Prvá derivácia Ak je derivácia funkcie v niektorom intervale kladná (záporná), potom funkcia v tomto intervale monotónne rastie (monotónne klesá). Ak je derivačná funkcia v niektorom intervale kladná (záporná), potom funkcia v tomto intervale monotónne rastie (monotónne klesá). Ďalej
Definícia Krivka sa nazýva konvexná v bode, ak sa v niektorom okolí tohto bodu nachádza pod svojou dotyčnicou v bode Krivka sa nazýva konvexná v bode, ak sa v niektorom okolí tohto bodu nachádza pod svojou dotyčnicou v bode bodu. , nachádza sa nad svojou dotyčnicou v bode Krivka sa nazýva konkávna v bode, ak sa v niektorom okolí tohto bodu nachádza nad svojou dotyčnicou v bode
Znamienko konkávnosti a konvexnosti Ak je druhá derivácia funkcie v danom intervale kladná, potom je krivka v tomto intervale konkávna a ak je záporná, je v tomto intervale konvexná. Ak je druhá derivácia funkcie v danom intervale kladná, krivka je v tomto intervale konkávna a ak je záporná, je v tomto intervale konvexná. Definícia
Plán na štúdium funkcie a zostrojenie jej grafu 1. Nájdite definičný obor funkcie a určte lomové body, ak existujú 1. Nájdite definičný obor funkcie a určte lomové body, ak existujú 2. Zistite, či je funkcia párna alebo nepárne; skontrolujte jej periodicitu 2. Zistite, či je funkcia párna alebo nepárna; skontrolujte jeho periodicitu 3. Určte priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami 3. Určte priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami 4. Nájdite kritické body 1. druhu 4. Nájdite kritické body 1. druh 5. Určte intervaly monotónnosti a extrémy funkcie 5. Určte intervaly monotónnosti a extrémy funkcie 6. Určte intervaly konvexnosti a konkávnosti a nájdite inflexné body 6. Určte intervaly konvexnosti a konkávnosti a nájdite inflexné body 7 Pomocou výsledkov štúdie spojte získané body hladkej krivky 7. Pomocou výsledkov štúdie spojte získané body hladkej krivky Výstup
Čo je derivát?
Definícia a význam derivácie funkcie
Mnohých prekvapí nečakané umiestnenie tohto článku v mojom autorovom kurze o derivácii funkcie jednej premennej a jej aplikáciách. Koniec koncov, ako to bolo zo školy: štandardná učebnica v prvom rade dáva definíciu derivátu, jeho geometrický, mechanický význam. Ďalej študenti nachádzajú deriváty funkcií podľa definície a v skutočnosti až potom sa zdokonaľuje technika diferenciácie derivačné tabuľky.
Ale z môjho pohľadu je pragmatickejší nasledujúci prístup: v prvom rade je vhodné DOBRE ROZUMIEŤ limit funkcie, a najmä nekonečne malé. Faktom je, že definícia derivátu je založená na koncepte limity, čo sa v školskom kurze zle zohľadňuje. Preto značná časť mladých konzumentov vedomostí o žule slabo preniká do samotnej podstaty derivátu. Ak sa teda nevyznáte v diferenciálnom počte, alebo sa múdry mozog v priebehu rokov úspešne zbavil tejto záťaže, začnite limity funkcií. Zároveň majte / pamätajte na ich rozhodnutie.
Rovnaký praktický zmysel naznačuje, že je to predovšetkým ziskové Naučte sa hľadať deriváty, počítajúc do toho deriváty komplexných funkcií. Teória je teória, ale ako sa hovorí, vždy chcete rozlišovať. V tomto ohľade je lepšie vypracovať uvedené základné lekcie a možno sa stať majster diferenciácie bez toho, aby si uvedomili podstatu svojho konania.
Odporúčam začať materiály na tejto stránke po prečítaní článku. Najjednoduchšie problémy s derivátom, kde sa uvažuje najmä o probléme dotyčnice ku grafu funkcie. Ale dá sa to oddialiť. Faktom je, že mnohé aplikácie derivátu nevyžadujú jeho pochopenie a nie je prekvapujúce, že teoretická lekcia sa objavila dosť neskoro - keď som potreboval vysvetliť zisťovanie intervalov nárastu/zníženia a extrémov funkcie. Navyše bol v tejto téme pomerne dlho. Funkcie a grafy“, kým som sa nerozhodol vložiť to skôr.
Preto, drahé čajníky, neponáhľajte absorbovať esenciu derivátu, ako hladné zvieratá, pretože nasýtenie bude bez chuti a neúplné.
Pojem zvyšovanie, znižovanie, maximum, minimum funkcie
Mnohé návody vedú pomocou niektorých praktických problémov ku konceptu derivácie a prišiel som aj na zaujímavý príklad. Predstavte si, že musíme cestovať do mesta, kam sa dá dostať rôznymi spôsobmi. Okamžite zahodíme zakrivené kľukaté cesty a budeme brať do úvahy iba priame čiary. Priame smery sú však tiež odlišné: do mesta sa dostanete po plochej diaľnici. Alebo na kopcovitej diaľnici – hore-dole, hore-dole. Iná cesta ide len do kopca a iná stále klesá. Milovníci vzrušenia si vyberú trasu cez roklinu so strmým bralom a strmým výstupom.
Nech sú však vaše preferencie akékoľvek, je žiaduce poznať oblasť, alebo mať aspoň jej topografickú mapu. Čo ak takéto informácie neexistujú? Koniec koncov, môžete si vybrať napríklad rovinatú cestu, ale vo výsledku zakopte o zjazdovku s vtipnými Fínmi. Nie skutočnosť, že navigátor a dokonca aj satelitná snímka poskytnú spoľahlivé údaje. Preto by bolo pekné formalizovať reliéf cesty pomocou matematiky.
Zvážte cestu (pohľad zboku): 
Pre každý prípad vám pripomínam základný fakt: cesta sa koná zľava doprava. Pre jednoduchosť predpokladáme, že funkcia nepretržitý v posudzovanej oblasti.
Aké sú vlastnosti tohto grafu?
V intervaloch 
funkciu zvyšuje, teda každá jej ďalšia hodnota viac ten predchádzajúci. Zhruba povedané, harmonogram ide zdola nahor(lezieme na kopec). A na intervale funkcia klesá- každá ďalšia hodnota menšie predchádzajúci a náš rozvrh ide zhora nadol(ide dolu svahom).
Venujme pozornosť aj špeciálnym bodom. V bode, ktorý dosiahneme maximálne, t.j existujú taký úsek cesty, na ktorom bude hodnota najväčšia (najvyššia). v tom istom bode minimálne a existujú také jeho okolie, v ktorom je hodnota najmenšia (najnižšia).
V lekcii sa bude brať do úvahy prísnejšia terminológia a definície. o extrémoch funkcie, ale teraz si preštudujme ešte jednu dôležitú vlastnosť: na intervaloch 
funkcia sa zvyšuje, ale zvyšuje sa pri rôznych rýchlostiach. A prvá vec, ktorá vás upúta, je, že graf stúpa na interval oveľa viac cool ako na intervale. Je možné zmerať strmosť cesty pomocou matematických nástrojov?
Rýchlosť zmeny funkcie
Myšlienka je takáto: vziať nejakú hodnotu (čítaj "delta x"), ktorú budeme volať prírastok argumentov, a začnime to „skúšať“ na rôznych miestach našej cesty: 
1) Pozrime sa na bod úplne vľavo: obídeme vzdialenosť a stúpame po svahu do výšky (zelená čiara). Hodnota sa volá prírastok funkcie a v tomto prípade je tento prírastok kladný (rozdiel hodnôt pozdĺž osi je väčší ako nula). Urobme pomer , ktorý bude mierou strmosti našej cesty. Je zrejmé, že ide o veľmi špecifické číslo a keďže oba prírastky sú kladné, potom .
Pozor! Označenie sú JEDEN to znamená, že nemôžete „odtrhnúť“ „delta“ od „x“ a zvážiť tieto písmená oddelene. Komentár sa samozrejme vzťahuje aj na symbol prírastku funkcie.
Poďme preskúmať povahu výsledného zlomku zmysluplnejšie. Predpokladajme, že sme na začiatku vo výške 20 metrov (v ľavom čiernom bode). Po prekonaní vzdialenosti metrov (ľavá červená čiara) budeme vo výške 60 metrov. Potom bude prírastok funkcie 
metrov (zelená čiara) a: . teda na každom metre tento úsek cesty výška sa zvyšuje priemer o 4 metre…zabudol si si horolezecký výstroj? =) Inými slovami, zostrojený pomer charakterizuje PRIEMERNÚ RÝCHLOSŤ ZMENY (v tomto prípade rastu) funkcie.
Poznámka : Číselné hodnoty príslušného príkladu zodpovedajú proporciám výkresu len približne.
2) Teraz poďme v rovnakej vzdialenosti od čiernej bodky úplne vpravo. Tu je vzostup miernejší, takže prírastok (karmínová čiara) je relatívne malý a pomer v porovnaní s predchádzajúcim prípadom bude pomerne mierny. relatívne povedané, 
metrov a rýchlosť rastu funkcie je . To znamená, že tu na každý meter cesty existuje priemer pol metra hore.
3) Malé dobrodružstvo na úbočí hôr. Pozrime sa na hornú čiernu bodku umiestnenú na osi y. Predpokladajme, že ide o značku 50 metrov. Opäť prekonávame vzdialenosť, v dôsledku čoho sa ocitáme nižšie – na úrovni 30 metrov. Odkedy bol pohyb urobený zhora nadol(v "opačnom" smere osi), potom konečná prírastok funkcie (výška) bude záporný: 
metrov (hnedá čiara na výkrese). A v tomto prípade hovoríme o rýchlosť rozpadu Vlastnosti: 
, teda s každým metrom dráhy tohto úseku sa výška zmenšuje priemer o 2 metre. Postarajte sa o oblečenie v piatom bode.
Teraz si položme otázku: aká je najlepšia hodnota „meracieho štandardu“ na použitie? Je jasné, že 10 metrov je veľmi drsných. Bez problémov sa na ne zmestí dobrý tucet hrbolčekov. Prečo sú tam hrbole, dole môže byť hlboká roklina a po pár metroch jej druhá strana s ďalším strmým stúpaním. Pri desaťmetrovom teda nedostaneme zrozumiteľnú charakteristiku takýchto úsekov cesty cez pomer.
Z vyššie uvedenej diskusie vyplýva tento záver: čím je hodnota menšia, tým presnejšie popíšeme reliéf cesty. Okrem toho sú pravdivé nasledujúce skutočnosti:
– Pre akékoľvek zdvíhacie body 
môžete si vybrať hodnotu (hoci veľmi malú), ktorá zapadá do hraníc jedného alebo druhého vzostupu. A to znamená, že príslušný výškový prírastok bude zaručene kladný a nerovnosť bude správne indikovať rast funkcie v každom bode týchto intervalov.
- tak isto, pre akékoľvek sklonový bod, existuje hodnota, ktorá sa na tento svah úplne zmestí. Zodpovedajúci nárast výšky je teda jednoznačne záporný a nerovnosť správne ukáže pokles funkcie v každom bode daného intervalu.
– Zvlášť zaujímavý je prípad, keď je miera zmeny funkcie nulová: . Po prvé, nulový prírastok výšky () je znakom rovnomernej cesty. A po druhé, existujú ďalšie kuriózne situácie, ktorých príklady vidíte na obrázku. Predstavte si, že nás osud zavial na samý vrchol kopca so vznášajúcimi sa orlami alebo na dno rokliny s kvákajúcimi žabami. Ak urobíte malý krok ktorýmkoľvek smerom, zmena výšky bude zanedbateľná a môžeme povedať, že rýchlosť zmeny funkcie je v skutočnosti nulová. Rovnaký vzor je pozorovaný v bodoch.
Tak sme sa priblížili k úžasnej príležitosti dokonale presne charakterizovať rýchlosť zmeny funkcie. Koniec koncov, matematická analýza nám umožňuje nasmerovať prírastok argumentu na nulu: to znamená, aby bol nekonečne malý.
V dôsledku toho vzniká ďalšia logická otázka: je možné nájsť cestu a jej harmonogram inú funkciu, ktorý by nám povedal o všetkých rovinách, stúpaniach, zjazdoch, vrcholoch, nížinách, ako aj o rýchlosti nárastu / poklesu v každom bode cesty?
Čo je derivát? Definícia derivátu.
Geometrický význam derivácie a diferenciálu
Prečítajte si pozorne a nie príliš rýchlo - materiál je jednoduchý a prístupný pre každého! Nevadí, ak sa vám na niektorých miestach niečo nezdá veľmi jasné, vždy sa k článku môžete vrátiť neskôr. Poviem viac, je užitočné študovať teóriu niekoľkokrát, aby ste kvalitatívne pochopili všetky body (rady sú obzvlášť dôležité pre „technických“ študentov, pre ktorých hrá vyššia matematika významnú úlohu vo vzdelávacom procese).
Prirodzene, v samotnej definícii derivátu v určitom bode ho nahradíme:
k čomu sme dospeli? A prišli sme na to, že za funkciu podľa zákona 
je zarovnaný inú funkciu, ktorá sa volá derivačná funkcia(alebo jednoducho derivát).
Derivát charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie . ako? Myšlienka sa ako červená niť tiahne už od začiatku článku. Zvážte nejaký bod domén funkcie . Nech je funkcia v danom bode diferencovateľná. potom:
1) Ak , potom sa funkcia zvýši v bode . A očividne existuje interval(aj keď veľmi malý) obsahujúci bod, v ktorom funkcia rastie a jej graf ide „zdola nahor“.
2) Ak , potom funkcia klesá v bode . A existuje interval obsahujúci bod, v ktorom funkcia klesá (graf ide „zhora nadol“).
3) Ak , tak nekonečne blízko v blízkosti bodu funkcia udržiava konštantnú rýchlosť. To sa deje, ako bolo uvedené, pre funkčnú konštantu a v kritických bodoch funkcie, najmä s minimálnym a maximálnym počtom bodov.
Nejaká sémantika. Čo znamená sloveso „rozlišovať“ v širšom zmysle? Rozlíšiť znamená vyčleniť vlastnosť. Diferencovaním funkcie "vyberieme" rýchlosť jej zmeny vo forme derivácie funkcie. A čo sa mimochodom myslí pod slovom „derivát“? Funkcia Stalo z funkcie.
Termíny veľmi úspešne interpretujú mechanický význam derivátu
:
Uvažujme zákon zmeny súradníc telesa, ktorý závisí od času, a funkciu rýchlosti pohybu daného telesa. Funkcia charakterizuje rýchlosť zmeny súradnice telesa, preto je prvou deriváciou funkcie vzhľadom na čas: . Ak by pojem „pohyb tela“ v prírode neexistoval, neexistoval by derivát pojem „rýchlosť“.
Zrýchlenie tela je rýchlosť zmeny rýchlosti, preto: . Ak by pôvodné pojmy „pohyb tela“ a „rýchlosť pohybu tela“ v prírode neexistovali, potom by neexistovali derivát pojem zrýchlenie telesa.
Ak budeme postupovať podľa definície, potom derivácia funkcie v bode je limita pomeru prírastku funkcie Δ r na prírastok argumentu Δ X:
Zdá sa, že všetko je jasné. Ale skúste vypočítať podľa tohto vzorca, povedzme, deriváciu funkcie f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X hriech X. Ak robíte všetko podľa definície, potom po niekoľkých stránkach výpočtov jednoducho zaspíte. Preto existujú jednoduchšie a efektívnejšie spôsoby.
Na začiatok si všimneme, že takzvané elementárne funkcie možno odlíšiť od celej škály funkcií. Ide o pomerne jednoduché výrazy, ktorých deriváty sú už dávno vypočítané a zapísané do tabuľky. Takéto funkcie sa dajú ľahko zapamätať spolu s ich derivátmi.
Derivácie elementárnych funkcií
Všetky základné funkcie sú uvedené nižšie. Deriváty týchto funkcií musia byť známe naspamäť. Navyše nie je ťažké si ich zapamätať – preto sú elementárne.
Takže deriváty elementárnych funkcií:
| názov | Funkcia | Derivát |
| Neustále | f(X) = C, C ∈ R | 0 (áno, áno, nula!) |
| Stupeň s racionálnym exponentom | f(X) = X n | n · X n − 1 |
| Sinus | f(X) = hriech X | cos X |
| Kosínus | f(X) = cos X | − hriech X(mínus sinus) |
| Tangenta | f(X) = tg X | 1/cos 2 X |
| Kotangens | f(X) = ctg X | − 1/sin2 X |
| prirodzený logaritmus | f(X) = log X | 1/X |
| Ľubovoľný logaritmus | f(X) = log a X | 1/(X ln a) |
| Exponenciálna funkcia | f(X) = e X | e X(nič sa nezmenilo) |
Ak sa elementárna funkcia vynásobí ľubovoľnou konštantou, potom sa derivácia novej funkcie tiež ľahko vypočíta:
(C · f)’ = C · f ’.
Vo všeobecnosti možno zo znamienka derivácie vyňať konštanty. Napríklad:
(2X 3)' = 2 ( X 3) = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Je zrejmé, že elementárne funkcie sa dajú navzájom sčítať, násobiť, deliť a mnoho iného. Takto sa objavia nové funkcie, už nie veľmi elementárne, ale aj diferencovateľné podľa určitých pravidiel. Tieto pravidlá sú popísané nižšie.
Derivácia súčtu a rozdielu
Nechajte funkcie f(X) a g(X), ktorých deriváty sú nám známe. Môžete si napríklad vziať základné funkcie diskutované vyššie. Potom môžete nájsť deriváciu súčtu a rozdielu týchto funkcií:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Takže derivácia súčtu (rozdielu) dvoch funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) derivácií. Termínov môže byť viac. Napríklad, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Presne povedané, v algebre neexistuje pojem „odčítanie“. Existuje pojem „negatívny prvok“. Preto ten rozdiel f − g možno prepísať ako súčet f+ (-1) g a potom zostane len jeden vzorec - derivácia súčtu.
f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
Funkcia f(X) je súčet dvoch základných funkcií, takže:
f ’(X) = (X 2+ hriech X)’ = (X 2) + (hriech X)’ = 2X+ cosx;
Podobne argumentujeme aj pri funkcii g(X). Len už existujú tri pojmy (z hľadiska algebry):
g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
odpoveď:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Derivát produktu
Matematika je logická veda, takže veľa ľudí verí, že ak sa derivácia súčtu rovná súčtu derivácií, potom derivácia súčinu štrajk"\u003e sa rovná súčinu derivátov. Ale pre vás! Derivát súčinu sa vypočíta pomocou úplne iného vzorca. Konkrétne:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Vzorec je jednoduchý, ale často zabudnutý. A to nielen školákov, ale aj študentov. Výsledkom sú nesprávne vyriešené problémy.
Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .
Funkcia f(X) je produktom dvoch základných funkcií, takže všetko je jednoduché:
f ’(X) = (X 3 kos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 kos X + X 3 (- hriech X) = X 2 (3 cos X − X hriech X)
Funkcia g(X) prvý multiplikátor je trochu komplikovanejší, ale všeobecná schéma sa od toho nemení. Je zrejmé, že prvý multiplikátor funkcie g(X) je polynóm a jeho derivácia je deriváciou súčtu. Máme:
g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .
odpoveď:
f ’(X) = X 2 (3 cos X − X hriech X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e
X
.
Všimnite si, že v poslednom kroku sa derivácia faktorizuje. Formálne to nie je potrebné, ale väčšina derivátov sa nevypočítava samostatne, ale na preskúmanie funkcie. To znamená, že derivácia sa bude ďalej rovnať nule, zistia sa jej znamienka atď. Pre takýto prípad je lepšie mať výraz rozložený na faktory.
Ak existujú dve funkcie f(X) a g(X), a g(X) ≠ 0 na množine, ktorá nás zaujíma, môžeme definovať novú funkciu h(X) = f(X)/g(X). Pre takúto funkciu môžete nájsť aj deriváciu:
Nie slabé, však? Kde sa vzalo mínus? Prečo? g 2? Ale takto! Toto je jeden z najkomplexnejších vzorcov - bez fľaše to nezistíte. Preto je lepšie si to naštudovať na konkrétnych príkladoch.
Úloha. Nájdite deriváty funkcií:
V čitateli a menovateli každého zlomku sú elementárne funkcie, takže všetko, čo potrebujeme, je vzorec pre deriváciu kvocientu:
Podľa tradície započítavame čitateľa do faktorov - to výrazne zjednoduší odpoveď:
Komplexná funkcia nemusí byť nevyhnutne vzorec dlhý pol kilometra. Napríklad stačí prevziať funkciu f(X) = hriech X a nahradiť premennú X povedzme ďalej X 2+ln X. Ukázalo sa f(X) = hriech ( X 2+ln X) je komplexná funkcia. Má tiež derivát, ale nebude fungovať nájsť ho podľa vyššie uvedených pravidiel.
Ako byť? V takýchto prípadoch pomôže nahradenie premennej a vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie:
f ’(X) = f ’(t) · t', ak X sa nahrádza t(X).
Spravidla je situácia s chápaním tohto vzorca ešte smutnejšia ako s deriváciou kvocientu. Preto je tiež lepšie to vysvetliť na konkrétnych príkladoch, s podrobným popisom každého kroku.
Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = hriech ( X 2+ln X)
Všimnite si, že ak vo funkcii f(X) namiesto výrazu 2 X+ 3 bude ľahké X, potom dostaneme elementárnu funkciu f(X) = e X. Preto urobíme substitúciu: nech 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Hľadáme deriváciu komplexnej funkcie podľa vzorca:
f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
A teraz - pozor! Vykonanie spätnej substitúcie: t = 2X+ 3. Získame:
f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3
Teraz sa pozrime na funkciu g(X). Očividne treba vymeniť. X 2+ln X = t. Máme:
g ’(X) = g ’(t) · t' = (hriech t)’ · t' = cos t · t ’
Spätná výmena: t = X 2+ln X. potom:
g ’(X) = cos ( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).
To je všetko! Ako vidno z posledného výrazu, celý problém sa zredukoval na výpočet derivácie súčtu.
odpoveď:
f ’(X) = 2 e
2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) čos( X 2+ln X).
Veľmi často na svojich hodinách namiesto výrazu „derivát“ používam slovo „mŕtvica“. Napríklad zdvih súčtu sa rovná súčtu zdvihov. Je to jasnejšie? No to je dobre.
Výpočet derivátu teda vedie k zbaveniu sa práve týchto ťahov podľa vyššie uvedených pravidiel. Ako posledný príklad sa vráťme k derivačnej mocnine s racionálnym exponentom:
(X n)’ = n · X n − 1
Málokto to vie v úlohe n môže byť aj zlomkové číslo. Napríklad koreň je X 0,5. Ale čo ak je pod koreňom niečo zložité? Opäť sa ukáže komplexná funkcia - radi dávajú takéto konštrukcie v testoch a skúškach.
Úloha. Nájdite deriváciu funkcie:
Najprv prepíšme odmocninu na mocninu s racionálnym exponentom:
f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Teraz urobíme náhradu: nech X 2 + 8X − 7 = t. Deriváciu nájdeme podľa vzorca:
f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t-0,5 t ’.
Urobíme opačnú substitúciu: t = X 2 + 8X− 7. Máme:
f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
Nakoniec späť ku koreňom:
Definícia. Nech je funkcia \(y = f(x) \) definovaná v nejakom intervale obsahujúcom bod \(x_0 \) vo vnútri. Zväčšíme \(\Delta x \) na argument, aby sme neopustili tento interval. Nájdite zodpovedajúci prírastok funkcie \(\Delta y \) (pri prechode z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a zostavte vzťah \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Ak existuje limita tohto vzťahu v \(\Delta x \rightarrow 0 \), potom sa zadaná limita nazýva derivačná funkcia\(y=f(x) \) v bode \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Symbol y sa často používa na označenie derivácie. Všimnite si, že y" = f(x) je nová funkcia, ale prirodzene spojená s funkciou y = f(x), definovanou vo všetkých bodoch x, v ktorých existuje vyššie uvedená limita. Táto funkcia sa volá takto: derivácia funkcie y \u003d f (x).
Geometrický význam derivátu pozostáva z nasledujúceho. Ak je možné nakresliť dotyčnicu, ktorá nie je rovnobežná s osou y, ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode s os x \u003d a, potom f (a) vyjadruje sklon dotyčnice:
\(k = f"(a)\)
Keďže \(k = tg(a) \), platí rovnosť \(f"(a) = tg(a) \).
A teraz interpretujeme definíciu derivátu z hľadiska približných rovnosti. Nech funkcia \(y = f(x) \) má deriváciu v určitom bode \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že blízko bodu x je približná rovnosť \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \približne f"(x) \), t.j. \(\Delta y \približne f"(x) \cdot \Deltax\). Zmysluplný význam získanej približnej rovnosti je nasledovný: prírastok funkcie je „takmer úmerný“ prírastku argumentu a koeficient úmernosti je hodnota derivácie v danom bode x. Napríklad pre funkciu \(y = x^2 \) platí približná rovnosť \(\Delta y \cca 2x \cdot \Delta x \). Ak dôkladne analyzujeme definíciu derivátu, zistíme, že obsahuje algoritmus na jeho nájdenie.
Poďme to sformulovať.
Ako nájsť deriváciu funkcie y \u003d f (x) ?
1. Opravte hodnotu \(x \), nájdite \(f(x) \)
2. Zvýšte \(x \) argument \(\Delta x \), presuňte sa do nového bodu \(x+ \Delta x \), nájdite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Nájdite prírastok funkcie: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Zostavte vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Táto limita je deriváciou funkcie v x.
Ak funkcia y = f(x) má deriváciu v bode x, potom sa nazýva diferencovateľná v bode x. Zavolá sa postup na nájdenie derivácie funkcie y \u003d f (x). diferenciácia funkcie y = f(x).
Poďme diskutovať o nasledujúcej otázke: ako súvisí spojitosť a diferencovateľnosť funkcie v bode?
Nech je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x. Potom je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie v bode M (x; f (x)) a, pripomíname, sklon dotyčnice sa rovná f "(x). Takýto graf sa nemôže "zlomiť" v bod M, t.j. funkcia musí byť spojitá v x.
Bolo to uvažovanie „na prstoch“. Uveďme prísnejší argument. Ak je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x, potom platí približná rovnosť \(\Delta y \cca f"(x) \cdot \Delta x \) nula, potom \(\Delta y \ ) bude mať tiež tendenciu k nule, a to je podmienka spojitosti funkcie v bode.
takze ak je funkcia diferencovateľná v bode x, potom je v tomto bode aj spojitá.
Opak nie je pravdou. Napríklad: funkcia y = |x| je všade spojitá, najmä v bode x = 0, ale dotyčnica ku grafu funkcie v „spoločnom bode“ (0; 0) neexistuje. Ak v určitom bode nie je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie, potom v tomto bode neexistuje žiadna derivácia.
Ešte jeden príklad. Funkcia \(y=\sqrt(x) \) je spojitá na celej číselnej osi, vrátane bodu x = 0. A dotyčnica ku grafu funkcie existuje v akomkoľvek bode, vrátane bodu x = 0 Ale v tomto bode sa dotyčnica zhoduje s osou y, to znamená, že je kolmá na os x, jej rovnica má tvar x \u003d 0. Pre takúto priamku neexistuje žiadny sklon, čo znamená, že \ ( f "(0) \) tiež neexistuje
Zoznámili sme sa teda s novou vlastnosťou funkcie – diferencovateľnosťou. Ako môžete zistiť, či je funkcia diferencovateľná od grafu funkcie?
Odpoveď je vlastne uvedená vyššie. Ak sa v určitom bode dá nakresliť dotyčnica ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom je v tomto bode funkcia diferencovateľná. Ak v určitom bode dotyčnica ku grafu funkcie neexistuje alebo je kolmá na os x, potom v tomto bode funkcia nie je diferencovateľná.
Pravidlá diferenciácie
Operácia nájdenia derivátu sa nazýva diferenciácia. Pri vykonávaní tejto operácie musíte často pracovať s kvocientmi, súčtami, súčinmi funkcií, ako aj s „funkciami funkcií“, teda komplexnými funkciami. Na základe definície derivátu vieme odvodiť pravidlá diferenciácie, ktoré túto prácu uľahčujú. Ak je C konštantné číslo a f=f(x), g=g(x) sú niektoré diferencovateľné funkcie, potom platí nasledovné pravidlá diferenciácie:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Tabuľka derivácií niektorých funkcií
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
Derivácia funkcie je jednou z najťažších tém v školských osnovách. Nie každý absolvent odpovie na otázku, čo je to derivát.
Tento článok jednoducho a jasne vysvetľuje, čo je derivát a prečo je potrebný.. Teraz sa nebudeme snažiť o matematickú prísnosť prezentácie. Najdôležitejšie je pochopiť význam.
Pripomeňme si definíciu:
Derivácia je rýchlosť zmeny funkcie.
Na obrázku sú znázornené grafy troch funkcií. Ktorá podľa vás rastie najrýchlejšie?
Odpoveď je zrejmá - tretia. Má najvyššiu mieru zmeny, teda najväčší derivát.
Tu je ďalší príklad.
Kostya, Grisha a Matvey dostali prácu v rovnakom čase. Pozrime sa, ako sa zmenil ich príjem v priebehu roka:
Všetko na grafe vidíte hneď, však? Kosťov príjem sa za šesť mesiacov viac ako zdvojnásobil. A Grishov príjem sa tiež zvýšil, ale len trochu. A Matejov príjem sa znížil na nulu. Východiskové podmienky sú rovnaké, ale rýchlosť zmeny funkcie, t.j. derivát, - rôzne. Pokiaľ ide o Matveyho, derivát jeho príjmu je vo všeobecnosti negatívny.
Intuitívne vieme ľahko odhadnúť rýchlosť zmeny funkcie. Ale ako to urobíme?
V skutočnosti sa pozeráme na to, ako strmo stúpa graf funkcie nahor (alebo nadol). Inými slovami, ako rýchlo sa y mení s x. Je zrejmé, že tá istá funkcia v rôznych bodoch môže mať rôznu hodnotu derivácie – to znamená, že sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie.
Derivácia funkcie sa označuje ako .
Ukážme si, ako nájsť pomocou grafu.
Nakreslí sa graf nejakej funkcie. Označte na ňom bod úsečkou. V tomto bode nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie. Chceme vyhodnotiť, ako strmo stúpa graf funkcie. Šikovná hodnota za to je dotyčnica sklonu dotyčnice.
Derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Upozorňujeme - ako uhol sklonu dotyčnice berieme uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi.
Niekedy sa študenti pýtajú, aká je dotyčnica ku grafu funkcie. Toto je priamka, ktorá má jediný spoločný bod s grafom v tejto časti, navyše, ako je znázornené na našom obrázku. Vyzerá to ako dotyčnica ku kružnici.
Poďme nájsť. Pamätáme si, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná pomeru protiľahlej nohy k susednej. Z trojuholníka:
Našli sme deriváciu pomocou grafu bez toho, aby sme poznali vzorec funkcie. Takéto úlohy sa často nachádzajú na skúške z matematiky pod číslom.
Je tu ešte jedna dôležitá súvislosť. Pripomeňme, že priamka je daná rovnicou
Množstvo v tejto rovnici je tzv sklon priamky. Rovná sa dotyčnici uhla sklonu priamky k osi.
.
Chápeme to
Zapamätajme si tento vzorec. Vyjadruje geometrický význam derivácie.
Derivácia funkcie v bode sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Inými slovami, derivácia sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice.
Už sme povedali, že tá istá funkcia môže mať v rôznych bodoch rôzne derivácie. Pozrime sa, ako derivácia súvisí so správaním funkcie.
Nakreslíme graf nejakej funkcie. Nechajte túto funkciu v niektorých oblastiach rásť a v iných znižovať a rôznymi rýchlosťami. A nech má táto funkcia maximálny a minimálny počet bodov.
V určitom bode sa funkcia zvyšuje. Dotyčnica ku grafu nakreslená v bode zviera ostrý uhol; s kladným smerom osi. Takže derivácia je v bode kladná.
V tomto bode naša funkcia klesá. Dotyčnica v tomto bode zviera tupý uhol; s kladným smerom osi. Pretože tangens tupého uhla je záporný, derivácia v bode je záporná.
Čo sa stane:
Ak je funkcia rastúca, jej derivácia je kladná.
Ak klesá, jeho derivácia je záporná.
A čo sa stane s maximálnym a minimálnym počtom bodov? Vidíme, že v (maximálnom bode) a (minimálnom bode) je dotyčnica vodorovná. Preto je dotyčnica sklonu dotyčnice v týchto bodoch nulová a derivácia je tiež nulová.
Bod je maximálny bod. V tomto bode je zvýšenie funkcie nahradené poklesom. V dôsledku toho sa znamienko derivácie mení v bode z „plus“ na „mínus“.
V bode - minimálnom bode - sa derivácia tiež rovná nule, ale jej znamienko sa mení z "mínus" na "plus".
Záver: pomocou derivácie môžete zistiť všetko, čo nás o správaní funkcie zaujíma.
Ak je derivácia kladná, funkcia je rastúca.
Ak je derivácia záporná, funkcia je klesajúca.
V maximálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z plus na mínus.
V minimálnom bode je derivácia tiež nulová a mení znamienko z mínus na plus.
Tieto zistenia zapíšeme vo forme tabuľky:
| zvyšuje | maximálny bod | klesá | minimálny bod | zvyšuje | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Urobme dve malé upresnenia. Pri riešení problému budete potrebovať jeden z nich. Ďalší - v prvom ročníku, s vážnejším štúdiom funkcií a derivátov.
Je možný prípad, keď sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nule, ale funkcia v tomto bode nemá ani maximum, ani minimum. Tento tzv :
V bode je dotyčnica ku grafu vodorovná a derivácia je nula. Avšak pred bodom sa funkcia zvýšila - a po bode sa naďalej zvyšuje. Znamienko derivátu sa nemení – zostalo kladné tak, ako bolo.
Stáva sa tiež, že v bode maxima alebo minima derivácia neexistuje. Na grafe to zodpovedá prudkému zlomu, keď nie je možné nakresliť dotyčnicu v danom bode.
Ako však nájsť deriváciu, ak funkcia nie je daná grafom, ale vzorcom? V tomto prípade platí
