Jednou z podpoložiek témy „Rovnica priamky na rovine“ je problematika zostavovania parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme. Nasledujúci článok pojednáva o princípe zostavovania takýchto rovníc pre určité známe údaje. Ukážme si, ako prejsť od parametrických rovníc k rovniciam iného tvaru; Poďme analyzovať riešenie typických problémov.
Konkrétnu čiaru je možné definovať zadaním bodu, ktorý patrí tejto čiare, a smerového vektora čiary.
Predpokladajme, že máme obdĺžnikový súradnicový systém O x y . A je daná aj priamka a označujúca na nej ležiaci bod M 1 (x 1, y 1) a smerový vektor danej priamky. a → = (a x, a y) . Uvádzame popis danej priamky a pomocou rovníc.
Použijeme ľubovoľný bod M (x, y) a získame vektor M1M ->; vypočítajte jeho súradnice zo súradníc začiatočného a koncového bodu: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) . Popíšme výsledok: priamka je daná množinou bodov M (x, y), prechádza bodom M 1 (x 1, y 1) a má smerový vektor. a → = (a x, a y) . Uvedená množina definuje priamku iba vtedy, keď vektory M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) a a → = (a x , a y) sú kolineárne.
Existuje nevyhnutná a postačujúca podmienka kolinearity vektorov, ktorú v tomto prípade pre vektory M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) a a → = (a x , a y) môžeme zapísať ako rovnica:
M 1 M → = λ · a → , kde λ je nejaké reálne číslo.
Definícia 1
Rovnica M 1 M → = λ · a → sa nazýva vektorovo-parametrická rovnica priamky.
V súradnicovom tvare to vyzerá takto:
M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
Rovnice výslednej sústavy x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ sa nazývajú parametrické rovnice priamky na rovine v pravouhlej súradnicovej sústave. Podstata názvu je nasledovná: súradnice všetkých bodov priamky sa dajú určiť parametrickými rovnicami na rovine tvaru x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ pri iterácii cez všetky reálne hodnoty. parametra λ
Podľa vyššie uvedeného parametrické rovnice priamky v rovine x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ určujú priamku, ktorá je daná v pravouhlom súradnicovom systéme, prechádza cez bod M 1 (x 1, y 1) a má vodiaci vektor a → = (a x, a y) . Ak sú teda uvedené súradnice určitého bodu priamky a súradnice jej smerového vektora, potom je možné okamžite zapísať parametrické rovnice danej priamky.
Príklad 1
Je potrebné zostaviť parametrické rovnice priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme, ak je daný k nej patriaci bod M 1 (2, 3) a jeho smerový vektor. a → = (3, 1) .
Riešenie
Na základe počiatočných údajov dostaneme: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Parametrické rovnice budú vyzerať takto:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
Jasne si to ilustrujme:
Odpoveď: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
Treba poznamenať: ak vektor a → = (a x , a y) slúži ako smerový vektor priamky a, pričom tejto priamke patria body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2), potom ju možno určiť nastavením parametrických rovníc tvaru : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , ako aj túto možnosť: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .
Napríklad dostaneme smerový vektor priamky a → \u003d (2, - 1), ako aj body M 1 (1, - 2) a M 2 (3, - 3) patriace do tejto čiary. Potom je priamka určená parametrickými rovnicami: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ alebo x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .
Pozor si treba dať aj na nasledujúcu skutočnosť: ak a → = (a x, a y) je smerový vektor priamky a , potom ktorýkoľvek z vektorov bude tiež jeho smerovým vektorom μ a → = (μ a x, μ a y), kde μ ϵ R, μ ≠ 0 .
Teda priamku a na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme možno definovať parametrickými rovnicami: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ pre ľubovoľnú nenulovú hodnotu μ.
Predpokladajme, že priamka a je daná parametrickými rovnicami x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Potom a → = (2 , - 5) - smerový vektor tejto čiary. A tiež ktorýkoľvek z vektorov μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 sa stane smerovým vektorom pre danú priamku. Pre názornosť uvažujme konkrétny vektor - 2 · a → = (- 4 , 10) , zodpovedá hodnote μ = - 2 . V tomto prípade možno danú priamku určiť aj parametrickými rovnicami x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .
Prechod z parametrických rovníc priamky na rovine k iným rovniciach danej priamky a naopak
Pri riešení niektorých problémov nie je použitie parametrických rovníc najlepšou možnosťou, potom je potrebné preložiť parametrické rovnice priamky na rovnice priamky iného typu. Pozrime sa, ako na to.
Parametrické rovnice priamky x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ budú zodpovedať kanonickej rovnici priamky v rovine x - x 1 a x = y - y 1 a y .
Každú z parametrických rovníc vyriešime vzhľadom na parameter λ, vyrovnáme pravé časti získaných rovníc a získame kanonickú rovnicu danej priamky:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y
V tomto prípade by nemalo byť trápne, ak sa x alebo a y budú rovnať nule.
Príklad 2
Je potrebné vykonať prechod z parametrických rovníc priamky x = 3 y = - 2 - 4 · λ na kanonickú rovnicu.
Riešenie
Uvedené parametrické rovnice zapíšeme v tomto tvare: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ
Parameter λ vyjadríme v každej z rovníc: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4
Vyrovnáme správne časti sústavy rovníc a získame požadovanú kanonickú rovnicu priamky v rovine:
x - 30 = y + 2 - 4
odpoveď: x - 30 = y + 2 - 4
V prípade, že je potrebné zapísať rovnicu priamky tvaru A x + B y + C = 0 , pričom sú dané parametrické rovnice priamky v rovine, je potrebné najskôr vyhotoviť prechod na kanonickú rovnicu a potom na všeobecnú rovnicu priamky. Zapíšme si celú postupnosť akcií:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y1) ⇔ Ax + By + C = 0
Príklad 3
Všeobecnú rovnicu priamky je potrebné zapísať, ak sú dané parametrické rovnice, ktoré ju definujú: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ
Riešenie
Najprv urobme prechod na kanonickú rovnicu:
x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3
Výsledný podiel je zhodný s rovnosťou - 3 · (x + 1) = 2 · y. Otvorme zátvorky a získame všeobecnú rovnicu priamky: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .
Odpoveď: 3x + 2 roky + 3 = 0
Podľa vyššie uvedenej logiky činností je na získanie rovnice priamky so sklonom, rovnice priamky v segmentoch alebo normálnej rovnice priamky potrebné získať všeobecnú rovnicu priamky. a z nej vykonať ďalší prechod.
Teraz zvážte opačnú akciu: písanie parametrických rovníc priamky pre iný daný tvar rovníc tejto priamky.
Najjednoduchší prechod: od kanonickej rovnice k parametrickým. Nech je daná kanonická rovnica tvaru: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Každý zo vzťahov tejto rovnosti považujeme za rovný parametru λ:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y
Vyriešme výsledné rovnice pre premenné x a y:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
Príklad 4
Parametrické rovnice priamky je potrebné zapísať, ak je známa kanonická rovnica priamky v rovine: x - 2 5 = y - 2 2
Riešenie
Prirovnajme časti známej rovnice k parametru λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Zo získanej rovnosti získame parametrické rovnice priamky: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
Odpoveď: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
Keď je potrebné urobiť prechod na parametrické rovnice z danej všeobecnej rovnice priamky, rovnice priamky so sklonom alebo rovnice priamky v segmentoch, je potrebné uviesť pôvodnú rovnicu do kanonickú a potom vykonajte prechod na parametrické rovnice.
Príklad 5
Parametrické rovnice priamky je potrebné zapísať známou všeobecnou rovnicou tejto priamky: 4 x - 3 y - 3 = 0 .
Riešenie
Danú všeobecnú rovnicu transformujeme na rovnicu kanonického tvaru:
4 x - 3 r - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 r + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 r + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4
Obe časti rovnosti prirovnáme k parametru λ a získame požadované parametrické rovnice priamky:
x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
odpoveď: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
Príklady a úlohy s parametrickými rovnicami priamky v rovine
Uvažujme o najbežnejších typoch problémov pomocou parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme.
- V úlohách prvého typu sú uvedené súradnice bodov, či už patria alebo nepatria k priamke opísanej parametrickými rovnicami.
Riešenie takýchto úloh je založené na nasledujúcej skutočnosti: čísla (x, y) určené z parametrických rovníc x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ pre nejakú reálnu hodnotu λ sú súradnice a bod patriaci do priamky, ktorý je popísaný týmito parametrickými rovnicami.
Príklad 6
Je potrebné určiť súradnice bodu, ktorý leží na priamke danej parametrickými rovnicami x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pre λ = 3 .
Riešenie
Známu hodnotu λ = 3 dosadíme do daných parametrických rovníc a vypočítame požadované súradnice: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5
odpoveď: 1 1 2 , 5
Možný je aj nasledujúci problém: nech je na rovine v pravouhlej súradnicovej sústave daný nejaký bod M 0 (x 0, y 0) a je potrebné určiť, či tento bod patrí do priamky opísanej parametrickými rovnicami x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ.
Na vyriešenie takéhoto problému je potrebné dosadiť súradnice daného bodu do známych parametrických rovníc priamky. Ak sa určí, že je možná taká hodnota parametra λ = λ 0, pri ktorej budú platiť obe parametrické rovnice, potom daný bod patrí danej priamke.
Príklad 7
Uvedené sú body M 0 (4, - 2) a N 0 (- 2, 1). Je potrebné určiť, či patria do priamky definovanej parametrickými rovnicami x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .
Riešenie
Súradnice bodu M 0 (4, - 2) dosadíme do daných parametrických rovníc:
4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2
Dospejeme k záveru, že bod M 0 patrí danej priamke, pretože zodpovedá hodnote λ = 2 .
2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4
Je zrejmé, že neexistuje taký parameter λ, ktorému bude zodpovedať bod N 0. Inými slovami, daná čiara neprechádza bodom N 0 (- 2 , 1) .
odpoveď: bod M 0 patrí danej priamke; bod N 0 nepatrí do danej priamky.
- V úlohách druhého typu sa vyžaduje zostavenie parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme. Najjednoduchší príklad takéhoto problému (so známymi súradnicami bodu priamky a smerového vektora) sme uvažovali vyššie. Teraz sa pozrime na príklady, v ktorých musíte najskôr nájsť súradnice smerového vektora a potom zapísať parametrické rovnice.
Bod M 1 1 2 , 2 3 je daný. Je potrebné zostaviť parametrické rovnice priamky prechádzajúcej týmto bodom a rovnobežnej priamky x 2 \u003d y - 3 - 1.
Riešenie
Podľa stavu problému je priamka, ktorej rovnicu musíme predbehnúť, rovnobežná s priamkou x 2 \u003d y - 3 - 1. Potom ako smerový vektor priamky prechádzajúcej daným bodom je možné použiť smerovací vektor priamky x 2 = y - 3 - 1, ktorý zapíšeme v tvare: a → = (2, - 1). Teraz sú známe všetky potrebné údaje na zostavenie požadovaných parametrických rovníc:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ
odpoveď: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ.
Príklad 9
Bod M 1 (0, - 7) je daný. Je potrebné napísať parametrické rovnice priamky prechádzajúcej týmto bodom kolmo na priamku 3 x – 2 y – 5 = 0 .
Riešenie
Ako smerový vektor priamky, ktorej rovnicu treba zostaviť, je možné vziať normálový vektor priamky 3 x - 2 y - 5 = 0 . Jeho súradnice sú (3 , - 2) . Napíšeme požadované parametrické rovnice priamky:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
odpoveď: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
- V úlohách tretieho typu sa vyžaduje prechod od parametrických rovníc danej priamky k iným typom rovníc, ktoré ju určujú. Riešenie takýchto príkladov sme zvážili vyššie, dáme ešte jeden.
Daná je priamka na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme definovanom parametrickými rovnicami x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Je potrebné nájsť súradnice nejakého normálového vektora tejto priamky.
Riešenie
Aby sme určili požadované súradnice normálneho vektora, prejdeme z parametrických rovníc na všeobecnú rovnicu:
x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0
Koeficienty premenných x a y nám dávajú požadované súradnice normálového vektora. Normálový vektor priamky x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ má teda súradnice 1 , 3 4 .
odpoveď: 1 , 3 4 .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Doteraz sme uvažovali rovnicu plochy v priestore so súradnicovými osami X, Y, Z v explicitnej forme alebo v implicitnej forme
Plošné rovnice možno napísať v parametrickej forme, vyjadrujúc súradnice jej bodov ako funkcie dvoch nezávislých premenných parametrov a
Budeme predpokladať, že tieto funkcie sú jednohodnotové, spojité a majú spojité derivácie až do druhého rádu v určitom rozsahu parametrov.
Ak dosadíme tieto súradnicové výrazy v termínoch u a v do ľavej strany rovnice (37), potom by sme mali získať identitu vzhľadom na u a V. Diferencovaním tejto identity vzhľadom na nezávislé premenné u a v máme
Ak vezmeme do úvahy tieto rovnice ako dve homogénne rovnice s ohľadom na algebraickú lemu uvedenú v , dostaneme
kde k je nejaký koeficient proporcionality.
Predpokladáme, že faktor k a aspoň jeden z rozdielov na pravej strane posledných vzorcov sú nenulové.
Označme pre stručnosť písané tri rozdiely takto:
Ako viete, rovnicu dotykovej roviny k nášmu povrchu v určitom bode (x, y, z) možno zapísať ako
alebo nahradením proporcionálnymi veličinami môžeme rovnicu dotyčnicovej roviny prepísať takto:
Je známe, že koeficienty v tejto rovnici sú úmerné smeru kosínusov normály k povrchu.
Poloha premenného bodu M na povrchu je charakterizovaná hodnotami parametrov u a v a tieto parametre sa zvyčajne nazývajú súradnice bodov povrchu alebo súradnicové parametre.
Zadaním konštantných hodnôt parametrov u a v získame dve rodiny čiar na ploche, ktoré budeme nazývať súradnicové čiary plochy: súradnicové čiary, pozdĺž ktorých sa mení iba v, a súradnicové čiary, pozdĺž ktorých sa mení iba u. Tieto dve rodiny súradnicových čiar poskytujú súradnicovú mriežku na povrchu.
Ako príklad uvažujme guľu so stredom v počiatku a polomere R. Parametrické rovnice takejto gule možno zapísať ako
Súradnicové čiary sú v tomto prípade samozrejme rovnobežky a poludníky našej sféry.
Abstrahovaním od súradnicových osí môžeme povrch charakterizovať premenlivým polomerovým vektorom idúcim z konštantného bodu O do premenlivého bodu M nášho povrchu. Čiastočné derivácie tohto polomerového vektora s ohľadom na parametre samozrejme dávajú vektory smerované pozdĺž dotyčníc k súradnicovým čiaram. Zložky týchto vektorov pozdĺž osí
bude teda podľa a teda, že koeficienty v rovnici dotyčnicovej roviny (39) sú zložkami vektorového súčinu.Tento vektorový súčin je vektor kolmý na dotyčnice, t.j. vektor smerujúci pozdĺž normály povrch. Druhá mocnina dĺžky tohto vektora je zjavne vyjadrená skalárnym súčinom vektora a jeho samotného, teda inými slovami druhou mocninou tohto vektora 1). V nasledujúcom bude významnú úlohu zohrávať jednotkový normálový vektor k povrchu, ktorý samozrejme môžeme zapísať do tvaru
Zmenou poradia faktorov v zapísanom vektorovom súčine dostaneme opačný smer pre vektor (40). V nasledujúcom texte zafixujeme určitým spôsobom poradie faktorov, t. j. určitým spôsobom zafixujeme smer normály k povrchu.
Zoberme si nejaký bod M na ploche a nakreslíme cez tento bod nejakú krivku (L) ležiacu na ploche. Táto krivka vo všeobecnosti nie je súradnicová čiara a H aj v sa budú pozdĺž nej meniť. Smer dotyčnice k tejto krivke určí vektor, ak predpokladáme, že pozdĺž (L) v blízkosti bodu je parameter v funkciou ktorého má deriváciu. Z toho je vidieť, že smer dotyčnice ku krivke nakreslenej na povrchu v niektorom bode M tejto krivky je plne charakterizovaný hodnotou v tomto bode. Pri definovaní dotykovej roviny a odvodení jej rovnice (39) sme predpokladali, že funkcie (38) v uvažovanom bode a jeho okolí majú spojité parciálne derivácie a že aspoň jeden z koeficientov rovnice (39) je odlišný od nuly na uvažovaný bod.
Vektorové a parametrické rovnice roviny. Nech r 0 a r sú vektory polomerov bodov M 0 a M. Potom M 0 M = r - r 0 a podmienka (5.1), že bod M patrí do roviny prechádzajúcej bodom M 0 kolmo. nenulový vektor n (obr. 5.2, a), možno zapísať pomocou skalárny súčin ako pomer
n(r - r 0) = 0, (5,4)
ktorá sa volá vektorová rovnica roviny.
Pevnej rovine v priestore zodpovedá množina vektorov s ňou rovnobežných, t.j. priestor V2. Vyberme si v tomto priestore základ e 1 , e 2 , t.j. dvojica nekolineárnych vektorov rovnobežných s uvažovanou rovinou a bod M 0 na rovine. Ak bod M patrí do roviny, potom je to ekvivalentné tomu, že vektor M 0 M je s ním rovnobežný (obr. 5.2, b), t.j. patrí do označeného priestoru V 2 . To znamená, že existuje rozklad vektora M 0 M v zákl e 1 , e 2 , t.j. existujú čísla t 1 a t 2, pre ktoré M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 . Zápisom ľavej strany tejto rovnice pomocou vektorov polomerov r 0 a r bodov M 0 a M, v tomto poradí, dostaneme vektorová parametrická rovnica roviny
r = r0 + t1e1 + t2e2, t1, t1 ∈ R. (5.5)
Prejsť od rovnosti vektorov v (5.5) k ich rovnosti súradnice, označené (x 0; yo; z 0), (x; y; z) súradnice bodu M 0 , M a cez (e 1x ; e 1y ; e 1z ), (e 2x ; e 2y ; e 2z ) súradnice vektorov e 1 , e 2 . Vyrovnaním rovnomenných súradníc vektorov r a r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 dostaneme parametrické rovinné rovnice
Rovina prechádzajúca tromi bodmi. Predpokladajme, že tri body M 1 , M 2 a M 3 neležia na jednej priamke. Potom existuje jedinečná rovina π, do ktorej tieto body patria. Nájdite rovnicu tejto roviny tak, že sformulujeme kritérium, aby ľubovoľný bod M patril do danej roviny π. Potom toto kritérium zapíšeme z hľadiska súradníc bodov. Uvedené kritérium je popis roviny π ako množiny tých bodov M, pre ktoré vektory M 1 M 2, M 1 M 3 a M 1 M koplanárny. Kritériom zhody troch vektorov je ich rovnosť k nule zmiešaný produkt(pozri 3.2). Zmiešaný produkt sa vypočíta pomocou determinant tretieho rádu, ktorého reťazce sú súradnicami vektorov v ortonormálny základ. Ak teda (x i; yx i; Zx i) sú súradnice bodov Mx i, i = 1, 2, 3 a (x; y; z) sú súradnice bodu M, potom M 1 M = (x-x1; y-y1; z-z1), M1M2 = (x2-x1; y2-y1; z2-z1), M1M3 = (x3-x1; y 3 - y 1 ; z 3 - z 1 ) a podmienka rovnosti k nule zmiešaného súčinu týchto vektorov má tvar
Výpočtom determinantu dostaneme lineárne vzhľadom na x, y, z rovnica, ktorý je všeobecná rovnica požadovanej roviny. Napríklad, ak rozšírte determinant pozdĺž 1. riadku, potom dostaneme
Táto rovnosť sa po výpočte determinantov a otvorení zátvoriek prevedie na všeobecnú rovnicu roviny.
Všimnite si, že koeficienty premenných v poslednej rovnici sa zhodujú so súradnicami vektorový produkt M 1 M 2 × M 1 M 3 . Tento krížový súčin, ktorý je súčinom dvoch nekolineárnych vektorov rovnobežných s rovinou π, dáva nenulový vektor kolmý na π, t.j. jej normálny vektor. Takže vzhľad súradníc vektorového súčinu ako koeficientov všeobecnej rovnice roviny je celkom prirodzený.
Zvážte nasledujúci konkrétny prípad roviny prechádzajúcej tromi bodmi. Body M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0, neležia na jednej priamke a vymedzujú rovinu, ktorá oddeľuje segmenty na súradnicových osiach nenulovej dĺžky (obr. 5.3). Tu „dĺžky segmentov“ znamenajú hodnotu nenulových súradníc polomerových vektorov bodov Mi, i = 1,2,3.
Keďže M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), rovnica (5.7) nadobúda tvar
Po vypočítaní determinantu nájdeme bc(x - a) + acy + abz = 0, vydelíme výslednú rovnicu abc a presunieme voľný člen na pravú stranu,
x/a + y/b + z/c = 1.
Táto rovnica sa nazýva rovinná rovnica v segmentoch.
Príklad 5.2. Nájdite všeobecnú rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom so súradnicami (1; 1; 2) a odrezáva zo súradnicových osí rovnako dlhé segmenty.
Rovnica roviny v segmentoch za predpokladu, že zo súradnicových osí odreže segmenty rovnakej dĺžky, povedzme a ≠ 0, má tvar x/a + y/b + z/c = 1. Táto rovnica musí spĺňať súradnice ( 1; 1; 2) známy bod na rovine, t.j. platí rovnosť 4/a = 1. Preto a = 4 a požadovaná rovnica je x + y + z - 4 = 0.
Normálna rovnica roviny. Uvažujme nejakú rovinu π v priestore. Opravujeme pre ňu jednotka normálne vektor n smeroval z pôvodu"smerom k rovine" a označíme p vzdialenosť od začiatku O súradnicového systému k rovine π (obr. 5.4). Ak rovina prechádza počiatkom súradnicového systému, potom p = 0 a ako smer normálového vektora n možno zvoliť ktorýkoľvek z dvoch možných smerov.
Ak bod M patrí do roviny π, potom je to ekvivalentné tomu, že vektorová ortogonálna projekcia OM smerovať vektor n sa rovná p, t.j. podmienka nOM = pr n OM = p je splnená, keďže vektorová dĺžka n sa rovná jednej.
Súradnice bodu M označme (x; y; z) a nech n = (cosα; cosβ; cosγ) (pripomeňme, že pre jednotkový vektor n je jeho smerové kosínusy cosα, cosβ, cosγ sú tiež jeho súradnice). Zápisom skalárneho súčinu v rovnosti nOM = p v súradnicovom tvare dostaneme normálna rovnica roviny
xcosa + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.
Podobne ako v prípade priamky v rovine možno všeobecnú rovnicu roviny v priestore previesť na jej normálnu rovnicu delením normalizačným faktorom.
Pre rovinnú rovnicu Ax + By + Cz + D = 0 je normalizačným faktorom číslo ±√(A 2 + B 2 + C 2), ktorého znamienko je zvolené opačné ako znamienko D. V absolútnej hodnote, normalizačný faktor je dĺžka normálového vektora (A; B ; C) roviny a znamienko zodpovedá požadovanému smeru jednotkového normálového vektora roviny. Ak rovina prechádza počiatkom súradnicového systému, t.j. D = 0, potom znamienko normalizačného faktora môže byť zvolené ľubovoľným znamienkom.
Ľubovoľná rovnica prvého stupňa vzhľadom na súradnice x, y, z
Ax + By + Cz + D = 0 (3,1)
definuje rovinu a naopak: ľubovoľnú rovinu možno znázorniť rovnicou (3.1), ktorá je tzv rovinná rovnica.
Vektor n(A, B, C) sa nazýva kolmá k rovine normálny vektor lietadlá. V rovnici (3.1) sa koeficienty A, B, C súčasne nerovnajú 0.
Špeciálne prípady rovnice (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - rovina prechádza počiatkom.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - rovina je rovnobežná s osou Oz.
3. C = D = 0, Ax + By = 0 - rovina prechádza osou Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - rovina je rovnobežná s rovinou Oyz.
Rovnice súradnicovej roviny: x = 0, y = 0, z = 0.
Rovná čiara v priestore môže byť daná:
1) ako priesečník dvoch rovín, t.j. sústava rovníc:
Aix + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0; (3.2)
2) jeho dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom je priamka, ktorá nimi prechádza, daná rovnicami:
3) k nemu patriaci bod M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a vektor a(m, n, p), s kolineárne. Potom je priamka určená rovnicami:
Nazývajú sa rovnice (3.4). kanonické rovnice priamky.
Vektor a volal vodiť vektor rovno.
Parametrické rovnice priamky dostaneme rovnítkom každého zo vzťahov (3.4) s parametrom t:
x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + p t. (3,5)
Systém riešenia (3.2) ako sústava lineárnych rovníc o neznámych X A r, dospejeme k rovniciam priamky v projekcie alebo k redukované priamkové rovnice :
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
Od rovníc (3.6) možno prejsť ku kanonickým rovniciach, nájsť z z každej rovnice a prirovnanie výsledných hodnôt:
Od všeobecných rovníc (3.2) sa dá prejsť ku kanonickým rovniciam aj iným spôsobom, ak nájdeme ľubovoľný bod tejto priamky a jej smerový vektor. n= [n 1 , n 2], kde n 1 (A1, B1, C1) a n 2 (A 2, B 2, C 2) - normálové vektory daných rovín. Ak jeden z menovateľov m,n alebo R v rovniciach (3.4) sa rovná nule, potom musí byť čitateľ príslušného zlomku nastavený na nulu, t.j. systém
je ekvivalentný systému; takáto čiara je kolmá na os x.
Systém je ekvivalentný systému x = x 1 , y = y 1 ; priamka je rovnobežná s osou Oz.
Príklad 1.15. Napíšte rovnicu roviny s vedomím, že bod A (1, -1,3) slúži ako základňa kolmice vedenej z počiatku k tejto rovine.
Riešenie. Podľa stavu problému, vektora OA(1,-1,3) je normálový vektor roviny, potom jeho rovnicu môžeme zapísať ako
x-y+3z+D=0. Dosadením súradníc bodu A(1,-1,3) prislúchajúceho rovine zistíme D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. Takže x-y+3z-11=0.
Príklad 1.16. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu osou Oz a zvierajúcu s rovinou 2x+y-z-7=0 uhol 60 stupňov.
Riešenie. Rovina prechádzajúca osou Oz je daná rovnicou Ax+By=0, kde A a B nezanikajú súčasne. Nech B nie
je 0, A/Bx+y=0. Podľa vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma rovinami
Riešením kvadratickej rovnice 3m 2 + 8m - 3 = 0 nájdeme jej korene
m 1 = 1/3, m 2 = -3, z čoho dostaneme dve roviny 1/3x+y = 0 a -3x+y = 0.
Príklad 1.17. Napíšte kanonické rovnice priamky:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Riešenie. Kanonické rovnice priamky majú tvar:
Kde m, n, str- súradnice smerového vektora priamky, x1, y1, z1- súradnice ľubovoľného bodu prislúchajúceho k priamke. Priamka je definovaná ako priesečník dvoch rovín. Na nájdenie bodu prislúchajúceho priamke je jedna zo súradníc pevná (najjednoduchšie je zadať napr. x=0) a výsledná sústava sa rieši ako sústava lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Nech teda x=0, potom y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, odkiaľ y=-1, z=1. Našli sme súradnice bodu M (x 1, y 1, z 1) prislúchajúceho tejto priamke: M (0,-1,1). Smerový vektor priamky sa dá ľahko nájsť, ak poznáme normálové vektory pôvodných rovín n 1 (5,1,1) a n 2(2,3,-2). Potom
Kanonické rovnice priamky sú: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
je všeobecná rovnica roviny v priestore
Normálny rovinný vektor
Normálny vektor roviny je nenulový vektor ortogonálny ku každému vektoru ležiacemu v rovine.
Rovnica roviny prechádzajúcej bodom s daným normálovým vektorom
je rovnica roviny prechádzajúcej bodom M0 s daným normálovým vektorom
Smerové vektory roviny
Dva nekolineárne vektory rovnobežné s rovinou sa nazývajú smerové vektory roviny
Parametrické rovinné rovnice
– parametrická rovnica roviny vo vektorovom tvare
je parametrická rovnica roviny v súradniciach
Rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom a dvoma smerovými vektormi
-pevný bod
len bodka lol
sú koplanárne, takže ich zmiešaný súčin je 0.
Rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi
– rovinná rovnica cez tri body
Rovnica roviny v segmentoch
- rovinná rovnica v segmentoch
Dôkaz
Aby sme to dokázali, používame skutočnosť, že naša rovina prechádza cez A, B, C a normálový vektor
Dosadíme súradnice bodu a vektora n do rovnice roviny s normálovým vektorom
Rozdeľte všetko a získajte
Tak to ide.
Rovnica normálnej roviny
je uhol medzi ox a normálovým vektorom k rovine, ktorý vychádza z O.
je uhol medzi oy a normálovým vektorom k rovine vychádzajúcej z O.
je uhol medzi oz a normálovým vektorom k rovine, vychádzajúcej z O.
je vzdialenosť od začiatku súradníc k rovine.
Dôkazy alebo nejaké podobné kecy
Znak je oproti D.
Podobne pre ostatné kosiny. Koniec.
Vzdialenosť od bodu k rovine
Bod S, rovina
je orientovaná vzdialenosť od bodu S k rovine
Ak , potom S a O ležia na opačných stranách roviny
Ak , potom S a O ležia na rovnakej strane
Vynásobte číslom n 
Vzájomné usporiadanie dvoch línií v priestore
Uhol medzi rovinami
Na priesečníku sa vytvoria dva páry vertikálnych dihedrálnych uhlov, najmenší sa nazýva uhol medzi rovinami
Rovná čiara v priestore
Čiara v priestore môže byť uvedená ako
Priesečník dvoch rovín:
Parametrické rovnice priamky
- parametrická rovnica priamky vo vektorovom tvare
je parametrická rovnica priamky v súradniciach
Kanonická rovnica
je kanonická rovnica priamky.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi
– kanonická rovnica priamky vo vektorovom tvare;
Vzájomné usporiadanie dvoch línií v priestore
Vzájomné usporiadanie priamky a roviny v priestore
Uhol medzi čiarou a rovinou
Vzdialenosť od bodu k čiare v priestore
a je smerový vektor našej priamky.
je ľubovoľný bod patriaci do danej priamky
- bod, ku ktorému hľadáme vzdialenosť.
Vzdialenosť medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami
Vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami
M1 - bod patriaci do prvého riadku
M2 je bod patriaci do druhej čiary
Krivky a plochy druhého rádu
Elipsa je množina bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností od ktorých k dvom daným bodom (ohniskám) je konštantná hodnota.
Kanonická rovnica elipsy
Nahradme to za
Deliť podľa
Vlastnosti elipsy
Priesečník so súradnicovými osami
Pôvod
Symetria asi
Elipsa je krivka ležiaca v ohraničenej časti roviny
Elipsu možno získať z kruhu jeho natiahnutím alebo stlačením
Parametrická rovnica elipsy:
- režiséri
Hyperbola
Hyperbola je množina bodov v rovine, pre ktorú je modul rozdielu vzdialeností k 2 daným bodom (ohniská) konštantnou hodnotou (2a)
Všetko robíme rovnako ako s elipsou, dostaneme
Nahradiť s
Deliť podľa
Vlastnosti hyperboly
;
- režiséri
Asymptota
Asymptota je priamka, ku ktorej sa krivka neurčito približuje a ustupuje do nekonečna.
Parabola
vlastnosti parabotu
Vzťah medzi elipsou, hyperbolou a parabolou.
Vzťah medzi týmito krivkami má algebraické vysvetlenie: všetky sú dané rovnicami druhého stupňa. V ľubovoľnom súradnicovom systéme majú rovnice týchto kriviek tvar: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, kde a, b, c, d, e, f sú čísla
Transformácia pravouhlých kartézskych súradnicových systémov
Paralelný preklad súradnicového systému
-O' v starom súradnicovom systéme
– súradnice bodu v starom súradnicovom systéme
– súradnice bodu v novom súradnicovom systéme
Súradnice bodu v novom súradnicovom systéme.
Otáčanie v karteziánskom súradnicovom systéme
– nový súradnicový systém
Matica prechodu zo starého základu na nový
- (pod prvým stĺpcom ja’
, pod druhým j’
) prechodová matica zo zákl ja,j na základ ja’
,j’
Všeobecný prípad
Rotácia súradnicového systému
Rotácia súradnicového systému
Paralelný preklad pôvodu
1 možnosť
Možnosť 2
Všeobecná rovnica čiar druhého rádu a jej redukcia na kanonickú formu
je všeobecná forma krivkových rovníc druhého rádu
Klasifikácia kriviek druhého rádu
elipsoidný
Prierezy elipsoidom
- elipsa
- elipsa
Elipsoidy revolúcie
Revolučné elipsoidy sú buď sploštené alebo predĺžené sféroidy, v závislosti od toho, okolo čoho sa otáčame.
Jednopásmový hyperboloid
Úseky jednopásového hyperboloidu
– hyperbola s reálnou osou oy
je hyperbola so skutočnou osou x
Ukazuje sa elipsa pre ľubovoľné h. Tak to ide.
Jednopásové hyperboloidy revolúcie
Jednovrstvový rotačný hyperboloid možno získať otáčaním hyperboly okolo jej imaginárnej osi.
Dvojvrstvový hyperboloid
Úseky dvojvrstvového hyperboloidu 
- hyperbola s akciou. axisoz
je hyperbola so skutočnou osou oz
Kužeľ 
- dvojica pretínajúcich sa čiar
- dvojica pretínajúcich sa čiar
Eliptický paraboloid 
- parabola
- parabola
Rotácie
Ak , potom eliptický paraboloid je rotačná plocha vytvorená rotáciou paraboly okolo jej osi symetrie.
Hyperbolický paraboloid
Parabola
- parabola
h>0 hyperbola s reálnou osou rovnobežnou s x
h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох
Pod valcom rozumieme povrch, ktorý vznikne, keď sa v priestore pohybuje priamka, ktorá nemení svoj smer, ak sa priamka pohybuje vzhľadom na oz, potom rovnica valca je rovnica rezu rovinou xoy.
Eliptický valec
hyperbolický valec
parabolický valec
Priamočiare generátory plôch druhého rádu
Čiary ležiace úplne na povrchu sa nazývajú priamočiare generátory povrchu.
Povrchy revolúcie
Do riti lol
Displej
zobrazením Nazvime si pravidlo, podľa ktorého je každý prvok množiny A spojený s jedným alebo viacerými prvkami množiny B. Ak je každému priradený jeden prvok množiny B, potom sa zavolá mapovanie jednoznačné, inak nejednoznačný.
Transformácia množina sa nazýva mapovanie množiny na seba samého
Injekcia
Injekcia alebo mapovanie jedna ku jednej množine A do množiny B
(rôzne prvky a zodpovedajú rôznym prvkom B), napríklad y=x^2
tvrdenie
Surjekcia alebo zobrazenie množiny A na množinu B
Pre každé B existuje aspoň jedno A (napríklad sínus)
Každý prvok množiny B zodpovedá iba jednému prvku množiny A. (napríklad y=x)
