Viete, ako vyzerá obyčajný šesťuholník?
Táto otázka nebola položená náhodou. Väčšina žiakov v 11. ročníku na ňu nepozná odpoveď.
Pravidelný šesťuholník je taký, v ktorom sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú tiež rovnaké..
Železný orech. Snehová vločka. Bunka plástov, v ktorej žijú včely. Molekula benzénu. Čo majú tieto predmety spoločné? - Skutočnosť, že všetky majú pravidelný šesťuholníkový tvar.
Mnoho školákov je stratených, keď vidia úlohy pre pravidelný šesťuholník a veria, že na ich vyriešenie sú potrebné nejaké špeciálne vzorce. Je to tak?
Nakreslite uhlopriečky pravidelného šesťuholníka. Máme šesť rovnostranných trojuholníkov. 
Vieme, že plocha rovnostranného trojuholníka je .
Potom je plocha pravidelného šesťuholníka šesťkrát väčšia.
Kde je strana pravidelného šesťuholníka.
Všimnite si prosím, že v pravidelnom šesťuholníku je vzdialenosť od jeho stredu k ľubovoľnému z vrcholov rovnaká a rovná sa strane pravidelného šesťuholníka.
To znamená, že polomer kružnice opísanej okolo pravidelného šesťuholníka sa rovná jej strane.
Polomer kruhu vpísaného do pravidelného šesťuholníka sa dá ľahko nájsť.
Je rovnocenný.
Teraz môžete ľahko vyriešiť akékoľvek problémy USE, v ktorých sa objaví pravidelný šesťuholník.
Nájdite polomer kruhu vpísaného do pravidelného šesťuholníka so stranou .
Polomer takéhoto kruhu je .
Odpoveď: .
Aká je strana pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu s polomerom 6?
Vieme, že strana pravidelného šesťuholníka sa rovná polomeru kružnice, ktorá je okolo neho opísaná.
Najznámejšia postava s viac ako štyrmi rohmi je pravidelný šesťuholník. V geometrii sa často používa pri problémoch. A v živote je to presne to, čo majú medové motúzy na reze.
Ako sa líši od nesprávneho?
Po prvé, šesťuholník je postava so 6 vrcholmi. Po druhé, môže byť konvexné alebo konkávne. Prvý sa líši tým, že štyri vrcholy ležia na jednej strane priamky vedenej cez ostatné dva.
Po tretie, pravidelný šesťuholník sa vyznačuje tým, že všetky jeho strany sú rovnaké. Okrem toho má každý roh obrázku rovnakú hodnotu. Na určenie súčtu všetkých jeho uhlov budete musieť použiť vzorec: 180º * (n - 2). Tu n je počet vrcholov obrázku, teda 6. Jednoduchý výpočet dáva hodnotu 720º. Takže každý uhol je 120 stupňov.
Pri každodenných činnostiach sa v snehovej vločke a orechu nachádza pravidelný šesťuholník. Chemici to vidia dokonca aj v molekule benzénu.
Aké vlastnosti potrebujete vedieť pri riešení problémov?
K tomu, čo je uvedené vyššie, treba dodať:
- uhlopriečky obrázku pretiahnuté stredom ho rozdeľujú na šesť trojuholníkov, ktoré sú rovnostranné;
- strana pravidelného šesťuholníka má hodnotu, ktorá sa zhoduje s polomerom kružnice opísanej okolo nej;
- pomocou takejto postavy je možné vyplniť rovinu a medzi nimi nebudú žiadne medzery a žiadne prekrytia.
Zavedený zápis
Tradične sa strana pravidelného geometrického útvaru označuje latinským písmenom „a“. Na vyriešenie problémov je potrebná aj plocha a obvod, to sú S a P. Kruh je vpísaný do pravidelného šesťuholníka alebo je okolo neho opísaný. Potom sa zadajú hodnoty pre ich polomery. Označujú sa písmenami r a R.
V niektorých vzorcoch sa objavuje vnútorný uhol, polobvod a apotém (čo je kolmica na stred ktorejkoľvek strany od stredu mnohouholníka). Používajú sa pre ne písmená: α, p, m.
Vzorce, ktoré opisujú tvar
Na výpočet polomeru vpísanej kružnice potrebujete toto: r= (a* √3) / 2 a r = m. To znamená, že rovnaký vzorec bude platiť pre apotém.
Keďže obvod šesťuholníka je súčtom všetkých strán, určíme ho takto: P = 6 * a. Vzhľadom na to, že strana sa rovná polomeru opísanej kružnice, pre obvod existuje taký vzorec pre pravidelný šesťuholník: P \u003d 6 * R. Z toho, ktorý je daný pre polomer vpísanej kružnice, vzťah medzi a a r je odvodené. Potom má vzorec nasledujúci tvar: Р = 4 r * √3.
Pre oblasť pravidelného šesťuholníka sa to môže hodiť: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.
Úlohy
č. 1. Podmienka. Pravidelný šesťhranný hranol, ktorého každá hrana sa rovná 4 cm, je v ňom vpísaný valec, ktorého objem je potrebné určiť.
rozhodnutie. Objem valca je definovaný ako súčin plochy základne a výšky. Ten sa zhoduje s okrajom hranola. A rovná sa strane pravidelného šesťuholníka. To znamená, že výška valca je tiež 4 cm.
Ak chcete zistiť oblasť jeho základne, musíte vypočítať polomer kruhu vpísaného do šesťuholníka. Vzorec na to je uvedený vyššie. Takže r = 2√3 (cm). Potom plocha kruhu: S \u003d π * r 2 \u003d 3,14 * (2√3) 2 \u003d 37,68 (cm 2).
Odpoveď. V \u003d 150,72 cm 3.
č.2. Podmienka. Vypočítajte polomer kruhu, ktorý je vpísaný do pravidelného šesťuholníka. Je známe, že jeho strana je √3 cm Aký bude jeho obvod?
rozhodnutie. Táto úloha vyžaduje použitie dvoch z vyššie uvedených vzorcov. Okrem toho sa musia použiť bez akejkoľvek úpravy, stačí nahradiť hodnotu strany a vypočítať.
Polomer vpísanej kružnice je teda 1,5 cm, pre obvod je správna nasledujúca hodnota: 6√3 cm.
Odpoveď. r = 1,5 cm, Р = 6√3 cm.
č. 3. Stav. Polomer kružnice opísanej je 6 cm Akú hodnotu bude mať v tomto prípade strana pravidelného šesťuholníka?
rozhodnutie. Zo vzorca pre polomer kruhu vpísaného do šesťuholníka sa dá ľahko získať ten, podľa ktorého sa musí strana vypočítať. Je jasné, že polomer sa vynásobí dvomi a vydelí odmocninou z troch. Je potrebné zbaviť sa iracionality v menovateli. Preto má výsledok akcií nasledujúcu formu: (12 √3) / (√3 * √3), teda 4√3.
Odpoveď. a = 4√3 cm.
Viete, ako vyzerá obyčajný šesťuholník?
Táto otázka nebola položená náhodou. Väčšina žiakov v 11. ročníku na ňu nepozná odpoveď.
Pravidelný šesťuholník je taký, v ktorom sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú tiež rovnaké..
Železný orech. Snehová vločka. Bunka plástov, v ktorej žijú včely. Molekula benzénu. Čo majú tieto predmety spoločné? - Skutočnosť, že všetky majú pravidelný šesťuholníkový tvar.
Mnoho školákov je stratených, keď vidia úlohy pre pravidelný šesťuholník a veria, že na ich vyriešenie sú potrebné nejaké špeciálne vzorce. Je to tak?
Nakreslite uhlopriečky pravidelného šesťuholníka. Máme šesť rovnostranných trojuholníkov. 
Vieme, že plocha rovnostranného trojuholníka je .
Potom je plocha pravidelného šesťuholníka šesťkrát väčšia.
Kde je strana pravidelného šesťuholníka.
Všimnite si prosím, že v pravidelnom šesťuholníku je vzdialenosť od jeho stredu k ľubovoľnému z vrcholov rovnaká a rovná sa strane pravidelného šesťuholníka.
To znamená, že polomer kružnice opísanej okolo pravidelného šesťuholníka sa rovná jej strane.
Polomer kruhu vpísaného do pravidelného šesťuholníka sa dá ľahko nájsť.
Je rovnocenný.
Teraz môžete ľahko vyriešiť akékoľvek problémy USE, v ktorých sa objaví pravidelný šesťuholník.
Nájdite polomer kruhu vpísaného do pravidelného šesťuholníka so stranou .
Polomer takéhoto kruhu je .
Odpoveď: .
Aká je strana pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu s polomerom 6?
Vieme, že strana pravidelného šesťuholníka sa rovná polomeru kružnice, ktorá je okolo neho opísaná.
Je vo vašej blízkosti ceruzka? Pozrite sa na jeho časť - je to pravidelný šesťuholník alebo, ako sa tiež nazýva, šesťuholník. Tento tvar má aj prierez orecha, pole šesťuholníkového šachu, niektoré zložité molekuly uhlíka (napríklad grafit), snehová vločka, plást a ďalšie predmety. Gigantický pravidelný šesťuholník bol nedávno objavený v. Nezdá sa vám zvláštne, že príroda tak často využíva na svoje výtvory štruktúry práve tohto tvaru? Poďme sa na to pozrieť bližšie.
Pravidelný šesťuholník je mnohouholník so šiestimi rovnakými stranami a rovnakými uhlami. Zo školského kurzu vieme, že má tieto vlastnosti:
- Dĺžka jeho strán zodpovedá polomeru kružnice opísanej. Zo všetkých má túto vlastnosť iba pravidelný šesťuholník.
- Uhly sú rovnaké a veľkosť každého z nich je 120 °.
- Obvod šesťuholníka možno zistiť pomocou vzorca Р=6*R, ak je známy polomer kružnice opísanej okolo neho, alebo Р=4*√(3)*r, ak je do neho vpísaná kružnica. R a r sú polomery opísanej a vpísanej kružnice.
- Plocha, ktorú zaberá pravidelný šesťuholník, sa určí takto: S=(3*√(3)*R 2)/2. Ak je polomer neznámy, namiesto neho dosadíme dĺžku jednej zo strán - ako viete, zodpovedá dĺžke polomeru opísanej kružnice.
Pravidelný šesťuholník má jednu zaujímavosť, vďaka ktorej sa v prírode tak rozšíril - je schopný vyplniť akýkoľvek povrch roviny bez presahov a medzier. Existuje dokonca aj takzvaná Pal lemma, podľa ktorej pravidelný šesťuholník, ktorého strana sa rovná 1/√(3), je univerzálna pneumatika, to znamená, že môže pokryť akúkoľvek súpravu s priemerom jednej jednotky.
Teraz zvážte konštrukciu pravidelného šesťuholníka. Existuje niekoľko spôsobov, z ktorých najjednoduchší zahŕňa použitie kompasu, ceruzky a pravítka. Najprv si kružidlom nakreslíme ľubovoľnú kružnicu, potom urobíme bod na ľubovoľnom mieste tejto kružnice. Bez toho, aby sme zmenili riešenie kružidla, položíme hrot na tento bod, označíme ďalší zárez na kruhu a pokračujeme, kým nezískame všetkých 6 bodov. Teraz zostáva len spojiť ich navzájom rovnými segmentmi a ukáže sa požadovaná postava.
V praxi sú chvíle, keď potrebujete nakresliť veľký šesťuholník. Napríklad na dvojúrovňový sadrokartónový strop, okolo upevňovacieho bodu centrálneho lustra, musíte na spodnej úrovni nainštalovať šesť malých svietidiel. Bude veľmi, veľmi ťažké nájsť kompas takejto veľkosti. Ako v tomto prípade postupovať? Ako nakreslíte veľký kruh? Veľmi jednoduché. Musíte si vziať silnú niť požadovanej dĺžky a priviazať jeden z jej koncov oproti ceruzke. Teraz zostáva len nájsť asistenta, ktorý by pritlačil druhý koniec vlákna k stropu v správnom bode. Samozrejme, v tomto prípade sú možné menšie chyby, ale je nepravdepodobné, že by si ich cudzinci vôbec všimli.
Konštrukcia pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu. Konštrukcia šesťuholníka je založená na skutočnosti, že jeho strana sa rovná polomeru opísanej kružnice. Preto na stavbu stačí rozdeliť kruh na šesť rovnakých častí a navzájom spojiť nájdené body (obr. 60, a).
Pravidelný šesťuholník môže byť skonštruovaný pomocou T-štvorca a 30X60° štvorca. Na vykonanie tejto konštrukcie vezmeme vodorovný priemer kruhu ako osičku uhlov 1 a 4 (obr. 60, b), postavíme strany 1-6, 4-3, 4-5 a 7-2, po ktorých nakreslite strany 5-6 a 3-2.
Konštrukcia rovnostranného trojuholníka vpísaného do kruhu. Vrcholy takéhoto trojuholníka je možné zostrojiť pomocou kružidla a štvorca s uhlami 30 a 60°, alebo len jedného kružidla.
Zvážte dva spôsoby, ako zostrojiť rovnostranný trojuholník vpísaný do kruhu.
Prvý spôsob(Obr. 61, a) vychádza zo skutočnosti, že všetky tri uhly trojuholníka 7, 2, 3 obsahujú každý 60° a zvislá čiara vedená bodom 7 je výškou aj osou uhla 1. uhol 0-1-2 sa rovná 30°, potom nájdite stranu
1-2 stačí zostrojiť uhol 30° v bode 1 a strane 0-1. Za týmto účelom nastavte T-štvorec a štvorec, ako je znázornené na obrázku, nakreslite čiaru 1-2, ktorá bude jednou zo strán požadovaného trojuholníka. Ak chcete postaviť stranu 2-3, nastavte T-štvorec do polohy znázornenej prerušovanými čiarami a nakreslite priamku cez bod 2, ktorá bude definovať tretí vrchol trojuholníka.
Druhý spôsob je založený na skutočnosti, že ak postavíte pravidelný šesťuholník vpísaný do kruhu a potom jeho vrcholy prepojíte cez jeden, dostanete rovnostranný trojuholník.
Na zostrojenie trojuholníka (obr. 61, b) označíme vrcholový bod 1 na priemere a nakreslíme diametrálnu čiaru 1-4. Ďalej od bodu 4 s polomerom rovným D / 2 opíšeme oblúk, kým sa nepretne s kružnicou v bodoch 3 a 2. Výslednými bodmi budú dva ďalšie vrcholy požadovaného trojuholníka.
Konštrukcia štvorca vpísaného do kruhu. Túto konštrukciu je možné vykonať pomocou štvorca a kompasu.
Prvý spôsob je založený na skutočnosti, že uhlopriečky štvorca sa pretínajú v strede opísanej kružnice a sú naklonené k jej osám pod uhlom 45°. Na základe toho nainštalujeme T-štvorec a štvorec s uhlami 45 °, ako je znázornené na obr. 62, a a označte body 1 a 3. Ďalej cez tieto body nakreslíme vodorovné strany štvorca 4-1 a 3-2 pomocou T-štvorca. Potom pomocou T-štvorca pozdĺž nohy štvorca nakreslíme zvislé strany štvorca 1-2 a 4-3.
Druhá metóda je založená na skutočnosti, že vrcholy štvorca pretínajú oblúky kruhu uzavretého medzi koncami priemeru (obr. 62, b). Na koncoch dvoch na seba kolmých priemerov si označíme body A, B a C a z nich s polomerom y opisujeme oblúky, až kým sa nepretnú.
Ďalej cez priesečníky oblúkov nakreslíme pomocné čiary označené na obrázku plnými čiarami. Ich priesečníky s kružnicou budú definovať vrcholy 1 a 3; 4 a 2. Takto získané vrcholy požadovaného štvorca sú zapojené do série.
Konštrukcia pravidelného päťuholníka vpísaného do kruhu.
Na vpísanie pravidelného päťuholníka do kruhu (obr. 63) urobíme nasledujúce konštrukcie.
Označíme bod 1 na kruhu a berieme ho ako jeden z vrcholov päťuholníka. Rozdeľte segment AO na polovicu. Aby sme to dosiahli, s polomerom AO z bodu A opíšeme oblúk, kým sa nepretína s kružnicou v bodoch M a B. Spojením týchto bodov priamkou dostaneme bod K, ktorý potom spojíme s bodom 1. S polomer rovný segmentu A7, opíšeme oblúk z bodu K k priesečníku s diametrálnou čiarou AO v bode H. Spojením bodu 1 s bodom H dostaneme stranu päťuholníka. Potom s otvorom kompasu rovným segmentu 1H, po opísaní oblúka od vrcholu 1 po priesečník s kružnicou, nájdeme vrcholy 2 a 5. Po vytvorení pätiek z vrcholov 2 a 5 s rovnakým otvorom kompasu získame zvyšné vrcholy 3 a 4. Nájdené body spájame postupne medzi sebou.
Konštrukcia pravidelného päťuholníka vzhľadom na jeho stranu.
Aby sme vytvorili pravidelný päťuholník pozdĺž jeho danej strany (obr. 64), rozdelíme segment AB na šesť rovnakých častí. Z bodov A a B s polomerom AB opíšeme oblúky, ktorých priesečník bude dávať bod K. Cez tento bod a delenie 3 na priamku AB nakreslíme zvislú čiaru.
Dostaneme bod 1-vrchol päťuholníka. Potom s polomerom rovným AB opíšeme od bodu 1 oblúk po priesečník s oblúkmi predtým nakreslenými z bodov A a B. Priesečníky oblúkov určujú vrcholy päťuholníka 2 a 5. Nájdené spojíme vrcholy v sérii navzájom.
Konštrukcia pravidelného sedemuholníka vpísaného do kruhu.
Nech je daný kruh s priemerom D; treba do nej vpísať pravidelný sedemuholník (obr. 65). Rozdeľte vertikálny priemer kruhu na sedem rovnakých častí. Z bodu 7 s polomerom rovným priemeru kružnice D opíšeme oblúk, kým sa nepretne s pokračovaním vodorovného priemeru v bode F. Bod F sa nazýva pól mnohouholníka. Ak vezmeme bod VII ako jeden z vrcholov sedemuholníka, nakreslíme lúče z pólu F cez párne dieliky zvislého priemeru, ktorých priesečník s kružnicou určí vrcholy VI, V a IV sedemuholníka. Aby sme získali vrcholy / - // - /// z bodov IV, V a VI, nakreslíme vodorovné čiary k priesečníku s kružnicou. Nájdené vrcholy spojíme do série medzi sebou. Sedemuholník môže byť skonštruovaný nakreslením lúčov z pólu F a prostredníctvom nepárnych dielikov vertikálneho priemeru.
Vyššie uvedená metóda je vhodná na vytváranie pravidelných mnohouholníkov s ľubovoľným počtom strán.
Rozdelenie kruhu na ľubovoľný počet rovnakých častí je možné vykonať aj pomocou údajov v tabuľke. 2, ktorý ukazuje koeficienty, ktoré umožňujú určiť rozmery strán pravidelných vpísaných mnohouholníkov.
