Príklad. Nájdite vzorce CNF

~ ~

Dokonalá disjunktívna normálna forma SDNF môže byť skonštruovaná pomocou nasledujúceho algoritmu:

1. = 1. Algoritmus DNF

2. = 2. Algoritmus DNF

3. = 3. Algoritmus DNF

4. = 4. Algoritmus DNF

5. Vynechajte rovnako nepravdivé výrazy, t. j. výrazy formulára

6. Doplňte zostávajúce výrazy o chýbajúce premenné

7. Opakujte bod 4.

Príklad. Nájdite vzorce SDNF.

~

Na zostavenie SCNF môžete použiť nasledujúcu schému:

Príklad. Nájdite vzorce SDNF.

~

Je známe (vety 2.11, 2.12), že SDNF a SCNF sú jednoznačne definované vzorcom, a preto ich možno zostrojiť pomocou pravdivostnej tabuľky vzorca.

Schéma konštrukcie SDNF a SCNF podľa pravdivostnej tabuľky je uvedená nižšie pre vzorec ~ :

			~
			1 0 1 0 1 1 0 1	SDNF; SKNF.

2.2. Cvičenie.

2.2.1 Nižšie sú uvedené boolovské výrazy. Zjednodušte výrazy svojho variantu čo najviac pomocou Booleových zákonov logiky. Potom pomocou pravdivostných tabuliek porovnajte svoj zjednodušený výraz s pôvodným.

2.2.2. Objasnite otázku ekvivalencie f 1 a f 2 ich redukciou na SDNF (tabuľka 1).

2.2.3. Nájdite duálnu funkciu pre f 3 pomocou zovšeobecneného a booleovského princípu (tabuľka 1). Porovnajte výsledky.

№	f 1	f 2	f 3

2.3. Kontrolné otázky.

2.3.1. Definujte vyhlásenie.

2.3.2. Uveďte hlavné operácie vo výpise.

2.3.3. Čo je to pravdivá tabuľka?

2.3.4. Vytvorte pravdivostné tabuľky pre nasledujúce vzorce:

~ ~ ~ ;

2.3.5. Berúc do úvahy konvencie o poradí operácií, vynechajte vo vzorcoch zátvorky „navyše“ a znak „ “:

;

2.3.6. Pomocou ekvivalentných transformácií dokážte identickú pravdivosť vzorcov:

2.3.7. Nájdite dvojité vzorce:

)

2.3.8. Zredukujte nasledujúce vzorce na dokonalú formu DNF (SDNF):

~

2.3.9. Zredukujte nasledujúce vzorce na dokonalú formu CNF (SCNF):

~

Laboratórna práca č.3

Predmet:„Minimalizácia booleovských funkcií. logika"

Cieľ: Získanie praktických zručností pri práci s metódami minimalizácie booleovských funkcií.

3.1. Teoretické informácie.

Minimálne formy

Ako bolo ukázané v, každá booleovská funkcia môže byť reprezentovaná v dokonalej normálnej forme (disjunktívna alebo konjunktívna). Takáto reprezentácia je navyše prvým krokom pri prechode od tabuľkovej špecifikácie funkcie k jej analytickému vyjadreniu. V nasledujúcom budeme vychádzať z disjunktívnej formy a zodpovedajúce výsledky pre konjunktívnu formu získame na základe princípu duality.

Kanonický problém syntézy logických obvodov na booleovskej báze sa týka minimalizácie booleovských funkcií, t.j. na ich reprezentáciu v disjunktívnej normálnej forme, ktorá obsahuje najmenší počet písmen (premenné a ich negácie). Takéto formy sa nazývajú minimálne. Pri kanonickej syntéze sa predpokladá, že na vstupy obvodu sa privádzajú oba signály a ich inverzie.

Vzorec uvedený v disjunktívnej normálnej forme je zjednodušený opakovaným použitím operácie lepenia a operácie absorpcie a (duálne identity pre konjunktívnu normálnu formu majú tvar: a ). Tu a možno chápať ako akýkoľvek vzorec Booleovej algebry. Výsledkom je, že dospejeme k analytickému vyjadreniu, kde ďalšie transformácie už nie sú možné, t.j. dostaneme slepú uličku.

Medzi slepými formami existuje aj minimálna disjunktívna forma a nemusí byť jedinečná. Aby ste sa uistili, že daný slepý formulár je minimálny, musíte nájsť všetky slepé formuláre a porovnať ich podľa počtu písmen, ktoré obsahujú.

Nech je napríklad funkcia daná v dokonalej normálnej disjunktívnej forme:

Zoskupením pojmov a aplikáciou operácie lepenia máme .

Inou metódou zoskupovania dostaneme:

Obe formy slepej uličky nie sú minimálne. Ak chcete získať minimálnu formu, musíte hádať, aby ste zopakovali jeden výraz v pôvodnom vzorci (toto sa dá urobiť vždy, pretože ). V prvom prípade môže byť takýmto členom . Potom . Pridaním výrazu dostaneme: . Po prejdení všetkých možných možností sa môžete uistiť, že posledné dve formy sú minimálne.

Práca so vzorcami na tejto úrovni je ako blúdenie v tme. Proces hľadania minimálnych foriem sa stane vizuálnejším a účelnejším, ak použijete niektoré grafické a analytické znázornenia a symboly špeciálne vyvinuté na tento účel.

Viacrozmerná kocka

Každý vrchol -rozmernej kocky môže byť spojený so zložkou jednotky. V dôsledku toho je podmnožina označených vrcholov zobrazením na -rozmernej kocke booleovskej funkcie premenných v dokonalej disjunktívnej normálnej forme. Na obr. 3.1 ukazuje takéto mapovanie pre funkciu z článku 3.7.

Obr. 3.1 Zobrazenie funkcie prezentovanej v SDNF na trojrozmernej kocke

Na zobrazenie funkcie premenných prezentovaných v akejkoľvek disjunktívnej normálnej forme je potrebné vytvoriť súlad medzi jej miniterminami a prvkami -rozmernej kocky.

Minitermíny (-1) hodnosti možno považovať za výsledok zlepenia dvoch minitermínov hodnosti (zložky jednoty), t.j. , Na -rozmernej kocke to zodpovedá nahradeniu dvoch vrcholov, ktoré sa líšia iba hodnotami súradníc spájajúcich tieto vrcholy s hranou (o hrane sa hovorí, že pokrýva vrcholy, ktoré k nej patria). Teda miničleny (-1)-tého rádu zodpovedajú hranám -rozmernej kocky. Podobne je stanovená zhoda minitermov (-2) rádu s plochami -rozmernej kocky, z ktorých každá pokrýva štyri vrcholy (a štyri hrany).

Prvky -rozmernej kocky charakterizované rozmermi sa nazývajú -kocky. Takže vrcholy sú 0-kocky, hrany sú 1-kocky, plochy sú 2-kocky atď. Zovšeobecňujúc vyššie uvedené úvahy, môžeme predpokladať, že miničlen ()-tej hodnosti v disjunktívnej normálnej forme pre funkciu premenných je reprezentovaný -kockou a každá -kocka pokrýva všetky tie -kocky nižšej dimenzie, ktoré sú spojené s jej vrcholmi. . Ako príklad na obr. 3.2 ukazuje funkciu troch premenných. Tu minitermíny zodpovedajú 1-kocke () a miniterm je reprezentovaný 2-kockou ().

Obr.3.2 Pokrytie funkcií

Akákoľvek disjunktívna normálna forma je teda mapovaná na -rozmernú kocku množinou -kociek, ktoré pokrývajú všetky vrcholy zodpovedajúce zložkám jednoty (0-kocky). Platí aj opačné tvrdenie: ak určitá množina kociek pokrýva množinu všetkých vrcholov zodpovedajúcich jednotkovým hodnotám funkcie, potom je disjunkcia miničlenov zodpovedajúcich týmto kockám vyjadrením tejto funkcie v disjunktívnej normále. formulár. Takáto zbierka -kociek (alebo ich zodpovedajúcich minitermínov) tvorí obal funkcie.

Túžba po minimálnej forme je intuitívne chápaná ako hľadanie takej krytiny, ktorej počet kociek by bol menší a ich rozmer väčší. Krytie zodpovedajúce minimálnej forme sa nazýva minimálne krytie. Napríklad pre kryciu funkciu na obr. 3.3 spĺňa minimálne formy A .

Ryža. 3.3 Pokrytie funkcií.

vľavo – ; napravo –

Zobrazenie funkcie na -rozmernej kocke je jasné a jednoduché, keď . Štvorrozmernú kocku možno znázorniť tak, ako je znázornené na obr. 3.4, ktorý znázorňuje funkciu štyroch premenných a jej minimálne pokrytie zodpovedajúce výrazu . Použitie tejto metódy vyžaduje také zložité konštrukcie, že sa strácajú všetky jej výhody.

Ryža. 3.4 Zobrazenie funkcií na štvorrozmernej kocke

Carnotove mapy

Ďalší spôsob grafického zobrazenia booleovských funkcií využíva Carnotove mapy, čo sú špeciálne usporiadané korešpondenčné tabuľky. Stĺpce a riadky tabuľky zodpovedajú všetkým možným množinám hodnôt nie viac ako dvoch premenných a tieto množiny sú usporiadané v takom poradí, že každá nasledujúca sa líši od predchádzajúcej v hodnote iba jednej z premenných. . Vďaka tomu sa susedné bunky tabuľky horizontálne a vertikálne líšia hodnotou len jednej premennej. Bunky umiestnené na okrajoch tabuľky sa tiež považujú za susediace a majú túto vlastnosť. Na obr. Obrázok 3.5 zobrazuje Karnaughove mapy pre dve, tri, štyri premenné.

Ryža. 3.5 Carnaughove mapy pre dve, tri a štyri premenné

Rovnako ako v bežných pravdivostných tabuľkách sú bunky množín, v ktorých funkcia nadobúda hodnotu 1, vyplnené jednotkami (nuly sa väčšinou nezmestia, zodpovedajú prázdnym bunkám). Napríklad na obr. 3,6, A ukazuje Karnaughovu mapu pre funkciu, ktorej zobrazenie na štvorrozmernej kocke je uvedené na obr. 3.4. Na zjednodušenie sú riadky a stĺpce zodpovedajúce hodnotám 1 pre premennú zvýraznené zloženou zátvorkou označujúcou túto premennú.

Ryža. 3.6 Zobrazenie funkcie štyroch premenných na Carnaughovej mape

a) a jeho minimálne krytie b)

Medzi mapovaniami funkcií na n-rozmerná kocka a Carnotova mapa existuje vzájomná korešpondencia. Na Carnotovej mape s-kocka zodpovedá množine 2 susedných buniek umiestnených v rade, stĺpci, štvorci alebo obdĺžniku (berúc do úvahy blízkosť protiľahlých okrajov mapy). Preto všetky ustanovenia uvedené vyššie (pozri ods. viacrozmerná kocka), platia pre mapy Karnaugh. Takže na obr. 3,6, b zobrazuje pokrytie mapových jednotiek zodpovedajúcich minimálnej disjunktívnej forme príslušnú funkciu.

Čítanie minitermínov z Karnaughovej mapy sa riadi jednoduchým pravidlom. Tvorba buniek s-kocka, daj miniter (n–s)-th rank, ktorý zahŕňa aj tie (n–s) premenné, ktoré si zachovávajú rovnaké hodnoty s-kocka, kde hodnota 1 zodpovedá samotným premenným a hodnota 0 zodpovedá ich negáciám. Premenné, ktoré si nezachovajú svoje hodnoty pre s-kocka, v minitermíne absentujú. Rôzne spôsoby čítania vedú k rôznym reprezentáciám funkcie v disjunktívnej normálnej forme (ten úplne vpravo je minimálny) (obrázok 3.7).

Použitie Karnaughových máp vyžaduje jednoduchšie konštrukcie v porovnaní s mapovaním na n-rozmerná kocka, najmä v prípade štyroch premenných. Na zobrazenie funkcií piatich premenných sa používajú dve Karnaughove mapy pre štyri premenné a pre funkciu šiestich premenných sa používajú štyri takéto mapy. S ďalším nárastom počtu premenných sa Karnaughove mapy stávajú prakticky nepoužiteľné.

Slávny v literatúre Veitchove karty Líšia sa iba v inom poradí množín premenných hodnôt a majú rovnaké vlastnosti ako Karnaughove mapy.

Komplex kociek

Nekonzistentnosť grafických metód s veľkým počtom premenných je kompenzovaná rôznymi analytickými metódami na reprezentáciu booleovských funkcií. Jednou z takýchto reprezentácií je komplex kociek, pričom používa terminológiu viacrozmerného logického priestoru v kombinácii so špeciálne vyvinutou symbolikou.

). 0-kocky zodpovedajúce zložkám jednoty sú reprezentované množinami premenných hodnôt, na ktorých sa funkcia rovná jednote. Jednoznačne v nahrávke

Ryža. 3.8 Komplex kociek funkcie troch premenných ( A) a jeho symbolické znázornenie ( b)

Vytvára sa komplex kociek maximálne pokrytie funkcií. Vynímajúc z toho všetkých s-kocky, ktoré sú pokryté kockami vyššej dimenzie, získame obaly zodpovedajúce slepým tvarom. Takže pre uvažovaný príklad (obr. 3.8) máme slepé prekrytie

,

čo zodpovedá funkcii . V tomto prípade je toto pokrytie minimálne.

Pre dve booleovské funkcie operácia disjunkcie zodpovedá spojeniu ich komplexov v kocke a operácia konjunkcie zodpovedá priesečníku ich komplexov v kocke. Negácia funkcie zodpovedá doplnku komplexu kociek, t.j. a je určená všetkými vrcholmi, v ktorých funkcia nadobúda hodnotu 0. Existuje teda korešpondencia jedna ku jednej (izomorfizmus) medzi algebrou Booleovské funkcie a boolovské množiny reprezentujúce komplexy kociek.

Znázornenie funkcie vo forme komplexov kociek je menej vizuálne, ale jeho najdôležitejšou výhodou je, že sa odstránia obmedzenia počtu premenných a uľahčí sa kódovanie informácií pri používaní počítačov.

Minimalizácia boolovských funkcií

Formulácia problému. Minimalizácia obvodu na booleovskej báze spočíva v nájdení minimálnej disjunktívnej formy, ktorá zodpovedá minimálnemu pokrytiu. Celkový počet listov zahrnutých v normálnej forme je vyjadrený nákladmi na krytie , kde je počet kociek, ktoré tvoria pokrytie danej funkcie n premenných. Minimálne krytie sa vyznačuje najnižšou hodnotou jeho ceny.

Problém minimalizácie sa zvyčajne rieši v dvoch krokoch. Najprv hľadáme zmenšený obal, ktorý zahŕňa všetky -kocky maximálneho rozmeru, ale neobsahuje ani jednu kocku pokrytú žiadnou kockou tohto obalu. Príslušná disjunktívna normálna forma sa nazýva redukovaná a jej minitermíny sa nazývajú jednoduché implikanty. Pre danú funkciu je redukované pokrytie jedinečné, ale môže byť zbytočné, pretože niektoré kocky sú prekryté kolekciami iných kociek.

V druhom kroku sa uskutoční prechod z redukovaných na slepé disjunktívne normálne formy, z ktorých sa vyberú minimálne formy. Slepé formy vznikajú tak, že sa zo zníženého pokrytia vylúčia všetky nadbytočné kocky, bez ktorých zostávajúca množina kociek stále tvorí krytie danej funkcie, ale pri ďalšom vylúčení niektorej z kociek už nepokrýva množinu všetkých vrcholy zodpovedajúce jednotlivým hodnotám funkcie, t.j. prestáva byť obalom.

Kocka so zníženým pokrytím, ktorá pokrýva vrcholy danej funkcie, ktoré nie sú pokryté žiadnou inou kockou, nemôže byť nadbytočná a bude vždy zahrnutá do minimálneho pokrytia. Takáto kocka, podobne ako jej zodpovedajúci implikant, sa nazýva extrémny (esenciálny implikant) a vrcholy, ktoré pokrýva, sa nazývajú zrušené vrcholy. Súbor extrémov tvorí jadro krytu, je zrejmé, že pri prechode od zmenšeného krytu k minimálnemu by sa v prvom rade mali izolovať všetky extrémy. Ak súbor extremálov netvorí kryt, tak sa doplní o kryt s kockami zo zmenšeného krytu.

Uvedené definície sú znázornené na obr. 3.9, kde je znížené pokrytie (pozri obr. 3.9a, ) a minimálne pokrytie (obr. 3.9b) a (pozri obr. 3.9, b) sú vyjadrené nasledovne.

Definícia 1.Spojkový jednočlen (elementárna spojka) premenných je spojenie týchto premenných alebo ich negácií.

Napríklad, je elementárna konjunkcia.

Definícia 2.Disjunktívny monomiál (elementárna disjunkcia) od premenných je disjunkcia týchto premenných alebo ich negácie.

Napríklad, je elementárna disjunkcia.

Definícia 3. Vzorec, ktorý je ekvivalentný danému vzorcu výrokovej algebry a je disjunkciou elementárnych konjunktívnych monočlenov, sa nazýva disjunktívna normálna forma(DNF) tohto vzorca.

Napríklad,– DNF.

Definícia 4. Vzorec, ktorý je ekvivalentný danému vzorcu výrokovej algebry a je konjunkciou elementárnych disjunktívnych monočlenov, sa nazýva konjunktívna normálna forma(CNF) tohto vzorca.

Napríklad, – KNF.

Pre každý vzorec výrokovej algebry možno nájsť množinu disjunktívnych a konjunktívnych normálnych foriem.

Algoritmus na vytváranie normálnych foriem

Pomocou ekvivalencií logickej algebry nahraďte všetky základné operácie vo vzorci: konjunkcia, disjunkcia, negácia:

Zbavte sa dvojitých negatívov.

Ak je to potrebné, aplikujte vlastnosti distribučných a absorpčných vzorcov na operácie konjunkcie a disjunkcie.

2.6. Dokonalé disjunktívne a dokonalé konjunktívne normálne formy

Akákoľvek booleovská funkcia môže mať mnoho reprezentácií vo forme DNF a CNF. Zvláštne miesto medzi týmito reprezentáciami zaujíma dokonalá DNF (SDNF) a dokonalá CNF (SCNF).

Definícia 1. Dokonalá disjunktívna normálna forma(SDNF) je DNF, v ktorom každý konjunktívny monomiál obsahuje každú premennú z množiny práve raz, buď samú seba, alebo jej negáciu.

Štrukturálne môže byť SDNF pre každý vzorec výrokovej algebry redukovaný na DNF definovaný takto:

Definícia 2. Dokonalá disjunktívna normálna forma(SDNF) vzorca výrokovej algebry sa nazýva jeho DNF, ktorý má tieto vlastnosti:

Definícia 3. Dokonalá konjunktívna normálna forma(SCNF) je CNF, v ktorom každý disjunktívny monomiál obsahuje každú premennú z množiny práve raz a objavuje sa buď sama, alebo jej negácia.

Štrukturálne môže byť SCNF pre každý vzorec výrokovej algebry redukovaný na CNF definovaný nasledovne.

Definícia 4. Dokonalá konjunktívna normálna forma(SCNF) daného vzorca výrokovej algebry sa nazýva CNF, ktorý spĺňa nasledujúce vlastnosti.

Veta 1. Každá booleovská funkcia premenných, ktorá nie je identicky nepravdivá, môže byť reprezentovaná v SDNF, a to jedinečným spôsobom.

Metódy na nájdenie SDNF

1. spôsob

2. spôsob

vyberte riadky, kde vzorec nadobúda hodnotu 1;

disjunkciu spojok skladáme pod podmienkou, že ak je premenná zahrnutá do spojky s hodnotou 1, tak túto premennú zapíšeme, ak s hodnotou 0, tak jej negáciu. Dostávame SDNF.

Veta 2. Každá booleovská funkcia premenných, ktorá nie je identicky pravdivá, môže byť reprezentovaná v SCNF, a to jedinečným spôsobom.

Metódy na nájdenie SCNF

1. spôsob– pomocou ekvivalentných transformácií:

2. spôsob- pomocou pravdivostných tabuliek:

vyberte riadky, kde má vzorec hodnotu 0;

konjunkciu disjunkcií skladáme za podmienky, že ak je v disjunkcii zahrnutá premenná s hodnotou 0, tak túto premennú zapíšeme, ak s hodnotou 1, tak jej negáciu. Dostávame SKNF.

Príklad 1 Zostrojte funkcie CNF.

Riešenie

Vylúčme spojku "" pomocou zákonov transformácie premenných:

= /de Morganove zákony a dvojitá negácia/ =

/distribučné zákony/ =

Príklad 2 Dajte vzorec DNF.

Riešenie

Vyjadrime logické operácie pomocou a:

= /zaraďme negáciu medzi premenné a redukujme dvojité zápory/ =

= /zákon distributivity/ .

Príklad 3 Napíšte vzorec v DNF a SDNF.

Riešenie

Pomocou zákonov logiky zredukujeme tento vzorec na formu obsahujúcu len disjunkcie elementárnych spojok. Výsledný vzorec bude požadovaný DNF:

Aby sme vytvorili SDNF, vytvorte pravdivostnú tabuľku pre tento vzorec:

Označíme tie riadky tabuľky, v ktorých má vzorec (posledný stĺpec) hodnotu 1. Pre každý takýto riadok vypíšeme vzorec, ktorý je pravdivý na množine premenných tohto riadku:

riadok 1: ;

riadok 3: ;

riadok 5: .

Disjunkcia týchto troch vzorcov nadobudne hodnotu 1 iba na množinách premenných v riadkoch 1, 3, 5, a preto bude požadovanou dokonalou disjunktívnou normálnou formou (PDNF):

Príklad 4. Prineste vzorec do SKNF dvoma spôsobmi:

a) použitím ekvivalentných transformácií;

b) pomocou pravdivostnej tabuľky.

Riešenie:

Transformujme druhú elementárnu disjunkciu:

Vzorec vyzerá takto:

b) zostavte pravdivostnú tabuľku pre tento vzorec:

Označíme tie riadky tabuľky, v ktorých má vzorec (posledný stĺpec) hodnotu 0. Pre každý takýto riadok vypíšeme vzorec, ktorý je pravdivý na množine premenných tohto riadku:

riadok 2: ;

riadok 6: .

Konjunkcia týchto dvoch vzorcov nadobudne hodnotu 0 iba na množinách premenných v riadkoch 2 a 6, a preto bude požadovanou dokonalou konjunktívnou normálnou formou (PCNF):

Otázky a úlohy na samostatné riešenie

1. Pomocou ekvivalentných transformácií zredukujte vzorce na DNF:

2. Pomocou ekvivalentných transformácií priveďte vzorce do CNF:

3. Pomocou druhého distribučného zákona preveďte DNF na CNF:

A) ;

4. Preveďte dané DNF na SDNF:

5. Preveďte daný CNF na SCNF:

6. Pre dané logické vzorce zostrojte SDNF a SCNF dvoma spôsobmi: pomocou ekvivalentných transformácií a pomocou pravdivostnej tabuľky.

b) ;

Konjunktívna normálna forma je vhodná na automatické dokazovanie teorémov. Akýkoľvek booleovský vzorec možno zredukovať na CNF. Na to môžete použiť: zákon dvojitej negácie, de Morganov zákon, distributivita.

Encyklopedický YouTube

• 1 / 5

  Vzorce v KNF:

  ¬ A ∧ (B ∨ C), (\displaystyle \neg A\wedge (B\vee C),) (A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C ∨ ¬ D) ∧ (D ∨ ¬ E) , (\displaystyle (A\vee B)\klin (\neg B\vee C\vee \neg D)\klin ( D\vee\neg E),) A∧B. (\displaystyle A\wedge B.)

  Vzorce nie v KNF:

  ¬ (B ∨ C) , (\displaystyle \neg (B\vee C),) (A ∧ B) ∨ C , (\displaystyle (A\klin B)\vee C,) A ∧ (B ∨ (D ∧ E)) . (\displaystyle A\wedge (B\vee (D\wedge E)).)

  Ale tieto 3 vzorce, ktoré nie sú v CNF, sú ekvivalentné nasledujúcim vzorcom v CNF:

  ¬ B ∧ ¬ C , (\displaystyle \neg B\wedge \neg C,) (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) , (\displaystyle (A\vee C)\wedge (B\vee C),) A ∧ (B ∨ D) ∧ (B ∨ E) . (\displaystyle A\wedge (B\vee D)\wedge (B\vee E).)

  Výstavba CNF

  Algoritmus na konštrukciu CNF

  1) Zbavte sa všetkých logických operácií obsiahnutých vo vzorci a nahraďte ich základnými: konjunkcia, disjunkcia, negácia. To možno vykonať pomocou ekvivalentných vzorcov:

  A → B = ¬ A ∨ B , (\displaystyle A\arrowarrow B=\neg A\vee B,) A ↔ B = (¬ A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬ B) . (\displaystyle A\leftrightarrow B=(\neg A\vee B)\wedge (A\vee \neg B).)

  2) Nahraďte znamienko negácie týkajúce sa celého výrazu znamienkami negácie, ktorá sa vzťahuje na jednotlivé výroky premennej na základe vzorcov:

  ¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B , (\displaystyle \neg (A\vee B)=\neg A\klin \neg B,) ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B . (\displaystyle \neg (A\klin B)=\neg A\vee \neg B.)

  3) Zbavte sa dvojitých negatívov.

  4) Ak je to potrebné, aplikujte vlastnosti distribučných a absorpčných vzorcov na operácie konjunkcie a disjunkcie.

  Príklad konštrukcie CNF

  Prenesme vzorec do CNF

  F = (X → Y) ∧ ((¬ Y → Z) → ¬ X) . (\displaystyle F=(X\šípka vpravo Y)\klin ((\neg Y\šípka vpravo Z)\šípka vpravo \neg X).)

  Poďme transformovať vzorec F (\displaystyle F) na vzorec, ktorý neobsahuje → (\displaystyle \rightarrow ):

  F = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ Y → Z) ∨ ¬ X) = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ Y ∨ Z) ​​​​∨ ¬ X) . (\displaystyle F=(\neg X\vee Y)\klin (\neg (\neg Y\šípka vpravo Z)\vee \neg X)=(\neg X\vee Y)\klin (\neg (\neg \ zápor Y\vee Z)\neg \neg X).)

  Vo výslednom vzorci prenesieme negáciu na premenné a znížime dvojité zápory:

  F = (¬ X ∨ Y) ∧ ((¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ ¬ X) . (\displaystyle F=(\neg X\vee Y)\klin ((\neg Y\klin \neg Z)\vee \neg X).)

  Napríklad nasledujúci vzorec je napísaný v 2-CNF:

  (A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬ C) . (\displaystyle (A\alebo B)\land (\neg B\lor C)\land (B\alebo \neg C).)

  Jednoduché konjunkcia volal konjunkcia jeden alebo niekoľko premenných, pri toto každý premenlivý stretáva nie viac jeden krát (alebo sama, alebo jej negácia).

  Ide napríklad o jednoduchú spojku,

  Disjunktívne normálne tvar(DNF) volal disjunkcia jednoduché spojky.

  Napríklad výraz je DNF.

  Perfektné disjunktívny normálne tvar(SDNF) volal Páči sa ti to disjunktívny normálne formulár, pri ktoré V každý konjunkcia zahrnuté Všetky premenných daný zoznam (alebo sami, alebo ich odmietavý postoj), a V jeden A objem alebook.

  Napríklad výraz je DNF, ale nie SDNF. Výraz je SDNF.

  Podobné definície (s nahradením spojky disjunkciou a naopak) platia pre CNF a SKNF. Uveďme presné znenie.

  Jednoduché disjunkcia volal disjunkcia jeden alebo niekoľko premenných, pri toto každý premenlivý zahrnuté nie viac jeden krát (alebo sama, alebo jej negácia).Výraz je napríklad jednoduchá disjunkcia,

  Konjunktiv normálne tvar(KNF) volal konjunkcia jednoduché disjunkcie(napríklad výraz je CNF).

  Dokonalá konjunktívna normálna forma (PCNF) je CNF, v ktorej každá jednoduchá disjunkcia zahŕňa všetky premenné daného zoznamu (buď samotné alebo ich negácie) a v rovnakom poradí.

  Napríklad výraz je SKNF.

  Ukážeme si algoritmy na prechod z jednej formy do druhej. Prirodzene, v špecifických prípadoch (s určitým kreatívnym prístupom) môže byť použitie algoritmov náročnejšie na prácu ako jednoduché transformácie pomocou špecifického typu daného formulára:

  a) prechod z DNF na CNF

  Algoritmus tohto prechodu je nasledujúci: nad DNF umiestnime dve negácie a pomocou De Morganových pravidiel (bez toho, aby sme sa dotkli hornej negácie), znížime negáciu DNF späť na DNF. V tomto prípade musíte otvoriť zátvorky pomocou absorpčného pravidla (alebo Blakeovho pravidla). Negácia (horná) výsledného DNF (opäť podľa de Morganovho pravidla) nám okamžite dáva CNF:

  Všimnite si, že CNF možno získať aj z pôvodného výrazu, ak vytiahneme pri mimo zátvoriek;

  b) prechod z CNF na DNF

  Tento prechod sa vykonáva jednoduchým otvorením zátvoriek (opäť sa používa absorpčné pravidlo)

  Tak sme dostali DNF.

  Reverzný prechod (od SDNF k DNF) je spojený s problémom minimalizácie DNF. Toto bude podrobnejšie diskutované v časti. 5, tu ukážeme, ako zjednodušiť DNF (alebo SDNF) podľa Blakeovho pravidla. Tento typ DNF sa nazýva skrátené DNF;

  c) skratka DNF (alebo SDNF) podľa pravidlo Blake

  Aplikácia tohto pravidla pozostáva z dvoch častí:

  Ak medzi disjunktnými pojmami v DNF sú pojmy , potom k celej disjunkcii pridáme výraz TO 1 TO 2. Túto operáciu vykonáme niekoľkokrát (možno postupne alebo súčasne) pre všetky možné dvojice pojmov a potom aplikujeme normálnu absorpciu;

  Ak bol pridaný výraz už v DNF obsiahnutý, možno ho úplne vypustiť, napr.

  alebo

  Samozrejme, že skratka DNF nie je jednoznačne definovaná, ale všetky obsahujú rovnaký počet písmen (napr. existuje DNF , po aplikovaní Blakeovho pravidla sa dá dospieť k DNF ekvivalentnému tomuto):

  c) prechod z DNF na SDNF

  Ak v nejakej jednoduchej spojke chýba premenná, napr. z, vložte do nej výraz a potom otvorte zátvorky (opakujúce sa nespojité pojmy nepíšeme). Napríklad:

  d) prechod z KNF na SKNF

  Tento prechod sa vykonáva podobným spôsobom ako predchádzajúci: ak v jednoduchej disjunkcii chýba nejaká premenná (napr. z, potom k nemu pridáme výraz (to nemení samotnú disjunkciu), po ktorom otvoríme zátvorky pomocou distribučného zákona:

  SKNF sa teda získal z CNF.

  Všimnite si, že minimálny alebo znížený CNF sa zvyčajne získa zo zodpovedajúceho DNF.

  Normálne formy logických funkcií Reprezentácia booleovskej funkcie vo forme disjunkcie konjunktívnych členov zložiek jednotky Ki 2,7 sa nazýva disjunktívna normálna forma DNF tejto funkcie. obsahujú práve jednu zo všetkých logických premenných braných s negáciami alebo bez nich, potom sa táto forma zobrazenia funkcie nazýva dokonalá disjunktívna normálna forma SDNF tejto funkcie. Ako vidíte, pri zostavovaní funkcie SDNF musíte vytvoriť disjunkciu všetkých mintermov, pre ktoré má funkcia hodnotu 1.

  
  Zdieľajte svoju prácu na sociálnych sieťach

  Ak vám táto práca nevyhovuje, v spodnej časti stránky je zoznam podobných prác. Môžete tiež použiť tlačidlo vyhľadávania

  
  

  Prednáška 1.xx

  Normálne formy logických funkcií

  Znázornenie booleovskej funkcie vo forme disjunkcie konjunktívnych členov (jednotkový prvok) K i

  , (2.7)

  volal disjunktívna normálna forma(DNF) tejto funkcie.

  Ak sú všetky spojovacie výrazy v DNF minterms , t.j. obsahujú práve jednu zo všetkých logických premenných, braných s negáciami alebo bez nich, potom sa táto forma reprezentácie funkcie nazývadokonalá disjunktívna normálna forma(SDNF ) túto funkciu. Volá sa SDNF perfektné , pretože každý člen v disjunkcii zahŕňa všetky premenné; disjunktívny , pretože hlavnou operáciou vo vzorci je disjunkcia. Koncept "normálny tvar” znamená jednoznačný spôsob zápisu vzorca, ktorý implementuje danú funkciu.

  Berúc do úvahy vyššie uvedené, z vety 2.1 vyplýva nasledujúca veta.

  Veta 2. Akákoľvek boolovská funkcia(nie identicky 0) môžu byť prezentované v SDNF, .

  Príklad 3 Nech máme tabuľku danú funkciu f (x 1, x 2, x 3) (tabuľka 10).

  Tabuľka 10

  			f (x 1 , x 2 , x 3 )

  Na základe vzorca (2.6) dostaneme:

  Ako vidíte, pri zostavovaní funkcie SDNF musíte vytvoriť disjunkciu všetkých mintermov, pre ktoré má funkcia hodnotu 1.

  Znázornenie booleovskej funkcie vo forme spojenia disjunktívnych členov (nulový prvok) D i

  , (2.8)

  volal konjunktívna normálna forma(CNF) tejto funkcie.

  Ak sú všetky disjunktívne výrazy CNF maxterms , teda obsahujú práve jednu zo všetkých logických premenných funkcie, branú s negáciami alebo bez negácií, potom sa takýto CNF nazývadokonalá konjunktívna normálna forma(SKNF) tejto funkcie.

  Veta 3. Akákoľvek boolovská funkcia(nie je totožná s 1) možno predložiť SKNF, a takéto zastúpenie je jediné.

  Dôkaz vety možno vykonať podobne ako dôkaz vety 2.1 na základe nasledujúcej Shannonovej lemy o konjunktívnom rozklade.

  Shannonova lemma . Akákoľvek boolovská funkcia f (x 1, x 2, …, x m) z m premenné môžu byť reprezentované takto:

  . (2.9)

  Treba poznamenať, že obe formy reprezentácie logickej funkcie (DNF a CNF) sú teoreticky rovnaké vo svojich schopnostiach: akýkoľvek logický vzorec môže byť reprezentovaný ako v DNF (okrem identickej nuly), tak v CNF (okrem identickej). ). V závislosti od situácie môže byť reprezentácia funkcie v tej či onej forme kratšia.

  V praxi sa najčastejšie používa DNF, pretože táto forma je človeku známejšia: od detstva je zvyknutý viac sčítať produkty ako násobiť sumy (v druhom prípade má intuitívne túžbu otvoriť zátvorky a tým prejsť k DNF).

  Príklad 4. Pre funkciu f (x 1 , x 2 , x 3 ), ktoré uvádza tabuľka. 10, napíšte to na SKNF.

  Na rozdiel od SDNF, pri zostavovaní SCNF v pravdivostnej tabuľke logickej funkcie sa musíte pozrieť na kombinácie premenných, pri ktorých má funkcia hodnotu 0, a vytvoriť spojenie zodpovedajúcich maxtermov,ale premenné treba brať s reverznou inverziou:

  Treba poznamenať, že nie je možné priamo prejsť z SDNF funkcie na jej SCNF alebo naopak. Pri pokusoch o takéto transformácie sú výsledkom funkcie, ktoré sú opakom požadovaných. Výrazy pre funkcie SDNF a SCNF možno priamo získať iba z ich pravdivostnej tabuľky.

  Príklad 5. Pre funkciu f (x 1 , x 2 , x 3 ), ktoré uvádza tabuľka. 10, skúste prejsť z SDNF na SKNF.

  Použitím výsledku z príkladu 2.3 dostaneme:

  Ako vidíte, pod všeobecnou inverziou sme získali SCNF logickej funkcie, ktorá je inverznou funkciou získanou v príklade 2.4:

  pretože obsahuje všetky maxtermy, ktoré nie sú vo výraze pre SCNF uvažovanej funkcie.

  1. Pomocou vlastností operácií (pozri tabuľku 9) identita (), súčet modulo 2 (), implikácia () prejdeme k operáciám AND, OR, NOT (na booleovskej báze).

  2. Pomocou vlastností negácie a De Morganových zákonov (pozri tabuľku 9) zabezpečíme, aby sa operácie negácie vzťahovali iba na jednotlivé premenné, a nie na celé výrazy.

  3. Pomocou vlastností logických operácií AND a OR (pozri tabuľku 9) získame normálnu formu (DNF alebo CNF).

  4. V prípade potreby prejdite na dokonalé formy (SDNF alebo SKNF). Napríklad na získanie SCNF často potrebujete použiť vlastnosť: .

  Príklad 6. Preveďte logickú funkciu na SKNF

  Vykonaním krokov vyššie uvedeného algoritmu v poradí dostaneme:

  Pomocou absorpčnej vlastnosti dostaneme:

  Takto sme získali funkciu CNF f (x 1, x 2, x 3 ). Ak chcete získať jeho SCNF, musíte zopakovať každú disjunkciu, v ktorej chýba akákoľvek premenná, dvakrát s touto premennou a s jej negáciou:

  2.2.6. Minimalizácia logických funkcií

  Keďže rovnaká logická funkcia môže byť reprezentovaná ako h osobné vzorce, potom nájdenie najjednoduchšej formy R mule definujúca boolovskú funkciu, zjednodušuje logický obvod, ktorý implementuje booleovskú funkciu na tion. Minimálna forma l O logická funkciav nejakom základe môžeme považovať taký, ktorý obsahuje minimálny počet superpozícií zábavy Komu s prihliadnutím na zátvorky. Je však ťažké vybudovať efektívny l algoritmus pre takúto minimalizáciu na získanie minimálnej zátvorky r my.

  Uvažujme jednoduchší minimalizačný problém v syntéze kombinačných obvodov, v ktorom nehľadáme minimálnu zátvorkovú formu funkcie, ale jej minimálnu DNF. Na túto úlohu existujú jednoduché a efektívne algoritmy.

  Quineova metóda

  Funkcia, ktorá sa má minimalizovať, je znázornená v SDNF a aplikujú sa na ňu všetky možné neúplné operácie lepenia

  , (2.10)

  a potom absorpciu

  , (2.11)

  a táto dvojica krokov sa aplikuje opakovane. Takto je možné redukovať rad pojmov. Tento postup sa opakuje, až kým nezostane jediný výraz, ktorý by sa dal spojiť s iným výrazom.

  Všimnite si, že ľavú stranu rovnice (2.10) možno okamžite minimalizovať jednoduchším a zrejmejším spôsobom:

  Táto metóda je zlá, pretože pri takejto priamej minimalizácii spojovacie pojmy buď zmiznú, aj keď stále existujú možné prípady ich použitia na lepenie a absorpciu so zvyšnými pojmami.

  Je potrebné poznamenať, že Quineova metóda je pomerne náročná na prácu, takže pravdepodobnosť chýb počas transformácií je pomerne vysoká. Jeho výhodou však je, že teoreticky ho možno použiť pre ľubovoľný počet argumentov a so zvyšujúcim sa počtom premenných sa transformácie stávajú menej komplikovanými.

  Metóda Karnaughovej mapy

  Metóda Carnotových máp (tabuľiek) je vizuálnejší, menej prácny a spoľahlivý spôsob minimalizácie logických funkcií, ale jej použitie je prakticky obmedzené na funkcie 3-4 premenných, maximálne 5-6 premenných.

  Carnotova mapa toto je dvojrozmerná tabuľková forma reprezentujúca pravdivostnú tabuľku booleovskej funkcie, ktorá vám umožňuje ľahko nájsť minimálne DNF logických funkcií v grafickej vizuálnej forme. Každá bunka tabuľky je spojená s minimálnou hodnotou SDNF funkcie, ktorá je minimalizovaná, a to takým spôsobom, že všetky osi symetrie tabuľky zodpovedajú zónam, ktoré sú vzájomne inverzné vzhľadom na nejakú premennú. Toto usporiadanie buniek v tabuľke uľahčuje určenie adhéznych podmienok SDNF (líši sa v inverznom znamienku iba jednej premennej): sú umiestnené symetricky v tabuľke.

  Pravdivé tabuľky a Carnaughove mapy pre funkcie AND a OR dvoch jazdných pruhov e Premenné sú uvedené na obr. 8. V každej bunke karty je zapísaná hodnota A Hodnota funkcie na množine hodnôt argumentov zodpovedajúcich tejto bunke N súdruh

  A) A b) ALEBO

  Ryža. 8. Príklad Karnaughových máp pre funkcie dvoch premenných

  V Karnaughovej mape je len jedna 1 pre funkciu And, takže sa nedá k ničomu prilepiť. Výraz pre minimálnu funkciu bude obsahovať iba výraz zodpovedajúci tejto 1:

  f = x y.

  V Carnotovej mape pre funkciu OR sú už tri 1 a môžete vytvoriť dva lepiace sa páry, pričom 1 zodpovedá výrazu xy , je použitý dvakrát. Vo výraze pre minimálnu funkciu musíte zapísať výrazy pre páry, ktoré sa spájajú, ponechať v nich všetky premenné, ktoré sa pre tento pár nemenia, a odstrániť premenné, ktoré menia svoju hodnotu. Pre horizontálne lepenie dostaneme X a pre vertikálne r , ako výsledok dostaneme výraz

  f = x + y.

  Na obr. 9 zobrazuje pravdivostné tabuľky dvoch funkcií troch premenných ( A ) a ich Carnotove mapy ( b a c). Funkcia f 2 sa od prvého líši tým, že nie je definovaný na troch súboroch premenných (v tabuľke je to označené pomlčkou).

  Pri určovaní minimálnej funkcie DNF sa používajú nasledujúce pravidlá. Všetky bunky obsahujúce 1 sú spojené do uzavretých obdĺžnikových oblastí tzv k-kocky, kde k = log 2 K, K množstvo 1 v obdĺžnikovej oblasti. V tomto prípade by každá oblasť mala byť obdĺžnik s počtom buniek 2 k, kde k = 0, 1, 2, 3, …. Pre k = 1 obdĺžnik sa nazýva jedna je kocka a obsahuje 2 1 = 2 jednotky; pre k = 2 obdĺžnik obsahuje 2 2 = 4 jednotky a je tzv dvojkocka; pre k = 3 oblasť 2 3 = 8 jednotiek sa nazýva trojkocka ; atď. Jednotky, ktoré sa nedajú spojiť do obdĺžnikov, možno volať nulové kocky , ktoré obsahujú iba jednu jednotku (2 0 = 1). Ako vidno, pre dokonca k oblasti môžu mať štvorcový tvar (ale nie nevyhnutne), a ak sú nepárne k iba obdĺžniky.

  						b c

  Ryža. 9. Príklad Karnaughových máp pre funkcie troch premenných

  Tieto oblasti sa môžu prekrývať, to znamená, že rovnaké bunky môžu vstúpiť do rôznych oblastí. Potom sa minimálna funkcia DNF zapíše ako disjunkcia všetkých zodpovedajúcich konjunktívnych členov k - kocky.

  Každá z uvedených oblastí na Karnaughovej mape je reprezentovaná v minimálnom DNF konjunkciou, počtom argumentov, v ktorých je k menší ako celkový počet argumentov funkcie m , teda toto číslo sa rovná mk . Každá konjunkcia minimálneho DNF je zložená len z tých argumentov, ktoré pre príslušnú oblasť mapy majú hodnoty buď bez inverzií, alebo len s inverziami, t.j. nemenia ich význam.

  Pri pokrývaní buniek mapy uzavretými oblasťami by sme sa teda mali snažiť zabezpečiť, aby počet oblastí bol minimálny a každá oblasť obsahovala čo najviac buniek, pretože v tomto prípade bude počet výrazov v minimálnom DNF minimálny a počet argumentov v zodpovedajúcej konjunkcii bude minimálny.

  Pre funkciu podľa Karnaughovej mapy na obr. 9, b nájdeme

  keďže pre hornú uzavretú oblasť premenné x 1 a x 2 majú hodnoty bez inverzií, pre nižšie x 1 záležitosti s inverziou, a x 3 bez inverzie.

  Nedefinované hodnoty v mape na obr. 9, V môže byť ďalej definované nahradením nulou alebo jednotkou. Pre túto funkciu je zrejmé, že je výhodnejšie obe nedefinované hodnoty nahradiť 1. V tomto prípade sa vytvoria dve oblasti, ktoré sú rôznymi typmi 2-kociek. Potom bude výraz pre minimálnu funkciu DNF takýto:

  Pri konštrukcii uzavretých priestorov je dovolené zložiť Carnotovu mapu do valca horizontálne aj vertikálne. R tikal osi so spojením protiľahlých plôch R vy, t. j. jednotky umiestnené pozdĺž okrajov mapy Carnotovej symetrie h ale dá sa aj kombinovať.

  Carnaughove mapy je možné kresliť rôznymi spôsobmi (obr. 10).

  									x 2 x 3

  a b

  Ryža. 10. Rôzne spôsoby zobrazenia máp Carnaugha
  pre funkciu 3 premenných

  Ale najpohodlnejšie možnosti pre Karnaughove mapy pre funkcie 2-4 premenných sú tie, ktoré sú znázornené na obr. 11 tabuliek, pretože zobrazujú pre každú bunku A Všetky premenné máme v priamej alebo inverznej forme.

  a b

  Ryža. jedenásť. Najpohodlnejší obrázok máp Carnaugh
  pre funkcie 3 ( a) a 4 b) premenné

  Pre funkcie 5 a 6 premenných platí metóda znázornená na obr. 10, V .

  Ryža. 12. Obrázok Karnaughovej mapy pre funkciu 5 premenných

  Ryža. 13. Obrázok Karnaughovej mapy pre funkciu 6 premenných

  Ďalšie podobné diela, ktoré by vás mohli zaujímať.vshm>
  9020.		PRINCÍP DUALITY. ROZŠÍRENIE BOOLEANSKÝCH FUNKCIÍ DO PREMENNÝCH. DOKONALÉ DISJUNKTÍVNE A KONJUNKTÍVNE NORMÁLNE FORMY	96,34 kB
  	Táto veta má konštruktívny charakter, pretože umožňuje každej funkcii zostrojiť vzorec, ktorý ju implementuje vo forme dokonalého d.n. f. Aby sme to urobili, v pravdivostnej tabuľke pre každú funkciu označíme všetky riadky, v ktorých
  6490.		Popis a minimalizácia logických funkcií	187,21 kB
  	Vzťah medzi argumentmi funkcie a jej hodnotami je vyjadrený verbálne. Príklad: Trojargumentová funkcia nadobudne hodnotu, keď sa dva alebo viaceré argumenty funkcie rovnajú. Pozostáva z vytvorenia pravdivostnej tabuľky obsahujúcej funkčné hodnoty pre všetky sady hodnôt argumentov. V tomto príklade pomocou pravdivostnej tabuľky získame nasledujúci záznam vo forme DNF...
  6707.		Návrh relačných databáz. Konštrukčné problémy v klasickom prístupe. Princípy normalizácie, normálne formy	70,48 kB
  	Čo je projekt relačnej databázy Ide o množinu vzájomne prepojených vzťahov, v ktorých sú definované všetky atribúty, špecifikované primárne kľúče vzťahov a špecifikované niektoré ďalšie vlastnosti vzťahov, ktoré súvisia s princípmi zachovania integrity. Návrh databázy preto musí byť veľmi presný a overený. V skutočnosti je databázový projekt základom budúceho softvérového balíka, ktorý bude používať pomerne dlho a veľa používateľov.
  4849.		Formy a spôsoby realizácie funkcií štátu	197,3 kB
  	Pojem „funkcia“ nemá v domácej a zahraničnej vedeckej literatúre ani zďaleka rovnaký význam. Vo filozofickom a všeobecnom sociologickom zmysle sa považuje za „vonkajší prejav vlastností objektu v danom systéme vzťahov“; ako súbor bežných alebo špecifických činov jednotlivcov alebo orgánov
  17873.		Formovanie logického UUD pre žiakov 3. ročníka	846,71 kB
  	Psychologické a pedagogické aspekty problému formovania logických univerzálnych akcií u žiakov základných škôl Metódy hodnotenia tvorby logických UUD. Vypracovanie koncepcie rozvoja univerzálnych vzdelávacích aktivít vo všeobecnom vzdelávacom systéme zodpovedá novým spoločenským potrebám. Najdôležitejšou úlohou moderného vzdelávacieho systému je formovanie univerzálnych vzdelávacích aktivít UUD. Vytváranie univerzálnych vzdelávacích aktivít je kľúčom k predchádzaniu školských ťažkostí.
  2638.		Technická implementácia logických spojení v automatických blokovacích systémoch	1,04 MB
  	Technická implementácia logických spojení v automatických blokovacích systémoch Technickú implementáciu riadiacich algoritmov pre trojmiestne a štvormiestne batérie je možné dosiahnuť pomocou reléového kontaktu a bezkontaktných diskrétnych a integrálnych logických prvkov...
  10203.		APLIKÁCIA KONCEPTU RIZIKO ORIENTOVANÉHO PRÍSTUPU PRI BUDOVANÍ ŠTRUKTURÁLNYCH A LOGICKÝCH MODELOV VÝSKYTU A VÝVOJA NÚDZOVÝCH	70,8 kB
  	Všeobecná analýza rizík Výrobné prostredie sa presýti výkonnými technologickými systémami a technológiami, vďaka ktorým je ľudská práca produktívnejšia a menej fyzicky náročná, no o to nebezpečnejšia. Riziko je charakterizované neočakávanosťou a náhlosťou vzniku nebezpečnej situácie. Každý deň sa stretávame s mnohými rizikami, ale väčšina z nich zostáva potenciálna.Teória rizík poskytuje kvantitatívne hodnotenie negatívneho dopadu na človeka, ako aj poškodenia jeho zdravia a života.
  11576.		Pojem, typy a formy transakcií. Dôsledky nedodržania požadovanej formy transakcií	49,82 kB
  	Rozpoznanie transakcie ako neplatnej; typy neplatných transakcií. Aplikovaná hodnota práce v kurze spočíva v zjednodušení konceptu transakcie, teda jej verejnej prezentácie v prístupnejšej forme.
  6213.		Aproximácia funkcie	3,08 MB
  	Prvá pozostáva z nahradenia určitej analyticky alebo tabuľkovo špecifikovanej funkcie inou funkciou blízkou pôvodnej, ale jednoduchšou a pohodlnejšou na výpočty. Napríklad nahradenie funkcie polynómom vám umožňuje získať jednoduché vzorce na numerickú integráciu a diferenciáciu; Nahradenie tabuľky funkciou aproximácie vám umožní získať hodnoty v jej medziľahlých bodoch. Vzniká aj druhý problém: obnovenie funkcie na určitom segmente z hodnôt funkcie danej na tomto segmente v diskrétnej množine bodov. Odpoveď na túto otázku...
  14058.		Evolúcia funkcií štátu	29,99 kB
  	Ruský štát ako právny fenomén musí predovšetkým zabezpečiť realizáciu účelu štátu ako aj jeho hlavných ústavných charakteristík ako demokratického federálneho právneho sociálneho sekulárneho štátu s republikánskou formou vlády. Hlavný účel štátu určuje čl.