Zvážte problém definovania operácie inverznej k násobeniu matice.
Nech A je štvorcová matica rádu n. Matica A^(-1) , ktorá spolu s danou maticou A spĺňa nasledujúce rovnosti:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
volal obrátene. Matica A sa nazýva reverzibilné, ak pre to existuje inverzia, inak - nezvratné.
Z definície vyplýva, že ak existuje inverzná matica A^(-1), potom je to štvorec rovnakého rádu ako A . Nie každá štvorcová matica má však inverziu. Ak je determinant matice A rovný nule (\det(A)=0) , potom preň neexistuje inverzia. Aplikovaním vety o determinante súčinu matíc pre maticu identity E=A^(-1)A skutočne dostaneme rozpor
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
keďže determinant matice identity sa rovná 1. Ukazuje sa, že rozdiel od nuly determinantu štvorcovej matice je jedinou podmienkou existencie inverznej matice. Pripomeňme, že štvorcová matica, ktorej determinant sa rovná nule, sa nazýva degenerovaná (singulár), inak - nesingulárna (nejednotná).
Veta 4.1 o existencii a jednoznačnosti inverznej matice. štvorcovú maticu A=\začiatok(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), ktorého determinant je nenulový, má inverznú maticu a navyše iba jednu:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
kde A^(+) je matica transponovaná pre maticu zloženú z algebraických doplnkov prvkov matice A .
Zavolá sa matica A^(+). pripojená matrica vzhľadom na maticu A .
Naozaj, matrica \frac(1)(\det(A))\,A^(+) existuje pod podmienkou \det(A)\ne0 . Musíme ukázať, že je inverzný k A , t.j. spĺňa dve podmienky:
\začiatok(zarovnané)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(zarovnané)
Dokážme prvú rovnosť. Podľa bodu 4 poznámok 2.3 z vlastností determinantu vyplýva, že AA^(+)=\det(A)\cdot E. Preto
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
ktorý sa mal ukázať. Druhá rovnosť je dokázaná podobne. Preto pri podmienke \det(A)\ne0 má matica A inverznú hodnotu
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Jedinečnosť inverznej matice dokazujeme protirečením. Nech okrem matice A^(-1) existuje ešte jedna inverzná matica B\,(B\ne A^(-1)) taká, že AB=E . Vynásobením oboch strán tejto rovnosti vľavo maticou A^(-1) dostaneme \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Preto B=A^(-1) , čo je v rozpore s predpokladom B\ne A^(-1) . Preto je inverzná matica jedinečná.
Poznámky 4.1
1. Z definície vyplýva, že matice A a A^(-1) sú permutabilné.
2. Matica inverzná k nedegenerovanej diagonále je tiež diagonálna:
\Bigl[\názov operátora(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \názov operátora(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\vpravo)\!.
3. Matica inverzná k nedegenerovanej spodnej (hornej) trojuholníkovej matici je dolná (horná) trojuholníková.
4. Elementárne matice majú inverzné hodnoty, ktoré sú tiež elementárne (pozri bod 1 v poznámkach 1.11).
Vlastnosti inverznej matice
Operácia inverzie matice má nasledujúce vlastnosti:
\začiatok(zarovnané)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end (zarovnané)
ak operácie uvedené v rovnosti 1-4 majú zmysel.
Dokážme vlastnosť 2: ak súčin AB nesingulárnych štvorcových matíc rovnakého rádu má inverznú maticu, potom (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
Skutočne, determinant súčinu matíc AB sa nerovná nule, keďže
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), kde \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Preto inverzná matica (AB)^(-1) existuje a je jedinečná. Ukážme definíciou, že matica B^(-1)A^(-1) je inverzná vzhľadom na maticu AB . naozaj.
Definícia 1: Matica sa nazýva degenerovaná, ak je jej determinant nula.
Definícia 2: Matica sa nazýva nesingulárna, ak sa jej determinant nerovná nule.
Matica "A" sa nazýva inverzná matica, ak je splnená podmienka A*A-1 = A-1 *A = E (matica identity).
Štvorcová matica je invertibilná iba vtedy, ak nie je jednotná.
Schéma na výpočet inverznej matice:
1) Vypočítajte determinant matice "A" ak ∆ A = 0, potom inverzná matica neexistuje.
2) Nájdite všetky algebraické doplnky matice "A".
3) Zostavte maticu algebraických sčítaní (Aij)
4) Transponujte maticu algebraických doplnkov (Aij )T
5) Vynásobte transponovanú maticu prevrátenou hodnotou determinantu tejto matice.
6) Spustite kontrolu:
Na prvý pohľad sa môže zdať, že je to ťažké, ale v skutočnosti je všetko veľmi jednoduché. Všetky riešenia sú založené na jednoduchých aritmetických operáciách, hlavnou vecou pri riešení je nezamieňať sa so znamienkami "-" a "+" a nestratiť ich.
A teraz poďme spolu s vami vyriešiť praktickú úlohu výpočtom inverznej matice.
Úloha: nájdite inverznú maticu "A", znázornenú na obrázku nižšie:
1. Prvá vec, ktorú musíte urobiť, je nájsť determinant matice "A":
vysvetlenie:
Náš determinant sme zjednodušili použitím jeho hlavných funkcií. Najprv sme do 2. a 3. riadku pridali prvky prvého radu, vynásobené jedným číslom.
Po druhé, zmenili sme 2. a 3. stĺpec determinantu a podľa jeho vlastností sme zmenili znamienko pred ním.
Po tretie, vyňali sme spoločný faktor (-1) druhého radu, čím sme opäť zmenili znamienko a stalo sa kladným. Zjednodušili sme aj riadok 3 rovnakým spôsobom ako na úplnom začiatku príkladu.
Máme trojuholníkový determinant, v ktorom sa prvky pod uhlopriečkou rovnajú nule a podľa vlastnosti 7 sa rovnajú súčinu prvkov uhlopriečky. V dôsledku toho sme dostali ∆ A = 26, preto existuje inverzná matica.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1 x 1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1 x 2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Ďalším krokom je zostavenie matice z výsledných doplnkov:
5. Túto maticu vynásobíme prevrátenou hodnotou determinantu, teda 1/26:
6. Teraz už len musíme skontrolovať:
Počas overovania sme dostali maticu identity, takže rozhodnutie bolo urobené úplne správne.
2 spôsob výpočtu inverznej matice.
1. Elementárna transformácia matíc
2. Inverzná matica cez elementárny konvertor.
Transformácia elementárnej matice zahŕňa:
1. Násobenie reťazca nenulovým číslom.
2. Pridanie do ľubovoľného riadku iného riadku, vynásobené číslom.
3. Výmena riadkov matice.
4. Aplikovaním reťazca elementárnych transformácií získame ďalšiu maticu.
ALE -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2. A -1*A=E
Pozrime sa na to na praktickom príklade s reálnymi číslami.
Cvičenie: Nájdite inverznú maticu.
Riešenie:
Skontrolujme to:
Malé vysvetlenie k riešeniu:
Najprv sme vymenili riadky 1 a 2 matice, potom sme prvý riadok vynásobili (-1).
Potom bol prvý riadok vynásobený (-2) a pridaný k druhému riadku matice. Potom sme 2. riadok vynásobili 1/4.
Záverečnou fázou transformácie bolo vynásobenie druhého radu 2 a sčítanie z prvého. Výsledkom je, že maticu identity máme vľavo, takže inverzná matica je matica vpravo.
Po kontrole sme sa presvedčili o správnosti riešenia.
Ako vidíte, výpočet inverznej matice je veľmi jednoduchý.
Na záver tejto prednášky by som sa chcel trochu venovať aj vlastnostiam takejto matrice.
Matica $A^(-1)$ sa nazýva inverzná k štvorcovej matici $A$, ak $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, kde $E $ je matica identity, ktorej poradie sa rovná poradiu matice $A$.
Nesingulárna matica je matica, ktorej determinant sa nerovná nule. Degenerovaná matica je teda taká, ktorej determinant sa rovná nule.
Inverzná matica $A^(-1)$ existuje vtedy a len vtedy, ak matica $A$ nie je jednotná. Ak inverzná matica $A^(-1)$ existuje, potom je jedinečná.
Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť inverznú hodnotu matice, a my sa pozrieme na dva z nich. Táto stránka sa bude zaoberať metódou adjoint matice, ktorá sa považuje za štandardnú vo väčšine vyšších kurzov matematiky. Druhý spôsob hľadania inverznej matice (metóda elementárnych transformácií), ktorý zahŕňa použitie Gaussovej metódy alebo Gaussovej-Jordanovej metódy, je uvažovaný v druhej časti.
Metóda adjoint (zjednotenia) matice
Nech je daná matica $A_(n\krát n)$. Na nájdenie inverznej matice $A^(-1)$ sú potrebné tri kroky:
- Nájdite determinant matice $A$ a uistite sa, že $\Delta A\neq 0$, t.j. že matica A je nedegenerovaná.
- Zložte algebraické doplnky $A_(ij)$ každého prvku matice $A$ a zapíšte maticu $A_(n\krát n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ z nájdeného algebraické doplnky.
- Napíšte inverznú maticu berúc do úvahy vzorec $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Matica $(A^(*))^T$ sa často označuje ako pridružená (vzájomná, spriaznená) matica $A$.
Ak sa rozhodnutie urobí ručne, potom je prvá metóda dobrá iba pre matice relatívne malých objednávok: druhá (), tretia (), štvrtá (). Na nájdenie inverznej matice pre maticu vyššieho rádu sa používajú iné metódy. Napríklad Gaussova metóda, o ktorej je reč v druhej časti.
Príklad č. 1
Nájsť maticu inverznú k matici $A=\left(\begin(pole) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \koniec(pole) \vpravo)$.
Pretože všetky prvky štvrtého stĺpca sú rovné nule, potom $\Delta A=0$ (t.j. matica $A$ je degenerovaná). Pretože $\Delta A=0$, neexistuje žiadna inverzná matica k $A$.
Príklad č. 2
Nájdite maticu inverznú k matici $A=\left(\begin(pole) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(pole)\right)$.
Používame metódu adjungovanej matice. Najprv nájdime determinant danej matice $A$:
$$ \Delta A=\left| \začiatok(pole) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(pole)\vpravo|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Keďže $\Delta A \neq 0$, potom inverzná matica existuje, takže pokračujeme v riešení. Hľadanie algebraických doplnkov
\začiatok(zarovnané) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(zarovnané)
Zostavte maticu algebraických doplnkov: $A^(*)=\left(\begin(pole) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(pole)\right)$.
Transponujte výslednú maticu: $(A^(*))^T=\left(\begin(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(pole)\right)$ (výsledná matica sa často nazýva adjungovaná alebo zjednotená matica k matici $A$). Pomocou vzorca $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ máme:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(pole)\vpravo) =\left(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(pole)\right) $$
Nájdeme teda inverznú maticu: $A^(-1)=\left(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(pole) \vpravo) $. Na overenie pravdivosti výsledku stačí skontrolovať pravdivosť jednej z rovníc: $A^(-1)\cdot A=E$ alebo $A\cdot A^(-1)=E$. Skontrolujme rovnosť $A^(-1)\cdot A=E$. Aby sme menej pracovali so zlomkami, nahradíme maticu $A^(-1)$ nie v tvare $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ koniec (pole)\vpravo)$, ale ako $-\frac(1)(103)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ koniec(pole)\vpravo)$:
Odpoveď: $A^(-1)=\vľavo(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \koniec(pole)\vpravo)$.
Príklad č. 3
Nájdite inverznú hodnotu matice $A=\left(\begin(pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(pole) \right)$.
Začnime výpočtom determinantu matice $A$. Takže determinant matice $A$ je:
$$ \Delta A=\left| \začiatok(pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\koniec (pole) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Keďže $\Delta A\neq 0$, potom inverzná matica existuje, takže pokračujeme v riešení. Nájdeme algebraické doplnky každého prvku danej matice:
Zostavíme maticu algebraických sčítaní a transponujeme ju:
$$ A^*=\left(\začiatok(pole) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\koniec (pole) \vpravo); \; (A^*)^T=\left(\začiatok(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\koniec (pole) \vpravo) $$
Pomocou vzorca $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ dostaneme:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\koniec(pole) \vpravo)= \ľavý(\začiatok(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \koniec (pole) \vpravo) $$
Takže $A^(-1)=\left(\begin(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$. Na overenie pravdivosti výsledku stačí skontrolovať pravdivosť jednej z rovníc: $A^(-1)\cdot A=E$ alebo $A\cdot A^(-1)=E$. Skontrolujme rovnosť $A\cdot A^(-1)=E$. Aby sme menej pracovali so zlomkami, nahradíme maticu $A^(-1)$ nie v tvare $\left(\begin(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$, ale ako $\frac(1)(26)\ cdot \left( \začiatok(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(pole) \right)$:
Kontrola prebehla úspešne, inverzná matica $A^(-1)$ bola nájdená správne.
Odpoveď: $A^(-1)=\left(\begin(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$.
Príklad č. 4
Nájdite inverznú maticu k $A=\left(\begin(pole) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(pole) \vpravo)$.
Pre maticu štvrtého rádu je hľadanie inverznej matice pomocou algebraických sčítaní trochu ťažké. Takéto príklady sa však nachádzajú v kontrolných prácach.
Ak chcete nájsť inverznú maticu, musíte najskôr vypočítať determinant matice $A$. Najlepší spôsob, ako to urobiť v tejto situácii, je rozšíriť determinant v riadku (stĺpci). Vyberieme ľubovoľný riadok alebo stĺpec a nájdeme algebraický doplnok každého prvku vybraného riadka alebo stĺpca.
Inverzné operácie sa zvyčajne používajú na zjednodušenie zložitých algebraických výrazov. Napríklad, ak úloha obsahuje operáciu delenia zlomkom, môžete ju nahradiť operáciou násobenia reciprokou, čo je inverzná operácia. Okrem toho sa matice nedajú rozdeliť, takže musíte násobiť inverznou maticou. Výpočet inverznej matice 3x3 je dosť únavný, ale musíte to urobiť ručne. Recipročnú hodnotu môžete nájsť aj pomocou dobrej grafickej kalkulačky.
Kroky
Pomocou priloženej matrice
Transponujte pôvodnú maticu. Transpozícia je nahradenie riadkov stĺpcami vzhľadom na hlavnú uhlopriečku matice, to znamená, že musíte vymeniť prvky (i, j) a (j, i). V tomto prípade sa prvky hlavnej uhlopriečky (začína v ľavom hornom rohu a končí v pravom dolnom rohu) nemenia.
- Ak chcete vymeniť riadky za stĺpce, napíšte prvky prvého riadku do prvého stĺpca, prvky druhého riadku do druhého stĺpca a prvky tretieho riadku do tretieho stĺpca. Poradie zmeny polohy prvkov je znázornené na obrázku, na ktorom sú príslušné prvky zakrúžkované farebnými kruhmi.
Nájdite definíciu každej matice 2x2. Každý prvok akejkoľvek matice, vrátane transponovanej, je spojený so zodpovedajúcou maticou 2x2. Ak chcete nájsť maticu 2x2, ktorá zodpovedá určitému prvku, prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza, to znamená, že musíte prečiarknuť päť prvkov pôvodnej matice 3x3. Štyri prvky, ktoré sú prvkami zodpovedajúcej matice 2x2, zostanú neprečiarknuté.
- Napríklad, ak chcete nájsť maticu 2x2 pre prvok, ktorý sa nachádza v priesečníku druhého riadku a prvého stĺpca, preškrtnite päť prvkov, ktoré sú v druhom riadku a prvom stĺpci. Zvyšné štyri prvky sú prvkami zodpovedajúcej matice 2x2.
- Nájdite determinant každej matice 2x2. Za týmto účelom odpočítajte súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky od súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky (pozri obrázok).
- Podrobné informácie o maticách 2x2 zodpovedajúcich určitým prvkom matice 3x3 možno nájsť na internete.
Vytvorte maticu kofaktorov. Zaznamenajte výsledky získané skôr vo forme novej matice kofaktorov. Za týmto účelom napíšte nájdený determinant každej matice 2x2, kde sa nachádzal zodpovedajúci prvok matice 3x3. Napríklad, ak je pre prvok (1,1) uvažovaná matica 2x2, zapíšte si jeho determinant na pozíciu (1,1). Potom zmeňte znaky zodpovedajúcich prvkov podľa určitého vzoru, ktorý je znázornený na obrázku.
- Schéma zmeny znamienka: znamienko prvého prvku prvého riadku sa nemení; znamienko druhého prvku prvého riadku je obrátené; znamienko tretieho prvku prvého riadku sa nemení a tak ďalej riadok po riadku. Upozorňujeme, že znamienka „+“ a „-“, ktoré sú zobrazené na obrázku (pozri obrázok), neznamenajú, že príslušný prvok bude kladný alebo záporný. V tomto prípade znamienko „+“ znamená, že znamienko prvku sa nemení, a znamienko „-“ znamená, že sa znamienko prvku zmenilo.
- Podrobné informácie o kofaktorových matriciach nájdete na internete.
- Takto nájdete súvisiacu maticu pôvodnej matice. Niekedy sa nazýva komplexná konjugovaná matica. Takáto matica sa označuje ako adj(M).
Vydeľte každý prvok adjungovanej matice determinantom. Determinant matice M bol vypočítaný na samom začiatku, aby sa skontrolovalo, či existuje inverzná matica. Teraz vydeľte každý prvok pripojenej matice týmto determinantom. Zaznamenajte výsledok každej operácie delenia tam, kde sa nachádza príslušný prvok. Takže nájdete maticu, inverznú k originálu.
- Determinant matice znázornenej na obrázku je 1. Pridružená matica je tu teda inverzná matica (pretože delenie ľubovoľného čísla číslom 1 ho nezmení).
- V niektorých zdrojoch je operácia delenia nahradená operáciou násobenia 1/det(M). V tomto prípade sa konečný výsledok nemení.
Zapíšte inverznú maticu. Prvky nachádzajúce sa v pravej polovici veľkej matice zapíšte ako samostatnú maticu, ktorá je inverznou maticou.
Zadajte pôvodnú maticu do pamäte kalkulačky. Ak to chcete urobiť, kliknite na tlačidlo Matrix, ak je k dispozícii. V prípade kalkulačky Texas Instruments možno budete musieť stlačiť 2. tlačidlo a tlačidlo Matrix.
Vyberte ponuku Upraviť. Urobte to pomocou tlačidiel so šípkami alebo príslušného funkčného tlačidla umiestneného v hornej časti klávesnice kalkulačky (umiestnenie tlačidla závisí od modelu kalkulačky).
Zadajte označenie matrice. Väčšina grafických kalkulačiek dokáže pracovať s 3-10 maticami, ktoré možno označiť písmenami A-J. Vo všeobecnosti stačí vybrať [A] na označenie pôvodnej matice. Potom stlačte tlačidlo Enter.
Zadajte veľkosť matice. Tento článok hovorí o matriciach 3x3. Ale grafické kalkulačky môžu pracovať s veľkými maticami. Zadajte počet riadkov, stlačte tlačidlo Enter, potom zadajte počet stĺpcov a znova stlačte tlačidlo Enter.
Zadajte každý prvok matice. Na obrazovke kalkulačky sa zobrazí matica. Ak už bola matica zadaná do kalkulačky, zobrazí sa na obrazovke. Kurzor zvýrazní prvý prvok matice. Zadajte hodnotu prvého prvku a stlačte Enter. Kurzor sa automaticky presunie na ďalší prvok matice.
Matica A -1 sa nazýva inverzná matica vzhľadom na maticu A, ak A * A -1 \u003d E, kde E je matica identity n-tého rádu. Inverzná matica môže existovať len pre štvorcové matice.
Pridelenie služby. Pomocou tejto služby online môžete nájsť algebraické sčítania, transponovanú maticu A T , zjednotenú maticu a inverznú maticu. Riešenie sa vykonáva priamo na stránke (online) a je bezplatné. Výsledky výpočtu sú prezentované v správe vo formáte Word a vo formáte Excel (to znamená, že je možné skontrolovať riešenie). pozri príklad dizajnu.
Poučenie. Ak chcete získať riešenie, musíte zadať rozmer matice. Ďalej v novom dialógovom okne vyplňte maticu A .
Pozri tiež Inverzná matica Jordan-Gaussovou metódou
Algoritmus na nájdenie inverznej matice
- Nájdenie transponovanej matice AT .
- Definícia algebraických sčítaní. Nahraďte každý prvok matice jeho algebraickým doplnkom.
- Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok výslednej matice je vydelený determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.
- Zistite, či je matica štvorcová. Ak nie, potom na to neexistuje inverzná matica.
- Výpočet determinantu matice A . Ak sa nerovná nule, pokračujeme v riešení, inak inverzná matica neexistuje.
- Definícia algebraických sčítaní.
- Vyplnenie zjednocovacej (vzájomnej, adjungovanej) matice C .
- Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok adjungovanej matice C sa vydelí determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.
- Vykonajte kontrolu: vynásobte originál a výsledné matice. Výsledkom by mala byť matica identity.
Príklad č. 1. Maticu zapisujeme v tvare:
Algebraické sčítania.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Potom inverzná matica možno napísať ako:
| A-1 = 1/10 |
|
| A-1 = |
|
Ďalší algoritmus na nájdenie inverznej matice
Uvádzame ďalšiu schému na nájdenie inverznej matice.- Nájdite determinant danej štvorcovej matice A .
- Ku všetkým prvkom matice A nájdeme algebraické doplnky.
- Algebraické doplnky prvkov riadkov zapisujeme do stĺpcov (transpozícia).
- Každý prvok výslednej matice vydelíme determinantom matice A .
Špeciálny prípad: Inverzná vzhľadom na maticu identity E je matica identity E .
