x 2 = 4 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். அதை வரைபடமாகத் தீர்க்கவும். இதைச் செய்ய, ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், நாம் ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்குகிறோம் y = x 2 மற்றும் ஒரு நேர் கோடு y = 4 (படம் 74). அவை A (- 2; 4) மற்றும் B (2; 4) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன. புள்ளிகள் A மற்றும் B இன் abscissas x 2 = 4 சமன்பாட்டின் வேர்கள். எனவே, x 1 = - 2, x 2 = 2.

x 2 = 9 சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிகிறோம் (படம் 74 ஐப் பார்க்கவும்): x 1 = - 3, x 2 = 3.

இப்போது x 2 = 5 சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம்; ஒரு வடிவியல் விளக்கம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 75. இந்த சமன்பாட்டில் x 1 மற்றும் x 2 ஆகிய இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்பது தெளிவாகிறது, மேலும் இந்த எண்கள், முந்தைய இரண்டு நிகழ்வுகளைப் போலவே, முழுமையான மதிப்பில் சமமாகவும், குறியில் எதிரெதிர் (x 1 - - x 2) - ஆனால் முந்தையதைப் போலல்லாமல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் சிரமமின்றி கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழக்குகள் (மேலும் வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தாமல் அவற்றைக் காணலாம்), x 2 = 5 சமன்பாட்டுடன் இது அவ்வாறு இல்லை: வரைபடத்தின் படி, அதன் மதிப்புகளை நாம் குறிப்பிட முடியாது. வேர்கள், ஒரு ரூட் சற்று இடதுபுறத்தில் 2 புள்ளிகள் உள்ளன, இரண்டாவது சிறிது வலதுபுறம் உள்ளது என்பதை மட்டுமே நிறுவ முடியும்.

புள்ளிகள் 2.

புள்ளி 2 க்கு வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள இந்த எண் (புள்ளி) என்ன, இது வர்க்கம் 5 ஐக் கொடுக்கும்? இது 3 அல்ல என்பது தெளிவாகிறது, ஏனெனில் 3 2 = 9, அதாவது தேவைக்கு அதிகமாக (9 > 5) மாறிவிடும்.

அதாவது, நாம் விரும்பும் எண் 2 மற்றும் 3 எண்களுக்கு இடையில் அமைந்துள்ளது. ஆனால் 2 மற்றும் 3 எண்களுக்கு இடையில் எண்ணற்ற விகிதமுறு எண்கள் உள்ளன, உதாரணமாக முதலியன. ஒருவேளை அவற்றில் ஒரு பின்னம் இருக்கும்? x 2 - 5 சமன்பாட்டில் எங்களுக்கு எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது, அதை எழுதலாம்

ஆனால் இங்கே ஒரு விரும்பத்தகாத ஆச்சரியம் நமக்கு காத்திருக்கிறது. சமத்துவம் வைத்திருக்கும் எந்தப் பகுதியும் இல்லை என்று மாறிவிடும்
உருவாக்கப்பட்ட அறிக்கையின் ஆதாரம் மிகவும் கடினம். ஆயினும்கூட, நாங்கள் அதை வழங்குகிறோம், ஏனெனில் இது அழகாகவும் அறிவுறுத்தலாகவும் உள்ளது, மேலும் அதைப் புரிந்துகொள்ள முயற்சிப்பது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

சமத்துவம் கொண்ட ஒரு குறைக்க முடியாத பின்னம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பிறகு, அதாவது m 2 = 5n 2. கடைசி சமத்துவம் என்றால் மீ 2 என்ற இயல் எண் மீதி இல்லாமல் 5 ஆல் வகுபடும்.

இதன் விளைவாக, எண் m 2 என்பது எண் 5 அல்லது எண் 0 உடன் முடிவடைகிறது. ஆனால் பின்னர் இயற்கை எண் m ஆனது எண் 5 அல்லது எண் 0 உடன் முடிவடைகிறது, அதாவது. மீ எண் மீதம் இல்லாமல் 5 ஆல் வகுபடும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், m என்ற எண்ணை 5 ஆல் வகுத்தால், அந்த விகுதி சில இயற்கை எண்ணாக இருக்கும் k. இதன் அர்த்தம்,
அந்த மீ = 5k.
இப்போது பாருங்கள்:
மீ 2 = 5n 2 ;
முதல் சமத்துவத்தில் m க்கு பதிலாக 5k ஐ மாற்றுவோம்:

(5k) 2 = 5n 2, அதாவது 25k 2 = 5n 2 அல்லது n 2 = 5k 2.
கடைசி சமத்துவம் என்பது எண் என்று பொருள். 5n 2 மீதம் இல்லாமல் 5 ஆல் வகுபடும். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, n என்ற எண்ணும் மீதி இல்லாமல் 5 ஆல் வகுபடும் என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம்.
எனவே, m என்பது 5 ஆல் வகுபடும், n என்பது 5 ஆல் வகுபடும், அதாவது பின்னத்தை குறைக்கலாம் (5 ஆல்). ஆனால் பின்னம் குறைக்க முடியாதது என்று நாங்கள் கருதினோம். என்ன விஷயம்? ஏன், சரியாகப் பகுத்தறிந்த பிறகு, கணிதவியலாளர்கள் அடிக்கடி சொல்வது போல், நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டைப் பெற்றோம், ஏனென்றால் ஆரம்ப முன்மாதிரி தவறானது, அதற்கு சமத்துவம் உள்ளது போல!
எனவே நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம்: அத்தகைய பின்னம் இல்லை.
நாம் இப்போது பயன்படுத்திய ஆதாரத்தின் முறை, கணிதத்தில் முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கும் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் சாராம்சம் பின்வருமாறு. நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கையை நிரூபிக்க வேண்டும், அது இல்லை என்று கருதுகிறோம் (கணித வல்லுநர்கள் கூறுகிறார்கள்: "மாறாக கருதுங்கள்" - "விரும்பத்தக்கது" என்ற பொருளில் அல்ல, ஆனால் "தேவைப்பட்டதற்கு எதிர்" என்ற பொருளில்).
சரியான பகுத்தறிவின் விளைவாக, நாம் நிபந்தனையுடன் முரண்பட்டால், நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம்: எங்கள் அனுமானம் தவறானது, அதாவது நாம் நிரூபிக்க வேண்டியது உண்மை.

எனவே, பகுத்தறிவு எண்கள் மட்டுமே இருப்பதால் (மற்ற எண்கள் எங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை), எங்களால் x 2 = 5 சமன்பாட்டை தீர்க்க முடியாது.
முதன்முறையாக இத்தகைய சூழ்நிலையை எதிர்கொண்ட கணிதவியலாளர்கள் அதை கணித மொழியில் விவரிக்க ஒரு வழியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பதை உணர்ந்தனர். அவர்கள் ஒரு புதிய குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்தினர், அதை அவர்கள் வர்க்கமூலம் என்று அழைத்தனர், மேலும் இந்த குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, x 2 = 5 சமன்பாட்டின் வேர்கள் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டன:

இது கூறுகிறது: “5 இன் சதுர வேர்”). , (படம் 76).

எண் ஒரு முழு எண் அல்லது பின்னம் அல்ல என்பதையும் வலியுறுத்துவோம்.
இதன் பொருள் இது ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல, இது ஒரு புதிய இயல்புடைய எண்ணாகும்;
இப்போதைக்கு, புதிய எண் 2 மற்றும் 3 எண்களுக்கு இடையில் இருப்பதைக் கவனத்தில் கொள்வோம், ஏனெனில் 2 2 = 4, இது 5 க்கும் குறைவாக உள்ளது; 3 2 = 9, மேலும் இது 5 ஐ விட அதிகம். நீங்கள் தெளிவுபடுத்தலாம்:

உண்மையில், 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. உங்களாலும் முடியும்
குறிப்பிடவும்:

உண்மையில், 2.23 2 = 4.9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
நடைமுறையில், எண் 2.23 க்கு சமம் அல்லது 2.24 க்கு சமம் என்று பொதுவாக நம்பப்படுகிறது, இது ஒரு சாதாரண சமத்துவம் அல்ல, ஆனால் தோராயமான சமத்துவம், இது "" குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.
அதனால்,

x 2 = a சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைப் பற்றி விவாதிக்கும் போது, ​​கணிதத்திற்கான ஒரு பொதுவான சூழ்நிலையை நாங்கள் சந்தித்தோம். ஒரு தரமற்ற, அசாதாரணமான (விண்வெளி வீரர்கள் சொல்ல விரும்புவது போல) சூழ்நிலையில் தங்களைக் கண்டுபிடித்து, தெரிந்த வழிகளைப் பயன்படுத்தி அதிலிருந்து வெளியேறுவதற்கான வழியைக் கண்டுபிடிக்கவில்லை, கணிதவியலாளர்கள் அவர்கள் கணித மாதிரிக்கு ஒரு புதிய சொல்லையும் புதிய பதவியையும் (புதிய சின்னம்) கொண்டு வருகிறார்கள். முதலில் சந்தித்தது; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அவர்கள் ஒரு புதிய கருத்தை அறிமுகப்படுத்தி, அதன் பண்புகளை ஆய்வு செய்கிறார்கள்
கருத்துக்கள். எனவே, புதிய கருத்தும் அதன் பதவியும் கணித மொழியின் சொத்தாக மாறுகிறது. நாங்கள் அதே வழியில் செயல்பட்டோம்: "a எண்ணின் சதுர மூலத்தை" அறிமுகப்படுத்தினோம், அதைக் குறிக்க ஒரு குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்தினோம், சிறிது நேரம் கழித்து புதிய கருத்தின் பண்புகளைப் படிப்போம். இதுவரை எங்களுக்கு ஒரே ஒரு விஷயம் மட்டுமே தெரியும்: ஒரு > 0 என்றால்,
x 2 = a சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் நேர்மறை எண். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது ஒரு நேர்மறை எண்ணாகும், இது சதுரமாக இருக்கும்போது, ​​எண்ணை உருவாக்குகிறது.
x 2 = 0 சமன்பாடு x = 0 என்ற மூலத்தைக் கொண்டிருப்பதால், நாங்கள் அதைக் கருத ஒப்புக்கொண்டோம்.
இப்போது நாங்கள் கடுமையான வரையறையை கொடுக்க தயாராக இருக்கிறோம்.
வரையறை. எதிர்மில்லாத எண்ணின் வர்க்கமூலம் a எதிர்மில்லாத எண்ணாகும், அதன் வர்க்கம் a க்கு சமம்.

இந்த எண் எண்ணால் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் தீவிர எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
எனவே, ஒரு எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால், பின்:

ஒரு என்றால்< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
எனவே, வெளிப்பாடு ஒரு > 0 க்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.
என்று சொல்கிறார்கள் - அதே கணித மாதிரி (எதிர்மறை அல்லாத எண்களுக்கு இடையிலான அதே உறவு
(a மற்றும் b), ஆனால் இரண்டாவது மட்டுமே முதல் மொழியை விட எளிமையான மொழியில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது (எளிமையான குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துகிறது).

எதிர்மில்லாத எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைக் கண்டறியும் செயல்பாடு வர்க்க வேரூன்றி எனப்படும். இந்த செயல்பாடு சதுரத்தின் தலைகீழ் ஆகும். ஒப்பிடு:

சதுர மூலத்தின் வரையறையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளபடி, நேர்மறை எண்கள் மட்டுமே அட்டவணையில் தோன்றும் என்பதை மீண்டும் கவனத்தில் கொள்ளவும். எடுத்துக்காட்டாக, (- 5) 2 = 25 என்பது உண்மையான சமத்துவம் என்றாலும், அதிலிருந்து சதுர மூலத்தைப் பயன்படுத்தி குறியீட்டிற்குச் செல்லவும் (அதாவது அதை எழுதவும்.)
அது தடைசெய்யப்பட்டுள்ளது. A-priory, . நேர்மறை எண், அதாவது .
பெரும்பாலும் அவர்கள் "சதுர வேர்" அல்ல, ஆனால் "எண்கணித வர்க்க வேர்" என்று கூறுகிறார்கள். சுருக்கத்திற்கான "எண்கணிதம்" என்ற வார்த்தையை நாங்கள் தவிர்க்கிறோம்.

D) முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலன்றி, எண்ணின் சரியான மதிப்பைக் குறிப்பிட முடியாது. இது 4 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது, ஆனால் 5 ஐ விட குறைவாக உள்ளது என்பது மட்டும் தெளிவாக உள்ளது

4 2 = 16 (இது 17 க்கும் குறைவானது), மற்றும் 5 2 = 25 (இது 17 ஐ விட அதிகம்).
இருப்பினும், எண்ணின் தோராயமான மதிப்பை மைக்ரோகால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம், இதில் சதுர மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் செயல்பாடு உள்ளது; இந்த மதிப்பு 4.123.
அதனால்,
மேலே விவாதிக்கப்பட்ட எண்ணைப் போன்ற எண் பகுத்தறிவு அல்ல.
இ) எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்கமூலம் இல்லாததால், அதைக் கணக்கிட முடியாது; நுழைவு அர்த்தமற்றது. முன்மொழியப்பட்ட பணி தவறானது.
இ) 31 > 0 மற்றும் 31 2 = 961 முதல். இது போன்ற சமயங்களில், நீங்கள் இயற்கை எண்களின் சதுரங்களின் அட்டவணை அல்லது மைக்ரோகால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
g) 75 > 0 மற்றும் 75 2 = 5625 இலிருந்து.
எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், வர்க்க மூலத்தின் மதிப்பு உடனடியாக கணக்கிடப்படுகிறது: முதலியன மிகவும் சிக்கலான நிகழ்வுகளில், நீங்கள் எண்களின் சதுரங்களின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்த வேண்டும் அல்லது மைக்ரோகால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ள வேண்டும். ஆனால் கையில் டேபிள் அல்லது கால்குலேட்டர் இல்லையென்றால் என்ன செய்வது? பின்வரும் உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதன் மூலம் இந்த கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.கணக்கிடுங்கள்
தீர்வு.
முதல் கட்டம்.வாலுடன் 50 என்று பதில் வரும் என்று யூகிக்க கடினமாக இல்லை. உண்மையில், 50 2 = 2500, மற்றும் 60 2 = 3600, அதே நேரத்தில் 2809 எண் 2500 மற்றும் 3600 எண்களுக்கு இடையில் உள்ளது.

இரண்டாம் கட்டம்."வால்" ஐக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது. விரும்பிய எண்ணின் கடைசி இலக்கம். இதுவரை ரூட் எடுக்கப்பட்டால், பதில் 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 அல்லது 59 ஆக இருக்கலாம் என்று நமக்குத் தெரியும். நாம் இரண்டு எண்களை மட்டுமே சரிபார்க்க வேண்டும்: 53 மற்றும் 57, ஏனெனில் அவை மட்டுமே, ஸ்கொயர் செய்யும் போது, ​​9ல் முடிவடையும் நான்கு இலக்க எண்ணாக இருக்கும், அதே எண் 2809 இல் முடிவடையும்.
எங்களிடம் 532 = 2809 உள்ளது - இதுதான் நமக்குத் தேவை (நாங்கள் அதிர்ஷ்டசாலிகள், நாங்கள் உடனடியாக காளையின் கண்ணைத் தாக்கினோம்). எனவே = 53.
பதில்:

53
எடுத்துக்காட்டு 3.செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் 1 செ.மீ மற்றும் 2 செ.மீ. (படம்.77)

தீர்வு.

வடிவவியலில் இருந்து அறியப்படும் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால்களின் நீளத்தின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை அதன் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தின் சதுரத்திற்குச் சமம், அதாவது a 2 + b 2 = c 2, இங்கு a , b என்பது கால்கள், c என்பது வலது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும்.

பொருள்

சதுர வேர்களை அறிமுகப்படுத்துவது கணிதவியலாளர்களின் விருப்பம் அல்ல, மாறாக ஒரு புறநிலை தேவை என்பதை இந்த எடுத்துக்காட்டு காட்டுகிறது: நிஜ வாழ்க்கையில் கணித மாதிரிகள் ஒரு சதுர மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் செயல்பாட்டைக் கொண்ட சூழ்நிலைகள் உள்ளன. ஒருவேளை இந்த சூழ்நிலைகளில் மிக முக்கியமானது தொடர்புடையது
இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. இப்போது வரை, கோடாரி 2 + bx + c = 0 ஆகிய இருபடிச் சமன்பாடுகளை எதிர்கொள்ளும் போது, ​​இடது பக்கத்தை காரணியாக்கினோம் (இது எப்போதும் செயல்படாது) அல்லது வரைகலை முறைகளைப் பயன்படுத்தினோம் (இது மிகவும் நம்பகமானது அல்ல, அழகாக இருந்தாலும்). உண்மையில், கண்டுபிடிக்க
கணித சூத்திரங்களில் கோடாரி 2 + bx + c = 0 ஆகிய இருபடி சமன்பாட்டின் x 1 மற்றும் x 2 வேர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பார்க்க முடியும் என, இந்த சூத்திரங்கள் நடைமுறையில் பின்வருமாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உதாரணமாக, நாம் 2x 2 + bx - 7 = 0 சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும். இங்கே a = 2, b = 5, c = - 7. எனவே,
b2 - 4ac = 5 2 - 4 . 2. (- 7) = 81. அடுத்து நாம் . பொருள்

நாம் மேலே குறிப்பிட்டது அது ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல.
கணிதவியலாளர்கள் அத்தகைய எண்களை பகுத்தறிவற்றதாக அழைக்கிறார்கள். வர்க்க மூலத்தை எடுக்க முடியாவிட்டால் படிவத்தின் எந்த எண்ணும் பகுத்தறிவற்றதாக இருக்கும். உதாரணத்திற்கு, முதலியன - பகுத்தறிவற்ற எண்கள். அத்தியாயம் 5 இல் நாம் பகுத்தறிவு மற்றும் விகிதாசார எண்களைப் பற்றி மேலும் பேசுவோம். பகுத்தறிவு மற்றும் பகுத்தறிவற்ற எண்கள் ஒன்றாக உண்மையான எண்களின் தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன, அதாவது. நிஜ வாழ்க்கையில் நாம் செயல்படும் அனைத்து எண்களின் தொகுப்பு (உண்மையில்,
ness). உதாரணமாக, இவை அனைத்தும் உண்மையான எண்கள்.
மேலே உள்ள வர்க்க மூலத்தின் கருத்தை நாம் வரையறுத்ததைப் போலவே, கனசதுரத்தின் கருத்தையும் வரையறுக்கலாம்: எதிர்மில்லாத எண்ணின் கனமூலம் a எதிர்மில்லாத எண்ணாகும், அதன் கனசதுரம் a க்கு சமமாக இருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சமத்துவம் என்பது b 3 = a.

இதையெல்லாம் 11ம் வகுப்பு அல்ஜீப்ரா பாடத்தில் படிப்போம்.

எதிர்மில்லாத எண்ணின் வர்க்க மூலத்தின் கருத்து

x2 = 4 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். அதை வரைபடமாகத் தீர்க்கவும். இதை ஒரு அமைப்பில் செய்ய ஒருங்கிணைப்புகள்ஒரு பரவளைய y = x2 மற்றும் ஒரு நேர்கோடு y = 4 (படம் 74) கட்டமைப்போம். அவை A (- 2; 4) மற்றும் B (2; 4) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன. புள்ளிகள் A மற்றும் B இன் abscissas x2 = 4 சமன்பாட்டின் வேர்கள். எனவே, x1 = - 2, x2 = 2.

அதே வழியில் நியாயப்படுத்துவதன் மூலம், x2 = 9 சமன்பாட்டின் வேர்களைக் காண்கிறோம் (படம் 74 ஐப் பார்க்கவும்): x1 = - 3, x2 = 3.

இப்போது x2 = 5 சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம்; ஒரு வடிவியல் விளக்கம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 75. இந்தச் சமன்பாட்டில் x1 மற்றும் x2 என்ற இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்பது தெளிவாகிறது, மேலும் இந்த எண்கள், முந்தைய இரண்டு நிகழ்வுகளைப் போலவே, முழுமையான மதிப்பில் சமமாகவும், குறியில் எதிரெதிர் (x1 - - x2) - ஆனால் முந்தைய நிகழ்வுகளைப் போலல்லாமல், சமன்பாட்டின் வேர்கள் சிரமமின்றி கண்டுபிடிக்கப்பட்டன (மேலும் அவை வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தாமல் கண்டுபிடிக்கப்படலாம்), இது x2 = 5 சமன்பாட்டில் இல்லை: வரைபடத்திலிருந்து வேர்களின் மதிப்புகளைக் குறிப்பிட முடியாது, அதை மட்டுமே நிறுவ முடியும். ஒன்று வேர்புள்ளி - 2 க்கு சற்று இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளது, இரண்டாவது புள்ளி 2 க்கு சற்று வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளது.

ஆனால் இங்கே ஒரு விரும்பத்தகாத ஆச்சரியம் நமக்குக் காத்திருக்கிறது. அப்படி எதுவும் இல்லை என்பது தெரியவந்துள்ளது பின்னங்கள் DIV_ADBLOCK32">

சமத்துவம் கொண்ட ஒரு குறைக்க முடியாத பின்னம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, அதாவது m2 = 5n2. கடைசி சமத்துவம் என்று பொருள் இயற்கை எண்மீ2 மீதி இல்லாமல் 5 ஆல் வகுபடும் (குத்துமதிப்பில் அது n2 ஆகிறது).

இதன் விளைவாக, எண் m2 எண் 5 அல்லது எண் 0 உடன் முடிவடைகிறது. ஆனால் பின்னர் இயல் எண் m ஆனது எண் 5 அல்லது எண் 0 உடன் முடிவடைகிறது, அதாவது m எண் மீதம் இல்லாமல் 5 ஆல் வகுபடும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், m என்ற எண்ணை 5 ஆல் வகுத்தால், அந்த கோட்பாட்டின் விளைவாக சில இயற்கை எண்ணான k இருக்கும். இதன் பொருள் m = 5k.

இப்போது பாருங்கள்:

முதல் சமத்துவத்தில் m க்கு பதிலாக 5k ஐ மாற்றுவோம்:

(5k)2 = 5n2, அதாவது 25k2 = 5n2 அல்லது n2 = 5k2.

கடைசி சமத்துவம் என்பது எண் என்று பொருள். 5n2 மீதம் இல்லாமல் 5 ஆல் வகுபடும். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, n என்ற எண்ணும் 5 ஆல் வகுபடும் என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம். மீதி.

எனவே, m என்பது 5 ஆல் வகுபடும், n என்பது 5 ஆல் வகுபடும், அதாவது பின்னத்தை குறைக்கலாம் (5 ஆல்). ஆனால் பின்னம் குறைக்க முடியாதது என்று நாங்கள் கருதினோம். என்ன விஷயம்? ஏன், சரியாகப் பகுத்தறிந்த பிறகு, கணிதவியலாளர்கள் அடிக்கடி சொல்வது போல், நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டைப் பெற்றோம், ஏனென்றால் ஆரம்ப முன்மாதிரி தவறானது, அதற்கு சமத்துவம் உள்ளது போல! ).

சரியான பகுத்தறிவின் விளைவாக, நாம் நிபந்தனையுடன் முரண்பட்டால், நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம்: எங்கள் அனுமானம் தவறானது, அதாவது நாம் நிரூபிக்க வேண்டியது உண்மை.

எனவே, கொண்டவை மட்டுமே விகிதமுறு எண்கள்(மற்றும் மற்ற எண்கள் எங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை), x2 = 5 என்ற சமன்பாட்டை எங்களால் தீர்க்க முடியாது.

முதன்முறையாக இத்தகைய சூழ்நிலையை எதிர்கொண்ட கணிதவியலாளர்கள் அதை கணித மொழியில் விவரிக்க ஒரு வழியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பதை உணர்ந்தனர். அவர்கள் ஒரு புதிய குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்தினர், அதை அவர்கள் வர்க்கமூலம் என்று அழைத்தனர், மேலும் இந்த குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, x2 = 5 சமன்பாட்டின் வேர்கள் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டன: ) இப்போது x2 = a வடிவத்தின் எந்த சமன்பாட்டிற்கும், a > O, நீங்கள் வேர்களைக் காணலாம் - அவை எண்கள்https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}ஒரு முழு அல்லது ஒரு பகுதி இல்லை.
இதன் பொருள் இது ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல, இது ஒரு புதிய இயல்புடைய எண்ணாகும்;
தற்போதைக்கு, புதிய எண் 2 மற்றும் 3 எண்களுக்கு இடையில் இருப்பதைக் கவனத்தில் கொள்வோம், ஏனெனில் 22 = 4, இது 5 க்கும் குறைவானது; Z2 = 9, மேலும் இது 5 ஐ விட அதிகம். நீங்கள் தெளிவுபடுத்தலாம்:

சதுர மூலத்தின் வரையறையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளபடி, நேர்மறை எண்கள் மட்டுமே அட்டவணையில் தோன்றும் என்பதை மீண்டும் கவனத்தில் கொள்ளவும். எடுத்துக்காட்டாக, = 25 என்பது உண்மையான சமத்துவம் என்றாலும், அதிலிருந்து வர்க்க மூலத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதுவதற்குச் செல்லுங்கள் (அதாவது அதை எழுதுங்கள். .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}நேர்மறை எண், அதாவது https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. 42 = 16 (இது 17 க்கும் குறைவானது), மற்றும் 52 = 25 (இது 17 ஐ விட அதிகம்) என்பதால், இது 4 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது, ஆனால் 5 ஐ விட குறைவாக உள்ளது என்பது மட்டும் தெளிவாகிறது.
இருப்பினும், எண்ணின் தோராயமான மதிப்பைப் பயன்படுத்திக் காணலாம் மைக்ரோ கால்குலேட்டர், இது ஸ்கொயர் ரூட் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது; இந்த மதிப்பு 4.123.

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட எண்ணைப் போன்ற எண் பகுத்தறிவு அல்ல.
இ) எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்கமூலம் இல்லாததால், அதைக் கணக்கிட முடியாது; நுழைவு அர்த்தமற்றது. முன்மொழியப்பட்ட பணி தவறானது.
இ) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Task" width="80" height="33 id=">!}, 75 > 0 மற்றும் 752 = 5625 என்பதிலிருந்து.

எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், வர்க்க மூலத்தின் மதிப்பு உடனடியாக கணக்கிடப்படுகிறது:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Task" width="65" height="42 id=">!}
தீர்வு.
முதல் கட்டம்.பதில் 50 என்று ஒரு வால் இருக்கும் என்று யூகிக்க கடினமாக இல்லை. உண்மையில், 502 = 2500, மற்றும் 602 = 3600, அதே நேரத்தில் 2809 எண் 2500 மற்றும் 3600 எண்களுக்கு இடையில் உள்ளது.

ஒரு சதுர நிலத்தின் பரப்பளவு 81 dm² ஆகும். அவரது பக்கத்தைக் கண்டுபிடி. சதுரத்தின் பக்க நீளம் என்று வைத்துக்கொள்வோம் எக்ஸ்டெசிமீட்டர்கள். பின்னர் சதித்திட்டத்தின் பரப்பளவு எக்ஸ்² சதுர டெசிமீட்டர்கள். நிபந்தனையின் படி, இந்த பகுதி 81 dm² க்கு சமமாக இருப்பதால் எக்ஸ்² = 81. ஒரு சதுரத்தின் பக்கத்தின் நீளம் நேர்மறை எண்ணாகும். நேர்மறை எண், அதன் வர்க்கம் 81 என்பது எண் 9 ஆகும். சிக்கலைத் தீர்க்கும் போது, ​​x என்ற எண்ணின் வர்க்கம் 81 ஆகும், அதாவது சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும். எக்ஸ்² = 81. இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: எக்ஸ் 1 = 9 மற்றும் எக்ஸ் 2 = - 9, 9² = 81 மற்றும் (- 9)² = 81 என்பதால். 9 மற்றும் - 9 ஆகிய இரண்டு எண்களும் 81 இன் வர்க்க வேர்கள் எனப்படும்.

சதுர வேர்களில் ஒன்று என்பதைக் கவனியுங்கள் எக்ஸ்= 9 என்பது நேர்மறை எண். இது 81 இன் எண்கணித வர்க்கமூலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது √81 எனக் குறிக்கப்படுகிறது, எனவே √81 = 9.

ஒரு எண்ணின் எண்கணித வர்க்கமூலம் ஏஎதிர்மில்லாத எண், அதன் சதுரம் சமமாக இருக்கும் ஏ.

எடுத்துக்காட்டாக, எண்கள் 6 மற்றும் - 6 என்பது 36 என்ற எண்ணின் வர்க்க மூலங்களாகும். இருப்பினும், எண் 6 என்பது 36 இன் எண்கணித வர்க்க மூலமாகும், ஏனெனில் 6 என்பது எதிர்மில்லாத எண் மற்றும் 6² = 36. எண் - 6 என்பது ஒரு அல்ல. எண்கணித வேர்.

ஒரு எண்ணின் எண்கணித வர்க்கமூலம் ஏபின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: √ ஏ.

இந்த அடையாளம் எண்கணித வர்க்க மூல அடையாளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது; ஏ- ஒரு தீவிர வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வெளிப்பாடு √ ஏபடி இது போல்: ஒரு எண்ணின் எண்கணித வர்க்கமூலம் ஏ.எடுத்துக்காட்டாக, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. நாம் ஒரு எண்கணித மூலத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பது தெளிவாகத் தெரிந்த சந்தர்ப்பங்களில், அவர்கள் சுருக்கமாகச் சொல்கிறார்கள்: “இன் வர்க்கமூலம் ஏ«.

ஒரு எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைக் கண்டறியும் செயல் வர்க்க வேரூன்றி எனப்படும். இந்த செயல் ஸ்கொயரிங் தலைகீழ் ஆகும்.

நீங்கள் எந்த எண்ணையும் வர்க்கப்படுத்தலாம், ஆனால் எந்த எண்ணிலிருந்தும் வர்க்க மூலங்களைப் பிரித்தெடுக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக, எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது சாத்தியமில்லை - 4. அத்தகைய வேர் இருந்திருந்தால், அதை எழுத்துடன் குறிப்பது எக்ஸ், இடதுபுறத்தில் எதிர்மறை எண்ணும் வலதுபுறத்தில் எதிர்மறை எண்ணும் இருப்பதால், தவறான சமத்துவம் x² = - 4 ஐப் பெறுவோம்.

வெளிப்பாடு √ ஏபோது மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் ஒரு ≥ 0. வர்க்க மூலத்தின் வரையறையை சுருக்கமாக இவ்வாறு எழுதலாம்: √ ஒரு ≥ 0, (√ஏ)² = ஏ. சமத்துவம் (√ ஏ)² = ஏசெல்லுபடியாகும் ஒரு ≥ 0. இவ்வாறு, எதிர்மில்லாத எண்ணின் வர்க்கமூலத்தை உறுதி செய்ய ஏசமம் பி, அதாவது உண்மையில் √ ஏ =பி, பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளதா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும்: b ≥ 0, பி² = ஏ.

ஒரு பகுதியின் சதுர வேர்

கணக்கிடுவோம். √25 = 5, √36 = 6 என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், சமத்துவம் உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.

ஏனெனில் மற்றும் , பின்னர் சமத்துவம் உண்மை. அதனால், .

தேற்றம்:என்றால் ஏ≥ 0 மற்றும் பி> 0, அதாவது, பின்னத்தின் மூலமானது, வகுப்பின் மூலத்தால் வகுக்கப்படும் எண்ணின் மூலத்திற்குச் சமம். அதை நிரூபிக்க வேண்டும்: மற்றும் .

முதல் √ ஏ≥0 மற்றும் √ பி> 0, பின்னர் .

ஒரு பகுதியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவதற்கான சொத்து மற்றும் ஒரு வர்க்க மூலத்தின் வரையறை தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுங்கள் .

இரண்டாவது உதாரணம்: அதை நிரூபிக்கவும் , என்றால் ஏ ≤ 0, பி < 0. .

மற்றொரு உதாரணம்: கணக்கிடு.

.

சதுர ரூட் மாற்றம்

மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து பெருக்கியை நீக்குதல். வெளிப்பாடு கொடுக்கப்படட்டும். என்றால் ஏ≥ 0 மற்றும் பி≥ 0, பின்னர் தயாரிப்பு மூல தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் எழுதலாம்:

இந்த மாற்றம் மூல அடையாளத்திலிருந்து காரணியை நீக்குதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்;

இல் கணக்கிடவும் எக்ஸ்= 2. நேரடி மாற்று எக்ஸ்தீவிர வெளிப்பாட்டில் = 2 சிக்கலான கணக்கீடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள காரணிகளை முதலில் நீக்கினால், இந்தக் கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்தலாம்: . இப்போது x = 2 ஐ மாற்றினால், நமக்கு கிடைக்கும்:.

எனவே, மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து காரணியை அகற்றும் போது, ​​தீவிர வெளிப்பாடு ஒரு பொருளின் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது, இதில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகள் எதிர்மறை எண்களின் சதுரங்களாக இருக்கும். பின்னர் தயாரிப்பு மூல தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் ஒவ்வொரு காரணியின் மூலத்தையும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். ஒரு எடுத்துக்காட்டைப் பார்ப்போம்: முதல் இரண்டு சொற்களில் உள்ள காரணிகளை மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து எடுத்து, A = √8 + √18 - 4√2 என்ற வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்: சமத்துவத்தை வலியுறுத்துகிறோம் மட்டுமே செல்லுபடியாகும் ஏ≥ 0 மற்றும் பி≥ 0. என்றால் ஏ < 0, то .

மீண்டும் அந்த அடையாளத்தை பார்த்தேன்... மேலும், போகலாம்!

எளிமையான ஒன்றைத் தொடங்குவோம்:

ஒரு நிமிடம். இது, அதாவது நாம் இதை இப்படி எழுதலாம்:

அறிந்துகொண்டேன்? உங்களுக்கான அடுத்தது இதோ:

இதன் விளைவாக வரும் எண்களின் வேர்கள் சரியாக பிரித்தெடுக்கப்படவில்லையா? பிரச்சனை இல்லை - இங்கே சில எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன:

இரண்டு இல்லை, ஆனால் அதிக பெருக்கிகள் இருந்தால் என்ன செய்வது? அதே! வேர்களை பெருக்குவதற்கான சூத்திரம் பல காரணிகளுடன் செயல்படுகிறது:

இப்போது முற்றிலும் சொந்தமாக:

பதில்கள்:நல்லது! ஒப்புக்கொள், எல்லாம் மிகவும் எளிதானது, முக்கிய விஷயம் பெருக்கல் அட்டவணையை அறிந்து கொள்வது!

வேர் பிரிவு

வேர்களின் பெருக்கத்தை நாங்கள் வரிசைப்படுத்தியுள்ளோம், இப்போது பிரிவின் சொத்துக்கு செல்லலாம்.

பொதுவான சூத்திரம் இப்படி இருக்கும் என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

அதற்கு பொருள் என்னவென்றால் விகுதியின் மூலமானது வேர்களின் விகுதிக்கு சமம்.

சரி, சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

அறிவியல் அவ்வளவுதான். இங்கே ஒரு உதாரணம்:

முதல் எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல எல்லாம் மென்மையாக இல்லை, ஆனால், நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சிக்கலான எதுவும் இல்லை.

இந்த வெளிப்பாட்டைக் கண்டால் என்ன செய்வது:

நீங்கள் எதிர் திசையில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

மற்றும் இங்கே ஒரு உதாரணம்:

இந்த வெளிப்பாட்டையும் நீங்கள் காணலாம்:

எல்லாம் ஒன்றுதான், பின்னங்களை எவ்வாறு மொழிபெயர்ப்பது என்பதை இங்கே மட்டுமே நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும் (உங்களுக்கு நினைவில் இல்லை என்றால், தலைப்பைப் பார்த்து திரும்பி வாருங்கள்!). உனக்கு நினைவிருக்கிறதா? இப்போது முடிவு செய்வோம்!

நீங்கள் எல்லாவற்றையும் சமாளித்துவிட்டீர்கள் என்று நான் நம்புகிறேன், இப்போது வேர்களை டிகிரிக்கு உயர்த்த முயற்சிப்போம்.

விரிவடைதல்

வர்க்கமூலம் சதுரமாக இருந்தால் என்ன நடக்கும்? இது எளிதானது, ஒரு எண்ணின் வர்க்க மூலத்தின் அர்த்தத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள் - இது வர்க்க மூலத்திற்கு சமமான எண்.

எனவே, வர்க்கமூலம் சமமாக இருக்கும் எண்ணை நாம் வர்க்கப்படுத்தினால், நமக்கு என்ன கிடைக்கும்?

சரி, நிச்சயமாக,!

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

இது எளிது, இல்லையா? ரூட் வேறு டிகிரி என்றால் என்ன? அது பரவாயில்லை!

அதே தர்க்கத்தைப் பின்பற்றி, டிகிரிகளுடன் பண்புகள் மற்றும் சாத்தியமான செயல்களை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

"" என்ற தலைப்பில் கோட்பாட்டைப் படியுங்கள், எல்லாம் உங்களுக்கு மிகவும் தெளிவாகிவிடும்.

உதாரணமாக, இங்கே ஒரு வெளிப்பாடு உள்ளது:

இந்த எடுத்துக்காட்டில், பட்டம் சமமானது, ஆனால் அது ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் என்ன செய்வது? மீண்டும், சக்திகள் மற்றும் காரணிகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும்:

இதனுடன் எல்லாம் தெளிவாகத் தெரிகிறது, ஆனால் ஒரு எண்ணின் மூலத்தை ஒரு சக்திக்கு எவ்வாறு பிரித்தெடுப்பது? இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, இது:

மிகவும் எளிமையானது, இல்லையா? பட்டம் இரண்டுக்கு மேல் இருந்தால் என்ன செய்வது? டிகிரிகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி அதே தர்க்கத்தை நாங்கள் பின்பற்றுகிறோம்:

சரி, எல்லாம் தெளிவாக இருக்கிறதா? பின்னர் உதாரணங்களை நீங்களே தீர்க்கவும்:

மற்றும் பதில்கள் இங்கே:

வேரின் அடையாளத்தின் கீழ் நுழைகிறது

வேர்களுடன் என்ன செய்ய நாம் கற்றுக்கொள்ளவில்லை! ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் எண்ணை உள்ளிடுவதைப் பயிற்சி செய்வதுதான் மிச்சம்!

இது மிகவும் எளிதானது!

எங்களிடம் ஒரு எண் எழுதப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்

அதை வைத்து நாம் என்ன செய்ய முடியும்? சரி, நிச்சயமாக, மூன்றையும் வேரின் கீழ் மறைத்து, மூன்றின் வர்க்கமூலம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

நமக்கு இது ஏன் தேவை? ஆம், உதாரணங்களைத் தீர்க்கும் போது எங்கள் திறன்களை விரிவாக்குவதற்கு:

வேர்களின் இந்த சொத்தை நீங்கள் எப்படி விரும்புகிறீர்கள்? இது வாழ்க்கையை மிகவும் எளிதாக்குகிறதா? என்னைப் பொறுத்தவரை, அது சரியானது! மட்டுமே வர்க்கமூலக் குறியின் கீழ் நேர்மறை எண்களை மட்டுமே உள்ளிட முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

இந்த உதாரணத்தை நீங்களே தீர்க்கவும் -
சமாளித்தாயா? நீங்கள் எதைப் பெற வேண்டும் என்பதைப் பார்ப்போம்:

நல்லது! ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் எண்ணை உள்ளிட முடிந்தது! சமமான முக்கியமான ஒன்றிற்குச் செல்வோம் - வர்க்க மூலத்தைக் கொண்ட எண்களை எவ்வாறு ஒப்பிடுவது என்பதைப் பார்ப்போம்!

வேர்களின் ஒப்பீடு

ஒரு வர்க்க மூலத்தைக் கொண்ட எண்களை ஒப்பிட நாம் ஏன் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்?

மிக எளிய. பெரும்பாலும், தேர்வில் எதிர்கொள்ளும் பெரிய மற்றும் நீண்ட வெளிப்பாடுகளில், நாம் ஒரு பகுத்தறிவற்ற பதிலைப் பெறுகிறோம் (இது என்ன என்பதை நினைவில் கொள்க? இதைப் பற்றி நாங்கள் ஏற்கனவே பேசினோம்!)

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க எந்த இடைவெளி பொருத்தமானது என்பதைத் தீர்மானிக்க, பெறப்பட்ட பதில்களை ஒருங்கிணைப்பு வரியில் வைக்க வேண்டும். இங்கே சிக்கல் எழுகிறது: தேர்வில் கால்குலேட்டர் இல்லை, அது இல்லாமல், எந்த எண் பெரியது, எது குறைவு என்பதை நீங்கள் எப்படி கற்பனை செய்யலாம்? அவ்வளவுதான்!

எடுத்துக்காட்டாக, எது பெரியது என்பதை தீர்மானிக்கவும்: அல்லது?

உடனே சொல்ல முடியாது. சரி, ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு எண்ணை உள்ளிடுவதற்கான பிரிக்கப்பட்ட சொத்தைப் பயன்படுத்தலாமா?

பின்னர் மேலே செல்லுங்கள்:

சரி, வெளிப்படையாக, ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் பெரிய எண், பெரிய ரூட் தன்னை!

அந்த. என்றால், பின்னர்,.

இதிலிருந்து நாம் உறுதியாக முடிவு செய்கிறோம். மற்றபடி யாரும் நம்மை நம்ப வைக்க மாட்டார்கள்!

பெரிய எண்ணிக்கையில் இருந்து வேர்களை பிரித்தெடுத்தல்

இதற்கு முன், ரூட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு பெருக்கியை உள்ளிட்டோம், ஆனால் அதை எவ்வாறு அகற்றுவது? நீங்கள் அதை காரணிகளாகக் கருதி, நீங்கள் பிரித்தெடுப்பதைப் பிரித்தெடுக்க வேண்டும்!

வேறுபட்ட பாதையை எடுத்து மற்ற காரணிகளுக்கு விரிவாக்க முடிந்தது:

மோசமாக இல்லை, இல்லையா? இந்த அணுகுமுறைகளில் ஏதேனும் சரியானது, நீங்கள் விரும்பியபடி முடிவு செய்யுங்கள்.

இது போன்ற தரமற்ற சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது காரணியாக்கம் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்:

பயப்படாமல் செயல்படுவோம்! ஒவ்வொரு காரணியையும் ரூட்டின் கீழ் தனித்தனி காரணிகளாக சிதைப்போம்:

இப்போது அதை நீங்களே முயற்சிக்கவும் (கால்குலேட்டர் இல்லாமல்! இது தேர்வில் இருக்காது):

இது முடிவா? பாதியில் நிறுத்த வேண்டாம்!

அவ்வளவுதான், இது மிகவும் பயமாக இல்லை, இல்லையா?

நடந்ததா? நல்லது, அது சரி!

இப்போது இந்த உதாரணத்தை முயற்சிக்கவும்:

ஆனால் உதாரணம் ஒரு கடினமான நட்டு, எனவே அதை எப்படி அணுகுவது என்பதை உடனடியாக கண்டுபிடிக்க முடியாது. ஆனால், நிச்சயமாக, நாம் அதை கையாள முடியும்.

சரி, காரணியாக்கத்தை ஆரம்பிக்கலாமா? நீங்கள் ஒரு எண்ணை இவ்வாறு வகுக்க முடியும் என்பதை உடனடியாக கவனத்தில் கொள்வோம் (வகுத்தலின் அறிகுறிகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள்):

இப்போது, ​​அதை நீங்களே முயற்சிக்கவும் (மீண்டும், கால்குலேட்டர் இல்லாமல்!):

சரி, அது வேலை செய்ததா? நல்லது, அது சரி!

சுருக்கமாகச் சொல்லலாம்

1. எதிர்மில்லாத எண்ணின் வர்க்கமூலம் (எண்கணித வர்க்கமூலம்) என்பது எதிர்மில்லாத எண்ணாகும், அதன் வர்க்கம் சமமாக இருக்கும்.
   .
2. ஒரு பொருளின் வர்க்க மூலத்தை நாம் எடுத்துக் கொண்டால், எப்போதும் எதிர்மறையான முடிவு ஒன்று கிடைக்கும்.
3. எண்கணித மூலத்தின் பண்புகள்:
4. சதுர வேர்களை ஒப்பிடும் போது, ​​ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் பெரிய எண், ரூட் தன்னை பெரியதாக நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

வர்க்கமூலம் எப்படி இருக்கிறது? அனைத்தும் தெளிவாக?

ஸ்கொயர் ரூட் பற்றி தேர்வில் நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அனைத்தையும் சலசலப்பு இல்லாமல் உங்களுக்கு விளக்க முயற்சித்தோம்.

இது உங்கள் முறை. இந்த தலைப்பு உங்களுக்கு கடினமாக இருக்கிறதா இல்லையா என்பதை எங்களுக்கு எழுதுங்கள்.

நீங்கள் புதிதாக ஏதாவது கற்றுக்கொண்டீர்களா அல்லது எல்லாம் ஏற்கனவே தெளிவாக இருந்ததா?

கருத்துகளில் எழுதுங்கள் மற்றும் உங்கள் தேர்வுகளுக்கு வாழ்த்துக்கள்!

இந்த கட்டுரையில் நாம் அறிமுகப்படுத்துவோம் எண்ணின் மூலத்தின் கருத்து. நாம் தொடர்ச்சியாக தொடர்வோம்: நாம் சதுர மூலத்துடன் தொடங்குவோம், அங்கிருந்து கன மூலத்தின் விளக்கத்திற்குச் செல்வோம், அதன் பிறகு ஒரு மூலத்தின் கருத்தை பொதுமைப்படுத்துவோம், n வது மூலத்தை வரையறுப்போம். அதே நேரத்தில், நாங்கள் வரையறைகள், குறியீடுகளை அறிமுகப்படுத்துவோம், வேர்களின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம் மற்றும் தேவையான விளக்கங்கள் மற்றும் கருத்துகளை வழங்குவோம்.

சதுர வேர், எண்கணித வர்க்கமூலம்

ஒரு எண்ணின் மூலத்தின் வரையறை மற்றும் குறிப்பாக வர்க்க மூலத்தைப் புரிந்து கொள்ள, உங்களிடம் இருக்க வேண்டும். இந்த கட்டத்தில் நாம் அடிக்கடி ஒரு எண்ணின் இரண்டாவது சக்தியை சந்திப்போம் - ஒரு எண்ணின் வர்க்கம்.

ஆரம்பிப்போம் வர்க்க மூல வரையறைகள்.

வரையறை

a இன் சதுர வேர்சதுரம் a க்கு சமமான எண்.

கொண்டு வருவதற்காக சதுர வேர்களின் எடுத்துக்காட்டுகள், பல எண்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, 5, −0.3, 0.3, 0, மற்றும் அவற்றை சதுரப்படுத்தினால், முறையே 25, 0.09, 0.09 மற்றும் 0 எண்களைப் பெறுகிறோம் (5 2 =5·5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 மற்றும் 0 2 =0·0=0 ). பின்னர், மேலே கொடுக்கப்பட்ட வரையறையின்படி, எண் 5 என்பது 25 என்ற எண்ணின் வர்க்க மூலமும், எண்கள் −0.3 மற்றும் 0.3 என்பது 0.09 இன் வர்க்க மூலமும், 0 என்பது பூஜ்ஜியத்தின் வர்க்க மூலமும் ஆகும்.

எந்த எண்ணுக்கும் a க்கு சமமான சதுரம் உள்ளது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். அதாவது, எந்த எதிர்மறை எண்ணுக்கும் a உண்மையான எண் b இல்லை, அதன் சதுரம் a க்கு சமம். உண்மையில், சமத்துவம் a=b 2 எந்த எதிர்மறை a க்கும் சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் b 2 என்பது எந்த b க்கும் எதிர்மறை எண்ணாக உள்ளது. இதனால், உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்கமூலம் இல்லை. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்கமூலம் வரையறுக்கப்படவில்லை மற்றும் எந்த அர்த்தமும் இல்லை.

இது ஒரு தர்க்கரீதியான கேள்விக்கு இட்டுச் செல்கிறது: "எந்த எதிர்மறை அல்லாத a க்கும் a இன் வர்க்கமூலம் உள்ளதா"? பதில் ஆம். வர்க்க மூலத்தின் மதிப்பைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தப்படும் ஆக்கபூர்வமான முறையால் இந்த உண்மையை நியாயப்படுத்த முடியும்.

அடுத்த தர்க்கரீதியான கேள்வி எழுகிறது: "ஒரு கொடுக்கப்பட்ட எதிர்மில்லாத எண்ணின் அனைத்து வர்க்க மூலங்களின் எண் என்ன - ஒன்று, இரண்டு, மூன்று அல்லது இன்னும் அதிகமாக"? பதில் இதோ: a என்பது பூஜ்ஜியம் என்றால், பூஜ்ஜியத்தின் ஒரே வர்க்கமூலம் பூஜ்ஜியம்; a என்பது நேர்மறை எண்ணாக இருந்தால், a எண்ணின் வர்க்க மூலங்களின் எண்ணிக்கை இரண்டு, மற்றும் வேர்கள் . இதை நியாயப்படுத்துவோம்.

a=0 வழக்கிலிருந்து ஆரம்பிக்கலாம். முதலில், பூஜ்ஜியம் என்பது பூஜ்ஜியத்தின் வர்க்கமூலம் என்பதைக் காட்டுவோம். இது வெளிப்படையான சமத்துவம் 0 2 =0·0=0 மற்றும் வர்க்க மூலத்தின் வரையறையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

இப்போது 0 என்பது பூஜ்ஜியத்தின் ஒரே வர்க்கமூலம் என்பதை நிரூபிப்போம். எதிர் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். பூஜ்ஜியத்தின் வர்க்க மூலமான சில பூஜ்ஜியமற்ற எண் b உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் நிபந்தனை b 2 =0 பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும், இது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் எந்த பூஜ்ஜியம் அல்லாத b 2 வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும். நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்துள்ளோம். பூஜ்ஜியத்தின் ஒரே வர்க்கமூலம் 0 என்பதை இது நிரூபிக்கிறது.

ஒரு நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும் நிகழ்வுகளுக்கு செல்லலாம். எதிர்மில்லாத எண்ணின் வர்க்கமூலம் எப்போதும் இருக்கும் என்று மேலே சொன்னோம், a இன் வர்க்கமூலம் b எண்ணாக இருக்கட்டும். ஒரு எண் c உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதுவும் a இன் வர்க்கமூலமாகும். பின்னர், ஒரு வர்க்க மூலத்தின் வரையறையின்படி, b 2 =a மற்றும் c 2 =a சமன்பாடுகள் உண்மை, இதில் இருந்து b 2 -c 2 =a−a=0, ஆனால் b 2 -c 2 =( b−c)·( b+c) , பின்னர் (b−c)·(b+c)=0 . இதன் விளைவாக சமத்துவம் செல்லுபடியாகும் உண்மையான எண்களுடன் செயல்பாடுகளின் பண்புகள் b−c=0 அல்லது b+c=0 எனும்போது மட்டுமே சாத்தியமாகும். எனவே, b மற்றும் c எண்கள் சமமாகவோ அல்லது எதிரெதிராகவோ இருக்கும்.

a என்ற எண்ணின் மற்றொரு வர்க்கமூலமான d என்ற எண் இருப்பதாகக் கருதினால், ஏற்கனவே கொடுக்கப்பட்டதைப் போன்றே பகுத்தறிவதன் மூலம், d என்பது b அல்லது c எண்ணுக்குச் சமம் என்பது நிரூபணமாகும். எனவே, நேர்மறை எண்ணின் வர்க்க மூலங்களின் எண்ணிக்கை இரண்டு, மற்றும் வர்க்க வேர்கள் எதிர் எண்கள்.

சதுர வேர்களுடன் பணிபுரியும் வசதிக்காக, எதிர்மறை மூலமானது நேர்மறை ஒன்றிலிருந்து "பிரிக்கப்படுகிறது". இந்த நோக்கத்திற்காக, இது அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது எண்கணித வர்க்க மூலத்தின் வரையறை.

வரையறை

எதிர்மில்லாத எண்ணின் எண்கணித வர்க்கமூலம் aஒரு எதிர்மில்லாத எண், அதன் சதுரம் a க்கு சமம்.

a இன் எண்கணித வர்க்க மூலத்திற்கான குறியீடு . இந்த அடையாளம் எண்கணித வர்க்க மூல அடையாளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது தீவிர அடையாளம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, நீங்கள் சில நேரங்களில் "ரூட்" மற்றும் "தீவிர" இரண்டையும் கேட்கலாம், அதாவது ஒரே பொருள்.

எண்கணித வர்க்கமூலக் குறியின் கீழ் உள்ள எண் அழைக்கப்படுகிறது தீவிர எண், மற்றும் மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு தீவிர வெளிப்பாடு, "தீவிர எண்" என்ற சொல் பெரும்பாலும் "தீவிர வெளிப்பாடு" மூலம் மாற்றப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, குறியீட்டில் எண் 151 ஒரு தீவிர எண், மற்றும் குறியீட்டில் a வெளிப்பாடு ஒரு தீவிர வெளிப்பாடு ஆகும்.

படிக்கும் போது, ​​"எண்கணிதம்" என்ற வார்த்தை பெரும்பாலும் தவிர்க்கப்படுகிறது, உதாரணமாக, நுழைவு "ஏழு புள்ளி இருபத்தி ஒன்பதில் வர்க்கமூலம்" என்று படிக்கப்படுகிறது. ஒரு எண்ணின் நேர்மறை வர்க்க மூலத்தைப் பற்றி நாம் குறிப்பாகப் பேசுகிறோம் என்பதை அவர்கள் வலியுறுத்த விரும்பும் போது மட்டுமே "எண்கணிதம்" என்ற வார்த்தை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டின் வெளிச்சத்தில், இது ஒரு எண்கணித வர்க்க மூலத்தின் வரையறையில் இருந்து பின்தொடர்கிறது, அது எந்த எதிர்மில்லாத எண்ணுக்கும் a .

நேர்மறை எண்ணின் சதுர வேர்கள் மற்றும் என எண்கணித வர்க்க மூல அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, 13 இன் வர்க்க வேர்கள் மற்றும் . பூஜ்ஜியத்தின் எண்கணித வர்க்கமூலம் பூஜ்ஜியம், அதாவது, . எதிர்மறை எண்களுக்கு a, நாம் படிக்கும் வரை குறியீட்டுடன் அர்த்தத்தை இணைக்க மாட்டோம் சிக்கலான எண்கள். உதாரணமாக, வெளிப்பாடுகள் மற்றும் அர்த்தமற்றவை.

வர்க்க மூலத்தின் வரையறையின் அடிப்படையில், சதுர வேர்களின் பண்புகள் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன, அவை பெரும்பாலும் நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

இந்த புள்ளியின் முடிவில், a என்ற எண்ணின் வர்க்க வேர்கள் x என்ற மாறியைப் பொறுத்து x 2 =a வடிவத்தின் தீர்வுகள் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்.

ஒரு எண்ணின் கனசதுரம்

கன மூலத்தின் வரையறை A என்ற எண்ணின் வர்க்க மூலத்தின் வரையறையைப் போலவே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இது ஒரு எண்ணின் கனசதுரத்தின் கருத்தை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டது, ஒரு சதுரம் அல்ல.

வரையறை

ஒரு கனசதுர வேர்கனசதுரத்திற்கு சமமான ஒரு எண்ணாகும்.

கொடுப்போம் கனசதுர வேர்களின் எடுத்துக்காட்டுகள். இதைச் செய்ய, பல எண்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, 7, 0, −2/3, மற்றும் அவற்றை கனசதுரமாக மாற்றவும்: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . பின்னர், ஒரு கன மூலத்தின் வரையறையின் அடிப்படையில், எண் 7 என்பது 343 இன் கன மூலமும், 0 என்பது பூஜ்ஜியத்தின் கன மூலமும், −2/3 என்பது −8/27 இன் கன மூலமும் என்று கூறலாம்.

ஒரு எண்ணின் க்யூப் ரூட், வர்க்க மூலத்தைப் போலல்லாமல், எதிர்மறை அல்லாத a க்கு மட்டுமின்றி, எந்த ஒரு உண்மையான எண்ணுக்கும் எப்போதும் இருப்பதைக் காட்டலாம். இதைச் செய்ய, சதுர வேர்களைப் படிக்கும்போது நாங்கள் குறிப்பிட்ட அதே முறையை நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மேலும், கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு கன வேர் மட்டுமே உள்ளது a. கடைசி அறிக்கையை நிரூபிப்போம். இதைச் செய்ய, மூன்று நிகழ்வுகளை தனித்தனியாகக் கருதுங்கள்: a என்பது நேர்மறை எண், a=0 மற்றும் a என்பது எதிர்மறை எண்.

a நேர்மறையாக இருந்தால், a இன் கன மூலமானது எதிர்மறை எண்ணாகவோ அல்லது பூஜ்ஜியமாகவோ இருக்க முடியாது என்பதைக் காண்பிப்பது எளிது. உண்மையில், b என்பது a இன் கன மூலமாக இருக்கட்டும், பின்னர் வரையறையின்படி நாம் சமத்துவத்தை b 3 =a எழுதலாம். இந்த சமத்துவம் எதிர்மறை b மற்றும் b=0 க்கு உண்மையாக இருக்க முடியாது என்பது தெளிவாகிறது, ஏனெனில் இந்த நிகழ்வுகளில் b 3 =b·b·b முறையே எதிர்மறை எண் அல்லது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். எனவே a நேர்மறை எண்ணின் கன மூலமானது நேர் எண்ணாகும்.

இப்போது b என்ற எண்ணுக்கு கூடுதலாக a என்ற எண்ணின் மற்றொரு கன மூலமும் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதை c என்று குறிப்பிடுவோம். பின்னர் c 3 = a. எனவே, b 3 -c 3 =a−a=0, ஆனால் b 3 -c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(இது சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரம் க்யூப்ஸ் வேறுபாடு), இதில் இருந்து (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. இதன் விளைவாக சமத்துவம் b−c=0 அல்லது b 2 +b·c+c 2 =0 போது மட்டுமே சாத்தியமாகும். முதல் சமத்துவத்தில் இருந்து நமக்கு b=c உள்ளது, மற்றும் இரண்டாவது சமத்துவத்திற்கு தீர்வுகள் இல்லை, ஏனெனில் அதன் இடது பக்கம் எந்த நேர்மறை எண்களான b மற்றும் c ஆகிய மூன்று நேர்மறை சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாக நேர்மறை எண்ணாக உள்ளது b 2, b·c மற்றும் c 2. நேர்மறை எண்ணின் கன மூலத்தின் தனித்துவத்தை இது நிரூபிக்கிறது.

a=0 ஆக இருக்கும் போது, ​​a எண்ணின் கன மூலமானது பூஜ்ஜிய எண் மட்டுமே. உண்மையில், பூஜ்ஜியத்தின் பூஜ்ஜியமற்ற கனசதுர மூலமான ஒரு எண் b இருப்பதாகக் கருதினால், b 3 =0 சமத்துவம் இருக்க வேண்டும், இது b=0 இல் மட்டுமே சாத்தியமாகும்.

எதிர்மறை a க்கு, நேர்மறை a க்கான வழக்கு போன்ற வாதங்கள் கொடுக்கப்படலாம். முதலில், எதிர்மறை எண்ணின் கன மூலமானது நேர்மறை எண் அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்க முடியாது என்பதைக் காட்டுகிறோம். இரண்டாவதாக, எதிர்மறை எண்ணின் இரண்டாவது கனசதுர ரூட் இருப்பதாகக் கருதி, அது முதல் எண்ணுடன் கண்டிப்பாக ஒத்துப்போகும் என்பதைக் காட்டுகிறோம்.

எனவே, எப்பொழுதும் கொடுக்கப்பட்ட உண்மையான எண்ணின் கன மூலமும் ஒரு தனித்தன்மையும் இருக்கும்.

கொடுப்போம் எண்கணித கன மூலத்தின் வரையறை.

வரையறை

எதிர்மில்லாத எண்ணின் எண்கணித கனமூலம் aஒரு எதிர்மில்லாத எண், அதன் கனசதுரம் a க்கு சமம்.

ஒரு எதிர்மில்லாத எண்ணின் எண்கணித கன மூலத்தை குறிப்பது , குறி எண்கணித கன மூலத்தின் அடையாளம் என அழைக்கப்படுகிறது, இந்த குறியீட்டில் எண் 3 அழைக்கப்படுகிறது ரூட் இன்டெக்ஸ். மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண் தீவிர எண், மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு தீவிர வெளிப்பாடு.

எண்கணித க்யூப் ரூட் என்பது எதிர்மில்லாத எண்களுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டாலும், எண்கணித க்யூப் ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் எதிர்மறை எண்கள் காணப்படும் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துவதும் வசதியானது. நாம் அவற்றைப் பின்வருமாறு புரிந்துகொள்வோம்: , a என்பது நேர்மறை எண். உதாரணத்திற்கு, .

வேர்களின் பண்புகள் என்ற பொதுக் கட்டுரையில் க்யூப் வேர்களின் பண்புகளைப் பற்றிப் பேசுவோம்.

ஒரு கனசதுரத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது ஒரு கனசதுர மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது: இந்தச் செயல் வேர்களைப் பிரித்தெடுக்கும் கட்டுரையில் விவாதிக்கப்படுகிறது: முறைகள், எடுத்துக்காட்டுகள், தீர்வுகள்.

இந்த புள்ளியை முடிக்க, எண்ணின் கன மூலமானது x 3 =a வடிவத்தின் தீர்வு என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

nth root, n பட்டத்தின் எண்கணித வேர்

ஒரு எண்ணின் மூலத்தின் கருத்தை பொதுமைப்படுத்துவோம் - நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம் n வது மூலத்தின் வரையறை n க்கான.

வரையறை

a இன் nth வேர் n வது சக்தி a க்கு சமமாக இருக்கும் எண்ணாகும்.

இந்த வரையறையில் இருந்து, எண்ணின் முதல் டிகிரி வேர் எண் a என்பது தெளிவாகிறது, ஏனெனில் இயற்கையான அடுக்குடன் பட்டத்தை படிக்கும் போது நாம் 1 =a எடுத்தோம்.

மேலே n=2 மற்றும் n=3 - வர்க்கமூலம் மற்றும் கன மூலத்திற்கான nவது மூலத்தின் சிறப்பு நிகழ்வுகளைப் பார்த்தோம். அதாவது, ஒரு வர்க்கமூலம் என்பது இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரு மூலமும், ஒரு கனசதுர மூலமானது மூன்றாம் பட்டத்தின் ஒரு மூலமும் ஆகும். n=4, 5, 6, ...க்கான nth டிகிரியின் வேர்களைப் படிக்க, அவற்றை இரண்டு குழுக்களாகப் பிரிப்பது வசதியானது: முதல் குழு - சம அளவுகளின் வேர்கள் (அதாவது, n = 4, 6, 8 க்கு , ...), இரண்டாவது குழு - வேர்கள் ஒற்றைப்படை டிகிரி (அதாவது, n=5, 7, 9, ... உடன்). இரட்டைப்படைகளின் வேர்கள் சதுர வேர்களைப் போலவே இருப்பதே இதற்குக் காரணம். அவற்றை ஒவ்வொன்றாக சமாளிப்போம்.

இரட்டை எண்களான 4, 6, 8, ஆகிய எண்களின் வேர்களுடன் ஆரம்பிக்கலாம் ... நாம் ஏற்கனவே கூறியது போல், அவை எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைப் போலவே இருக்கும். அதாவது, a என்ற எண்ணின் எந்த சமமான பட்டத்தின் மூலமும் எதிர்மறை அல்லாத a க்கு மட்டுமே உள்ளது. மேலும், a=0 எனில், a இன் வேர் தனித்தன்மை வாய்ந்தது மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமானது, a>0 எனில், a என்ற எண்ணின் சம அளவு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன, மேலும் அவை எதிர் எண்களாகும்.

கடைசி அறிக்கையை உறுதிப்படுத்துவோம். b என்பது a எண்ணின் இரட்டை வேராக இருக்கட்டும் (அதை 2·m எனக் குறிப்பிடுகிறோம், m என்பது சில இயற்கை எண்). ஒரு எண் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் - a எண்ணிலிருந்து டிகிரி 2·m இன் மற்றொரு வேர். பின்னர் b 2·m -c 2·m =a−a=0 . ஆனால் b 2 m -c 2 m = (b−c) (b+c) படிவம் நமக்குத் தெரியும். (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), பின்னர் (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. இந்த சமத்துவத்திலிருந்து அது b−c=0, அல்லது b+c=0, அல்லது b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. முதல் இரண்டு சமத்துவங்கள் b மற்றும் c எண்கள் சமம் அல்லது b மற்றும் c எதிரெதிர். மற்றும் கடைசி சமத்துவம் b=c=0 க்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும், ஏனெனில் அதன் இடது பக்கத்தில் எதிர்மில்லாத எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எந்த b மற்றும் c க்கும் எதிர்மறையான வெளிப்பாடு உள்ளது.

ஒற்றைப்படை nக்கான n வது பட்டத்தின் வேர்களைப் பொறுத்தவரை, அவை கன மூலத்தைப் போலவே இருக்கும். அதாவது, எந்த ஒரு எண்ணின் ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் மூலமும் எந்த ஒரு உண்மையான எண்ணுக்கும் உள்ளது, மேலும் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணுக்கு அது தனித்துவமானது.

ஒற்றைப் பட்டம் 2·m+1 என்ற எண்ணின் தனித்தன்மை a இன் கன மூலத்தின் தனித்தன்மையின் ஆதாரத்துடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. சமத்துவத்திற்குப் பதிலாக இங்கே மட்டுமே a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) b 2 m+1 -c 2 m+1 = வடிவத்தின் சமத்துவம் பயன்படுத்தப்படுகிறது (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). கடைசி அடைப்புக்குறியில் உள்ள வெளிப்பாட்டை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம் b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). எடுத்துக்காட்டாக, m=2 உடன் நம்மிடம் உள்ளது b 5 -c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). a மற்றும் b இரண்டும் நேர்மறையாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருக்கும் போது, ​​அவற்றின் தயாரிப்பு நேர்மறை எண்ணாகும், பின்னர் அதிக உள்ளமைக்கப்பட்ட அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு b 2 +c 2 +b·c நேர்மறை எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக நேர்மறையாக இருக்கும். இப்போது, ​​கூடு கட்டும் முந்தைய டிகிரி அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடுகளுக்கு வரிசையாக நகரும், அவை நேர்மறை எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகவும் நேர்மறையாக இருப்பதை நாங்கள் நம்புகிறோம். இதன் விளைவாக, சமத்துவம் b 2 m+1 -c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 b−c=0, அதாவது b எண் c எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும்போது மட்டுமே சாத்தியமாகும்.

n வது வேர்களின் குறியீட்டைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது. இந்த நோக்கத்திற்காக இது வழங்கப்படுகிறது nth பட்டத்தின் எண்கணித மூலத்தின் வரையறை.

வரையறை

எதிர்மில்லாத எண்ணின் nவது பட்டத்தின் எண்கணித வேர் aஒரு எதிர்மில்லாத எண்ணாகும், அதன் n வது சக்தி a க்கு சமம்.