Je uvedený dôkaz vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie. Podrobne sa zvažujú prípady, keď komplexná funkcia závisí od jednej alebo dvoch premenných. Zovšeobecnenie sa robí na prípad ľubovoľného počtu premenných.

Tu uvádzame odvodenie nasledujúcich vzorcov pre deriváciu komplexnej funkcie.
Ak potom
.
Ak potom
.
Ak potom
.

Derivácia komplexnej funkcie jednej premennej

Nech je funkcia premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia v nasledujúcom tvare:
,
kde a tam sú nejaké funkcie. Funkcia je diferencovateľná pre nejakú hodnotu premennej x . Funkcia je diferencovateľná pre hodnotu premennej .
Potom je komplexná (zložená) funkcia diferencovateľná v bode x a jej derivácia je určená vzorcom:
(1) .

Vzorec (1) možno napísať aj takto:
;
.

Dôkaz

Uveďme si nasledujúci zápis.
;
.
Tu je funkcia premenných a , existuje funkcia premenných a . Ale vynecháme argumenty týchto funkcií, aby sme nezaťažili výpočty.

Keďže funkcie a sú diferencovateľné v bodoch x a , v tomto poradí, potom v týchto bodoch existujú derivácie týchto funkcií, čo sú nasledujúce limity:
;
.

Zvážte nasledujúcu funkciu:
.
Pre pevnú hodnotu premennej u je funkciou . To je zrejmé
.
Potom
.

Pretože funkcia je diferencovateľná funkcia v bode , potom je v tomto bode spojitá. Takže
.
Potom
.

Teraz nájdeme derivát.

.

Vzorec bol osvedčený.

Dôsledok

Ak funkcia premennej x môže byť reprezentovaná ako komplexná funkcia komplexnej funkcie
,
potom je jeho derivácia určená vzorcom
.
Tu a tam sú niektoré diferencovateľné funkcie.

Aby sme dokázali tento vzorec, sekvenčne vypočítame deriváciu podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie.
Zvážte komplexnú funkciu
.
Jeho derivát
.
Zvážte pôvodnú funkciu
.
Jeho derivát
.

Derivácia komplexnej funkcie v dvoch premenných

Teraz nech komplexná funkcia závisí od niekoľkých premenných. Najprv zvážte prípad komplexnej funkcie dvoch premenných.

Nech je funkcia závislá od premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia dvoch premenných v nasledujúcom tvare:
,
kde
a existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x ;
je funkciou dvoch premenných, diferencovateľných v bode , . Potom je komplexná funkcia definovaná v niektorom okolí bodu a má deriváciu, ktorá je určená vzorcom:
(2) .

Dôkaz

Keďže funkcie a sú diferencovateľné v bode , sú definované v určitom susedstve tohto bodu, sú v bode spojité a v bode existujú ich derivácie, čo sú nasledujúce limity:
;
.
Tu
;
.
Vzhľadom na kontinuitu týchto funkcií v určitom bode máme:
;
.

Keďže funkcia je diferencovateľná v bode , je definovaná v nejakom susedstve tohto bodu, v tomto bode je spojitá a jej prírastok možno zapísať takto:
(3) .
Tu

- prírastok funkcie, keď sa jej argumenty zvýšia o hodnoty a ;
;

- parciálne derivácie funkcie vzhľadom na premenné a .
Pre pevné hodnoty a existujú funkcie premenných a . Majú tendenciu k nule ako a:
;
.
Odvtedy a potom
;
.

Prírastok funkcie:

. :
.
Náhradník (3):



.

Vzorec bol osvedčený.

Derivácia komplexnej funkcie viacerých premenných

Vyššie uvedená derivácia sa dá ľahko zovšeobecniť na prípad, keď počet premenných komplexnej funkcie je viac ako dve.

Napríklad, ak f je funkcia troch premenných, potom
,
kde
, a existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x ;
je diferencovateľná funkcia v troch premenných v bode , , .
Potom z definície diferencovateľnosti funkcie máme:
(4)
.
Keďže z dôvodu kontinuity,
; ; ,
potom
;
;
.

Delením (4) a prekročením limitu dostaneme:
.

A nakoniec zvážte najvšeobecnejší prípad.
Nech je funkcia premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia n premenných v nasledujúcom tvare:
,
kde
existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x ;
- diferencovateľná funkcia n premenných v bode
, , ... , .
Potom
.

Definícia. Nech je funkcia \(y = f(x) \) definovaná v nejakom intervale obsahujúcom bod \(x_0 \) vo vnútri. Zväčšíme \(\Delta x \) na argument, aby sme neopustili tento interval. Nájdite zodpovedajúci prírastok funkcie \(\Delta y \) (pri prechode z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a zostavte vzťah \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Ak existuje limita tohto vzťahu v \(\Delta x \rightarrow 0 \), potom sa zadaná limita nazýva derivačná funkcia\(y=f(x) \) v bode \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y sa často používa na označenie derivácie. Všimnite si, že y" = f(x) je nová funkcia, ale prirodzene spojená s funkciou y = f(x), definovanou vo všetkých bodoch x, v ktorých existuje vyššie uvedená limita. Táto funkcia sa volá takto: derivácia funkcie y \u003d f (x).

Geometrický význam derivátu pozostáva z nasledujúceho. Ak je možné nakresliť dotyčnicu, ktorá nie je rovnobežná s osou y, ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode s os x \u003d a, potom f (a) vyjadruje sklon dotyčnice:
\(k = f"(a)\)

Keďže \(k = tg(a) \), platí rovnosť \(f"(a) = tg(a) \).

A teraz interpretujeme definíciu derivátu z hľadiska približných rovnosti. Nech funkcia \(y = f(x) \) má deriváciu v určitom bode \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že blízko bodu x je približná rovnosť \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \približne f"(x) \), t.j. \(\Delta y \približne f"(x) \cdot \Deltax\). Zmysluplný význam získanej približnej rovnosti je nasledovný: prírastok funkcie je „takmer úmerný“ prírastku argumentu a koeficient úmernosti je hodnota derivácie v danom bode x. Napríklad pre funkciu \(y = x^2 \) platí približná rovnosť \(\Delta y \cca 2x \cdot \Delta x \). Ak dôkladne analyzujeme definíciu derivátu, zistíme, že obsahuje algoritmus na jeho nájdenie.

Poďme to sformulovať.

Ako nájsť deriváciu funkcie y \u003d f (x) ?

1. Opravte hodnotu \(x \), nájdite \(f(x) \)
2. Zvýšte \(x \) argument \(\Delta x \), presuňte sa do nového bodu \(x+ \Delta x \), nájdite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Nájdite prírastok funkcie: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Zostavte vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Táto limita je deriváciou funkcie v x.

Ak funkcia y = f(x) má deriváciu v bode x, potom sa nazýva diferencovateľná v bode x. Zavolá sa postup na nájdenie derivácie funkcie y \u003d f (x). diferenciácia funkcie y = f(x).

Poďme diskutovať o nasledujúcej otázke: ako súvisí spojitosť a diferencovateľnosť funkcie v bode?

Nech je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x. Potom je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie v bode M (x; f (x)) a, pripomíname, sklon dotyčnice sa rovná f "(x). Takýto graf sa nemôže "zlomiť" v bod M, t.j. funkcia musí byť spojitá v x.

Bolo to uvažovanie „na prstoch“. Uveďme prísnejší argument. Ak je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x, potom platí približná rovnosť \(\Delta y \cca f"(x) \cdot \Delta x \) nula, potom \(\Delta y \ ) bude mať tiež tendenciu k nule, a to je podmienka spojitosti funkcie v bode.

takze ak je funkcia diferencovateľná v bode x, potom je v tomto bode aj spojitá.

Opak nie je pravdou. Napríklad: funkcia y = |x| je všade spojitá, najmä v bode x = 0, ale dotyčnica ku grafu funkcie v „spoločnom bode“ (0; 0) neexistuje. Ak v určitom bode nie je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie, potom v tomto bode neexistuje žiadna derivácia.

Ešte jeden príklad. Funkcia \(y=\sqrt(x) \) je spojitá na celej číselnej osi, vrátane bodu x = 0. A dotyčnica ku grafu funkcie existuje v akomkoľvek bode, vrátane bodu x = 0 Ale v tomto bode sa dotyčnica zhoduje s osou y, to znamená, že je kolmá na os x, jej rovnica má tvar x \u003d 0. Pre takúto priamku neexistuje žiadny sklon, čo znamená, že \ ( f "(0) \) tiež neexistuje

Zoznámili sme sa teda s novou vlastnosťou funkcie – diferencovateľnosťou. Ako môžete zistiť, či je funkcia diferencovateľná od grafu funkcie?

Odpoveď je vlastne uvedená vyššie. Ak sa v určitom bode dá nakresliť dotyčnica ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom je v tomto bode funkcia diferencovateľná. Ak v určitom bode dotyčnica ku grafu funkcie neexistuje alebo je kolmá na os x, potom v tomto bode funkcia nie je diferencovateľná.

Pravidlá diferenciácie

Operácia nájdenia derivátu sa nazýva diferenciácia. Pri vykonávaní tejto operácie musíte často pracovať s kvocientmi, súčtami, súčinmi funkcií, ako aj s „funkciami funkcií“, teda komplexnými funkciami. Na základe definície derivátu vieme odvodiť pravidlá diferenciácie, ktoré túto prácu uľahčujú. Ak je C konštantné číslo a f=f(x), g=g(x) sú niektoré diferencovateľné funkcie, potom platí nasledovné pravidlá diferenciácie:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivácia zloženej funkcie:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabuľka derivácií niektorých funkcií

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

komplexné deriváty. Logaritmická derivácia.
Derivácia exponenciálnej funkcie

Pokračujeme v zlepšovaní našej techniky diferenciácie. V tejto lekcii si skonsolidujeme preberaný materiál, zvážime zložitejšie deriváty a tiež sa oboznámime s novými trikmi a trikmi na nájdenie derivátu, najmä s logaritmickou deriváciou.

Tí čitatelia, ktorí majú nízku úroveň prípravy, by si mali prečítať článok Ako nájsť derivát? Príklady riešeníčo vám umožní zvýšiť svoje zručnosti takmer od nuly. Ďalej musíte starostlivo preštudovať stránku Derivácia zloženej funkcie, pochopiť a vyriešiť všetky príklady, ktoré som uviedol. Táto lekcia je logicky tretia v poradí a po jej zvládnutí s istotou odlíšite dosť zložité funkcie. Je nežiaduce držať sa polohy „Kde inde? Áno, a to stačí! “, Pretože všetky príklady a riešenia sú prevzaté zo skutočných testov a často sa nachádzajú v praxi.

Začnime opakovaním. Na lekcii Derivácia zloženej funkcie zvážili sme množstvo príkladov s podrobnými komentármi. V priebehu štúdia diferenciálneho počtu a iných častí matematickej analýzy budete musieť veľmi často rozlišovať a nie je vždy vhodné (a nie vždy potrebné) maľovať príklady veľmi podrobne. Preto sa precvičíme v ústnom zisťovaní derivátov. Najvhodnejšími „kandidátmi“ na to sú deriváty najjednoduchších alebo komplexných funkcií, napríklad:

Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie :

Pri štúdiu iných tém matanu v budúcnosti sa takýto podrobný záznam najčastejšie nevyžaduje, predpokladá sa, že študent je schopný nájsť podobné deriváty na autopilotovi. Predstavme si, že o 3. hodine ráno zazvonil telefón a príjemný hlas sa spýtal: „Aká je derivácia tangensu dvoch x?“. Potom by mala nasledovať takmer okamžitá a zdvorilá odpoveď: .

Prvý príklad bude okamžite určený na nezávislé riešenie.

Príklad 1

Nájdite nasledujúce deriváty ústne, v jednom kroku, napríklad: . Na dokončenie úlohy stačí použiť tabuľka derivácií elementárnych funkcií(ak si už nespomenula). Ak máte nejaké ťažkosti, odporúčam si lekciu znovu prečítať Derivácia zloženej funkcie.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovede na konci lekcie

Komplexné deriváty

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 prílohami funkcií menej desivé. Možno sa niekomu budú zdať nasledujúce dva príklady komplikované, ale ak ich pochopí (niekto trpí), tak takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte bude pôsobiť ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to potrebné predovšetkým správny ROZUMIEŤ INVESTÍCIÁM. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam užitočný trik: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu "x" a pokúsime sa (mentálne alebo na koncepte) nahradiť túto hodnotu do "strašného výrazu".

1) Najprv musíme vypočítať výraz, takže súčet je najhlbšie vnorenie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínusovú kocku:

5) V piatom kroku rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu komplexných funkcií sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:

Zdá sa, že bez chyby...

(1) Vezmeme deriváciu druhej odmocniny.

(2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla

(3) Derivácia trojky sa rovná nule. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

(4) Vezmeme deriváciu kosínusu.

(5) Zoberieme deriváciu logaritmu.

(6) Nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho hniezdenia .

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je ten najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetko čaro a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že podobnú vec radi dávajú na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je pre samostatné riešenie.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Pomôcka: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie súčinu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo kompaktnejšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že v príklade je uvedený súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrieme, ale je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v tomto príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatniť pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že pre "y" označujeme súčin dvoch funkcií: a pre "ve" - ​​logaritmus:. Prečo sa to dá urobiť? je to? - to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Stále môžete prevrátiť a niečo vyňať zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie ponechať odpoveď v tejto forme - bude to jednoduchšie skontrolovať.

Vyššie uvedený príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne ekvivalentné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na nezávislé riešenie, v ukážke je to riešené prvým spôsobom.

Zvážte podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Riešenie však možno napísať kompaktnejšie, ak najskôr použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom za celého čitateľa:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá v tejto podobe, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, ale je možné zjednodušiť odpoveď? Vyjadrenie čitateľa prinášame do spoločného menovateľa a zbaviť sa trojposchodového zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlime nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych transformáciách škôl. Na druhej strane učitelia často úlohu odmietajú a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní techník na nájdenie derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „strašný“ logaritmus.

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete prejsť dlhú cestu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Ale hneď prvý krok vás okamžite uvrhne do skľúčenosti - musíte si vziať nepríjemný derivát zlomkového stupňa a potom aj zlomku.

Takže predtým ako vziať derivát „fantastického“ logaritmu, bol predtým zjednodušený pomocou dobre známych školských vlastností:

! Ak máte po ruke cvičný zošit, skopírujte si tieto vzorce priamo tam. Ak nemáte zošit, nakreslite si ich na papier, pretože zvyšok príkladov na lekcii sa bude točiť okolo týchto vzorcov.

Samotné riešenie môže byť formulované takto:

Transformujme funkciu:

Nájdeme derivát:

Predbežná transformácia samotnej funkcie značne zjednodušila riešenie. Preto, keď sa na diferenciáciu navrhuje podobný logaritmus, vždy sa odporúča „rozbiť“.

A teraz pár jednoduchých príkladov pre nezávislé riešenie:

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Všetky transformácie a odpovede na konci lekcie.

logaritmická derivácia

Ak je derivácia logaritmov taká sladká hudba, potom vyvstáva otázka, či je možné v niektorých prípadoch logaritmus umelo usporiadať? Môcť! A dokonca nevyhnutné.

Príklad 11

Nájdite deriváciu funkcie

Podobné príklady sme nedávno zvažovali. Čo robiť? Postupne možno aplikovať pravidlo diferenciácie kvocientu a potom pravidlo diferenciácie produktu. Nevýhodou tejto metódy je, že získate obrovský trojposchodový zlomok, s ktorým sa vôbec nechcete zaoberať.

Ale v teórii a praxi existuje taká úžasná vec ako logaritmická derivácia. Logaritmy možno umelo organizovať ich „zavesením“ na obe strany:

Teraz musíte čo najviac „rozložiť“ logaritmus pravej strany (vzorce pred vašimi očami?). Popíšem tento proces veľmi podrobne:

Začnime s diferenciáciou.
Obe časti uzatvárame ťahom:

Odvodenie pravej strany je celkom jednoduché, nebudem sa k tomu vyjadrovať, pretože ak čítate tento text, mali by ste ho s istotou zvládnuť.

A čo ľavá strana?

Na ľavej strane máme komplexná funkcia. Predpokladám otázku: „Prečo, je pod logaritmom jedno písmeno „y“?

Faktom je, že toto „jedno písmeno y“ - JE FUNKCIOU SAMA O SEBE(ak to nie je veľmi jasné, pozrite si článok Derivácia implicitne špecifikovanej funkcie). Preto je logaritmus vonkajšia funkcia a "y" je vnútorná funkcia. A používame pravidlo diferenciácie zložených funkcií :

Na ľavej strane akoby kúzlom máme derivát. Ďalej, podľa pravidla proporcie, hodíme „y“ z menovateľa ľavej strany do hornej časti pravej strany:

A teraz si spomenieme, o akej „hernej“ funkcii sme hovorili pri rozlišovaní? Pozrime sa na stav:

Konečná odpoveď:

Príklad 12

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad „urob si sám“. Vzorový návrh príkladu tohto typu na konci lekcie.

Pomocou logaritmickej derivácie bolo možné vyriešiť ktorýkoľvek z príkladov č. 4-7, ďalšia vec je, že funkcie sú tam jednoduchšie a možno použitie logaritmickej derivácie nie je veľmi opodstatnené.

Derivácia exponenciálnej funkcie

O tejto funkcii sme zatiaľ neuvažovali. Exponenciálna funkcia je funkcia, ktorá má a stupeň a základ závisia od "x". Klasický príklad, ktorý dostanete v ktorejkoľvek učebnici alebo na ktorejkoľvek prednáške:

Ako nájsť deriváciu exponenciálnej funkcie?

Je potrebné použiť práve uvažovanú techniku ​​- logaritmickú deriváciu. Logaritmy zavesíme na obe strany:

Stupeň sa spravidla odoberá spod logaritmu na pravej strane:

Výsledkom je, že na pravej strane máme súčin dvoch funkcií, ktoré budú diferencované podľa štandardného vzorca .

Nájdeme deriváciu, preto obe časti uzatvoríme pod ťahy:

Nasledujúce kroky sú jednoduché:

Nakoniec:

Ak niektorá transformácia nie je úplne jasná, pozorne si znovu prečítajte vysvetlenia príkladu #11.

V praktických úlohách bude exponenciálna funkcia vždy komplikovanejšia ako uvažovaný príklad z prednášky.

Príklad 13

Nájdite deriváciu funkcie

Používame logaritmickú deriváciu.

Na pravej strane máme konštantu a súčin dvoch faktorov - "x" a "logaritmus logaritmu x" (pod logaritmus je vnorený ďalší logaritmus). Pri derivovaní konštanty, ako si pamätáme, je lepšie ju hneď vyňať zo znamienka derivácie, aby neprekážala; a samozrejme použiť známe pravidlo :

Ako vidíte, algoritmus na aplikáciu logaritmickej derivácie neobsahuje žiadne špeciálne triky a triky a nájdenie derivácie exponenciálnej funkcie zvyčajne nie je spojené s „trápením“.

Ak budeme postupovať podľa definície, potom derivácia funkcie v bode je limita pomeru prírastku funkcie Δ r na prírastok argumentu Δ X:

Zdá sa, že všetko je jasné. Ale skúste vypočítať podľa tohto vzorca, povedzme, deriváciu funkcie f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X hriech X. Ak robíte všetko podľa definície, potom po niekoľkých stránkach výpočtov jednoducho zaspíte. Preto existujú jednoduchšie a efektívnejšie spôsoby.

Na začiatok si všimneme, že takzvané elementárne funkcie možno odlíšiť od celej škály funkcií. Ide o pomerne jednoduché výrazy, ktorých deriváty sú už dávno vypočítané a zapísané do tabuľky. Takéto funkcie sa dajú ľahko zapamätať spolu s ich derivátmi.

Derivácie elementárnych funkcií

Všetky základné funkcie sú uvedené nižšie. Deriváty týchto funkcií musia byť známe naspamäť. Navyše nie je ťažké si ich zapamätať – preto sú elementárne.

Takže deriváty elementárnych funkcií:

názov	Funkcia	Derivát
Neustále	f(X) = C, C ∈ R	0 (áno, áno, nula!)
Stupeň s racionálnym exponentom	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	f(X) = hriech X	cos X
Kosínus	f(X) = cos X	− hriech X(mínus sinus)
Tangenta	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	f(X) = ctg X	− 1/sin2 X
prirodzený logaritmus	f(X) = log X	1/X
Ľubovoľný logaritmus	f(X) = log a X	1/(X ln a)
Exponenciálna funkcia	f(X) = e X	e X(nič sa nezmenilo)

Ak sa elementárna funkcia vynásobí ľubovoľnou konštantou, potom sa ľahko vypočíta aj derivácia novej funkcie:

(C · f)’ = C · f ’.

Vo všeobecnosti možno zo znamienka derivácie vyňať konštanty. Napríklad:

(2X 3)' = 2 ( X 3) = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Je zrejmé, že elementárne funkcie sa dajú navzájom sčítať, násobiť, deliť a mnoho iného. Takto sa objavia nové funkcie, už nie veľmi elementárne, ale aj diferencovateľné podľa určitých pravidiel. Tieto pravidlá sú popísané nižšie.

Derivácia súčtu a rozdielu

Nechajte funkcie f(X) a g(X), ktorých deriváty sú nám známe. Môžete si napríklad vziať základné funkcie diskutované vyššie. Potom môžete nájsť deriváciu súčtu a rozdielu týchto funkcií:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Takže derivácia súčtu (rozdielu) dvoch funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) derivácií. Termínov môže byť viac. Napríklad, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Presne povedané, v algebre neexistuje pojem „odčítanie“. Existuje pojem „negatívny prvok“. Preto ten rozdiel f − g možno prepísať ako súčet f+ (-1) g a potom zostane len jeden vzorec - derivácia súčtu.

f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funkcia f(X) je súčet dvoch základných funkcií, takže:

f ’(X) = (X 2+ hriech X)’ = (X 2) + (hriech X)’ = 2X+ cosx;

Podobne argumentujeme aj pri funkcii g(X). Len už existujú tri pojmy (z hľadiska algebry):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

odpoveď:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivát produktu

Matematika je logická veda, takže veľa ľudí verí, že ak sa derivácia súčtu rovná súčtu derivácií, potom derivácia súčinu štrajk"\u003e sa rovná súčinu derivátov. Ale pre vás! Derivát súčinu sa vypočíta pomocou úplne iného vzorca. Konkrétne:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Vzorec je jednoduchý, ale často zabudnutý. A to nielen školákov, ale aj študentov. Výsledkom sú nesprávne vyriešené problémy.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funkcia f(X) je produktom dvoch základných funkcií, takže všetko je jednoduché:

f ’(X) = (X 3 kos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 kos X + X 3 (- hriech X) = X 2 (3 cos X − X hriech X)

Funkcia g(X) prvý multiplikátor je trochu komplikovanejší, ale všeobecná schéma sa od toho nemení. Je zrejmé, že prvý multiplikátor funkcie g(X) je polynóm a jeho derivácia je deriváciou súčtu. Máme:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

odpoveď:
f ’(X) = X 2 (3 cos X − X hriech X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Všimnite si, že v poslednom kroku sa derivácia faktorizuje. Formálne to nie je potrebné, ale väčšina derivátov sa nevypočítava samostatne, ale na preskúmanie funkcie. To znamená, že derivácia sa bude ďalej rovnať nule, zistia sa jej znamienka atď. Pre takýto prípad je lepšie mať výraz rozložený na faktory.

Ak existujú dve funkcie f(X) a g(X), a g(X) ≠ 0 na množine, ktorá nás zaujíma, môžeme definovať novú funkciu h(X) = f(X)/g(X). Pre takúto funkciu môžete nájsť aj deriváciu:

Nie slabé, však? Kde sa vzalo mínus? Prečo? g 2? Ale takto! Toto je jeden z najkomplexnejších vzorcov - bez fľaše to nezistíte. Preto je lepšie si to naštudovať na konkrétnych príkladoch.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií:

V čitateli a menovateli každého zlomku sú elementárne funkcie, takže všetko, čo potrebujeme, je vzorec pre deriváciu kvocientu:

Podľa tradície započítavame čitateľa do faktorov - to výrazne zjednoduší odpoveď:

Komplexná funkcia nemusí byť nevyhnutne vzorec dlhý pol kilometra. Napríklad stačí prevziať funkciu f(X) = hriech X a nahradiť premennú X povedzme ďalej X 2+ln X. Ukázalo sa f(X) = hriech ( X 2+ln X) je komplexná funkcia. Má tiež derivát, ale nebude fungovať nájsť ho podľa vyššie uvedených pravidiel.

Ako byť? V takýchto prípadoch pomôže nahradenie premennej a vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie:

f ’(X) = f ’(t) · t', ak X sa nahrádza t(X).

Spravidla je situácia s chápaním tohto vzorca ešte smutnejšia ako s deriváciou kvocientu. Preto je tiež lepšie to vysvetliť na konkrétnych príkladoch, s podrobným popisom každého kroku.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = hriech ( X 2+ln X)

Všimnite si, že ak vo funkcii f(X) namiesto výrazu 2 X+ 3 bude ľahké X, potom dostaneme elementárnu funkciu f(X) = e X. Preto urobíme substitúciu: nech 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Hľadáme deriváciu komplexnej funkcie podľa vzorca:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A teraz - pozor! Vykonanie spätnej substitúcie: t = 2X+ 3. Získame:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Teraz sa pozrime na funkciu g(X). Očividne treba vymeniť. X 2+ln X = t. Máme:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (hriech t)’ · t' = cos t · t ’

Spätná výmena: t = X 2+ln X. potom:

g ’(X) = cos ( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

To je všetko! Ako vidno z posledného výrazu, celý problém sa zredukoval na výpočet derivácie súčtu.

odpoveď:
f ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) čos( X 2+ln X).

Veľmi často na svojich hodinách namiesto výrazu „derivát“ používam slovo „mŕtvica“. Napríklad zdvih súčtu sa rovná súčtu zdvihov. je to jasnejšie? No to je dobre.

Výpočet derivátu teda vedie k zbaveniu sa práve týchto ťahov podľa vyššie uvedených pravidiel. Ako posledný príklad sa vráťme k derivačnej mocnine s racionálnym exponentom:

(X n)’ = n · X n − 1

Málokto to vie v úlohe n môže byť aj zlomkové číslo. Napríklad koreň je X 0,5. Ale čo ak je pod koreňom niečo zložité? Opäť sa ukáže komplexná funkcia - radi dávajú takéto konštrukcie v testoch a skúškach.

Úloha. Nájdite deriváciu funkcie:

Najprv prepíšme odmocninu na mocninu s racionálnym exponentom:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Teraz urobíme náhradu: nech X 2 + 8X − 7 = t. Deriváciu nájdeme podľa vzorca:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t-0,5 t ’.

Urobíme opačnú substitúciu: t = X 2 + 8X− 7. Máme:

f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Nakoniec späť ku koreňom:

V „starých“ učebniciach sa tomu hovorí aj „reťazové“ pravidlo. Ak teda y \u003d f (u) a u \u003d φ (x), t.j

y \u003d f (φ (x))

komplexná – zložená funkcia (zloženie funkcií) vtedy

kde , po výpočte sa uvažuje pri u = φ(x).

Všimnite si, že tu sme prevzali „iné“ kompozície z rovnakých funkcií a výsledok diferenciácie sa prirodzene ukázal ako závislý od poradia „miešania“.

Reťazové pravidlo sa prirodzene rozširuje na zloženie troch alebo viacerých funkcií. V tomto prípade budú tri alebo viac „odkazov“ v „reťazci“, ktorý tvorí derivát, resp. Tu je analógia s násobením: „máme“ - tabuľku derivátov; "tam" - násobiteľská tabuľka; „s nami“ je reťazové pravidlo a „tam“ je pravidlo násobenia so „stĺpcom“. Pri výpočte takýchto „komplexných“ derivátov sa samozrejme nezavádzajú žiadne pomocné argumenty (u¸v atď.), Ale keď si všimnú počet a postupnosť funkcií zúčastňujúcich sa na kompozícii, „naviažu“ zodpovedajúce odkazy v uvedené poradie.

. Tu sa vykoná päť operácií s „x“ na získanie hodnoty „y“, to znamená, že sa uskutoční zloženie piatich funkcií: „externá“ (posledná z nich) – exponenciálna – e ; potom v opačnom poradí je mocenský zákon. (♦) 2; trigonometrický hriech (); moc. () 3 a nakoniec logaritmické ln.(). Takže

Nasledujúce príklady „zabijú páry vtákov jednou ranou“: precvičíme si diferencovanie zložitých funkcií a doplníme tabuľku derivácií elementárnych funkcií. Takže:

4. Pre výkonovú funkciu - y \u003d x α - jej prepísanie pomocou známej "základnej logaritmickej identity" - b \u003d e ln b - v tvare x α \u003d x α ln x dostaneme

5. Pre ľubovoľnú exponenciálnu funkciu pomocou rovnakej techniky budeme mať

6. Pre ľubovoľnú logaritmickú funkciu pomocou známeho vzorca pre prechod na novú bázu postupne získame

.

7. Na diferenciáciu tangensu (kotangens) použijeme pravidlo pre diferenciáciu kvocientu:

Na získanie derivácií inverzných goniometrických funkcií použijeme vzťah, ktorý spĺňajú derivácie dvoch vzájomne inverzných funkcií, teda funkcie φ (x) a f (x), ktoré sú spojené vzťahmi:

Tu je pomer

Je to z tohto vzorca pre vzájomne inverzné funkcie

a
,

Na záver zhrnieme tieto a niektoré ďalšie, rovnako ľahko získané deriváty, v nasledujúcej tabuľke.