Viete, čo je stredom čiary? Samozrejme. A stred kruhu? Tiež.
Aký je stred uhla?
Dá sa povedať, že sa to nedeje. Ale prečo, segment sa dá rozdeliť na polovicu, ale uhol nie? Je to celkom možné - len nie bodka, ale .... riadok.
Pamätáte si vtip: bisector je potkan, ktorý behá okolo rohov a pretína roh. Takže skutočná definícia osi je veľmi podobná tomuto vtipu:
Sektor trojuholníka je úsečka osi uhla trojuholníka, spájajúca vrchol tohto uhla s bodom na opačnej strane.
Kedysi dávno starovekí astronómovia a matematici objavili množstvo zaujímavých vlastností osi. Toto poznanie značne zjednodušilo životy ľudí.
Prvý poznatok, ktorý v tom pomôže, je...
Mimochodom, pamätáte si všetky tieto pojmy? Pamätáte si, ako sa navzájom líšia? nie? Nie strašidelné. Teraz poďme na to prísť.
- Základňa rovnoramenného trojuholníka- toto je strana, ktorá sa nerovná žiadnej inej. Pozrite sa na obrázok, ktorá strana to podľa vás je? To je pravda - je to strana.
- Stred je čiara vedená z vrcholu trojuholníka a pretína opačnú stranu (toto opäť). Všimnite si, že nehovoríme "stredná hodnota rovnoramenného trojuholníka." Vieš prečo? Pretože medián nakreslený z vrcholu trojuholníka pretína opačnú stranu v AKEJKOĽVEK trojuholníku.
- Výška je čiara vedená zhora a kolmá na základňu. Všimol si si? Hovoríme opäť o akomkoľvek trojuholníku, nielen o rovnoramennom. Výška v AKEJKOĽVEK trojuholníku je vždy kolmá na základňu.
Tak čo, prišli ste na to? Takmer.
Aby lepšie pochopili a navždy si zapamätali, čo je stred, stred a výška, čo potrebujú porovnávať navzájom a pochopiť, ako sú si podobné a ako sa navzájom líšia.
Zároveň, aby sme si lepšie zapamätali, je lepšie opísať všetko v „ľudskom jazyku“.
Potom budete ľahko pracovať s jazykom matematiky, ale najskôr tomuto jazyku nerozumiete a musíte rozumieť všetkému vo svojom vlastnom jazyku.
V čom sú si teda podobné?
Stred, stred a výška - všetky "vychádzajú" z vrcholu trojuholníka a priliehajú opačným smerom a "niečo robia" buď s uhlom, z ktorého vychádzajú, alebo s opačnou stranou.
Myslím, že je to jednoduché, nie?
A ako sa líšia?
- Osa pretína uhol, z ktorého vychádza.
- Medián pretína opačnú stranu.
- Výška je vždy kolmá na opačnú stranu.
To je všetko. Pochopiť je ľahké. Keď pochopíte, môžete si spomenúť.
Teraz ďalšia otázka.
Prečo sa potom v prípade rovnoramenného trojuholníka ukáže, že os je stredná aj výška súčasne?
Môžete sa len pozrieť na obrázok a uistiť sa, že stred sa rozdelí na dva úplne rovnaké trojuholníky.
To je všetko! Matematici však neradi veria vlastným očiam. Potrebujú všetko dokázať.
Strašidelné slovo?
Nič také - všetko je jednoduché! Pozrite sa: a majú rovnaké strany a majú spoločnú stranu a. (- bisector!) A tak sa ukázalo, že dva trojuholníky majú dve rovnaké strany a uhol medzi nimi.
Pripomíname si prvý znak rovnosti trojuholníkov (nepamätám si, pozrite sa na tému) a usudzujeme, že to znamená = a.
To je už dobré - to znamená, že sa ukázalo, že je to medián.
Ale čo to je?
Pozrime sa na obrázok -. A dostali sme to. Tak tiež! Konečne hurá! a
Zdal sa vám tento dôkaz ťažký? Pozrite sa na obrázok - dva rovnaké trojuholníky hovoria samy za seba.
V každom prípade si prosím pamätajte:
Teraz je to ťažšie: budeme počítať uhol medzi osami v ľubovoľnom trojuholníku! Nebojte sa, nie je to až také zložité. Pozri sa na obrázok:
Poďme si to spočítať. Pamätáš si, že súčet uhlov trojuholníka je?
Aplikujme tento úžasný fakt.
Na jednej strane od:
To jest.
Teraz sa pozrime na:
Ale osi, osi!
Pripomeňme si o:
Teraz cez listy
Nie je to prekvapujúce?
Ukázalo sa, že uhol medzi osami dvoch uhlov závisí len od tretieho uhla!
Nuž, pozreli sme sa na dve osi. Čo ak sú tri??!! Pretínajú sa všetky v rovnakom bode?
Alebo bude?
Ako si myslíte, že? Tu matematici mysleli, mysleli a dokázali:
Naozaj, skvelé?
Chcete vedieť, prečo sa to deje?
Prejdite na ďalšiu úroveň - ste pripravení dobyť nové výšky vedomostí o osi!
BISECTOR. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ
Pamätáte si, čo je to bisector?
Osa je priamka, ktorá rozpolí uhol.
Stretli ste v probléme bisektor? Skúste použiť jednu (a niekedy môžete aj niekoľko) z nasledujúcich úžasných vlastností.
1. Stred v rovnoramennom trojuholníku.
Bojíte sa slova „teorém“? Ak sa bojíte, potom - márne. Matematici zvyknú nazývať matematickou vetou akékoľvek tvrdenie, ktoré sa dá nejako odvodiť z iných, jednoduchších tvrdení.
Takže pozor, veta!
Poďme dokázať táto veta, to znamená, že pochopíme, prečo sa to deje? Pozrite sa na rovnoramenné.
Pozrime sa na ne pozorne. A potom to uvidíme
- - všeobecný.
A to znamená (radšej si zapamätajte prvý znak rovnosti trojuholníkov!), To.
No a čo? Chceli by ste to povedať? A to, že sme sa ešte nepozreli na tretie strany a zostávajúce uhly týchto trojuholníkov.
A teraz sa pozrime. Raz, potom úplne presne a dokonca navyše,.
Tak sa aj stalo
- rozdelil stranu na polovicu, to znamená, že sa ukázal ako medián
- , čo znamená, že sú obe zapnuté, keďže (znova sa pozrite na obrázok).
Tak sa ukázalo, že je to bisector a výška tiež!
Hurá! Dokázali sme vetu. Ale hádajte čo, to nie je všetko. Verný a konverzná veta:
dôkaz? Máš záujem? Prečítajte si ďalšiu úroveň teórie!
A ak nemáte záujem, tak pamätaj pevne:
Prečo je ťažké si to zapamätať? Ako to môže pomôcť? Predstavte si, že máte úlohu:
Vzhľadom na to: .
Nájsť: .
Hneď si pomyslíte, bisector a, hľa, rozdelila stranu na polovicu! (podľa podmienok...). Ak si pevne pamätáte, že sa to stane iba v rovnoramennom trojuholníku, potom uzavriete, čo znamená, napíšte odpoveď:. Je to skvelé, však? Samozrejme, nie všetky úlohy budú také jednoduché, ale znalosti určite pomôžu!
A teraz ďalšia nehnuteľnosť. pripravený?
2. Osa uhla je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán uhla.
strach? V skutočnosti sa nie je čoho báť. Leniví matematici skryli štyri do dvoch riadkov. Takže, čo to znamená, "Bisector - ťažisko bodov"? A to znamená, že sú okamžite popravení dvaVyhlásenia:
- Ak bod leží na osi, potom sú vzdialenosti od neho k stranám uhla rovnaké.
- Ak sú v určitom bode vzdialenosti od strán uhla rovnaké, potom tento bod nevyhnutne leží na osi.
Vidíte rozdiel medzi výrokmi 1 a 2? Ak nie, tak si spomeňte na Klobučníka z „Alenky v krajine zázrakov“: „Takže stále máte čo povedať, ako keby „vidím, čo jem“ a „jem, čo vidím“ sú to isté!
Musíme teda dokázať tvrdenia 1 a 2 a potom tvrdenie: "Systém je miesto bodov rovnako vzdialených od strán uhla" bude dokázané!
Prečo je 1 správne?
Vezmite ľubovoľný bod na osi a nazvite ho.
Pustime kolmice z tohto bodu na strany uhla.
A teraz ... pripravte sa na zapamätanie si znakov rovnosti pravouhlých trojuholníkov! Ak ste ich zabudli, pozrite sa do sekcie.
Takže ... dva pravouhlé trojuholníky: a. Oni majú:
- spoločná prepona.
- (pretože - osička!)
Takže - podľa uhla a prepony. Preto sú zodpovedajúce nohy týchto trojuholníkov rovnaké! To jest.
Dokázali sme, že bod je rovnako (alebo rovnako) vzdialený od strán uhla. Bod 1 sa riešil. Teraz prejdime k bodu 2.
Prečo je 2 správne?
A spojte bodky.
Takže, to znamená, že leží na osi!
To je všetko!
Ako sa to všetko dá aplikovať na riešenie problémov? Napríklad v úlohách je často taká fráza: "Kruh sa dotýka strán uhla ...". No treba si niečo nájsť.
Rýchlo si to uvedomíte
A môžete použiť rovnosť.
3. Tri osi v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode
Z vlastnosti osy byť miestom bodov rovnako vzdialených od strán uhla vyplýva nasledovné tvrdenie:
Ako presne to prúdi? Ale pozrite sa: dve osi sa určite pretnú, však?
A tretia os by mohla vyzerať takto:
Ale v skutočnosti je všetko oveľa lepšie!
Uvažujme priesečník dvoch priesečníkov. Zavolajme jej.
Čo sme tu použili oba razy? Áno odsek 1, samozrejme! Ak bod leží na osi, potom je rovnako vzdialený od strán uhla.
A tak sa aj stalo.
Ale pozorne sa pozrite na tieto dve rovnosti! Veď z nich vyplýva, že a teda .
A teraz to už pôjde bod 2: ak sú vzdialenosti strán uhla rovnaké, potom bod leží na osi ... akého uhla? Pozrite sa ešte raz na obrázok:
a sú vzdialenosti od strán uhla a sú rovnaké, čo znamená, že bod leží na oske uhla. Tretia os prešla tým istým bodom! Všetky tri osi sa pretínajú v jednom bode! A ako ďalší darček -
Polomery zapísané kruhy.
(Pre vernosť si pozrite inú tému).
Teraz už nikdy nezabudnete:
Priesečník priesečníkov trojuholníka je stred kružnice, ktorá je do neho vpísaná.
Prejdime na ďalšiu vlastnosť... Páni, a stred má veľa vlastností, však? A to je skvelé, pretože čím viac vlastností, tým viac nástrojov na riešenie problémov o osi.
4. Osa a rovnobežnosť, osy susedných uhlov
Skutočnosť, že os rozdelí uhol v niektorých prípadoch na polovicu, vedie k úplne neočakávaným výsledkom. Napríklad,
Prípad 1
Je to skvelé, však? Poďme pochopiť prečo.
Na jednej strane kreslíme osi!
Ale na druhej strane - ako priečne ležiace rohy (pamätajte na tému).
A teraz sa ukazuje, že; vyhodiť stred: ! - rovnoramenný!
Prípad 2
Predstavte si trojuholník (alebo sa pozrite na obrázok)
Pokračujme vedľa seba. Teraz existujú dva rohy:
- - vnútorný roh
- - vonkajší roh - je to vonku, však?
Takže, a teraz niekto chcel nakresliť nie jednu, ale dve osi naraz: pre aj pre. Čo sa bude diať?
A ukáže sa obdĺžnikový!
Prekvapivo je to presne ono.
Rozumieme.
Aká je podľa vás suma?
Samozrejme, pretože všetky spolu zvierajú taký uhol, že sa ukáže ako priamka.
A teraz si to pripomenieme a sme osi a uvidíme, že vo vnútri je uhol presne polovicu zo súčtu všetkých štyroch uhlov: a - - teda presne. Dá sa to zapísať aj ako rovnica:
Takže neuveriteľné, ale pravdivé:
Uhol medzi osami vnútorného a vonkajšieho uhla trojuholníka je rovnaký.
Prípad 3
Vidíte, že tu je všetko rovnaké ako pre vnútorné a vonkajšie rohy?
Alebo sa znova zamyslíme, prečo je to tak?
Opäť, pokiaľ ide o susedné rohy,
(ako korešponduje s paralelnými bázami).
A opäť make up presne polovica zo sumy
záver: Ak sú v probléme osi súvisiace uhly alebo osy príslušné uhly rovnobežníka alebo lichobežníka, potom v tomto probléme určite ide o pravouhlý trojuholník a možno aj celý obdĺžnik.
5. Bisector a opačná strana
Ukazuje sa, že os uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu nie nejako, ale zvláštnym a veľmi zaujímavým spôsobom:
To je:
Úžasný fakt, však?
Teraz túto skutočnosť dokážeme, ale pripravte sa: bude to o niečo ťažšie ako predtým.
Opäť - východ do "priestoru" - dodatočná budova!
Poďme rovno.
Za čo? Teraz uvidíme.
Pokračujeme v osi až po priesečník s čiarou.
Známy obrázok? Áno, áno, áno, presne to isté ako v odseku 4, prípad 1 - ukazuje sa, že (- bisector)
Akoby ležal krížom krážom
Takže toto je tiež.
Teraz sa pozrime na trojuholníky a.
Čo sa o nich dá povedať?
Sú si podobné. Áno, ich uhly sú rovnaké ako vertikálne. Takže dva rohy.
Teraz máme právo napísať vzťahy zodpovedajúcich strán.
A teraz v skratke:
Ou! Niečo mi to pripomína, však? Nie je to to, čo sme chceli dokázať? Áno, áno, to je ono!
Vidíte, ako skvelo sa ukázal byť „spacewalk“ – vybudovanie ďalšej priamky – bez toho by sa nič nestalo! A tak sme to dokázali
Teraz ho môžete bezpečne používať! Poďme analyzovať ešte jednu vlastnosť osi uhlov trojuholníka - nebojte sa, teraz je to najťažšie za sebou - bude to jednoduchšie.
Chápeme to
Veta 1:
Veta 2:
Veta 3:
Veta 4:
Veta 5:
Veta 6:
No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!
Teraz to najdôležitejšie.
Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť...
Prečo?
Za úspešné zloženie skúšky, za prijatie do ústavu s rozpočtom a HLAVNE na celý život.
Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...
Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.
Ale to nie je to hlavné.
Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...
Ale zamysli sa nad sebou...
Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?
VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.
Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.
Budete potrebovať riešiť problémy včas.
A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.
Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.
Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!
Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.
Aby ste s pomocou našich úloh mohli pomôcť, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.
ako? Sú dve možnosti:
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - Kúpte si učebnicu - 899 rubľov
Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.
Na záver...
Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.
„Rozumiem“ a „Viem, ako vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.
Nájdite problémy a riešte ich!
V tejto lekcii podrobne zvážime, aké vlastnosti majú body ležiace na osi uhla a body, ktoré ležia na kolmici na úsečku.
Téma: Kruh
Lekcia: Vlastnosti osi uhla a kolmice úsečky
Zvážte vlastnosti bodu ležiaceho na osi uhla (pozri obr. 1).
Ryža. jeden
Daný uhol , jeho os AL, bod M leží na osi.
Veta:
Ak bod M leží na osi uhla, potom je rovnako vzdialený od strán uhla, to znamená, že vzdialenosti od bodu M po AC a po BC strán uhla sú rovnaké.
dôkaz:
Zvážte trojuholníky a . Sú to pravouhlé trojuholníky a sú si rovné, pretože. majú spoločnú preponu AM a uhly a sú rovnaké, pretože AL je os uhla . Pravouhlé trojuholníky sú teda rovnaké v prepone a ostrom uhle, z toho vyplýva, že , čo bolo potrebné dokázať. Bod na osnici uhla je teda rovnako vzdialený od strán tohto uhla.
Opačná veta je pravdivá.
Ak je bod rovnako vzdialený od strán nerozvinutého uhla, potom leží na jeho stredovej osi.
Ryža. 2
Je daný rozvinutý uhol, bod M, taký, že vzdialenosť od neho k stranám uhla je rovnaká (pozri obr. 2).
Dokážte, že bod M leží na osi uhla.
dôkaz:
Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice. Nakreslite z bodu M kolmice MK na stranu AB a MP na stranu AC.
Zvážte trojuholníky a . Sú to pravouhlé trojuholníky a sú si rovné, pretože. majú spoločnú preponu AM, nohy MK a MR sú podľa stavu rovnaké. Pravoúhlé trojuholníky sú teda rovnaké v prepone a vetve. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť zodpovedajúcich prvkov, rovnaké uhly ležia na rovnakých nohách, teda, 
, teda bod M leží na osi daného uhla.
Priame a inverzné vety je možné kombinovať.
Veta
Osa nerozšíreného uhla je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán daného uhla.
Veta
Priesečníky AA 1 , BB 1 , CC 1 trojuholníka sa pretínajú v jednom bode O (pozri obr. 3).
Ryža. 3
dôkaz:
Uvažujme prvé dve osi BB 1 a СС 1 . Pretínajú sa, priesečník O existuje. Aby ste to dokázali, predpokladajme opak – nech sa dané priesečníky nepretínajú, v takom prípade sú rovnobežné. Potom je priamka BC sečnicou a súčtom uhlov 
, to je v rozpore s tým, že v celom trojuholníku je súčet uhlov .
Takže bod O priesečníka dvoch priesečníkov existuje. Zvážte jeho vlastnosti:
Bod O leží na osi uhla , čo znamená, že je rovnako vzdialený od svojich strán BA a BC. Ak je OK kolmá na BC, OL je kolmá na BA, potom sa dĺžky týchto kolmíc rovnajú -. Taktiež bod O leží na osnici uhla a je rovnako vzdialený od jeho strán CB a CA, kolmice OM a OK sú rovnaké.
Dostali sme nasledujúce rovnosti:
, to znamená, že všetky tri kolmice spadnuté z bodu O na strany trojuholníka sú si navzájom rovné.
Zaujíma nás rovnosť kolmíc OL a OM. Táto rovnosť hovorí, že bod O je rovnako vzdialený od strán uhla, preto leží na jeho stredovej osi AA 1.
Dokázali sme teda, že všetky tri osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.
Prejdime k úvahe o úsečke, jej odvesnici a vlastnostiach bodu, ktorý leží na odvesnici.
Je daná úsečka AB, p je odvesna. To znamená, že priamka p prechádza stredom úsečky AB a je na ňu kolmá.
Veta
Ryža. štyri
Akýkoľvek bod ležiaci na kolmici je rovnako vzdialený od koncov úsečky (pozri obr. 4).
Dokáž to
dôkaz:
Zvážte trojuholníky a . Sú pravouhlé a rovné, pretože. majú spoločnú nohu OM a nohy AO a OB sú rovnaké podľa podmienky, takže máme dva pravouhlé trojuholníky rovnaké v dvoch nohách. Z toho vyplýva, že prepony trojuholníkov sú tiež rovnaké, teda čo sa malo dokázať.
Všimnite si, že segment AB je spoločný akord pre mnoho kruhov.
Napríklad prvý kruh so stredom v bode M a polomeroch MA a MB; druhý kruh so stredom v bode N, polomer NA a NB.
Dokázali sme teda, že ak bod leží na kolmici na úsečku, je rovnako vzdialený od koncov úsečky (pozri obr. 5).
Ryža. 5
Opačná veta je pravdivá.
Veta
Ak je nejaký bod M rovnako vzdialený od koncov úsečky, potom leží na kolmici na túto úsečku.
Je daná úsečka AB, na ňu kolmá strednica p, bod M, rovnako vzdialený od koncov úsečky (pozri obr. 6).
Dokážte, že bod M leží na kolmici na úsečku.
Ryža. 6
dôkaz:
Uvažujme trojuholník. Je rovnoramenný, ako podľa stavu. Zvážte stred trojuholníka: bod O je stred základne AB, OM je stred. Podľa vlastnosti rovnoramenného trojuholníka je stredom k jeho základni výška aj os. Z toho teda vyplýva, že . Ale priamka p je tiež kolmá na AB. Vieme, že jedinú kolmicu na úsečku AB možno nakresliť do bodu O, čo znamená, že priamky OM a p sa zhodujú, z toho vyplýva, že bod M patrí do priamky p, ktorú bolo potrebné dokázať.
Priame a inverzné vety sa dajú zovšeobecniť.
Veta
Kolmica úsečky je ťažisko bodov rovnako vzdialených od jej koncov.
Trojuholník, ako viete, pozostáva z troch segmentov, čo znamená, že v ňom možno nakresliť tri kolmé osi. Ukazuje sa, že sa pretínajú v jednom bode.
Odvesny trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.
Je daný trojuholník. Kolmo na jej strany: P 1 na stranu BC, P 2 na stranu AC, P 3 na stranu AB (pozri obr. 7).
Dokážte, že kolmice Р 1 , Р 2 a Р 3 sa pretínajú v bode O.
Dnes to bude veľmi ľahká lekcia. Budeme uvažovať iba o jednom objekte - o osi uhla - a dokážeme jeho najdôležitejšiu vlastnosť, ktorá sa nám bude v budúcnosti veľmi hodiť.
Len sa neuvoľnite: niekedy študenti, ktorí chcú získať vysoké skóre na rovnakom OGE alebo USE, na prvej hodine, nedokážu ani sformulovať presnú definíciu osi.
A namiesto toho, aby sme robili naozaj zaujímavé úlohy, trávime čas takýmito jednoduchými vecami. Tak čítajte, pozerajte - a adoptujte. :)
Na začiatok trochu zvláštna otázka: čo je to uhol? Správne: uhol sú len dva lúče vychádzajúce z toho istého bodu. Napríklad:
Príklady uhlov: ostrý, tupý a pravý Ako vidíte na obrázku, rohy môžu byť ostré, tupé, rovné - na tom teraz nezáleží. Často je pre pohodlie na každom lúči označený ďalší bod a hovoria, hovoria, že máme uhol $AOB$ (napísaný ako $\uhol AOB$).
Zdá sa, že kapitán naznačuje, že okrem lúčov $OA$ a $OB$ je možné vždy nakresliť veľa lúčov z bodu $O$. Ale medzi nimi bude jedna špeciálna - nazýva sa bisektor.
Definícia. Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z vrcholu tohto uhla a pretína uhol.
Pre vyššie uvedené uhly budú osy vyzerať takto:
Príklady osí pre ostrý, tupý a pravý uhol
Pretože na skutočných výkresoch nie je vždy zrejmé, že určitý lúč (v našom prípade je to lúč $OM$) rozdeľuje počiatočný uhol na dva rovnaké, je v geometrii zvykom označovať rovnaké uhly rovnakým počtom oblúky (na našom výkrese je to 1 oblúk pre ostrý uhol, dva pre tupý, tri pre rovný).
Dobre, prišli sme na definíciu. Teraz musíte pochopiť, aké vlastnosti má bisector.
Základná vlastnosť osy uhla
V skutočnosti má bisektor veľa vlastností. A určite ich zvážime v ďalšej lekcii. Ale je tu jeden trik, ktorý musíte hneď pochopiť:
Veta. Osa uhla je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán daného uhla.
Preložené z matematiky do ruštiny to znamená dve skutočnosti naraz:
- Akýkoľvek bod ležiaci na osnici uhla je v rovnakej vzdialenosti od strán tohto uhla.
- A naopak: ak bod leží v rovnakej vzdialenosti od strán daného uhla, potom je zaručené, že bude ležať na osi tohto uhla.
Pred dôkazom týchto tvrdení si vyjasnime jeden bod: čo sa v skutočnosti nazýva vzdialenosť od bodu k strane uhla? Tu nám pomôže stará dobrá definícia vzdialenosti od bodu k priamke:
Definícia. Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice nakreslenej z tohto bodu k tejto priamke.
Uvažujme napríklad priamku $l$ a bod $A$, ktorý na tejto priamke neleží. Nakreslite kolmicu $AH$, kde $H\v l$. Potom bude dĺžka tejto kolmice vzdialenosť od bodu $A$ k priamke $l$.
Grafické znázornenie vzdialenosti od bodu k priamke Keďže uhol sú len dva lúče a každý lúč je kusom priamky, je ľahké určiť vzdialenosť od bodu k stranám uhla. Sú to len dve kolmice:
Určte vzdialenosť od bodu k stranám uhla To je všetko! Teraz vieme, čo je vzdialenosť a čo je os. Preto môžeme preukázať hlavnú vlastnosť.
Ako sme sľúbili, rozdeľujeme dôkaz na dve časti:
1. Vzdialenosti od bodu na osi k stranám uhla sú rovnaké
Uvažujme ľubovoľný uhol s vrcholom $O$ a stredom $OM$:
Dokážme, že ten istý bod $M$ je v rovnakej vzdialenosti od strán uhla.
Dôkaz. Nakreslíme kolmice z bodu $M$ do strán uhla. Nazvime ich $M((H)_(1))$ a $M((H)_(2))$:
Nakreslite kolmice na strany rohu
Získali sme dva pravouhlé trojuholníky: $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$. Majú spoločnú preponu $OM$ a rovnaké uhly:
- $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$ podľa predpokladu (keďže $OM$ je os);
- $\uhol M((H)_(1))O=\uhol M((H)_(2))O=90()^\circ $ podľa konštrukcie;
- $\uhol OM((H)_(1))=\uhol OM((H)_(2))=90()^\circ -\uhol MO((H)_(1))$ pretože súčet ostré uhly pravouhlého trojuholníka sa vždy rovnajú 90 stupňom.
Preto sú trojuholníky rovnaké v stranách a dvoch susedných uhloch (pozri znaky rovnosti trojuholníkov). Preto najmä $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, t.j. vzdialenosti od bodu $O$ k stranám uhla sú skutočne rovnaké. Q.E.D. :)
2. Ak sú vzdialenosti rovnaké, potom bod leží na osi
Teraz je situácia opačná. Nech je daný uhol $O$ a bod $M$ rovnako vzdialený od strán tohto uhla:
Dokážme, že lúč $OM$ je osou, t.j. $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$.
Dôkaz. Na začiatok nakreslíme tento lúč $OM$, inak nebude čo dokazovať:
Strávil lúč $OM$ v rohu
Opäť máme dva pravouhlé trojuholníky: $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$. Je zrejmé, že sú si rovní, pretože:
- Prepona $OM$ je bežná;
- Nohy $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ podľa podmienky (pretože bod $M$ je rovnako vzdialený od strán rohu);
- Zvyšné nohy sú tiež rovnaké, pretože podľa Pytagorovej vety $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.
Preto trojuholníky $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$ na troch stranách. Najmä ich uhly sú rovnaké: $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$. A to znamená, že $OM$ je stred.
Na záver dôkazu označíme rovnaké uhly vytvorené červenými oblúkmi:
Osa rozdeľuje uhol $\uhol ((H)_(1))O((H)_(2))$ na dva rovnaké
Ako vidíte, nič zložité. Dokázali sme, že os uhla je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán tohto uhla. :)
Teraz, keď sme sa viac-menej rozhodli pre terminológiu, je čas prejsť na novú úroveň. V ďalšej lekcii budeme analyzovať zložitejšie vlastnosti osi a naučíme sa, ako ich aplikovať na riešenie skutočných problémov.
Sektor trojuholníka - úsečka osi uhla trojuholníka, uzavretá medzi vrcholom trojuholníka a protiľahlou stranou.
Vlastnosti osy
1. Osa trojuholníka pretína uhol.
2. Osa uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu v pomere, ktorý sa rovná pomeru dvoch susedných strán ()
3. Body osi uhla trojuholníka sú rovnako vzdialené od strán tohto uhla.
4. Osy vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - v strede kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.
Niektoré vzorce súvisiace s osou trojuholníka
(dôkaz vzorca - )
, kde
- dĺžka osi vytiahnutá do strany,
- strany trojuholníka proti vrcholom, resp.
- dĺžka segmentov, na ktoré os rozdeľuje stranu,
Pozývam vás sledovať video lekcia, ktorý demonštruje uplatnenie všetkých vyššie uvedených vlastností osi.
Úlohy zahrnuté vo videu:
1. V trojuholníku ABC so stranami AB=2 cm, BC=3 cm, AC=3 cm je nakreslená os BM. Nájdite dĺžky segmentov AM a MC
2. Osa vnútorného uhla vo vrchole A a os vonkajšieho uhla vo vrchole C trojuholníka ABC sa pretínajú v bode M. Nájdite uhol BMC, ak uhol B je 40, uhol C je 80 stupňov
3. Nájdite polomer kružnice vpísanej do trojuholníka, pričom strany štvorcových buniek vezmite do úvahy rovné 1 
Tiež by vás mohol zaujať krátky video návod, kde je aplikovaná jedna z vlastností osy
V tejto lekcii si pripomenieme pojem osi uhla, sformulujeme a dokážeme priame a inverzné vety o vlastnostiach osi a zovšeobecníme ich. Budeme riešiť úlohu, v ktorej okrem faktov o osi aplikujeme ďalšie geometrické fakty.
Téma: Kruh
Lekcia: Vlastnosti uhlovej osi. Úlohy
Trojuholník je ústrednou postavou celej geometrie a vtipne sa hovorí, že je nevyčerpateľný ako atóm. Jeho vlastnosti sú početné, zaujímavé, zábavné. Zvažujeme niektoré z týchto vlastností.
Akýkoľvek trojuholník má primárne tri uhly a tri segmenty (pozri obr. 1).
Ryža. jeden
Uvažujme uhol s vrcholom A a stranami B a C - uhol.
V akomkoľvek uhle, vrátane uhla trojuholníka, môžete nakresliť os - teda priamku, ktorá delí uhol na polovicu (pozri obr. 2).
Ryža. 2
Uvažujme vlastnosti bodu ležiaceho na osnici uhla (pozri obr. 3).
Uvažujme bod M ležiaci na osi uhla.
Pripomeňme si, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice spadnutej z tohto bodu na priamku.
Ryža. 3
Je zrejmé, že ak vezmeme bod, ktorý neleží na os, potom vzdialenosti od tohto bodu k stranám uhla budú rôzne. Vzdialenosť od bodu M k stranám rohu je rovnaká.
Veta
Každý bod osy nerozvinutého uhla je rovnako vzdialený od strán uhla, to znamená, že vzdialenosti od bodu M k AC a k BC strán uhla sú rovnaké.
Je daný uhol, jeho os je AL, bod M leží na osi (pozri obr. 4).
Dokáž to.
Ryža. štyri
dôkaz:
Zvážte trojuholníky a . Sú to pravouhlé trojuholníky a sú si rovné, pretože majú spoločnú preponu AM a uhly a sú rovnaké, keďže AL je os uhla. Pravouhlé trojuholníky sú teda rovnaké v prepone a ostrom uhle, z toho vyplýva, že , čo bolo potrebné dokázať. Bod na osnici uhla je teda rovnako vzdialený od strán tohto uhla.
Opačná veta je pravdivá.
Veta
Ak je bod rovnako vzdialený od strán nerozvinutého uhla, potom leží na jeho stredovej osi.
Je daný nerozvinutý uhol, bod M, taký, že vzdialenosť od neho k stranám uhla je rovnaká.
Dokážte, že bod M leží na osi uhla (pozri obr. 5).
Ryža. 5
dôkaz:
Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice. Nakreslite z bodu M kolmice MK na stranu AB a MP na stranu AC.
Zvážte trojuholníky a . Sú to pravouhlé trojuholníky a sú si rovné, pretože majú spoločnú preponu AM, nohy MK a MR sú rovnaké podľa podmienky. Pravoúhlé trojuholníky sú teda rovnaké v prepone a vetve. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť zodpovedajúcich prvkov, rovnaké uhly ležia na rovnakých nohách, teda, 
, teda bod M leží na osi daného uhla.
Niekedy sa priame a inverzné vety kombinujú takto:
Veta
Bod je rovnako vzdialený od strán uhla práve vtedy, ak leží na oske tohto uhla.
Rovnocenná vzdialenosť stredových bodov od strán uhla je široko používaná pri rôznych problémoch.
Problém #674 z Atanasyanovej učebnice, geometria, ročníky 7-9:
Z bodu M osy nerozvinutého uhla sú na strany tohto uhla nakreslené kolmice MA a MB (pozri obr. 6). Dokáž to.
Dané: uhol, os OM, kolmice MA a MB na strany uhla.
Ryža. 6
Dokáž, že:
dôkaz:
Podľa priamej vety je bod M rovnako vzdialený od strán uhla, keďže podľa podmienky leží na jeho osovej osi. .
Uvažujme pravouhlé trojuholníky a (pozri obr. 7). Majú spoločnú preponu OM, nohy MA a MB sú rovnaké, ako sme už dokázali. Takže dva obdĺžnikové
Ryža. 7
trojuholníky sú rovnaké v nohe a prepone. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť ich zodpovedajúcich prvkov, teda rovnosť uhlov 
a rovnosť ostatných nôh.
Z rovnosti nôh OA a OB vyplýva, že trojuholník je rovnoramenný a AB je jeho základňa. Priamka OM je osou trojuholníka. Podľa vlastnosti rovnoramenného trojuholníka je táto os zároveň výškou, čo znamená, že priamky OM a AB sa pretínajú v pravom uhle, čo sa malo dokázať.
Takže sme zvážili priame a inverzné vety o vlastnosti bodu ležiaceho na osi uhla, zovšeobecnili sme ich a vyriešili problém použitím rôznych geometrických faktov, vrátane tejto vety.
Bibliografia
- Aleksandrov A.D. atď. Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. ročník. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Bymath.net().
- Oldskola1.narod.ru ().
Domáca úloha
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. a kol., Geometria, 7-9, číslo 676-678, čl. 180.
