Nech sa bod súčasne zúčastňuje dvoch harmonických kmitov rovnakej periódy, nasmerovaných pozdĺž jednej priamky.

Sčítanie kmitov bude realizované metódou vektorových diagramov (obr. 2.2). Nech sú kmity dané rovnicami

a

(2.2.1)

Odložte od pointy O vektor pod uhlom φ 1 k referenčnej čiare a vektor pod uhlom φ 2 . Oba vektory sa otáčajú proti smeru hodinových ručičiek s rovnakou uhlovou rýchlosťou ω, takže ich fázový rozdiel nezávisí od času (). Takéto vibrácie sa nazývajú koherentné.

Vieme, že celkový priemet vektora sa rovná súčtu priemetov na rovnakú os. Preto môže byť výsledná oscilácia reprezentovaná amplitúdovým vektorom rotujúcim okolo bodu O s rovnakou uhlovou rýchlosťou ω ako , a . Výsledné kmitanie musí byť tiež harmonické s frekvenciou ω:

.

Podľa pravidla sčítania vektorov zistíme celkovú amplitúdu:

Výsledná amplitúda sa zistí podľa vzorca

Telo, ktoré sa zúčastňuje dvoch harmonických kmitov rovnakého smeru a rovnakej frekvencie, teda vykonáva aj harmonické kmitanie v rovnakom smere a s rovnakou frekvenciou, ako sú sčítané kmity.

Z (2.2.2) vyplýva, že amplitúda ALE výsledná oscilácia závisí od rozdielu počiatočných fáz . Možné hodnoty ALE ležať v rozsahu (amplitúda nemôže byť záporná).

Uvažujme o niekoľkých jednoduchých prípadoch.

1. Fázový rozdiel je nula alebo párne čísloπ, teda kde . Potom a

,

(2.2.4)

od , t.j. výsledná amplitúda kmitania ALE sa rovná súčtu amplitúd pridaných kmitov (oscilácií Vo fáze) (obr. 2.3).

2. Fázový rozdiel je nepárne čísloπ , t.j , kde . Potom . Odtiaľ

.

(2.2.5)

Na obr. 2.4 je znázornená amplitúda výsledného kmitania ALE, ktorý sa rovná rozdielu v amplitúdach pridaných kmitov (oscilácie v mimo fázy).

3. Fázový rozdiel sa mení v čase ľubovoľným spôsobom:

(2.2.6)

Z rovnice (2.2.6) vyplýva, že a bude sa meniť v súlade s hodnotou . Preto pri pridávaní nekoherentných kmitov nemá zmysel hovoriť o pridávaní amplitúd, ale v niektorých prípadoch sú pozorované celkom jasné vzorce. Pre prax je obzvlášť zaujímavý prípad, keď sa dve pridané kmity toho istého smeru líšia vo frekvencii len málo. V dôsledku sčítania týchto kmitov sa získajú kmity s periodicky sa meniacou amplitúdou.

Periodické zmeny v amplitúde oscilácií vznikajúce pridaním dvoch harmonických oscilácií s blízkymi frekvenciami, sa volajú bije . Presne povedané, už nejde o harmonické kmity.

Nech sa amplitúdy pridaných kmitov rovnajú ALE, a frekvencie sa rovnajú ω a , a . Referenčný bod volíme tak, aby počiatočné fázy oboch kmitov boli rovné nule:

Tieto výrazy pridávame zanedbávaním , keďže .

Charakter závislosti (2.2.8) je znázornený na obr. 2.5, kde plné hrubé čiary dávajú graf výsledného kmitania a ich obálky - graf pomaly sa meniacej amplitúdy podľa rovnice (2.2.7).

Stanovenie frekvencie tónu (zvuk určitej výšky) úderov medzi referenčnými a nameranými vibráciami je v praxi najpoužívanejšou metódou na porovnanie nameranej hodnoty s referenčnou. Metóda beat sa používa na ladenie hudobných nástrojov, analýzu sluchu atď.

Vo všeobecnosti sa oscilácie druhu nazývajú modulovaný . Špeciálne prípady: amplitúdovej modulácie a fázovej alebo frekvenčnej modulácie. poraziť je najjednoduchšia forma modulovaných kmitov.

Akékoľvek komplexné periodické oscilácie môžu byť reprezentované ako superpozícia súčasne sa vyskytujúcich harmonických oscilácií s rôznymi amplitúdami, počiatočnými fázami a tiež frekvenciami, ktoré sú násobkami cyklickej frekvencie ω:

.

Reprezentácia periodickej funkcie v tejto forme je spojená s pojmom harmonická analýza komplexného periodického kmitania alebo Fourierova expanzia(teda znázornenie komplexných modulovaných kmitov ako rad (súčet) jednoduchých harmonických kmitov). Pojmy Fourierovho radu, ktoré určujú harmonické kmity s frekvenciami ω, 2ω, 3ω, ..., sú tzv. najprv(alebo hlavné), druhý, tretí atď. harmonické komplexné periodické kmitanie.

Spolu s translačnými a rotačnými pohybmi telies v mechanike sú veľmi zaujímavé aj oscilačné pohyby. Mechanické vibrácie nazývané pohyby telies, ktoré sa presne (alebo približne) opakujú v pravidelných intervaloch. Zákon pohybu kmitajúceho telesa je daný nejakou periodickou funkciou času X = f (t). Grafické znázornenie tejto funkcie dáva vizuálne znázornenie priebehu oscilačného procesu v čase.

Príkladom jednoduchých oscilačných systémov je zaťaženie pružiny alebo matematického kyvadla (obr. 2.1.1).

Mechanické oscilácie, podobne ako oscilačné procesy akejkoľvek inej fyzikálnej povahy, môžu byť zadarmo a nútený. Voľné vibrácie sú vyrobené pod vplyvom vnútorné sily systému po tom, čo sa systém dostal z rovnováhy. Kmity závažia na pružine alebo kmity kyvadla sú voľné kmity. vibrácie pod pôsobením externé nazývajú sa periodicky sa meniace sily nútený .

Najjednoduchší typ oscilačného procesu je jednoduchý harmonické vibrácie , ktoré sú opísané rovnicou

X = X m cos (ω t + φ 0).

Tu X- posunutie tela z rovnovážnej polohy, X m - amplitúda kmitania, t.j. maximálne posunutie z rovnovážnej polohy, ω - cyklická alebo kruhová frekvencia váhanie, t- čas. Hodnota pod kosínusovým znamienkom φ = ω t+ φ 0 sa volá fáza harmonický proces. o t= 0 φ = φ 0, preto sa nazýva φ 0 počiatočná fáza. Minimálny časový interval, po ktorom sa pohyb telesa opakuje, sa nazýva perióda oscilácie T. Fyzikálna veličina recipročná k perióde kmitania sa nazýva frekvencia oscilácií:

Oscilačná frekvencia f ukazuje, koľko vibrácií sa vytvorí za 1 s. Jednotka frekvencie - hertz(Hz). Oscilačná frekvencia f súvisí s cyklickou frekvenciou ω a periódou oscilácií T pomery:

Na obr. 2.1.2 ukazuje polohy tela v pravidelných intervaloch s harmonickými vibráciami. Takýto obraz možno získať experimentálne osvetlením oscilujúceho telesa krátkymi periodickými zábleskami svetla ( stroboskopické osvetlenie). Šípky predstavujú vektory rýchlosti tela v rôznych časových bodoch.

Ryža. 2.1.3 znázorňuje zmeny, ktoré nastanú na grafe harmonického procesu, ak sa zmení buď amplitúda oscilácií X m alebo bodka T(alebo frekvencia f), alebo počiatočná fáza φ 0 .

Keď telo kmitá pozdĺž priamky (os VÔL) vektor rýchlosti je vždy nasmerovaný pozdĺž tejto priamky. Rýchlosť υ = υ X pohyb tela je určený výrazom

V matematike postup pri hľadaní limity pomeru pri Δ t→ 0 sa nazýva výpočet derivácie funkcie X (t) časom t a označované ako alebo ako X"(t) alebo nakoniec ako . Pre harmonický pohybový zákon Výpočet derivácie vedie k tomuto výsledku:

Výskyt termínu + π / 2 v kosínusovom argumente znamená zmenu v počiatočnej fáze. Maximálne modulové hodnoty rýchlosti υ = ω X m sa dosahujú v tých časových okamihoch, keď teleso prechádza rovnovážnymi polohami ( X= 0). Zrýchlenie je definované podobným spôsobom a = aX telesá s harmonickými vibráciami:

preto to zrýchlenie a sa rovná derivácii funkcie υ ( t) časom t alebo druhá derivácia funkcie X (t). Výpočty dávajú:

Znamienko mínus v tomto výraze znamená zrýchlenie a (t) má vždy opačné znamienko odsadenia X (t), a preto podľa druhého Newtonovho zákona sila, ktorá spôsobuje, že teleso vykonáva harmonické kmity, smeruje vždy do rovnovážnej polohy ( X = 0).

a) Telo sa zúčastňuje dvoch harmonických kmitov s rovnakými kruhovými frekvenciamiw , ale s rôznymi amplitúdami a počiatočnými fázami.

Rovnica týchto oscilácií bude napísaná takto:

x 1 \u003d a 1 cos (hmotn. + j 1)

x 2 \u003d a 2 cos (hmotn. + j 2),

kde x 1 a x 2- ofsety; 1 a a 2- amplitúdy; w- kruhová frekvencia oboch kmitov; j1 a j2- počiatočné fázy kmitov.

Pridajme tieto fluktuácie pomocou vektorového diagramu. Predstavme obe oscilácie ako amplitúdové vektory. K tomu z ľubovoľného bodu O ležiaceho na osi X, vyčleníme dva vektory 1 a 2 v uhloch j1 a j2 k tejto osi (obr. 2).

Projekcie týchto vektorov na os X sa budú rovnať posunom x 1 a x 2 podľa výrazu (2). Keď sa oba vektory otáčajú proti smeru hodinových ručičiek s uhlovou rýchlosťou w priemety ich koncov na os X vytvorí harmonické vibrácie. Pretože oba vektory rotujú rovnakou uhlovou rýchlosťou w, potom uhol medzi nimi j=j1-j2 zostáva konštantná. Sčítaním oboch vektorov 1 a 2 podľa pravidla rovnobežníka dostaneme výsledný vektor . Ako je možné vidieť na obr. 2, projekcia tohto vektora na os X sa rovná súčtu projekcií členov vektorov x \u003d x 1 + x 2. Na druhej strane: x \u003d a cos (hmotnosť + j o).

V dôsledku toho sa vektor otáča rovnakou uhlovou rýchlosťou ako vektory 1 a 2 a vykonáva harmonickú osciláciu, ktorá sa vyskytuje pozdĺž rovnakej priamky ako členy oscilácií a s frekvenciou rovnou frekvencii pôvodných oscilácií. Tu j o - počiatočná fáza výslednej oscilácie.

Ako je zrejmé z obr. 2, na určenie amplitúdy výsledného kmitania môžete použiť kosínusovú vetu, podľa ktorej máme:

a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a \u003d a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos (j 2 - j 1)(3)

Z výrazu (3) je zrejmé, že amplitúda výsledného kmitania závisí od rozdielu počiatočných fáz ( j 2 - j 1) členy oscilácií. Ak sú počiatočné fázy rovnaké ( j2 = j1), potom vzorec (3) ukazuje, že amplitúda a sa rovná súčtu 1 a a 2. Ak fázový rozdiel ( j 2 - j 1) sa rovná ±180 o (t.j. obe kmity sú v protifáze), potom sa amplitúda výsledného kmitania rovná absolútnej hodnote rozdielu amplitúd členov kmitania. : a = |a 1 - a 2 |.

b) Telo sa zúčastňuje dvoch kmitov s rovnakými amplitúdami, počiatočnými fázami rovnými nule a rôznymi frekvenciami.

Rovnice pre tieto oscilácie budú vyzerať takto:

x 1 \u003d a sinw 1 t,

x 2 \u003d a sinw 2 t.

Pritom sa predpokladá, že w 1 trochu odlišná veľkosťou od w 2. Pridaním týchto výrazov dostaneme:

x \u003d x 1 + x 2 \u003d 2a cos[(w 1 - w 2)/2]t+sin[(w 1 + w 2)/2]t=

= 2а cos[(w 1 - w 2)/2]t sin hm (4)

Výsledným pohybom je zložité kmitanie tzv bije(obr. 3) Keďže hodnota w1-w2 malý v porovnaní s veľkosťou w1+w2 potom tento pohyb možno považovať za harmonické kmitanie s frekvenciou rovnajúcou sa polovici súčtu frekvencií pridaných kmitov w=(w1+w2)/2 a premenlivou amplitúdou.

Z (4) vyplýva, že amplitúda výsledného kmitania sa mení podľa periodického kosínusového zákona. Úplný cyklus zmien hodnôt kosínusovej funkcie nastane, keď sa argument zmení o 360 0 , zatiaľ čo funkcia prejde hodnotami z +1 na -1. Stav systému, ktorý bije v časových okamihoch zodpovedajúcich špecifikovaným hodnotám kosínusovej funkcie vo vzorci (4), sa nijako nelíši. Inými slovami, cykly úderov sa vyskytujú s frekvenciou zodpovedajúcou zmene kosínusového argumentu vo vzorci (4) o 180 0 . Takže obdobie T a zmeny amplitúdy počas úderov (doba úderov) sa určujú z podmienky:

T a \u003d 2p / (w 1 - w 2).

Vzhľadom na to w=2pn, dostaneme:

Ta \u003d 2 p / 2 p (n 1 - n 2) \u003d 1 / (n 1 - n 2). (5)

Frekvencia zmeny amplitúdy výsledného kmitania sa rovná rozdielu vo frekvenciách pridaných kmitov:

n=l/Ta=n1-n2.

Sčítanie harmonických kmitov jedného smeru.

bije

Uvažujme oscilačný systém s jedným stupňom voľnosti, ktorého stav je určený závislosťou nejakej veličiny od času. Nech je kmitanie v tejto sústave súčtom dvoch harmonických kmitov s rovnakou frekvenciou, ale rôznymi amplitúdami a počiatočnými fázami, t.j.

Keďže "posun" oscilačného systému z rovnovážnej polohy nastáva po jednom jedinom "smere", v tomto prípade sa hovorí o sčítaní harmonických kmitov jedného smeru. Na vektorovom diagrame sa pridané oscilácie zobrazia ako dva vektory a , navzájom otočené o uhol (obr. 6.1). Keďže frekvencie sčítaných kmitov sú rovnaké, ich vzájomná poloha zostane kedykoľvek nezmenená a výsledné kmitanie bude reprezentované vektorom rovným súčtu vektorov a . Sčítaním vektorov podľa pravidla rovnobežníka a pomocou kosínusovej vety dostaneme

. (6.3)

teda pri sčítaní dvoch harmonických kmitov rovnakého smeru s rovnakými frekvenciami sa získa harmonické kmitanie rovnakej frekvencie, ktorého amplitúda a počiatočná fáza sú určené výrazmi(6.2), (6.3).

Nazývajú sa dve harmonické kmity, ktoré sa vyskytujú na rovnakej frekvencii a majú konštantný fázový rozdiel koherentný. V dôsledku toho sa pri pridávaní koherentných kmitov získa harmonické kmitanie rovnakej frekvencie, ktorého amplitúda a počiatočná fáza sú určené amplitúdami a počiatočnými fázami pridaných kmitov.

Ak majú pridané oscilácie rôzne frekvencie a , ale rovnaké amplitúdy , potom pomocou výrazu známeho z trigonometrie pre súčet kosínusov dvoch uhlov dostaneme

Z výsledného výrazu je vidieť, že výsledné kmitanie nie je harmonický.

Frekvencie pridaných kmitov nech sú blízko seba, aby a . Tento prípad je tzv bitie dvoch frekvencií.

Označenie , a , dá sa napísať

. (6.5)

Z výrazu (6.5) vyplýva, že výsledné kmitanie možno znázorniť ako harmonické kmitanie s určitou priemernou frekvenciou , ktorého amplitúda sa pomaly (s frekvenciou ) mení v čase. čas volal beat period, a – frekvencia tepu. Graf úderov je znázornený na obrázku 6.2. K úderom dochádza, keď súčasné rozozvučenie dvoch ladičiek tej istej klávesy. Možno ich pozorovať pomocou osciloskopu pri sčítaní harmonických kmitov dvoch generátorov naladených na rovnakú frekvenciu. V oboch prípadoch sa budú frekvencie zdrojov kmitov mierne líšiť, čo vedie k úderom.

Pretože sa oscilácie vyskytujú pri rôznych frekvenciách, fázový rozdiel pridaných oscilácií sa mení s časom, preto oscilácie nie sú koherentné. Časová zmena amplitúdy výsledných kmitov je charakteristickým dôsledkom nesúdržnosti pridaných kmitov..

Prídavok kmitov sa veľmi často pozoruje v elektrických obvodoch a najmä v rádiových komunikačných zariadeniach. V niektorých prípadoch sa to robí zámerne, aby sa získal signál so špecifikovanými parametrami. Takže napríklad v heterodynovom prijímači sa prijímaný signál pridáva (zmiešava) so signálom lokálneho oscilátora, aby sa ako výsledok následného spracovania získala medzifrekvenčná oscilácia. V iných prípadoch dochádza k pridávaniu oscilácií spontánne, keď sa na vstupe zariadenia okrem užitočného signálu dostane aj nejaký druh rušenia. V skutočnosti je celá škála foriem elektrických signálov výsledkom pridania dvoch alebo viacerých harmonických kmitov.

To isté telo sa môže súčasne zúčastniť dvoch alebo viacerých pohybov. Jednoduchým príkladom je pohyb lopty hodenej pod uhlom k horizontále. Môžeme predpokladať, že loptička sa zúčastňuje dvoch nezávislých vzájomne kolmých pohybov: rovnomerných horizontálne a rovnako variabilných vertikálne. Jedno a to isté teleso (hmotný bod) sa môže zúčastniť dvoch (alebo viacerých) pohybov oscilačného typu.

Pod pridanie vibrácií pochopiť definíciu zákona výsledného kmitania, ak sa kmitavý systém súčasne zúčastňuje viacerých kmitavých procesov. Existujú dva limitujúce prípady - sčítanie kmitov jedného smeru a sčítanie vzájomne kolmých kmitov.

2.1. Sčítanie harmonických kmitov jedného smeru

1. Sčítanie dvoch kmitov rovnakého smeru(kosmerové vibrácie)

možno vykonať pomocou metódy vektorového diagramu (obrázok 9) namiesto sčítania dvoch rovníc.

Obrázok 2.1 ukazuje amplitúdové vektory ALE 1(t) a ALE 2 (t) súčet kmitov v ľubovoľnom čase t, keď sú fázy týchto kmitov rovnaké a . Pridanie kmitov je zredukované na definíciu . Využime fakt, že vo vektorovom diagrame sa súčet priemetov sčítaných vektorov rovná priemetu vektorového súčtu týchto vektorov.

Výsledná oscilácia zodpovedá na vektorovom diagrame amplitúdovému vektoru a fáze.

Obrázok 2.1 - Pridanie ko-smerných vibrácií.

Vektorová veľkosť ALE(t) možno nájsť pomocou kosínusovej vety:

Fáza výslednej oscilácie je daná vzorcom:

.

Ak frekvencie pridaných kmitov ω 1 a ω 2 nie sú rovnaké, potom fáza φ(t) aj amplitúda ALE(t) Výsledné kolísanie sa bude časom meniť. Pridané vibrácie sú tzv nesúvislý v tomto prípade.

2. Vyvolajú sa dve harmonické kmity x 1 a x 2 koherentný, ak ich fázový rozdiel nezávisí od času:

Ale keďže potom, aby sa splnila podmienka koherencie týchto dvoch kmitov, ich cyklické frekvencie musia byť rovnaké.

Amplitúda výsledného kmitania získaná pridaním kosmerných kmitov s rovnakými frekvenciami (koherentné kmity) sa rovná:

Počiatočnú fázu výslednej oscilácie možno ľahko nájsť premietnutím vektorov ALE 1 a ALE 2 na súradnicových osiach OX a OY (pozri obrázok 9):

.

takze výsledná oscilácia získaná pridaním dvoch harmonických ko-smerných oscilácií s rovnakými frekvenciami je tiež harmonická oscilácia.

3. Skúmame závislosť výslednej amplitúdy kmitov od rozdielu medzi počiatočnými fázami pridaných kmitov.

If , kde n je ľubovoľné nezáporné celé číslo

(n = 0, 1, 2...), potom minimálne. Pridané vibrácie v momente pridania boli in mimo fázy. Pri , je výsledná amplitúda nulová.

Ak , potom , t.j. výsledná amplitúda bude maximálne. V momente pridania boli pridané kmity v jednej fáze, t.j. boli vo fáze. Ak sú amplitúdy pridaných kmitov rovnaké , potom .

4. Pridanie kosmerných vibrácií s nerovnakými, ale blízkymi frekvenciami.

Frekvencie pridaných kmitov nie sú rovnaké, ale frekvenčný rozdiel ω 1 aj ω 2 sú oveľa menšie. Podmienku blízkosti pridaných frekvencií píšu vzťahy .

Príkladom pridania súsmerných kmitov s blízkymi frekvenciami je pohyb horizontálneho pružinového kyvadla, ktorého tuhosť pružiny je mierne odlišná k 1 a k 2 .

Nech sú amplitúdy pridaných kmitov rovnaké a počiatočné fázy sú rovné nule. Potom rovnice pridaných kmitov majú tvar:

, .

Výsledná oscilácia je opísaná rovnicou:

Výsledná oscilačná rovnica závisí od súčinu dvoch harmonických funkcií: jednej s frekvenciou , druhý - s frekvenciou , kde ω je blízko k frekvenciám pridaných kmitov (ω 1 alebo ω 2). Výslednú osciláciu je možné považovať za harmonické kmitanie s harmonicky sa meniacou amplitúdou. Tento oscilačný proces sa nazýva bije. Presne povedané, výsledné kmitanie vo všeobecnosti nie je harmonické kmitanie.

Absolútna hodnota kosínusu sa berie, pretože amplitúda je kladná hodnota. Charakter závislosti x res. pre takty je znázornené na obrázku 2.2.

Obrázok 2.2 - Závislosť posunu od času počas úderov.

Amplitúda tepu sa mení pomaly s frekvenciou. Absolútna hodnota kosínusu sa opakuje, ak sa jeho argument zmení o π, potom sa hodnota výslednej amplitúdy zopakuje po čase τ b, tzv. beat period(Pozri obrázok 12). Hodnotu doby tepu možno určiť z nasledujúceho vzťahu:

Hodnota je doba tepu.

Hodnota je perióda výslednej oscilácie (obrázok 2.4).

2.2. Sčítanie vzájomne kolmých kmitov

1. Model, ktorý dokáže demonštrovať sčítanie vzájomne kolmých vibrácií je znázornený na obrázku 2.3. Kyvadlo (hmotný bod s hmotnosťou m) môže kmitať pozdĺž osí OX a OY pôsobením dvoch navzájom kolmých pružných síl.

Obrázok 2.3

Sumárne oscilácie majú tvar:

Frekvencie kmitania sú definované ako , , kde , sú koeficienty tuhosti pružiny.

2. Zvážte prípad pridania dvoch vzájomne kolmé vibrácie s rovnakými frekvenciami , čo zodpovedá stavu (rovnaké pružiny). Potom rovnice pridaných oscilácií budú mať tvar:

Keď sa bod zúčastňuje dvoch pohybov súčasne, jeho trajektória môže byť odlišná a pomerne zložitá. Rovnicu pre trajektóriu výsledných vibrácií v rovine OXY pri sčítaní dvoch vzájomne kolmých s rovnakými frekvenciami možno určiť vylúčením času t z počiatočných rovníc pre x a y:

Typ trajektórie je určený rozdielom v počiatočných fázach pridaných kmitov, ktoré závisia od počiatočných podmienok (pozri § 1.1.2). Zvážte možné možnosti.

A keď , kde n = 0, 1, 2…, t.j. sčítané oscilácie sú vo fáze, potom rovnica trajektórie bude mať tvar:

(Obrázok 2.3 a).

Obrázok 2.3.a	Obrázok 2.3 b

b) Ak (n = 0, 1, 2...), t.j. sčítané oscilácie sú v protifáze, potom rovnica trajektórie je napísaná takto:

(Obrázok 2.3b).

V oboch prípadoch (a, b) bude výsledný pohyb bodu kmitať po priamke prechádzajúcej bodom O. Frekvencia výsledného kmitania sa rovná frekvencii pridaných kmitov ω 0, amplitúda je určená pomer.