Vety na štúdium rovníc a nerovníc s parametrom. Metodika rozvoja zručností riešiť rovnice a nerovnice s parametrami v kurze základnej strednej školy

Odbor školstva Vladimírskeho kraja

Ministerstvo školstva Sudogodského okresu

Mestská vzdelávacia inštitúcia

"Stredná škola Moshok"

« Riešenie rovnice A nerovnosti s parameter»

Vyvinutý: Gavrilova G.V.

učiteľ matematiky

mestská vzdelávacia inštitúcia "Moshokskaya priemer"

základná škola"

rok 2009

Riešenie rovníc a nerovníc s parametrami

Vysvetľujúca poznámka
Pojem parameter je matematický pojem, ktorý sa často používa v školskej matematike a príbuzných disciplínach.

7. ročník - pri štúdiu lineárnej funkcie a lineárnej rovnice s jednou premennou.

8. ročník - pri štúdiu kvadratických rovníc.

Všeobecný vzdelávací program školského matematického kurzu nepočíta s riešením úloh s parametrami a pri prijímacích skúškach na vysoké školy a Jednotnej štátnej skúške z matematiky sa vyskytujú problémy s parametrami, ktorých riešenie spôsobuje študentom veľké ťažkosti. s parametrami majú diagnostickú a prognostickú hodnotu, čo umožňuje otestovať vedomosti z hlavných častí školského kurzu matematiky, úroveň logického myslenia, počiatočné výskumné zručnosti.

Hlavným cieľom predmetu je oboznámiť študentov so všeobecnými prístupmi k riešeniu úloh s parametrami, pripraviť študentov tak, aby dokázali úspešne zvládnuť úlohy obsahujúce parametre v atmosfére súťažnej skúšky.

Vyriešte rovnicu, určte počet riešení, preskúmajte rovnicu, nájdite kladné korene, dokážte, že nerovnica nemá riešenia atď. – to všetko sú možnosti pre parametrické príklady. Preto nie je možné poskytnúť univerzálny návod na riešenie príkladov, tento kurz skúma rôzne príklady s riešeniami. Učivo je prezentované podľa nasledujúcej schémy: podklady, príklady s riešením, príklady na samostatnú prácu, príklady na zistenie úspešnosti zvládnutia látky.

Riešenie úloh s parametrami prispieva k formovaniu výskumných zručností a intelektuálneho rozvoja.

Ciele kurzu:

Systematizovať vedomosti, ktoré žiaci nadobudli v 7. a 8. ročníku pri riešení lineárnych a kvadratických rovníc a nerovníc;

Identifikovať a rozvíjať svoje matematické schopnosti;

Vytvorte holistické chápanie riešenia lineárnych rovníc a nerovníc obsahujúcich parametre;

Vytvoriť holistické chápanie riešenia kvadratických rovníc a nerovností obsahujúcich parametre;

Prehĺbiť vedomosti v matematike, zabezpečiť formovanie udržateľného záujmu študentov o predmet;

poskytujú prípravu na odborné činnosti vyžadujúce vysokú matematickú kultúru.

Výchovno-tematický plán

№ p/p	Predmet	Množ hodiny	Aktivity
1.			Dielňa
2.	Počiatočné informácie o úlohách s parametrom.		Seminár
3.	Riešenie lineárnych rovníc obsahujúcich parametre.
4.	Riešenie lineárnych nerovností obsahujúcich parametre.		Výskumná práca; výcvik zručností; samostatná práca.
5.	Kvadratické rovnice. Vietov teorém.	3	Výskumná práca; výcvik zručností; samostatná práca.
6.	Úspešné ukončenie kurzu	1	Záverečný test

Téma 1. Riešenie lineárnych rovníc a nerovníc, kvadratických rovníc a nerovníc, riešenie úloh pomocou Vietovej vety.
Téma 2. Úvodné informácie o úlohách s parametrom.

Koncept parametra. Čo to znamená „riešiť problém s parametrom“? Základné typy problémov s parametrom. Základné metódy riešenia úloh s parametrom.

Príklady riešenia lineárnych rovníc s parametrom.
Téma 4. Riešenie lineárnych nerovníc obsahujúcich parametre.

Príklady riešenia lineárnych nerovníc s parametrom.

Téma 5. Kvadratické rovnice. Vietov teorém.

Príklady riešenia kvadratických rovníc s parametrom.

Didaktický materiál pre výberový predmet

„Riešenie rovníc a

nerovnosti s parametrom"
Téma 1. Príklady pre túto tému.
Téma 2. Príklady, kde sa študenti už stretli s parametrami:

Funkcia priamej úmernosti: y = kx (x a y sú premenné; k je parameter, k ≠ 0);

Funkcia inverznej proporcionality: y = k / x (x a y sú premenné, k je parameter, k ≠ 0)

Lineárna funkcia: y = kh + b (x a y sú premenné; k a b sú parametre);

Lineárna rovnica: ax + b = 0 (x je premenná; aab sú parametre);

Kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0 (x je premenná; a, b a c sú parametre,

Čo je parameter?

Ak v rovnici alebo nerovnosti nie sú niektoré koeficienty nahradené konkrétnymi číselnými hodnotami, ale sú označené písmenami, potom sa nazývajú parametre a rovnica alebo nerovnosť je parametrická.

Parametre sa zvyčajne označujú prvými písmenami latinskej abecedy: a, b, c, ... alebo a 1, a 2, a 3, ..., a neznáme poslednými písmenami latinskej abecedy x, y, z, ... Tieto označenia nie sú povinné, ale ak v stave nie je uvedené, ktoré písmená sú parametre a ktoré sú neznáme -

mi, potom sa použijú nasledujúce označenia.

Vyriešte napríklad rovnicu (4x – ax)a = 6x – 10. Tu x je neznáma a a je parameter.

Čo to znamená „riešiť problém s parametrom“?

Riešiť úlohu s parametrom znamená pre každú hodnotu parametra a nájsť hodnotu x, ktorá vyhovuje tomuto problému, t.j. záleží od otázky v probléme.

Riešenie rovnice alebo nerovnosti s parametrami znamená:

Zistite, pri akých hodnotách parametrov existujú riešenia;

Pre každý prípustný systém hodnôt parametrov nájdite zodpovedajúcu sadu riešení.

Aké sú hlavné typy problémov s parametrom?
Typ 1. Rovnice, nerovnosti, ktoré je potrebné vyriešiť buď pre akúkoľvek hodnotu parametra, alebo pre hodnoty parametrov patriace do vopred určenej množiny. Tento typ úloh je základný pri zvládnutí témy „Problémy s parametrami“.

Typ 2. Rovnice, nerovnice, pre ktoré je potrebné určiť počet riešení v závislosti od hodnoty parametra.

Typ 3. Rovnice, nerovnosti, pre ktoré je potrebné nájsť všetky tie hodnoty parametrov, pre ktoré majú špecifikované rovnice a nerovnice daný počet riešení (najmä nemajú alebo majú nekonečný počet riešení). Problémy typu 3 sú v určitom zmysle opakom problémov typu 2.

Typ 4. Rovnice, nerovnice, pre ktoré pre požadované hodnoty parametra množina riešení spĺňa dané podmienky v oblasti definície.

Nájdite napríklad hodnoty parametrov, pri ktorých:

1) rovnica je splnená pre akúkoľvek hodnotu premennej z daného intervalu;

2) množina riešení prvej rovnice je podmnožinou množiny riešení druhej rovnice atď.

Základné metódy riešenia úloh s parametrom.
Metóda 1. (analytická) Táto metóda je takzvané priame riešenie, ktoré opakuje štandardné metódy hľadania odpovede v problémoch bez parametra.

Metóda 2. (grafická) V závislosti od úlohy sa berú do úvahy grafy v rovine súradníc (x; y) alebo v rovine súradníc (x; a).

Metóda 3. (rozhodnutie o parametri) Pri riešení pomocou tejto metódy sa predpokladá, že premenné x a a sú rovnaké a vyberie sa premenná, vzhľadom na ktorú sa analytické riešenie považuje za jednoduchšie. Po prirodzených zjednodušeniach sa vrátime k pôvodnému významu premenných x a a a dokončíme riešenie.

Komentujte. Podstatným krokom pri riešení problémov s parametrami je zapísanie odpovede. To platí najmä pre tie príklady, kde sa zdá, že riešenie sa „vetví“ v závislosti od hodnôt parametrov. V takýchto prípadoch je zostavenie odpovede súborom predtým získaných výsledkov. A tu je veľmi dôležité nezabudnúť v odpovedi premietnuť všetky fázy riešenia.

Pozrime sa na príklady. 2.1. Porovnaj -a a 5a.

Riešenie. Je potrebné zvážiť tri prípady: ak a 5a;

ak a = 0, potom –a = 5a;

ak a > 0, potom –a

Odpoveď. Keď 5a; pri a = 0, –a = 5a; pre a > 0, -a

Vyriešte rovnicu ax = 1.

Riešenie. Ak a = 0, potom rovnica nemá riešenia.

Ak a ≠ 0, potom x = 1 / a.

Odpoveď. Pre a = 0 neexistujú žiadne riešenia; pre a ≠ 0, x = 1 / a.

Porovnajte s a – 7c.
Vyriešte rovnicu cx = 10

Téma 3.

Lineárne rovnice

Rovnice formulára

kde a, b patria do množiny reálnych čísel a x je neznáma, nazývaná lineárna rovnica vzhľadom na x.

Schéma na štúdium lineárnej rovnice (1).

1.Ak a ≠ 0, b je akékoľvek reálne číslo. Rovnica má jedinečné riešenie x = b/a.

2. Ak a=0, b=0, potom rovnica bude mať tvar 0 ∙ x = 0, riešením rovnice bude množina všetkých reálnych čísel.

3. Ak a=0, b ≠ 0, potom rovnica 0 ∙ x = b nemá riešenia.

Komentujte. Ak lineárna rovnica nie je uvedená vo forme (1), musíte ju najskôr uviesť do formy (1) a až potom vykonať štúdiu.
Príklady. 3.1 Riešte rovnicu (a -3)x = b+2a

Rovnica je napísaná ako (1).

Riešenie: Ak a≠ 3, potom rovnica má riešenie x = b+2a/ a-3 pre ľubovoľné b.

To znamená, že jediná hodnota a, pri ktorej nemusia existovať riešenia rovnice, je a = 3. V tomto prípade má rovnica (a -3)x = b+2a tvar

0 ∙ x = b+6. (2)

Ak β≠ - 6, potom rovnica (2) nemá riešenia.

Ak β = - 6, potom každé x je riešením (2).

V dôsledku toho je β = - 6 jedinou hodnotou parametra β, pre ktorú rovnica (1) má riešenie pre ľubovoľné a (x=2 pre a ≠3 a x patrí do množiny reálnych čísel pre a=3).

Odpoveď: b = -6.

3.2. Vyriešte rovnicu 3(x-2a) = 4(1-x).

3.3. Vyriešte rovnicu 3/kx-12=1/3x-k

3.4. Vyriešte rovnicu (a 2 -1)x = a 2 – a -2

3.5. Vyriešte rovnicu x 2 + (2a +4)x +8a+1=0
Samostatná práca.

Možnosť 1. Vyriešte rovnice: a) vstup + 2 = - 1;

b) (a – 1)x = a – 2;

c) (a 2 – 1)x – a 2 + 2a – 1 = 0.

Možnosť 2. Riešte rovnice: a) – 8 = v + 1;

b) (a + 1) x = a – 1;

c) (9а 2 – 4) х – 9а 2 + 12а – 4 = 0.
Téma 4.

Lineárne nerovnosti s parametrom

Nerovnosti

ah > v, ah
kde a, b sú výrazy závislé od parametrov a x je neznáma, sa nazývajú lineárne nerovnosti s parametrami.

Riešenie nerovnosti s parametrami znamená nájsť množinu riešení nerovnosti pre všetky hodnoty parametrov.

Schéma riešenia nerovnosti aX > c.

Ak a > 0, potom x > b/a.
Ak
Ak a = 0, potom nerovnosť bude mať tvar 0 ∙ x > b. Pre β ≥ 0 nerovnosť nemá riešenia; pri

Žiaci si sami vytvárajú diagramy na riešenie iných nerovností.
Príklady. 4.1. Vyriešte nerovnosť a(3x-1)>3x – 2.

Riešenie: a(3x-1)>3x – 2, čo znamená 3x(a-1)>a-2.

Zoberme si tri prípady.

a=1, riešenie 0 ∙ x > -1 je ľubovoľné reálne číslo.
a>1, 3x(a-1)>a-2, čo znamená x>a-2/3 (a-1).
a a-2 znamená x

Odpoveď: x > a-2/3 (a-1) pre a>1; x Riešenie nerovností. 4.2. (a – 1)x > a 2 – 1.

2x +5 > a+10x .
(a + 1) x – 3a + 1 ≤ 0.
X2 + ax +1 > 0.

Samostatná práca.

Možnosť 1. Riešte nerovnice: a) ( A– 1)x ≤ A 2 – 1;

b) 3x-a > ah – 2.

Možnosť 2. Riešte nerovnice: a) (a – 1)x – 2a +3 ≥ 0;

b) akh-2v
Téma 5.

Kvadratické rovnice obsahujúce parametre. Vietov teorém.

Rovnica formulára

ax 2 +in + c = 0, (1)

kde a, b, c sú výrazy závislé od parametrov, a ≠ 0, x je neznáma, nazývaná kvadratická rovnica s parametrami.
Schéma na štúdium kvadratickej rovnice (1).

Ak a = 0, potom máme lineárnu rovnicu inx + c = 0.
Ak a ≠ 0 a diskriminant rovnice D = 2 – 4ac
Ak a ≠ 0 a D = 0, potom rovnica má jedinečné riešenie x = - B / 2a alebo, ako sa tiež hovorí, zhodné korene x 1 = x 2 = - B / 2a.
Ak a ≠ 0 a D > 0, potom rovnica má dva rôzne korene X 1,2 = (- V ± √D) / 2a

Príklady. 5.1. Pre všetky hodnoty parametra a vyriešte rovnicu

(a – 1) x 2 – 2ax + a + 2 = 0.

Riešenie. 1. a – 1 = 0, t.j. a = 1. Potom bude mať rovnica tvar -2x + 3 = 0, x = 3 / 2.

2. a ≠ 1. Nájdite diskriminant rovnice D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8.

Možné sú tieto prípady: a) D 8, a > 2. Rovnica nemá

b) D = 0, t.j. -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2. Rovnica má jednotku

koreň x = a / (a – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.

c) D > 0, t.j. -4a + 8 > 0,4a

koreň x 1,2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2 (a – 1) = (a ± √ 2 – a) / (a – 1)

Odpoveď. Keď a = 1 x = 3/2;

keď a = 2 x = 2;

pre a > 2 nie sú žiadne korene;

Pre všetky hodnoty parametrov vyriešte rovnice:

ax 2 + 3ax – a – 2 = 0;
ax 2 +6x – 6 = 0;
v 2 – (v + 1)x +1 = 0;
(b + 1) x 2 – 2 x + 1 – b = 0.

Samostatná práca.

Možnosť 1. Vyriešte rovnicu ax 2 - (a+3)x + 3 = 0.

Možnosť 2. Vyriešte rovnicu a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0.
Úlohy.

. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré platí kvadratická rovnica

(a -1)x 2 + 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0 má dva rôzne korene; nemá korene; má jeden koreň.

Riešenie. Táto rovnica je kvadratická podľa podmienok, čo znamená

a – 1 ≠ 0, t.j. a ≠ 1. Nájdite diskriminant D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) =

4(4a 2 + 4a + 1 – 4a 2 + a + 3) = 4 (5a + 4).

Máme: 1) Pre a ≠ 1 a D > 0, t.j. 4(5a + 4) > 0, a > - 4 / 5 rovnica má dve

rôzne korene.

2) Pre a ≠ 1 a D

3) Pre a ≠ 1 a D = 0, t.j. a = - 4 / 5 rovnica má jeden koreň.

Odpoveď. Ak a > - 4 / 5 a a ≠ 1, potom rovnica má dva rôzne korene;

ak a = - 4 / 5, potom rovnica má jeden koreň.

.Pre aké hodnoty parametra a má rovnica (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 jednoznačné riešenie?
.Pre aké hodnoty parametra a nemá rovnica (a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0 riešenia?
.Pre aké hodnoty parametra a má rovnica ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 dva rôzne korene?

Samostatná práca.

Možnosť 1. Nájdite všetky hodnoty parametrov A, pre ktorú platí kvadratická rovnica (2 A – 1)X 2 +2X– 1 = 0 má dva rôzne korene; nemá korene; má jeden koreň.

Možnosť 2.. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré platí kvadratická rovnica (1 – A)X 2 +4X– 3 = 0 má dva rôzne korene; nemá korene; má jeden koreň.
Vietov teorém.

Nasledujúce vety sa používajú na riešenie mnohých problémov zahŕňajúcich kvadratické rovnice obsahujúce parametre.

Vietov teorém. Ak x 1, x 2 sú korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0, a≠0, potom x 1 + x 2 = - B / a a x 1 ∙ x 2 = C / a.
Veta 1. Aby korene štvorcovej trojčlennej osi 2 + bx + c boli skutočné a mali rovnaké znamienka, je potrebné a postačujúce splniť tieto podmienky: D = v 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C/A > 0.

V tomto prípade budú oba korene kladné, ak x 1 + x 2 = - B /a > 0, a oba korene budú záporné, ak x 1 + x 2 = - B /a
Veta 2. Na to, aby odmocniny štvorcovej trojčlennej osi 2 + bx + c boli skutočné a obe nezáporné alebo obidve kladné, je potrebné a postačujúce splniť nasledujúce podmienky: D = v 2 – 4ac ≥ 0, x 1∙ x 2 = C/a≥ 0.

V tomto prípade budú oba korene nezáporné, ak x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0, a oba korene budú záporné, ak x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0.

Veta 3. Aby korene kvadratického trinomu ax 2 + bx + c boli skutočné a mali rôzne znamienka, je potrebné a postačujúce splniť tieto podmienky: x 1 ∙ x 2 = C /aV tomto prípade je podmienka D = b 2 – 4ac > 0 je splnené automaticky.
Poznámka. Tieto vety hrajú dôležitú úlohu pri riešení problémov súvisiacich so štúdiom znamienok koreňov rovnice ax 2 + bx + c = 0.

Užitočné rovnosti: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2, (1)

x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2) (x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2), (2)

(x 1 – x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 – 4x 1 x 2, (3)

(5)

5.10.

(a – 1)x 2 – 2ax + a +1 = 0 má: a) dva kladné korene; b) dva negatívne korene; c) korene rôznych znakov?

Riešenie. Rovnica je kvadratická, čo znamená a ≠ 1. Podľa Vietovej vety máme

x 1 + x 2 = 2a / (a – 1), x 1 x 2 = (a + 1) / (a – 1).

Vypočítajme diskriminant D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4.

a) Podľa vety 1 má rovnica kladné korene, ak

D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, t.j. (a + 1) / (a – 1) > 0, 2a / (a – 1) > 0.

Preto a є (-1; 0).

b) Podľa vety 1 má rovnica záporné korene, ak

D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a – 1)

Preto a є (0; 1).

c) Podľa vety 3 má rovnica korene rôznych znamienok, ak x 1 x 2

(a + 1) / (a – 1) Odpoveď. a) pre a є (-1; 0) má rovnica kladné korene;

b) pre a є (0; 1) má rovnica záporné korene;

c) pre a є (-1; 1) má rovnica korene rôznych znamienok.
5.11. Pri akých hodnotách parametra a je kvadratická rovnica

(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 má: a) dva kladné korene; b) dva negatívne korene; c) korene rôznych znakov?

5. 12. Bez riešenia rovnice 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0 nájdite x 1 -1 + x 2 -1, kde x 1, x 2 sú korene rovnice.

5.13. Pre aké hodnoty parametra a má rovnica x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 korene, ktorých súčet štvorcov je 4.

Test.
Možnosť 1. 1. Vyriešte rovnicu (a 2 + 4a)x = 2a + 8.

2. Vyriešte nerovnosť (v + 1)x ≥ (v 2 – 1).

3. Pri akých hodnotách parametra a platí rovnica

x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 má: a) dva kladné korene; b) dva negatívne korene; c) korene rôznych znakov?

Možnosť 2. 1. Vyriešte rovnicu (a 2 – 2a)x = 3a.

2. Vyriešte nerovnosť (a + 2)x ≤ a 2 – 4.

3. Pri akých hodnotách parametra v rovnici

x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 má: a) dva kladné korene; b) dva negatívne korene; c) korene rôznych znakov?

Literatúra.

V.V. Mochalov, V.V. Silvestrov. Rovnice a nerovnice s parametrami. Ch.: Vydavateľstvo ChSU, 2004. – 175 s.
Yastrebinsky G.A. Problémy s parametrami. M.: Školstvo, 1986, - 128 s.
Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy. Učebnica pre 10 – 11 ročníkov strednej školy. M.: Školstvo, 1991. – 351 s.
T. Pešková. Prvý úvod do parametrov v rovniciach. Vzdelávacie a metodické noviny „Matematika“. č. 36, 1999.
T. Kosjakovej. Riešenie lineárnych a kvadratických nerovností obsahujúcich parametre. 9. ročníka Výchovno-metodické noviny "Matematika".č.25 - 26, č.27 - 28. 2004.
T. Goršenina. Problémy s parametrom. 8. trieda Vzdelávacie a metodické noviny „Matematika“. č. 16. 2004.
Sh. Tsyganov. Štvorcové trojčlenky a parametre. Vzdelávacie a metodické noviny „Matematika“. č. 5. 1999.
S. Nedeljaeva. Vlastnosti riešenia problémov s parametrom. Vzdelávacie a metodické noviny „Matematika“. č. 34. 1999.

9. V.V. Problémy s lakťom s parametrami. Lineárne a kvadratické rovnice, nerovnice, sústavy. Vzdelávacia a metodická príručka Moskva 2005.

FBGOU VPO „Mordovský štát

Pedagogický inštitút pomenovaný po M.E. Evsevieva"

FYZIKÁLNE A MATEMATICKÁ FAKULTA

Katedra matematiky a metód vyučovania matematiky

KURZOVÁ PRÁCA

Metodika rozvoja zručností riešiť rovnice a nerovnice s parametrami v kurze základnej strednej školy

študent skupiny MDM-110 A.I. Zimina

Špecializácia: 050201.65 „Matematika“ s doplnkovou špecializáciou 050202 „Informatika“

Saransk 2014

Úvod

Teoretické základy priamok rovníc a nerovníc v kurze školskej matematiky

1 Typy rovníc v školskom kurze matematiky

2 Typy nerovností v školskom kurze matematiky

3 Vlastnosti riešenia rovníc s parametrami

4 Vlastnosti riešenia nerovností s parametrami

Záver

Bibliografia

Úvod

V súčasnom štádiu rozvoja školského vzdelávania sa prioritou stávajú rozvojové vzdelávacie ciele. V tomto ohľade pri štúdiu matematiky nadobúda mimoriadny význam organizovaný výcvik v technikách myslenia a racionálnej realizácii vzdelávacích aktivít, čo je mimoriadne dôležité pri zvládnutí zložitých tém a riešení zložitých problémov, ako sú rovnice a nerovnice s parametrami. Práve nedostatočný rozvoj metód výchovno-vzdelávacej činnosti je jednou z príčin, že väčšina žiakov robí chyby alebo má ťažkosti pri riešení aj jednoduchých problémov tohto druhu.

M.I. študoval problémy s parametrami, ich úlohu pri učení a koncepty súvisiace s ich riešením. Bašmakov, G.V. Dorofeev, M.I. Zaykin, T.A. Ivanová, G.L. Lukankin, Ya.L. Kreinin, V.K. Markov, A.G. Mordkovich, N.Kh. Rozov, G.I. Sarantsev, R.A. Uteeva a i. Mnohí z nich zdôrazňovali dôležitosť učiť školákov riešiť rovnice a nerovnice s parametrami, predovšetkým v súvislosti s potrebou pripraviť študentov na záverečné certifikačné práce a rôzne typy súťažných testov. Väčšina autorov zároveň problémy s parametrami charakterizuje ako výskumné problémy, ktoré si vyžadujú vysokú logickú kultúru a výskumné techniky; ako logicky a sémanticky najzložitejšie otázky elementárnej matematiky. V tejto súvislosti V.V. Verešová, V.I. Gorbačov, N.S. Denisová, V.N. Litvinenko, A.G. Mordkovich, T.N. Polyakova, G.A. Yastrebinetsky a ďalší správne poznamenávajú, že na opísanie procesu ich riešenia je potrebné použiť systém pojmov, matematických tvrdení a faktov, ktoré sú určené základnými matematickými myšlienkami; niektorí z nich sa ho pokúšajú rozvíjať. V početných príručkách a príručkách referenčného a metodického charakteru pre študentov vysokých škôl sa však zvažujú len konkrétne techniky riešenia konkrétnych rovníc a nerovníc s parametrami, najčastejšie v rámci širokého spektra súťažných úloh.

Rovnice a nerovnice obsahujúce parameter sa v školskom kurze matematiky systematicky neštudujú, ale zvažujú sa len niektoré ich najjednoduchšie príklady. Preto sú metódy a techniky riešenia takýchto problémov pre väčšinu študentov neznáme.

Relevantnosť tejto témy spočíva v tom, že pri rozbore písomiek z matematiky prídete na to, že počas kurzu matematiky na strednej škole si študenti musia rozvinúť schopnosť riešiť úlohy s parametrami. Okrem priamej prípravy študentov na skúšky z tejto časti matematiky (riešenie úloh s parametrami), jej hlavnou úlohou je pozdvihnúť štúdium matematiky na škole na vyššiu úroveň, sledovať rozvoj zručností pri riešení určitého súboru štandardných problémov. .

Predmet štúdia: proces rozvíjania zručností riešiť rovnice a nerovnice s parametrami v rámci školskej matematiky na strednej škole.

Predmet výskumu: rovnice a nerovnice s parametrami.

Cieľ štúdia: poukázať na typy a metódy riešenia rovníc a nerovníc s parametrami v kurze školskej matematiky.

Na dosiahnutie tohto cieľa bolo potrebné vyriešiť nasledujúce úlohy:

) študovať a analyzovať odbornú literatúru o výskumnom probléme;

) Zvážte úlohu rovníc a nerovníc v kurze školskej matematiky;

1. Teoretické základy rovníc a nerovníc v kurze školskej matematiky

Vzhľadom na dôležitosť a rozsiahlosť látky súvisiacej s pojmom rovnica je jej štúdium v moderných metódach matematiky usporiadané do obsahovo-metodologickej línie rovníc a nerovníc. Tu uvažujeme o tvorbe pojmov rovníc a nerovníc, všeobecných a partikulárnych metódach ich riešenia, vzťahu štúdia rovníc a nerovníc s numerickými, funkčnými a inými líniami školského kurzu matematiky.

Identifikované oblasti vzniku a fungovania pojmu rovnica v algebre zodpovedajú trom hlavným smerom vývoja priamky rovníc a nerovníc v kurze školskej matematiky.

a) Aplikované zameranie priamky rovníc a nerovníc sa odhalí najmä pri štúdiu algebraickej metódy riešenia slovných úloh. Táto metóda je široko používaná v školskej matematike, pretože sa týka výučby techník používaných v aplikáciách matematiky.

V súčasnosti zaujíma matematické modelovanie popredné miesto v aplikáciách matematiky. Pomocou tohto konceptu môžeme povedať, že aplikovaný význam rovníc, nerovníc a ich systémov je determinovaný skutočnosťou, že sú hlavnou súčasťou matematických nástrojov používaných v matematickom modelovaní.

b) Teoretická a matematická orientácia priamky rovníc a nerovníc sa prejavuje v dvoch aspektoch: po prvé pri štúdiu najdôležitejších tried rovníc, nerovníc a ich systémov a po druhé pri štúdiu zovšeobecnených pojmov a metód súvisiacich k linke ako celku. Oba tieto aspekty sú potrebné v školskom kurze matematiky. Hlavné triedy rovníc a nerovníc sú spojené s najjednoduchšími a zároveň najdôležitejšími matematickými modelmi. Použitie zovšeobecnených konceptov a metód umožňuje logicky organizovať štúdium úsečky ako celku, pretože opisujú to, čo je bežné v postupoch a technikách riešenia týkajúcich sa jednotlivých tried rovníc, nerovníc a systémov. Tieto všeobecné pojmy a metódy sú zasa založené na základných logických pojmoch: neznáma, rovnosť, ekvivalencia, logický dôsledok, ktoré musia byť odhalené aj v rade rovníc a nerovníc.

c) Priamka rovníc a nerovníc sa vyznačuje orientáciou na nadväzovanie súvislostí s ostatným obsahom matematického kurzu. Tento rad úzko súvisí s číselným radom. Hlavnou myšlienkou implementovanou v procese vytvárania vzťahu medzi týmito líniami je myšlienka postupného rozširovania číselného systému. Všetky numerické oblasti zvažované v školskej algebre a začiatky analýzy, s výnimkou oblasti všetkých reálnych čísel, vznikajú v súvislosti s riešením akýchkoľvek rovníc, nerovníc, systémov. Napríklad číselné intervaly sú rozlíšené nerovnosťami alebo sústavami nerovností. Oblasti iracionálnych a logaritmických výrazov sú spojené s rovnicami (k-prirodzené číslo väčšie ako 1.

Spojenie medzi radom rovníc a nerovníc a číselnou osou je obojsmerné. Uvedené príklady ukazujú vplyv rovníc a nerovníc na nasadenie číselného systému. Opačný efekt sa prejavuje v tom, že každá novozavedená číselná oblasť rozširuje možnosti skladania a riešenia rôznych rovníc a nerovníc.

S funkčnou čiarou úzko súvisí aj priamka rovníc a nerovníc. Jedným z najdôležitejších spojení je aplikácia metód vyvinutých v rade rovníc a nerovníc na štúdium funkcií (napríklad na úlohy hľadania oblasti definície určitých funkcií, ich koreňov, intervalov konštantného znamienka atď.). ). Na druhej strane má funkčná čiara významný vplyv na obsah priamky rovníc a nerovníc a na štýl jej štúdia. Predovšetkým funkčné reprezentácie slúžia ako základ na získanie grafickej prehľadnosti pri riešení a štúdiu rovníc, nerovníc a ich systémov.

1 Typy rovníc v kurze školskej matematiky

Pojem „rovnica“ sa vzťahuje na najdôležitejšie všeobecné matematické pojmy.

Existujú rôzne interpretácie pojmu „rovnica“.

A JA Vilenkin a kol., uvádzajú logickú a matematickú definíciu rovnice. Nech je množina algebraických operácií fixovaná na množine M, x je premenná na M; potom rovnica na množine M vzhľadom na x je predikátom tvaru, kde a sú členy vzhľadom na dané operácie, ktorých zápis obsahuje symbol Podobným spôsobom možno definovať rovnicu v dvoch alebo viacerých premenných .

Pojmy „termín“ a „predikát“ akceptované v logike zodpovedajú takým pojmom školskej matematiky ako „výraz“ a „veta s premennou“. Preto za najbližšiu k danej formálnej definícii možno považovať nasledujúcu definíciu: „Veta s premennou, ktorá má tvar rovnosti medzi dvoma výrazmi s touto premennou, sa nazýva rovnica. Táto definícia je uvedená v učebnici „Algebra a začiatky analýzy“ od A.N. Kolmogorova a iných Rovnosť s premennou sa nazýva rovnica. Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnosť s premennou zmení na skutočnú číselnú rovnosť, sa nazýva koreň rovnice.

Často, najmä na začiatku kurzu systematickej algebry, sa pojem rovnice zavádza tak, že sa izoluje od algebraickej metódy riešenia problémov. Napríklad v učebnici Sh.A. Alimova a kol. je pojem rovnica zavedený na základe materiálu textového problému. Prechod na pojem rovnica sa uskutočňuje na základe analýzy niektorých formálnych znakov zápisu, ktoré vyjadrujú obsah tohto problému v algebraickej forme: „Rovnosť obsahujúca neznáme číslo označené písmenom sa nazýva rovnica." Naznačený spôsob zavedenia pojmu rovnica zodpovedá ďalšej zložke pojmu rovnica - aplikovanej.

Iný prístup k pojmu rovnica sa získa zostavením oblasti definície rovnice a množiny jej koreňov. Napríklad v učebnici od D.K. Fadeeva „Doslovná rovnosť, ktorá sa nemusí nevyhnutne zmeniť na správnu číselnú rovnosť s prípustnými sadami písmen, sa nazýva rovnica.“

Môžete tiež nájsť tretiu verziu definície, ktorej úloha je odhalená pri štúdiu grafickej metódy riešenia rovníc: „Rovnica je rovnosť dvoch funkcií.

Spomedzi všetkých typov rovníc študovaných v kurze matematiky V.I. Mishin identifikuje relatívne obmedzený počet základných typov. patria sem: lineárna rovnica s jednou neznámou, sústava dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi, kvadratické rovnice, najjednoduchšia iracionálna a transcendentálna.

Yu.M. Kolyagin a ďalší klasifikujú podľa typu funkcií reprezentujúcich pravú a ľavú stranu rovníc:

Rovnica sa nazýva:

algebraické, ak a sú algebraické funkcie;

transcendentálny, ak je aspoň jedna z funkcií transcendentálna;

racionálna algebraická (alebo jednoducho racionálna), ak sú aj algebraické funkcie racionálne;

iracionálna algebraická (alebo jednoducho iracionálna), ak je aspoň jedna z algebraických funkcií iracionálna;

racionálne celé číslo, ak funkcia a celé čísla sú racionálne;

zlomkové racionálne, ak aspoň jedna z racionálnych funkcií je tiež zlomková racionálna.

Rovnica, v ktorej je polynóm štandardného tvaru, sa nazýva lineárna (prvého stupňa), kvadratická (druhého stupňa), kubická (tretieho stupňa) a vo všeobecnosti tretieho stupňa, ak má polynóm resp. prvý, druhý, tretí a všeobecne druhý stupeň.

V škole sa študuje niekoľko druhov rovníc. Patria sem: lineárne rovnice s jednou neznámou, kvadratické rovnice, iracionálne a transcendentálne rovnice, racionálne rovnice. Tieto typy rovníc sa študujú s veľkou starostlivosťou, vykoná sa algoritmus riešenia a automaticky sa uvedie do prevádzky a uvedie sa forma, v ktorej by mala byť odpoveď napísaná.

Typy rovníc a metódy riešenia:

) Lineárna rovnica

Rovnica s jednou premennou je rovnica, ktorá obsahuje iba jednu premennú.

Koreň (alebo riešenie) rovnice je hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica zmení na skutočnú číselnú rovnosť.

Nájsť všetky korene rovnice alebo dokázať, že neexistujú, znamená vyriešiť rovnicu.

Príklad 1: Vyriešte rovnicu.

;

) Kvadratická rovnica

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné reálne čísla a a≠0.

Korene kvadratickej rovnice sú tie hodnoty premennej, pri ktorých sa kvadratická rovnica zmení na skutočnú číselnú rovnosť.

Riešenie kvadratickej rovnice znamená nájsť všetky jej korene alebo zistiť, že neexistujú žiadne korene.

Príklad 2: Vyriešte rovnicu

Táto rovnica môže byť vyriešená buď cez Vietovu vetu alebo cez diskriminant.

Odpoveď: x1=-1, x2=-2.

) Racionálne rovnice

racionálne rovnice - rovnice tvaru

kde a sú polynómy a rovnice tvaru kde a sú racionálne.

Príklad 3: Vyriešte rovnicu

) Iracionálne rovnice

Iracionálne rovnice sú rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom odmocniny alebo pod znamienkom operácie zvýšenia na zlomkovú mocninu.

Príklad 4: Vyriešte rovnicu

Vyrovnajme obe strany:

) Exponenciálne a logaritmické rovnice

Pri riešení exponenciálnych rovníc sa používajú dve hlavné metódy: a) prechod od rovnice k rovnici, b) zavedenie nových premenných. Niekedy musíte použiť umelé techniky.

Logaritmické rovnice sa riešia tromi metódami, to znamená prechodom z rovnice na rovnicu - dôsledok, metódou zavádzania nových logaritmických premenných, teda prechodom z rovnice na rovnicu.

A tiež v mnohých prípadoch pri riešení logaritmickej rovnice musíte použiť vlastnosti logaritmu súčinu, kvocientu, stupňa, odmocniny.

2 Typy nerovností v školskom kurze

Vo všeobecnosti je štúdium nerovníc v kurze školskej matematiky organizované rovnakým spôsobom ako rovnice.

Všimnime si niekoľko vlastností štúdia nerovností.

Rovnako ako v prípade rovníc, ani tu neexistuje teória ekvivalencie nerovností. Študentom sú ponúkané menšie fragmenty, uvedené v obsahu vzdelávacieho materiálu.

Väčšina metód riešenia nerovníc pozostáva z prechodu z danej nerovnosti a>b na rovnicu a=b a následného prechodu od nájdených koreňov rovnice k množine riešení k pôvodnej nerovnosti. Takáto situácia nastáva napríklad pri riešení racionálnych nerovníc intervalovou metódou, alebo pri riešení jednoduchých goniometrických nerovníc.

Vizuálne a grafické prostriedky zohrávajú dôležitú úlohu pri skúmaní nerovností.

Dva výrazy (numerické alebo abecedné) spojené jedným zo symbolov: „väčšie ako“ (>), „menšie ako“ (<), «больше или равно» (≥), «меньше или равно» (≤) образуют неравенство (числовое или буквенное). Любое справедливое неравенство называется тождественным.

V závislosti od znamienka nerovnosti máme buď prísne nerovnosti (> ,<), либо нестроги (≥ , ≤).

Doslovné množstvá zahrnuté v nerovnosti môžu byť známe alebo neznáme.

Riešenie nerovnosti znamená nájsť hranice, v ktorých musia ležať neznáme, aby nerovnosť bola identická.

Základné vlastnosti nerovností:

Ak< b, то b >a; alebo ak a > b, potom b< a .

Ak a > b, potom a + c > b + c; alebo ak a< b, то a + c < b + c. То есть, можно прибавлять (вычитать) одно и то же число к обеим частям неравенства.

Ak a > b a c > d, potom a + c > b + d. To znamená, že nerovnosti rovnakého významu (s rovnakým znamienkom > alebo<) можно почленно складывать.

Ak a > b a c< d, то a - c >b - d. Alebo ak a< b и c >d, potom a - c< b - d . То есть, неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать одно из другого, и брать знак неравенства, являющегося уменьшаемым.

Ak a > b a m > 0, potom ma > mb a a/m > b/m. To znamená, že obe strany nerovnosti možno vynásobiť alebo vydeliť rovnakým kladným číslom. Nerovnosť si zachováva svoje znamienko.

Ak a > b a m< 0, то ma < mb и a/m < b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число. Неравенство при этом меняет свой знак на обратный.

Nerovnice obsahujúce neznáme množstvá sa delia na:

¾ algebraické;

¾ transcendentálny;

Algebraické nerovnosti sa delia na nerovnosti prvého, druhého a pod.

Nerovnosť je algebraická, prvého stupňa.

Nerovnosť je algebraická, druhého stupňa.

Nerovnosť je transcendentálna.

Typy nerovností a spôsoby ich riešenia:

) Lineárne nerovnosti

Príklad 5: Vyriešte nerovnosť

Odpoveď: x<-2.

2) Kvadratické nerovnosti

Príklad 6: Riešte nerovnosť x 2> 4

X 2> 4

(x - 2)∙(x + 2) > 0.

Riešime pomocou intervalovej metódy.

) Racionálne nerovnosti

Príklad 7: Nájdite všetky celočíselné hodnoty vyhovujúce nerovnosti

Intervalová metóda:

Riešenie nerovnosti:

Celé čísla patriace do intervalu: -6;-5;-4;1.

Odpoveď: -6;-5;-4;1.

4) Iracionálne nerovnosti

Musíte začať riešiť iracionálne nerovnosti hľadaním domény definície.

Príklad 8: Vyriešte nerovnosť

doména:

Keďže aritmetický koreň nemôže byť záporné číslo

Odpoveď: [-2;7)/

) Exponenciálne, logaritmické nerovnosti

Príklad 9: Vyriešte nerovnosť...

Príklad 10: Vyriešte nerovnicu.

Odpoveď:

3 Vlastnosti riešenia rovnice s parametrami

Zvážte rovnicu

F(x,y,...,z;b,c,...,d)=0 (1)

s neznámymi x, y, ..., z as parametrami b, c, ..., z; pre akýkoľvek prípustný systém hodnôt parametrov b 0,V 0, ..., G0 rovnica (1) sa stáva rovnicou

F(x,y,...,z;b 0,V 0,...,G 0)=0(2)

s neznámymi x, y,..., z, ktoré neobsahujú žiadne parametre. Rovnica (2) má určitý dobre definovaný súbor riešení.

Riešenie rovnice obsahujúcej parametre znamená pre každý prípustný systém hodnôt parametrov nájsť množinu všetkých riešení tejto rovnice.

Hlavné typy rovníc s parametrami:

) Lineárne a kvadratické rovnice obsahujúce parameter

Lineárne a kvadratické rovnice obsahujúce parameter môžu byť spojené do jednej skupiny - skupiny rovníc s parametrom nie vyšším ako druhý stupeň.

V praxi záverečných a súťažných zadaní sú najčastejšie rovnice s parametrom nie vyšším ako druhý stupeň. Ich všeobecný tvar je určený polynómom.

Kontrolné hodnoty parametra sú určené rovnicou. V intervaloch prípustných hodnôt parametrov identifikovaných kontrolnými hodnotami má diskriminant určité znamienko, zodpovedajúce parciálne rovnice patria k jednému z posledných dvoch typov.

Potom sa riešenie akejkoľvek rovnice s parametrom nie vyšším ako druhý stupeň uskutoční v nasledujúcich etapách:

Všetky kontrolné hodnoty parametra, pre ktoré nie sú definované zodpovedajúce parciálne rovnice, sú označené na číselnej osi.

V oblasti prípustných hodnôt sa parameter pôvodnej rovnice redukuje do tvaru pomocou ekvivalentných transformácií.

Identifikuje sa množina kontrolných hodnôt parametra, pre ktoré má rovnica konečnú množinu riešení, potom sa pre každú nájdenú kontrolnú hodnotu parametra samostatne rieši príslušná čiastková rovnica.

Klasifikácia parciálnych rovníc sa vykonáva podľa prvých troch typov. Riešenie rovnice sa uskutočňuje na nekonečnej množine riešení rovnice a identifikujú sa typy nekonečných a prázdnych špeciálnych parciálnych rovníc. Súbor hodnôt parametrov, pre ktoré a zodpovedá tretiemu typu nešpeciálnych parciálnych rovníc.

Identifikujú sa kontrolné hodnoty parametra, pre ktorý sa diskriminant stáva nulou. Zodpovedajúce nešpeciálne parciálne rovnice majú dvojitý koreň.

Nájdené kontrolné hodnoty parametra rozdeľujú rozsah prípustných hodnôt parametrov na intervaly. V každom z intervalov sa určí znamienko diskriminantu.

) Zlomkové racionálne rovnice obsahujúce parameter, redukovateľné na lineárne.

Proces riešenia zlomkových racionálnych rovníc prebieha podľa bežnej schémy: táto rovnica sa nahradí celou vynásobením oboch strán rovnice spoločným menovateľom jej ľavej a pravej strany. Potom študenti vyriešia celú rovnicu spôsobom, ktorý im je známy, s výnimkou cudzích koreňov, teda čísel, ktoré otočia spoločného menovateľa na nulu. V prípade rovníc s parametrami je tento problém zložitejší. Tu, aby sa vylúčili cudzie korene, je potrebné nájsť hodnotu parametra, ktorý zmení spoločného menovateľa na nulu, to znamená vyriešiť zodpovedajúce rovnice pre parameter.

) Iracionálne rovnice obsahujúce parameter.

Hlavné vlastnosti pri riešení rovníc tohto typu sú:

Obmedzenie oblasti definície neznámeho x, pretože sa mení v závislosti od hodnoty parametra;

Po zvážení všetkých špeciálnych prípadov a kvadratúre oboch strán iracionálnej rovnice prejdeme k riešeniu kvadratickej rovnice s parametrom.

) Exponenciálne rovnice obsahujúce parameter.

Väčšina exponenciálnych rovníc s parametrami sa redukuje na exponenciálne rovnice v tvare: a f(x) = b g(x), kde a>0, b>0.

Rozsah prípustných hodnôt takejto rovnice sa nachádza ako priesečník rozsahov prípustných hodnôt funkcií f(x) a g(x). Na vyriešenie rovnice a f(x) = b g(x) Je potrebné zvážiť nasledujúce prípady:

Keď a=b=1 riešením rovnice a f(x) = b g(x) je rozsah jeho prípustných hodnôt D.

Keď a=1, b≠1 riešením rovnice a f(x) = b g(x) slúži ako riešenie rovnice g(x)=0 v rozsahu prípustných hodnôt D.

Pre a≠1, b=1 je riešenie rovnice a f(x) = b g(x) sa nachádza ako riešenie rovnice f(x) = 0 na doméne D.

Keď a=b (a>0, a≠1, b>0, b≠1) rovnica a f(x) = b g(x) je ekvivalentná rovnici f(x) = g(x) na doméne D.

Pre a≠b (a>0, a≠1, b>0, b≠1) rovnica a f(x) = b g(x) je totožná s rovnicou (c>0, c≠1) na doméne D.

) Logaritmické rovnice obsahujúce parameter.

Riešenie logaritmických rovníc s parametrami spočíva v hľadaní koreňov elementárnej logaritmickej rovnice.

Dôležitým bodom pri riešení rovníc tohto typu je kontrola, či nájdené korene patria do pôvodnej rovnice.

Základné metódy riešenia rovníc obsahujúcich parameter:

Analytická metóda

4 Vlastnosti riešenia nerovností s parametrami

Nerovnosť s parametrami je matematická nerovnosť, ktorej vzhľad a riešenie závisí od hodnôt jedného alebo viacerých parametrov. Pri riešení rovnice aj pri riešení nerovnosti je potrebné nájsť všetky tie hodnoty neznámej veličiny, pre ktoré sa zadaný vzťah ukáže ako pravdivý.

Riešenie nerovnosti (rovnice) môže zahŕňať niekoľko metód riešenia zodpovedajúcich každému typu rovnice pre určité hodnoty parametrov. Napríklad pre niektorú hodnotu parametra je nerovnosť lineárna, preto ju riešime analyticky identickými transformáciami; pre ostatné hodnoty parametra je nerovnosť kvadratická, riešime ju funkčno-grafickou metódou.

Podobne ako rovnice s parametrami majú nerovnosti s parametrami rovnakú klasifikáciu typov a metód riešenia.

) Lineárne a kvadratické nerovnosti obsahujúce parameter

) Zlomkové racionálne nerovnosti obsahujúce parameter, redukovateľné na lineárne.

Riešenie niektorých zlomkových racionálnych nerovníc prichádza k riešeniu nerovností prvého alebo druhého stupňa.

) Iracionálne nerovnosti obsahujúce parameter.

) Exponenciálne nerovnosti obsahujúce parameter.

) Logaritmické nerovnosti obsahujúce parameter.

Základné metódy riešenia nerovností obsahujúcich parameter:

Analytická metóda

Vlastnosti funkcií v úlohách obsahujúcich parameter. Funkčný prístup.

Grafická metóda. Súradnicová rovina (x;y).

Grafická metóda. Súradnicová rovina (x;a).

Riešenie úloh s parametrami je jedným z najťažších úsekov školskej matematiky. Pri riešení úloh s parametrami potrebujete okrem dobrej znalosti štandardných metód riešenia rovníc a nerovníc aj schopnosť spravodlivo rozvetvených logických konštrukcií, presnosť a pozornosť, aby ste riešenia nestrácali a nezískali zbytočné. To si od študenta vyžaduje rozvinutejšie logické myslenie a matematickú kultúru, ale tieto úlohy samy o sebe prispievajú k ich rozvoju. Skúsenosti z prijímacích skúšok ukazujú, že študenti, ktorí ich vedia riešiť, väčšinou úspešne zvládajú aj iné úlohy.

Žiaľ, v matematických programoch pre nešpecializované školy sa problémom s parametrom prakticky nevenuje miesto a napríklad v učebnici pre študentov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematického kurzu („Algebra a matematické analýza pre ročníky 10 a 11“, N.Ya. Vilenkin, O.S. Ivashev-Musatov, S.I. Shvartburd) dostanú miesto iba v 11. ročníku. Medzitým sa problémy s parametrami môžu a mali by sa používať počnúc lineárnymi a kvadratickými rovnicami a nerovnosťami. Môžu to byť problémy hľadania riešení vo všeobecnej forme, určovania koreňov, ktoré spĺňajú určité vlastnosti, štúdia počtu koreňov v závislosti od hodnôt parametrov. Bolo to urobené v „Zbierke problémov algebry pre ročníky 8-9“, 1994 (autori: M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich). Je dôležité, aby sa školáci naučili už na prvých jednoduchých príkladoch: po prvé, potreba opatrne narábať s parametrom - pevným, ale neznámym číslom, pochopiť, že má duálny charakter (na jednej strane je to určité číslo, na druhej strane miera slobody komunikácie s ním je obmedzená jeho nejasnosťou); po druhé, že písanie odpovede sa výrazne líši od písania odpovedí na podobné rovnice a nerovnice bez parametra.

Metodicky by bolo správne každý dokončený typ rovníc (nerovníc) doplniť úlohami pomocou parametra. Po prvé, pre študenta je ťažké zvyknúť si na parameter za dve alebo tri hodiny - chce to čas; po druhé, použitie takýchto úloh zlepšuje uchovávanie pokrytého materiálu; po tretie, prispieva k rozvoju jeho matematickej a logickej kultúry, ako aj k rozvoju záujmu o matematiku, keďže otvára nové metódy a možnosti pre nezávislý výskum.

Pojem parameter je matematický pojem, ktorý sa často používa v školskej matematike a príbuzných disciplínach.

trieda - pri štúdiu lineárnych funkcií a lineárnych rovníc s jednou premennou.

trieda - pri štúdiu kvadratických rovníc.

Všeobecný vzdelávací program školského matematického kurzu nepočíta s riešením úloh s parametrami a v úvodných testoch na vysoké školy a Jednotnej štátnej skúške z matematiky sa vyskytujú problémy s parametrami, ktorých riešenie spôsobuje študentom veľké ťažkosti. s parametrami majú diagnostickú a prognostickú hodnotu, ktoré umožňujú testovať vedomosti zo základných častí školského matematického kurzu, úroveň logického myslenia, počiatočné bádateľské zručnosti.

Pri riešení rovnice (nerovnice) môžete použiť nasledujúci algoritmus.

Algoritmus na riešenie rovnice alebo nerovnosti s parametrom

1. Určte obmedzenia kladené na hodnoty neznámeho a parametra, vyplývajúce zo skutočnosti, že funkcie a aritmetické operácie majú zmysel.

Definujte formálne riešenia, ktoré sú napísané bez zohľadnenia obmedzení. Ak pri riešení vzniknú kontrolné hodnoty parametra, vynesú sa na číselnú os. Tieto hodnoty rozdeľujú rozsah prijateľných hodnôt parametrov do podmnožín. Daná rovnica je vyriešená na každej z podmnožín.

Vylúčené sú tie hodnoty parametrov, pre ktoré formálne riešenia nespĺňajú získané obmedzenia.

Na číselnej osi. pridajte hodnoty parametrov nájdené v kroku 3. Pre každý z priestorov na osi. zapíšte si všetky získané riešenia v závislosti od hodnôt parametrov. (V prípade pomerne jednoduchých rovníc možno položku 4 vynechať).

Odpoveď napíšte, t.j. zapíšte si riešenia v závislosti od hodnôt parametrov.

Prítomnosť parametra v probléme si vyžaduje špeciálnu formu záznamu odpovede, ktorá vám umožňuje určiť, aká je odpoveď pre akúkoľvek platnú hodnotu parametra. V odpovedi sú tiež uvedené neplatné hodnoty a problém sa považuje za problém, ktorý nemá riešenie pre tieto hodnoty parametrov. Pri písaní odpovede sú hodnoty parametrov zvyčajne uvedené vo vzostupnom poradí od −∞ do +∞, ale niekedy, aby bola odpoveď kompaktnejšia, sa intervaly pre parameter, kde sa vzorce riešenia zhodujú.

V prípade riešenia vetvenia je vhodné použiť číselnú os, na ktorej sú vynesené riadiace hodnoty parametra a v intervaloch, do ktorých tieto hodnoty delili čiaru, sú odpovede na problém. uvedené. Táto technika vám umožňuje nestratiť nájdené odpovede v budúcnosti a jasne uviesť hodnoty parametrov, ktorým zodpovedajú.

Ukážme si vyššie uvedené na príklade.

Príklad 10: Riešte nerovnicu.

Kontrolné hodnoty parametra sú získané z podmienky, pretože pri nerovnosti neobsahuje premennú x.

Na numerickej osi Oa vynesme kontrolné hodnoty. Rozdeľujú os Oa na intervaly:

) a<0; 2) 0< a <2; 3) a>2

Na každom z týchto intervalov riešime túto nerovnosť. Hodnoty a=0 a. a=2 vyžadujú samostatné posúdenie.

Ak<0, то a(a-2)>0. Vydelením oboch strán nerovnosti faktorom a(a − 2) ≠ 0 dostaneme x>.

Ak 2>a>0, a(a − 2)< 0 и, следовательно, x<.

Ak a>2, a(a − 2) > 0 a x>/

Odpovede získané pri riešení nanesme na zodpovedajúce intervaly číselnej osi Oa a odpoveď zapíšme.

Interval, na ktorý sa vzťahuje príslušné riešenie, je na obrázku vyznačený oblúkom. Na jeho konci je umiestnená šípka, ak toto riešenie neplatí pre krajný bod medzery.

Odpoveď: Ak a<0, то x>; ak 0 2, potom x>; ak a=0 a a=2, potom neexistujú žiadne riešenia.

Hlavnou črtou problémov s parametrami je vetvenie riešenia v závislosti od hodnôt parametrov. Inými slovami, proces riešenia sa uskutočňuje klasifikáciou parciálnych rovníc (nerovníc) podľa typu a následným hľadaním riešení každého typu.

Zároveň riešenie nekonečnej množiny parciálnych rovníc a nerovníc s prihliadnutím na požiadavku ekvivalencie transformácií je možné len s rozvinutím dostatočnej úrovne logického myslenia. Na druhej strane tvorba metód na riešenie rovníc a nerovníc s parametrami poskytuje významný proces v rozvoji matematickej kultúry študentov. Vývojová povaha rovníc a nerovností s parametrami je určená ich schopnosťou realizovať mnohé druhy duševnej činnosti študentov:

Vývoj určitých algoritmov myslenia.

Schopnosť určiť prítomnosť a počet koreňov v rovnici.

Riešenie rodín rovníc, ktoré sú toho dôsledkom.

Vyjadrenie jednej premennej z hľadiska inej.

Opakovanie veľkého objemu vzorcov pri riešení.

Význam vhodných metód riešenia.

Široké využitie verbálnej a grafickej argumentácie.

Rozvoj grafickej kultúry žiakov.

Všetko vyššie uvedené naznačuje potrebu študovať riešenia problémov s parametrami.

parameter nerovnosti rovnice

Záver

V našej práci na kurze sme teda hovorili o rovniciach a nerovniciach s parametrami v kurze školskej matematiky, o vlastnostiach ich riešenia. Zohľadnili sa rovnice a nerovnice v kurze školskej matematiky, vlastnosti riešenia rovníc a nerovníc s parametrami, vyvinuli sa metódy riešenia rovníc a nerovníc s parametrami.

Cieľom našej práce na kurze bolo identifikovať typy a metódy riešenia rovníc a nerovníc s parametrami.

Na dosiahnutie tohto cieľa bola vybraná a preštudovaná literatúra k tomuto problému, boli študované vlastnosti riešenia rovníc a nerovníc s parametrami v kurze matematiky na základnej škole a prezentované metodické odporúčania na riešenie rovníc (nerovníc) s parametrami.

Záver: Problémy s parametrami sú najťažšie zo všetkých úloh školského kurzu matematiky. Ich riešenie si vyžaduje schopnosť logického myslenia: v každom okamihu rozhodnutia je potrebné dostatočne jasne si predstaviť, čo už bolo urobené, čo ešte treba urobiť, čo znamenajú už dosiahnuté výsledky. Úlohy jednotnej štátnej skúšky z matematiky preverujú schopnosť absolventa myslieť stručne, logicky a rozumne.

Štúdium rovníc a nerovníc s parametrami na stredných školách dáva študentom veľké možnosti na analýzu rôznych situácií, to znamená, že ukazuje dôležitosť týchto pojmov pri riešení mnohých praktických problémov. Práve od najjednoduchších praktických úloh a matematických aplikácií si školáci postupne rozvíjajú pochopenie významu matematiky v živote.

Bibliografia

rovnicová nerovnosť matematika

1.Algebra. 7. ročník: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / K.S. Muravin, G.K. Muravin, G.V. Dorofejev. - M.: Drop, 2010.

2.Algebra. 7. ročník: V dvoch častiach. 1. časť: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / A.G. Mordkovič. - M.: Mnemosyne, 2010.

3.Algebra. 7. ročník: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov a ďalší - M.: Vzdelávanie, 2011.

Algebra. 8. ročník: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / K.S. Muravin, G.K. Muravin, G.V. Dorofejev. - M.: Drop, 2012.

Algebra. 8. ročník: V dvoch častiach. 1. časť: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / A.G. Mordkovič. - M.: Mnemosyne, 2011.

Algebra. 8. ročník: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov a ďalší - M.: Vzdelávanie, 2011.

Algebra. 9. ročník: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / K.S. Muravin, G.K. Muravin, G.V. Dorofejev. - M.: Drop, 2013.

Algebra. 9. ročník: V dvoch častiach. 1. časť: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / A.G. Mordkovič. - M.: Mnemosyne, 2013.

Algebra. 9. ročník: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov a ďalší - M.: Vzdelávanie, 2011.

Algebra. Učebnica pre 7. ročník strednej školy / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk a kol.; upravil Teljakovského. - M.: Vzdelávanie, 2011.

Algebra. Učebnica pre 7. ročník strednej školy / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin a kol.- M.: Vzdelávanie, 2012.

Algebra. Učebnica pre 8. ročník strednej školy / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk a kol.; upravil Teljakovského. - M.: Vzdelávanie, 2014.

Algebra. Učebnica pre 8. ročník strednej školy / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin a ďalší - M.: Vzdelávanie, 2011.

Algebra. Učebnica pre 9. ročník strednej školy / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk a kol.; upravil Teljakovského. - M.: Vzdelávanie, 2010.

Algebra. Učebnica pre 9. ročník strednej školy / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin a ďalší - M.: Vzdelávanie, 2001.

Belyaeva E.S. Matematika. Rovnica a nerovnosť s parametrami za 2 hodiny: Učebnica / Belyaeva E.S., Potapov A.S., Titorenko S.A. -., - M.:, 2009.

Kramor V.S. Úlohy s parametrom a spôsoby ich riešenia: Učebnica / - M.: Onyx; Mier a vzdelanie, 2007

Kozko A.I. Problémy s parametrami a iné zložité problémy: Učebnica pre vysoké školy / Kozko A. I., Chirsky V. G. - M.: MTsNMO, 2007.

Miroshin V.V. Riešenie problémov s parametrami. Teória a prax: Učebnica /. - M.: Skúška, 2009.

Prokofiev A.A. Problémy s parametrami: Návod. - M.: MIET, 2004.

Sevrjukov P.F. Škola na riešenie problémov s parametrami: Učebnica / Sevryukov P.F., Smolyakov A.N. - 2. vydanie - M.:, 2009.

Lekcia voliteľného kurzu

na túto tému: „Riešenie rovníc a nerovníc pomocou parametrov“

(Lekcia zovšeobecňovania a opakovania)

Cieľ: 1.Zopakovať a zovšeobecniť vedomosti študentov o metódach riešenia rovníc a nerovníc s parametrami; upevniť schopnosť aplikovať vedomosti pri riešení konkrétnych úloh; 2. Rozvíjať logické myslenie; 3. Kultivujte pozornosť a presnosť.

Plán lekcie: I. Organizačný moment_______________________________2 min.

II. Aktualizácia základných vedomostí:

Opakovanie__________________________________3 min.
Ústna práca_________________________________3 min.
Práca s kartami (počas 1 a 2)

III. Riešenie cvičení__________________________________22 min.

IY. Vykonanie testu_______________________________8 min.

Y. Zhrnutie, zadanie domácej úlohy__2 min.

Počas tried:

ja Organizovanie času.

učiteľ: - Ahojte chalani. Som rád, že vás všetkých vidím, začíname lekciu. Dnes na vyučovacej hodine je naším cieľom zopakovať a precvičiť si vedomosti, zručnosti a schopnosti získané na predchádzajúcich hodinách pri štúdiu tejto témy.

II . Aktualizácia základných vedomostí:

1) Opakovanie.

Učiteľ: - Takže zopakujme.

Ako sa nazýva lineárna rovnica s parametrami?

Aké prípady sme zvažovali pri riešení takýchto rovníc?

Uveďte príklady lineárnych rovníc s parametrami.

Uveďte príklady lineárnych nerovností s parametrami.

2) Ústna práca.

Úloha: Preveďte túto rovnicu do lineárneho tvaru.

Na stole:

a) 3a x – 1 = 2 x;

b) 2+5 x = 5a x;

c) 2 x – 4 = a x + 1.

3) Práca s kartami.

III . Riešenie cvičení.

Cvičenie 1. Riešte rovnicu s parametrom A.

3 (ax + 1) + 1 = 2 (a – x) + 1.

Úloha sa plní na tabuli a v zošitoch.

Úloha 2. V akej hodnote a, priamka y = 7ax + 9, prechádza cez

t.A(-3;2)?

Úlohu plní samostatne pri tabuli jeden žiak. Zvyšok pracujte v zošitoch, potom skontrolujte pomocou tabule.

Telesná výchova len minútu.

Úloha 3. V akej hodnote a, rovnica 3(ax – a) = x – 1 má

Nekonečne veľa riešení?

Žiaci sú požiadaní, aby túto úlohu vyriešili samostatne vo svojich zošitoch. Potom skontrolujte odpovede.

Úloha 4. Pri akej hodnote parametra A , súčet koreňov rovnice

2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 rovná 1?

Úloha je ukončená komentovaním z miesta.

Úloha 5. Vyriešte nerovnosť pomocou parametra R:

р (5 x – 2)

Táto úloha sa plní na tabuli a v zošitoch.

IY. Vykonanie testu.

Študenti dostanú samostatné hárky s úlohami:

1) Je rovnica6 (ax + 1) + a = 3 (a – x) + 7 lineárne?

A) áno; b) nie; c) možno redukovať na lineárne

2) Rovnica (2ax + 1)a = 5a – 1 zredukované do tvaru lineárnej rovnice

A) nie; b) áno;

3) Pri akej hodnote parametra a prechádza priamka y = ax – 3

T. A(-2;9) ?

A) a = 1/6; b) a = 1/2; c) a = -6; d) a = 6.

4) Pri akej rovnici 2ax + 1 = x má koreň rovný -1?

a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1; d) a = 1/2.

5) Ak kvadratická rovnica ax² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 závisí od

A) hodnoty v ; b) hodnoty a; c) hodnoty -v/a;

d) nemá riešenia.

ODPOVEDE NA TEST: V; A; V; V; b.

YII. Zhrnutie lekcie. Stanovenie domácich úloh.

učiteľ: - Dnes sme si na vyučovacej hodine zopakovali a upevnili poznatky získané na predchádzajúcich vyučovacích hodinách, precvičili potrebné zručnosti pri plnení rôznych úloh. Myslím, že ste urobili dobrú prácu, dobre odvedenú.

Okrem známok pridelených na lekciu môžete na lekcii ohodnotiť prácu niekoľkých ďalších študentov.

učiteľ : - Zapíšte si domácu úlohu:

Na stole:

Vyriešte nerovnosť: x² - 2ax + 4 > 0.

Lekcia sa skončila.

Štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

Stredné všeobecné vzdelanie regiónu Samara

Škola č.2 pomenovaná po. Železnica V. Maskina čl. Klyavlino

Mestská časť Klyavlinsky

región Samara

„Rovnice

nerovnosti

s parametrami"

tutoriál

Klyavlino

Návod

"Rovnice a nerovnice s parametrami" pre žiakov 10. – 11. ročníka

táto príručka je prílohou k programu výberového predmetu „Rovnice a nerovnice s parametrami“, ktorý vykonal externú skúšku (vedecká a metodická odborná rada Ministerstva školstva a vedy regiónu Samara zo dňa 19.12.2008 odporučila pre použitie vo vzdelávacích inštitúciách regiónu Samara)

Autori

Romadanová Irina Vladimirovna

učiteľ matematiky na Klyavlinskaya Secondary Educational Institution

Škola č.2 pomenovaná po. V. Maskina, okres Klyavlinsky, región Samara

Serbaeva Irina Alekseevna

Úvod……………………………………………………………………… 3-4

Lineárne rovnice a nerovnice s parametrami………………..4-7

Kvadratické rovnice a nerovnice s parametrami……………7-9

Zlomkovo-racionálne rovnice s parametrami…………………..10-11

Iracionálne rovnice a nerovnice s parametrami……11-13

Goniometrické rovnice a nerovnice s parametrami.14-15

Exponenciálne rovnice a nerovnice s parametrami………16-17

Logaritmické rovnice a nerovnice s parametrami......16-18

Ciele jednotnej štátnej skúšky………………………………………………………...18-20

Úlohy na samostatnú prácu………………………………21-28

Úvod.

Rovnice a nerovnice s parametrami.

Ak v rovnici alebo nerovnosti niektoré koeficienty nemajú špecifické číselné hodnoty, ale sú označené písmenami, potom sa nazývajú parametre, a samotná rovnica alebo nerovnosť parametrické.

Ak chcete vyriešiť rovnicu alebo nerovnosť s parametrami, musíte:

Vyberte zvláštny význam- je to hodnota parametra, v ktorom alebo pri prechode ktorým sa mení riešenie rovnice alebo nerovnice.

Definujte platné hodnoty– to sú hodnoty parametra, pri ktorých dáva rovnica alebo nerovnosť zmysel.

Riešenie rovnice alebo nerovnosti s parametrami znamená:

1) určiť, pri akých hodnotách parametrov existujú riešenia;

2) pre každý prípustný systém hodnôt parametrov nájdite zodpovedajúcu sadu riešení.

Rovnicu s parametrom môžete vyriešiť pomocou nasledujúcich metód: analytických alebo grafických.

Analytická metóda zahŕňa úlohu študovať rovnicu zvažovaním niekoľkých prípadov, pričom žiadny z nich nemožno vynechať.

Riešenie rovníc a nerovníc s parametrami každého typu pomocou analytickej metódy zahŕňa podrobnú analýzu situácie a dôsledný výskum, počas ktorého vzniká potreba "opatrné zaobchádzanie" s parametrom.

Grafická metóda zahŕňa zostrojenie grafu rovnice, z ktorého možno určiť, ako zmena parametra ovplyvní riešenie rovnice, resp. Graf niekedy umožňuje analyticky formulovať potrebné a dostatočné podmienky na riešenie problému. Metóda grafického riešenia je obzvlášť účinná, keď potrebujete určiť, koľko koreňov má rovnica v závislosti od parametra, a má nepochybnú výhodu, že to jasne vidíte.

§ 1. Lineárne rovnice a nerovnice.

Lineárna rovnica A X = b , napísané vo všeobecnej forme, možno považovať za rovnicu s parametrami, kde X – neznámy , a , b - možnosti. Pre túto rovnicu je špeciálna alebo kontrolná hodnota parametra tá, pri ktorej sa koeficient neznámej stáva nulou.

Pri riešení lineárnej rovnice s parametrom sa berú do úvahy prípady, keď sa parameter rovná svojej špeciálnej hodnote a líši sa od nej.

Špeciálna hodnota parametra a je hodnota A = 0.

b = 0 je hodnota špeciálneho parametra b .

O b ¹ 0 rovnica nemá riešenia.

O b = 0 rovnica bude mať tvar: 0x = 0. Riešením tejto rovnice je akékoľvek reálne číslo.

Nerovnosti formy aha > b A sekera < b (a ≠ 0) sa nazývajú lineárne nerovnosti. Súbor riešení nerovnosti aha >b– interval

(; +), Ak a > 0 , A (-;) , Ak A< 0 . Podobne pre nerovnosť

Oh< b množina riešení – interval(-;), Ak a > 0, A (; +), Ak A< 0.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu sekera = 5

Riešenie: Toto je lineárna rovnica.

Ak a = 0, potom rovnica 0 × x = 5 nemá riešenie.

Ak A¹ 0, x =- riešenie rovnice.

Odpoveď: o A¹ 0, x=

pre a = 0 neexistuje riešenie.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu sekera – 6 = 2a – 3x.

Riešenie: Toto je lineárna rovnica, ax – 6 = 2a – 3x (1)

ax + 3x = 2a +6

Prepísanie rovnice ako (a+3)x = 2(a+3) zvážte dva prípady:

a = -3 A A¹ -3.

Ak a = -3, potom akékoľvek reálne číslo X je koreň rovnice (1). Ak A¹ -3 , rovnica (1) má jeden koreň x = 2.

odpoveď: O a = -3, x R ; pri A ¹ -3, x = 2.

Príklad 3 Pri akých hodnotách parametrov A medzi koreňmi rovnice

2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0 tých koreňov je viac 1 ?

Riešenie: Poďme vyriešiť rovnicu 2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0– lineárna rovnica

2(a - 2) x = a 2 - 4a +4

2(a – 2) x = (a – 2) 2

O a = 2 riešenie rovnice 0x = 0 bude ľubovoľné číslo, vrátane jedného väčšieho ako 1.

O A¹ 2 x =
. Podľa podmienok x > 1, teda
>1 a >4.

odpoveď: O A (2) U (4;°).

Príklad 4 . Pre každú hodnotu parametra A nájdite počet koreňov rovnice ah=8.

Riešenie. sekera = 8– lineárna rovnica.

r = a– skupina vodorovných čiar;

r = - Graf je hyperbola. Zostavme grafy týchto funkcií.

Odpoveď: Ak a = 0, potom rovnica nemá riešenia. Ak a ≠ 0, potom má rovnica jedno riešenie.

Príklad 5 . Pomocou grafov zistite, koľko koreňov má rovnica:

|x| = aha – 1.

y =| x | ,

r = aha – 1– graf je priamka prechádzajúca bodom (0;-1).

Zostavme grafy týchto funkcií.

Odpoveď: Kedy |a|>1- jeden koreň

pri | a|≤1 – rovnica nemá korene.

Príklad 6 . Vyriešte nerovnosť ax + 4 > 2x + a 2

Riešenie : ax + 4 > 2x + a 2
(a – 2) x >A 2 – 4. Uvažujme tri prípady.

Odpoveď. x > a + 2 pri a > 2; X<а + 2, pri A< 2; pri a=2 neexistujú žiadne riešenia.

§ 2. Kvadratické rovnice a nerovnice

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru Oh ² + b x + c = 0 , Kde a≠ 0,

A, b , S - možnosti.

Ak chcete vyriešiť kvadratické rovnice s parametrom, môžete použiť štandardné metódy riešenia pomocou nasledujúcich vzorcov:

1 ) diskriminant kvadratickej rovnice: D = b ² - 4 ac , (
²- ac)

2) vzorce pre korene kvadratickej rovnice:X 1 =
, X 2 =
,

(X 1,2 =
)

Kvadratické nerovnosti sú tzv

a X 2 + b x + c > 0,a X 2 + b x + c< 0, (1), (2)

a X 2 + b x + c ≥ 0,a X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)

Množinu riešení nerovnosti (3) získame spojením množín riešení nerovnosti (1) a rovnice , a X 2 + b x + c = 0. Množinu riešení nerovnosti (4) nájdeme podobne.

Ak je diskriminant kvadratického trinomu a X 2 + b x + c je menšia ako nula, potom pre a > 0 je trojčlenka kladná pre všetky x R.

Ak má kvadratická trojčlenka korene (x 1 < х 2 ), potom pre a > 0 je na množine kladná(-; x 2 )
(X 2; +) a záporné na intervale

(x 1; x 2 ). Ak< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1; x 2 ) a záporné pre všetky x (-; x 1 )
(X 2; +).

Príklad 1 Vyriešte rovnicu ax² – 2 (a – 1)x – 4 = 0.

Toto je kvadratická rovnica

Riešenie: Zvláštny význam a = 0.

O a = 0 dostaneme lineárnu rovnicu 2x – 4 = 0. Má jeden koreň x = 2.

O a ≠ 0. Nájdime diskriminantov.

D = (a-1)² + 4a = (a+1)²

Ak a = -1, To D = 0 - jeden koreň.

Nájdeme koreň dosadením a = -1.

-x² + 4x – 4= 0, to jest x² -4x + 4 = 0, nájdeme to x=2.

Ak a ≠ - 1, To D >0 . Pomocou koreňového vzorca dostaneme:x=
;

X 1 = 2, x 2 = -.

odpoveď: O a = 0 a a = -1 rovnica má jeden koreň x = 2; pri a ≠ 0 a

A ≠ - 1 rovnica má dva koreneX 1 = 2, x 2 =-.

Príklad 2 Nájdite počet koreňov tejto rovnice x²-2x-8-a=0 v závislosti od hodnôt parametrov A.

Riešenie. Prepíšme túto rovnicu do tvaru x²-2x-8=a

r = x²-2x-8- graf je parabola;

r =a- rodina vodorovných línií.

Zostavme si grafy funkcií.

Odpoveď: Kedy A<-9 , rovnica nemá riešenia; keď a=-9, rovnica má jedno riešenie; pri a>-9, rovnica má dve riešenia.

Príklad 3 Pri čom A nerovnosť (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 platí pre všetky hodnoty x?

Riešenie. Kvadratická trojčlenka je kladná pre všetky hodnoty x if

a-3 > 0 a D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, odkiaľ z toho vyplývaa > 6 .

Odpoveď.a > 6

§ 3. Zlomkové racionálne rovnice s parametrom,

redukovateľné na lineárne

Proces riešenia zlomkových rovníc sa uskutočňuje podľa obvyklej schémy: zlomok sa nahradí celým číslom vynásobením oboch strán rovnice spoločným menovateľom jej ľavej a pravej strany. Potom je vyriešená celá rovnica, s výnimkou cudzích koreňov, teda čísel, ktoré otočia menovateľa na nulu.

V prípade rovníc s parametrom je tento problém zložitejší. Tu, aby sme „eliminovali“ cudzie korene, je potrebné nájsť hodnotu parametra, ktorý zmení spoločného menovateľa na nulu, to znamená vyriešiť zodpovedajúce rovnice pre parameter.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu
= 0

Riešenie: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x – a = 0, x = a.

odpoveď: O a ≠ - 2, x=a

O a = -2 nie sú tam žiadne korene.

Príklad 2 . Vyriešte rovnicu
-
=
(1)

Toto je zlomková racionálna rovnica

Riešenie: Význam a = 0 je špeciálny. O a = 0 rovnica nedáva zmysel, a preto nemá korene. Ak a ≠ 0, potom po transformáciách bude mať rovnica tvar: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- kvadratická rovnica.

Nájdime diskriminantov = (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4, nájsť korene rovniceX 1 = a + 1, x 2 = a - 3.

Pri prechode z rovnice (1) na rovnicu (2) sa oblasť definície rovnice (1) rozšírila, čo by mohlo viesť k objaveniu sa cudzích koreňov. Preto je potrebné overenie.

Vyšetrenie. Vylúčme zo zistených hodnôt X tie, v ktorých

x 1 + 1 = 0, x 1 + 2 = 0, x 2 + 1 = 0, x 2 + 2 = 0.

Ak X 1 +1=0, to jest (a+1) + 1 = 0, To a = -2. teda

pri a = -2 , X 1 -

Ak X 1 +2=0, to jest (a+1)+2=0, To a = - 3. Teda kedy a = -3, x 1 - vonkajší koreň rovnice. (1).

Ak X 2 +1=0, to jest (a – 3) + 1 = 0, To a = 2. Teda kedy a = 2 x 2 - vonkajší koreň rovnice (1).

Ak X 2 +2=0, to je ( a – 3) + 2 = 0, To a=1. Teda kedy a = 1,

X 2 - cudzí koreň rovnice (1).

V súlade s tým, keď a = - 3 dostaneme x = - 3 - 3 = -6;

pri a = -2 x = -2 – 3= - 5;

pri a = 1 x = 1 + 1 = 2;

pri a = 2 x = 2 + 1 = 3.

Odpoveď si môžete zapísať.

odpoveď: 1) ak a= -3, To x = -6; 2) ak a = -2, To x= -5; 3) ak a = 0, potom nie sú žiadne korene; 4) ak a = 1, To x = 2; 5) ak a=2, To x=3; 6) ak a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, potom x 1 = a + 1, x 2 = a-3.

§4. Iracionálne rovnice a nerovnice

Volajú sa rovnice a nerovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod koreňovým znakom iracionálny.

Riešenie iracionálnych rovníc vedie k prechodu od iracionálnej k racionálnej rovnici umocnením oboch strán rovnice alebo nahradením premennej. Keď sa obe strany rovnice zvýšia na rovnakú moc, môžu sa objaviť cudzie korene. Preto pri použití tejto metódy by ste mali skontrolovať všetky nájdené korene ich dosadením do pôvodnej rovnice, berúc do úvahy zmeny hodnôt parametrov.

Rovnica formulára
=g (x) je ekvivalentom systému

Nerovnosť f (x) ≥ 0 vyplýva z rovnice f (x) = g 2 (x).

Pri riešení iracionálnych nerovníc použijeme nasledujúce ekvivalentné transformácie:

≤ g(x)

≥g(x)

Príklad 1 Vyriešte rovnicu
= x + 1 (3)

Toto je iracionálna rovnica

Riešenie: Podľa definície aritmetického koreňa je rovnica (3) ekvivalentná systému
.

O a = 2 prvá rovnica sústavy má tvar 0 x = 5, to znamená, že nemá žiadne riešenia.

O a≠ 2 x=
. Poďme zistiť, v akých hodnotáchA zistená hodnotaX uspokojuje nerovnosťx ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

kde a ≤ alebo a > 2.

odpoveď: O a≤, a > 2 x=
, pri < а ≤ 2 rovnica nemá riešenia.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu
= a (Príloha 4)

Riešenie. r =

r = a– rodina horizontálnych línií.

Zostavme si grafy funkcií.

Odpoveď: o A<0 – neexistujú žiadne riešenia;

pri A≥ 0 - jedno riešenie.

Príklad 3 . Vyriešme nerovnosť(a+1)
<1.

Riešenie. O.D.Z. x ≤ 2. Ak a+1 ≤0, potom nerovnosť platí pre všetky prípustné hodnoty X. Ak a+1>0, To

(a+1)
<1.

<

kde X (2-
2

Odpoveď. X (- ;2v a (-;-1, X (2-
2

pri A (-1;+).

§ 5. Goniometrické rovnice a nerovnice.

Tu sú vzorce na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc:

Sinx = a
x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ± arccos a + 2 πn, n Z, ≤1. (2)

Ak >1, potom rovnice (1) a (2) nemajú riešenia.

tan x = a
x= arctan a + πn, n Z,a R

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z,a R

Pre každú štandardnú nerovnosť uvádzame množinu riešení:

1. hriech x > a
arcsin a + 2 πn Z,

pri a <-1, X R ; pri a ≥ 1, neexistujú žiadne riešenia.

2. hriech x< a
π - arcsin a + 2 πnZ,

pre a≤-1 neexistujú žiadne riešenia; pre > 1,X R

3. cos X > a
- arccos a + 2 πn < X < arccos a + 2 πn , n Z ,

pri A<-1, X R ; pri a ≥ 1 , neexistujú žiadne riešenia.

4. cos x arccos a+ 2 πnZ,

pri a≤-1 , žiadne riešenia; pria > 1, X R

5. tan x > a, arctan a + πnZ

6.tg x< a, -π/2 + πn Z

Príklad 1 Nájsť A, pre ktorú má táto rovnica riešenie:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru

sos 2 X + (2 a -4) cosx +(a – 5)(a+1) = 0, keď to vyriešime ako kvadratickú, dostaneme cosx = 5-A A cosx = -a-1.

Rovnica cosx = 5- A má poskytnuté riešenia -1≤ 5-A ≤1
4≤ A< 6, a Eq. cosx = - a-1 poskytnuté -1≤ -1-A ≤ 1
-2 ≤ A ≤0.

Odpoveď. A -2; 0
4; 6

Príklad 2 Pri čom bexistuje taká, že nerovnosť
+ b> 0 platí pre všetky x ≠πn , n Z .

Riešenie. Položme A= 0. Nerovnosť platí pre b >0. Ukážme teraz, že žiadne b ≤0 nespĺňa podmienky úlohy. V skutočnosti stačí dať x = π /2, Ak A <0, и х = - π /2 pri A ≥0.

Odpoveď.b>0

§ 6. Exponenciálne rovnice a nerovnice

1. Rovnica h(X) f ( X ) = h(X) g ( X) pri h(X) > 0 je ekvivalentom súboru dvoch systémov
A

2. V špeciálnom prípade (h (x)= a ) rovnica A f(x) = A g(x) at A> 0, je ekvivalentom súboru dvoch systémov

3. Rovnica A f(x) = b , Kde A > 0, a ≠1, b>0, čo zodpovedá rovnici

f (x )= log a b . Deje sa A=1 sa posudzujú samostatne.

Riešenie najjednoduchších exponenciálnych nerovností je založené na vlastnosti mocniny. Nerovnosť formyf(a X ) > 0 pomocou zmeny premennejt= a X redukuje na riešenie systému nerovností
a potom na riešenie príslušných jednoduchých exponenciálnych nerovností.

Pri riešení nestriktnej nerovnice je potrebné pridať korene zodpovedajúcej rovnice k množine riešení striktnej nerovnice. Rovnako ako pri riešení rovníc vo všetkých príkladoch obsahujúcich výraz A f (x), predpokladáme A> 0. Prípad A= 1 sa posudzujú samostatne.

Príklad 1 . Pri čom A rovnica 8 x =
má len pozitívne korene?

Riešenie. Podľa vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom väčším ako jedna máme x>0
8 X >1

>1

>0, odkiaľa (1,5;4).

Odpoveď. a (1,5;4).

Príklad 2 Vyriešte nerovnosť a 2 ∙2 X > a

Riešenie. Zoberme si tri prípady:

1. A< 0 . Keďže ľavá strana nerovnosti je kladná a pravá záporná, nerovnosť platí pre ľubovoľné x R.

2. a=0. Neexistujú žiadne riešenia.

3. A > 0 . a 2 ∙2 X >a
2 X >
x > - log 2 a

Odpoveď. X R pri A > 0; neexistujú žiadne riešenia a =0; X (- log 2 a; +) pria > 0 .

§ 7. Logaritmické rovnice a nerovnice

Uveďme niektoré ekvivalencie používané pri riešení logaritmické rovnice a nerovnice.

1. Rovnica log f (x) g (x) = log f (x) h (x) je ekvivalentom systému

Najmä ak A >0, A≠1 teda

log a g(x)=log a h(x)

2. Rovnica log a g(x)=b
g(x)=a b ( A >0, a ≠ 1, g(x) > 0).

3. Nerovnosť log f ( X ) g (X) ≤ log f ( X ) h(X) je ekvivalentná kombinácii dvoch systémov:
A

Ak, b sú čísla, a >0, a ≠1, potom

log a f(x) ≤ b

log a f(x)>b

Príklad 1 Vyriešte rovnicu

Riešenie. Nájdite ODZ: x > 0, x ≠ A 4 , a > 0, A≠ 1. Transformujte rovnicu

log x – 2 = 4 – log a X
log x + log a X– 6 = 0, odkiaľ log a X = - 3

x = A-3 a log a X = 2
x = A 2. Podmienka x = A 4
A – 3 = A 4 resp A 2 = A 4 sa na ODZ nevykonáva.

odpoveď: x = A-3, x = A 2 at A (0; 1)
(1; ).

Príklad 2 . Nájdite najväčšiu hodnotu A, pre ktoré platí rovnica

2 log -
+ a = 0 má riešenia.

Riešenie. Urobíme náhradu
= ta dostaneme kvadratickú rovnicu 2t 2 – t + a = 0. Riešením nájdemeD = 1-8 a . Uvažujme D≥0, 1-8 A ≥0
A ≤.

O A = kvadratická rovnica má koreňt= >0.

Odpoveď. A =

Príklad 3 . Vyriešte nerovnosťlog(X 2 – 2 X + a ) > - 3

Riešenie. Poďme vyriešiť systém nerovností

Odmocniny štvorcových trojčlenov x 1,2 = 1 ±
ich 3,4 = 1 ±
.

Kritické hodnoty parametrov: A= 1 a A= 9.

Nech X 1 a X 2 sú teda množiny riešení prvej a druhej nerovnice

X 1
X 2 = X – riešenie pôvodnej nerovnosti.

O 0< a <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), oA> 1 x 1 = (-;+).

O 0< a < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), oA≥9 X 2 – žiadne riešenia.

Zoberme si tri prípady:

1. 0< a ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. a≥ 9 X – žiadne riešenia.

Ciele jednotnej štátnej skúšky

Vysoká úroveň C1, C2

Príklad 1 Nájdite všetky hodnoty R, pre ktoré platí rovnica

R ∙ ctg 2x+2sinx+ p= 3 má aspoň jeden koreň.

Riešenie. Poďme transformovať rovnicu

R ∙ (
- 1) + 2sinx + p= 3, sinx = t, t
, t 0.

- p+2 t+ p = 3, + 2 t = 3, 3 - 2 t = , 3t 2 – 2t 3 = p .

Nechaj f(r) = 3 t 2 – 2 t 3 . Poďme nájsť množinu funkčných hodnôtf(X) zapnuté

. pri / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. f(-1) = 5, f(1) = 1.

O t
, E(f) =
,

O t
, E(f) =
, teda kedy t

, E(f) =
.

K rovnici 3t 2 – 2 t 3 = p (preto daný) mal aspoň jeden koreň potrebný a dostatočnýp E(f), tj p
.

Odpoveď.
.

Príklad 2

Pri akých hodnotách parametrovA rovnica log
(4 X 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 má presne jeden koreň?

Riešenie. Transformujme rovnicu na jeden ekvivalent:

4x 2 – 4 a + a 2 + 7 = (x 2 + 2) 2.

Všimnite si, že ak je určité číslo x koreňom výslednej rovnice, potom číslo – x je tiež koreňom tejto rovnice. Podľa podmienky to nie je možné, takže jediným koreňom je číslo 0.

nájdeme A.

4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.

Vyšetrenie.

1) a 1 = 1. Potom rovnica vyzerá takto:log
(4 X 2 +4) = 2. Poďme to vyriešiť

4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 je jediný koreň.

2) a 2 = 3. Rovnica vyzerá takto:log
(4 X 2 +4) =2
x = 0 je jediný koreň.

Odpoveď. 1; 3

Vysoká úroveň C4, C5

Príklad 3 Nájdite všetky hodnoty R, pre ktoré platí rovnica

x 2 – ( R+ 3)x + 1= 0 má celé korene a tieto korene sú riešenia nerovnosti: x 3 – 7 R x 2 + 2 x 2 – 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.

Riešenie. Nech x 1, X 2 – celočíselné korene rovnice x 2 – (R + 3)x + 1= 0. Potom, podľa Vietovho vzorca, rovnosti x 1 + x 2 = R + 3, x 1 ∙ x 2 = 1. Súčin dvoch celých čísel x 1 , X 2 sa môže rovnať jednej iba v dvoch prípadoch: x 1 = x 2 = 1 alebo x 1 = x 2 = - 1. Ak x 1 = x 2 = 1 tedaR + 3 = 1+1 = 2
R = -1; ak x 1 = x 2 = - 1 tedaR + 3 = - 1 – 1 = - 2
R = - 5. Skontrolujeme, či korene rovnice x 2 – (R + 3)x + 1= 0 v opísaných prípadoch riešeniami tejto nerovnosti. Pre túto príležitosťR = -1, x 1 = x 2 = 1 máme

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – pravda; pre túto príležitosť R= - 5, x 1 = x 2 = - 1 máme (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – správne. Takže sú splnené iba podmienky problému R= - 1 a R = - 5.

Odpoveď.R 1 = - 1 a R 2 = - 5.

Príklad 4. Nájdite všetky kladné hodnoty parametra A, pre ktoré číslo 1 patrí do definičného oboru funkcie

pri = (A
- A
).

Človek, ktorý vie riešiť problémy s parametrami, dokonale pozná teóriu a vie ju aplikovať nie mechanicky, ale logicky. Funkcii „rozumie“, „cíti“ ju, považuje ju za svojho priateľa alebo aspoň dobrého známeho a o jej existencii len nevie.

Čo je rovnica s parametrom? Nech je daná rovnica f (x; a) = 0. Ak je úlohou nájsť všetky také dvojice (x; a), ktoré vyhovujú tejto rovnici, potom sa to považuje za rovnicu s dvoma rovnakými premennými x a a. Ale môžeme predstavovať ďalší problém, za predpokladu, že premenné sú nerovnaké. Faktom je, že ak dáte premennej a ľubovoľnú pevnú hodnotu, potom sa f (x; a) = 0 zmení na rovnicu s jednou premennou x a riešenia tejto rovnice prirodzene závisia od zvolenej hodnoty a.

Hlavná ťažkosť spojená s riešením rovníc (a najmä nerovníc) s parametrom je nasledovná: - pre niektoré hodnoty parametra rovnica nemá riešenia; -s ostatnými – má nekonečne veľa riešení; - v treťom prípade sa rieši pomocou rovnakých vzorcov; - so štvrtým – rieši sa pomocou iných vzorcov. - Ak rovnicu f (x; a) = 0 treba riešiť vzhľadom na premennú X a a chápeme ako ľubovoľné reálne číslo, potom sa rovnica nazýva rovnica s parametrom a.

Riešenie rovnice s parametrom f (x; a) = 0 znamená riešenie rodiny rovníc vyplývajúcich z rovnice f (x; a) = 0 pre akékoľvek reálne hodnoty parametra. Rovnica s parametrom je v skutočnosti krátkym znázornením nekonečnej rodiny rovníc. Každá z rovníc rodiny sa získa z danej rovnice s parametrom pre konkrétnu hodnotu parametra. Preto problém riešenia rovnice s parametrom možno formulovať takto:

Nie je možné zapísať každú rovnicu z nekonečnej rodiny rovníc, no napriek tomu musí byť vyriešená každá rovnica z nekonečnej rodiny. Dá sa to urobiť napríklad rozdelením množiny všetkých hodnôt parametrov do podmnožín podľa nejakého vhodného kritéria a následným riešením danej rovnice na každej z týchto podmnožín. Riešenie lineárnych rovníc

Na rozdelenie množiny hodnôt parametrov do podmnožín je užitočné použiť tie hodnoty parametrov, pri ktorých alebo pri prechode cez ktoré dochádza ku kvalitatívnej zmene rovnice. Takéto hodnoty parametrov možno nazvať kontrolné alebo špeciálne. Umením riešenia rovnice s parametrami je presne vedieť nájsť kontrolné hodnoty parametra.

Typ 1. Rovnice, nerovnice, ich systémy, ktoré je potrebné vyriešiť buď pre akúkoľvek hodnotu parametra, alebo pre hodnoty parametrov patriace do vopred určenej množiny. Tento typ problémov je základný pri zvládnutí témy „Problémy s parametrami“, keďže investovaná práca predurčuje úspech pri riešení problémov všetkých ostatných základných typov.

Typ 2. Rovnice, nerovnice, ich sústavy, pre ktoré je potrebné určiť počet riešení v závislosti od hodnoty parametra (parametrov). Pri riešení úloh tohto typu nie je potrebné ani riešiť dané rovnice, nerovnice alebo ich sústavy, ani tieto riešenia poskytovať; Vo väčšine prípadov je takáto zbytočná práca taktickou chybou, ktorá vedie k zbytočnému plytvaniu časom. Ale niekedy je priame riešenie jediným rozumným spôsobom, ako získať odpoveď pri riešení problému 2. typu.

Typ 3. Rovnice, nerovnice, ich sústavy, pre ktoré je potrebné nájsť všetky tie hodnoty parametrov, pre ktoré majú určené rovnice, nerovnice a ich sústavy daný počet riešení (najmä nemajú alebo majú nekonečné množstvo riešení). Problémy typu 3 sú v určitom zmysle opakom problémov typu 2.

Typ 4. Rovnice, nerovnice, ich sústavy a množiny, pre ktoré pre požadované hodnoty parametra množina riešení spĺňa špecifikované podmienky v oblasti definície. Nájdite napríklad hodnoty parametrov, pri ktorých: 1) je rovnica splnená pre akúkoľvek hodnotu premennej z daného intervalu; 2) množina riešení prvej rovnice je podmnožinou množiny riešení druhej rovnice atď.

Základné metódy (metódy) riešenia úloh s parametrom. Metóda I (analytická). Analytická metóda riešenia úloh s parametrom je najťažšia metóda, ktorá si vyžaduje vysokú gramotnosť a najväčšie úsilie na jej zvládnutie. Metóda II (grafická). V závislosti od problému (s premennou x a parametrom a) sa grafy zvažujú buď v rovine súradníc Oxy alebo v rovine súradníc Oxy. Metóda III (rozhodnutie týkajúce sa parametra). Pri tomto riešení sa predpokladá, že premenné x a a sa rovnajú a vyberie sa premenná, vzhľadom na ktorú sa analytické riešenie považuje za jednoduchšie. Po prirodzených zjednodušeniach sa vrátime k pôvodnému významu premenných x a a a dokončíme riešenie.

Príklad 1. Nájdite hodnoty parametra a, pre ktoré má rovnica a(2a + 3)x + a 2 = a 2 x + 3a jeden záporný koreň. Riešenie. Táto rovnica je ekvivalentná nasledujúcemu:. Ak a(a + 3) 0, teda a 0, a –3, potom rovnica má jeden koreň x =. X

Príklad 2: Vyriešte rovnicu. Riešenie. Keďže menovateľ zlomku sa nemôže rovnať nule, máme (b – 1)(x + 3) 0, teda b 1, x –3. Vynásobením oboch strán rovnice (b – 1)(x + 3) 0 dostaneme rovnicu: Táto rovnica je lineárna vzhľadom na premennú x. Pre 4b – 9 = 0, teda b = 2,25, má rovnica tvar: Pre 4b – 9 0, teda b 2,25, je koreňom rovnice x =. Teraz musíme skontrolovať, či existujú nejaké hodnoty b, pre ktoré sa nájdená hodnota x rovná –3. Teda pre b 1, b 2,25, b –0,4 má rovnica jeden koreň x =. Odpoveď: pre b 1, b 2,25, b –0,4 odmocnina x = pre b = 2,25, b = –0,4 neexistujú žiadne riešenia; keď b = 1 rovnica nedáva zmysel.

Typy problémov 2 a 3 sa vyznačujú tým, že pri ich riešení nie je potrebné získať explicitné riešenie, ale iba nájsť tie hodnoty parametrov, pri ktorých toto riešenie spĺňa určité podmienky. Príklady takýchto podmienok pre riešenie sú nasledujúce: existuje riešenie; neexistuje žiadne riešenie; existuje len jedno riešenie; existuje pozitívne riešenie; existuje presne k riešení; existuje riešenie patriace do určeného intervalu. V týchto prípadoch sa grafická metóda riešenia problémov s parametrami ukazuje ako veľmi užitočná.

Pri riešení rovnice f (x) = f (a) môžeme rozlíšiť dva typy aplikácie grafickej metódy: V rovine Oxy je graf y = f (x) a rodina grafov y = f (a). zvážiť. Patria sem aj problémy riešené pomocou „zväzku liniek“. Táto metóda sa ukazuje ako vhodná pri problémoch s dvoma neznámymi a jedným parametrom. V rovine Ox (ktorá sa tiež nazýva fázová rovina) sa uvažuje o grafoch, v ktorých x je argument a a je hodnota funkcie. Táto metóda sa zvyčajne používa pri problémoch, ktoré zahŕňajú iba jednu neznámu a jeden parameter (alebo sa na ne dá redukovať).

Príklad 1. Pre aké hodnoty parametra a má rovnica 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a aspoň tri korene? Riešenie. Zostrojme grafy funkcií f (x) = 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 a f (x) = a v jednom súradnicovom systéme. Máme: f "(x) = 12x x 2 – 24x = 12x(x + 2)(x – 1), f"(x) = 0 pri x = –2 (minimálny bod), pri x = 0 (maximum bod ) a pri x = 1 (maximálny bod). Nájdite hodnoty funkcie v extrémnych bodoch: f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5. Zostrojíme schematický graf funkcie s ohľadom na extrémne body. Grafický model nám umožňuje odpovedať na položenú otázku: rovnica 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a má aspoň tri korene, ak –5

Príklad 2. Koľko koreňov má rovnica pre rôzne hodnoty parametra a? Riešenie. Odpoveď na položenú otázku súvisí s počtom priesečníkov grafu polkruhu y = a priamky y = x + a. Priamka, ktorá je dotyčnicou, má vzorec y = x +. Daná rovnica nemá korene v a; má jeden koreň na -2

Príklad 3 Koľko riešení má rovnica |x + 2| = ax + 1 v závislosti od parametra a? Riešenie. Môžete vykresliť grafy y = |x + 2| a y = ax + 1. Ale urobíme to inak. Pri x = 0 (21) neexistujú žiadne riešenia. Rozdeľte rovnicu x: a zvážte dva prípady: 1) x > –2 alebo x = 2 2) 2) x –2 alebo x = 2 2) 2) x

Príklad použitia „zväzku čiar“ v rovine. Nájdite hodnoty parametra a, pre ktorý platí rovnica |3x + 3| = sekera + 5 má unikátne riešenie. Riešenie. Rovnica |3x + 3| = ax + 5 je ekvivalentná nasledujúcej sústave: Rovnica y – 5 = a(x – 0) definuje v rovine ceruzku čiar so stredom A (0; 5). Nakreslíme rovné čiary zo zväzku rovných čiar, ktoré budú rovnobežné so stranami rohu, čo je graf y = |3x + 3|. Tieto priamky l a l 1 pretínajú graf y = |3x + 3| v jednom bode. Rovnice týchto čiar sú y = 3x + 5 a y = –3x + 5. Okrem toho každá čiara z ceruzky umiestnenej medzi týmito čiarami bude tiež pretínať graf y = |3x + 3| v jednom bode. To znamená, že požadované hodnoty parametra [–3; 3].

Algoritmus riešenia rovníc pomocou fázovej roviny: 1. Nájdite definičný obor rovnice. 2. Vyjadrite parameter a ako funkciu x. 3. V súradnicovom systéme xOa zostrojíme graf funkcie a = f(x) pre tie hodnoty x, ktoré sú zahrnuté v oblasti definície tejto rovnice. 4. Nájdite priesečníky priamky a = c, kde c є (-; +) s grafom funkcie a = f (x). Ak priamka a = c pretína graf a = f(x), potom určíme úsečky priesečníkov. Na to stačí vyriešiť rovnicu a = f(x) pre x. 5.Napíšte odpoveď.

Príklad riešenia nerovnosti pomocou „fázovej roviny“. Vyriešte nerovnosť x. Riešenie: Ekvivalentným prechodom Teraz na rovine Ox zostrojíme grafy funkcií Priesečníky paraboly a priamky x 2 – 2x = –2x x = 0. Podmienka a –2x je automaticky splnená pri a x 2 – 2x Teda v ľavej polrovine (x

Portál pre školákov. Vlastná príprava

Autori

§ 1. Lineárne rovnice a nerovnice.

Riešenie: Toto je lineárna rovnica, ax – 6 = 2a – 3x (1)

ax + 3x = 2a +6

Vyšetrenie. Vylúčme zo zistených hodnôt X tie, v ktorých

x 1 + 1 = 0, x 1 + 2 = 0, x 2 + 1 = 0, x 2 + 2 = 0.

§4. Iracionálne rovnice a nerovnice

SÚVISIACE ČLÁNKY