Rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom koreňa, sa nazývajú iracionálne.
Metódy riešenia iracionálnych rovníc sú spravidla založené na možnosti nahradiť (pomocou niektorých transformácií) iracionálnu rovnicu racionálnou rovnicou, ktorá je buď ekvivalentná pôvodnej iracionálnej rovnici, alebo je jej dôsledkom. Najčastejšie sú obe strany rovnice umocnené na rovnakú moc. V tomto prípade sa získa rovnica, ktorá je dôsledkom pôvodnej.
Pri riešení iracionálnych rovníc je potrebné vziať do úvahy nasledovné:
1) ak je koreňový index párne číslo, potom radikálny výraz musí byť nezáporný; hodnota koreňa je tiež nezáporná (definícia koreňa s párnym exponentom);
2) ak je koreňový index nepárne číslo, potom radikálnym výrazom môže byť akékoľvek reálne číslo; v tomto prípade je znak koreňa rovnaký ako znak koreňového výrazu.
Príklad 1 vyriešiť rovnicu
Odmocnime obe strany rovnice.
x 2 - 3 \u003d 1;
Prenesieme -3 z ľavej strany rovnice na pravú stranu a vykonáme redukciu podobných členov.
x 2 \u003d 4;
Výsledná neúplná kvadratická rovnica má dva korene -2 a 2.
Skontrolujeme získané korene, za týmto účelom dosadíme hodnoty premennej x do pôvodnej rovnice.
Vyšetrenie.
Keď x 1 \u003d -2 - pravda:
Keď x 2 \u003d -2- pravda.
Z toho vyplýva, že pôvodná iracionálna rovnica má dva korene -2 a 2.
Príklad 2 vyriešiť rovnicu 
.
Túto rovnicu je možné vyriešiť rovnakou metódou ako v prvom príklade, ale urobíme to inak.
Nájdite ODZ tejto rovnice. Z definície druhej odmocniny vyplýva, že v tejto rovnici musia byť súčasne splnené dve podmienky:
ODZ danej rovnice: x.
Odpoveď: žiadne korene.
Príklad 3 vyriešiť rovnicu 
=+ 2.
Nájsť ODZ v tejto rovnici je pomerne náročná úloha. Odmocnime obe strany rovnice:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2 = 0.
Po kontrole zistíme, že x 2 \u003d 0 je ďalší koreň.
Odpoveď: x 1 \u003d 1.
Príklad 4 Vyriešte rovnicu x =.
V tomto príklade je ľahké nájsť ODZ. ODZ tejto rovnice: x[-1;).
Odmocnime obe strany tejto rovnice, výsledkom je rovnica x 2 \u003d x + 1. Korene tejto rovnice:
Je ťažké skontrolovať nájdené korene. Ale napriek tomu, že oba korene patria do ODZ, nie je možné tvrdiť, že oba korene sú koreňmi pôvodnej rovnice. Výsledkom bude chyba. V tomto prípade je iracionálna rovnica ekvivalentná kombinácii dvoch nerovností a jednej rovnice:
x+10 a x0 a x 2 \u003d x + 1, z čoho vyplýva, že záporný koreň iracionálnej rovnice je cudzí a musí sa zahodiť.
Príklad 5. Vyriešte rovnicu += 7.
Odmocnime obe strany rovnice a vykonajte redukciu podobných členov, preneste členy z jednej časti rovnice do druhej a vynásobte obe časti číslom 0,5. V dôsledku toho dostaneme rovnicu
= 12, (*), čo je dôsledok pôvodného. Opäť odmocnime obe strany rovnice. Dostaneme rovnicu (x + 5) (20 - x) = 144, ktorá je dôsledkom pôvodnej. Výsledná rovnica sa zredukuje na tvar x 2 - 15x + 44 =0.
Táto rovnica (ktorá je tiež dôsledkom tej pôvodnej) má korene x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Oba korene, ako ukazuje test, spĺňajú pôvodnú rovnicu.
Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.
Komentujte. Pri kvadratúre rovníc študenti často v rovniciach typu (*) násobia koreňové výrazy, t.j. namiesto rovnice = 12 napíšu rovnicu 
= 12. To nevedie k chybám, pretože rovnice sú dôsledkom rovníc. Treba však mať na pamäti, že vo všeobecnom prípade takéto násobenie radikálnych výrazov dáva neekvivalentné rovnice.
Vo vyššie diskutovaných príkladoch bolo možné najskôr preniesť jeden z radikálov na pravú stranu rovnice. Potom zostane jeden radikál na ľavej strane rovnice a po kvadratúre oboch strán rovnice sa získa racionálna funkcia na ľavej strane rovnice. Táto technika (samota radikála) sa pomerne často používa pri riešení iracionálnych rovníc.
Príklad 6. Vyriešte rovnicu-= 3.
Po izolovaní prvého radikálu dostaneme rovnicu
=+ 3, čo je ekvivalent pôvodného.
Vyrovnaním oboch strán tejto rovnice dostaneme rovnicu
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, čo je ekvivalentné rovnici
4x - 5 = 3 (*). Táto rovnica je dôsledkom pôvodnej rovnice. Umocnením oboch strán rovnice sa dostaneme k rovnici
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), alebo
7x2 - 13x - 2 = 0.
Táto rovnica je dôsledkom rovnice (*) (a teda pôvodnej rovnice) a má korene. Prvý koreň x 1 = 2 spĺňa pôvodnú rovnicu a druhý x 2 =- nie.
Odpoveď: x = 2.
Všimnite si, že ak by sme okamžite, bez izolácie jedného z radikálov, kvadratúrovali obe časti pôvodnej rovnice, museli by sme vykonávať dosť ťažkopádne transformácie.
Pri riešení iracionálnych rovníc sa okrem izolácie radikálov využívajú aj iné metódy. Uvažujme o príklade použitia metódy nahradenia neznámeho (metóda zavedenia pomocnej premennej).
Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Rovnice používal človek už od staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Pomerne často sa koreňový znak nachádza v rovniciach a mnohí sa mylne domnievajú, že takéto rovnice je ťažké vyriešiť. Pre takéto rovnice v matematike existuje špeciálny termín, ktorý sa nazýva rovnice s koreňom - iracionálne rovnice.
Hlavný rozdiel pri riešení rovníc s koreňom od iných rovníc, napríklad štvorcových, logaritmických, lineárnych, je v tom, že nemajú štandardný algoritmus riešenia. Preto na vyriešenie iracionálnej rovnice je potrebné analyzovať počiatočné údaje a zvoliť vhodnejšie riešenie.
Vo väčšine prípadov sa na riešenie tohto druhu rovníc používa metóda zvýšenia oboch častí rovnice na rovnakú mocninu.
Povedzme, že je daná nasledujúca rovnica:
\[\sqrt((5x-16))=x-2\]
Odmocnime obe strany rovnice:
\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], z čoho postupne získame:
Po získaní kvadratickej rovnice nájdeme jej korene:
odpoveď: \
Ak tieto hodnoty dosadíme do rovnice, dostaneme správnu rovnosť, ktorá označuje správnosť získaných údajov.
Kde môžem vyriešiť rovnicu s koreňmi pomocou online riešiteľa?
Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https: //. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnicu akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Jediné, čo musíte urobiť, je zadať svoje údaje do riešiteľa. Môžete si tiež pozrieť video návod a naučiť sa riešiť rovnicu na našej webovej stránke. A ak máte nejaké otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridajte sa k našej skupine, vždy vám radi pomôžeme.
Iracionálna rovnica je každá rovnica, ktorá obsahuje funkciu pod znamienkom odmocniny. Napríklad:
Takéto rovnice sa vždy riešia v 3 krokoch:
- Oddeľte koreň. Inými slovami, ak sú naľavo od znamienka rovnosti okrem odmocniny aj iné čísla alebo funkcie, toto všetko treba zmenou znamienka posunúť doprava. Zároveň by mal zostať vľavo iba radikál - bez akýchkoľvek koeficientov.
- 2. Odmocníme obe strany rovnice. Zároveň si pamätajte, že rozsahom odmocniny sú všetky nezáporné čísla. Preto funkcia vpravo iracionálna rovnica musí byť tiež nezáporné: g (x) ≥ 0.
- Tretí krok logicky vyplýva z druhého: musíte vykonať kontrolu. Faktom je, že v druhom kroku by sme mohli mať korene navyše. A aby sme ich odrezali, je potrebné dosadiť výsledné kandidátne čísla do pôvodnej rovnice a skontrolovať: je skutočne dosiahnutá správna číselná rovnosť?
Riešenie iracionálnej rovnice
Poďme sa zaoberať našou iracionálnou rovnicou uvedenou na samom začiatku lekcie. Tu je koreň už v ústraní: naľavo od znamienka rovnosti nie je nič iné ako koreň. Vyrovnajme obe strany:
2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4 x - 12 = 0
Výslednú kvadratickú rovnicu riešime cez diskriminant:
D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2
Zostáva len dosadiť tieto čísla do pôvodnej rovnice, t.j. vykonať kontrolu. Ale aj tu môžete urobiť správnu vec pre zjednodušenie konečného rozhodnutia.
Ako zjednodušiť riešenie
Zamyslime sa: prečo vôbec kontrolujeme na konci riešenia iracionálnej rovnice? Chceme sa uistiť, že pri dosadzovaní našich koreňov bude napravo od znamienka rovnosti nezáporné číslo. Veď už s istotou vieme, že ide o nezáporné číslo vľavo, pretože aritmetická druhá odmocnina (kvôli ktorej sa naša rovnica nazýva iracionálna) podľa definície nemôže byť menšia ako nula.
Preto všetko, čo musíme skontrolovať, je, že funkcia g ( x ) = 5 − x , ktorá je napravo od znamienka rovnosti, je nezáporná:
g(x) ≥ 0
Do tejto funkcie nahradíme naše korene a získame:
g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0
Zo získaných hodnôt vyplýva, že odmocnina x 1 = 6 nám nevyhovuje, keďže pri dosadení do pravej strany pôvodnej rovnice dostaneme záporné číslo. Ale koreň x 2 \u003d −2 je pre nás celkom vhodný, pretože:
- Tento koreň je riešením kvadratickej rovnice získanej zdvihnutím oboch strán iracionálna rovnica do štvorca.
- Pravá strana pôvodnej iracionálnej rovnice sa pri dosadení koreňa x 2 = −2 zmení na kladné číslo, t.j. rozsah aritmetického koreňa nie je porušený.
To je celý algoritmus! Ako vidíte, riešenie rovníc s radikálmi nie je také ťažké. Hlavnou vecou je nezabudnúť skontrolovať prijaté korene, inak je veľmi pravdepodobné, že dostanete ďalšie odpovede.
Každá nová akcia v matematike okamžite generuje svoj opak. Kedysi starovekí Gréci zistili, že štvorcový pozemok dlhý 2 metre a široký 2 metre bude mať plochu 2 * 2 = 4 metre štvorcové (ďalej len m ^ 2). A teraz, naopak, keby Grék vedel, že jeho pozemok je štvorcový a má rozlohu 4 m^2, ako by vedel, aký dlhý a aký široký by bol jeho pozemok? Bola predstavená operácia, ktorá bola inverznou k operácii kvadratúry a stala sa známou ako extrakcia druhej odmocniny. Ľudia začali chápať, že 2 na druhú (2^2) sa rovná 4. Naopak, druhá odmocnina zo 4 (ďalej len √ (4)) sa bude rovnať dvom. Modely sa stali zložitejšími, skomplikovali sa aj záznamy popisujúce procesy s koreňmi. Mnohokrát vyvstala otázka, ako vyriešiť rovnicu s odmocninou.
Nech nejaká hodnota x, keď sa raz vynásobí sama sebou, dáva 9. Dá sa to zapísať ako x * x \u003d 9. Alebo cez stupeň: x^2=9. Ak chcete nájsť x, musíte vziať odmocninu z 9, čo je už do určitej miery rovnica s radikálom: x=√(9) . Koreň možno extrahovať orálne alebo na to použiť kalkulačku. Ďalej zvážte inverzný problém. Určitá hodnota pri extrakcii druhej odmocniny z nej dáva hodnotu 7. Ak to napíšeme ako iracionálnu rovnicu, dostaneme: √ (x) = 7. Na vyriešenie takejto úlohy musia byť obe časti výrazu odmocnené. . Vzhľadom na to, že √(x) *√(x) =x, vyjde x = 49. Koreň je okamžite pripravený vo svojej čistej forme. Ďalej by sme mali analyzovať zložitejšie príklady rovnice s koreňmi.
Nech sa od určitej hodnoty odpočíta 5, potom sa výraz zvýši na 1/2. Výsledkom bolo číslo 3. Teraz musíme túto podmienku zapísať ako rovnicu: √ (x-5) =3. Potom by sa každá časť rovnice mala vynásobiť sama sebou: x-5 = 3. Po zvýšení na druhú mocninu bol výraz zbavený radikálov. Teraz stojí za to vyriešiť najjednoduchšiu lineárnu rovnicu posunutím päťky na pravú stranu a zmenou jej znamienka. x = 5+3. x = 8. Žiaľ, nie všetky životné procesy sa dajú opísať takými jednoduchými rovnicami. Veľmi často môžete nájsť výrazy s niekoľkými radikálmi, niekedy môže byť stupeň koreňa vyšší ako druhý. Pre takéto identity neexistuje jediný algoritmus riešenia. Pre každú rovnicu sa oplatí hľadať špeciálny prístup. Uvádza sa príklad, v ktorom má rovnica s koreňom tretí stupeň.
Kocka bude označená 3√. Nájdite objem nádoby v tvare kocky so stranou 5 metrov. Nech je objem x m^3. Potom sa odmocnina kocky objemu bude rovnať strane kocky a bude sa rovnať piatim metrom. Získame rovnicu: 3√(x) =5. Na jeho vyriešenie je potrebné zdvihnúť obe časti na tretiu mocninu x = 125. Odpoveď: 125 metrov kubických. Nižšie je uvedený príklad rovnice so súčtom koreňov. √(x) +√(x-1) =5. Najprv musíte obe časti zarovnať. K tomu je vhodné zapamätať si skrátený vzorec na násobenie druhej mocniny súčtu: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. Aplikovaním na rovnicu sa ukáže: x + 2 * √ (x) * √ (x-1) + x-1 = 25. Ďalej sú korene ponechané na ľavej strane a všetko ostatné sa prenáša doprava : 2 * √ (x) * √ (x-1) = 26 - 2x. Obidve časti výrazu je vhodné vydeliť 2: √((x) (x-1)) = 13 - x. Získa sa jednoduchšia iracionálna rovnica.
Potom by mali byť obe časti odmocnené: x * (x-1) \u003d 169 - 26x + x ^ 2. Je potrebné otvoriť zátvorky a uviesť podobné výrazy: x ^ 2 - x \u003d 169 - 26x + x ^ 2. Druhá mocnina zmizne, teda 25x = 169. x = 169/25 = 6,6. Po dokončení kontroly, nahradením výsledného koreňa do pôvodnej rovnice: √ (6.6) + √ (6.6-1) \u003d 2.6 + √ (5.6) \u003d 2.6 + 2.4 \u003d 5, môžete získať uspokojivú odpoveď. Je tiež veľmi dôležité pochopiť, že výraz s párnym koreňom nemôže byť záporný. Vynásobením ľubovoľného čísla párnym počtom krát nie je možné získať hodnotu menšiu ako nula. Preto rovnice ako √ (x ^ 2 + 7x-11) = -3 možno bezpečne nevyriešiť, ale napísať, že rovnica nemá korene. Ako bolo uvedené vyššie, riešenie rovníc s radikálmi môže mať rôzne formy.
Jednoduchý príklad rovnice, kde potrebujete zmeniť premenné. √(y) - 5*4√(y) +6 = 0, kde 4√(y) je štvrtý koreň y. Navrhované nahradenie je nasledovné: x = 4√(y) . Po vykonaní tohto sa ukáže: x ^ 2 - 5x + 6 = 0. Získame výslednú kvadratickú rovnicu. Jeho diskriminant: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. Prvý koreň x1 sa bude rovnať (5 + √1) /2 = 6/2 = 3. Druhý koreň x2 = (5 - √1) / 2 = 4/ 2 = 2. Korene môžete nájsť aj pomocou výsledku Vietovej vety. Korene sú nájdené, mala by sa vykonať spätná výmena. 4√(y) = 3, teda y1 = 1,6. Tiež 4√(y) = 2, ak vezmeme 4. odmocninu, ukáže sa, že y2 = 1,9. Hodnoty sa vypočítajú na kalkulačke. Ale nemôžu byť vykonané, takže odpoveď v podobe radikálov.
