Vedomosti základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy nemenej dôležité ako poznať násobilku. Sú ako základ, všetko je založené na nich, všetko sa z nich stavia a všetko na nich spočíva.

V tomto článku uvádzame všetky hlavné elementárne funkcie, uvádzame ich grafy a uvádzame ich bez odvodzovania a dôkazov. vlastnosti základných elementárnych funkcií podľa schémy:

• správanie funkcie na hraniciach definičného oboru, vertikálne asymptoty (v prípade potreby pozri článok klasifikácia bodov zlomu funkcie);
• párne a nepárne;
• konvexnosť (konvexnosť smerom nahor) a konkávnosť (konvexnosť smerom nadol) intervaly, inflexné body (v prípade potreby pozri článok funkcia konvexita, smer konvexnosti, inflexné body, podmienky konvexnosti a inflexie);
• šikmé a horizontálne asymptoty;
• singulárne body funkcií;
• špeciálne vlastnosti niektorých funkcií (napríklad najmenšia kladná perióda pre goniometrické funkcie).

Ak máte záujem alebo, potom môžete prejsť na tieto časti teórie.

Základné elementárne funkcie sú: konštantná funkcia (konštanta), odmocnina n-tého stupňa, mocninná funkcia, exponenciálna, logaritmická funkcia, goniometrické a inverzné goniometrické funkcie.

Navigácia na stránke.

Trvalá funkcia.

Konštantná funkcia je daná na množine všetkých reálnych čísel vzorcom , kde C je nejaké reálne číslo. Konštantná funkcia priraďuje každej reálnej hodnote nezávislej premennej x rovnakú hodnotu závisle premennej y - hodnotu С. Konštantná funkcia sa tiež nazýva konštanta.

Graf konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou x a prechádzajúca bodom so súradnicami (0,C) . Ukážme si napríklad grafy konštantných funkcií y=5 , y=-2 a , ktoré na obrázku nižšie zodpovedajú čiernej, červenej a modrej čiare.

Vlastnosti konštantnej funkcie.

• Oblasť definície: celá množina reálnych čísel.
• Konštantná funkcia je rovnomerná.
• Rozsah hodnôt: množina pozostávajúca z jedného čísla C .
• Konštantná funkcia je nerastúca a neklesajúca (preto je konštantná).
• O konvexnosti a konkávnosti konštanty nemá zmysel hovoriť.
• Neexistuje žiadna asymptota.
• Funkcia prechádza bodom (0,C) súradnicovej roviny.

Koreň n-tého stupňa.

Uvažujme základnú elementárnu funkciu, ktorá je daná vzorcom , kde n je prirodzené číslo väčšie ako jedna.

Odmocnina n-tého stupňa, n je párne číslo.

Začnime s n-tou odmocninou funkciou pre párne hodnoty koreňového exponentu n .

Napríklad dávame obrázok s obrázkami grafov funkcií a , zodpovedajú čiernym, červeným a modrým čiaram.

Grafy funkcií koreňa párneho stupňa majú podobnú formu pre iné hodnoty ukazovateľa.

Vlastnosti koreňa n-tého stupňa pre párne n .

Odmocnina n-tého stupňa, n je nepárne číslo.

Odmocnina n-tého stupňa s nepárnym exponentom odmocniny n je definovaná na celej množine reálnych čísel. Napríklad uvádzame grafy funkcií a korešpondujú s nimi čierne, červené a modré krivky.

Pre ostatné nepárne hodnoty koreňového exponentu budú mať grafy funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti koreňa n-tého stupňa pre nepárne n .

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia je daná vzorcom v tvare .

Zvážte typ grafov mocninnej funkcie a vlastnosti mocninnej funkcie v závislosti od hodnoty exponentu.

Začnime mocninnou funkciou s celočíselným exponentom a . V tomto prípade forma grafov mocninných funkcií a vlastnosti funkcií závisia od párneho alebo nepárneho exponentu, ako aj od jeho znamienka. Preto najprv uvažujeme mocninné funkcie pre nepárne kladné hodnoty exponentu a, potom pre párne kladné, potom pre nepárne záporné exponenty a nakoniec pre párne záporné a.

Vlastnosti mocninných funkcií so zlomkovými a iracionálnymi exponentmi (ako aj typ grafov takýchto mocninných funkcií) závisia od hodnoty exponentu a. Budeme ich uvažovať po prvé, keď a je od nuly do jedna, po druhé, keď a je väčšie ako jedna, po tretie, keď a je od mínus jedna do nuly, a po štvrté, keď a je menšie ako mínus jedna.

Na záver tohto pododdielu si pre úplnosť popíšeme mocninnú funkciu s nulovým exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s nepárnym kladným exponentom, teda s a=1,3,5,… .

Na obrázku nižšie sú znázornené grafy mocninových funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=1 máme lineárna funkcia y=x.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s párnym kladným exponentom, teda pre a=2,4,6,… .

Ako príklad si zoberme grafy mocninných funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara. Pre a=2 máme kvadratickú funkciu, ktorej graf je kvadratická parabola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym záporným exponentom.

Pozrite sa na grafy exponenciálnej funkcie pre nepárne záporné hodnoty exponentu, to znamená pre \u003d -1, -3, -5, ....

Na obrázku sú príklady grafov exponenciálnych funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=-1 máme inverzná úmernosť, ktorej graf je hyperbola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym záporným exponentom.

Prejdime na mocninovú funkciu pri a=-2,-4,-6,….

Na obrázku sú znázornené grafy mocninných funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s racionálnym alebo iracionálnym exponentom, ktorej hodnota je väčšia ako nula a menšia ako jedna.

Poznámka! Ak a je kladný zlomok s nepárnym menovateľom, potom niektorí autori považujú interval za definičný obor mocninnej funkcie. Zároveň je stanovené, že exponent a je nezredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a začiatkoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve takého názoru, to znamená, že za množinu budeme považovať oblasti mocninných funkcií s zlomkovými kladnými exponentmi. Odporúčame študentom, aby získali názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.

Uvažujme mocninnú funkciu s racionálnym alebo iracionálnym exponentom a, a.

Uvádzame grafy mocninných funkcií pre a=11/12 (čierna čiara), a=5/7 (červená čiara), (modrá čiara), a=2/5 (zelená čiara).

Mocninná funkcia s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom väčším ako jedna.

Uvažujme mocninnú funkciu s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom a , a .

Uveďme grafy mocninných funkcií dané vzorcami (čierne, červené, modré a zelené čiary).

>

Pre ostatné hodnoty exponentu a budú mať grafy funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti výkonovej funkcie pre .

Mocninná funkcia so skutočným exponentom väčším ako mínus jedna a menším ako nula.

Poznámka! Ak a je záporný zlomok s nepárnym menovateľom, niektorí autori berú do úvahy interval . Zároveň je stanovené, že exponent a je nezredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a začiatkoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve takéhoto pohľadu, to znamená, že domény mocninných funkcií so zlomkovými zápornými exponentmi budeme považovať za množinu, resp. Odporúčame študentom, aby získali názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.

Prejdeme k mocninovej funkcii , kde .

Aby ste mali dobrú predstavu o type grafov mocninových funkcií pre , uvádzame príklady grafov funkcií (čierne, červené, modré a zelené krivky).

Vlastnosti mocninnej funkcie s exponentom a , .

Mocninná funkcia s neceločíselným reálnym exponentom, ktorý je menší ako mínus jedna.

Uveďme príklady grafov mocninových funkcií pre , sú zobrazené čiernou, červenou, modrou a zelenou čiarou.

Vlastnosti mocninnej funkcie s neceločíselným záporným exponentom menším ako mínus jedna.

Keď a=0 a máme funkciu - je to priamka, z ktorej je vylúčený bod (0; 1) (výraz 0 0 bol dohodnutý tak, že nepripisuje žiadnu dôležitosť).

Exponenciálna funkcia.

Jednou zo základných elementárnych funkcií je exponenciálna funkcia.

Graf exponenciálnej funkcie, kde a má rôznu podobu v závislosti od hodnoty bázy a. Poďme na to.

Najprv zvážte prípad, keď základ exponenciálnej funkcie nadobudne hodnotu od nuly do jednej, teda .

Napríklad uvádzame grafy exponenciálnej funkcie pre a = 1/2 - modrá čiara, a = 5/6 - červená čiara. Grafy exponenciálnej funkcie majú podobný vzhľad pre ostatné hodnoty základne z intervalu.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základňou menšou ako jedna.

Obrátime sa na prípad, keď je základ exponenciálnej funkcie väčší ako jedna, teda .

Pre ilustráciu uvádzame grafy exponenciálnych funkcií - modrá čiara a - červená čiara. Pre ostatné hodnoty základu, väčšie ako jedna, budú mať grafy exponenciálnej funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom väčším ako jedna.

Logaritmická funkcia.

Ďalšou základnou elementárnou funkciou je logaritmická funkcia , kde , . Logaritmická funkcia je definovaná iba pre kladné hodnoty argumentu, teda pre .

Graf logaritmickej funkcie nadobúda rôznu podobu v závislosti od hodnoty bázy a.

Súradnica absolútne akéhokoľvek bodu v rovine je určená jeho dvoma hodnotami: pozdĺž osi x a osi y. Množina mnohých takýchto bodov je grafom funkcie. Podľa neho vidíte, ako sa mení hodnota Y v závislosti od zmeny hodnoty X. Môžete tiež určiť, v ktorom úseku (intervale) funkcia rastie a v ktorom klesá.

Poučenie

• Čo možno povedať o funkcii, ak je jej graf priamka? Pozrite sa, či táto čiara prechádza cez počiatok súradníc (to znamená ten, kde hodnoty X a Y sú 0). Ak prejde, tak takúto funkciu popisuje rovnica y = kx. Je ľahké pochopiť, že čím väčšia je hodnota k, tým bližšie bude táto čiara k osi y. A samotná os Y vlastne zodpovedá nekonečne veľkej hodnote k.
• Pozrite sa na smer funkcie. Ak ide „vľavo dole - vpravo hore“, teda cez 3. a 1. súradnicovú štvrtinu, zvyšuje sa, ale ak „vľavo hore - vpravo dole“ (cez 2. a 4. štvrtinu), klesá.
• Keď priamka neprechádza počiatkom, je opísaná rovnicou y = kx + b. Čiara pretína os y v bode, kde y = b, pričom hodnota y môže byť kladná alebo záporná.
• Funkcia sa nazýva parabola, ak je opísaná rovnicou y = x^n a jej tvar závisí od hodnoty n. Ak n je ľubovoľné párne číslo (v najjednoduchšom prípade je kvadratická funkcia y = x^2), grafom funkcie je krivka prechádzajúca počiatočným bodom, ako aj bodmi so súradnicami (1; 1), (- 1; 1), pre jednotku k akémukoľvek výkonu zostane jednotkou. Všetky hodnoty y zodpovedajúce akýmkoľvek nenulovým hodnotám X môžu byť iba kladné. Funkcia je symetrická okolo osi Y a jej graf sa nachádza v 1. a 2. súradnicovej štvrtine. Dá sa ľahko pochopiť, že čím väčšia je hodnota n, tým bližšie bude graf k osi Y.
• Ak je n nepárne číslo, grafom tejto funkcie je kubická parabola. Krivka sa nachádza v 1. a 3. súradnicovej štvrtine, je symetrická okolo osi Y a prechádza cez počiatok, ako aj cez body (-1;-1), (1;1). Keď je kvadratickou funkciou rovnica y = ax^2 + bx + c, tvar paraboly je rovnaký ako v najjednoduchšom prípade (y = x^2), ale jej vrchol nie je v počiatku.
• Funkcia sa nazýva hyperbola, ak je opísaná rovnicou y = k/x. Dá sa ľahko vidieť, že keď hodnota x smeruje k 0, hodnota y rastie do nekonečna. Funkčný graf je krivka pozostávajúca z dvoch vetiev a umiestnená v rôznych súradnicových štvrtiach.

Tento metodický materiál je len orientačný a pokrýva široké spektrum tém. Článok poskytuje prehľad grafov hlavných elementárnych funkcií a zaoberá sa najdôležitejšou otázkou - ako správne a RÝCHLO zostaviť graf. V priebehu štúdia vyššej matematiky bez znalosti grafov základných elementárnych funkcií to bude ťažké, preto je veľmi dôležité zapamätať si, ako vyzerajú grafy paraboly, hyperboly, sínusu, kosínusu atď., zapamätať si niektoré funkčné hodnoty. Povieme si aj o niektorých vlastnostiach hlavných funkcií.

Nepredstieram úplnosť a vedeckú dôkladnosť materiálov, dôraz budem klásť predovšetkým na prax - tie veci, s ktorými človek musí čeliť doslova na každom kroku, v akejkoľvek téme vyššej matematiky. Tabuľky pre figuríny? Dá sa to povedať.

Na základe dopytu čitateľov klikateľný obsah:

Okrem toho je k téme ultrakrátky abstrakt
– ovládnite 16 typov grafov štúdiom ŠESŤ strán!

Vážne, šesť, aj ja sám som bol prekvapený. Tento abstrakt obsahuje vylepšenú grafiku a je k dispozícii za symbolický poplatok, môžete si pozrieť demo verziu. Súbor je vhodné vytlačiť, aby ste mali grafy vždy po ruke. Ďakujeme za podporu projektu!

A hneď začíname:

Ako správne zostaviť súradnicové osi?

V praxi testy takmer vždy vypracúvajú žiaci do samostatných zošitov, vyskladaných v klietke. Prečo potrebujete kockované označenie? Koniec koncov, prácu je možné v zásade vykonať na listoch A4. A klietka je potrebná práve pre kvalitný a presný dizajn výkresov.

Akékoľvek kreslenie funkčného grafu začína súradnicovými osami.

Výkresy sú dvojrozmerné a trojrozmerné.

Uvažujme najskôr o dvojrozmernom prípade Kartézsky súradnicový systém:

1) Nakreslíme súradnicové osi. Os je tzv os x a os os y . Vždy sa ich snažíme nakresliť úhľadné a nie krivé. Šípky by tiež nemali pripomínať bradu Papa Carla.

2) Osy podpisujeme veľkými písmenami „x“ a „y“. Nezabudnite podpísať osy.

3) Nastavte mierku pozdĺž osí: nakreslite nulu a dve jednotky. Pri vytváraní výkresu je najpohodlnejšia a najbežnejšia mierka: 1 jednotka = 2 bunky (výkres vľavo) - ak je to možné, držte sa. Z času na čas sa však stane, že sa nám kresba nezmestí na hárok zošita – vtedy zmenšíme mierku: 1 jednotka = 1 bunka (výkres vpravo). Zriedkavo, ale stáva sa, že mierka kresby sa musí ešte viac zmenšiť (alebo zväčšiť).

NEČMÁHAJTE zo samopalu ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Súradnicová rovina totiž nie je Descartovým pomníkom a študent nie je holubica. Dali sme nula a dve jednotky pozdĺž osí. Niekedy namiesto jednotky, je vhodné „detekovať“ iné hodnoty, napríklad „dva“ na osi x a „tri“ na osi y - a tento systém (0, 2 a 3) tiež jednoznačne nastaví súradnicovú sieť.

Odhadované rozmery výkresu je lepšie odhadnúť PRED kreslením výkresu.. Ak teda úloha vyžaduje napríklad nakreslenie trojuholníka s vrcholmi , , , potom je celkom jasné, že populárna mierka 1 jednotka = 2 bunky nebude fungovať. prečo? Pozrime sa na vec - tu musíte merať pätnásť centimetrov nadol a kresba sa, samozrejme, nezmestí (alebo sa sotva zmestí) na list poznámkového bloku. Preto hneď vyberieme menšiu mierku 1 jednotka = 1 bunka.

Mimochodom, asi centimetre a bunky notebooku. Je pravda, že v 30 bunkách notebooku je 15 centimetrov? Odmerajte si v zošite pre zaujímavosť pravítkom 15 centimetrov. V ZSSR to možno bola pravda... Je zaujímavé poznamenať, že ak zmeriate rovnaké centimetre vodorovne a zvisle, výsledky (v bunkách) budú iné! Prísne vzaté, moderné notebooky nie sú kockované, ale obdĺžnikové. Môže sa to zdať ako nezmysel, ale kresliť napríklad kružnicu kružidlom v takýchto situáciách je veľmi nepohodlné. Úprimne povedané, v takých chvíľach začínate uvažovať o správnosti súdruha Stalina, ktorého poslali do táborov na hackerské práce vo výrobe, nehovoriac o domácom automobilovom priemysle, padajúcich lietadlách či explodujúcich elektrárňach.

Keď už hovoríme o kvalite, alebo krátke odporúčanie na písacie potreby. K dnešnému dňu je väčšina notebookov v predaji, bez toho, aby sme povedali zlé slová, úplne škriatkovia. Z toho dôvodu, že sa namočia, a to nielen z gélových pier, ale aj z guľôčkových pier! Ušetrite na papieri. Na návrh testov odporúčam použiť notebooky Arkhangelskej celulózky a papiera (18 listov, bunka) alebo Pyaterochka, aj keď je to drahšie. Vhodné je zvoliť gélové pero, aj tá najlacnejšia čínska gélová náplň je oveľa lepšia ako guľôčkové pero, ktoré papier buď rozmazáva, alebo trhá. Jediné "konkurenčné" guľôčkové pero v mojej pamäti je Erich Krause. Píše zreteľne, krásne a stabilne – buď s plnou, alebo takmer prázdnou.

Okrem toho: Vízia pravouhlého súradnicového systému očami analytickej geometrie je zahrnutá v článku Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ, podrobné informácie o súradnicových štvrťrokoch nájdete v druhom odseku lekcie Lineárne nerovnosti.

3D puzdro

Tu je to skoro rovnaké.

1) Nakreslíme súradnicové osi. štandard: os aplikácie – smeruje nahor, os – smeruje doprava, os – smerom dole doľava prísne pod uhlom 45 stupňov.

2) Podpíšeme osi.

3) Nastavte mierku pozdĺž osí. Mierka pozdĺž osi - dvakrát menšia ako mierka pozdĺž ostatných osí. Všimnite si tiež, že v pravom výkrese som použil neštandardný "serif" pozdĺž osi (táto možnosť už bola spomenutá vyššie). Z môjho pohľadu je to presnejšie, rýchlejšie a estetickejšie – netreba hľadať stred bunky pod mikroskopom a „vyrezávať“ jednotku až po počiatok.

Pri opätovnom 3D kreslení dávajte prednosť mierke
1 jednotka = 2 bunky (nákres vľavo).

Načo sú všetky tieto pravidlá? Pravidlá sú na to, aby sa porušovali. Čo budem teraz robiť. Faktom je, že následné kresby článku urobím ja v Exceli a súradnicové osi budú vyzerať nesprávne z hľadiska správneho návrhu. Všetky grafy by som mohol kresliť ručne, ale kresliť ich je naozaj strašidelné, pretože Excel sa zdráha kresliť ich oveľa presnejšie.

Grafy a základné vlastnosti elementárnych funkcií

Lineárna funkcia je daná rovnicou . Graf lineárnej funkcie je priamy. Na zostrojenie priamky stačí poznať dva body.

Príklad 1

Nakreslite funkciu. Nájdime dva body. Ako jeden z bodov je výhodné zvoliť nulu.

Ak potom

Zoberme si nejaký iný bod, napríklad 1.

Ak potom

Pri príprave úloh sú súradnice bodov zvyčajne zhrnuté v tabuľke:

A samotné hodnoty sa počítajú ústne alebo na koncepte, kalkulačke.

Našli sme dva body, poďme nakresliť:

Pri kreslení výkresu vždy podpisujeme grafiku.

Nebude zbytočné pripomínať špeciálne prípady lineárnej funkcie:

Všimnite si, ako som umiestnil titulky, podpisy by pri štúdiu výkresu nemali byť nejednoznačné. V tomto prípade bolo veľmi nežiaduce umiestniť podpis vedľa priesečníka čiar alebo vpravo dole medzi grafy.

1) Lineárna funkcia tvaru () sa nazýva priama úmernosť. Napríklad, . Graf priamej úmernosti vždy prechádza počiatkom. Konštrukcia priamky je teda zjednodušená – stačí nájsť len jeden bod.

2) Rovnica v tvare vymedzuje priamku rovnobežnú s osou, najmä samotná os je daná rovnicou. Graf funkcie je zostavený okamžite, bez nájdenia akýchkoľvek bodov. To znamená, že záznam treba chápať takto: "y sa vždy rovná -4 pre akúkoľvek hodnotu x."

3) Rovnica v tvare definuje priamku rovnobežnú s osou, konkrétne os samotná je daná rovnicou. Okamžite sa zostaví aj graf funkcie. Záznam by sa mal chápať takto: "x sa vždy pre akúkoľvek hodnotu y rovná 1."

Niektorí sa budú pýtať, no, prečo si spomínať na 6. ročník?! Je to tak, možno je to tak, len za roky praxe som stretol dobrý tucet študentov, ktorí boli zmätení úlohou zostrojiť graf ako alebo .

Kreslenie rovnej čiary je najbežnejšou činnosťou pri vytváraní výkresov.

Priamka je podrobne diskutovaná v kurze analytickej geometrie a kto chce, môže si prečítať článok Rovnica priamky na rovine.

Graf kvadratickej funkcie, graf kubickej funkcie, graf polynómu

Parabola. Graf kvadratickej funkcie () je parabola. Zvážte slávny prípad:

Pripomeňme si niektoré vlastnosti funkcie.

Takže riešenie našej rovnice: - v tomto bode sa nachádza vrchol paraboly. Prečo je to tak, sa dozviete z teoretického článku o derivácii a lekcie o extrémoch funkcie. Medzitým vypočítame zodpovedajúcu hodnotu "y":

Takže vrchol je v bode

Teraz nájdeme ďalšie body, pričom drzo využívame symetriu paraboly. Treba poznamenať, že funkcia – nie je rovnomerné, ale napriek tomu nikto nezrušil symetriu paraboly.

V akom poradí nájsť zvyšné body, myslím, že bude jasné z konečnej tabuľky:

Tento konštrukčný algoritmus možno obrazne nazvať „kyvadlo“ alebo princíp „tam a späť“ s Anfisou Čechovou.

Urobme si kresbu:

Z uvažovaných grafov prichádza na myseľ ďalšia užitočná funkcia:

Pre kvadratickú funkciu () platí:

Ak , potom vetvy paraboly smerujú nahor.

Ak , potom vetvy paraboly smerujú nadol.

Hlbokú znalosť krivky je možné získať na lekcii Hyperbola a parabola.

Kubická parabola je daná funkciou . Tu je kresba známa zo školy:

Uvádzame hlavné vlastnosti funkcie

Graf funkcií

Predstavuje jednu z vetiev paraboly. Urobme si kresbu:

Hlavné vlastnosti funkcie:

V tomto prípade je os vertikálna asymptota pre graf hyperboly na .

VEĽKOU chybou bude, ak pri kreslení z nedbanlivosti dovolíte, aby sa graf pretínal s asymptotou.

Také jednostranné limity, povedzte nám, že hyperbola nie je zhora obmedzený a nie je obmedzený zdola.

Poďme preskúmať funkciu v nekonečne: , to znamená, že ak sa začneme pohybovať pozdĺž osi doľava (alebo doprava) do nekonečna, potom budú „hry“ štíhlym krokom. nekonečne blízko priblížiť sa k nule a podľa toho aj vetvy hyperboly nekonečne blízko priblížiť sa k osi.

Takže os je horizontálna asymptota pre graf funkcie, ak "x" smeruje k plus alebo mínus nekonečnu.

Funkcia je zvláštny, čo znamená, že hyperbola je symetrická vzhľadom na pôvod. Táto skutočnosť je zrejmá z výkresu, navyše sa dá ľahko analyticky overiť: .

Graf funkcie tvaru () predstavuje dve vetvy hyperboly.

Ak , potom sa hyperbola nachádza v prvom a treťom súradnicovom kvadrante(pozri obrázok vyššie).

Ak , potom sa hyperbola nachádza v druhom a štvrtom súradnicovom kvadrante.

Analyzovať špecifikovanú pravidelnosť miesta pobytu hyperboly z pohľadu geometrických transformácií grafov nie je ťažké.

Príklad 3

Zostrojte pravú vetvu hyperboly

Používame metódu bodovej konštrukcie, pričom je výhodné voliť hodnoty tak, aby sa delili úplne:

Urobme si kresbu:

Zostrojiť ľavú vetvu hyperboly nebude ťažké, tu len pomôže zvláštnosť funkcie. Zhruba povedané, v bodovej konštrukčnej tabuľke mentálne pridajte ku každému číslu mínus, vložte príslušné bodky a nakreslite druhú vetvu.

Podrobné geometrické informácie o uvažovanej priamke nájdete v článku Hyperbola a parabola.

Graf exponenciálnej funkcie

V tomto odseku sa budem okamžite zaoberať exponenciálnou funkciou, pretože v úlohách vyššej matematiky sa v 95% prípadov vyskytuje práve exponent.

Pripomínam vám, že - toto je iracionálne číslo: toto sa bude vyžadovať pri zostavovaní grafu, ktorý v skutočnosti postavím bez obradu. Tri body asi stačia:

Graf funkcie nechajme zatiaľ na pokoji, o tom neskôr.

Hlavné vlastnosti funkcie:

V zásade vyzerajú grafy funkcií rovnako atď.

Musím povedať, že druhý prípad je v praxi menej bežný, ale vyskytuje sa, preto som považoval za potrebné zahrnúť ho do tohto článku.

Graf logaritmickej funkcie

Zvážte funkciu s prirodzeným logaritmom.
Urobme si čiarovú kresbu:

Ak ste zabudli, čo je logaritmus, pozrite si prosím školské učebnice.

Hlavné vlastnosti funkcie:

doména:

Rozsah hodnôt: .

Funkcia nie je obmedzená zhora: , aj keď pomaly, ale vetva logaritmu ide až do nekonečna.
Pozrime sa na správanie funkcie blízko nuly vpravo: . Takže os je vertikálna asymptota pre graf funkcie s "x" smerujúcim k nule vpravo.

Nezabudnite poznať a zapamätať si typickú hodnotu logaritmu: .

Graf logaritmu na základe vyzerá v zásade rovnako: , , (desatinný logaritmus na základ 10) atď. Zároveň platí, že čím väčšia základňa, tým plochejší bude graf.

Nebudeme zvažovať prípad, niečo, čo si nepamätám, kedy som naposledy zostavil graf s takýmto základom. Áno, a logaritmus sa zdá byť veľmi zriedkavým hosťom v problémoch vyššej matematiky.

Na záver odseku poviem ešte jednu skutočnosť: Exponenciálna funkcia a logaritmická funkciasú dve vzájomne inverzné funkcie. Ak sa pozriete pozorne na graf logaritmu, môžete vidieť, že ide o rovnaký exponent, len je umiestnený trochu inak.

Grafy goniometrických funkcií

Ako začína trigonometrické trápenie v škole? správne. Zo sínusu

Nakreslíme funkciu

Táto linka je tzv sínusoida.

Pripomínam vám, že „pí“ je iracionálne číslo: a pri trigonometrii oslňuje oči.

Hlavné vlastnosti funkcie:

Táto funkcia je periodikum s bodkou. Čo to znamená? Pozrime sa na strih. Naľavo a napravo od neho sa donekonečna opakuje presne tá istá časť grafu.

doména: , to znamená, že pre akúkoľvek hodnotu "x" existuje sínusová hodnota.

Rozsah hodnôt: . Funkcia je obmedzené: , to znamená, že všetky „hry“ sedia striktne v segmente .
To sa nestane: alebo presnejšie, stane sa, ale tieto rovnice nemajú riešenie.

funkcia je korešpondencia medzi prvkami dvoch množín ustanovená podľa takého pravidla, že každý prvok jednej množiny je spojený s nejakým prvkom z inej množiny.

grafom funkcie je ťažisko bodov v rovine, ktorých úsečky (x) a ordináty (y) sú spojené zadanou funkciou:

bod sa nachádza (alebo sa nachádza) na grafe funkcie práve vtedy, ak .

Funkciu teda možno primerane opísať jej grafom.

tabuľkovým spôsobom. Celkom bežné to spočíva v nastavení tabuľky hodnôt jednotlivých argumentov a im zodpovedajúcich funkčných hodnôt. Tento spôsob definovania funkcie sa používa, keď je doménou funkcie diskrétna konečná množina.

Pomocou tabuľkovej metódy špecifikácie funkcie je možné približne vypočítať hodnoty funkcie, ktoré nie sú obsiahnuté v tabuľke, zodpovedajúce medziľahlým hodnotám argumentu. Na tento účel použite metódu interpolácie.

Výhody tabuľkového spôsobu špecifikácie funkcie spočívajú v tom, že umožňuje určiť určité špecifické hodnoty naraz, bez dodatočných meraní alebo výpočtov. V niektorých prípadoch však tabuľka nedefinuje funkciu úplne, ale iba pre niektoré hodnoty argumentu a neposkytuje vizuálnu reprezentáciu povahy zmeny funkcie v závislosti od zmeny argumentu.

Grafický spôsob. Graf funkcie y = f(x) je množina všetkých bodov v rovine, ktorých súradnice vyhovujú danej rovnici.

Grafický spôsob zadávania funkcie nie vždy umožňuje presne určiť číselné hodnoty argumentu. Oproti iným metódam má však veľkú výhodu – viditeľnosť. V inžinierstve a fyzike sa často používa grafický spôsob nastavenia funkcie a graf je na to jediný dostupný spôsob.

Aby bolo grafické priradenie funkcie z matematického hľadiska celkom správne, je potrebné uviesť presnú geometrickú konštrukciu grafu, ktorá je najčastejšie daná rovnicou. To vedie k nasledujúcemu spôsobu definovania funkcie.

analytickým spôsobom. Zákon, ktorý zakladá vzťah medzi argumentom a funkciou, sa najčastejšie špecifikuje pomocou vzorcov. Tento spôsob definovania funkcie sa nazýva analytický.

Táto metóda umožňuje pre každú číselnú hodnotu argumentu x nájsť zodpovedajúcu číselnú hodnotu funkcie y presne alebo s určitou presnosťou.

Ak je vzťah medzi x a y daný vzorcom, ktorý je vyriešený vzhľadom na y, t.j. má tvar y = f(x), potom hovoríme, že funkcia x je daná explicitne.

Ak hodnoty x a y súvisia nejakou rovnicou v tvare F(x,y) = 0, t.j. vzorec nie je povolený vzhľadom na y, čo znamená, že funkcia y = f(x) je implicitne definovaná.

Funkciu možno definovať pomocou rôznych vzorcov v rôznych častiach jej oblasti úloh.

Analytická metóda je najbežnejším spôsobom definovania funkcií. Kompaktnosť, stručnosť, schopnosť vypočítať hodnotu funkcie pre ľubovoľnú hodnotu argumentu z oblasti definície, schopnosť aplikovať aparát matematickej analýzy na danú funkciu sú hlavné výhody analytickej metódy definovania a funkciu. Medzi nevýhody patrí nedostatočná viditeľnosť, ktorú kompenzuje schopnosť zostaviť graf a nutnosť vykonávať niekedy veľmi ťažkopádne výpočty.

verbálnym spôsobom. Táto metóda spočíva v tom, že funkčná závislosť je vyjadrená slovami.

Príklad 1: funkcia E(x) je celá časť čísla x. Vo všeobecnosti E(x) = [x] označuje najväčšie celé číslo, ktoré nepresahuje x. Inými slovami, ak x = r + q, kde r je celé číslo (môže byť záporné) a q patrí do intervalu = r. Funkcia E(x) = [x] je konštantná na intervale = r.

Príklad 2: funkcia y = (x) - zlomková časť čísla. Presnejšie, y =(x) = x - [x], kde [x] je celá časť čísla x. Táto funkcia je definovaná pre všetky x. Ak x je ľubovoľné číslo, potom ho predstavujeme ako x = r + q (r = [x]), kde r je celé číslo a q leží v intervale .
Vidíme, že pridanie n do argumentu x nemení hodnotu funkcie.
Najmenšie nenulové číslo v n je , čiže perióda je sin 2x .

Zavolá sa hodnota argumentu, pre ktorý sa funkcia rovná 0 nula (koreň) funkcie.

Funkcia môže mať viacero núl.

Napríklad funkcia y=x(x+1)(x-3) má tri nuly: x=0, x=-1, x=3.

Geometricky je nula funkcie úsečkou priesečníka grafu funkcie s osou X .

Obrázok 7 ukazuje graf funkcie s nulami: x = a, x = b a x = c .

Ak sa graf funkcie pri vzďaľovaní sa od počiatku neurčito približuje k určitej priamke, potom sa táto priamka nazýva asymptota.

Inverzná funkcia

Nech je funkcia y=ƒ(x) daná definičným oborom D a množinou hodnôt E. Ak každá hodnota yєE zodpovedá jedinej hodnote xєD, potom funkcia x=φ(y) je definovaná doména definície E a množina hodnôt D (pozri obr. 102).

Takáto funkcia φ(y) sa nazýva inverzná funkcia ƒ(x) a zapisuje sa v tomto tvare: x=j(y)=f -1 (y) O funkciách y=ƒ(x) a x=φ(y) hovoria, že sú vzájomne inverzné. Na nájdenie funkcie x=φ(y) inverznej k funkcii y=ƒ(x) stačí vyriešiť rovnicu ƒ(x)=y vzhľadom na x (ak je to možné).

1. Pre funkciu y \u003d 2x je inverzná funkcia funkcia x \u003d y / 2;

2. Pre funkciu y \u003d x2 xє je inverzná funkcia x \u003d √y; všimnite si, že pre funkciu y \u003d x 2, danú na segmente [-1; 1], neexistuje žiadna inverzia, pretože jedna hodnota y zodpovedá dvom hodnotám x (napríklad ak y=1/4, potom x1=1/2, x2=-1/2).

Z definície inverznej funkcie vyplýva, že funkcia y=ƒ(x) má inverznú funkciu práve vtedy, ak funkcia ƒ(x) definuje korešpondenciu jedna ku jednej medzi množinami D a E. Z toho vyplýva, že prísne monotónna funkcia má inverznú. Navyše, ak funkcia rastie (klesá), potom sa zvyšuje (klesá) aj inverzná funkcia.

Všimnite si, že funkcia y \u003d ƒ (x) a jej inverzná hodnota x \u003d φ (y) sú znázornené rovnakou krivkou, to znamená, že ich grafy sa zhodujú. Ak súhlasíme s tým, že ako obvykle je nezávislá premenná (t. j. argument) označená x a závislá premenná y, potom sa inverzná funkcia funkcie y \u003d ƒ (x) zapíše ako y \u003d φ (x).

To znamená, že bod M 1 (x o; y o) krivky y=ƒ(x) sa stáva bodom M 2 (y o; x o) krivky y=φ(x). Ale body M 1 a M 2 sú symetrické okolo priamky y \u003d x (pozri obr. 103). Preto sú grafy vzájomne inverzných funkcií y=ƒ(x) a y=φ(x) symetrické vzhľadom na osi prvého a tretieho súradnicového uhla.

Komplexná funkcia

Nech je na množine D definovaná funkcia y=ƒ(u) a na množine D 1 funkcia u= φ(x) a pre  x D 1 zodpovedajúca hodnota u=φ(x) є D. Potom na množine D 1 je definovaná funkcia u=ƒ(φ(x)), ktorá sa nazýva komplexná funkcia x (alebo superpozícia daných funkcií, alebo funkcia funkcie).

Premenná u=φ(x) sa nazýva intermediárny argument komplexnej funkcie.

Napríklad funkcia y=sin2x je superpozíciou dvoch funkcií y=sinu a u=2x. Komplexná funkcia môže mať viacero medziľahlých argumentov.

4. Základné elementárne funkcie a ich grafy.

Nasledujúce funkcie sa nazývajú základné elementárne funkcie.

1) Exponenciálna funkcia y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. Na obr. 104 ukazuje grafy exponenciálnych funkcií zodpovedajúcich rôznym exponenciálnym základom.

2) Mocninná funkcia y=x α , αєR. Príklady grafov mocninných funkcií zodpovedajúcich rôznym exponentom sú uvedené na obrázkoch

3) Logaritmická funkcia y=log a x, a>0,a≠1 Grafy logaritmických funkcií zodpovedajúcich rôznym bázam sú znázornené na obr. 106.

4) Goniometrické funkcie y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Grafy goniometrických funkcií majú tvar znázornený na obr. 107.

5) Inverzné goniometrické funkcie y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Na obr. 108 ukazuje grafy inverzných goniometrických funkcií.

Funkcia daná jedným vzorcom, zložená zo základných elementárnych funkcií a konštánt pomocou konečného počtu aritmetických operácií (sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie) a operácií prevzatia funkcie z funkcie, sa nazýva elementárna funkcia.

Príkladmi elementárnych funkcií sú funkcie

Príkladmi neelementárnych funkcií sú funkcie

5. Pojmy limity postupnosti a funkcie. Limitné vlastnosti.

Funkčný limit (limit funkcie) v danom bode, obmedzujúcom pre definičný obor funkcie, je taká hodnota, ku ktorej smeruje hodnota uvažovanej funkcie, keď jej argument smeruje k danému bodu.

V matematike sekvenčný limit prvky metrického priestoru alebo topologického priestoru je prvok toho istého priestoru, ktorý má vlastnosť „priťahovať“ prvky danej postupnosti. Limita postupnosti prvkov topologického priestoru je taký bod, ktorého každé okolie obsahuje všetky prvky postupnosti počnúc od nejakého čísla. V metrickom priestore sú susedstvá definované pomocou funkcie vzdialenosti, takže pojem limity je formulovaný v jazyku vzdialeností. Historicky prvým bol koncept limity číselnej postupnosti, ktorý vzniká v matematickej analýze, kde slúži ako základ pre systém aproximácií a je široko používaný pri konštrukcii diferenciálneho a integrálneho počtu.

Označenie:

(čítať: limita x-nej postupnosti ako en inklinujúca k nekonečnu je a)

Vlastnosť postupnosti mať limitu sa nazýva konvergencia: ak má postupnosť limitu, potom sa o danej postupnosti hovorí, že je konverguje; inak (ak postupnosť nemá limit) sa hovorí, že postupnosť je sa rozchádza. V Hausdorffovom priestore, a najmä v metrickom priestore, každá podsekvencia konvergentnej postupnosti konverguje a jej limita je rovnaká ako limita pôvodnej postupnosti. Inými slovami, postupnosť prvkov v Hausdorffovom priestore nemôže mať dve rôzne limity. Môže sa však ukázať, že postupnosť nemá limitu, ale existuje podsekvencia (danej postupnosti), ktorá limitu má. Ak má ľubovoľná postupnosť bodov v priestore konvergentnú podsekvenciu, potom sa hovorí, že daný priestor má vlastnosť sekvenčnej kompaktnosti (alebo jednoducho kompaktnosti, ak je kompaktnosť definovaná výlučne z hľadiska postupností).

Pojem limita postupnosti priamo súvisí s pojmom limitný bod (množina): ak má množina limitný bod, potom existuje postupnosť prvkov danej množiny zbiehajúca sa k danému bodu.

Definícia

Nech je daný topologický priestor a postupnosť Potom, ak existuje prvok taký, že

kde je otvorená množina obsahujúca , potom sa nazýva limita postupnosti . Ak je priestor metrický, limit možno definovať pomocou metriky: ak existuje taký prvok, že

kde je metrika, potom sa nazýva limit.

· Ak je priestor vybavený antidiskrétnou topológiou, potom limitom akejkoľvek postupnosti je ľubovoľný prvok priestoru.

6. Limita funkcie v bode. Jednostranné limity.

Funkcia jednej premennej. Určenie limity funkcie v bode podľa Cauchyho.číslo b sa nazýva limita funkcie pri = f(X) pri X usilovať sa o a(alebo v bode a) ak pre akékoľvek kladné číslo  existuje kladné číslo  také, že pre všetky x ≠ a, také, že | X – a | < , выполняется неравенство
| f(X) – a | <  .

Určenie limity funkcie v bode podľa Heineho.číslo b sa nazýva limita funkcie pri = f(X) pri X usilovať sa o a(alebo v bode a) ak pre akúkoľvek sekvenciu ( X n ) konvergujúce k a(ašpirujúci na a, ktorá má limitné číslo a) a za akúkoľvek hodnotu n x n≠ a, podsekvencia ( r n= f(X n)) konverguje k b.

Tieto definície predpokladajú, že funkcia pri = f(X) je definovaný v niektorom okolí bodu a, snáď až na samotný bod a.

Definície limity funkcie v bode podľa Cauchyho a podľa Heineho sú ekvivalentné: ak číslo b slúži ako limit v jednom z nich, potom to isté platí v druhom.

Špecifikovaný limit je označený takto:

Geometricky existencia limity funkcie v bode podľa Cauchyho znamená, že pre ľubovoľné číslo  > 0 môže byť takýto obdĺžnik naznačený na súradnicovej rovine so základňou 2 > 0, výškou 2 a stredom. v bode ( a; b), že všetky body grafu tejto funkcie na intervale ( a– ; a+ ), možno s výnimkou bodu M(a; f(a)), ležia v tomto obdĺžniku

Jednostranná hranica v matematickej analýze limita numerickej funkcie, čo znamená „priblíženie sa“ k limitnému bodu z jednej strany. Takéto limity sa nazývajú resp ľavý limit(alebo ľavý limit) a pravostranný limit (limit vpravo). Nech je daná numerická funkcia na nejakej numerickej množine a číslo je limitným bodom definičného oboru. Existujú rôzne definície jednostranných limitov funkcie v bode, ale všetky sú ekvivalentné.

Národná výskumná univerzita

Katedra aplikovanej geológie

Esej o vyššej matematike

Na tému: „Základné elementárne funkcie,

ich vlastnosti a grafy"

Dokončené:

Skontrolované:

učiteľ

Definícia. Funkcia daná vzorcom y=a x (kde a>0, a≠1) sa nazýva exponenciálna funkcia so základom a.

Formulujme hlavné vlastnosti exponenciálnej funkcie:

1. Definičný obor je množina (R) všetkých reálnych čísel.

2. Rozsah hodnôt je množina (R+) všetkých kladných reálnych čísel.

3. Keď a > 1, funkcia sa zvýši na celej reálnej čiare; na 0<а<1 функция убывает.

4. Je všeobecná funkcia.

, na intervale xн [-3;3]
, na intervale xн [-3;3]

Funkcia v tvare y(х)=х n, kde n je číslo ОR, sa nazýva mocninná funkcia. Číslo n môže nadobúdať rôzne hodnoty: celé číslo aj zlomok, párne aj nepárne. V závislosti od toho bude mať funkcia napájania inú formu. Zvážte špeciálne prípady, ktoré sú výkonovými funkciami a odrážajú hlavné vlastnosti tohto typu kriviek v nasledujúcom poradí: výkonová funkcia y \u003d x² (funkcia s párnym exponentom - parabola), výkonová funkcia y \u003d x³ (funkcia s nepárnym exponentom - kubická parabola) a funkcia y \u003d √ x (x na mocninu ½) (funkcia so zlomkovým exponentom), funkcia s exponentom záporného celého čísla (hyperbola).

Funkcia napájania y=x²

1. D(x)=R – funkcia je definovaná na celej číselnej osi;

2. E(y)= a rastie na intervale

Funkcia napájania y=x³

1. Graf funkcie y \u003d x³ sa nazýva kubická parabola. Mocninná funkcia y=x³ má nasledujúce vlastnosti:

2. D(x)=R – funkcia je definovaná na celej číselnej osi;

3. E(y)=(-∞;∞) – funkcia nadobúda všetky hodnoty vo svojej oblasti definície;

4. Keď x=0 y=0 – funkcia prechádza počiatkom O(0;0).

5. Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.

6. Funkcia je nepárna (symetrická podľa pôvodu).

, na intervale xн [-3;3]

V závislosti od číselného faktora pred x³ môže byť funkcia strmá / plochá a zvýšenie / zníženie.

Mocninná funkcia s celočíselným záporným exponentom:

Ak je exponent n nepárny, potom sa graf takejto mocninnej funkcie nazýva hyperbola. Mocninná funkcia so záporným celočíselným exponentom má nasledujúce vlastnosti:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) pre ľubovoľné n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ak n je nepárne číslo; E(y)=(0;∞), ak n je párne číslo;

3. Funkcia klesá v celom definičnom obore, ak n je nepárne číslo; funkcia rastie na intervale (-∞;0) a klesá na intervale (0;∞), ak n je párne číslo.

4. Funkcia je nepárna (symetrická podľa počiatku), ak n je nepárne číslo; funkcia je párna, ak n je párne číslo.

5. Funkcia prechádza cez body (1;1) a (-1;-1), ak n je nepárne číslo a cez body (1;1) a (-1;1), ak n je párne číslo.

, na intervale xн [-3;3]

Mocninná funkcia so zlomkovým exponentom

Mocninná funkcia s zlomkovým exponentom tvaru (obrázok) má graf funkcie znázornený na obrázku. Mocninná funkcia so zlomkovým exponentom má tieto vlastnosti: (obrázok)

1. D(x) нR, ak n je nepárne číslo a D(x)=
, na intervale xн
, na intervale xн [-3;3]

Logaritmická funkcia y \u003d log a x má nasledujúce vlastnosti:

1. Definičná oblasť D(x)н (0; + ∞).

2. Rozsah hodnôt E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funkcia nie je párna ani nepárna (všeobecná).

4. Funkcia rastie na intervale (0; + ∞) pre a > 1, klesá na (0; + ∞) pre 0< а < 1.

Graf funkcie y = log a x získame z grafu funkcie y = a x pomocou transformácie symetrie okolo priamky y = x. Na obrázku 9 je znázornený graf logaritmickej funkcie pre a > 1 a na obrázku 10 - pre 0< a < 1.

; na intervale xО
; na intervale xО

Funkcie y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x sa nazývajú goniometrické funkcie.

Funkcie y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x sú nepárne a funkcia y \u003d cos x je párna.

Funkcia y \u003d sin (x).

1. Definičná oblasť D(x) ОR.

2. Rozsah hodnôt E(y) О [ - 1; jeden].

3. Funkcia je periodická; hlavná perióda je 2π.

4. Funkcia je nepárna.

5. Funkcia rastie na intervaloch [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] a klesá v intervaloch [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Graf funkcie y \u003d sin (x) je znázornený na obrázku 11.