každej z rovníc pôvodnej symme), v ktorej jedna rovníc obsahuje iba jednu premennú.

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotnej štátnej skúšky a OGE testy online Hry, hádanky Grafické znázornenie funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalóg ruských škôl Katalóg stredných škôl v Rusku Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh

Spoľahlivejšia ako grafická metóda diskutovaná v predchádzajúcom odseku.

Substitučná metóda

Túto metódu sme používali v 7. ročníku pri riešení sústav lineárnych rovníc. Algoritmus, ktorý bol vyvinutý v 7. ročníku je celkom vhodný na riešenie sústav dvoch ľubovoľných rovníc (nie nutne lineárnych) s dvoma premennými x a y (samozrejme, premenné možno označovať aj inými písmenami, na čom nezáleží). V skutočnosti sme tento algoritmus použili v predchádzajúcom odseku, keď problém dvojciferného čísla viedol k matematickému modelu, ktorý je sústavou rovníc. Túto sústavu rovníc sme riešili vyššie substitučnou metódou (pozri príklad 1 z § 4).

Algoritmus na použitie substitučnej metódy pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými x, y.

1. Vyjadrite y pomocou x z jednej rovnice sústavy.
2. Dosaďte výsledný výraz namiesto y do inej rovnice sústavy.
3. Vyriešte výslednú rovnicu pre x.
4. Do výrazu y až x získaného v prvom kroku dosaďte postupne každý z koreňov rovnice nájdenej v treťom kroku namiesto x.
5. Zapíšte odpoveď vo forme párov hodnôt (x; y), ktoré boli nájdené v treťom a štvrtom kroku.

4) Postupne nahraďte každú z nájdených hodnôt y do vzorca x \u003d 5 - Zy. Ak potom
5) Dvojice (2; 1) a riešenia danej sústavy rovníc.

Odpoveď: (2; 1);

Algebraická metóda sčítania

Túto metódu, podobne ako substitučnú metódu, poznáte z kurzu algebry 7. ročníka, kde sa s ňou riešili sústavy lineárnych rovníc. Pripomíname si podstatu metódy v nasledujúcom príklade.

Príklad 2 Vyriešte sústavu rovníc

Všetky členy prvej rovnice systému vynásobíme 3 a druhú rovnicu necháme nezmenenú:
Odčítajte druhú rovnicu systému od jeho prvej rovnice:

Výsledkom algebraického sčítania dvoch rovníc pôvodnej sústavy bola rovnica, ktorá je jednoduchšia ako prvá a druhá rovnica danej sústavy. Touto jednoduchšou rovnicou máme právo nahradiť akúkoľvek rovnicu danej sústavy, napríklad tú druhú. Potom bude daný systém rovníc nahradený jednoduchším systémom:

Tento systém je možné riešiť substitučnou metódou. Z druhej rovnice zistíme Dosadením tohto výrazu namiesto y do prvej rovnice systému dostaneme

Zostáva nahradiť nájdené hodnoty x do vzorca

Ak x = 2, potom

Našli sme teda dve riešenia systému:

Metóda zavádzania nových premenných

S metódou zavádzania novej premennej pri riešení racionálnych rovníc s jednou premennou ste sa zoznámili na kurze algebry 8. ročníka. Podstata tejto metódy riešenia sústav rovníc je rovnaká, ale z technického hľadiska existujú niektoré vlastnosti, o ktorých budeme diskutovať v nasledujúcich príkladoch.

Príklad 3 Vyriešte sústavu rovníc

Zaveďme novú premennú Potom môžeme prvú rovnicu systému prepísať do jednoduchšej formy: Vyriešme túto rovnicu vzhľadom na premennú t:

Obe tieto hodnoty spĺňajú podmienku, a preto sú koreňmi racionálnej rovnice s premennou t. To ale znamená buď odkiaľ zistíme, že x = 2y, alebo
Pomocou metódy zavedenia novej premennej sme teda mohli prvú rovnicu systému, ktorá je na pohľad pomerne zložitá, „stratifikovať“ do dvoch jednoduchších rovníc:

x = 2 y; y - 2x.

Čo bude ďalej? A potom sa každá z dvoch získaných jednoduchých rovníc musí postupne zvážiť v systéme s rovnicou x 2 - y 2 \u003d 3, ktorú sme si ešte nepamätali. Inými slovami, problém sa redukuje na riešenie dvoch systémov rovníc:

Je potrebné nájsť riešenia pre prvý systém, druhý systém a zahrnúť všetky výsledné dvojice hodnôt do odpovede. Poďme vyriešiť prvú sústavu rovníc:

Využime substitučnú metódu, najmä keď je tu na to všetko pripravené: do druhej rovnice sústavy dosadíme namiesto x výraz 2y. Získajte

Pretože x \u003d 2y, nájdeme x 1 \u003d 2, respektíve x 2 \u003d 2. Získajú sa teda dve riešenia pre daný systém: (2; 1) a (-2; -1). Poďme vyriešiť druhú sústavu rovníc:

Opäť použijeme substitučnú metódu: do druhej rovnice sústavy dosadíme namiesto y výraz 2x. Získajte

Táto rovnica nemá korene, čo znamená, že sústava rovníc nemá riešenia. Do odpovede by teda mali byť zahrnuté len riešenia prvého systému.

Odpoveď: (2; 1); (-2;-1).

Metóda zavádzania nových premenných pri riešení sústav dvoch rovníc s dvoma premennými sa používa v dvoch verziách. Prvá možnosť: zavedie sa jedna nová premenná a použije sa len v jednej rovnici systému. Presne to sa stalo v príklade 3. Druhá možnosť: zavedú sa dve nové premenné a použijú sa súčasne v oboch rovniciach systému. Bude to tak v príklade 4.

Príklad 4 Vyriešte sústavu rovníc

Predstavme si dve nové premenné:

Potom sa to naučíme

To nám umožní prepísať daný systém v oveľa jednoduchšej forme, ale s ohľadom na nové premenné a a b:

Pretože a \u003d 1, potom z rovnice a + 6 \u003d 2 nájdeme: 1 + 6 \u003d 2; 6 = 1. Pre premenné a a b teda máme jedno riešenie:

Ak sa vrátime k premenným x a y, dostaneme sústavu rovníc

Na vyriešenie tohto systému použijeme metódu algebraického sčítania:

Odvtedy z rovnice 2x + y = 3 zistíme:
Pre premenné x a y teda máme jedno riešenie:

Túto časť ukončíme krátkou, ale dosť serióznou teoretickou diskusiou. Už ste získali nejaké skúsenosti s riešením rôznych rovníc: lineárnych, štvorcových, racionálnych, iracionálnych. Viete, že hlavnou myšlienkou riešenia rovnice je postupný prechod z jednej rovnice na druhú, jednoduchšiu, ale ekvivalentnú danej rovnici. V predchádzajúcej časti sme zaviedli pojem ekvivalencie pre rovnice s dvoma premennými. Tento koncept sa používa aj pre sústavy rovníc.

Definícia.

Dve sústavy rovníc s premennými x a y sa považujú za ekvivalentné, ak majú rovnaké riešenia alebo ak obe sústavy nemajú žiadne riešenia.

Všetky tri metódy (substitúcia, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných), o ktorých sme hovorili v tejto časti, sú z hľadiska ekvivalencie absolútne správne. Inými slovami, pomocou týchto metód nahrádzame jednu sústavu rovníc inou, jednoduchšou, ale ekvivalentnou pôvodnej sústave.

Grafická metóda riešenia sústav rovníc

Už sme sa naučili riešiť sústavy rovníc takými bežnými a spoľahlivými spôsobmi, ako je metóda substitúcie, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných. A teraz si spomeňme na metódu, ktorú ste už študovali v predchádzajúcej lekcii. To znamená, zopakujme si, čo viete o metóde grafického riešenia.

Metóda grafického riešenia sústav rovníc je konštrukcia grafu pre každú z konkrétnych rovníc, ktoré sú zahrnuté v tomto systéme a sú v rovnakej súradnicovej rovine, a tiež tam, kde je potrebné nájsť priesečník bodov týchto grafov. . Na vyriešenie tohto systému rovníc sú súradnice tohto bodu (x; y).

Malo by sa pamätať na to, že je bežné, že grafický systém rovníc má buď jediné správne riešenie, alebo nekonečný počet riešení, alebo nemá riešenia vôbec.

Teraz sa pozrime bližšie na každé z týchto riešení. A tak systém rovníc môže mať jedinečné riešenie, ak sa priamky, ktoré sú grafmi rovníc systému, pretínajú. Ak sú tieto čiary rovnobežné, potom takýto systém rovníc nemá absolútne žiadne riešenia. V prípade zhody priamych grafov rovníc systému potom takýto systém umožňuje nájsť veľa riešení.

Teraz sa pozrime na algoritmus riešenia sústavy dvoch rovníc s 2 neznámymi pomocou grafickej metódy:

Najprv zostavíme graf 1. rovnice;
Druhým krokom bude nakreslenie grafu, ktorý sa týka druhej rovnice;
Po tretie, musíme nájsť priesečníky grafov.
A ako výsledok dostaneme súradnice každého priesečníka, ktorý bude riešením systému rovníc.

Pozrime sa na túto metódu podrobnejšie s príkladom. Dostali sme systém rovníc, ktoré treba vyriešiť:

Riešenie rovníc

1. Najprv zostavíme graf tejto rovnice: x2+y2=9.

Treba však poznamenať, že tento graf rovníc bude kruh so stredom v počiatku a jeho polomer bude rovný trom.

2. Naším ďalším krokom bude zostrojenie rovnice ako: y = x - 3.

V tomto prípade musíme postaviť priamku a nájsť body (0;−3) a (3;0).

3. Pozrime sa, čo máme. Vidíme, že priamka pretína kružnicu v dvoch jej bodoch A a B.

Teraz hľadáme súradnice týchto bodov. Vidíme, že súradnice (3;0) zodpovedajú bodu A a súradnice (0;−3) zodpovedajú bodu B.

A čo získame ako výsledok?

Čísla (3;0) a (0;−3) získané na priesečníku priamky s kružnicou sú presne riešeniami oboch rovníc sústavy. A z toho vyplýva, že tieto čísla sú tiež riešeniami tejto sústavy rovníc.

To znamená, že odpoveďou tohto riešenia sú čísla: (3;0) a (0;−3).