Holič holí. Paradox Bertranda Russella

Najznámejším z paradoxov objavených už v našom storočí je antinómia objavená B. Russellom. Nápad bol vo vzduchu a jeho zverejnenie vyvolalo dojem vybuchujúcej bomby. Tento paradox spôsobil v matematike podľa D. Hilberta „efekt úplnej katastrofy“. Najjednoduchšie a najdôležitejšie logické metódy, najbežnejšie a najužitočnejšie koncepty sú ohrozené. Okamžite sa ukázalo, že ani v logike, ani v matematike, v celej dlhej histórii ich existencie, nebolo nič rozhodne vypracované, čo by mohlo slúžiť ako základ na odstránenie antinómie. Je zrejmé, že odklon od zaužívaných spôsobov myslenia bol nevyhnutný.

Russellov paradox vo svojej pôvodnej podobe súvisí s pojmom množina, čiže trieda. Môžeme hovoriť o množinách rôznych predmetov, napríklad o množine všetkých ľudí alebo o množine prirodzených čísel. Prvok prvej množiny bude každá jednotlivá osoba, prvok druhej - každé prirodzené číslo. Za nejaké objekty je možné považovať aj množiny samotné a hovoriť o množinách. Dokonca je možné zaviesť také pojmy ako množina všetkých množín alebo množina všetkých pojmov. Pokiaľ ide o ľubovoľnú množinu, zdá sa byť rozumné položiť si otázku, či je jej vlastným prvkom alebo nie. Množiny, ktoré samy seba neobsahujú ako prvok, sa budú nazývať obyčajné. Napríklad množina všetkých ľudí nie je osoba, rovnako ako množina atómov nie je atóm. Sady, ktoré sú správnymi prvkami, budú nezvyčajné. Napríklad množina, ktorá spája všetky množiny, je množina, a preto obsahuje samú seba ako prvok. Je zrejmé, že každá súprava je buď obyčajná alebo nezvyčajná.

Zvážte teraz množinu všetkých bežných množín. Keďže ide o súpravu, možno sa na ňu aj opýtať, či je obyčajná alebo nevšedná. Odpoveď je však odrádzajúca. Ak je obyčajný, potom podľa definície musí obsahovať sám seba ako prvok, pretože obsahuje všetky bežné množiny. To ale znamená, že ide o nezvyčajnú zostavu. Predpoklad, že naša množina je obyčajná množina, teda vedie k rozporu. Takže to nemôže byť normálne. Na druhej strane to nemôže byť ani nezvyčajné: nezvyčajná zostava obsahuje seba ako prvok a prvky našej zostavy sú len obyčajné zostavy. V dôsledku toho prichádzame k záveru, že množina všetkých obyčajných množín nemôže byť ani obyčajná, ani mimoriadna.

Množina všetkých množín, ktoré nie sú vlastnými prvkami, je teda vlastným prvkom vtedy a len vtedy, ak takýmto prvkom nie je. To je jasný rozpor.

Rozpor hovorí, že takýto súbor jednoducho neexistuje. Ale prečo nemôže existovať? Koniec koncov, pozostáva z predmetov, ktoré spĺňajú presne definovanú podmienku a samotná podmienka sa nezdá byť nejako výnimočná alebo nejasná. Ak takto jednoducho a jasne definovaná množina nemôže existovať, aký je potom v skutočnosti rozdiel medzi možnými a nemožnými množinami? Záver o neexistencii uvažovaného súboru vyznieva nečakane a vyvoláva úzkosť. To robí našu všeobecnú predstavu o množine amorfnou a chaotickou a nie je zaručené, že z nej nemôžu vzniknúť nejaké nové paradoxy.

Russellov paradox je pozoruhodný svojou extrémnou všeobecnosťou. Na jeho stavbu nie sú potrebné zložité technické koncepty, keďže v prípade niektorých iných paradoxov postačujú pojmy „množina“ a „prvok množiny“. Ale táto jednoduchosť hovorí o jej základnej povahe: dotýka sa najhlbších základov nášho uvažovania o množinách, pretože nehovorí o niektorých špeciálnych prípadoch, ale o množinách všeobecne.

Russellov paradox nie je špecificky matematický. Používa koncept množiny, ale nedotýka sa žiadnych špeciálnych vlastností súvisiacich špeciálne s matematikou. Toto sa ukáže, keď je paradox preformulovaný v čisto logických termínoch.

Pri každej vlastnosti sa možno s najväčšou pravdepodobnosťou pýtať, či je na ňu použiteľná alebo nie. Vlastnosť byť horúci, napríklad, sa nevzťahuje na neho samého, pretože sám nie je horúci; vlastnosť byť konkrétny sa tiež nevzťahuje na seba, pretože je to abstraktná vlastnosť. Ale vlastnosť byť abstraktný, byť abstraktný, je aplikovateľný na seba. Nazvime tieto vlastnosti nepoužiteľné pre seba nepoužiteľné. Platí vlastnosť byť nepoužiteľný na seba? Ukazuje sa, že neuplatniteľnosť je neuplatniteľná iba vtedy, ak nie je. To je, samozrejme, paradoxné.. Logická verzia Russellovej antinómie súvisiaca s vlastnosťami je rovnako paradoxná ako matematická verzia súvisiaca s množinami.

B. Russell tiež navrhol nasledujúcu populárnu verziu paradoxu, ktorý objavil. „Holič oholí všetkých a len tých obyvateľov mesta, ktorí sa neholia sami. Kto holí holiča?" Paradox holiča spočíva v tom, že na túto otázku sa údajne nedá odpovedať.

Pre pochopenie situácie rozdelíme obyvateľov mesta do troch skupín. Toto rozdelenie je znázornené na obrázku vľavo: hore sú tí, ktorí sa holia; tí, ktorí sú oholení - zdola; tí, ktorí sa neholia vôbec (mnísi, deti, ženy...) sú mimo elipsy.

Najprv zvážte činnosť podmienky (1). Nech holič oholí všetkých, ktorí sa neholia, teda celú spodnú polovicu elipsy (šrafovanie označuje klientov holiča). Ale podmienka (1) umožňuje holiť sa jemu a tomu, kto sa oholí, teda sebe. Podmienka (1) mu umožňuje umiestniť sa do hornej polovice elipsy, kde sa holia samotní obyvatelia, a tam sa oholia. Toto je znázornené na prostrednom obrázku.

Ak platí podmienka (2) a holič oholí iba tých, ktorí sa neholia, znamená to, že si oholí časť spodnej polovice elipsy a neholí sa, to znamená, že nie je v hornej polovici elipsy. . Obyvateľov dolnej polovice ale možno neoholí holič, ale niekto iný. A medzi týmito ľuďmi môže byť aj holič (správna postava). Takže holič môže oholiť svojho priateľa a holič oholí zatienenú časť spodnej polovice elipsy.

Ale ak platia obe podmienky (1) aj (2), potom holič nemá v elipse miesto. Vôbec sa neholí. A tu nejde o žiaden paradox. Je teda buď mníchom, alebo robotom, alebo dieťaťom, alebo ženou, alebo obyvateľom mesta... A ak v meste nie je nikto okrem mužov na holenie, a teda vzhľad elipsy je prázdny, potom holič, ktorý spĺňa podmienky (1) a (2), jednoducho neexistuje. Pýtať sa v tomto prípade, kto ho holí, je absurdné. Veľa takýchto holičov je prázdnych.

A tu si všimneme, že položená otázka „Kto holí holiča?“ bola od začiatku nesprávna, rovnako ako klasická otázka: „Prečo biješ svojho otca?“ Pred otázkou, kto holí holiča, je potrebné získať súhlas, že ho niekto oholí.

Hádka o kaderníčke sa dá nazvať pseudoparadoxom. Vo svojom priebehu je striktne analogický s Russellovým paradoxom a práve preto je zaujímavý. Ale stále to nie je skutočný paradox.

Ďalším príkladom toho istého pseudoparadoxu je známy katalógový argument.

Istá knižnica sa rozhodla zostaviť bibliografický katalóg, ktorý by obsahoval všetky a len tie bibliografické katalógy, ktoré neobsahujú odkazy na seba. Mal by takýto adresár obsahovať odkaz na seba? Je ľahké ukázať, že myšlienka vytvorenia takéhoto katalógu nie je realizovateľná; jednoducho nemôže existovať, pretože musí súčasne obsahovať odkaz na seba a nie zahŕňať. Je zaujímavé poznamenať, že katalogizáciu všetkých adresárov, ktoré neobsahujú odkazy na seba, možno považovať za nekonečný, nikdy nekončiaci proces.

Povedzme, že v určitom bode bol zostavený adresár, povedzme K1, ktorý zahŕňal všetky ostatné adresáre, ktoré neobsahovali odkazy na seba. S vytvorením K1 sa objavil ďalší adresár, ktorý neobsahuje odkaz na seba. Keďže cieľom je vytvoriť kompletný katalóg všetkých adresárov, ktoré sa neuvádzajú, je zrejmé, že K1 nie je riešením. Nespomína jeden z tých adresárov – seba. Vrátane tejto zmienky o sebe v K1 dostaneme katalóg K2. Spomína K1, ale nie samotný K2. Pridaním takejto zmienky ku K2 dostaneme K3, ktorá je opäť neúplná kvôli tomu, že sa sama o sebe nezmieňuje. A tak ďalej bez konca.

skrátená a doplnená kapitola z práce
„Logické paradoxy. Riešenia»

Paradox B. Russella "O kaderníctve (holič, holič)"

Oholený holič alebo opäť o kaderníčke

Začiatkom 20. storočia objavil Bertrand Russell logický paradox. Informoval o tom v liste slávnemu matematikovi, filozofovi a logikovi Gottlobovi Fregemu – zakladateľovi modernej logickej sémantiky – keď „už v roku 1902 predložil do tlače druhý zväzok Základov aritmetiky“. List „oznamoval formálny rozpor vo Fregeovom navrhovanom odôvodnení aritmetiky (Russellov paradox), ktorý sa Frege márne snažil vyriešiť až do konca svojho života. Bol to však Russell, ktorý priniesol Fregovi širokú slávu, pretože v Russellovom podaní (špeciálny doplnok k Základom matematiky, 1903) sa Fregeho koncept stal prístupným širokému okruhu čitateľov. Koniec citácie http://www.krugosvet.ru/articles/92/1009213/1009213a1.htm).
Nielen Frege, ale nikto iný viac ako sto rokov dodnes nedokázal vyriešiť tento logický paradox. Nikto okrem mňa.

„Russellov paradox vo svojej pôvodnej podobe súvisí s pojmom množina, čiže trieda“ (Ivin A. A. The art of thinking. - M .: Education. - 1998). V tejto podobe je riešenie v inom článku: Russellov paradox - pôvodná verzia - o zostavách, Ale celý svet ho pozná v inej formulácii. Russell „ponúkol nasledujúcu populárnu verziu paradoxu, ktorý objavil v matematickej teórii množín.
Predstavme si, že rada jednej dediny definovala povinnosti holiča tej dediny takto: oholiť všetkých dedinských mužov, ktorí sa neholia sami, a len týchto mužov. Mal by sa oholiť sám? (Ivin A. A. Umenie správne myslieť. - M .: Vzdelávanie. - 1990, s. 205 - 206, http://www.koob.ru/books/iskusstvo_pravilno_mislit.rar).

Došlo k mnohým skresleniam paradoxu, ako aj pokusom o vyriešenie tohto rozporu, ale v podstate všetky riešenia viedli k nasledovnému.
„Ak áno (t. j. holič sa musí oholiť sám – moja príloha), potom bude odkazovať na tých, ktorí sa holia sami, a na tých, ktorí sa holia, nemal by sa holiť. Ak nie, bude patriť k tým, ktorí sa neholia sami, a preto sa bude musieť oholiť sám. Dospeli sme teda k záveru, že tento holič sa oholí vtedy a len vtedy, keď sa neholí. Čo je, samozrejme, nemožné.

Argument o holičovi je založený na predpoklade, že taký holič existuje. Výsledný rozpor znamená, že tento predpoklad je mylný a neexistuje taký dedinčan, ktorý by oholil všetkých a len tých svojich obyvateľov, ktorí sa neholia sami. Povinnosti kaderníka sa na prvý pohľad nezdajú protirečivé, a tak záver, že jeden nemôže byť, vyznieva akosi nečakane. Tento záver však nie je paradoxný. Podmienka, ktorú musí dedinský holič splniť, je v skutočnosti protichodná, a teda nemožná. V obci nemôže byť taký kaderník z toho istého dôvodu, že v nej nie je človek, ktorý by bol starší ako on sám, alebo ktorý by sa narodil pred jeho narodením. Hádka o kaderníčke sa dá nazvať pseudoparadoxom.“ Koniec citátu (tamže).

ROZHODNUTIE

V roku 1992, 19. decembra, televízna hra „Čo? Kde? Kedy?". Za stavu 2:6, ako to už býva, nastala diskutabilná, až konfliktná situácia. A potom Vladimír Jakovlevič Vorošilov položil otázku, ktorá mala odborníkom priniesť víťazstvo alebo porážku. Bola to otázka holiča, Russellov paradox. Samozrejme, experti prehrali, hoci mohli vyhrať. Pretože položil trochu skreslenú verziu otázky: „Otázka znie: oholí sa holič sám, ak holič oholí každého, kto sa neholí sám?
Odpoveď odborníkov: nie, neholí sa. (Kronika / "Čo? Kde? Kedy? Produkčné centrum IGRA-TV", http://chgk.tvigra.ru/letopis/?19921219#cur). Museli odpovedať: „Z informácie, že holič oholí každého, kto sa neholí sám, sa nedá usúdiť, či sa holí sám, či ho holí niekto iný, alebo sa neholí vôbec. Pretože na takéto závery neexistujú dostatočné dôvody.
Ale tento paradox ma prenasledoval. Zdalo sa, že odpoveď sa mi točí v hlave, len ju treba „chytiť za chvost“. A po chvíli sa mi to podarilo.

Rozhodnutie, ako to často býva, je jednoducho šialené. Celá diskusia podrobne a so zvážením skreslených možností zaberá niekoľko strán. Uvediem len skrátenú verziu argumentu.

Odpoveď na otázku o Russellovom paradoxe je možná, ak holiča prisúdime akejkoľvek triede mužov: „sami sa holia“ alebo „sami sa neholia“. Ale po logickej analýze možných dôvodov zaradenia skupín mužov do týchto tried nasleduje jediný záver, že to nie je možné, pretože takýto logicky opodstatnený dôvod neexistuje. Na základe tohto záveru mnohí, vrátane A. A. Ivina, dospeli k záveru, že paradox je neriešiteľný, označili ho za pseudoparadox. Ale potom by sa všetky ostatné paradoxy mali raz a navždy „vyriešiť“. Nikto si predsa nemyslí, že v skutočnosti môže nastať situácia rozhovoru matky s krokodílom, misionárom a ľudožrútmi a inými. Negácia logického predpokladu teda nie je riešením. A riešenie je:

Ak nie je možné priradiť kaderníka k niektorej z tried „samo sa holí“ a „neholí sa“, musí byť zaradený do tretej triedy – „NEHOLENIE“. A potom kaderník neporuší žiadnu z logických podmienok, pretože sa na túto triedu mužov nevzťahujú.

Všetci muži z dediny

A. HOLENIE 1 - seba, 2- nie seba B. NEHOLITE SA

A teraz je holič predurčený zomrieť s bradou.

Pre správne pochopenie tejto úlohy bolo potrebné iba mentálne preusporiadať časticu „nie“ pred slovesom „holiť“ na miesto za ňou. A potom by sa objavil zmysel paradoxného stavu problému, ako na fotografickom papieri pri tlači. Koniec koncov, fráza „neholte sa“ okamžite nadobudla podobu absolútne jednoduchého, nie mätúceho a pre nikoho zrozumiteľného. Totiž - „NEHOLTE SA“ znamená „NEHOLTE SA“, to znamená, že sa stále holia, aj keď nie vlastnými rukami. A tak sa v logickom uvažovaní všetkých, ktorí sa snažili tento paradox vyriešiť, okamžite objaví zjavná a hrubá chyba. Tento typ chyby som nazval „nesprávny záver“, keď sa z logicky nevyhnutného záveru urobí absolútne nesprávny, ba dokonca opačný záver („Logické paradoxy. Riešenia“, kapitola „Chyby uvažovania – nesprávny záver“). V tomto probléme je „nesprávnym záverom“ to, že veta v logickom uvažovaní by nemala znieť ako: „ak by sa holič nemal holiť, potom sa bude odvolávať na tých, ktorí sa neholia sami“, čo je nesprávne, ale v forma: "ak sa holič nemá holiť sám, potom bude odkazovať na tých, ktorí sa neholia alebo NEHOLÍ."

Po vyriešení „Russellovho paradoxu“ som riešil aj ďalšie známe paradoxy tak, že som na ne aplikoval dva všeobecné postuláty: 1. pri prístupe k riešeniu akéhokoľvek problému je nevyhnutné jasné pochopenie samotného problému vo všetkých jeho detailoch; 2. poznanie je relatívny pojem („Logické paradoxy. Spôsoby riešenia“, kapitola „O princípoch riešenia paradoxov“,

Najznámejším z paradoxov objavených už v minulom storočí je antinómia objavená Bertrandom Russellom a ním komunikovaná v liste G. Fergeovi. Russell objavil svoj paradox súvisiaci s oblasťou logiky a matematiky v roku 1902. O rovnakej antinómii súčasne v Göttingene diskutovali nemeckí matematici Z. Zermelo (1871-1953) a D. Hilbert. Myšlienka bola vo vzduchu a jej zverejnenie vyvolalo dojem explodujúcej bomby Miroshnichenko P.N. Čo zničilo Russellov paradox vo Fregeho systéme? // Moderná logika: problémy teórie, histórie a aplikácie vo vede. - SPb., 2000. - S. 512-514. . Tento paradox spôsobil v matematike podľa Hilberta efekt úplnej katastrofy. Najjednoduchšie a najdôležitejšie logické metódy, najbežnejšie a najužitočnejšie koncepty sú ohrozené. Ukázalo sa, že v Cantorovej teórii množín, ktorú s nadšením prijala väčšina matematikov, sú zvláštne rozpory, ktorých sa nemožno, alebo prinajmenšom veľmi ťažko zbaviť. Russellov paradox vyniesol tieto rozpory na svetlo obzvlášť jasne. Na jeho riešení, ako aj na riešení ďalších nájdených paradoxov Cantorovej teórie množín, pracovali najvýznamnejší matematici tých rokov. Okamžite sa ukázalo, že ani v logike, ani v matematike, v celej dlhej histórii ich existencie, nebolo nič rozhodne vypracované, čo by mohlo slúžiť ako základ na odstránenie antinómie. Je zrejmé, že odklon od zaužívaných spôsobov myslenia bol nevyhnutný. Ale odkiaľ a akým smerom? Courant R., Robbins G. Čo je matematika? - Ch. II, § 4.5.

Aké radikálne malo byť odmietnutie zavedených spôsobov teoretizovania? S ďalším štúdiom antinómie neustále rástlo presvedčenie o potrebe zásadne nového prístupu. Špecialisti na základy logiky a matematiky L. Frenkel a I. Bar-Hillel už polstoročie po objavení bez výhrad konštatovali: , zatiaľ bez výnimky zlyhali, na tento účel zjavne nepostačujú. Moderný americký logik H. Curry o tomto paradoxe o niečo neskôr napísal: „V zmysle logiky známej v 19. storočí sa situácia jednoducho vzpierala vysvetleniu, aj keď, samozrejme, v našej vzdelanej dobe môžu byť ľudia, ktorí vidia (resp. myslia si, že vidia), aká je chyba” Miroshnichenko P.N. Čo zničilo Russellov paradox vo Fregeho systéme? // Moderná logika: problémy teórie, histórie a aplikácie vo vede. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Keďže ide o súpravu, možno sa na ňu aj opýtať, či je obyčajná alebo nevšedná. Odpoveď je však odrádzajúca. Ak je obyčajný, potom podľa definície musí obsahovať sám seba ako prvok, pretože obsahuje všetky bežné množiny. To ale znamená, že ide o nezvyčajnú zostavu. Predpoklad, že naša množina je obyčajná množina, teda vedie k rozporu. Takže to nemôže byť normálne. Na druhej strane to nemôže byť ani nezvyčajné: nezvyčajná zostava obsahuje seba ako prvok a prvky našej zostavy sú len obyčajné zostavy. V dôsledku toho prichádzame k záveru, že množina všetkých obyčajných množín nemôže byť ani obyčajná, ani mimoriadna.

Množina všetkých množín, ktoré nie sú vlastnými prvkami, je teda vlastným prvkom vtedy a len vtedy, ak takýmto prvkom nie je. To je jasný rozpor. A bolo získané na základe tých najpravdepodobnejších predpokladov a pomocou zdanlivo nespochybniteľných krokov. Rozpor hovorí, že takýto súbor jednoducho neexistuje. Ale prečo nemôže existovať? Koniec koncov, pozostáva z predmetov, ktoré spĺňajú presne definovanú podmienku a samotná podmienka sa nezdá byť nejako výnimočná alebo nejasná. Ak takto jednoducho a jasne definovaná množina nemôže existovať, aký je potom v skutočnosti rozdiel medzi možnými a nemožnými množinami? Záver, že uvažovaný súbor neexistuje, znie neočakávane a znepokojivo. To robí našu všeobecnú predstavu o množine amorfnou a chaotickou a nie je zaručené, že z nej nemôžu vzniknúť nejaké nové paradoxy.

Russellov paradox je pozoruhodný svojou extrémnou všeobecnosťou Courant R., Robbins G. Čo je matematika? - Ch. II, § 4.5. . Na jeho stavbu nie sú potrebné zložité technické koncepty, keďže v prípade niektorých iných paradoxov postačujú pojmy „množina“ a „prvok množiny“. Ale táto jednoduchosť hovorí o jej základnej povahe: dotýka sa najhlbších základov nášho uvažovania o množinách, pretože nehovorí o niektorých špeciálnych prípadoch, ale o množinách všeobecne.

Iné varianty paradoxu Russellov paradox nie je špecificky matematický. Používa koncept množiny, ale nedotýka sa žiadnych špeciálnych vlastností súvisiacich špeciálne s matematikou.

Toto sa ukáže, keď je paradox preformulovaný v čisto logických termínoch. Pri každej vlastnosti sa možno s najväčšou pravdepodobnosťou pýtať, či je na ňu použiteľná alebo nie. Vlastnosť byť horúci, napríklad, sa nevzťahuje na neho samého, pretože sám nie je horúci; vlastnosť byť konkrétny sa tiež nevzťahuje na seba, pretože je to abstraktná vlastnosť. Ale vlastnosť byť abstraktný, byť abstraktný, je aplikovateľný na seba.

Nazvime tieto vlastnosti nepoužiteľné pre seba nepoužiteľné. Platí vlastnosť byť nepoužiteľný na seba? Ukazuje sa, že neuplatniteľnosť je neuplatniteľná, len ak nie je. To je, samozrejme, paradoxné. Logická verzia Russellovej antinómie súvisiaca s majetkom je rovnako paradoxná ako matematická verzia súvisiaca s množinami.

Russell tiež navrhol nasledujúcu populárnu verziu paradoxu, ktorý objavil Katrechko S.L. Russellov holičský paradox a Plato-Aristotelova dialektika // Moderná logika: Problémy teórie, histórie a aplikácie vo vede. - SPb., 2002. - S. 239-242 .. Predstavme si, že rada jednej obce definovala holičské povinnosti takto: oholiť všetkých mužov obce, ktorí sa neholia sami, a len týchto mužov. Mal by sa oholiť sám? Ak áno, bude sa to týkať tých, ktorí sa holia sami, a tých, ktorí sa holia sami, by sa nemal holiť. Ak nie, bude patriť k tým, ktorí sa neholia sami, a preto sa bude musieť oholiť sám. Dospeli sme teda k záveru, že tento holič sa oholí vtedy a len vtedy, keď sa neholí. To je, samozrejme, nemožné.

Argument o holičovi je založený na predpoklade, že taký holič existuje. Výsledný rozpor znamená, že tento predpoklad je nepravdivý a neexistuje taký dedinčan, ktorý by oholil všetkých a len tých dedinčanov, ktorí sa neholia sami. Povinnosti holiča sa na prvý pohľad nezdajú protirečivé, a tak záver, že jeden nemôže byť, vyznieva akosi nečakane. Tento záver však nie je paradoxný. Podmienka, ktorú musí dedinský holič splniť, je v skutočnosti protichodná, a teda nemožná. V obci nemôže byť taký kaderník z rovnakého dôvodu, že v nej nie je osoba, ktorá by bola staršia ako on, alebo ktorá by sa narodila pred jeho narodením Miroshnichenko P.N. Čo zničilo Russellov paradox vo Fregeho systéme? // Moderná logika: problémy teórie, histórie a aplikácie vo vede. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Hádku o holičovi možno nazvať pseudoparadoxom. Vo svojom priebehu je striktne analogický s Russellovým paradoxom a práve preto je zaujímavý. Ale stále to nie je skutočný paradox.

Ďalším príkladom toho istého pseudoparadoxu je známy katalógový argument. Istá knižnica sa rozhodla zostaviť bibliografický katalóg, ktorý by obsahoval všetky a len tie bibliografické katalógy, ktoré neobsahujú odkazy na seba. Mal by takýto adresár obsahovať odkaz na seba? Je ľahké ukázať, že myšlienka vytvorenia takéhoto katalógu nie je realizovateľná; jednoducho nemôže existovať, pretože musí súčasne obsahovať odkaz na seba a nie zahŕňať.

Je zaujímavé poznamenať, že katalogizáciu všetkých adresárov, ktoré neobsahujú odkazy na seba, možno považovať za nekonečný, nikdy nekončiaci proces. Povedzme, že v určitom bode bol skompilovaný adresár, povedzme K1, vrátane všetkých ostatných adresárov, ktoré neobsahujú odkazy na seba. S vytvorením K1 sa objavil ďalší adresár, ktorý neobsahuje odkaz na seba. Keďže cieľom je vytvoriť kompletný katalóg všetkých adresárov, ktoré sa neuvádzajú, je zrejmé, že K1 nie je riešením. Nespomína jeden z tých adresárov -- seba. Vrátane tejto zmienky o sebe v K1 dostaneme katalóg K2. Spomína K1, ale nie samotnú K2. Pridaním takejto zmienky ku K2 dostaneme KZ, ktorá opäť nie je úplná kvôli tomu, že sa sama o sebe nezmieňuje. A bez konca ďalej.

Možno spomenúť ešte jeden logický paradox – paradox holandských starostov, podobný paradoxu holiča. Každá obec v Holandsku musí mať starostu a dve rôzne obce nemôžu mať toho istého starostu. Niekedy sa ukáže, že starosta nebýva vo svojej obci. Predpokladajme, že bude prijatý zákon, ktorým sa pridelí časť územia S výlučne takým starostom, ktorí nebývajú v ich obciach, a všetkým týmto starostom nariadi, aby sa na tomto území usadili. Predpokladajme ďalej, že týchto starostov je toľko, že samotné územie S tvorí samostatnú obec. Kde má bývať starosta tejto osobitnej obce S? Jednoduchá úvaha ukazuje, že ak starosta osobitnej obce býva na území S, tak by tam nemal bývať a naopak, ak na území nebýva, tak musí bývať na tomto území. Je celkom zrejmé, že tento paradox je analogický s holičským paradoxom.

Russell bol jedným z prvých, ktorí navrhli riešenie „svojho“ paradoxu. Riešenie, ktoré navrhol, nazvali „teória typov“: množina (trieda) a jej prvky patria k rôznym logickým typom, typ množiny je vyšší ako typ jej prvkov, čím sa eliminuje Russellov paradox (teóriu typov používali aj napr. Russell vyriešiť slávny paradox „klamára“). Mnohí matematici však Russellovo riešenie neprijali, pretože sa domnievali, že kladie príliš prísne obmedzenia na matematické výroky Katrechka S.L. Russellov holičský paradox a Plato-Aristotelova dialektika // Moderná logika: Problémy teórie, histórie a aplikácie vo vede. - Petrohrad, 2002. - S. 239-242 ..

Podobne je to aj s ďalšími logickými paradoxmi. „Antinómie logiky,“ píše von Wright, „nás mátli od svojho objavu a pravdepodobne nás budú mátať vždy. Myslím si, že by sme ich nemali považovať ani tak za problémy, ktoré čakajú na vyriešenie, ale za nevyčerpateľný materiál na zamyslenie. Sú dôležité, pretože premýšľanie o nich sa dotýka najzákladnejších otázok celej logiky, a teda aj myslenia.” Wrigt G.Kh. pozadie. Logika a filozofia v XX storočí // Vopr. filozofia. 1992. č. 8..

Russellov paradox (Russellova antinómia, tiež Russell-Zermelo paradox) - množinový paradox (antinómia) objavený v roku 1901 Bertrandom Russellom, demonštrujúci nekonzistentnosť Fregeho logického systému, ktorý bol skorým pokusom formalizovať naivnú teóriu množín Georga Cantora. Predtým objavil, ale nepublikoval Ernst Zermelo.

V neformálnom jazyku možno paradox opísať nasledovne. Dohodnime sa, že množinu nazveme „obyčajnou“, ak nie je jej vlastným prvkom. Napríklad množina všetkých ľudí je „obyčajná“, keďže množina samotná nie je osobou. Príkladom „nezvyčajnej“ množiny je množina všetkých množín, keďže sama je množinou, a preto je sama osebe vlastným prvkom.

Dá sa uvažovať o množine pozostávajúcej len zo všetkých „obyčajných“ množín, takáto množina sa nazýva Russellova súprava . Paradox vzniká pri pokuse určiť, či je táto množina „obyčajná“ alebo nie, teda či obsahuje samu seba ako prvok. Sú dve možnosti.

Na jednej strane, ak je „obyčajný“, potom musí obsahovať sám seba ako prvok, keďže podľa definície pozostáva zo všetkých „obyčajných“ množín. Ale potom to nemôže byť „obyčajné“, keďže „obyčajné“ množiny sú tie, ktoré samy seba nezahŕňajú.
Zostáva predpokladať, že táto súprava je "nezvyčajná". Nemôže však zahŕňať seba ako prvok, pretože podľa definície musí pozostávať iba z „obyčajných“ množín. Ale ak nezahŕňa seba ako prvok, potom je to "obyčajná" množina.

V každom prípade z toho vyplýva rozpor.

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ Prednáška 1. Definícia množiny. De Morganove zákony. Russellov paradox. Weierstrassova veta

✪ 3 Russellov paradox

✪ Bertrand Russell Rady pre budúce generácie

✪ Prednáška 21: Naivná teória množín a fuzzy logika

✪ Monty Hall Paradox - Numberphile

titulky

Formulácia paradoxu

Russellov paradox možno formulovať v naivnej teórii množín. Preto je naivná teória množín nekonzistentná. Protirečivý fragment naivnej teórie množín, ktorý možno definovať ako teóriu prvého poriadku s binárnym vzťahom členstva ∈ (\displaystyle \in ) a výberová schéma: pre každý logický vzorec s jednou voľnou premennou v naivnej teórii množín existuje axióma

∃ y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) (\displaystyle \existuje y\forall x(x\in y\iff P(x))).

Táto axiómová schéma hovorí, že pre akúkoľvek podmienku P (x) (\displaystyle P(x)) je ich veľa y , (\displaystyle y,) pozostávajúce z tých x , (\displaystyle x,) ktoré spĺňajú podmienku P (x) (\displaystyle P(x)) .

To stačí na sformulovanie Russellovho paradoxu nasledovne. Nechať byť P (x) (\displaystyle P(x)) existuje vzorec x ∉ x . (\displaystyle x\notin x.)(t.j P (x) (\displaystyle P(x)) znamená, že veľa x (\displaystyle x) neobsahuje sám seba ako prvok, alebo v našej terminológii je „obyčajnou“ množinou.) Potom podľa axiómy výberu existuje množina y (\displaystyle y)(Russell set) tak, že

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

Keďže to platí pre každého x , (\displaystyle x,) to platí aj pre x = y. (\displaystyle x=y.) T.j

y ∈ y ⟺ y ∉ y . (\displaystyle y\in y\iff y\notin y.)

Z toho vyplýva, že v naivnej teórii množín sa vyvodzuje rozpor.

Paradox by nenastal, ak by sme predpokladali, že Russellova množina neexistuje. Tento predpoklad je však sám o sebe paradoxný: v Cantorovej teórii množín sa verí, že akákoľvek vlastnosť určuje množinu prvkov, ktoré túto vlastnosť spĺňajú. Keďže vlastnosť množiny byť „obyčajná“ sa zdá byť dobre definovaná, musí existovať množina všetkých „obyčajných“ množín. Táto teória sa teraz nazýva naivná teória množín .

Populárne verzie paradoxu

Existuje niekoľko verzií Russellovho paradoxu. Na rozdiel od samotného paradoxu ich spravidla nemožno vyjadriť formálnym jazykom.

Klamársky paradox

Russellov paradox súvisí s paradoxom klamára známym už od staroveku, čo je nasledujúca otázka. Vzhľadom na vyhlásenie:

Toto tvrdenie je nepravdivé.

Je toto tvrdenie pravdivé alebo nie? Je ľahké ukázať, že toto tvrdenie nemôže byť ani pravdivé, ani nepravdivé.

Russell o tomto paradoxe napísal:

Sám Russell takto vysvetlil paradox klamára. Na to, aby sme mohli povedať niečo o výpovediach, treba najskôr definovať samotný pojem „výrok“, pričom nepoužívame ešte nedefinované pojmy. Tak možno definovať výroky prvého typu, ktoré nehovoria nič o výrokoch. Potom je možné definovať výroky druhého typu, ktoré hovoria o výrokoch prvého typu atď. Výrok „toto vyhlásenie je nepravdivé“ nespadá pod žiadnu z týchto definícií, a preto nedáva zmysel.

Holičský paradox

Russell spomína nasledujúcu verziu paradoxu, formulovanú ako hádanku, ktorú mu niekto navrhol.

Nech býva v istej dedine holič, ktorý oholí všetkých obyvateľov dediny, ktorí sa neholia, a iba ich. Holí sa holič sám?

Akákoľvek odpoveď vedie k rozporu. Russell poznamenáva, že tento paradox nie je ekvivalentný jeho paradoxu a dá sa ľahko vyriešiť. V skutočnosti, tak ako Russellov paradox ukazuje, že Russellova množina neexistuje, holičský paradox ukazuje, že žiaden taký holič neexistuje. Rozdiel je v tom, že na neexistencii takého holiča nie je nič prekvapujúce: niet pre žiadnu vlastnosť holič, ktorý s touto vlastnosťou holí ľudí. Skutočnosť, že neexistuje množina prvkov daná nejakou presne definovanou vlastnosťou, však odporuje naivnej predstave o množinách a vyžaduje si vysvetlenie.

Možnosť o adresároch

Russellovmu paradoxu sa najviac približuje nasledujúca verzia jeho prezentácie:

Bibliografické katalógy sú knihy, ktoré popisujú iné knihy. Niektoré adresáre môžu popisovať iné adresáre. Niektoré adresáre sa môžu dokonca opísať. Je možné katalogizovať všetky katalógy, ktoré samy seba neopisujú?

Pri rozhodovaní o tom, či by sa tento adresár mal popisovať sám, vzniká paradox. Napriek zjavnej blízkosti formulácií (ide vlastne o Russellov paradox, v ktorom sa namiesto súborov používajú katalógy), je tento paradox, podobne ako holičský paradox, vyriešený jednoducho: takýto katalóg sa nedá zostaviť.

Grellingov-Nelsonov paradox

Tento paradox sformulovali nemeckí matematici Kurt Grelling a Leonard Nelson v roku 1908. Ide v skutočnosti o preklad Russellovej pôvodnej verzie paradoxu, ktorú uviedol v zmysle predikátovej logiky (pozri list Fregemu), do nematematického jazyka.

Nazvime prídavné meno reflexné ak má toto prídavné meno vlastnosť definovanú týmto prídavným menom. Napríklad prídavné mená "ruský", "viacslabičný" - majú vlastnosti, ktoré definujú (prídavné meno "ruský" je ruský a prídavné meno "viacslabičný" je viacslabičné), takže sú zvratné a prídavné mená "nemecký", „jednoslabičné“ – sú nereflexívne. Bude prívlastok „nereflexívny“ reflexívny alebo nie?

Akákoľvek odpoveď vedie k rozporu. Na rozdiel od holičského paradoxu riešenie tohto paradoxu nie je také jednoduché. Nedá sa jednoducho povedať, že takéto prídavné meno („nereflexívne“) neexistuje, keďže sme ho práve definovali. Paradox vyplýva zo skutočnosti, že definícia pojmu „nereflexívny“ je sama o sebe nesprávna. Definícia tohto pojmu závisí od hodnoty prídavné meno, na ktoré sa vzťahuje. A keďže slovo „nereflexívny“ je v definícii samo o sebe prídavné meno, vzniká začarovaný kruh.

Príbeh

Russell svoj paradox objavil pravdepodobne v máji alebo júni 1901. Podľa samotného Russella sa snažil nájsť chybu v Cantorovom dôkaze paradoxnej skutočnosti (známej ako Cantorov paradox), že neexistuje žiadne maximálne kardinálne číslo (alebo množina všetkých množín). Výsledkom bolo, že Russell dostal jednoduchší paradox. Russell oznámil svoj paradox iným logikom, najmä Whiteheadovi a Peanovi. Vo svojom liste Fregemu zo 16. júna 1902 napísal, že našiel rozpor v „ Koncepčný počet“ - kniha od Frege, vydaná v roku 1879. Svoj paradox vyložil z hľadiska logiky a potom z hľadiska teórie množín pomocou Fregeho definície funkcie:

Ťažkosti som zažil len na jednom mieste. Tvrdíte (s. 17), že funkcia môže sama o sebe pôsobiť ako neznáma. Kedysi som si to myslel aj ja. Ale teraz sa mi tento názor zdá pochybný kvôli nasledujúcemu rozporu. Nechať byť w predikát: "byť predikátom, ktorý nemožno použiť na seba." Môcť w byť použiteľný sám na seba? Akákoľvek odpoveď znamená opak. Preto musíme konštatovať, že w nie je predikát. Podobne neexistuje trieda (ako celok) tých tried, ktoré ako celok nepatria k sebe. Z toho usudzujem, že niekedy určitá množina netvorí celistvú formáciu.

Pôvodný text (nemčina)
Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet .

Frege dostal list práve v čase, keď dokončil prácu na druhom diele Základných zákonov aritmetiky (nem. Grundgesetze der Arithmetik). Frege nemal čas opraviť svoju teóriu množín. K druhému zväzku pridal len dodatok s výkladom a jeho rozborom paradoxu, ktorý začal slávnou poznámkou:

Je nepravdepodobné, že by sa vedcovi mohlo stať niečo horšie, ako keď sa mu spod nôh vytrhne zem práve vo chvíli, keď dokončí svoju prácu. V tejto pozícii som sa ocitol, keď som dostal list od Bertranda Russella, keď už bola moja práca dokončená.

Pôvodný text (nemčina)
Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte .

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) (\displaystyle z\in \(x\dvojbodka P(x)\)\iff P(z)),

ktorý hovoril, že je možné zostrojiť množinu prvkov, ktoré spĺňajú vlastnosť P (x), (\displaystyle P(x),) navrhol použiť nasledujúcu axiómu:

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) & z ≠ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\dvojbodka P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\dvojbodka P(x)\)),

čím sa eliminuje možnosť, aby množina bola sama sebe členom. Avšak malý [ ktorý?] modifikácia Russellovho paradoxu dokazuje, že aj táto axióma vedie k rozporu.

Russell zverejnil svoj paradox vo svojej knihe " Princípy matematiky“v roku 1903.

Nižšie sú uvedené niektoré z možných prístupov ku konštrukcii systému axióm bez Russellových paradoxov.

Russellova teória typu

Sám Russell bol prvým, kto navrhol teóriu bez Russellovho paradoxu. Vypracoval teóriu typov, ktorej prvá verzia sa objavila v knihe Russella a Whiteheada Princípy matematiky“v roku 1903. Táto teória je založená na nasledujúcej myšlienke: jednoduché objekty v tejto teórii majú typ 0, množiny jednoduchých objektov majú typ 1, množiny množín jednoduchých objektov majú typ 2 atď. Žiadna množina teda nemôže mať samu seba ako prvok. Ani množinu všetkých množín, ani Russellovu množinu nemožno v tejto teórii definovať. Podobná hierarchia je zavedená pre príkazy a vlastnosti. Tvrdenia o jednoduchých predmetoch patria k typu 1, tvrdenia o vlastnostiach tvrdení typu 1 patria k typu 2 atď. Vo všeobecnosti je funkcia podľa definície vyššieho typu ako premenné, od ktorých závisí. Tento prístup vám umožňuje zbaviť sa nielen Russellovho paradoxu, ale aj mnohých ďalších paradoxov, vrátane paradoxu klamára (), Grelling-Nelsonovho paradoxu, Buraliho-Fortiho paradoxu. Russell a Whitehead ukázali, ako zredukovať všetku matematiku na axiómy teórie typov vo svojej trojzväzkovej Principia Mathematica, publikovanej v rokoch 1910-1913.

Tento prístup sa však stretol s ťažkosťami. Problémy vznikajú najmä pri definovaní takých pojmov ako najlepšia horná hranica množín reálnych čísel. Podľa definície je najmenšia horná hranica najmenšia zo všetkých horných hraníc. Preto sa pri určovaní najmenšej hornej hranice používa množina reálnych čísel. Najmenšia horná hranica je teda objekt vyššieho typu ako reálne čísla. To znamená, že to samo o sebe nie je skutočné číslo. Aby sa tomu predišlo, bolo potrebné zaviesť tzv axióma redukovateľnosti. Kvôli jej svojvôli mnohí matematici odmietli akceptovať axiómu redukovateľnosti a sám Russell to označil za defekt vo svojej teórii. Navyše sa teória ukázala ako veľmi zložitá. V dôsledku toho nezískal široké uplatnenie.

Zermelo-Fraenkelova teória množín

Najznámejším prístupom k axiomatizácii matematiky je Zermelo-Fraenkelova (ZF) teória množín, ktorá vznikla ako rozšírenie tzv. Zermelove teórie(1908). Na rozdiel od Russella si Zermelo zachoval logické princípy a zmenil iba axiómy teórie množín. Myšlienkou tohto prístupu je, že je povolené používať iba množiny zostavené z už zostavených množín pomocou určitej množiny axióm. Napríklad jedna zo Zermelových axióm hovorí, že je možné zostaviť množinu všetkých podmnožín danej množiny (booleovská axióma). Ďalšia axióma ( výberová schéma) hovorí, že z každej množiny je možné vybrať podmnožinu prvkov, ktoré majú danú vlastnosť. Toto je hlavný rozdiel medzi Zermelovou teóriou množín a naivnou teóriou množín: v naivnej teórii množín môžete zvážiť množinu všetkých prvkov, ktoré majú danú vlastnosť a v Zermelovej teórii množín môžete vybrať iba podmnožinu z už skonštruovanej množiny. . V Zermelovej teórii množín nie je možné zostaviť množinu všetkých množín. Russellovu súpravu teda nemožno skonštruovať ani tam.

triedy

Niekedy je v matematike užitočné uvažovať o všetkých množinách ako o celku, napríklad o celku všetkých skupín. Na tento účel môže byť teória množín rozšírená o pojem triedy, ako napríklad v systéme Neumann- Bernays- Gödel (NBG). V tejto teórii je zbierka všetkých množín trieda. Táto trieda však nie je množinou a nie je členom žiadnej triedy, čím sa vyhneme Russellovmu paradoxu.

Silnejší systém, ktorý umožňuje preberať kvantifikátory nad triedami, a nie iba nad množinami, je napr. Morseova teória množín - Kelly(MK) . V tejto teórii je hlavným konceptom koncept trieda, ale nie súpravy. Množiny v tejto teórii sa považujú za také triedy, ktoré sú samy osebe prvkami niektorých tried. V tejto teórii vzorec z ∈ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\dvojbodka P(x)\)) sa považuje za ekvivalent vzorca

P (z) & ∃ y. z ∈ y (\displaystyle P(z)\ \&\ \existuje y.z\in y).

Ako ∃ y . z ∈ y (\displaystyle \existuje y.z\in y) v tejto teórii znamená, že trieda z (\displaystyle z) je veľa, treba tento vzorec chápať ako ( x: P (x) ) (\displaystyle \(x\dvojbodka P(x)\)) je trieda všetkých súpravy(nie triedy) z (\displaystyle z), také že P (z) (\displaystyle P(z)). Russellov paradox v tejto teórii rieši fakt, že nie každá trieda je množina.

Dá sa ísť ďalej a zvážiť zbierky tried - konglomeráty, zbierky konglomerátov a pod.

Vplyv na matematiku

Axiomatizácia matematiky

Russellov paradox spolu s ďalšími matematickými antinómiami objavenými na začiatku 20. storočia podnietil revíziu základov matematiky, ktorá vyústila do konštrukcie axiomatických teórií na ospravedlnenie matematiky, z ktorých niektoré sú spomenuté vyššie.

Vo všetkých nových skonštruovaných axiomatických teóriách boli eliminované paradoxy známe do polovice 20. storočia (vrátane Russellovho paradoxu). Avšak dokázať, že nové podobné paradoxy nie je možné v budúcnosti objaviť (to je problém konzistencie skonštruovaných axiomatických teórií), sa v modernom chápaní tohto problému ukázalo nemožné (pozri Gödelove vety o neúplnosti) .

intuicionizmus

Paralelne s tým vznikol nový trend v matematike nazývaný intuicionizmus, ktorého zakladateľom je L. E. Ya. Brouwer. Intuicionizmus vznikol nezávisle od Russellovho paradoxu a iných antinómií. Objavenie antinómií v teórii množín však zvýšilo nedôveru intuicionistov k logickým princípom a urýchlilo vznik intuicionizmu. Hlavná téza intuicionizmu hovorí, že na preukázanie existencie nejakého objektu je potrebné predložiť metódu na jeho konštrukciu. Intuicionisti odmietajú také abstraktné pojmy ako množina všetkých množín. Intuicionizmus popiera zákon vylúčeného stredu, je však potrebné poznamenať, že zákon vylúčeného stredu nie je potrebný na odvodenie rozporu z Russellovej antinómie alebo akejkoľvek inej (v akejkoľvek antinómii je dokázané, že A (\displaystyle A) znamená negáciu A (\displaystyle A) a popieranie A (\displaystyle A) znamená A , (\displaystyle A,) však od (A ⇒ ¬ A) & (¬ A ⇒ A) (\displaystyle (A\šípka doprava \neg A)\&(\neg A\šípka doprava A)) aj v intuicionistickej logike nasleduje rozpor). Za zmienku tiež stojí, že v neskorších axiomatizáciách intuicionistickej matematiky sa našli paradoxy podobné tým Russellovým, ako napr. Girardov paradox v pôvodnom znení Martin Loef.

Diagonálny argument (vlastná použiteľnosť)

Napriek tomu, že Russellovo uvažovanie vedie k paradoxu, hlavná myšlienka tohto uvažovania sa často používa pri dokazovaní matematických teorémov. Ako už bolo spomenuté vyššie, Russell získal svoj paradox analýzou Cantorovho dôkazu o neexistencii najväčšieho kardinálneho čísla. Tento fakt odporuje existencii množiny všetkých množín, keďže jej mohutnosť musí byť maximálna. Množina všetkých podmnožín danej množiny má však podľa Cantorovej vety väčšiu mohutnosť ako samotná množina. Dôkaz tejto skutočnosti je založený na nasledujúcom diagonálny argument?!:

Nech existuje vzájomná korešpondencia , ktorá ku každému prvku x (\displaystyle x) súpravy X (\displaystyle X) zodpovedá podmnožine s x (\displaystyle s_(x)) súpravy X. (\displaystyle X.) Nechať byť d (\displaystyle d) bude súborom prvkov x (\displaystyle x) také že x ∈ s x (\displaystyle x\in s_(x)) (diagonálna sada). Potom doplnok tejto sady s = d ¯ (\displaystyle s=(\overline (d))) nemôže byť jedným z s x . (\displaystyle s_(x).) Preto korešpondencia nebola individuálna.

Cantor použil diagonálny argument na preukázanie nespočitateľnosti reálnych čísel v roku 1891. (Toto nie je jeho prvý dôkaz nespočítateľnosti reálnych čísel, ale ten najjednoduchší).

Súvisiace paradoxy

Samoaplikovateľnosť sa používa v mnohých iných paradoxoch, ako sú tie, o ktorých sme hovorili vyššie:

Paradox všemohúcnosti je stredoveká otázka: "Môže všemohúci boh stvoriť kameň, ktorý sám nedokáže zdvihnúť?"
Paradox Burali-Forti (1897) je analógom paradoxu Cantor pre radové číslovky.
Mirimanov paradox (1917) je zovšeobecnením Buraliho-Fortiho paradoxu pre triedu všetkých fundovaných tried.
Richardov paradox (1905) je sémantický paradox ukazujúci dôležitosť oddelenia jazyka matematiky a metamatematiky.
Berryho paradox (1906) je zjednodušená verzia Richardovho paradoxu, ktorú vydal Russell.
Kleene-Rosser paradox(1935) - formulácia Richardovho paradoxu z hľadiska λ-kalkulu.
Curryho (1941) paradox je zjednodušením Kleene-Rosserovho paradoxu.
Girardov paradox(1972) - formulácia Burali-Fortiho paradoxu z hľadiska intuicionistická teória typov .
je položartovný paradox pripomínajúci Berryho paradox.

Poznámky

Godhard Link (2004) Sto rokov Russellovho paradoxu, s. 350, ISBN 9783110174380 , .
Russellova antinómia // Slovník logiky. Ivin A. A., Nikiforov A. L.- M.: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 s. - ISBN 5-691-00099-3.
Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell "s Paradox // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 2014-01-01.
Antinómia- článok z matematickej encyklopédie. A. G. Dragalin
A. S. Gerasimov. Vypočítateľnosť kurzu matematickej logiky a teórie . - Tretie vydanie, revidované a rozšírené. - Petrohrad: LEMA, 2011. - S. 124-126. - 284 s.

V najviac všeobecný paradoxná forma Bertrand Russell vyzerá takto:

Nech M je množina všetkých množín, ktoré neobsahujú seba ako svoj prvok. Otázka: Obsahuje M sám seba ako prvok?

Ak je odpoveď „áno“, potom podľa definície M nesmie byť prvkom M a máme protirečenie.

Ak je odpoveď "nie" - potom podľa definície M musí ísť o prvok M - opäť protirečenie ...

„Aká je podstata rozporu? Trieda niekedy je a niekedy nie je jej členom. " Trieda lyžičky, napríklad, nie je ďalšia lyžička, ale triedy vecí, ktoré nie sú lyžičkami, sú niektoré z vecí, ktoré nie sú lyžičkami.“

Russellov paradox súvisí s používaním pojmu trieda všetkých vlastných tried. "Own" je trieda, ktorá neobsahuje seba ako svojho člena. "Nesprávna" je trieda, ktorá by mala obsahovať seba ako svojho člena. Predpokladá sa, že ide o triedu všetkých tried. S ohľadom na triedu všetkých vlastných tried ("Russellova trieda") vyvstáva otázka: čo to je - správne alebo nevlastné? Ak predpokladáme, že je vlastný, mal by byť priradený k nevlastným triedam a naopak.

Položartovným spôsobom Russell prezentuje tento paradox prostredníctvom takzvaného „Barberovho“ paradoxu v An Introduction to the Philosophy of Mathematics (1919). Dedinský holič musí oholiť všetkých a len tých obyvateľov svojej dediny, ktorí sa neholia sami. Mal by sa oholiť sám? Ak sa oholí, potom sa oholí sám a nemá právo sa holiť. Ale ak sa neoholí sám, má právo sa oholiť sám. Týmto spôsobom možno demonštrovať aj paradoxnosť „množiny všetkých množín, ktoré nie sú vlastnými prvkami“. Treba si uvedomiť, že „Holič“ nie je „čírym paradoxom“, pretože z neho len vyplýva, že takýto kaderník nemôže existovať vôbec, t. definované iba z hľadiska tejto totality, ako aj prvkov, ktoré túto totalitu zahŕňajú alebo implikujú. Paradox je eliminovaný záverom, že ak niektoré premisy vyvolávajú rozpor, potom sa mýlia.

Russellova antinómia zohrala dôležitú úlohu vo vývoji základov matematiky. Podkopal základy teórie množín, úplne novú logiku, stal sa skutočnou katastrofou a zrútením nádejí tých, ktorí sa na prelome 19. – 20. storočia zaoberali problémami zdôvodňovania matematiky a logiky.

Russell v roku 1903 otvorene nepriznal, že objavil riešenie paradoxu. V „Predhovore“ k „Princípom matematiky“ poznamenal, že jediným dôvodom na vydanie práce, ktorá mala množstvo nevyriešených otázok, bolo to, že táto štúdia umožnila hlbšie preniknúť do podstaty tried. Russell navrhol jednoduchú teóriu typov ako možné riešenie v "prílohe B" tohto článku. V budúcnosti prichádza k záveru, že práve táto teória, rozvinutá do systému, umožňuje eliminovať paradox.

Kolesnikov A.S., Philosophy of Bertrand Russell, L., Leningrad University Press, 1991, s. 84-85.

Portál pre študenta. Samotréning