Derivácia funkcie je jednou z najťažších tém v školských osnovách. Nie každý absolvent odpovie na otázku, čo je to derivát.

Tento článok jednoducho a jasne vysvetľuje, čo je derivát a prečo je potrebný.. Teraz sa nebudeme snažiť o matematickú prísnosť prezentácie. Najdôležitejšie je pochopiť význam.

Pripomeňme si definíciu:

Derivácia je rýchlosť zmeny funkcie.

Na obrázku sú znázornené grafy troch funkcií. Ktorá podľa vás rastie najrýchlejšie?

Odpoveď je zrejmá - tretia. Má najvyššiu mieru zmeny, teda najväčší derivát.

Tu je ďalší príklad.

Kostya, Grisha a Matvey dostali prácu v rovnakom čase. Pozrime sa, ako sa zmenil ich príjem v priebehu roka:

Všetko na grafe vidíte hneď, však? Kosťov príjem sa za šesť mesiacov viac ako zdvojnásobil. A Grishov príjem sa tiež zvýšil, ale len trochu. A Matejov príjem sa znížil na nulu. Východiskové podmienky sú rovnaké, ale rýchlosť zmeny funkcie, t.j. derivát, - rôzne. Pokiaľ ide o Matveyho, derivát jeho príjmu je vo všeobecnosti negatívny.

Intuitívne vieme ľahko odhadnúť rýchlosť zmeny funkcie. Ale ako to urobíme?

V skutočnosti sa pozeráme na to, ako strmo stúpa graf funkcie nahor (alebo nadol). Inými slovami, ako rýchlo sa y mení s x. Je zrejmé, že tá istá funkcia v rôznych bodoch môže mať rôznu hodnotu derivácie – to znamená, že sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie.

Derivácia funkcie sa označuje ako .

Ukážme si, ako nájsť pomocou grafu.

Nakreslí sa graf nejakej funkcie. Označte na ňom bod úsečkou. V tomto bode nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie. Chceme vyhodnotiť, ako strmo stúpa graf funkcie. Šikovná hodnota za to je dotyčnica sklonu dotyčnice.

Derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.

Upozorňujeme - ako uhol sklonu dotyčnice berieme uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi.

Niekedy sa študenti pýtajú, aká je dotyčnica ku grafu funkcie. Toto je priamka, ktorá má jediný spoločný bod s grafom v tejto časti, navyše, ako je znázornené na našom obrázku. Vyzerá to ako dotyčnica ku kružnici.

Poďme nájsť. Pamätáme si, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná pomeru protiľahlej nohy k susednej. Z trojuholníka:

Našli sme deriváciu pomocou grafu bez toho, aby sme poznali vzorec funkcie. Takéto úlohy sa často nachádzajú na skúške z matematiky pod číslom.

Je tu ešte jedna dôležitá súvislosť. Pripomeňme, že priamka je daná rovnicou

Množstvo v tejto rovnici je tzv sklon priamky. Rovná sa dotyčnici uhla sklonu priamky k osi.

.

Chápeme to

Zapamätajme si tento vzorec. Vyjadruje geometrický význam derivácie.

Derivácia funkcie v bode sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.

Inými slovami, derivácia sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice.

Už sme povedali, že tá istá funkcia môže mať v rôznych bodoch rôzne derivácie. Pozrime sa, ako derivácia súvisí so správaním funkcie.

Nakreslíme graf nejakej funkcie. Nechajte túto funkciu v niektorých oblastiach rásť a v iných znižovať a rôznymi rýchlosťami. A nech má táto funkcia maximálny a minimálny počet bodov.

V určitom bode sa funkcia zvyšuje. Dotyčnica ku grafu nakreslená v bode zviera ostrý uhol s kladným smerom osi. Takže derivácia je v bode kladná.

V tomto bode naša funkcia klesá. Dotyčnica v tomto bode zviera tupý uhol s kladným smerom osi. Pretože tangens tupého uhla je záporný, derivácia v bode je záporná.

Čo sa stane:

Ak je funkcia rastúca, jej derivácia je kladná.

Ak klesá, jeho derivácia je záporná.

A čo sa stane s maximálnym a minimálnym počtom bodov? Vidíme, že v (maximálnom bode) a (minimálnom bode) je dotyčnica vodorovná. Preto je dotyčnica sklonu dotyčnice v týchto bodoch nulová a derivácia je tiež nulová.

Bod je maximálny bod. V tomto bode je zvýšenie funkcie nahradené poklesom. V dôsledku toho sa znamienko derivácie mení v bode z „plus“ na „mínus“.

V bode - minimálnom bode - sa derivácia tiež rovná nule, ale jej znamienko sa mení z "mínus" na "plus".

Záver: pomocou derivácie môžete zistiť všetko, čo nás o správaní funkcie zaujíma.

Ak je derivácia kladná, funkcia je rastúca.

Ak je derivácia záporná, funkcia je klesajúca.

V maximálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z plus na mínus.

V minimálnom bode je derivácia tiež nulová a mení znamienko z mínus na plus.

Tieto zistenia zapíšeme vo forme tabuľky:

	zvyšuje	maximálny bod	klesajúci	minimálny bod	zvyšuje
+	0	-	0	+

Urobme dve malé upresnenia. Jeden z nich budete potrebovať pri riešení úloh na skúšku. Ďalší - v prvom ročníku, s vážnejším štúdiom funkcií a derivátov.

Je možný prípad, keď sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nule, ale funkcia v tomto bode nemá ani maximum, ani minimum. Tento tzv :

V bode je dotyčnica ku grafu vodorovná a derivácia je nula. Avšak pred bodom sa funkcia zvýšila - a po bode sa naďalej zvyšuje. Znamienko derivátu sa nemení – zostalo rovnako pozitívne ako bolo.

Stáva sa tiež, že v bode maxima alebo minima derivácia neexistuje. Na grafe to zodpovedá prudkému zlomu, keď nie je možné nakresliť dotyčnicu v danom bode.

Ako však nájsť deriváciu, ak funkcia nie je daná grafom, ale vzorcom? V tomto prípade platí

Výpočet derivácie je jednou z najdôležitejších operácií v diferenciálnom počte. Nižšie je uvedená tabuľka na nájdenie derivátov jednoduchých funkcií. Pre komplexnejšie pravidlá diferenciácie si pozrite ďalšie lekcie:

• Tabuľka derivácií exponenciálnych a logaritmických funkcií

Uvedené vzorce použite ako referenčné hodnoty. Pomôžu pri riešení diferenciálnych rovníc a úloh. Na obrázku v tabuľke derivátov jednoduchých funkcií je "cheat sheet" hlavných prípadov nájdenia derivátu vo forme zrozumiteľnej pre použitie, vedľa sú vysvetlivky ku každému prípadu.

Deriváty jednoduchých funkcií

1. Derivácia čísla je nula
с' = 0
Príklad:
5' = 0

Vysvetlenie:
Derivácia ukazuje rýchlosť, akou sa mení hodnota funkcie pri zmene argumentu. Keďže sa číslo za žiadnych podmienok nijako nemení, rýchlosť jeho zmeny je vždy nulová.

2. Derivát premennej rovný jednej
x' = 1

Vysvetlenie:
S každým zvýšením argumentu (x) o jeden sa hodnota funkcie (výsledok výpočtu) zvýši o rovnakú hodnotu. Rýchlosť zmeny hodnoty funkcie y = x sa teda presne rovná rýchlosti zmeny hodnoty argumentu.

3. Derivácia premennej a faktora sa rovná tomuto faktoru
сx´ = с
Príklad:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Vysvetlenie:
V tomto prípade zakaždým, keď argument funkcie ( X) jeho hodnota (y) rastie v s raz. Rýchlosť zmeny hodnoty funkcie vzhľadom na rýchlosť zmeny argumentu sa teda presne rovná hodnote s.

Odkiaľ z toho vyplýva
(cx + b)" = c
to znamená, že diferenciál lineárnej funkcie y=kx+b sa rovná sklonu priamky (k).

4. Modulová derivácia premennej sa rovná podielu tejto premennej k jej modulu
|x|"= x / |x| za predpokladu, že x ≠ 0
Vysvetlenie:
Keďže derivácia premennej (pozri vzorec 2) je rovná jednej, derivácia modulu sa líši len tým, že hodnota rýchlosti zmeny funkcie sa pri prekročení počiatočného bodu zmení na opačnú (skúste nakresliť graf funkcie y = |x| a presvedčte sa sami. Toto je presne hodnota a vráti výraz x / |x| Keď x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedna. To znamená, že pri záporných hodnotách premennej x sa pri každom zvýšení zmeny v argumente hodnota funkcie znižuje presne o rovnakú hodnotu a pri kladných hodnotách naopak rastie, ale presne o rovnakú hodnotu.

5. Mocninná derivácia premennej sa rovná súčinu počtu tejto mocniny a premennej v mocnine, zníženej o jednu
(x c)"= cx c-1 za predpokladu, že x c ​​a cx c-1 sú definované a c ≠ 0
Príklad:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Na zapamätanie vzorca:
Vezmite exponent premennej "dole" ako násobiteľ a potom znížte samotný exponent o jeden. Napríklad pre x 2 - dva boli pred x a potom nám znížený výkon (2-1 = 1) dal 2x. To isté sa stalo pre x 3 - trojku znížime, zmenšíme o jednotku a namiesto kocky máme štvorec, teda 3x 2 . Trochu "nevedecké", ale veľmi ľahko zapamätateľné.

6.Derivát frakcie 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Príklad:
Pretože zlomok môže byť reprezentovaný ako zvýšenie na zápornú mocninu
(1/x)" = (x -1)", potom môžete použiť vzorec z pravidla 5 v tabuľke derivátov
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Derivát frakcie s premennou ľubovoľného stupňa v menovateli
(1/x c)" = - c / x c+1
Príklad:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. koreňový derivát(derivát premennej pod druhou odmocninou)
(√x)" = 1 / (2√x) alebo 1/2 x -1/2
Príklad:
(√x)" = (x 1/2)", takže môžete použiť vzorec z pravidla 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivácia premennej pod odmocninou ľubovoľného stupňa
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Proces hľadania derivácie funkcie sa nazýva diferenciácia. Deriváciu je potrebné nájsť v množstve problémov v priebehu matematickej analýzy. Napríklad pri hľadaní extrémnych bodov a inflexných bodov funkčného grafu.

Ako nájsť?

Ak chcete nájsť deriváciu funkcie, musíte poznať tabuľku derivácií elementárnych funkcií a použiť základné pravidlá diferenciácie:

1. Vybratím konštanty zo znamienka derivácie: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivácia súčtu/rozdielu funkcií: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivácia súčinu dvoch funkcií: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivát zlomku: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Derivácia zloženej funkcie: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Príklady riešení

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

rozhodnutie

Derivácia súčtu/rozdielu funkcií sa rovná súčtu/rozdielu derivácií: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Pomocou pravidla derivácie mocninovej funkcie $ (x^p)" = px^(p-1) $ máme: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Zohľadnilo sa aj to, že derivácia konštanty sa rovná nule. Ak nemôžete vyriešiť svoj problém, pošlite nám ho. Poskytneme podrobné riešenie. Budete sa môcť zoznámiť s priebehom výpočtu a získať informácie. To vám pomôže získať kredit od učiteľa včas!

Odpoveď

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Výpočet derivácie sa často nachádza v úlohách USE. Táto stránka obsahuje zoznam vzorcov na hľadanie derivátov.

Pravidlá diferenciácie

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
4. Derivácia komplexnej funkcie. Ak y=F(u) a u=u(x), potom funkcia y=f(x)=F(u(x)) sa nazýva komplexná funkcia x. Rovná sa y′(x)=Fu′⋅ux′.
5. Derivácia implicitnej funkcie. Funkcia y=f(x) sa nazýva implicitná funkcia daná vzťahom F(x,y)=0, ak F(x,f(x))≡0.
6. Derivácia inverznej funkcie. Ak g(f(x))=x, potom funkcia g(x) sa nazýva inverzná funkcia pre funkciu y=f(x).
7. Derivácia parametricky danej funkcie. Nech x a y sú dané ako funkcie premennej t: x=x(t), y=y(t). Hovorí sa, že y=y(x) je parametricky definovaná funkcia na intervale x∈ (a;b), ak na tomto intervale možno rovnicu x=x(t) vyjadriť ako t=t(x) a funkciu y=y(t(x))=y(x).
8. Derivácia exponenciálnej funkcie. Nájdeme ho privedením logaritmu na základňu prirodzeného logaritmu.

Odporúčame vám uložiť odkaz, pretože táto tabuľka môže byť potrebná ešte mnohokrát.

Dôkaz a odvodenie vzorcov pre deriváciu exponenciály (e na mocninu x) a exponenciálnej funkcie (a na mocninu x). Príklady výpočtu derivácií e^2x, e^3x a e^nx. Vzorce pre deriváty vyšších rádov.

Obsah

Pozri tiež: Exponenciálna funkcia - vlastnosti, vzorce, graf
Exponent, e mocnina x - vlastnosti, vzorce, graf

Základné vzorce

Derivácia exponentu sa rovná samotnému exponentu (derivácia e mocniny x sa rovná e mocniny x):
(1) (e x )' = e x.

Derivácia exponenciálnej funkcie so základom stupňa a sa rovná samotnej funkcii, vynásobenej prirodzeným logaritmom a:
(2) .

Exponent je exponenciálna funkcia, ktorej základ exponentu sa rovná číslu e, čo je nasledujúca limita:
.
Tu to môže byť prirodzené alebo skutočné číslo. Ďalej odvodíme vzorec (1) pre deriváciu exponentu.

Odvodenie vzorca pre deriváciu exponentu

Zvážte exponent e k mocnine x :
y = e x.
Táto funkcia je definovaná pre všetkých. Nájdite jeho deriváciu vzhľadom na x . Podľa definície je derivát nasledujúci limit:
(3) .

Transformujme tento výraz, aby sme ho zredukovali na známe matematické vlastnosti a pravidlá. Na to potrebujeme nasledujúce fakty:
ALE) Vlastnosť exponentu:
(4) ;
b) Vlastnosť logaritmu:
(5) ;
AT) Spojitosť logaritmu a vlastnosť limity pre spojitú funkciu:
(6) .
Tu je nejaká funkcia, ktorá má limit a tento limit je kladný.
G) Význam druhej nádhernej hranice:
(7) .

Tieto skutočnosti aplikujeme na naše limity (3). Používame nehnuteľnosť (4):
;
.

Urobme náhradu. Potom ; .
Vzhľadom na kontinuitu exponentu,
.
Preto o , . V dôsledku toho dostaneme:
.

Urobme náhradu. Potom . V , . A máme:
.

Použijeme vlastnosť logaritmu (5):
. Potom
.

Použime vlastnosť (6). Pretože existuje kladný limit a logaritmus je spojitý, potom:
.
Tu sme použili aj druhú pozoruhodnú hranicu (7). Potom
.

Získali sme teda vzorec (1) pre deriváciu exponentu.

Odvodenie vzorca pre deriváciu exponenciálnej funkcie

Teraz odvodíme vzorec (2) pre deriváciu exponenciálnej funkcie so základom stupňa a. Veríme, že a . Potom exponenciálna funkcia
(8)
Definované pre každého.

Transformujme vzorec (8). Na to používame vlastnosti exponenciálnej funkcie a logaritmu.
;
.
Takže sme transformovali vzorec (8) do nasledujúceho tvaru:
.

Deriváty vyššieho rádu e na mocninu x

Teraz nájdime deriváty vyšších rádov. Najprv sa pozrime na exponent:
(14) .
(1) .

Vidíme, že derivácia funkcie (14) sa rovná samotnej funkcii (14). Diferencovaním (1) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.

To ukazuje, že derivácia n-tého rádu sa tiež rovná pôvodnej funkcii:
.

Derivácie vyššieho rádu exponenciálnej funkcie

Teraz zvážte exponenciálnu funkciu so základňou stupňa a:
.
Našli sme jeho derivát prvého rádu:
(15) .

Diferencovaním (15) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.

Vidíme, že každá diferenciácia vedie k vynásobeniu pôvodnej funkcie číslom . Preto má n-tá derivácia nasledujúci tvar:
.

Pozri tiež: