Jedným z mocných nástrojov na štúdium problémov matematickej fyziky je metóda integrálnych transformácií. Nech je funkcia f(x) definovaná na intervale (a, 6), konečnom alebo nekonečne. Integrálna transformácia funkcie f(x) je funkcia, kde K(x, w) je funkcia fixná pre danú transformáciu, nazývaná transformačné jadro (predpokladá sa, že integrál (*) existuje v správnom alebo nesprávnom zmysle ). §jedna. Fourierov integrál Akákoľvek funkcia f(x), ktorá na segmente [-f, I] spĺňa podmienky expanzie do Fourierovho radu, môže byť na tomto segmente reprezentovaná trigonometrickým radom Koeficienty a* a 6n radu (1 ) sú určené Eulerovým-Fourierovým vzorcom: Fourierova transformácia Fourierov integrál Komplexný integrálny tvar Fourierova transformácia Kosínusová a sínusová transformácia Amplitúdové a fázové spektrá Aplikačné vlastnosti Séria na pravej strane rovnice (1) môže byť napísaná v inom tvare. Na tento účel do nej zo vzorcov (2) zavedieme hodnoty koeficientov a» a op, odčítame pod znamienkami integrálov cos ^ x a sin x (čo je možné, keďže integračná premenná je m) O) a použite vzorec pre kosínus rozdielu. Budeme mať Ak bola funkcia /(x) pôvodne definovaná na intervale číselnej osi väčšom ako interval [-1,1] (napríklad na celej osi), potom rozšírenie (3) bude reprodukovať hodnoty ​tejto funkcie len na intervale [-1, 1] a pokračujú na celej reálnej osi ako periodická funkcia s periódou 21 (obr. 1). Ak je teda funkcia f(x) (všeobecne povedané, neperiodická) definovaná na celej reálnej osi, vo vzorci (3) sa môžeme pokúsiť prejsť na limitu ako I + oo. V tomto prípade je prirodzené vyžadovať splnenie nasledujúcich podmienok: 1. f(x) spĺňa podmienky expanzie do Fourierovho radu na ľubovoľnom konečnom segmente osi Ox\ 2. funkcia f(x) je absolútne integrovateľné na celej reálnej osi Ak je splnená podmienka 2, prvý člen na pravej strane rovnosti (3) má tendenciu k nule ako I -* + oo. Naozaj, skúsme určiť, do akej miery pôjde súčet na pravej strane (3) v limite ako I + oo. Predpokladajme, že potom bude súčet na pravej strane (3) mať tvar Vzhľadom na absolútnu konvergenciu integrálu sa tento súčet pre veľké I len málo líši od výrazu, ktorý sa podobá integrálnemu súčtu pre funkciu integrálu. premenná £ zostavená pre interval (0, + oo) zmeny, preto je prirodzené očakávať, že pre , súčet (5) prejde na integrál С Na druhej strane, pre fixný) vyplýva zo vzorca (3). ), že získame aj rovnosť Dostatočnú podmienku platnosti vzorca (7) vyjadruje nasledujúca veta. Veta 1. Ak je funkcia f(x) absolútne integrovateľná na celej reálnej osi a má spolu s jej deriváciou konečný počet bodov nespojitosti prvého druhu na ľubovoľnom segmente [a, 6], potom t. funkcie /(x) sa hodnota integrálu na pravej strane (7) rovná vzorcu (7) sa nazýva Fourierov integrál a integrál na jeho pravej strane sa nazýva Fourierov integrál. Ak použijeme vzorec pre deň kosínusu rozdielu, potom vzorec (7) môžeme zapísať ako Funkcie a(t), b(t) sú analógmi zodpovedajúcich Fourierových koeficientov an a bn 2n-periodického funkcie, ale posledné sú definované pre diskrétne hodnoty n, zatiaľ čo a(0 > HO sú definované pre spojité hodnoty G(-oo, +oo). Komplexný tvar Fourierovho integrálu, zjavne nepárna funkcia of Ale potom Na druhej strane je integrál párnou funkciou premennej, takže Fourierov integrálny vzorec môžeme zapísať takto: Vynásobme rovnosť imaginárnou jednotkou i a k ​​rovnosti pripočítajme (10). Toto je komplexný tvar Fourierovho integrálu. Vonkajšia integrácia nad t sa tu chápe v zmysle Cauchyho hlavnej hodnoty: § 2. Fourierova transformácia Kosínusová a sínusová Fourierova transformácia Nechať funkciu Čiara f(x) je po častiach hladká na ľubovoľnom konečnom segmente osi x a absolútne integrovateľná na celej osi. Definícia. Funkcia, z ktorej budeme mať na základe Eulerovho vzorca, sa nazýva Fourierova transformácia funkcie f(r) (spektrálna funkcia). Ide o integrálnu transformáciu funkcie / (r) na intervale (-oo, + oo) jadrom Pomocou Fourierovho integrálneho vzorca dostaneme Ide o takzvanú inverznú Fourierovu transformáciu, ktorá dáva prechod z F (t) až / (x). Niekedy sa priama Fourierova transformácia uvádza takto: Potom je inverzná Fourierova transformácia určená vzorcom Fourierova transformácia funkcie f(x) je definovaná aj takto: FOURIEROVÁ TRANSFORMÁCIA Fourierov integrál Komplexný tvar integrálnej Fourierovej transformácie Kosínus a sínus transformácie Amplitúdové a fázové spektrá Aplikačné vlastnosti Potom zasa V tomto prípade je poloha činiteľa ^ skôr ľubovoľná: môže zadať buď vzorec (1") alebo vzorec (2"). Príklad 1. Nájdite Fourierovu transformáciu funkcie -4 Máme Táto rovnosť umožňuje diferenciáciu vzhľadom na £ pod znamienkom integrálu (integrál získaný po derivácii konverguje rovnomerne, keď ( patrí do ľubovoľného konečného segmentu): Integrovaním po častiach budeme mať dostaneme sa odkiaľ (C je konštanta integrácie). Nastavením £ = 0 v (4) nájdeme С = F(0). Na základe (3) máme Je známe, že najmä za) získame to Uvažujme funkciu 4. Pre spektrá oyu funkcie F(t) dostaneme Preto (obr. 2). Podmienka absolútnej integrovateľnosti funkcie f(x) na celej reálnej osi je veľmi prísna. Vylučuje napríklad také elementárne funkcie ako f(x) = e1, pre ktoré Fourierova transformácia (v tu uvažovanej klasickej forme) neexistuje. Iba tie funkcie majú Fourierovu transformáciu, ktorá má tendenciu nulovať sa dostatočne rýchlo na |x| -+ +oo (ako v príkladoch 1 a 2). 2.1. Kosínusové a sínusové Fourierove transformácie Pomocou kosínusového vzorca, rozdiel, prepíšeme Fourierov integrálny vzorec do nasledujúceho tvaru: Nech f(x) je párna funkcia. Potom, takže z rovnosti (5) máme V prípade nepárneho f(x), podobne dostaneme Ak je f(x) dané len na (0, -foo), potom vzorec (6) rozširuje f(x) na celú os Ox párnym spôsobom a vzorec (7) - nepárny. (7) Definícia. Funkcia sa nazýva kosínusová Fourierova transformácia funkcie f(x). Z (6) vyplýva, že pre párnu funkciu f(x) to znamená, že f(x je zase kosínusová transformácia pre Fc(t). Inými slovami, funkcie / a Fc sú vzájomné kosínusové transformácie. Definícia. Funkcia sa nazýva sínusová Fourierova transformácia funkcie f(x). Z (7) dostaneme, že pre nepárnu funkciu f(x), t.j. f a Fs sú vzájomné sínusové transformácie. Príklad 3 (pravouhlý impulz). Nech f(t) je párna funkcia definovaná nasledovne: (obr. 3). Získaný výsledok použijeme na výpočet integrálu Podľa vzorca (9) máme Obr.3 0 0 V bode t = 0 je funkcia f(t) spojitá a rovná sa jednej. Preto z (12") dostaneme 2.2. Amplitúdové a fázové spektrá Fourierovho integrálu Nech f(x) je periodická funkcia s periódou 2 ma expanduje do Fourierovho radu. Túto rovnosť môžeme zapísať, keď sa dostaneme k pojmy amplitúdových a fázových spektier periodickej funkcie Pre neperiodickú funkciu f(x) danú na (-oo, +oo) sa za určitých podmienok ukazuje, že je možné ju reprezentovať Fourierovým integrálom, ktorý rozširuje túto funkciu na všetky frekvencie (rozšírenie v spojitom frekvenčnom spektre Definícia Spektrálna funkcia alebo spektrálna hustota Fourierovho integrálu je výraz (priama Fourierova transformácia funkcie f sa nazýva amplitúdové spektrum a funkcia Ф " ) = -argSfc) - fázové spektrum funkcie / ("). Amplitúdové spektrum A(t) slúži ako miera príspevku frekvencie t k funkcii /(x). Príklad 4. Nájdite amplitúdové a fázové spektrá funkcie 4 Nájdite spektrálnu funkciu Odtiaľ Grafy týchto funkcií sú znázornené na obr. 4. §3. Vlastnosti Fourierovej transformácie 1. Linearita. Ak a G(0 sú Fourierove transformácie funkcií f(x) a g(x), potom pre ľubovoľnú konštantu a a p bude Fourierova transformácia funkcie a f(x) + p g(x) funkciou a Pomocou vlastnosti linearity integrálu máme Fourierovu transformáciu teda lineárny operátor. Označíme ju napíšeme Ak F(t) je Fourierova transformácia funkcie f(x) absolútne integrovateľná na celom reálnom os, potom je F(t) ohraničená pre všetky. Nech je funkcia f(x) absolútne integrovateľná na celej osi - Fourierova transformácia funkcie f (x). Potom 3 "flts J. Nech f (x) je funkcia, ktorej tolerancia je Fourierova transformácia, L je počet vlastností. Funkcia fh ​​(x) \u003d f (z-h) sa nazýva posun funda f(x).Pomocou definície Fourierovej transformácie , ukážte, že Problém. Nech funkcia f(z) má Fourierovu transformáciu F(0> h je reálne číslo. Ukážte, že 3. Fourierova transformácia a diferenciačná oeréza. Nech má absolútne integrovateľná funkcia f (x) deriváciu f " (x), ktorý je tiež absolútne integrovateľný na celej osi Oh, takže /(n) má tendenciu k nule ako |x| -» +oo. Za predpokladu, že f "(x) je hladká funkcia, napíšeme Integrácia po častiach, člen mimo integrálu zmizne (keďže a dostaneme Diferenciácia funkcie / (x) teda zodpovedá násobeniu jej Fouriera obrázok ^ P /] koeficientom Ak má funkcia f (x) hladké absolútne nepostihnuteľné derivácie až do rádu m vrátane a všetky, podobne ako samotná funkcia f(x), inklinujú k nule a potom sa integrujú po častiach požadovaný počet krát, získame Fourierovu transformáciu je veľmi užitočná práve preto, že nahrádza operáciu derivácie operáciou násobenia hodnotou a tým zjednodušuje problém integrácie určitých typov diferenciálnych rovníc. Keďže Fourierova transformácia absolútne integrovateľná funkcia f^k\x) je ohraničená funkcia (vlastnosť 2), zo vzťahu (2) získame nasledovný odhad pre : Fourierova transformácia Fourierov integrál Komplexný integrálny tvar Fourierova transformácia Kosínusová a sínusová transformácia Aplikačné vlastnosti Aplikačné vlastnosti Z toto hodnotenie s nasleduje: čím viac má funkcia f(x) absolútne integrovateľných derivácií, tým rýchlejšie má Fourierova transformácia tendenciu k nule. Komentujte. Podmienka je celkom prirodzená, keďže obvyklá teória Fourierových integrálov sa zaoberá procesmi, ktoré v tom či onom zmysle majú začiatok a koniec, no nepokračujú donekonečna s približne rovnakou intenzitou. 4. Vzťah medzi rýchlosťou rozpadu funkcie f(x) pre |z| -» -f oo a plynulosť jeho Fourmovej premeny. Predpokladajme, že nielen /(x), ale aj jej súčin xf(x) je absolútne integrovateľná funkcia na celej osi x. Potom bude Fourierova transformácia diferencovateľnou funkciou. Formálna diferenciácia vzhľadom na parameter £ integrandu vedie k integrálu, ktorý je absolútne a rovnomerne konvergentný vzhľadom na parameter. Ak sú spolu s funkciou f(x) funkcie absolútne integrovateľné na celej osi Ox, potom proces diferenciácie môže pokračovať. Dostaneme, že funkcia má derivácie do rádu m vrátane, a teda čím rýchlejšie funkcia f(x) klesá, tým je funkcia hladšia Veta 2 (o cvičení). Nech sú Fourierove transformácie funkcií /,(x) a f2(x). Potom dvojitý integrál na pravej strane absolútne konverguje. Dajme x. Potom budeme mať alebo, pri zmene poradia integrácie, Funkcia sa nazýva konvolúcia funkcií a označuje sa symbolom Vzorec (1) možno teraz zapísať takto: Z toho je zrejmé, že Fourierova transformácia konvolúcie funkcií f\(x) a f2(x) sa rovná vynásobeniu y/2x súčinu Fourierových transformácií skladacích funkcií, Poznámka. Je ľahké stanoviť nasledujúce vlastnosti konvolúcie: 1) linearita: 2) komutivita: §4. Aplikácie Fourierovej transformácie 1. Nech Р(^) je lineárny diferenciálny operátor rádu m s konštantnými koeficientmi y(x) má Fourierovu transformáciu y (O. a funkcia f(x) má transformáciu /(t) Aplikovaním Fourierovej transformácie na rovnicu (1) dostaneme namiesto diferenciálnej algebraickej rovnice na osi vzhľadom odkiaľ tak, že formálne kde symbol označuje inverznú Fourierovu transformáciu Hlavné obmedzenie použiteľnosti tejto metódy je spojené s nasledujúcim: fakt: Riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi obsahuje funkcie tvaru< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Verím, že každý si vo všeobecnosti uvedomuje existenciu takého úžasného matematického nástroja, akým je Fourierova transformácia. Na univerzitách sa však z nejakého dôvodu vyučuje tak zle, že pomerne málo ľudí chápe, ako táto transformácia funguje a ako by sa mala správne používať. Medzitým je matematika tejto transformácie prekvapivo krásna, jednoduchá a elegantná. Pozývam všetkých, aby sa dozvedeli niečo viac o Fourierovej transformácii a súvisiacej téme, ako možno analógové signály efektívne previesť na digitálne na výpočtové spracovanie.

Bez použitia zložitých vzorcov a matlabu sa pokúsim odpovedať na nasledujúce otázky:

• FT, DTF, DTFT - aké sú rozdiely a ako zdanlivo úplne odlišné vzorce dávajú také koncepčne podobné výsledky?
• Ako správne interpretovať výsledky rýchlej Fourierovej transformácie (FFT).
• Čo robiť, ak je daný signál 179 vzoriek a FFT vyžaduje ako vstup sekvenciu dĺžky rovnú mocnine dvoch
• Prečo sa pri pokuse získať spektrum sínusoidy pomocou Fouriera namiesto očakávanej jedinej „paličky“ na grafe objaví zvláštna vlnovka a čo sa s tým dá robiť
• Prečo sú analógové filtre umiestnené pred ADC a za DAC
• Je možné digitalizovať signál ADC s frekvenciou vyššou ako polovica vzorkovacej frekvencie (školská odpoveď je nesprávna, správna odpoveď je možná)
• Ako digitálna sekvencia obnoví pôvodný signál

Budem vychádzať z predpokladu, že čitateľ chápe, čo je integrál, komplexné číslo (aj jeho modul a argument), konvolúcia funkcií a aspoň „na prstoch“ si predstaví, čo je Diracova delta funkcia. Neviem - na tom nezáleží, prečítajte si vyššie uvedené odkazy. Pod „súčinom funkcií“ v tomto texte budem vždy znamenať „bodové násobenie“

Asi by sme mali začať tým, že zvyčajná Fourierova transformácia je niečo, čo, ako už z názvu možno tušíte, transformuje jednu funkciu na inú, to znamená, že každej funkcii reálnej premennej x (t) priradí jej spektrum. alebo Fourierov obraz y (w):

Ak uvádzame analógie, tak príkladom významovo podobnej transformácie môže byť napríklad derivácia, ktorá zmení funkciu na jej deriváciu. To znamená, že Fourierova transformácia je v skutočnosti rovnaká operácia ako použitie derivácie a často sa označuje podobným spôsobom, pričom nad funkciou je nakreslený trojuholníkový „viečko“. Len na rozdiel od diferenciácie, ktorú možno definovať aj pre reálne čísla, Fourierova transformácia vždy „pracuje“ so všeobecnejšími komplexnými číslami. Z tohto dôvodu neustále vznikajú problémy so zobrazením výsledkov tejto transformácie, pretože komplexné čísla nie sú určené jednou, ale dvoma súradnicami na grafe pracujúcom s reálnymi číslami. Najpohodlnejším spôsobom je spravidla reprezentovať komplexné čísla vo forme modulu a argumentu a nakresliť ich oddelene ako dva samostatné grafy:

Graf argumentu komplexnej hodnoty sa v tomto prípade často označuje ako „fázové spektrum“ a graf modulu sa často nazýva „amplitúdové spektrum“. O amplitúdové spektrum je spravidla oveľa väčší záujem, a preto sa „fázová“ časť spektra často vynecháva. V tomto článku sa zameriame aj na „amplitúdové“ veci, no netreba zabúdať ani na existenciu chýbajúcej fázovej časti grafu. Okrem toho sa namiesto obvyklého modulu komplexnej hodnoty často vykresľuje jej logaritmus krát 10. Výsledkom je logaritmický graf, pričom hodnoty sú zobrazené v decibeloch (dB).

Upozorňujeme, že nie veľmi výrazne záporné čísla logaritmického grafu (-20 dB alebo menej) v tomto prípade zodpovedajú takmer nulovým číslam na „normálnom“ grafe. Preto dlhé a široké „chvosty“ rôznych spektier na takýchto grafoch, keď sú zobrazené v „obyčajných“ súradniciach, spravidla prakticky zmiznú. Pohodlie takejto zdanlivo zvláštnej reprezentácie vyplýva zo skutočnosti, že Fourierove transformácie rôznych funkcií je často potrebné navzájom násobiť. Pri takomto bodovom násobení komplexných Fourierových obrazov sa ich fázové spektrá sčítajú a ich amplitúdové spektrá sa násobia. Prvý je ľahko realizovateľný, zatiaľ čo druhý je pomerne náročný. Pri násobení amplitúd sa však pripočítavajú logaritmy amplitúdy, takže grafy logaritmických amplitúd možno, podobne ako fázové grafy, jednoducho pridávať bod po bode. Okrem toho je v praktických problémoch často pohodlnejšie pracovať nie s "amplitúdou" signálu, ale s jeho "výkonom" (druhou mocninou amplitúdy). Na logaritmickej stupnici vyzerajú oba grafy (amplitúda aj výkon) identicky a líšia sa iba koeficientom - všetky hodnoty na grafe výkonu sú presne dvakrát väčšie ako na stupnici amplitúdy. Preto na vykreslenie rozdelenia energie podľa frekvencie (v decibeloch) nemôžete nič odmocniť, ale vypočítať desatinný logaritmus a vynásobiť ho 20.

Nudíš sa? Počkajte, ešte trochu, s nudnou časťou článku vysvetľujúcou, ako interpretovať grafy, čoskoro skončíme :). Predtým je však dôležité pochopiť, že hoci všetky vyššie uvedené grafy spektra boli nakreslené pre určité obmedzené rozsahy hodnôt (najmä kladné čísla), všetky tieto grafy v skutočnosti pokračujú do plus a mínus nekonečna. Grafy jednoducho zobrazujú nejakú „najzmysluplnejšiu“ časť grafu, ktorá sa zvyčajne odráža pri záporných hodnotách parametra a často sa periodicky opakuje s určitým krokom pri pohľade vo väčšej mierke.

Po rozhodnutí o tom, čo je nakreslené na grafoch, vráťme sa k samotnej Fourierovej transformácii a jej vlastnostiam. Existuje niekoľko rôznych spôsobov definovania tejto transformácie, ktoré sa líšia v malých detailoch (rôzne normalizácie). Napríklad na našich univerzitách z nejakého dôvodu často používajú normalizáciu Fourierovej transformácie, ktorá určuje spektrum z hľadiska uhlovej frekvencie (radiány za sekundu). Použijem pohodlnejšiu západnú formuláciu, ktorá definuje spektrum z hľadiska obvyklej frekvencie (hertz). Priame a inverzné Fourierove transformácie sú v tomto prípade definované vzorcami vľavo a niektoré z vlastností tejto transformácie, ktoré potrebujeme, sú zoznam siedmich položiek vpravo:

Prvou z týchto vlastností je linearita. Ak vezmeme nejakú lineárnu kombináciu funkcií, potom Fourierova transformácia tejto kombinácie bude rovnakou lineárnou kombináciou Fourierových obrazov týchto funkcií. Táto vlastnosť umožňuje zredukovať zložité funkcie a ich Fourierove transformácie na jednoduchšie. Napríklad Fourierova transformácia sínusovej funkcie s frekvenciou f a amplitúdou a je kombináciou dvoch delta funkcií umiestnených v bodoch f a -f a s koeficientom a/2:

Ak vezmeme funkciu pozostávajúcu zo súčtu množiny sínusoidov s rôznymi frekvenciami, potom podľa vlastnosti linearity bude Fourierova transformácia tejto funkcie pozostávať zo zodpovedajúcej množiny delta funkcií. To nám umožňuje poskytnúť naivnú, ale vizuálnu interpretáciu spektra podľa zásady „ak v spektre funkcie frekvencia f zodpovedá amplitúde a, potom môže byť pôvodná funkcia reprezentovaná ako súčet sínusoidov, z ktorých jedna bude byť sínusoida s frekvenciou f a amplitúdou 2a“. Presne povedané, táto interpretácia je nesprávna, pretože delta funkcia a bod na grafe sú úplne odlišné veci, ale ako uvidíme ďalej, pre diskrétne Fourierove transformácie to nebude až tak ďaleko od pravdy.

Druhou vlastnosťou Fourierovej transformácie je nezávislosť amplitúdového spektra od časového posunu signálu. Ak posunieme funkciu doľava alebo doprava po osi x, tak sa zmení len jej fázové spektrum.

Tretia vlastnosť - natiahnutie (stlačenie) pôvodnej funkcie pozdĺž časovej osi (x) proporcionálne stlačí (natiahne) jej Fourierovu transformáciu pozdĺž frekvenčnej škály (w). Najmä spektrum signálu s konečnou dĺžkou trvania je vždy nekonečne široké a naopak, spektrum konečnej šírky vždy zodpovedá signálu neobmedzeného trvania.

Štvrtá a piata vlastnosť sú azda najužitočnejšie zo všetkých. Umožňujú zredukovať konvolúciu funkcií na bodové násobenie ich Fourierových transformácií a naopak - bodové násobenie funkcií na konvolúciu ich Fourierových transformácií. O niečo ďalej ukážem, aké pohodlné je to.

Šiesta vlastnosť hovorí o symetrii Fourierových obrazov. Z tejto vlastnosti predovšetkým vyplýva, že pri Fourierovej transformácii funkcie s reálnou hodnotou (t. j. akéhokoľvek „skutočného“ signálu) je amplitúdové spektrum vždy párnou funkciou a fázové spektrum (ak sa zníži na rozsah -pi. .pi) je nepárne . Práve z tohto dôvodu sa negatívna časť spektra na spektrálnych grafoch takmer vôbec nekreslí - pre reálne hodnotené signály neposkytuje žiadnu novú informáciu (ale opakujem, nie je ani nulová).

Napokon posledná, siedma vlastnosť hovorí, že Fourierova transformácia zachováva „energiu“ signálu. Má význam iba pre signály s konečnou dobou trvania, ktorých energia je konečná, a hovorí, že spektrum takýchto signálov v nekonečne sa rýchlo blíži k nule. Práve kvôli tejto vlastnosti je na spektrálnych grafoch spravidla znázornená iba „hlavná“ časť signálu, ktorá nesie leví podiel energie - zvyšok grafu má jednoducho tendenciu k nule (ale opäť , nie je nula).

Vyzbrojení týmito 7 vlastnosťami sa poďme pozrieť na matematiku „digitalizácie“ signálu, aby sme preložili súvislý signál na sekvenciu číslic. Aby sme to dosiahli, musíme použiť funkciu známu ako „Dirac hrebeň“:

Diracov hrebeň je jednoducho periodická sekvencia jednotných delta funkcií, ktorá začína na nule a pokračuje krokom T. Na digitalizáciu signálov sa volí T čo najmenšie, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Namiesto spojitej funkcie sa po takomto vynásobení získa sekvencia delta impulzov určitej výšky. V tomto prípade podľa vlastnosti 5 Fourierovej transformácie je spektrum výsledného diskrétneho signálu konvolúciou pôvodného spektra s príslušným Diracovým hrebeňom. Je ľahké pochopiť, že na základe vlastností konvolúcie je spektrum pôvodného signálu akoby „skopírované“ nekonečne veľakrát pozdĺž frekvenčnej osi s krokom 1/T a potom sčítané. .

Všimnite si, že ak pôvodné spektrum malo konečnú šírku a použili sme dostatočne vysokú vzorkovaciu frekvenciu, potom sa kópie pôvodného spektra nebudú prekrývať, a teda nebudú navzájom sčítané. Je ľahké pochopiť, že bude ľahké obnoviť pôvodné spektrum z takto „zloženého“ spektra – bude stačiť len zobrať zložku spektra v oblasti nuly, čím „odstrihnete“ ďalšie kópie, ktoré idú. do nekonečna. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je vynásobiť spektrum pravouhlou funkciou rovnajúcou sa T v rozsahu -1/2T...1/2T a nule mimo tohto rozsahu. Podobná Fourierova transformácia zodpovedá funkcii sinc (Tx) a podľa vlastnosti 4 je takéto násobenie ekvivalentné konvolúcii pôvodnej postupnosti delta funkcií s funkciou sinc(Tx)

To znamená, že pomocou Fourierovej transformácie sme získali spôsob, ako jednoducho obnoviť pôvodný signál z časovo vzorkovaného signálu, ktorý funguje za predpokladu, že použijeme vzorkovaciu frekvenciu, ktorá je aspoň dvojnásobná (kvôli prítomnosti negatívnych frekvencií v spektre ) maximálna frekvencia prítomná v pôvodnom signáli. Tento výsledok je všeobecne známy a nazýva sa Kotelnikov/Shannon-Nyquistova veta. Ako je však teraz ľahké vidieť (pochopenie dôkazu), tento výsledok, na rozdiel od všeobecne rozšírenej mylnej predstavy, určuje dostatočné, ale nie nevyhnutné stav pre obnovenie pôvodného signálu. Potrebujeme len zabezpečiť, aby sa časť spektra, ktorá nás zaujíma, po vzorkovaní signálu navzájom neprekrývala a ak je signál dostatočne úzkopásmový (má malú „šírku“ nenulovej časti spektrum), potom možno tento výsledok často dosiahnuť aj pri vzorkovacej frekvencii oveľa nižšej ako je dvojnásobok maximálnej frekvencie signálu. Táto technika sa nazýva „undersampling“ (podvzorkovanie, vzorkovanie pásmovým priepustom) a je pomerne široko používaná pri spracovaní všetkých druhov rádiových signálov. Ak si napríklad zoberieme FM rádio pracujúce vo frekvenčnom pásme od 88 do 108 MHz, tak na jeho digitalizáciu možno použiť ADC s frekvenciou len 43,5 MHz namiesto 216 MHz predpokladaných Kotelnikovovou vetou. V tomto prípade však potrebujete kvalitný ADC a dobrý filter.

Podotýkam, že „duplikácia“ vysokých frekvencií frekvenciami nižších rádov (aliasing) je priamou vlastnosťou vzorkovania signálu, ktorá nenávratne „kazí“ výsledok. Ak teda v princípe môžu byť v signáli prítomné frekvencie vysokého rádu (teda takmer vždy), pred ADC sa umiestni analógový filter, ktorý „odstrihne“ všetko nadbytočné priamo v pôvodnom signáli (pretože bude byť príliš neskoro na to po odbere vzoriek). Charakteristiky týchto filtrov ako analógových zariadení nie sú ideálne, takže stále dochádza k „poškodeniu“ signálu av praxi to znamená, že najvyššie frekvencie v spektre sú zvyčajne nespoľahlivé. Na zmiernenie tohto problému nie je nezvyčajné vzorkovať signál s prevzorkovanou rýchlosťou, pričom sa analógový vstupný filter nastaví na nižšiu šírku pásma a použije sa iba spodná časť teoreticky dostupného frekvenčného rozsahu ADC.

Mimochodom, ďalšou bežnou mylnou predstavou je, keď sa signál na výstupe DAC kreslí v „krokoch“. „Kroky“ zodpovedajú konvolúcii vzorkovanej sekvencie signálov s pravouhlou funkciou šírky T a výšky 1:

Pri takejto transformácii sa spektrum signálu vynásobí Fourierovou transformáciou tejto pravouhlej funkcie a pre podobnú pravouhlú funkciu je opäť sinc(w), „natiahnuté“, čím silnejšie, čím menšia je šírka príslušného obdĺžnika. Spektrum vzorkovaného signálu s podobným "DAC" je bodovo vynásobené týmto spektrom. V tomto prípade nie sú zbytočné vysoké frekvencie s „extra kópiami“ spektra úplne odrezané a horná časť „užitočnej“ časti spektra je naopak oslabená.

V praxi to samozrejme nikto nerobí. Existuje mnoho rôznych prístupov k zostaveniu DAC, ale aj v najpodobnejších váhových typoch DAC sú naopak pravouhlé impulzy v DAC vyberané čo najkratšie (približujú sa k reálnej sekvencii delta funkcií), aby sa predišlo zbytočnému potlačeniu. užitočnej časti spektra. „Extra“ frekvencie vo výslednom širokopásmovom signáli sú takmer vždy tlmené prechodom signálu cez analógový dolnopriepustný filter, takže nedochádza k „digitálnym krokom“ ani „vo vnútri“ prevodníka, ani na jeho výstupe.

Vráťme sa však k Fourierovej transformácii. Vyššie opísaná Fourierova transformácia aplikovaná na vopred navzorkovanú signálnu sekvenciu sa nazýva Fourierova transformácia s diskrétnym časom (DTFT). Spektrum získané takouto transformáciou je vždy 1/T-periodické, takže spektrum DTFT je úplne určené jeho hodnotami na segmente )