Desatinný zlomok musí obsahovať čiarku. Tá číselná časť zlomku, ktorá sa nachádza naľavo od desatinnej čiarky, sa nazýva celok; vpravo - zlomkové:
5,28 5 - celá časť 28 - zlomková časť
Zlomková časť desatinného čísla sa skladá z desatinné miesta(desatinné miesta):
- desatiny - 0,1 (jedna desatina);
- stotiny - 0,01 (jedna stotina);
- tisíciny - 0,001 (jedna tisícina);
- desaťtisíciny - 0,0001 (jedna desaťtisícina);
- stotisíciny - 0,00001 (stotisícina);
- milióntiny - 0,000001 (jedna milióntina);
- desaťmilióntina - 0,0000001 (jedna desaťmilióntina);
- stomilióntina - 0,00000001 (stomilióntina);
- miliardtina - 0,000000001 (jedna miliardtina) atď.
- prečítajte si číslo, ktoré je celočíselnou časťou zlomku, a pridajte slovo „ celý";
- prečítajte číslo, ktoré tvorí zlomkovú časť zlomku, a pridajte názov najmenej významnej číslice.
Napríklad:
- 0,25 - nulový bod dvadsaťpäť stotín;
- 9,1 - deväť bodov jedna desatina;
- 18,013 - osemnásť bodov trinásť tisícin;
- 100,2834 je stodvatisíc osemstotridsaťštyri desaťtisícin.
Zápis desatinných miest
Ak chcete napísať desatinný zlomok, musíte:
- zapíšte si celú časť zlomku a dajte čiarku (číslo znamenajúce celočíselnou časť zlomku vždy končí slovom " celý");
- napíšte zlomkovú časť zlomku tak, aby posledná číslica padla na požadovanú číslicu (ak na určitých desatinných miestach nie sú žiadne platné číslice, nahradia sa nulami).
Napríklad:
- dvadsať bodov deväť - 20,9 - v tomto príklade je všetko jednoduché;
- päťbodová stotina - 5,01 - slovo "stotina" znamená, že za desatinnou čiarkou majú byť dve číslice, ale keďže v čísle 1 nie je desiate miesto, nahrádza sa nulou;
- nulový bod osemsto osem tisícin - 0,808;
- tri bodky pätnásť - takýto desatinný zlomok nie je možné napísať, pretože došlo k chybe vo výslovnosti zlomkovej časti - číslo 15 obsahuje dve číslice a slovo "desiatky" znamená iba jednu. Správne budú tri bodové pätnásť stotín (alebo tisíciny, desaťtisíciny atď.).
Desatinné porovnanie
Porovnávanie desatinných zlomkov sa vykonáva podobne ako porovnávanie prirodzených čísel.
- najprv sa porovnajú celočíselné časti zlomkov – desatinný zlomok s väčšou celočíselnou časťou bude väčší;
- ak sú celočíselné časti zlomkov rovnaké, zlomkové časti sa porovnávajú bit po bite, zľava doprava, začínajúc od čiarky: desatiny, stotiny, tisíciny atď. Porovnávanie sa vykonáva až do prvej nezrovnalosti - ten desatinný zlomok bude väčší, ktorý bude mať väčšiu nerovnakú číslicu v zodpovedajúcej číslici zlomkovej časti. Napríklad: 1.2 8 3 > 1,27 9, pretože v stotinách má prvý zlomok 8 a druhý má 7.
Desatinný zlomok sa líši od obyčajného zlomku tým, že jeho menovateľom je bitová jednotka.
Napríklad:
Desatinné zlomky boli oddelené od obyčajných zlomkov do samostatného tvaru, čo viedlo k vlastným pravidlám na porovnávanie, sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie týchto zlomkov. V zásade môžete pracovať s desatinnými zlomkami podľa pravidiel obyčajných zlomkov. Vlastné pravidlá na prevod desatinných zlomkov zjednodušujú výpočty a pravidlá na prevod obyčajných zlomkov na desatinné miesta a naopak slúžia ako prepojenie medzi týmito typmi zlomkov.
Zápis a čítanie desatinných zlomkov umožňuje písať, porovnávať a pracovať s nimi podľa pravidiel veľmi podobných pravidlám pre operácie s prirodzenými číslami.
Prvýkrát bol systém desatinných zlomkov a operácií s nimi popísaný v 15. storočí. Samarkandský matematik a astronóm Jamshid ibn-Masudal-Kashi v knihe „Kľúč k umeniu účtovníctva“.
Celočíselná časť desatinného zlomku je oddelená od zlomkovej časti čiarkou, v niektorých krajinách (USA) dávajú bodku. Ak v desatinnom zlomku nie je žiadna celočíselná časť, pred desatinnú čiarku vložte číslo 0.
K zlomkovej časti desatinného zlomku vpravo je možné pridať ľubovoľný počet núl, hodnota zlomku sa tým nemení. Zlomková časť desatinného zlomku sa číta podľa poslednej platnej číslice.
Napríklad:
0,3 - tri desatiny
0,75 - sedemdesiatpäť stotín
0,000005 - päť miliónov.
Čítanie celej časti desatinného čísla je rovnaké ako čítanie prirodzených čísel.
Napríklad:
27,5 - dvadsaťsedem ...;
1,57 - jeden...
Po celočíselnej časti desatinného zlomku sa vyslovuje slovo „celo“.
Napríklad:
10,7 - desať bodov sedem
0,67 - nula bod šesťdesiatsedem stotín.
Desatinné čísla sú zlomkové číslice. Zlomková časť sa nečíta po čísliciach (na rozdiel od prirodzených čísel), ale ako celok, preto je zlomková časť desatinného zlomku určená poslednou platnou číslicou vpravo. Bitový systém zlomkovej časti desatinného zlomku sa trochu líši od systému prirodzených čísel.
- 1. číslica po obsadenosti - desatinná číslica
- 2. miesto za desatinnou čiarkou - sté miesto
- 3. miesto za desatinnou čiarkou – tisícina
- 4. miesto za desatinnou čiarkou - desaťtisícové miesto
- 5. miesto za desatinnou čiarkou - stotisícové miesto
- 6. miesto za desatinnou čiarkou - miliónové miesto
- 7. miesto za desatinnou čiarkou - desaťmiliónové miesto
- 8. miesto za desatinnou čiarkou je stomiliónové
Pri výpočtoch sa najčastejšie používajú prvé tri číslice. Veľká bitová hĺbka zlomkovej časti desatinných zlomkov sa používa iba v špecifických oblastiach vedomostí, kde sa počítajú nekonečne malé hodnoty.
Konverzia desatinných zlomkov na zmiešané pozostáva z nasledovného: napíšte číslo pred desatinnou čiarkou ako celočíselné časti zmiešaného zlomku; číslo za desatinnou čiarkou je čitateľom jeho zlomkovej časti a do menovateľa zlomkovej časti napíšte jednotku s toľkými nulami, koľko je číslic za desatinnou čiarkou.
3.4 Správna objednávka
V predchádzajúcej časti sme porovnávali čísla podľa ich polohy na číselnej osi. Je to dobrý spôsob, ako porovnať veľkosti čísel v desiatkovom zápise. Táto metóda vždy funguje, ale je pracné a nepohodlné robiť to zakaždým, keď potrebujete porovnať dve čísla. Existuje ďalší dobrý spôsob, ako zistiť, ktoré z dvoch čísel je väčšie.
Príklad A
Zvážte čísla z predchádzajúcej časti a porovnajte 0,05 a 0,2.
Aby sme zistili, ktoré číslo je väčšie, najprv porovnáme ich celé časti. Obe čísla v našom príklade majú rovnaký počet celých čísel - 0. Potom porovnajte ich desatiny. Číslo 0,05 má 0 desatín a číslo 0,2 má 2 desatiny. Nezáleží na tom, že číslo 0,05 má 5 stotín, pretože desatiny určujú, že číslo 0,2 je väčšie. Môžeme teda napísať:
Obe čísla majú 0 celých čísel a 6 desatín a zatiaľ nevieme určiť, ktoré z nich je väčšie. Číslo 0,612 má však len 1 stotinu a číslo 0,62 má dve. Potom to môžeme určiť
0,62 > 0,612
To, že číslo 0,612 má 2 tisíciny nevadí, stále je to menej ako 0,62.
Môžeme to ilustrovať na obrázku:
|
0,612 | |||
 |
0,62 | |||
Ak chcete určiť, ktoré z dvoch čísel v desiatkovom zápise je väčšie, musíte urobiť nasledovné:
1. Porovnajte celé časti. Číslo, ktorého celá časť je väčšia a bude väčšia.
2 . Ak sú celé časti rovnaké, porovnajte desatiny. To číslo, ktoré má viac desatín, bude viac.
3 . Ak sú desatiny rovnaké, porovnajte stotiny. To číslo, ktoré má viac stotín, bude viac.
4 . Ak sú stotiny rovnaké, porovnajte tisíciny. To číslo, ktoré má viac tisícin, bude viac.
V tomto článku sa budeme téme venovať desiatkové porovnanie". Najprv si rozoberme všeobecný princíp porovnávania desatinných zlomkov. Potom zistíme, ktoré desatinné zlomky sú rovnaké a ktoré sú nerovnaké. Ďalej sa naučíme, ako určiť, ktorý desatinný zlomok je väčší a ktorý je menší. Aby sme to dosiahli, budeme študovať pravidlá na porovnávanie konečných, nekonečných periodických a nekonečných neperiodických zlomkov. Celú teóriu dodáme príkladmi s podrobným riešením. Na záver sa zastavíme pri porovnaní desatinných zlomkov s prirodzenými číslami, obyčajnými zlomkami a zmiešanými číslami.
Povedzme hneď, že tu budeme hovoriť iba o porovnávaní kladných desatinných zlomkov (pozri kladné a záporné čísla). Zvyšné prípady sú analyzované v článkoch porovnávaním racionálnych čísel a porovnanie reálnych čísel.
Navigácia na stránke.
Všeobecný princíp porovnávania desatinných zlomkov
Na základe tohto princípu porovnávania sú odvodené pravidlá porovnávania desatinných zlomkov, ktoré umožňujú zaobísť sa bez premeny porovnávaných desatinných zlomkov na obyčajné zlomky. Tieto pravidlá, ako aj príklady ich aplikácie, rozoberieme v nasledujúcich odsekoch.
Na podobnom princípe sa konečné desatinné zlomky alebo nekonečné periodické desatinné zlomky porovnávajú s prirodzenými číslami, obyčajnými zlomkami a zmiešanými číslami: porovnávané čísla sú nahradené ich zodpovedajúcimi obyčajnými zlomkami a potom sa porovnávajú obyčajné zlomky.
Čo sa týka porovnania nekonečných neopakujúcich sa desatinných miest, potom zvyčajne príde na rad porovnanie konečných desatinných zlomkov. Za týmto účelom zvážte taký počet znakov porovnávaných nekonečných neperiodických desatinných zlomkov, čo vám umožní získať výsledok porovnania.
Rovnaké a nerovnaké desatinné čísla
Najprv sa predstavíme definície rovnakých a nerovnakých koncových desatinných miest.
Definícia.
Dve koncové desatinné miesta sa nazývajú rovný ak sú ich zodpovedajúce spoločné zlomky rovnaké, inak sa tieto desatinné zlomky nazývajú nerovný.
Na základe tejto definície je ľahké zdôvodniť nasledujúce tvrdenie: ak na konci daného desatinného zlomku pripíšeme alebo zahodíme niekoľko číslic 0, dostaneme desatinný zlomok, ktorý sa mu rovná. Napríklad 0,3=0,30=0,300=… a 140,000=140,00=140,0=140 .
Pridanie alebo vyradenie nuly na konci desatinného zlomku vpravo skutočne zodpovedá vynásobeniu alebo deleniu čitateľa a menovateľa zodpovedajúceho obyčajného zlomku 10. A poznáme základnú vlastnosť zlomku, ktorá hovorí, že vynásobením alebo delením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým prirodzeným číslom dostaneme zlomok rovný pôvodnému. To dokazuje, že pridanie alebo vyradenie núl doprava v zlomkovej časti desatinného zlomku dáva zlomok rovný pôvodnému.
Napríklad desatinný zlomok 0,5 zodpovedá obyčajnému zlomku 5/10, po pridaní nuly doprava sa získa desatinný zlomok 0,50, čo zodpovedá obyčajnému zlomku 50/100 a. Takže 0,5 = 0,50. Naopak, ak v desatinnom zlomku 0,50 vyhodíme 0 sprava, tak dostaneme zlomok 0,5, teda z obyčajného zlomku 50/100 prídeme na zlomok 5/10, ale 
. Preto 0,50 = 0,5.
Prejdime k definícia rovnakých a nerovnakých nekonečných periodických desatinných zlomkov.
Definícia.
Dva nekonečné periodické zlomky rovný, ak sa im zodpovedajúce obyčajné zlomky rovnajú; ak im zodpovedajúce obyčajné zlomky nie sú rovnaké, potom sú aj porovnávané periodické zlomky nerovná sa.
Z tejto definície vyplývajú tri závery:
- Ak sú záznamy periodických desatinných zlomkov úplne rovnaké, potom sa takéto nekonečné periodické desatinné zlomky rovnajú. Napríklad periodické desatinné miesta 0,34(2987) a 0,34(2987) sú rovnaké.
- Ak periódy porovnávaných desatinných periodických zlomkov začínajú od rovnakej pozície, prvý zlomok má periódu 0 , druhý má periódu 9 a hodnota číslice pred periódou 0 je o jednu väčšia ako hodnota číslice predchádzajúca perióda 9 , potom sa takéto nekonečné periodické desatinné zlomky rovnajú. Napríklad periodické zlomky 8.3(0) a 8.2(9) sú rovnaké a zlomky 141,(0) a 140,(9) sú tiež rovnaké.
- Akékoľvek ďalšie dva periodické zlomky nie sú rovnaké. Tu sú príklady nerovnakých nekonečných periodických desatinných zlomkov: 9,0(4) a 7,(21) , 0,(12) a 0,(121) , 10,(0) a 9,8(9) .
Zostáva riešiť rovnaké a nerovnaké nekonečné neperiodické desatinné zlomky. Ako viete, takéto desatinné zlomky nemožno previesť na obyčajné zlomky (takéto desatinné zlomky predstavujú iracionálne čísla), takže porovnanie nekonečných neperiodických desatinných zlomkov nemožno zredukovať na porovnanie obyčajných zlomkov.
Definícia.
Dve nekonečné neopakujúce sa desatinné miesta rovný ak sa ich záznamy presne zhodujú.
Je tu však jedna výhrada: nie je možné vidieť „hotový“ záznam nekonečných neperiodických desatinných zlomkov, a preto si nemožno byť istý úplnou zhodou ich záznamov. Ako byť?
Pri porovnávaní nekonečných neperiodických desatinných zlomkov sa berie do úvahy len konečný počet znamienok porovnávaných zlomkov, čo nám umožňuje vyvodiť potrebné závery. Porovnávanie nekonečných neperiodických desatinných zlomkov sa teda redukuje na porovnanie konečných desatinných zlomkov.
Pri tomto prístupe môžeme hovoriť o rovnosti nekonečných neperiodických desatinných zlomkov len po uvažovanú číslicu. Uveďme si príklady. Nekonečné neperiodické desatinné zlomky 5,45839 ... a 5,45839 ... sa rovnajú s presnosťou stotisícin, pretože posledné desatinné zlomky 5,45839 a 5,45839 sú rovnaké; neopakujúce sa desatinné zlomky 19,54 ... a 19,54810375 ... sa rovnajú najbližšej stotine, pretože zlomky 19,54 a 19,54 sa rovnajú.
Nerovnosť nekonečných neperiodických desatinných zlomkov s týmto prístupom je stanovená celkom určite. Napríklad nekonečné neperiodické desatinné zlomky 5,6789… a 5,67732… nie sú rovnaké, pretože rozdiely v ich záznamoch sú zrejmé (konečné desatinné zlomky 5,6789 a 5,6773 sa nerovnajú). Nekonečné desatinné miesta 6,49354... a 7,53789... sa tiež nerovnajú.
Pravidlá porovnávania desatinných zlomkov, príklady, riešenia
Po zistení skutočnosti, že dva desatinné zlomky nie sú rovnaké, je často potrebné zistiť, ktorý z týchto zlomkov je väčší a ktorý je menší ako druhý. Teraz budeme analyzovať pravidlá porovnávania desatinných zlomkov, čo nám umožní odpovedať na položenú otázku.
V mnohých prípadoch stačí porovnať celočíselné časti porovnávaných desatinných miest. Nasledujúce je pravda pravidlo desiatkového porovnávania: väčší ako desatinný zlomok, ktorého celá časť je väčšia, a menšia ako desatinný zlomok, ktorého celá časť je menšia.
Toto pravidlo platí pre konečné aj nekonečné desatinné miesta. Uvažujme o príkladoch.
Príklad.
Porovnajte desatinné čísla 9,43 a 7,983023….
rozhodnutie.
Je zrejmé, že tieto desatinné zlomky nie sú rovnaké. Celá časť konečného desatinného zlomku 9,43 sa rovná 9 a celočíselná časť nekonečného neperiodického zlomku 7,983023 ... sa rovná 7. Od 9>7 (pozri porovnanie prirodzených čísel), potom 9,43>7,983023.
odpoveď:
9,43>7,983023 .
Príklad.
Ktoré z desatinných miest 49,43(14) a 1 045,45029... je menej?
rozhodnutie.
Celá časť periodického zlomku 49,43(14) je menšia ako celočíselná časť nekonečného neperiodického desatinného zlomku 1 045,45029…, preto 49,43(14)<1 045,45029… .
odpoveď:
49,43(14) .
Ak sú celé časti porovnávaných desatinných zlomkov rovnaké, potom, aby sme zistili, ktorý z nich je väčší a ktorý je menší, musíme porovnať zlomkové časti. Porovnanie zlomkových častí desatinných zlomkov sa vykonáva bit po bite- od kategórie desiatych až po mladších.
Najprv sa pozrime na príklad porovnania dvoch koncových desatinných zlomkov.
Príklad.
Porovnajte koncové desatinné miesta 0,87 a 0,8521 .
rozhodnutie.
Celočíselné časti týchto desatinných zlomkov sú rovnaké (0=0), takže prejdime k porovnávaniu zlomkových častí. Hodnoty desatinného miesta sú rovnaké (8=8) a hodnota stotinového miesta zlomku 0,87 je väčšia ako hodnota stotinového miesta zlomku 0,8521 (7>5). Preto 0,87>0,8521.
odpoveď:
0,87>0,8521 .
Niekedy, ak chcete porovnať koncové desatinné miesta s rôznym počtom desatinných miest, musíte pridať počet núl napravo od zlomku s menším počtom desatinných miest. Pred začatím porovnávania konečných desatinných zlomkov je celkom vhodné vyrovnať počet desatinných miest pridaním určitého počtu núl napravo od jednej z nich.
Príklad.
Porovnajte koncové desatinné miesta 18,00405 a 18,0040532.
rozhodnutie.
Je zrejmé, že tieto zlomky sú nerovnaké, pretože ich záznamy sú rôzne, ale zároveň majú rovnaké celé čísla (18=18).
Pred bitovým porovnaním zlomkových častí týchto zlomkov vyrovnáme počet desatinných miest. Aby sme to dosiahli, priradíme na koniec zlomku 18,00405 dve číslice 0, pričom desatinný zlomok dostaneme rovný 18,0040500.
Desatinné miesta 18,0040500 a 18,0040532 sa rovnajú až stotisícinám a hodnota miliónového miesta 18,0040500 je menšia ako hodnota zodpovedajúceho zlomkového miesta 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
odpoveď:
18,00405<18,0040532 .
Pri porovnávaní konečného desatinného zlomku s nekonečným sa konečný zlomok nahradí nekonečným periodickým zlomkom, ktorý sa mu rovná s periódou 0, po čom sa vykoná porovnanie podľa číslic.
Príklad.
Porovnajte koncové desatinné číslo 5,27 s nekonečným neopakujúcim sa desatinným číslom 5,270013….
rozhodnutie.
Celé časti týchto desatinných miest sú rovnaké. Hodnoty číslic desatín a stotín týchto zlomkov sú rovnaké a aby sme mohli vykonať ďalšie porovnanie, nahradíme konečný desatinný zlomok nekonečným periodickým zlomkom, ktorý sa mu rovná, s bodkou 0 v tvare 5,270000. ... Pred piatym desatinným miestom sú hodnoty desatinných miest 5,270000... a 5,270013... rovné a na piatom desatinnom mieste máme 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
odpoveď:
5,27<5,270013… .
Porovnávanie nekonečných desatinných zlomkov sa tiež vykonáva bit po bite a končí, keď sú hodnoty niektorého bitu odlišné.
Príklad.
Porovnajte nekonečné desatinné miesta 6,23 (18) a 6,25181815….
rozhodnutie.
Celé čísla týchto zlomkov sú rovnaké, hodnoty desiateho miesta sú tiež rovnaké. A hodnota stotín periodického zlomku 6.23(18) je menšia ako stotinová miesta nekonečného neperiodického desatinného zlomku 6.25181815..., teda 6.23(18)<6,25181815… .
odpoveď:
6,23(18)<6,25181815… .
Príklad.
Ktoré z nekonečných periodických desatinných miest 3,(73) a 3,(737) je väčšie?
rozhodnutie.
Je jasné, že 3,(73)=3,73737373… a 3,(737)=3,737737737…. Na štvrtom desatinnom mieste bitové porovnanie končí, keďže tam máme 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
odpoveď:
3,(737) .
Porovnajte desatinné čísla s prirodzenými číslami, bežnými zlomkami a zmiešanými číslami.
Ak chcete získať výsledok porovnania desatinného zlomku s prirodzeným číslom, môžete porovnať celú časť tohto zlomku s daným prirodzeným číslom. V tomto prípade sa periodické zlomky s periódami 0 alebo 9 musia najskôr nahradiť ich rovnakými koncovými desatinnými zlomkami.
Nasledujúce je pravda pravidlo na porovnávanie desatinného zlomku a prirodzeného čísla: ak je celá časť desatinného zlomku menšia ako dané prirodzené číslo, potom je celý zlomok menší ako toto prirodzené číslo; ak je celočíselná časť zlomku väčšia alebo rovná danému prirodzenému číslu, potom je zlomok väčší ako dané prirodzené číslo.
Zvážte príklady použitia tohto porovnávacieho pravidla.
Príklad.
Porovnajte prirodzené číslo 7 s desatinným zlomkom 8,8329….
rozhodnutie.
Keďže dané prirodzené číslo je menšie ako celá časť daného desatinného zlomku, potom je toto číslo menšie ako zadaný desatinný zlomok.
odpoveď:
7<8,8329… .
Príklad.
Porovnajte prirodzené číslo 7 a desatinné číslo 7.1.
