Postačujúca podmienka pre extrém funkcie dvoch premenných
1. Nech je funkcia spojito diferencovateľná v niektorom okolí bodu a má spojité parciálne derivácie druhého rádu (čisté a zmiešané).
2. Označte determinantom druhého rádu
extrémne variabilná prednášková funkcia
Veta
Ak je bod so súradnicami stacionárny bod pre funkciu, potom:
A) Keď ide o bod lokálneho extrému a pri lokálnom maxime - lokálne minimum;
C) keď bod nie je lokálnym extrémnym bodom;
C) ak, možno oboje.
Dôkaz
Napíšeme Taylorov vzorec pre funkciu, pričom sa obmedzíme na dva členy:
Keďže podľa podmienky vety je bod stacionárny, parciálne derivácie druhého rádu sú rovné nule, t.j. a Potom
Označiť
Potom bude mať prírastok funkcie tvar:
Vzhľadom na kontinuitu parciálnych derivácií druhého rádu (čistých a zmiešaných), podľa podmienky vety v bode, môžeme písať:
Kde alebo; ,
1. Nech a t.j. alebo.
2. Prírastok funkcie vynásobíme a vydelíme, dostaneme:
3. Doplňte výraz v zložených zátvorkách na celú druhú mocninu súčtu:
4. Výraz v zložených zátvorkách je nezáporný, keďže
5. Preto, ak a teda, a, potom a teda, podľa definície je bod bodom lokálneho minima.
6. Ak a znamená, a potom, podľa definície, bod so súradnicami je lokálnym maximálnym bodom.
2. Uvažujme štvorcovú trojčlenku, jej diskriminant, .
3. Ak, potom sú také body, že polynóm
4. Celkový prírastok funkcie v bode v súlade s výrazom získaným v I zapíšeme v tvare:
5. Vzhľadom na kontinuitu parciálnych derivácií druhého rádu, podľa podmienky vety v bode, môžeme napísať, že
preto existuje také okolie bodu, že pre každý bod je štvorcová trojčlenka väčšia ako nula:
6. Zvážte – okolie bodu.
Zvoľme si ľubovoľnú hodnotu, takže o to ide. Za predpokladu, že vo vzorci pre prírastok funkcie
Čo získame:
7. Odvtedy.
8. Ak budeme argumentovať podobne pre koreň, dostaneme, že v akomkoľvek -okolí bodu je bod, pre ktorý teda v okolí bodu nezachová znamienko, preto v bode nie je extrém.
Podmienený extrém funkcie dvoch premenných
Pri hľadaní extrémov funkcie dvoch premenných často vznikajú problémy súvisiace s tzv. podmieneným extrémom. Tento pojem možno vysvetliť na príklade funkcie dvoch premenných.
Nech je daná funkcia a priamka L na rovine 0xy. Úlohou je nájsť taký bod P (x, y) na priamke L, v ktorom je hodnota funkcie najväčšia alebo najmenšia v porovnaní s hodnotami tejto funkcie v bodoch priamky L, ktoré sa nachádzajú blízko bod P. Takéto body P sa nazývajú podmienené funkcie extrémnych bodov na priamke L. Na rozdiel od bežného bodu extrému sa hodnota funkcie v bode podmieneného extrému porovnáva s hodnotami funkcie nie vo všetkých bodoch niektorých jej susedstiev, ale iba v tých, ktoré ležia na linke L.
Je celkom jasné, že bod obvyklého extrému (hovoria aj bezpodmienečný extrém) je zároveň bodom podmienečného extrému pre akúkoľvek priamku prechádzajúcu týmto bodom. Opak, samozrejme, nie je pravda: podmienený extrémny bod nemusí byť konvenčným extrémnym bodom. Ukážme si to, čo bolo povedané, na príklade.
Príklad č. 1. Grafom funkcie je horná hemisféra (obr. 2).
Ryža. 2.
Táto funkcia má na začiatku maximum; zodpovedá vrcholu M pologule. Ak je priamka L priamka prechádzajúca bodmi A a B (jej rovnica), potom je geometricky jasné, že pre body tejto priamky je maximálna hodnota funkcie dosiahnutá v bode ležiacom v strede medzi bodmi A a B. Toto sú podmienené extrémne (maximálne) bodové funkcie na tomto riadku; zodpovedá bodu M 1 na pologuli a z obrázku je vidieť, že o nejakom obyčajnom extréme tu nemôže byť reč.
Všimnite si, že v záverečnej časti problému hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie v uzavretej oblasti je potrebné nájsť extrémne hodnoty funkcie na hranici tejto oblasti, t.j. na nejakom riadku, a tým vyriešiť problém pre podmienený extrém.
Definícia 1. Hovoria, že kde má podmienené alebo relatívne maximum (minimum) v bode, ktorý spĺňa rovnicu: ak pre akýkoľvek, ktorý spĺňa rovnicu, nerovnosť
Definícia 2. Rovnica tvaru sa nazýva obmedzujúca rovnica.
Veta
Ak funkcie a sú plynule diferencovateľné v okolí bodu a parciálnej derivácie a bod je bodom podmieneného extrému funkcie vzhľadom na rovnicu obmedzenia, potom sa determinant druhého rádu rovná nule:
Dôkaz
1. Keďže podľa podmienky vety, parciálnej derivácie a hodnoty funkcie, potom v nejakom obdĺžniku
definovaná implicitná funkcia
Komplexná funkcia dvoch premenných v bode bude mať lokálny extrém, teda príp.
2. Skutočne, podľa invariantnej vlastnosti diferenciálnej formuly prvého rádu
3. Rovnica spojenia môže byť znázornená v tomto tvare, čo znamená
4. Vynásobte rovnicu (2) a (3) a pridajte ich
Preto pri
svojvoľný. h.t.d.
Dôsledok
Hľadanie podmienených extrémnych bodov funkcie dvoch premenných sa v praxi uskutočňuje riešením sústavy rovníc
Takže vo vyššie uvedenom príklade č. 1 z rovnice komunikácie máme. Odtiaľ je ľahké skontrolovať, čo dosahuje maximum pri . Ale potom z rovnice komunikácie. Dostaneme bod P, nájdený geometricky.
Príklad č. 2. Nájdite podmienené extrémne body funkcie vzhľadom na rovnicu obmedzenia.
Nájdite parciálne derivácie danej funkcie a rovnicu spojenia:
Urobme determinant druhého rádu:
Zapíšme si sústavu rovníc na nájdenie podmienených extrémnych bodov:
preto existujú štyri podmienené extrémne body funkcie so súradnicami: .
Príklad č. 3. Nájdite extrémne body funkcie.
Prirovnaním parciálnych derivácií k nule: , nájdeme jeden stacionárny bod - počiatok. Tu,. Preto ani bod (0, 0) nie je extrémnym bodom. Rovnica je rovnicou hyperbolického paraboloidu (obr. 3), obrázok ukazuje, že bod (0, 0) nie je extrémnym bodom.
Ryža. 3.
Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie v uzavretej oblasti
1. Nech je funkcia definovaná a spojitá v ohraničenej uzavretej oblasti D.
2. Nech má funkcia v tejto oblasti konečné parciálne derivácie, okrem jednotlivých bodov oblasti.
3. V súlade s Weierstrassovou vetou v tejto oblasti existuje bod, v ktorom funkcia nadobúda najväčšie a najmenšie hodnoty.
4. Ak sú tieto body vnútornými bodmi oblasti D, potom je zrejmé, že budú mať maximum alebo minimum.
5. V tomto prípade body záujmu pre nás patria medzi podozrivé body na extréme.
6. Funkcia však môže nadobudnúť aj maximálnu alebo minimálnu hodnotu na hranici oblasti D.
7. Aby ste našli najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie v oblasti D, musíte nájsť všetky vnútorné body podozrivé z extrému, vypočítať v nich hodnotu funkcie a potom porovnať s hodnotou funkcie na hraničné body oblasti a najväčšia zo všetkých nájdených hodnôt bude najväčšia v uzavretej oblasti D.
8. Metóda zisťovania lokálneho maxima alebo minima bola zvážená skôr v časti 1.2. a 1.3.
9. Zostáva zvážiť spôsob hľadania maximálnych a minimálnych hodnôt funkcie na hranici regiónu.
10. V prípade funkcie dvoch premenných sa zvyčajne ukáže, že oblasť je ohraničená krivkou alebo niekoľkými krivkami.
11. Pozdĺž takejto krivky (alebo niekoľkých kriviek) závisia premenné a buď jedna na druhej, alebo obe závisia od jedného parametra.
12. Na hranici sa teda funkcia ukáže ako závislá od jednej premennej.
13. Metóda hľadania najväčšej hodnoty funkcie jednej premennej bola diskutovaná skôr.
14. Nech je hranica oblasti D daná parametrickými rovnicami:
Potom na tejto krivke bude funkcia dvoch premenných komplexnou funkciou parametra: . Pre takúto funkciu je najväčšia a najmenšia hodnota určená metódou určenia najväčších a najmenších hodnôt pre funkciu jednej premennej.
Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre extrém funkcií dvoch premenných. Bod sa nazýva minimálny (maximálny) bod funkcie, ak je v niektorom okolí bodu funkcia definovaná a spĺňa nerovnosť (maximálne a minimálne body sa nazývajú extrémne body funkcie.
Nevyhnutná podmienka pre extrém. Ak má funkcia v extrémnom bode prvé parciálne derivácie, potom v tomto bode zanikajú. Z toho vyplýva, že na nájdenie extrémnych bodov takejto funkcie je potrebné vyriešiť sústavu rovníc, pričom body, ktorých súradnice vyhovujú tejto sústave, sa nazývajú kritické body funkcie. Medzi nimi môže byť maximálny počet bodov, minimálny počet bodov, ako aj body, ktoré nie sú extrémnymi bodmi.
Na výber extrémnych bodov zo súboru kritických bodov sa používajú dostatočné extrémne podmienky, ktoré sú uvedené nižšie.
Nech má funkcia v kritickom bode spojité druhé parciálne derivácie. Ak v tomto bode,
stav, potom je to minimálny bod v a maximálny bod v. Ak je v kritickom bode, potom to nie je extrémny bod. V tomto prípade je potrebná jemnejšia štúdia povahy kritického bodu, ktorý v tomto prípade môže, ale nemusí byť extrémnym bodom.
Extrémy funkcií troch premenných. V prípade funkcie troch premenných definície extrémnych bodov doslovne opakujú zodpovedajúce definície funkcie dvoch premenných. Obmedzíme sa na predstavenie postupu pri štúdiu funkcie pre extrém. Pri riešení systému rovníc by ste mali nájsť kritické body funkcie a potom v každom z kritických bodov vypočítať množstvá
Ak sú všetky tri veličiny kladné, potom uvažovaným kritickým bodom je minimálny bod; ak je potom daný kritický bod maximálnym bodom.
Podmienený extrém funkcie dvoch premenných. Bod sa nazýva podmienený minimálny (maximálny) bod funkcie za predpokladu, že existuje okolie bodu, v ktorom je funkcia definovaná a v ktorom (resp.) pre všetky body, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu
Ak chcete nájsť podmienené extrémne body, použite funkciu Lagrange
kde sa toto číslo nazýva Lagrangeov multiplikátor. Riešenie sústavy troch rovníc
nájsť kritické body Lagrangeovej funkcie (ako aj hodnotu pomocného faktora A). V týchto kritických bodoch môže existovať podmienený extrém. Uvedený systém dáva pre extrém iba nevyhnutné podmienky, nie však postačujúce: môže byť splnený súradnicami bodov, ktoré nie sú bodmi podmieneného extrému. Vychádzajúc z podstaty problému je však často možné určiť povahu kritického bodu.
Podmienený extrém funkcie viacerých premenných. Uvažujme funkciu premenných za podmienky, že sú spojené rovnicami
PODMIENENÝ EXTRÉM
Minimálna alebo maximálna hodnota dosiahnutá danou funkciou (alebo funkciou) za predpokladu, že niektoré ďalšie funkcie (funkcie) nadobúdajú hodnoty z danej prípustnej množiny. Ak neexistujú podmienky, ktoré by obmedzovali zmeny nezávislých premenných (funkcií) v naznačenom zmysle, potom sa hovorí o bezpodmienečnom extréme.
klasické úloha pre W. e. je problém určenia minima funkcie viacerých premenných
Za predpokladu, že niektoré ďalšie funkcie nadobudnú dané hodnoty:
V tomto probléme G, ku ktorému fungujú hodnoty vektora g=(g 1, ...,g m),
súčasťou dodatočných podmienok (2) je pevný bod c=(c 1, ..., s t) v m-rozmernom euklidovskom priestore
Ak v (2) spolu so znamienkom rovnosti sú povolené znamienka nerovnosti
To vedie k problému nelineárne programovanie(trinásť). V úlohe (1), (3) je množina G prípustných hodnôt vektorovej funkcie g určitá krivočiara , patriaca do (n-m 1)-rozmernej hyperplochy definovanej m 1 , m 1
Špeciálny prípad problému (1), (3) na U.v. je úlohou lineárne programovanie, v ktorej sú všetky uvažované funkcie f a gi sú lineárne v x l , ... , x p. V úlohe lineárneho programovania množina G možných hodnôt vektorovej funkcie g, zahrnuté v podmienkach obmedzujúcich rozsah premenných x 1 , .....x n , je , ktorá patrí do (n-t 1)-rozmernej nadroviny definovanej m 1 podmienkami typu rovnosti v (3).
Podobne väčšina problémov s optimalizáciou funkcionalít predstavuje praktické úrok, sa redukuje na úlohy na U. e. (cm. Izoperimetrický problém, Ring problém, Lagrangeov problém, Mannerov problém).
Presne ako v matematike. programovanie, hlavné problémy variačného počtu a teórie optimálneho riadenia sú problémy na konvexnom e.
Pri riešení problémov v U. e., najmä pri zvažovaní teoretických. otázky týkajúce sa problémov na C. e., je veľmi užitočné použiť neurčitok Lagrangeove multiplikátory,čo umožňuje znížiť problém na U. e. k problému na bezpodmienečnom a zjednodušiť potrebné podmienky optimality. Použitie Lagrangeových multiplikátorov je základom väčšiny klasických metódy riešenia problémov v U. e.
Lit.: Hadley J., Nelineárne a , prekl. z angličtiny, M., 1967; Bliss G.A., Prednášky o variačnom počte, prel. z angličtiny, M., 1950; Pontryagin L.S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, 2. vydanie, M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.
Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Pozrite si, čo je „CONDITIONAL EXTREME“ v iných slovníkoch:
Relatívny extrém, extrém funkcie f (x1,..., xn + m) n + m premenných za predpokladu, že na tieto premenné platí m viac väzobných rovníc (podmienok): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (pozri Extrém).… …
Nech otvorenej množine a on dostane funkcie. Nechať byť. Tieto rovnice sa nazývajú obmedzujúce rovnice (terminológia je prevzatá z mechaniky). Nech je funkcia definovaná na G ... Wikipedia
- (z lat. extrém extrém) hodnota spojitej funkcie f (x), ktorá je buď maximum alebo minimum. Presnejšie: funkcia f (x) spojitá v bode x0 má maximum (minimum) v x0, ak existuje okolie (x0 + δ, x0 δ) tohto bodu, ... ... Veľká sovietska encyklopédia
Tento výraz má iné významy, pozri Extrém (významy). Extrém (lat. extrém extrém) v matematike je maximálna alebo minimálna hodnota funkcie na danej množine. Bod, v ktorom sa dosiahne extrém, je ... ... Wikipedia
Funkcia používaná pri riešení úloh na podmienenom extréme funkcií viacerých premenných a funkcionalít. S pomocou L. f. potrebné podmienky optimality sú zapísané v úlohách pre podmienený extrém. Netreba vyjadrovať len premenné... Matematická encyklopédia
Matematická disciplína venovaná hľadaniu extrémnych (maximálnych a minimálnych) hodnôt funkcionalít premenných v závislosti od výberu jednej alebo viacerých funkcií. V a. je prirodzený vývoj tejto kapitoly.... Veľká sovietska encyklopédia
Premenné, pomocou ktorých je konštruovaná Lagrangeova funkcia pri štúdiu problémov pre podmienený extrém. Použitie L. m. a Lagrangeovej funkcie umožňuje získať potrebné podmienky optimality jednotným spôsobom v problémoch pre podmienený extrém ... Matematická encyklopédia
Variačný počet je odvetvím funkčnej analýzy, ktorá študuje variácie funkcionalít. Najtypickejšou úlohou variačného počtu je nájsť funkciu, na ktorej daný funkcionál dosahuje ... ... Wikipedia
Odvetvie matematiky venované štúdiu metód na nájdenie extrémov funkcionalít, ktoré závisia od výberu jednej alebo viacerých funkcií pod rôznymi druhmi obmedzení (fázových, diferenciálnych, integrálnych atď.), ktoré sú na ne kladené ... ... Matematická encyklopédia
Variačný počet je odvetvie matematiky, ktoré študuje variácie funkcionalít. Najtypickejšou úlohou variačného počtu je nájsť funkciu, na ktorej funkcionál dosiahne extrémnu hodnotu. Metódy ... ... Wikipedia
knihy
- Prednášky z teórie riadenia. Volume 2. Optimal Control, V. Boss. Uvažuje sa o klasických problémoch teórie optimálneho riadenia. Prezentácia začína základnými pojmami optimalizácie v konečne-dimenzionálnych priestoroch: podmienený a nepodmienený extrém, ...
Definícia1: O funkcii sa hovorí, že má lokálne maximum v bode, ak existuje okolie bodu také, že pre akýkoľvek bod M so súradnicami (x, y) nerovnosť je splnená: . V tomto prípade, teda prírastok funkcie< 0.
Definícia2: O funkcii sa hovorí, že má lokálne minimum v bode, ak existuje okolie bodu také, že pre akýkoľvek bod M so súradnicami (x, y) nerovnosť je splnená: . V tomto prípade, t.j. prírastok funkcie > 0.
Definícia 3: Vyvolávajú sa lokálne minimálne a maximálne body extrémne body.
Podmienené extrémy
Pri hľadaní extrémov funkcie mnohých premenných často vznikajú problémy súvisiace s tzv podmienený extrém. Tento pojem možno vysvetliť na príklade funkcie dvoch premenných.
Nech je daná funkcia a čiara L na povrchu 0xy. Úlohou je linkovať L nájsť taký bod P(x, y), v ktorom je hodnota funkcie najväčšia alebo najmenšia v porovnaní s hodnotami tejto funkcie v bodoch čiary L nachádza v blízkosti bodu P. Takéto body P volal podmienené extrémne body riadkové funkcie L. Na rozdiel od zvyčajného extrémneho bodu sa funkčná hodnota v podmienenom extrémnom bode porovnáva s funkčnými hodnotami nie vo všetkých bodoch niektorého z jeho okolia, ale iba v tých, ktoré ležia na priamke. L.
Je celkom jasné, že bod obvyklého extrému (hovoria tiež bezpodmienečný extrém) je tiež podmienený extrémny bod pre akúkoľvek priamku prechádzajúcu týmto bodom. Opak, samozrejme, nie je pravda: podmienený extrémny bod nemusí byť konvenčným extrémnym bodom. Vysvetlím to na jednoduchom príklade. Grafom funkcie je horná hemisféra (príloha 3 (obr. 3)).
Táto funkcia má na začiatku maximum; zodpovedá vrchnej časti M hemisféry. Ak riadok L cez body prechádza priamka ALE a AT(jej rovnica x+y-1=0), potom je geometricky jasné, že pre body tejto priamky je maximálna hodnota funkcie dosiahnutá v bode ležiacom v strede medzi bodmi ALE a AT. Toto je bod podmieneného extrému (maxima) funkcie na danom riadku; zodpovedá bodu M 1 na pologuli a z obrázku je vidieť, že o nejakom obyčajnom extréme tu nemôže byť reč.
Všimnite si, že v záverečnej časti problému hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie v uzavretej oblasti musíme nájsť extrémne hodnoty funkcie na hranici tejto oblasti, t.j. na nejakom riadku, a tým vyriešiť problém pre podmienený extrém.
Pristúpme teraz k praktickému hľadaniu bodov podmieneného extrému funkcie Z= f(x, y) za predpokladu, že premenné x a y súvisia rovnicou (x, y) = 0. Tento vzťah bude nazývaná obmedzujúca rovnica. Ak z rovnice spojenia y možno vyjadriť explicitne ako x: y \u003d (x), dostaneme funkciu jednej premennej Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).
Po nájdení hodnoty x, pri ktorej táto funkcia dosiahne extrém, a následnom určení zodpovedajúcich hodnôt y z rovnice spojenia, získame požadované body podmieneného extrému.
Takže vo vyššie uvedenom príklade z rovnice komunikácie x+y-1=0 máme y=1-x. Odtiaľ
Je ľahké skontrolovať, či z dosahuje svoje maximum pri x = 0,5; ale potom z rovnice spojenia y = 0,5 a dostaneme presne bod P, zistený z geometrických úvah.
Úloha podmieneného extrému je riešená veľmi jednoducho aj vtedy, keď rovnicu obmedzenia možno reprezentovať parametrickými rovnicami x=x(t), y=y(t). Dosadením výrazov pre x a y do tejto funkcie sa opäť dostávame k problému hľadania extrému funkcie jednej premennej.
Ak má obmedzujúca rovnica zložitejší tvar a nemôžeme ani explicitne vyjadriť jednu premennú v termínoch inej, ani ju nahradiť parametrickými rovnicami, potom sa problém nájdenia podmieneného extrému stáva zložitejším. Naďalej budeme predpokladať, že vo vyjadrení funkcie z= f(x, y) premenná (x, y) = 0. Celková derivácia funkcie z= f(x, y) sa rovná:
Kde je derivácia y`, nájdená pravidlom diferenciácie implicitnej funkcie. V bodoch podmieneného extrému sa nájdená celková derivácia musí rovnať nule; to dáva jednu rovnicu týkajúcu sa x a y. Keďže musia spĺňať aj obmedzujúcu rovnicu, dostaneme sústavu dvoch rovníc s dvomi neznámymi
Transformujme tento systém na oveľa pohodlnejší tak, že napíšeme prvú rovnicu ako pomer a zavedieme novú pomocnú neznámu:
(pre pohodlie je vpredu umiestnené znamienko mínus). Je ľahké prejsť z týchto rovníc do nasledujúceho systému:
f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),
ktorá spolu s obmedzujúcou rovnicou (x, y) = 0 tvorí sústavu troch rovníc s neznámymi x, y a.
Tieto rovnice (*) sa najľahšie zapamätajú pomocou nasledujúceho pravidla: na nájdenie bodov, ktoré môžu byť bodmi podmieneného extrému funkcie
Z= f(x, y) s obmedzujúcou rovnicou (x, y) = 0, musíte vytvoriť pomocnú funkciu
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
Kde je nejaká konštanta a napíšte rovnice na nájdenie extrémnych bodov tejto funkcie.
Uvedená sústava rovníc dodáva spravidla len nevyhnutné podmienky, t.j. nie každá dvojica hodnôt x a y, ktorá vyhovuje tomuto systému, je nevyhnutne podmieneným extrémnym bodom. Neposkytnem dostatočné podmienky pre podmienečné extrémne body; veľmi často samotný konkrétny obsah problému napovedá, v čom spočíva zistený bod. Opísaná technika riešenia problémov pre podmienený extrém sa nazýva metóda Lagrangeových multiplikátorov.
Podmienený extrém.
Extrémy funkcie viacerých premenných
Metóda najmenších štvorcov.
Lokálny extrém FNP
Nechajte funkciu a= f(P), RÎDÌR n a nechajte bod Р 0 ( a 1 , a 2 , ..., a p) –interné bod množiny D.
Definícia 9.4.
1) Bod P 0 sa nazýva maximálny bod funkcie a= f(P) ak existuje okolie tohto bodu U(P 0) Ì D také, že pre ktorýkoľvek bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , podmienka f(P) £ f(P0). Význam f(P 0) sa volá funkcia v maximálnom bode maximálna funkcia a označené f(P 0) = max f(P) .
2) Bod P 0 sa nazýva minimálny bod funkcie a= f(P) ak existuje okolie tohto bodu U(P 0)Ì D také, že pre ktorýkoľvek bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , podmienka f(P)³ f(P0). Význam f(P 0) sa volá funkcia v minimálnom bode funkčné minimum a označené f(P 0) = min f(P).
Volajú sa minimálne a maximálne body funkcie extrémne body sa volajú hodnoty funkcie v extrémnych bodoch funkčné extrémy.
Ako vyplýva z definície, nerovnosti f(P) £ f(P0), f(P)³ f(P 0) sa musí vykonávať len v určitom okolí bodu P 0, a nie v celom obore funkcie, čo znamená, že funkcia môže mať viacero extrémov rovnakého typu (niekoľko miním, viacero maxím). Preto sa vyššie definované extrémy nazývajú miestne(lokálne) extrémy.
Veta 9.1 (nevyhnutná podmienka pre extrém FNP)
Ak je funkcia a= f(X 1 , X 2 , ..., x n) má extrém v bode P 0 , potom jeho parciálne derivácie prvého rádu v tomto bode sú buď rovné nule, alebo neexistujú.
Dôkaz. Nech v bode Р 0 ( a 1 , a 2 , ..., a p) funkciu a= f(P) má extrém, napríklad maximum. Poďme opraviť argumenty X 2 , ..., x n, uvedenie X 2 =a 2 ,..., x n = a p. Potom a= f(P) = f 1 ((X 1 , a 2 , ..., a p) je funkciou jednej premennej X jeden . Keďže táto funkcia má X 1 = a 1 extrém (maximálne), potom f 1 ¢=0 alebo neexistuje, keď X 1 =a 1 (nevyhnutná podmienka existencie extrému funkcie jednej premennej). Ale potom alebo neexistuje v bode P 0 - bod extrému. Podobne môžeme uvažovať o parciálnych deriváciách vzhľadom na iné premenné. CHTD.
Body definičného oboru funkcie, v ktorých sú parciálne derivácie prvého rádu rovné nule alebo neexistujú, sa nazývajú kritických bodov túto funkciu.
Ako vyplýva z vety 9.1, medzi kritickými bodmi funkcie treba hľadať extrémne body FNP. Ale čo sa týka funkcie jednej premennej, nie každý kritický bod je extrémnym bodom.
Veta 9.2
Nech Р 0 je kritický bod funkcie a= f(P) a 
je diferenciál druhého rádu tejto funkcie. Potom
A keď d 2 u(P 0) > 0 pre , potom Р 0 je bod minimálne funkcie a= f(P);
b) ak d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximálne funkcie a= f(P);
c) ak d 2 u(P 0) nie je definované znamienkom, potom P 0 nie je extrémny bod;
Túto vetu uvažujeme bez dôkazu.
Všimnite si, že veta nezohľadňuje prípad, kedy d 2 u(P 0) = 0 alebo neexistuje. To znamená, že otázka prítomnosti extrému v bode P 0 za takýchto podmienok zostáva otvorená – sú potrebné ďalšie štúdie, napríklad štúdium prírastku funkcie v tomto bode.
V podrobnejších kurzoch matematiky sa dokazuje, že najmä pre funkciu z = f(X,r) dvoch premenných, ktorých diferenciál druhého rádu je súčtom tvaru
štúdium prítomnosti extrému v kritickom bode Р 0 možno zjednodušiť.
Označte , , . Zostavte determinant
.
Ukazuje sa:
d 2 z> 0 v bode P 0, t.j. P 0 - minimálny bod, ak A(P°) > 0 a D(P°) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
ak D(P 0)< 0, то d 2 z v blízkosti bodu Р 0 sa mení znamienko a v bode Р 0 nie je extrém;
ak D(Р 0) = 0, potom sú potrebné aj ďalšie štúdie funkcie v blízkosti kritického bodu Р 0.
Teda pre funkciu z = f(X,r) dve premenné, máme nasledujúci algoritmus (nazvime ho „algoritmus D“) na nájdenie extrému:
1) Nájdite doménu definície D( f) funkcie.
2) Nájdite kritické body, t.j. body z D( f), pre ktoré a sú rovné nule alebo neexistujú.
3) V každom kritickom bode Р 0 skontrolujte dostatočné podmienky pre extrém. Ak to chcete urobiť, nájdite , kde , , a vypočítajte D(Р 0) a ALE(P 0). Potom:
ak D(Р 0) >0, potom je v bode Р 0 extrém, navyše ak ALE(P 0) > 0 - potom je to minimum a ak ALE(P 0)< 0 – максимум;
ak D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Ak D(Р 0) = 0, potom sú potrebné ďalšie štúdie.
4) Vypočítajte hodnotu funkcie v nájdených extrémnych bodoch.
Príklad 1.
Nájdite extrém funkcie z = X 3 + 8r 3 – 3xy .
rozhodnutie. Oblasťou tejto funkcie je celá rovina súradníc. Poďme nájsť kritické body.
, 
, 
Þ Р 0 (0,0) , .
Skontrolujme splnenie dostatočných extrémnych podmienok. Poďme nájsť
6X, = -3, = 48pri a 
= 288hu – 9.
Potom D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - v bode Р 1 je extrém a od r. ALE(P 1) = 3 >0, potom je tento extrém minimom. Takže min z=z(P1) = 
.
Príklad 2
Nájdite extrém funkcie 
.
Riešenie: D( f) = R2. Kritické body: 
; neexistuje na pri= 0, teda P 0 (0,0) je kritický bod tejto funkcie.
2, = 0, = , = , ale D(Р 0) nie je definované, takže nie je možné študovať jeho znamienko.
Z rovnakého dôvodu nie je možné priamo aplikovať vetu 9.2 − d 2 z v tomto bode neexistuje.
Zvážte prírastok funkcie f(X, r) v bode Р 0 . Ak D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, potom P 0 je minimálny bod, ak D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
V našom prípade máme
D f = f(X, r) – f(0, 0) = f(0+D X,0+D r) – f(0, 0) = .
V D X= 0,1 a D r= -0,008 dostaneme D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 a D r= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, t.j. v blízkosti bodu Р 0 ani podmienka D f <0 (т.е. f(X, r) < f(0, 0) a teda P 0 nie je maximálny bod), ani podmienka D f>0 (t.j. f(X, r) > f(0, 0) a potom Р 0 nie je minimálny bod). Preto podľa definície extrému táto funkcia nemá žiadne extrémy.
Podmienený extrém.
Uvažovaný extrém funkcie sa nazýva bezpodmienečné, pretože na argumenty funkcie nie sú kladené žiadne obmedzenia (podmienky).
Definícia 9.2. Funkčný extrém a = f(X 1 , X 2 , ... , x n), zistil pod podmienkou, že jeho argumenty X 1 , X 2 , ... , x n splniť rovnice j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j t(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kde P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), sa nazýva podmienený extrém .
Rovnice j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, sa volajú spojovacie rovnice.
Zvážte funkcie z = f(X,r) dvoch premenných. Ak existuje len jedna obmedzujúca rovnica, t.j. , potom nájdenie podmieneného extrému znamená, že extrém sa nehľadá v celej doméne funkcie, ale na nejakej krivke ležiacej v D( f) (t. j. nehľadajú sa najvyššie ani najnižšie body povrchu z = f(X,r), a najvyššie alebo najnižšie body medzi priesečníkmi tejto plochy s valcom , obr. 5).
Podmienený extrém funkcie z = f(X,r) dvoch premenných možno nájsť nasledujúcim spôsobom ( eliminačná metóda). Z rovnice vyjadrite jednu z premenných ako funkciu druhej (napríklad napíšte ) a dosadením tejto hodnoty premennej do funkcie zapíšte túto premennú ako funkciu jednej premennej (v uvažovanom prípade 
). Nájdite extrém výslednej funkcie jednej premennej.
