Cvičenie: Špeciálne vlastnosti Eulerovej gama funkcie. Gama žiarenie a jeho vlastnosti

Gama lúče sú elektromagnetické oscilácie s veľmi vysokou frekvenciou, šíriace sa v priestore rýchlosťou svetla. Tieto žiarenia sú vyžarované jadrom vo forme oddelených častí, nazývaných gama kvantá alebo fotóny.

Energia gama kvánt leží v rozmedzí od 0,05 do 5 MeV. Gama žiarenie s energiou menšou ako 1 MeV sa podmienečne nazýva mäkké žiarenie a s energiou vyššou ako 1 MeV - tvrdé žiarenie.

Gama žiarenie nie je samostatný typ žiarenia. Zvyčajne gama žiarenie sprevádza rozpad beta, menej často rozpad alfa. Vysunutím častíc alfa alebo beta sa jadro zbaví prebytočnej energie, ale stále môže zostať v excitovanom stave. Prechod z excitovaného stavu do základného stavu je sprevádzaný emisiou gama lúčov, zloženie jadra sa nemení.

Vo vzduchu sa gama lúče šíria na veľké vzdialenosti, merané v desiatkach a stovkách metrov.

Prenikavá sila gama lúčov je 50-100 krát väčšia ako prenikavá sila beta častíc a tisíckrát väčšia ako prenikavá sila alfa častíc.

Ionizujte médium pri prechode gama lúčov cez neho: len sekundárnymi elektrónmi, ktoré vznikajú v dôsledku interakcie gama kvánt s atómami hmoty. Ionizačná schopnosť gama kvánt je určená ich energiou. Vo všeobecnosti jedno gama kvantum produkuje toľko párov iónov, koľko je beta alebo alfa častíc s rovnakou energiou. V dôsledku nižšej absorpcie gama žiarenia sa však ióny, ktoré tvoria, distribuujú na väčšiu vzdialenosť. Preto je špecifická ionizačná sila gama žiarenia stokrát menšia ako špecifická ionizačná sila beta častíc, tisíckrát menšia ako špecifická ionizačná sila alfa častíc a predstavuje niekoľko párov iónov vo vzduchu na 1 cm plochy. cesta.

Záver. Gama žiarenie má najvyššiu prenikavú silu v porovnaní s prenikavou silou iných typov rádioaktívneho žiarenia. Zároveň má gama žiarenie veľmi nízku špecifickú ionizačnú kapacitu, ktorá predstavuje niekoľko párov iónov vo vzduchu na 1 cm dráhy gama lúčov.

Neutrónové žiarenie a jeho hlavné vlastnosti

Neutrónové žiarenie je korpuskulárne žiarenie, ktoré vzniká pri procese štiepenia alebo fúzie jadier.

Neutróny majú silný škodlivý účinok, pretože bez elektrického náboja ľahko prenikajú do jadier atómov, ktoré tvoria živé tkanivá, a sú nimi zachytené.

Viac ako 99 % z celkového počtu neutrónov pri jadrovom výbuchu sa uvoľní do 10 -14 s. Tieto neutróny sa nazývajú promptné. Zvyšok (asi 1 %) neutrónov je neskôr emitovaný niektorými štiepnymi fragmentmi počas ich beta rozpadu. Tieto neutróny sa nazývajú oneskorené.

Rýchlosť šírenia neutrónov dosahuje 20 000 km/h. Čas potrebný na to, aby všetky neutróny prekonali vzdialenosť od miesta výbuchu k miestu, kde predstavujú hrozbu zničenia, je asi jedna sekunda po okamihu výbuchu.

V závislosti od energie sú neutróny klasifikované takto:

pomalé neutróny 0-0,1 keV;

neutróny so strednou energiou 0,1-20 keV;

rýchle neutróny 20 keV-10 MeV;

vysokoenergetické neutróny nad 10 MeV.

Tepelné neutróny - neutróny, ktoré sú v tepelnej rovnováhe s prostredím (s energiou nepresahujúcou 1 eV), patria do oblasti pomalých neutrónov.

Prechod neutrónov hmotou je sprevádzaný oslabením ich intenzity. Toto oslabenie je spôsobené interakciou neutrónov s jadrami atómov hmoty.

röntgenové žiarenie

Röntgenové lúče vznikajú, keď rýchle elektróny bombardujú pevné ciele. Röntgenová trubica je evakuovaný balónik s niekoľkými elektródami (obr. 1.2). Prúdom vyhrievaná katóda K slúži ako zdroj voľných elektrónov emitovaných v dôsledku termionickej emisie. Cylindrická elektróda Z je určená na zaostrovanie elektrónového lúča.

Cieľom je anóda A, ktorá sa nazýva aj antikatóda. Vyrába sa z ťažkých kovov (W, C. Pt, atď.). Elektróny sú urýchľované vysokým napätím generovaným medzi katódou a antikatódou. Takmer všetka energia elektrónov sa uvoľní na antikatóde vo forme tepla (len 1-3% energie sa premení na žiarenie).

Keď sa elektróny dostanú do látky antikatódy, zažijú silné spomalenie a stanú sa zdrojom elektromagnetických vĺn.

Pri dostatočne vysokej rýchlosti elektrónov dochádza okrem brzdného žiarenia (t. j. žiarenia spôsobeného spomalením elektrónov) aj k excitácii charakteristického žiarenia (spôsobeného vybudením vnútorných elektrónových obalov antikatódových atómov).

Intenzitu röntgenového žiarenia je možné merať tak stupňom fotografického pôsobenia, ako aj ionizáciou, ktorú vytvára v plynných prostrediach, najmä vo vzduchu. * Čím je žiarenie intenzívnejšie, tým viac ionizuje. Podľa mechanizmu interakcie s hmotou sú röntgenové lúče podobné žiareniu y. Vlnová dĺžka röntgenového žiarenia je 10 -10 -10 -6 cm, gama žiarenia -10-9 cm a menej.

V súčasnosti sa ako kontrolný nástroj používa röntgen. Pomocou röntgenových lúčov kontrolujú kvalitu zvárania, jednotnosť príslušných produktov atď. V medicíne sa röntgenové lúče široko používajú na diagnostiku a v niektorých prípadoch aj ako prostriedok na ovplyvňovanie rakovinových buniek.

Prednáška č. 11 (možno absolvovať 2 prednášky)

GAMMA FUNKCIA, funkcia G, je transcendentálna funkcia T(z), ktorá šíri hodnoty faktoriálu z! pre prípad ľubovoľného komplexu z ≠ 0, -1, -2, .... G.-f. zaviedol L. Euler [(L. Euler), 1729, list Ch. Goldbachovi] s použitím nekonečného súčinu

z ktorého L. Euler získal integrálnu reprezentáciu (Eulerov integrál druhého druhu)

pravda pre Re z > 0. Polysémia funkcie x z-1 je eliminovaná vzorcom x z-1 = e (z-1)ln x s reálnym ln x. Označenie Г(z) a mená. G.-f. navrhol A. M. Legendre (A. M. Legendre, 1814).

Na celej z-rovine s vysunutými bodmi z = 0, -1, -2, ... pre G.-f. platí Hankelovo integrálne zobrazenie:

kde s z-1 = e (z-1)ln s a lns je vetva logaritmu, pre ktorú je 0

Základné vzťahy a vlastnosti G.-f.

1) Eulerova funkčná rovnica:

zГ(z) = Г(z + 1),

G(1) = 1, G(n + 1) = n!, ak n > 0 je celé číslo, pri počítaní 0! = Г(1) = 1.

2) Eulerov vzorec doplnku:

Г(z)Г(1 - z) = π/sin πz.

najmä

ak n > 0 je celé číslo, potom

y je skutočné.

3) Vzorec Gaussovho násobenia:

Pre m = 2 ide o Legendreov vzorec zdvojenia.

4) Keď Re z ≥ δ > 0 alebo |Im z| ≥ δ > 0, asymptotické rozšírenie ln Г(z) v Stirlingovej sérii:

kde B 2n sú Bernoulliho čísla. Čo znamená rovnosť?

najmä

Presnejší je Soninov vzorec:

5) V reálnej oblasti G(x) > 0 pre x > 0 a nadobúda znamienko (-1) k + 1 v úsekoch -k - 1

ГГ "" > Г" 2 ≥ 0,

t.j. všetky vetvy |Г(x)| aj ln |Г(х)| sú konvexné funkcie. Vlastnosť je logaritmická. konvexnosť určuje G.-f. medzi všetkými riešeniami funkcionálnej rovnice

G(1 + x) = xG(x)

až po konštantný faktor.

Ryža. 2. Graf funkcie y \u003d G (x).

Pre kladné x G.-f. má jediné minimum pri x = 1,4616321... rovné 0,885603... . Lokálne minimá funkcie |Г(х)| ako x → -∞ tvoria postupnosť smerujúcu k nule.

Ryža. 3. Graf funkcie 1/Г(x).

6) V komplexnej oblasti, pre Re z > 0, G.-f. rýchlo klesá ako |Im z| → -∞

7) Funkcia 1/Г(z) (pozri obr. 3) je celá funkcia 1. rádu maximálneho typu a asymptoticky ako Г → ∞

log М(r) ~ r log r,

Môže byť reprezentovaný nekonečným Weierstrassovým produktom:

absolútne a rovnomerne konvergentné na ľubovoľnej kompaktnej množine komplexnej roviny (tu C-Eulerova konštanta). Platí integrálne Hankelovo znázornenie:

kde obvod C * je znázornený na obr. štyri.

Integrálne reprezentácie pre stupne G.-f. získali G. F. Vorony.

V aplikáciách, tzv polygama funkcie, ktoré sú k-tou deriváciou ln Г(z). Funkcia (ψ-Gaussova funkcia)

je meromorfný, má jednoduché póly v bodoch z = 0,-1,_-2, ... a spĺňa funkčnú rovnicu

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

Zo zobrazenia ψ(z) pre |z|

tento vzorec je užitočný na výpočet Г(z) v blízkosti bodu z = 1.

Pre ďalšie funkcie polygama pozri . Neúplná funkcia gama je definovaná rovnosťou

Funkcie Г(z), ψ(z) sú transcendentálne funkcie, ktoré nespĺňajú žiadnu lineárnu diferenciálnu rovnicu s racionálnymi koeficientmi (Hölderova veta).

Výlučná úloha G.-f. v matematike. analýza je určená tým, že pomocou G.-f. vyjadruje sa veľké množstvo určitých integrálov, nekonečných súčinov a súčtov radov (pozri napr. funkciu Beta). Okrem toho G.-f. nachádza široké uplatnenie v teórii špeciálnych funkcií (hypergeometrické funkcie, pre ktoré je G.-f. limitným prípadom, cylindrické funkcie atď.), v analytických. teória čísel atď.

Lit .: Whittaker E. T., Watson J. N., Kurz modernej analýzy, prekl. z angličtiny, zväzok 2, 2. vydanie, M., 1963; Bateman G., Erdeyi A., Vyššie transcendentálne funkcie Hypergeometrické funkcie. Legendre funkcie, prekl. z angličtiny, M., 1965; Bourbaki N., Funkcie reálnej premennej. Elementárna teória, prel. z francúzštiny, Moskva, 1965; Matematická analýza. Funkcie, limity, série, pokračovacie zlomky, (Referenčná matematická knižnica), M., 1961; Nielsen N. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Sonin N. Ya., Štúdie o cylindrických funkciách a špeciálnych polynómoch, Moskva, 1954; Voronoi G.F., Sobr. soch., zväzok 2, K., 1952, s. 53-62; Janke E., Emde F., Lesh F., Špeciálne funkcie. Vzorce, grafy, tabuľky, trans. z nemčiny, 2. vydanie, M., 1968; Ango A., Matematika pre elektrotechnikov a rádiotechnikov, prekl. z francúzštiny, 2. vydanie, M., 1967.

L. P. Kupcov.

Zdroje:

Matematická encyklopédia. T. 1 (A - D). Ed. collegium: I. M. Vinogradov (hlavný redaktor) [a ďalší] - M., "Soviet Encyclopedia", 1977, 1152 stb. od chorého.

Vysvetlivka k práci v kurze je vyhotovená v rozsahu 36 listov. Obsahuje tabuľku hodnôt gama funkcií pre niektoré hodnoty premenných a programové texty na výpočet hodnôt gama funkcií a na vykresľovanie, ako aj 2 číslice.

Na napísanie semestrálnej práce bolo použitých 7 zdrojov.

Úvod

Prideľte špeciálnu triedu funkcií, reprezentovateľnú vo forme vlastného alebo nevlastného integrálu, ktorá závisí nielen od formálnej premennej, ale aj od parametra.

Takéto funkcie sa nazývajú parametricky závislé integrály. Patria sem funkcie Euler gama a beta.

Funkcie beta sú reprezentované Eulerovým integrálom prvého druhu:

Funkciu gama predstavuje Eulerov integrál druhého druhu:

Funkcia gama je jednou z najjednoduchších a najvýznamnejších špeciálnych funkcií, ktorej znalosť vlastností je potrebná na štúdium mnohých ďalších špeciálnych funkcií, napríklad valcovej, hypergeometrickej a iných.

Vďaka jej zavedeniu sa výrazne rozširujú naše možnosti vo výpočte integrálov. Dokonca aj v prípadoch, keď konečný vzorec neobsahuje iné funkcie ako elementárne, jeho odvodenie často uľahčuje použitie funkcie Г, aspoň pri medzivýpočtoch.

Eulerove integrály sú dobre študované neelementárne funkcie. Problém sa považuje za vyriešený, ak sa zredukuje na výpočet Eulerových integrálov.

1. Beta funkcie som euler

Funkcie beta sú určené Eulerovým integrálom prvého druhu:

=(1.1)

Predstavuje funkciu dvoch premenných parametrov

a : funkcia B. Ak tieto parametre spĺňajú podmienky a , potom integrál (1.1) bude nevlastný integrál v závislosti od parametrov a a singulárne body tohto integrálu budú body a

Integrál (1.1) konverguje pre

.Za predpokladu, že dostaneme: = -

t.j. argument

a zadajte symetricky. Berúc do úvahy identitu

podľa integračného vzorca, ktorý máme

kam sa dostaneme

Pre celé číslo b = n sa postupne aplikuje (1.2)

pre celé číslo

= m,= n, máme

ale B(1,1) = 1, takže:

Vložili sme (1.1)

.Od grafu funkcie

symetrické vzhľadom na priamku, potom

a v dôsledku substitúcie

, dostaneme

nastavenie v (1.1)

, odkiaľ, dostaneme

delením integrálu dvomi v rozsahu od 0 do 1 a od 1 do

a aplikovaním substitúcie na druhý integrál dostaneme

2. Funkcia gama

2.1 Definícia

Výkričník v matematických prácach zvyčajne znamená vziať faktoriál nejakého nezáporného celého čísla:

n! = 1 2 3 ... n.

Faktoriálnu funkciu možno zapísať aj ako rekurzný vzťah:

(n+1)! = (n+1) n!.

Tento vzťah možno považovať nielen pre celočíselné hodnoty n.

Zvážte diferenčnú rovnicu

Napriek jednoduchému zápisu sa táto rovnica nedá vyriešiť v elementárnych funkciách. Jeho riešenie sa nazýva funkcia gama. Funkciu gama možno zapísať ako rad alebo integrál. Na štúdium globálnych vlastností funkcie gama sa zvyčajne používa integrálna reprezentácia.

2.2 integrálna reprezentácia

Prejdime k riešeniu tejto rovnice. Budeme hľadať riešenie v podobe Laplaceovho integrálu:

V tomto prípade môže byť pravá strana rovnice (2.1) napísaná ako:

Tento vzorec je platný, ak existujú limity pre neintegrálny člen. Vopred nepoznáme správanie obrázka [(G)\tilda](p) ako p®±¥. Predpokladajme, že obraz funkcie gama je taký, že člen mimo integrálu je rovný nule. Po nájdení riešenia bude potrebné skontrolovať, či je pravdivý predpoklad o neintegrálnom člene, inak budeme musieť G(z) hľadať iným spôsobom.

abstraktné

Účelom tejto práce je študovať špeciálne vlastnosti Eulerovej gama funkcie. V priebehu práce bola študovaná funkcia Gamma, jej hlavné vlastnosti a zostavený výpočtový algoritmus s rôznym stupňom presnosti. Algoritmus bol napísaný v jazyku vysokej úrovne - C. Výsledok programu sa porovná s tabuľkou. V hodnotách neboli zistené žiadne nezrovnalosti.

Na napísanie semestrálnej práce bolo použitých 7 zdrojov.

Úvod

Prideľte špeciálnu triedu funkcií, reprezentovateľnú vo forme vlastného alebo nevlastného integrálu, ktorá závisí nielen od formálnej premennej, ale aj od parametra.

Takéto funkcie sa nazývajú parametricky závislé integrály. Patria sem funkcie Euler gama a beta.

Funkcie beta sú reprezentované Eulerovým integrálom prvého druhu:

Funkciu gama predstavuje Eulerov integrál druhého druhu:

Eulerove integrály sú dobre študované neelementárne funkcie. Problém sa považuje za vyriešený, ak sa zredukuje na výpočet Eulerových integrálov.

1. Beta funkcie som euler

Funkcie beta sú určené Eulerovým integrálom prvého druhu:

Predstavuje funkciu dvoch premenných parametrov a : funkcie B. Ak tieto parametre spĺňajú podmienky a , potom integrál (1.1) bude nevlastný integrál v závislosti od parametrov a a singulárne body tohto integrálu budú body a

Integrál (1.1) konverguje k . Za predpokladu, že dostaneme:

= - =

t.j. argument a zadajte symetricky. Berúc do úvahy identitu

podľa integračného vzorca, ktorý máme

kam sa dostaneme

Pre celé číslo b = n sa postupne aplikuje (1.2)

pre celé čísla = m,= n, máme

ale B(1,1) = 1, takže:

Vložíme (1.1) .Keďže graf funkcie symetrické vzhľadom na priamku, potom

a v dôsledku substitúcie dostaneme

za predpokladu, že v (1.1) , odkiaľ , dostaneme

delením integrálu dvomi v rozsahu od 0 do 1 a od 1 do a aplikáciou substitučného integrálu na druhý integrál dostaneme

2. Funkcia gama

2.1 Definícia

Výkričník v matematických prácach zvyčajne znamená vziať faktoriál nejakého nezáporného celého čísla:

n! = 1 2 3 ... n.

Faktoriálnu funkciu možno zapísať aj ako rekurzný vzťah:

(n+1)! = (n+1) n!.

Tento vzťah možno považovať nielen pre celočíselné hodnoty n.

Zvážte diferenčnú rovnicu

2.2 integrálna reprezentácia

Prejdime k riešeniu tejto rovnice. Budeme hľadať riešenie v podobe Laplaceovho integrálu:

V tomto prípade môže byť pravá strana rovnice (2.1) napísaná ako:

Ľavá strana rovnosti (2.1) je napísaná takto:

Potom rovnica (2.1) pre obraz funkcie gama má tvar:

Táto rovnica sa dá ľahko vyriešiť:

Je ľahké vidieť, že nájdená funkcia [(Γ)\tilde](p) je v skutočnosti taká, že necelé člen vo vzorci (2.2) sa rovná nule.

Keď poznáme obraz funkcie gama, je ľahké získať výraz pre predobraz:

Toto je nekanonický vzorec, aby sme ho dostali do tvaru, ktorý získal Euler, je potrebné zmeniť integračnú premennú: t = exp(-p), integrál bude mať tvar:

Konštanta C je zvolená tak, že pre celočíselné hodnoty z sa funkcia gama zhoduje s faktorovou funkciou: Г(n+1) = n!, potom:

teda C = 1. Nakoniec získame Eulerov vzorec pre funkciu gama:

Táto funkcia je v matematických textoch veľmi bežná. Pri práci so špeciálnymi funkciami možno ešte častejšie ako výkričník.

Či funkcia definovaná vzorcom (2.3) skutočne spĺňa rovnicu (2.1), môžete skontrolovať integráciou integrálu na pravej strane tohto vzorca po častiach:

2.3 Doména a póly

V integrande integrálu (2.3) v , exponent exp( -tz) pre R( z) > 0 klesá oveľa rýchlejšie, ako rastie algebraická funkcia t(z-1). Singularita v nule je integrovateľná, takže nevlastný integrál v (2.3) konverguje absolútne a rovnomerne pre R (z) > 0. Navyše postupnou diferenciáciou vzhľadom na parameter z je ľahké overiť, že G( z) je holomorfná funkcia pre R ( z) > 0. Avšak nevhodnosť integrálneho zobrazenia (2.3) pre R ( z) 0 neznamená, že tam nie je definovaná samotná funkcia gama - riešenie rovnice (2.1).

Uvažujme správanie Г(z) v okolí nuly. Aby sme to urobili, predstavme si:

kde je holomorfná funkcia v susedstve z = 0. Zo vzorca (2.1) vyplýva:

to znamená, že Г(z) má pól prvého rádu pri z = 0.

Je tiež ľahké získať:

to znamená, že v okolí bodu je funkcia Г( z) má aj pól prvého rádu.

Rovnakým spôsobom môžete získať vzorec:

Z tohto vzorca vyplýva, že body z = 0,-1,-2,... sú jednoduché póly funkcie gama a táto funkcia nemá na reálnej osi žiadne ďalšie póly. Je ľahké vypočítať zvyšok v bode z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Hankelova reprezentácia cez slučkový integrál

Zistite, či má funkcia gama nuly. Ak to chcete urobiť, zvážte funkciu

Póly tejto funkcie sú nuly funkcie Г(z).

Diferenčná rovnica pre I( z) je ľahké získať pomocou výrazu pre Г( z):

Výraz pre riešenie tejto rovnice vo forme integrálu je možné získať rovnakým spôsobom, ako bol získaný integrálny výraz pre funkciu gama – prostredníctvom Laplaceovej transformácie. Nižšie sú uvedené výpočty. Ani jeden z nich nie je rovnaký ako v odseku 1. A  integrál budú body ____________________________________________________________________

Po oddelení premenných dostaneme:

Po integrácii dostaneme:

Prechod k Laplaceovmu predobrazu dáva:

Vo výslednom integráli vykonáme zmenu integračnej premennej:

Potom

Tu je dôležité poznamenať, že integrand pre neceločíselné hodnoty z má odbočný bod t= 0. Na komplexnej rovine premennej t Nakreslíme rez pozdĺž negatívnej reálnej poloosi. Integrál pozdĺž tejto poloosi reprezentujeme ako súčet integrálu pozdĺž hornej strany tohto úseku od do 0 a integrálu od 0 do pozdĺž spodnej strany úseku. Aby integrál neprechádzal bodom vetvenia, usporiadame okolo neho slučku.

Obr. 1: Slučka v integrálnom zobrazení Hankel.

V dôsledku toho dostaneme:

Ak chcete zistiť hodnotu konštanty, nezabudnite, že I(1) = 1, na druhej strane:

integrálna reprezentácia

sa nazýva Hankelova reprezentácia vzhľadom na slučku.

Je ľahké vidieť, že funkcia 1/Γ( z) nemá žiadne póly v komplexnej rovine, preto funkcia gama nemá žiadne nuly.

Pomocou tejto integrálnej reprezentácie je možné získať vzorec pre súčin gama funkcií. Aby sme to dosiahli, v integráli vykonáme zmenu premennej , potom:

2.5 Eulerov limitný formulár

Funkciu gama možno znázorniť ako nekonečný súčin. To je možné vidieť, ak v integráli (2.3) reprezentujeme

Potom integrálna reprezentácia funkcie gama je:

V tomto vzorci môžeme meniť limity - limitu integrácie v nevlastnom integráli a limitu pre vnútri integrálu. Tu je výsledok:

Zoberme si tento integrál po častiach:

Ak tento postup vykonáme n-krát, dostaneme:

Prejdením na limitu dostaneme Eulerovu limitnú formu pre gama funkciu:

2.6 Vzorec pre produkt

Nižšie potrebujeme vzorec, v ktorom je súčin dvoch gama funkcií reprezentovaný jednou gama funkciou. Tento vzorec odvodíme pomocou integrálnej reprezentácie funkcií gama.

Iterovaný integrál reprezentujeme ako dvojitý nevlastný integrál. Dá sa to urobiť pomocou Fubiniho vety. V dôsledku toho dostaneme:

Nevlastný integrál konverguje rovnomerne. Môžeme ho považovať napríklad za integrál nad trojuholníkom ohraničeným súradnicovými osami a priamkou x + y = R v R. V dvojitom integráli vykonáme zmenu premenných:

Jakobián tejto náhrady

Integračné limity: u zmení sa z 0 na ∞, v pri zmene z 0 na 1. Výsledkom je:

Tento integrál znova prepíšeme ako opakovaný, výsledkom čoho je:

kde R p> 0, R v > 0.

2. Derivácia funkcie gama

Integrálne

konverguje pre každý , pretože a integrál v konverguje.

V oblasti, kde je ľubovoľné kladné číslo, tento integrál konverguje rovnomerne, od r a môžeme použiť Weirstrassov test. Celý integrál je tiež konvergentný pre všetky hodnoty keďže druhý člen na pravej strane je integrál, ktorý určite konverguje pre ľubovoľnú oblasť. Je ľahké vidieť, že integrál konverguje v akejkoľvek oblasti kde svojvoľné. Platí pre všetky uvedené hodnoty a pre všetky a odvtedy konverguje, potom sú splnené podmienky Weierstrassovho kritéria. Teda v oblasti integrálne konverguje rovnomerne.

Z toho vyplýva spojitosť funkcie gama at. Dokážme diferencovateľnosť tejto funkcie v bode . Všimnite si, že funkcia je spojitý pre a a ukážeme, že integrál:

konverguje rovnomerne v každom segmente, . Zvoľme číslo tak, aby ; potom pre . Preto existuje číslo také, že a pre. Ale potom nerovnosť platí pre

a keďže integrál konverguje, integrál konverguje rovnomerne vzhľadom na . Podobne, lebo existuje číslo také, že pre všetku nerovnosť . S takým a všetkým, čo dostaneme , z čoho na základe porovnávacieho kritéria vyplýva, že integrál konverguje rovnomerne vzhľadom na . Nakoniec integrál

v ktorých je integrand spojitý v doméne

Je zrejmé, že konverguje rovnomerne vzhľadom na . Teda pre integrál

konverguje rovnomerne, a preto je funkcia gama nekonečne diferencovateľná pre ľubovoľnú a rovnosť

Čo sa týka integrálu, môžeme zopakovať rovnakú úvahu a dospieť k záveru, že

Indukciou sa dokáže, že funkcia Γ je nekonečne diferencovateľná a jej i-tá derivácia spĺňa rovnosť

Poďme teraz študovať správanie - funkcie a zostaviť náčrt jeho grafu. (Pozri prílohu 1)

Z výrazu pre druhú deriváciu -funkcie je zrejmé, že pre všetky . Preto sa zvyšuje. Pretože potom podľa Roleovej vety o segmente derivácia pre a pre , t.j. monotónne klesá na a monotónne rastie na . Ďalej od r , potom o . Pre, zo vzorca vyplýva, že pre .

Rovnosť , platné pre , možno použiť pri rozšírení -funkcie na zápornú hodnotu.

Dajme tomu . Pravá strana tejto rovnosti je definovaná pre od (-1,0) . Dostaneme, že funkcia pokračujúca týmto spôsobom nadobúda (-1,0) záporné hodnoty a pri , ako aj pri funkcii .

Po definovaní týmto spôsobom na , môžeme pokračovať do intervalu (-2,-1) pomocou rovnakého vzorca. V tomto intervale bude pokračovaním funkcia, ktorá nadobúda kladné hodnoty a také, že pre a . Pokračujúc v tomto procese definujeme funkciu, ktorá má diskontinuity v celočíselných bodoch (Pozri prílohu 1.)

Všimnite si opäť, že integrál

definuje funkciu Γ len pre kladné hodnoty , pokračovanie na záporné hodnoty vykonávame formálne pomocou redukčného vzorca .

4. Výpočet niektorých integrálov.

Stirlingov vzorec

Aplikujme funkciu gama na výpočet integrálu:

kde m > -1,n > -1. Za predpokladu, že , máme

a na základe (2.8) máme

V integráli

Kde k > -1,n > 0, stačí uviesť

Integrálne

Kde s > 0, rozviňte v sérii

kde je funkcia Riemann zetta

Zvážte neúplné gama funkcie (primárne funkcie)

viazaný nerovnosťou

Rozširovanie, v rade máme

Prejdime k odvodeniu Stirlingovho vzorca, ktorý dáva najmä približnú hodnotu n! pre veľké hodnoty n zvážte najskôr pomocnú funkciu

(4.2)

Spojitá na intervale (-1,) sa monotónne zväčšuje z do pri zmene z do a mení sa na 0 pri u = 0. Od r.

A tak je derivácia spojitá a kladná v celom intervale, spĺňa podmienku

Z uvedeného vyplýva, že na intervale je definovaná inverzná funkcia, ktorá je v tomto intervale spojitá a monotónne rastúca,

Otočenie na 0 pri v=0 a splnenie podmienky

Stirlingov vzorec odvodíme z rovnosti

za predpokladu, že máme

za predpokladu, že na konci dostaneme

v limite pri t.j. na (pozri 4.3)

odkiaľ pochádza Stirlingov vzorec

ktoré možno prijať vo forme

kde

pre dostatočne veľký predpoklad

výpočet sa vykonáva pomocou logaritmov

ak je kladné celé číslo, potom (4.5) sa tiež zmení na približný vzorec na výpočet faktoriálov pre veľké hodnoty n

dávame bez odvodzovania presnejší vzorec

kde v zátvorke je nekonvergujúci rad.

5. Príklady výpočtu integrálov

Na výpočet sú potrebné vzorce:

G()

Vypočítajte integrály

PRAKTICKÁ ČASŤ

Na výpočet funkcie gama sa používa aproximácia jej logaritmu. Na aproximáciu funkcie gama na intervale x>0 sa používa nasledujúci vzorec (pre komplex z):

Г(z+1)=(z+g+0,5) z+0,5 exp(-(z+g+0,5))

Tento vzorec je podobný Stirlingovej aproximácii, ale má korekčný rad. Pre hodnoty g=5 a n=6 sa skontroluje, že chyba ε nepresahuje 2*10 -10 . Okrem toho chyba nepresahuje túto hodnotu v celej pravej polovici komplexnej roviny: z > 0.

Na získanie (reálnej) funkcie gama na intervale x>0 sa používa rekurzívny vzorec Г(z+1)=zГ(z) a vyššie uvedená aproximácia Г(z+1). Okrem toho je možné vidieť, že je vhodnejšie aproximovať logaritmus funkcie gama ako funkciu gama samotnú. Po prvé, bude to vyžadovať volanie iba jednej matematickej funkcie - logaritmu, a nie dvoch - exponentu a stupňa (ten stále používa volanie logaritmu), a po druhé, funkcia gama rýchlo rastie pre veľké x a jeho aproximácia pomocou logaritmu odstraňuje problémy s pretečením.

Na aproximáciu Ln(Г(х) - logaritmus funkcie gama - získame vzorec:

log(G(x))=(x+0,5)log(x+5,5)-(x+5,5)+

log(C0 (C1+C2 /(x+1)+C3 /(x+2)+...+C7 /(x+8))/x)

Hodnoty koeficientov Ck- tabuľkové údaje (pozri v programe).

Samotná funkcia gama sa získa z jej logaritmu zobratím exponentu.

Záver

Funkcie gama sú vhodným nástrojom na výpočet niektorých integrálov, najmä mnohých tých integrálov, ktoré nie sú reprezentovateľné v elementárnych funkciách.

Z tohto dôvodu sú široko používané v matematike a jej aplikáciách, v mechanike, termodynamike a iných odvetviach modernej vedy.

Bibliografia

1. Špeciálne funkcie a ich aplikácie:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

2. Matematická analýza časť 2:

Ilyin O.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl.Kh., M.,”Moskovská univerzita”,1987

3. Zbierka úloh z matematickej analýzy:

Demidovich B.P., M., Nauka, 1966

4. Integrály a rady špeciálnych funkcií:

Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., M., Nauka, 1983

5. Špeciálne vlastnosti:

Kuznecov, M., „Stredná škola“, 1965

6. Asymptotika a špeciálne funkcie

F. Olver, M., Nauka, 1990.

7. Monster zoo alebo úvod do špeciálnych funkcií

O.M. Kiselev,

APPS

Príloha 1 - Graf gama funkcie reálnej premennej

Príloha 2 - Graf funkcie gama

Tabuľka - tabuľka hodnôt gama funkcií pre niektoré hodnoty argumentu.

Príloha 3 je zoznam programu, ktorý kreslí tabuľku hodnôt gama funkcií pre niektoré hodnoty argumentov.

Príloha 4 - výpis programu, ktorý kreslí graf funkcie gama

Abstrakt................................................. ............................................3

Úvod ................................................. . ............................................ štyri

Teoretická časť………………………………………………………..5

Funkcia Euler Beta……………………………………………….5

Funkcia gama ................................................ ...................................... osem

2.1. Definícia ………………………………………………………… 8

2.2. Integrálne zastúpenie………………………………8

2.3. Oblasť definície a póly………………………………..10

2.4. Hankelova reprezentácia v zmysle integrálu slučky………..10

2.5. Eulerov limitný formulár………………………………...12

2.6. Vzorec pre produkt………………………………..13

Derivácia funkcie gama .................................................. ............. ...........pätnásť

Výpočet integrálov. Stirlingov vzorec ................................18

Príklady výpočtu integrálov ................................................................ ............................. 23

Praktická časť………………………………………………………….24

Záver ................................................. ......................................25

Referencie……………………………………………………….. 26

Prihlášky………………………………………………………………………..27

PRÍLOHA 1

Graf gama funkcie reálnej premennej

DODATOK 2

Graf funkcie gama

TABLE

X	g(x)

DODATOK 3

#include

static double cof=(

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0,1208650973866179e-2,

0,5395239384953e-5,

double GammLn(double x) (

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

lg=(x+0,5)*log(x+5,5)-(x+5,5)+lg1;

dvojitá gama (dvojité x) (

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

pre (i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0,5;

g[i]=Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programu najmite lybyiy klavishy");

DODATOK 4

#include

double gam (double x, double eps)

Int I, j, n, nb;

Double dze=(1,6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Double a=x, y, fc=1,0, s, s1, b;

Printf("Zadali ste nesprávne údaje, skúste to znova\n"); návratnosť -1,0;

If(a==0) return fc;

Pre (i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2,0);

Nb=exp((i,0/6,0)*(7,0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

For(n=1;n<=nb;n++)

For(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1,0);

S=s+si-log(1,0+a/n);

Dvojité dx,dy, xod=0,xdo=4, yto=5, h, maxy, min;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YNO, X, Y, Y0, pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, „ “);

YN0=getmaxy()-20;

Riadok(30, getmaxy()-10,30,30);

Line(20, getmaxy()-30, getmaxx()-20, getmaxy()-30);

kým (Y>30);

), zatiaľ čo (X<700);

), zatiaľ čo (X<=620);

)zatiaľ čo (y>=30);

X = 30 + 150,0 x 0,1845;

For9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X = 30+ (600/0*i)/n;

Ak (Y<30) continue;

X=30+150,0*308523;

riadok(30,30,30,10);

Riadok(620,450,640,450);

Riadok(30,10,25,15);

Riadok(640,450,635,445);

Riadok(640,450,635,455);

Riadok(170,445,170,455);

Riadok(320,445,320,455);

Riadok(470,445,470,455);

Riadok(620,445,620,455);

Riadok(25,366,35,366);

Riadok(25,282,35,282);

Riadok(25,114,35,114);

Riadok(25,30,35,30);

Outtexty(20,465,"0");

Outtexty(165,465; "1";

Outtexty(315,465; "2";

Outtexty(465,465; "3";

Outtexty(615,465; "4";

Outtexty(630,465, "x";

Outtexty(15 364; "1";

Outtexty(15 280; "2";

Outtexty(15 196; "3";

Outtexty(15,112; "4";

Outtexty(15,30; "5";

Experimentálne sa zistilo, že g-žiarenie (pozri § 255) nie je samostatnou formou rádioaktivity, ale len sprevádza a- a b-prepady a vzniká aj pri jadrových reakciách, pri spomaľovaní nabitých častíc, ich rozpade a pod. g-spektrum je lemované. G-Spektrum je energetické rozloženie počtu g-kván (rovnaký výklad b-spektra je uvedený v §258). Diskrétnosť g-spektra má zásadný význam, pretože je dôkazom diskrétnosti energetických stavov atómových jadier.

Teraz je pevne stanovené, že g-žiarenie je vyžarované dcérskym (a nie materským) jadrom. Dcérske jadro v okamihu svojho vzniku, excitované, prechádza do základného stavu s emisiou g-žiarenia v čase približne 10 -13 - 10 -14 s, čo je oveľa kratšie ako životnosť excitovaného atómu. (približne 10 -8 s). Po návrate do základného stavu môže excitované jadro prechádzať cez množstvo medzistavov, takže g-žiarenie toho istého rádioaktívneho izotopu môže obsahovať niekoľko skupín g-kván, ktoré sa navzájom líšia svojou energiou.

S g-žiarením ALE a Z jadra sa nemenia, takže nie je popísané žiadnymi pravidlami premiestňovania. G-žiarenie väčšiny jadier má tak krátku vlnovú dĺžku, že jeho vlnové vlastnosti sa prejavujú veľmi slabo. Tu vystupujú do popredia korpuskulárne vlastnosti, preto sa g-žiarenie považuje za prúd častíc – g-kvantá. Pri rádioaktívnych rozpadoch rôznych jadier majú g-kvantá energie od 10 keV do 5 MeV.

Jadro, ktoré je v excitovanom stave, môže prejsť do základného stavu nielen vyžiarením g-kvanta, ale aj priamym prenosom excitačnej energie (bez predchádzajúcej emisie g-kvanta) na jeden z elektrónov g-kvanta. rovnaký atóm. V tomto prípade je emitovaný takzvaný konverzný elektrón. Samotný jav sa nazýva vnútorná konverzia. Vnútorná konverzia je proces, ktorý konkuruje g-žiareniu.

Konverzné elektróny zodpovedajú diskrétnym hodnotám energie v závislosti od pracovnej funkcie elektrónu z obalu, z ktorého elektrón uniká, a od energie E , daný jadrom pri prechode z excitovaného stavu do základného. Ak sa všetka energia E uvoľní vo forme y-kvanta, potom frekvenciu žiarenia v určíme zo známeho vzťahu E=hv . Ak emitujú L elektrónov vnútornej konverzie, potom sa ich energie rovnajú E-A K, E-A L, ..., kde A k, A L, ... je pracovná funkcia elektrónu z K - a L-škrupiny. Monoenergetický charakter konverzných elektrónov umožňuje odlíšiť ich od b-elektrónov, ktorých spektrum je spojité (pozri § 258). Prázdne miesto na vnútornom obale atómu, ktoré vzniklo v dôsledku emisie elektrónu, bude vyplnené elektrónmi z prekrývajúcich sa obalov. Preto je vnútorná konverzia vždy sprevádzaná charakteristickou emisiou röntgenového žiarenia.

G-kvantá, ktoré majú nulovú pokojovú hmotnosť, sa nemôžu v prostredí spomaliť, preto keď g-žiarenie prechádza hmotou, sú ňou buď absorbované alebo rozptýlené. g-kvantá nenesú elektrický náboj, a teda nepodliehajú vplyvu Coulombových síl. Pri prechode lúča y-kván látkou sa ich energia nemení, ale v dôsledku zrážok dochádza k zoslabeniu intenzity, ktorej zmenu popisuje exponenciálny zákon x, m - absorpčný koeficient). Keďže g-žiarenie je najprenikavejšie žiarenie, m pre mnohé látky je veľmi malá hodnota; m závisí od vlastností hmoty a od energie g-kván.

g-kvantá, ktoré prechádzajú látkou, môžu interagovať tak s elektrónovým obalom atómov látky, ako aj s ich jadrami. V kvantovej elektrodynamike je dokázané, že hlavnými procesmi sprevádzajúcimi prechod g-žiarenia hmotou sú fotoelektrický jav, Comptonov jav (Comptonov rozptyl) a tvorba elektrón-pozitrónových párov.

Fotoelektrický efekt alebo fotoelektrická absorpcia g-lúčov je proces, pri ktorom atóm absorbuje g-kvantum a emituje elektrón. Keďže elektrón je vyrazený z jedného z vnútorných obalov atómu, uvoľnený priestor je vyplnený elektrónmi z nad ním ležiacich obalov a fotoelektrický efekt je sprevádzaný charakteristickým röntgenovým žiarením. Fotoelektrický efekt je prevládajúcim absorpčným mechanizmom v oblasti nízkych energií g-kvantov (napr< 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

S narastajúcou energiou g-kván (E g » 0,5 MeV) je pravdepodobnosť fotoelektrického javu veľmi malá a hlavným mechanizmom interakcie g-kván s hmotou je Comptonov rozptyl (pozri § 206).

Keď Eg >1,02 MeV = 2m e c 2 (m e je pokojová hmotnosť elektrónu), je možný proces tvorby elektrón-pozitrónových párov v elektrických poliach jadier. Pravdepodobnosť tohto procesu je úmerná Z 2 a zvyšuje sa s E g. Preto pri Eg » 10 MeV je hlavným procesom interakcie g-žiarenia v akejkoľvek látke tvorba elektrických-pozitrónových párov.

Ak energia g-kvanta prevyšuje väzbovú energiu nukleónov v jadre (7-8 MeV), potom v dôsledku absorpcie g-kvanta možno pozorovať jadrový fotoelektrický efekt - emisiu jedného z nukleóny z jadra, najčastejšie neutrón.

Veľká penetračná sila g-žiarenia sa využíva pri gama defektoskopii – metóde detekcie defektov založenej na rozdielnej absorpcii g-žiarenia, keď sa šíri na rovnakú vzdialenosť v rôznych médiách. Miesto a veľkosť defektov (dutín, prasklín atď.) sú určené rozdielom v intenzitách žiarenia, ktoré prešlo rôznymi časťami priesvitného produktu.

Vplyv g-žiarenia (ako aj iných typov ionizujúceho žiarenia) na látku je charakterizovaný dávkou ionizujúceho žiarenia. Rozdiel:

Absorbovaná dávka žiarenia je fyzikálna veličina rovnajúca sa pomeru energie žiarenia k hmotnosti ožarovanej látky.

Jednotkou absorbovanej dávky žiarenia je šedá (Gy) *: 1 Gy = 1 J / kg - dávka žiarenia, pri ktorej sa energia akéhokoľvek ionizujúceho žiarenia 1 J prenesie na ožiarenú látku s hmotnosťou 1 kg.

Expozičná dávka žiarenia je fyzikálna veličina rovnajúca sa pomeru súčtu elektrických nábojov všetkých iónov rovnakého znamienka, vytvorených elektrónmi uvoľnenými v ožiarenom vzduchu (za podmienky plného využitia ionizačnej schopnosti elektrónov), k. hmotnosť tohto vzduchu.

Jednotkou expozičnej dávky žiarenia je prívesok na kilogram (C/kg); tmavá jednotka je röntgen (R): 1 R = 2,58 x 10-4 C/kg.

Biologická dávka – hodnota, ktorá určuje vplyv žiarenia na organizmus.

Biologická dávková jednotka je biologický ekvivalent röntgenu (rem): 1 rem je dávka akéhokoľvek typu ionizujúceho žiarenia, ktorá má rovnaký biologický účinok ako dávka röntgenového žiarenia alebo g žiarenia v 1 R (1 rem = 10 -2 J / kg).

Portál pre študenta. Samotréning

Úvod

Úvod

2. Derivácia funkcie gama

Aplikujme funkciu gama na výpočet integrálu:

Záver

Bibliografia

1. Špeciálne funkcie a ich aplikácie:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

SÚVISIACE ČLÁNKY