Z vyššie uvedeného článku sa dozviete, aký je limit a s čím sa to jedáva – to je VEĽMI dôležité. prečo? Možno nerozumiete, čo sú determinanty a úspešne ich riešite, možno vôbec nerozumiete, čo je to derivácia a nájdete ich na „päťke“. Ale ak nerozumiete tomu, čo je limit, potom bude ťažké vyriešiť praktické úlohy. Tiež nebude zbytočné zoznámiť sa so vzorkami návrhu rozhodnutí a mojimi odporúčaniami pre dizajn. Všetky informácie sú prezentované jednoduchým a prístupným spôsobom.
A na účely tejto lekcie potrebujeme nasledujúce metodické materiály: Pozoruhodné limity a Goniometrické vzorce. Nájdete ich na stránke. Najlepšie je vytlačiť návody - je to oveľa pohodlnejšie, okrem toho sa k nim často musí pristupovať offline.
Čo je pozoruhodné na úžasných limitoch? Pozoruhodnosť týchto limitov spočíva v tom, že ich dokázali najväčšie mysle slávnych matematikov a vďační potomkovia nemusia trpieť strašnými limitmi s hromadou goniometrických funkcií, logaritmov a stupňov. To znamená, že pri hľadaní hraníc použijeme hotové výsledky, ktoré sú teoreticky dokázané.
Existuje niekoľko pozoruhodných limitov, ale v praxi majú študenti externého štúdia v 95% prípadov dva pozoruhodné limity: Prvá úžasná limitka, Druhá úžasná limitka. Treba poznamenať, že ide o historicky ustálené mená, a keď napríklad hovoria o „prvom úžasnom limite“, majú na mysli veľmi špecifickú vec, a nie nejakú náhodnú hranicu vytiahnutú zo stropu.
Prvá úžasná limitka
Zvážte nasledujúci limit: (namiesto pôvodného písmena „on“ použijem grécke písmeno „alfa“, je to pohodlnejšie z hľadiska prezentácie materiálu).
Podľa nášho pravidla pre hľadanie limitov (pozri článok Limity. Príklady riešení) skúsime do funkcie dosadiť nulu: v čitateli dostaneme nulu (sínus nuly je nula), v menovateli samozrejme aj nulu. Stretávame sa teda s neurčitosťou formy, ktorú našťastie netreba prezrádzať. V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že:
Tento matematický fakt je tzv Prvá úžasná limitka. Nebudem poskytovať analytický dôkaz limity, ale v lekcii zvážime jej geometrický význam nekonečne malé funkcie.
Často v praktických úlohách môžu byť funkcie usporiadané inak, to nič nemení:
– rovnaká prvá úžasná hranica.
Ale nemôžete zmeniť usporiadanie čitateľa a menovateľa sami! Ak je limit uvedený vo forme , musí byť vyriešený v rovnakom tvare bez toho, aby sa čokoľvek preskupovalo.
V praxi môže ako parameter pôsobiť nielen premenná, ale aj elementárna funkcia, komplexná funkcia. Dôležité je len to, aby mala tendenciu k nule.
Príklady:
, , 
, 
Tu , , , 
, a všetko bzučí - platí prvý úžasný limit.
A tu je ďalší záznam - heréza:
prečo? Pretože polynóm nemá tendenciu k nule, má tendenciu k päťke.
Mimochodom, otázka je na zásyp, ale aký je limit 
? Odpoveď nájdete na konci lekcie.
V praxi nie je všetko také plynulé, takmer nikdy sa študentovi neponúkne riešenie voľného limitu a získanie ľahkého zápočtu. Hmmm... píšem tieto riadky a napadla ma veľmi dôležitá myšlienka – napokon, zdá sa, že je lepšie si „zadarmo“ matematické definície a vzorce zapamätať naspamäť, to môže byť neoceniteľnou pomocou pri teste, keď problém sa rozhodne medzi „dvoma“ a „troma“ a učiteľ sa rozhodne položiť študentovi jednoduchú otázku alebo ponúknuť riešenie najjednoduchšieho príkladu („možno (a) ešte vie, čo?“).
Prejdime na praktické príklady:
Príklad 1
Nájdite hranicu
Ak si všimneme sínus v limite, malo by nás to okamžite priviesť k zamysleniu sa nad možnosťou uplatnenia prvej pozoruhodnej limity.
Najprv sa pokúsime nahradiť 0 vo výraze pod limitným znakom (robíme to mentálne alebo na koncepte):
Máme teda neurčitosť formy, jeho určite uveďte pri rozhodovaní. Výraz pod hranicou vyzerá ako prvá úžasná hranica, ale nie je to úplne ono, je pod sínusom, ale v menovateli.
V takýchto prípadoch musíme prvú nádhernú hranicu zorganizovať sami pomocou umelého zariadenia. Úvaha môže byť nasledovná: „pod sínusom, ktorý máme, čo znamená, že sa musíme dostať aj do menovateľa“.
A to sa robí veľmi jednoducho:
To znamená, že menovateľ je v tomto prípade umelo vynásobený 7 a delený rovnakými siedmimi. Teraz nahrávka nadobudla známu podobu.
Keď je úloha vypracovaná ručne, odporúča sa označiť prvý úžasný limit jednoduchou ceruzkou:
Čo sa stalo? V skutočnosti sa zakrúžkovaný výraz zmenil na jednotku a zmizol v produkte: 
Teraz zostáva len zbaviť sa trojposchodového zlomku: 
Kto zabudol na zjednodušenie viacpodlažných frakcií, obnovte si prosím materiál v referenčnej knihe Horúce školské matematické vzorce .
Pripravený. Konečná odpoveď:
Ak nechcete používať značky ceruzkou, riešenie môže byť naformátované takto:
“
Používame prvú pozoruhodnú hranicu 
“
Príklad 2
Nájdite hranicu
Opäť vidíme zlomok a sínus v limite. Pokúsime sa nahradiť nulu v čitateli a menovateli:
V skutočnosti máme neistotu, a preto sa musíme pokúsiť zorganizovať prvý pozoruhodný limit. Na lekcii Limity. Príklady riešení zvážili sme pravidlo, že keď máme neistotu, musíme čitateľa a menovateľa rozdeliť na faktory. Tu - to isté, predstavíme stupne ako súčin (násobiče):
Podobne ako v predchádzajúcom príklade načrtneme ceruzkou úžasné limity (tu sú dve z nich) a naznačíme, že majú tendenciu k jednej:
V skutočnosti je odpoveď pripravená:
V nasledujúcich príkladoch nebudem robiť umenie v programe Paint, myslím, že ako správne zostaviť riešenie v notebooku - už rozumiete.
Príklad 3
Nájdite hranicu
Vo výraze pod limitným znakom dosadíme nulu:
Dosiahla sa neistota, ktorú je potrebné zverejniť. Ak je v limite tangens, tak sa takmer vždy prepočítava na sínus a kosínus podľa známeho goniometrického vzorca (mimochodom, približne to isté robia aj s kotangensom, viď metodický materiál Horúce trigonometrické vzorce Na stránke Matematické vzorce, tabuľky a referenčné materiály).
V tomto prípade:
Kosínus nuly sa rovná jednej a je ľahké sa ho zbaviť (nezabudnite označiť, že smeruje k jednotke):
Ak je teda v limite kosínus NÁSOBITEĽ, potom sa, zhruba povedané, musí zmeniť na jednotku, ktorá zmizne v produkte.
Tu sa všetko ukázalo jednoduchšie, bez akýchkoľvek násobení a delení. Prvý pozoruhodný limit sa tiež zmení na jednotu a zmizne v produkte:
V dôsledku toho sa získa nekonečno, to sa stáva.
Príklad 4
Nájdite hranicu
Pokúsime sa nahradiť nulu v čitateli a menovateli:
Získaná neistota (kosínus nuly, ako si pamätáme, sa rovná jednej)
Používame trigonometrický vzorec. Zaznamenať si! Z nejakého dôvodu sú limity pomocou tohto vzorca veľmi bežné.
Vyberáme konštantné multiplikátory za ikonou limitu:
Poďme usporiadať prvý pozoruhodný limit:
Tu máme iba jednu úžasnú hranicu, ktorá sa zmení na jednu a zmizne v produkte:
Zbavme sa trojposchodia:
Limita je skutočne vyriešená, naznačujeme, že zostávajúci sínus má tendenciu k nule:
Príklad 5
Nájdite hranicu 
Tento príklad je zložitejší, skúste na to prísť sami:
Niektoré limity sa dajú zmenou premennej znížiť na 1. pozoruhodnú hranicu, o tom sa dočítate trochu neskôr v článku Metódy limitného riešenia.
Druhá úžasná limitka
V teórii matematickej analýzy je dokázané, že:
Táto skutočnosť je tzv druhá pozoruhodná hranica.
Referencia: 
je iracionálne číslo.
Ako parameter môže pôsobiť nielen premenná, ale aj komplexná funkcia. Dôležité je len to, že sa usiluje o nekonečno.
Príklad 6
Nájdite hranicu
Keď je výraz pod znakom limitu v moci - toto je prvé znamenie, že sa musíte pokúsiť uplatniť druhý úžasný limit.
Najprv sa však, ako vždy, snažíme do výrazu dosadiť nekonečne veľké číslo, podľa akého princípu sa to robí, bolo analyzované v lekcii Limity. Príklady riešení.
Je ľahké vidieť, že kedy základ stupňa a exponent - , to znamená, že existuje neurčitosť tvaru:
Táto neistota je práve odhalená pomocou druhého pozoruhodného limitu. Ale ako sa často stáva, druhá úžasná hranica neleží na striebornom podnose a musí byť umelo organizovaná. Môžete to zdôvodniť takto: v tomto príklade parameter znamená, že sa musíme v ukazovateli tiež usporiadať. Aby sme to urobili, zdvihneme základňu na mocninu a tak, aby sa výraz nezmenil, zdvihneme ju na mocninu:
Keď je úloha vypracovaná ručne, ceruzkou označíme:
Takmer všetko je pripravené, hrozný stupeň sa zmenil na pekný list:
Zároveň sa na indikátor presunie samotná ikona limitu:
Príklad 7
Nájdite hranicu
Pozor! Tento typ limitov je veľmi bežný, prosím, veľmi pozorne si preštudujte tento príklad.
Vo výraze pod limitným znakom sa snažíme dosadiť nekonečne veľké číslo:
Výsledkom je neistota. Ale druhý pozoruhodný limit platí pre neurčitosť formy. Čo robiť? Musíte previesť základ stupňa. Hádame sa takto: v menovateli máme , čo znamená, že sa musíme zorganizovať aj v čitateli.
dôkaz:
Dokážme najprv vetu pre prípad postupnosti 
Podľa Newtonovho binomického vzorca:
Za predpokladu, že dostaneme
Z tejto rovnosti (1) vyplýva, že ako n rastie, zvyšuje sa počet kladných členov na pravej strane. Navyše, ako n rastie, počet klesá, takže aj množstvá 
zvýšiť. Preto poradie 
rastúce, pričom (2)* Ukážme, že je ohraničené. Každú zátvorku na pravej strane rovnosti nahradíme jednou, pravá strana sa zväčší, dostaneme nerovnosť
Výslednú nerovnosť posilníme, 3,4,5, ..., stojace v menovateľoch zlomkov, nahradíme číslom 2: Súčet v zátvorkách nájdeme pomocou vzorca pre súčet členov geometrickej postupnosti: Preto 
(3)*
Postupnosť je teda ohraničená zhora, pričom nerovnice (2) a (3) platia: 
Preto, na základe Weierstrassovej vety (kritérium pre konvergenciu postupnosti), postupnosť 
rastie monotónne a je ohraničený, čo znamená, že má limitu, označenú písmenom e. Tie. 
S vedomím, že druhý pozoruhodný limit platí pre prirodzené hodnoty x, dokážeme druhý pozoruhodný limit pre skutočné x, to znamená, že dokážeme, že 
. Zvážte dva prípady:
1. Nech je každá hodnota x medzi dvoma kladnými celými číslami: , kde je celá časť x. => =>
Ak , tak Preto podľa limitu 
Máme
Na základe (na hranici intermediárnej funkcie) existencie limitov 
2. Nechajte . Urobme substitúciu − x = t
Z týchto dvoch prípadov vyplýva, že 
pre skutočné x.
Dôsledky:
9 .) Porovnanie infinitezimálov. Veta o nahradení infinitezimál ekvivalentnými v limite a teoréma o hlavnej časti infinitezimál.
Nech funkcie a( X) a b( X) – b.m. pri X ® X 0 .
DEFINÍCIE.
1) a( X) volal nekonečne malý vyšší rád ako b (X) ak
Napíšte: a( X) = o(b( X)) .
2) a( X) a b( X)volal infinitezimály rovnakého rádu, ak
kde Cнℝ a C¹ 0 .
Napíšte: a( X) = O(b( X)) .
3) a( X) a b( X) volal ekvivalent , ak
Napíšte: a( X) ~ b( X).
4) a( X) sa nazýva infinitezimálny poriadok k vzhľadom na
veľmi nekonečne malé b( X),
ak je nekonečne malý a( X)a(b( X)) k mať rovnaké poradie, t.j. ak
kde Cнℝ a C¹ 0 .
TEOREM 6 (o nahradení infinitezimálov ekvivalentnými).
Nechaj a( X), b( X), 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. pri x ® X 0 . Ak a( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),
potom 
Dôkaz: Nechaj ( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), potom
TEOREM 7 (o hlavnej časti nekonečne malého).
Nechaj a( X)a b( X)– b.m. pri x ® X 0 , a b( X)– b.m. vyššieho rádu ako a( X).
= , a keďže b( X) – vyššieho rádu ako a( X), potom t.j. 
od je jasné, že a( X) + b( X) ~ a( X)
10) Spojitosť funkcie v bode (v reči epsilon-delta limity geometrická) Jednostranná spojitosť. Spojitosť na intervale, na segmente. Vlastnosti spojitých funkcií.
1. Základné definície
Nechaj f(X) je definovaný v niektorom okolí bodu X 0 .
DEFINÍCIA 1. funkcia f(X) volal súvislý v bode X 0 ak platí rovnosť
Poznámky.
1) Podľa vety 5 §3 možno rovnosť (1) písať ako
Podmienka (2) - definícia spojitosti funkcie v bode v jazyku jednostranných limitov.
2) Rovnosť (1) možno napísať aj takto:
Hovorí sa: „ak je funkcia spojitá v bode X 0 , potom je možné zameniť znamienko limity a funkciu.
DEFINÍCIA 2 (v jazyku e-d).
funkcia f(X) volal súvislý v bode X 0 ak"e>0 $d>0." taký, čo
ak xОU( X 0 , d) (to znamená | X – X 0 | < d),
potom f(X)ОU( f(X 0), e) (t. j. | f(X) – f(X 0) | < e).
Nechaj X, X 0 Î D(f) (X 0 - pevné, X- svojvoľný)
Označte: D X= x-x 0 – prírastok argumentov
D f(X 0) = f(X) – f(X 0) – prírastok funkcie v bode x 0
DEFINÍCIA 3 (geometrická).
funkcia f(X) na volal súvislý v bode
X 0
ak v tomto bode nekonečne malý prírastok argumentu zodpovedá nekonečne malému prírastku funkcie, t.j.
Nechajte funkciu f(X) je definovaný na intervale [ X 0 ; X 0 + d) (na intervale ( X 0 - d; X 0 ]).
DEFINÍCIA. funkcia f(X) volal súvislý v bode
X 0 napravo
(vľavo
), ak platí rovnosť
To je zrejmé f(X) je v bode súvislý X 0 Û f(X) je v bode súvislý X 0 vpravo a vľavo.
DEFINÍCIA. funkcia f(X) volal priebežne za interval e ( a; b) ak je spojitý v každom bode tohto intervalu.
funkcia f(X) sa nazýva spojitý na segmente [a; b] ak je na intervale spojitá (a; b) a má jednostrannú kontinuitu v hraničných bodoch(t. j. kontinuálne v bode a správne, bod b- naľavo).
11) Body zlomu, ich klasifikácia
DEFINÍCIA. Ak funkcia f(X) je definovaná v nejakom okolí bodu x 0 , ale v tomto bode nie je nepretržitý f(X) sa nazýva nespojitý v bode x 0 , ale pointa X 0 nazývaný bod zlomu funkcie f(X) .
Poznámky.
1) f(X) možno definovať v neúplnom okolí bodu X 0 .
Potom zvážte zodpovedajúcu jednostrannú spojitosť funkcie.
2) Z definície z, bod X 0 je bod zlomu funkcie f(X) v dvoch prípadoch:
a) U( X 0, d)n D(f) , ale pre f(X) nie je splnená rovnosť
b) U * ( X 0, d)n D(f) .
Pre elementárne funkcie je možný iba prípad b).
Nechaj X 0 - bod zlomu funkcie f(X) .
DEFINÍCIA. bod x 0 volal bod zlomu ja milý ak funkcia f(X)má v tomto bode vľavo a vpravo konečné limity.
Ak sú navyše tieto limity rovnaké, potom bod x 0 volal bod zlomu , inak - skokový bod .
DEFINÍCIA. bod x 0 volal bod zlomu II milý ak je aspoň jedna z jednostranných limitov funkcie f(X)v tomto bode sa rovnᥠalebo neexistuje.
12) Vlastnosti funkcií spojitých na segmente (Weierstrassova (bez dôkazu) a Cauchyho veta
Weierstrassova veta
Nech je funkcia f(x) na segmente spojitá
1)f(x) je obmedzené na
2) f (x) nadobúda v intervale svoje najmenšie a najväčšie hodnoty
Definícia: Hodnota funkcie m=f sa nazýva najmenšia, ak m≤f(x) pre ľubovoľné x € D(f).
Hodnota funkcie m=f sa nazýva najväčšia, ak m≥f(x) pre ľubovoľné x € D(f).
Funkcia môže nadobudnúť najmenšiu \ najväčšiu hodnotu v niekoľkých bodoch segmentu.
f(x3)=f(x4)=max
Cauchyho veta.
Nech je funkcia f(x) spojitá na úsečke a x je číslo uzavreté medzi f(a) a f(b), potom existuje aspoň jeden bod x 0 € taký, že f(x 0)= g
Prvá pozoruhodná hranica sa nazýva nasledujúca rovnosť:
\začiatok(rovnica)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnica)
Keďže pre $\alpha\to(0)$ máme $\sin\alpha\to(0)$, hovoríme, že prvá pozoruhodná limita odhaľuje neurčitosť tvaru $\frac(0)(0)$. Všeobecne povedané, vo vzorci (1) sa namiesto premennej $\alpha$ pod znamienkom sínus a v menovateli môže nachádzať akýkoľvek výraz, pokiaľ sú splnené dve podmienky:
- Výrazy pod sínusovým znamienkom a v menovateli súčasne inklinujú k nule, t.j. existuje neurčitosť tvaru $\frac(0)(0)$.
- Výrazy pod sínusovým znakom a v menovateli sú rovnaké.
Často sa používajú aj dôsledky z prvého pozoruhodného limitu:
\begin(rovnica) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnica) \begin(rovnica) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \koniec(rovnica) \začiatok(rovnica) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnica)
Na tejto stránke je vyriešených jedenásť príkladov. Príklad č. 1 je venovaný dôkazu vzorcov (2)-(4). Príklady #2, #3, #4 a #5 obsahujú riešenia s podrobnými komentármi. Príklady 6-10 obsahujú riešenia s malým alebo žiadnym komentárom, ako boli podrobné vysvetlenia uvedené v predchádzajúcich príkladoch. Pri riešení sa používajú niektoré goniometrické vzorce, ktoré sa dajú nájsť.
Všimol som si, že prítomnosť goniometrických funkcií spolu s neistotou $\frac (0) (0)$ neznamená, že sa musí použiť prvá pozoruhodná hranica. Niekedy stačia jednoduché goniometrické transformácie – napríklad viď.
Príklad #1
Dokážte, že $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Keďže $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, potom:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Keďže $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ a $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , potom:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Urobme náhradu $\alpha=\sin(y)$. Keďže $\sin(0)=0$, potom z podmienky $\alpha\to(0)$ máme $y\to(0)$. Okrem toho existuje okolie nuly, kde $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, takže:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Rovnosť $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ je dokázaná.
c) Urobme náhradu $\alpha=\tg(y)$. Keďže $\tg(0)=0$, podmienky $\alpha\to(0)$ a $y\to(0)$ sú ekvivalentné. Okrem toho existuje okolie nuly, kde $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, preto, spoliehajúc sa na výsledky bodu a), budeme mať:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Rovnosť $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ je dokázaná.
Rovnosti a), b), c) sa často používajú spolu s prvou pozoruhodnou hranicou.
Príklad č. 2
Limit výpočtu $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.
Pretože $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ a $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, t.j. a čitateľ a menovateľ zlomku majú súčasne tendenciu k nule, potom tu máme do činenia s neurčitosťou tvaru $\frac(0)(0)$, t.j. vykonané. Okrem toho je možné vidieť, že výrazy pod sínusovým znakom a v menovateli sú rovnaké (t. j. a je splnené):
Obe podmienky uvedené na začiatku stránky sú teda splnené. Z toho vyplýva, že vzorec je použiteľný, t.j. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 $.
Odpoveď: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 $.
Príklad č. 3
Nájdite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Keďže $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ a $\lim_(x\to(0))x=0$, máme čo do činenia s neurčitosťou tvaru $\frac( 0)(0)$, t.j. vykonané. Výrazy pod sínusovým znakom a v menovateli sa však nezhodujú. Tu je potrebné upraviť výraz v menovateli do požadovanej podoby. Potrebujeme, aby bol v menovateli výraz $9x$ - potom sa stane pravdou. V podstate nám v menovateli chýba faktor 9 $, ktorý nie je také ťažké zadať, stačí vynásobiť výraz v menovateli 9 $. Prirodzene, aby ste kompenzovali násobenie 9 $, budete musieť okamžite deliť 9 $ a deliť:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$
Teraz sú výrazy v menovateli a pod sínusom rovnaké. Obe podmienky pre limit $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sú splnené. Preto $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. A to znamená, že:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Príklad č. 4
Nájdite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Keďže $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ a $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, tu máme do činenia s neurčitosťou formulár $\frac(0)(0)$. Podoba prvej pozoruhodnej hranice je však prelomená. Čitateľ obsahujúci $\sin(5x)$ vyžaduje v menovateli $5x$. V tejto situácii je najjednoduchším spôsobom vydeliť čitateľa $5x$ a okamžite vynásobiť $5x$. Okrem toho vykonáme podobnú operáciu s menovateľom, vynásobením a delením $\tg(8x)$ $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Znížením o $x$ a odstránením konštanty $\frac(5)(8)$ z limitného znamienka dostaneme:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Všimnite si, že $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ plne spĺňa požiadavky pre prvý pozoruhodný limit. Ak chcete nájsť $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, použite nasledujúci vzorec:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Príklad č. 5
Nájdite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Keďže $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (pripomeňme, že $\cos(0)=1$) a $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, potom máme do činenia s neurčitosťou tvaru $\frac(0)(0)$. Ak však chcete použiť prvú úžasnú hranicu, mali by ste sa zbaviť kosínusu v čitateli tak, že prejdete na sínus (aby ste potom použili vzorec) alebo tangens (aby ste potom použili vzorec). Môžete to urobiť pomocou nasledujúcej transformácie:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Vráťme sa k limitu:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\vpravo) $$
Zlomok $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ je už blízko tvaru potrebného pre prvú pozoruhodnú hranicu. Poďme trochu pracovať so zlomkom $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ a upravíme ho na prvú úžasnú hranicu (všimnite si, že výrazy v čitateli a pod sínusom sa musia zhodovať):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\vpravo)^2$$
Vráťme sa k uvažovanej hranici:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25. $$
Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Príklad č. 6
Nájdite limit $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Keďže $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ a $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, potom máme do činenia s neistotou $\frac(0)(0)$. Otvorme to pomocou prvej pozoruhodnej limitky. Aby sme to urobili, prejdime od kosínusov k sínusom. Keďže $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, potom:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Prechodom v danom limite na sínusy budeme mať:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\vpravo)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\vpravo)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\vľavo(\frac(\sin(x))(x)\vpravo)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Príklad č. 7
Vypočítať limit $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ za predpokladu $\alpha\neq\ beta $.
Podrobné vysvetlenia boli uvedené skôr, ale tu si jednoducho všimneme, že opäť existuje neurčitosť $\frac(0)(0)$. Presuňme sa od kosínusov k sínusom pomocou vzorca
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Pomocou vyššie uvedeného vzorca dostaneme:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\vpravo))(x)\vpravo)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\vpravo))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\vpravo)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alfa-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Príklad č. 8
Nájdite limit $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Keďže $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (pripomeňme, že $\sin(0)=\tg(0)=0$) a $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, potom tu máme do činenia s neurčitosťou tvaru $\frac(0)(0)$. Poďme si to rozobrať takto:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\vpravo)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\vpravo) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Príklad #9
Nájdite limit $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Pretože $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ a $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, potom je tu neurčitosť tvaru $\frac(0)(0)$. Pred jej rozširovaním je vhodné zmeniť premennú tak, aby nová premenná smerovala k nule (všimnite si, že vo vzorcoch premenná $\alpha \to 0$). Najjednoduchšie je zaviesť premennú $t=x-3$. Pre pohodlie ďalších transformácií (túto výhodu je možné vidieť v priebehu riešenia nižšie) sa však oplatí vykonať nasledujúcu náhradu: $t=\frac(x-3)(2)$. Podotýkam, že v tomto prípade sú použiteľné obe substitúcie, len druhá substitúcia vám umožní menej pracovať so zlomkami. Od $x\to(3)$, potom $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\vpravo| =\left|\begin(zarovnané)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(zarovnané)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Odpoveď: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Príklad #10
Nájdite hranicu $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.
Opäť máme do činenia s neistotou $\frac(0)(0)$. Pred jej rozširovaním je vhodné zmeniť premennú tak, aby nová premenná mala tendenciu k nule (všimnite si, že premenná je vo vzorcoch $\alpha\to(0)$). Najjednoduchšie je zaviesť premennú $t=\frac(\pi)(2)-x$. Keďže $x\to\frac(\pi)(2)$, potom $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(zarovnané)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(zarovnané)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Odpoveď: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Príklad č. 11
Nájsť limity $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
V tomto prípade nemusíme použiť prvú nádhernú limitku. Poznámka: v prvom aj druhom limite sú iba goniometrické funkcie a čísla. V príkladoch tohto druhu je často možné zjednodušiť výraz nachádzajúci sa pod medzným znakom. V tomto prípade po spomínanom zjednodušení a redukcii niektorých faktorov neistota odpadá. Tento príklad som uviedol len s jediným cieľom: ukázať, že prítomnosť goniometrických funkcií pod znamienkom limity nemusí nutne znamenať aplikáciu prvej pozoruhodnej limity.
Keďže $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (pripomeňme, že $\sin\frac(\pi)(2)=1$) a $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (pripomeňme si, že $\cos\frac(\pi)(2)=0$), potom máme čo do činenia s neistotou v tvare $\frac(0)(0)$. To však vôbec neznamená, že musíme použiť prvú pozoruhodnú hranicu. Na odhalenie neistoty stačí vziať do úvahy, že $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Podobné riešenie je aj v Demidovičovej knihe riešení (č. 475). Čo sa týka druhej limity, tak ako v predchádzajúcich príkladoch tejto časti máme neistotu tvaru $\frac(0)(0)$. Prečo vzniká? Vzniká preto, že $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ a $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Tieto hodnoty používame na transformáciu výrazov v čitateli a menovateli. Účel našich akcií: zapísať súčet do čitateľa a menovateľa ako súčin. Mimochodom, často je vhodné zmeniť premennú v podobnom tvare tak, aby nová premenná mala tendenciu k nule (pozri napríklad príklady č. 9 alebo č. 10 na tejto stránke). V tomto príklade však nemá zmysel nahrádzať premennú, hoci v prípade potreby je ľahké implementovať nahradenie premennej $t=x-\frac(2\pi)(3)$.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\vpravo))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\vpravo)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$
Ako vidíte, prvú nádhernú limitku sme aplikovať nemuseli. Samozrejme, že to možno urobiť, ak je to žiaduce (pozri poznámku nižšie), ale nie je to potrebné.
Aké by bolo riešenie s použitím prvej pozoruhodnej limity? ukázať skryť
Použitím prvého pozoruhodného limitu dostaneme:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ vpravo))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Odpoveď: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.
Prvý pozoruhodný limit sa často používa na výpočet limitov obsahujúcich sínus, arksínus, tangens, arkustangens a výsledné neistoty nula delené nulou.
Vzorec
Vzorec pre prvú pozoruhodnú hranicu je: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Všimli sme si, že $ \alpha\to 0 $ dáva $ \sin\alpha \to 0 $, takže v čitateli a menovateli máme nuly. Na odhalenie neistôt $ \frac(0)(0) $ je teda potrebný vzorec prvej pozoruhodnej limity.
Aby sa vzorec uplatnil, musia byť splnené dve podmienky:
- Výrazy obsiahnuté v sínus a menovateľ zlomku sú rovnaké
- Výrazy v sínuse a menovateli zlomku majú tendenciu k nule
Pozor! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Hoci výrazy pod sínusom a v menovateli sú rovnaké, ale $ 2x ^2+1 = 1 $, keď $ x\až 0 $. Druhá podmienka nie je splnená, preto sa vzorec NEDÁ použiť!
Dôsledky
Pomerne zriedkavo v úlohách vidíte čistú prvú nádhernú hranicu, do ktorej ste si mohli hneď zapísať odpoveď. V praxi všetko vyzerá trochu komplikovanejšie, ale pre takéto prípady bude užitočné poznať dôsledky prvého pozoruhodného limitu. Vďaka nim môžete rýchlo vypočítať požadované limity.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Príklady riešení
Uvažujme o prvej pozoruhodnej limite, príklady ktorej riešenie pre výpočet limity obsahujúce goniometrické funkcie a neistotu $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| Príklad 1 |
| Vypočítajte $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Riešenie |
|
Zvážte limit a všimnite si, že obsahuje sínus. Ďalej do čitateľa a menovateľa dosadíme $ x = 0 $ a získame neistotu nuly delenú nulou: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ Už dva znaky, že musíte použiť úžasný limit, je tu však malá nuansa: vzorec nebudeme môcť okamžite použiť, pretože výraz pod sínusovým znakom sa líši od výrazu v menovateli. A potrebujeme, aby si boli rovní. Preto ho pomocou elementárnych transformácií čitateľa premeníme na $2x$. Aby sme to dosiahli, vyberieme dvojku z menovateľa zlomku samostatným faktorom. Vyzerá to takto: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , že na konci $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ sa získalo vzorcom. Ak nemôžete vyriešiť svoj problém, pošlite nám ho. Poskytneme podrobné riešenie. Budete sa môcť zoznámiť s priebehom výpočtu a získať informácie. To vám pomôže získať kredit od učiteľa včas! |
| Odpoveď |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Príklad 2 |
| Nájsť $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Riešenie |
|
Ako vždy, najprv musíte poznať typ neistoty. Ak je to nula delená nulou, dávajte pozor na prítomnosť sínusu: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \ frac(0) (0) = $$ Táto neistota nám umožňuje použiť vzorec prvej pozoruhodnej limity, ale výraz z menovateľa sa nerovná argumentu sínusu? Preto je nemožné aplikovať vzorec "na čelo". Musíte vynásobiť a rozdeliť zlomok argumentom sínus: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ Teraz popíšeme vlastnosti limitov: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Druhý limit presne zodpovedá vzorcu a rovná sa jednej: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ Znovu dosaďte $ x = 0 $ do zlomku a získajte neistotu $ \frac(0)(0) $. Na jej odstránenie stačí uviesť do zátvorky $ x $ a o ňu znížiť: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac (2) (2) = 1 $$ |
| Odpoveď |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Príklad 4 |
| Vypočítajte $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Riešenie |
|
Začnime výpočet dosadením $ x=0 $. Výsledkom je neistota $ \frac(0)(0) $. Limita obsahuje sínus a tangens, čo naznačuje možný vývoj situácie pomocou vzorca prvej pozoruhodnej limity. Čitateľ a menovateľ zlomku transformujeme na vzorec a dôsledok: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Teraz vidíme, že v čitateli a menovateli sú výrazy vhodné pre vzorec a dôsledky. Argument sínus a tangens sú pre príslušných menovateľov rovnaké $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Odpoveď |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
V článku: "Prvá pozoruhodná hranica, príklady riešení" bolo povedané o prípadoch, v ktorých je vhodné použiť tento vzorec a jeho dôsledkoch.
Vzorec pre druhú pozoruhodnú limitu je lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Iná forma zápisu vyzerá takto: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .
Keď hovoríme o druhej pozoruhodnej limite, musíme sa vysporiadať s neurčitosťou tvaru 1 ∞ , t.j. jednotka v nekonečnej miere.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Zvážte problémy, v ktorých potrebujeme schopnosť vypočítať druhú pozoruhodnú hranicu.
Príklad 1
Nájdite limit lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Riešenie
Nahraďte požadovaný vzorec a vykonajte výpočty.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
V našej odpovedi sme dostali jednotku k sile nekonečna. Na určenie spôsobu riešenia používame tabuľku neistôt. Zvolíme druhú pozoruhodnú hranicu a vykonáme zmenu premenných.
t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2
Ak x → ∞ potom t → - ∞ .
Pozrime sa, čo sme dostali po výmene:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = limit t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
odpoveď: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Príklad 2
Vypočítajte limit lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Riešenie
Nahraďte nekonečno a získajte nasledovné.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
V odpovedi sme opäť dostali to isté ako v predchádzajúcej úlohe, preto môžeme opäť použiť druhú úžasnú hranicu. Ďalej musíme vybrať časť celého čísla na základni mocninovej funkcie:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Potom má limit nasledujúcu formu:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Nahrádzame premenné. Povedzme, že t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ak x → ∞ , potom t → ∞ .
Potom si zapíšeme, čo sme dostali v pôvodnom limite:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2
Na vykonanie tejto transformácie sme použili základné vlastnosti limity a mocniny.
odpoveď: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Príklad 3
Vypočítajte limit lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Riešenie
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞
Potom musíme vykonať transformáciu funkcie, aby sme použili druhú úžasnú limitu. Dostali sme nasledovné:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Keďže teraz máme v čitateli a menovateli zlomku rovnaké exponenty (rovnajúce sa šiestim), limita zlomku v nekonečne sa bude rovnať pomeru týchto koeficientov pri vyšších mocninách.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Nahradením t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 dostaneme druhú pozoruhodnú hranicu. Znamená čo:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 3 = e - 3
odpoveď: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3.
závery
Neistota 1 ∞ , t.j. jednotka do nekonečnej miery, je mocninná neurčitosť, preto ju možno odhaliť pomocou pravidiel pre hľadanie limitov exponenciálnych mocninných funkcií.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
