ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகள். ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துதல்

1. வழித்தோன்றல் மற்றும் வேறுபாடு. ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் வேறுபாட்டின் வரையறைகள் ஒரு உண்மையான மாறியின் செயல்பாடுகளுக்கான தொடர்புடைய வரையறைகளுடன் உண்மையில் ஒத்துப்போகின்றன.

செயல்படட்டும் w = f(z) = மற்றும் + ivசில சுற்றுப்புறங்களில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது யுபுள்ளிகள் zoசுயேச்சை மாறியை தருவோம் z = x + குஅதிகரிப்பு ஏ z= ஏ.ஜி + காவ்,சுற்றியுள்ள பகுதிக்கு வெளியே செல்லாது யு.பின்னர் செயல்பாடு w = f(z)அதற்குரிய அதிகரிப்பு கிடைக்கும் Aw = = f(z 0 + Dg) - f(z 0).

zq புள்ளியில் w = f(z) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்செயல்பாடு அதிகரிப்பு விகிதத்தின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது அடவாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு ஏ zமுயற்சி செய்யும் போது அஸ்பூஜ்ஜியத்திற்கு (தன்னிச்சையான முறையில்).

வழித்தோன்றல் குறிக்கப்படுகிறது f"(z Q), wஅல்லது y-. வழித்தோன்றலின் வரையறையை இவ்வாறு எழுதலாம்

(6.1) இல் வரம்பு இல்லாமல் இருக்கலாம்; பின்னர் செயல்பாடு என்று கூறுகிறார்கள் w = f(z) zq புள்ளியில் வழித்தோன்றல் இல்லை.

செயல்பாடு டபிள்யூ = f(z)அழைக்கப்பட்டது Zq புள்ளியைப் பற்றி வேறுபடுத்தலாம், இது சில சுற்றுப்புறங்களில் வரையறுக்கப்பட்டால் யுபுள்ளிகள் zq மற்றும் அதன் அதிகரிப்பு அடவடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்

ஒரு கலப்பு எண் எங்கே எல் A g ஐச் சார்ந்து இல்லை, மேலும் a(Ag) செயல்பாடு எண்ணற்றது அஸ்-» 0, அதாவது. Pm a(Ag) = 0.

ஒரு உண்மையான மாறியின் செயல்பாடுகளைப் போலவே, செயல்பாடும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது f(z)புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது zq என்றால் மற்றும் அதில் ஒரு வழித்தோன்றல் இருந்தால் மட்டுமே zo. மற்றும் A = f"(zo).வெளிப்பாடு f"(zo)Azஅழைக்கப்பட்டது Zq புள்ளியில் f(z) செயல்பாட்டின் வேறுபாடுமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது dwஅல்லது df(zo).இந்த வழக்கில், அதிகரிப்பு அஸ்சார்பற்ற மாறியின் -r ஆனது r மற்றும் மாறியின் வேறுபாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது

மூலம் குறிக்கப்படுகிறது dz.இதனால்,

வேறுபாடு என்பது செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் முக்கிய நேரியல் பகுதியாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 6.1. செயல்பாடு உள்ளதா என்பதை ஆராயுங்கள் டபிள்யூ=/(ஆர்) = ஆர் ezஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி Zq இல் வழித்தோன்றல்.

தீர்வு. நிபந்தனையின்படி, w = Rea = எக்ஸ்.வழித்தோன்றலின் வரையறையின் காரணமாக, வரம்பு (C.1) எந்தப் பாதையைச் சார்ந்து இருக்கக்கூடாது

புள்ளி z = Zq + Azநெருங்கி வது A இல் z-? 0. முதலில் A ஐ எடுத்துக் கொள்வோம் z - ஆ(படம் 15, அ). ஏனெனில் அவ் = ஆபின்னர் = 1. என்றால்

ஏ எடுக்க z = iAy(படம் 15, பி), அந்த ஓ= 0 மற்றும் எனவே அட = 0.

இதன் பொருள் u = 0. எனவே, உறவு எப்போது காட்டிக் கொடுக்கப்படும் அஸ்-> 0 இல்லை ஏ zஏ z

உள்ளது எனவே செயல்பாடு டபிள்யூ= Re g = எக்ஸ்எந்த நிலையிலும் வழித்தோன்றல் இல்லை.

அதே நேரத்தில் செயல்பாடு w = z = எக்ஸ் + iy,வெளிப்படையாக எந்த புள்ளியிலும் ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது r, மற்றும் /"(th) = 1. இங்கிருந்து, f(r) வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகள் தன்னிச்சையாக இருக்க முடியாது என்பது தெளிவாகிறது; அவை சில கூடுதல் உறவுகளால் இணைக்கப்பட வேண்டும். இந்த உறவுகள் எழுகின்றன, ஏனெனில் வழித்தோன்றலின் இருப்புக்கான நிபந்தனை /"(0) ஒரு உண்மையான மாறியின் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றலின் இருப்புக்கான நிபந்தனையை விட கணிசமாக மிகவும் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது அல்லது பல உண்மையான மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்: இது தேவைப்படுகிறது. (6.1) இல் வரம்பு உள்ளது மற்றும் பாதையைச் சார்ந்து இல்லை, அதன்படி r = r + Ar புள்ளி r ஐ Ar 0 ஆக அணுகுகிறது. இந்த உறவுகளைப் பெற, இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வேறுபாடு வரையறையை நினைவுபடுத்தவும்.

உண்மையான செயல்பாடு u = u(x,y)உண்மையான மாறிகள் எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குஒரு கட்டத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று அழைக்கப்படுகிறது ரோ(ஹோ,ஓ),புள்ளி D> இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் அது வரையறுக்கப்பட்டு அதன் மொத்த அதிகரிப்பு A ஆக இருந்தால் மற்றும் = அவர்களது o + ஓ, ஓ+ ஏ y) - மற்றும் (ho, Uo)வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது

எங்கே INமற்றும் உடன்- உண்மையான எண்கள் ஜே , ஏய்,ஏ {3 ஓமற்றும் ஏய்,மணிக்கு பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது ஓ -» 0, ஏய்-> 0.

செயல்பாடு என்றால் மற்றும் Po என்ற புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது, பின்னர் அதில் a உள்ளது

ஜி," di(பி 0)^ டி(ரோ)ஜிடி ,

Po இல் உள்ள ny வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் IN= ---, C = ---. ஆனால் (வேறு

ஓ ஓ

ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளிலிருந்து) செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களின் இருப்பிலிருந்து u(x,y)அதன் வேறுபாடு இன்னும் பின்பற்றப்படவில்லை.

2. Cauchy-Riemann நிலைமைகள்.

தேற்றம் 6.1. செயல்பாடு w = சிக்கலான மாறி z இன் f(z).= (எஃப், y) புள்ளியின் அருகில் வரையறுக்கப்படுகிறது, zq= (ஜோ, y o) மற்றும் f(z) = u(x,y) +iv(x, y). Zq புள்ளியில் f(z) வேறுபடுத்தப்படுவதற்கு, u(x, y) XI v(x, y) செயல்பாடுகள் புள்ளியில் வேறுபடுவது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது.(ஜோ, oo) மற்றும் இந்த கட்டத்தில் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன

சமன்பாடுகள் (6.4) என்று அழைக்கப்படுகின்றன Cauchy-Riemann நிலைமைகள் .

ஆதாரம். அவசியம். செயல்படட்டும் w = f(z) zq புள்ளியில் வேறுபடுகிறது, அதாவது.

குறிப்போம் f"(zo) = a + ib a(Dg) = fi(Ax, Ау)+ g7(J, அய்); அஸ் = ஆ + (அட,எங்கே /3 மற்றும் 7 - மாறிகளின் உண்மையான செயல்பாடுகள் ஆ, ஓ J -> 0 ஆக பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது, அய் -> 0. இந்த சமத்துவங்களை (6.5) மாற்றியமைத்து, உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளைப் பிரிப்பதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

கலப்பு எண்களின் சமத்துவம் அவற்றின் உண்மையான மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளின் சமத்துவத்திற்குச் சமமாக இருப்பதால், (6.6) சமத்துவ அமைப்புக்கு சமம்

சமன்பாடுகள் (6.7) என்பது செயல்பாடுகளைக் குறிக்கிறது u(x,y), v(x,y)நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தவும் (6.3) எனவே, வேறுபடுத்தக்கூடியவை. J க்கான குணகங்கள் மற்றும் ஏய் w மற்றும் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களுக்கு சமம் மணிக்குஅதன்படி, (6.7) இலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்

எங்கிருந்து நிபந்தனைகள் (6.4) பின்பற்றப்படுகின்றன.

போதுமானது. இப்போது செயல்பாடுகள் என்று வைத்துக் கொள்வோம் u(x, y)மற்றும் v(x,y)ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியது (ho.oo)மற்றும் u(x,y)மற்றும் நிபந்தனைகள் (6.4) திருப்திகரமாக உள்ளன.

a = ^, 6 = -^ ஆகியவற்றைக் குறிக்கும் மற்றும் (6.4) பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் சமநிலைகளை (6.8) அடைகிறோம். இலிருந்து (6.8) மற்றும் செயல்பாடுகளின் வேறுபாட்டின் நிலை u(x,y), v(x,y)எங்களிடம் உள்ளது

எங்கே அடி, 7i, அடி, ஈ-2 - செயல்பாடுகள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஆ -> 0, அய் ->-> 0. இங்கிருந்து

ஒரு + iAv= (o + ib)(ஆ + i.Ay)+ (ft + ift)Ax + (71 + *72) ஏய்.(6.9) சமத்துவத்தால் a(Dr) செயல்பாட்டை வரையறுப்போம்

மற்றும் வைத்து ஏ = ஏ 4- ib.பின்னர் (6.9) சமத்துவமாக மீண்டும் எழுதப்படும்

(6.2) உடன் ஒத்துப்போகிறது. வித்தியாசத்தை நிரூபிக்கும் நாள்

செயல்பாடுகள் f(z) lim a(Az) = 0. சமத்துவத்திலிருந்து

அதை பின்பற்றுகிறது ஓ^ |Dg|, ஏய்^ |Dg|. அதனால் தான்

என்றால் அஸ்-? 0, பின்னர் ஓ-? 0, ஏய்-> 0, அதாவது ft, ft, 71, 72 ஆகிய செயல்பாடுகள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். எனவே a(Dr) -> 0 at அஸ்-> 0, மற்றும் தேற்றம் 6.1 இன் ஆதாரம் முடிந்தது.

எடுத்துக்காட்டு 6.2. செயல்பாடு உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியவும் டபிள்யூ = z 2 வேறுபடுத்தக்கூடியது; அப்படியானால், எந்த புள்ளிகளில்?

தீர்வு, w = u + iv = (x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2xy,எங்கே மற்றும் = = x 2 - y 2, V = 2xy.எனவே,

இவ்வாறு, Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள் (6.4) ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் திருப்தி அடைகின்றன; அதாவது செயல்பாடு w = g 2 C இல் வேறுபடுத்தப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 6.3. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டை ஆராயுங்கள் டபிள்யூ = - z - x - iy.

தீர்வு. w = u + iv = x - iy,எங்கே u = x, v = -yமற்றும்

எனவே, Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள் எந்த நிலையிலும் திருப்தி அடையவில்லை, எனவே செயல்பாடு w = zஎங்கும் வேறுபடுத்த முடியாது.

நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைச் சரிபார்க்கலாம் மற்றும் ஃபார்முலா (6.1) ஐப் பயன்படுத்தி நேரடியாக வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 6.4. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (6.1), செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டை ஆராயுங்கள் IV = z 2.

தீர்வு. ஏ w- (zq + A z) 2- Zq = 2 zqAz -I- (ஏ z) 2,எங்கே

எனவே, செயல்பாடு டபிள்யூ = zrஎந்த புள்ளியிலும் 2o, மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் வேறுபடும் f"(zo) =2 zo-

வரம்புகளின் முக்கிய கோட்பாடுகள் சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளுக்குப் பாதுகாக்கப்படுவதால், ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரையறையும் உண்மையான மாறியின் செயல்பாடுகளுக்கான தொடர்புடைய வரையறையிலிருந்து வேறுபடுவதில்லை, பின்னர் நன்கு அறியப்பட்ட விதிகள் தொகை, வேறுபாடு, தயாரிப்பு, பங்கு மற்றும் சிக்கலான செயல்பாடு ஆகியவற்றை வேறுபடுத்துவது ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளுக்கு செல்லுபடியாகும். அதேபோல, செயல்பட்டால் என்பதையும் நிரூபிக்க முடியும் f(z)புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது zoஇந்த கட்டத்தில் அது தொடர்ந்து இருக்கும்; உரையாடல் உண்மையல்ல.

3. பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள். செயல்பாடு டபிள்யூ= /(^புள்ளியில் மட்டுமே வேறுபடுத்தக்கூடியது zq, ஆனால் இந்த புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில், அழைக்கப்படுகிறது zq புள்ளியில் பகுப்பாய்வு.என்றால் f(z)பிராந்தியத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது டி,பின்னர் அது அழைக்கப்படுகிறது D டொமைனில் பகுப்பாய்வு (வழக்கமான, ஹோலோமார்பிக்)

வழித்தோன்றல்களின் பண்புகளிலிருந்து அது உடனடியாகப் பின்தொடர்கிறது என்றால் f(z)மற்றும் g(z)- துறையில் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் டி,பின்னர் செயல்பாடுகள் f(z) + g(z), f(z) - g(z), f(z) g(z)மேலும் துறையில் பகுப்பாய்வு டி,மற்றும் விகுதி f(z)/g(z)பிராந்தியத்தின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் பகுப்பாய்வு செயல்பாடு டி.இதில் g(z) f 0. எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாடு

கைவிடப்பட்ட புள்ளிகளுடன் C விமானத்தில் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது z= = 1 மற்றும் z - i.

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பற்றிய தேற்றத்திலிருந்து பின்வரும் அறிக்கை பின்வருமாறு: செயல்பாடு என்றால் மற்றும் = u(z) களத்தில் பகுப்பாய்வு ஆகும் டிமற்றும் காட்சிகள் டிபிராந்தியத்திற்கு டி"மாறி மற்றும், மற்றும் செயல்பாடு டபிள்யூ = f(u)துறையில் பகுப்பாய்வு டி", பின்னர் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு டபிள்யூ = f(u(z))மாறி zபகுப்பாய்வு உள்ள டி.

மூடிய டொமைனில் பகுப்பாய்வு செய்யும் செயல்பாட்டின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம் டி.இங்குள்ள திறந்த பகுதியிலிருந்து வித்தியாசம் என்னவென்றால், அக்கம்பக்கம் இல்லாத எல்லைப் புள்ளிகள் சேர்க்கப்படுகின்றன டி;எனவே இந்த புள்ளிகளில் வழித்தோன்றல் வரையறுக்கப்படவில்லை. செயல்பாடு f(z)அழைக்கப்பட்டது பகுப்பாய்வு (வழக்கமான, ஹோலோமார்பிக்) ஒரு மூடிய பகுதியில் டி, இந்த செயல்பாட்டை சில பரந்த பகுதிக்கு நீட்டிக்க முடியுமானால் டிநான் கொண்டிருக்கும் டி,பகுப்பாய்வு செய்ய டிசெயல்பாடுகள்.

நிபந்தனைகள் (6.4) 18 ஆம் நூற்றாண்டில் மீண்டும் ஆய்வு செய்யப்பட்டன. டி'அலெம்பர்ட் மற்றும் ஆய்லர். எனவே, அவை சில நேரங்களில் d'Alembert-Euler நிலைமைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, இது வரலாற்றுக் கண்ணோட்டத்தில் மிகவும் சரியானது.

செயல்படட்டும் டபிள்யூ = f(Z) சில தொகுப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் Z 0 , சேர்ந்த ஈ, இந்த தொகுப்பின் வரம்பு புள்ளி. சேர்ப்போம் Z 0 = எக்ஸ் 0 + நான்· ஒய் 0 அதிகரிப்பு Δ Z = Δ எக்ஸ்+ நான்· Δ ஒய்சுட்டிக்காட்ட Z = Z 0 + Δ Zபலருக்கு சொந்தமானது ஈ. பின்னர் செயல்பாடு டபிள்யூ = u+ நான்· v = f(Z) = u(எக்ஸ், ஒய்)+ நான்· v(எக்ஸ், ஒய்). நாம் அதிகரிப்பு Δ கிடைக்கும் டபிள்யூ = Δ u+ நான்· Δ v = f(Z 0 + Δ Z) - f(Z 0 ) = Δ f(Z 0 ) ,
.

வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பு இருந்தால்
, பின்னர் அது அழைக்கப்படுகிறது ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்f(Z) புள்ளியில்Z 0 பலரால்ஈ, மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது
,
,
, டபிள்யூ" .

முறையாக, ஒரு சிக்கலான மாறியின் வழித்தோன்றல் செயல்பாடு ஒரு உண்மையான மாறியின் வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டின் அதே வழியில் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் அவற்றின் உள்ளடக்கம் வேறுபட்டது.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரையறையில் f(எக்ஸ்) ஒரு புள்ளியில் உண்மையான மாறி எக்ஸ் 0 , எக்ஸ்→ x 0 ஒரு நேர் கோட்டில். ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தில் f(Z), Zபாடுபடலாம் Z 0 ஒரு புள்ளிக்கு செல்லும் எந்த விமானப் பாதையிலும் Z 0 .

எனவே, ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் இருப்புக்கான தேவை மிகவும் கடுமையானது. சிக்கலான மாறியின் எளிய செயல்பாடுகளுக்கு கூட வழித்தோன்றல் இல்லை என்பதை இது விளக்குகிறது.

உதாரணமாக.

செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் டபிள்யூ = = எக்ஸ்- நான்· ஒய். இந்தச் சார்பு எந்த நிலையிலும் வழித்தோன்றல் இல்லை என்பதைக் காட்டுவோம். எந்தப் புள்ளியையும் எடுத்துக் கொள்வோம் Z 0 = எக்ஸ் 0 + நான்· ஒய் 0 , அதற்கு ஒரு அதிகரிப்பு Δ கொடுப்போம் Z = Δ எக்ஸ்+ நான்· Δ ஒய், பின்னர் செயல்பாடு ஒரு அதிகரிப்பு பெறும். பொருள்

,
,

முதலில் Δ ஐக் கருத்தில் கொள்வோம் Z = Δ எக்ஸ் + நான்· Δ ஒய்அத்தகைய Δ எக்ஸ் → 0 , மற்றும் Δ ஒய் = 0 , அதாவது புள்ளி Z 0 + Δ Z → Z 0 ஒரு கிடைமட்ட நேர்கோட்டில். இந்த விஷயத்தில் நாம் அதைப் பெறுகிறோம்

நாம் இப்போது அதிகரிப்பு ∆ கருத்தில் கொள்வோம் Zஅத்தகைய ∆ எக்ஸ் = 0 , மற்றும் ∆ ஒய் → 0 , அதாவது எப்பொழுது Z 0 + ∆ Z→ Z 0 ஒரு செங்குத்து நேர் கோட்டில், அது தெளிவாக இருக்கும்
.

இதன் விளைவாக வரம்புகள் வேறுபட்டவை, எனவே விகிதம் இல் வரம்பு இல்லை ∆ Z → 0 , அதாவது செயல்பாடு
எந்த நிலையிலும் வழித்தோன்றல் இல்லை Z 0 .

ஒரு தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை வழித்தோன்றலின் பொருளைக் கண்டுபிடிப்போம். விடுங்கள் ஈஉண்மையான அச்சு, மற்றும் டபிள்யூ = f(Z) = எக்ஸ், இது ஒரு உண்மையான மாறியின் சாதாரண உண்மையான செயல்பாடு f(எக்ஸ்) = எக்ஸ்மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் சமமாக இருக்கும் 1 (
).

இப்போது விடுங்கள் ஈ- இது முழு விமானம் (Z). செயல்பாட்டைக் காட்டுவோம் f(Z) = எக்ஸ்இந்த வழக்கில் அது எந்த நிலையிலும் வழித்தோன்றல் இல்லை. உண்மையில், இந்த விஷயத்தில்
.இருந்தால் என்பது தெளிவாகிறது
ஏ
, அந்த
. என்றால்
, ஏ
, அந்த
.எனவே, அணுகுமுறை இல் வரம்பு இல்லை
, எனவே செயல்பாடு f(Z) = எக்ஸ்எந்த நிலையிலும் வழித்தோன்றல் இல்லை
.

ஒரு உண்மையான மாறியின் சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடு கருதப்பட்டால், அது உடனடியாக வழித்தோன்றலின் வரையறையிலிருந்து பின்தொடர்கிறது.
, எனவே, (இது உண்மையான அச்சில் உள்ள வழித்தோன்றல்).

செயல்பாடுகளை அதிகரிப்பதற்கான சூத்திரம்.

செயல்படட்டும் டபிள்யூ = f(Z) புள்ளியில் உள்ளது Z 0 வழித்தோன்றல்
. பிரதிநிதித்துவம் (1) அளவு எங்கே உள்ளது என்பதைக் காட்டுவோம்
, எப்பொழுது
.

உண்மையில், வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி நம்மிடம் உள்ளது
எனவே, மதிப்பு
, எப்பொழுது
. எனவே, பிரதிநிதித்துவம் (1) நடைபெறுகிறது (இரு பக்கமும் பெருக்கவும்
மற்றும் அதை நகர்த்தவும்
இடது பக்கம்).

விரிவுரை எண் 8 ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் வேறுபாடு மற்றும் வேறுபாடு

செயல்பாடு டபிள்யூ = f(Z) அழைக்கப்பட்டது புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியதுZ 0 , இந்த கட்டத்தில் பிரதிநிதித்துவம் (2) நடந்தால், எங்கே ஏ ஒரு நிலையான கலப்பு எண், மற்றும் அளவு
எப்போது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்
.

செயல்பாடு என்றால் டபிள்யூ = f(Z) புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது Z 0 , பின்னர் முதன்மை நேரியல் தொடர்புடையது
அதன் ஒரு பகுதி ஏ·
அதிகரிப்பு
புள்ளியில் Z 0 அழைக்கப்பட்டது வேறுபட்ட செயல்பாடு f(Z) புள்ளியில் மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது
.

தேற்றம் வைத்திருக்கிறது.

தேற்றம்.

செயல்பாட்டின் பொருட்டுடபிள்யூ = f(Z) புள்ளியில் வேறுபட்டதுZ 0 , இந்த கட்டத்தில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருப்பது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது
, மற்றும் அது எப்போதும் பிரதிநிதித்துவத்தில் மாறிவிடும் (2)
.

ஆதாரம்.

அவசியம்.புள்ளியில் செயல்பாடு வேறுபட்டதாக இருக்கட்டும் Z 0 . இந்த கட்டத்தில் இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருப்பதைக் காட்டுவோம், மேலும் இந்த வழித்தோன்றல் எண்ணுக்கு சமம் ஏ. வேறுபாடு காரணமாக f(Z) புள்ளியில் Z 0 பிரதிநிதித்துவம் (2) நடைபெறுகிறது, அதாவது
(3) இங்கே வரம்புக்கு செல்கிறது
நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம்
, பொருள்
.

போதுமானது.செயல்படட்டும் f(Z) புள்ளியில் உள்ளது Z 0 இறுதி வழித்தோன்றல்
. பிரதிநிதித்துவம் (2) உள்ளது என்பதைக் காட்டுவோம். வழித்தோன்றலின் இருப்பு காரணமாக
பிரதிநிதித்துவம் (1) நடைபெறுகிறது, ஆனால் இதுவும் பிரதிநிதித்துவம் (2), இதில் ஏ =
. போதுமான அளவு நிறுவப்பட்டுள்ளது.

நமக்குத் தெரிந்தபடி, வேறுபாடு, சுயாதீன மாறியின் வேறுபாடாக எடுத்துக்கொள்கிறது Z அதன் அதிகரிப்பு
, அதாவது, அனுமானம்
, நாம் எழுதலாம்
எனவே
(இது வேறுபாடுகளின் விகிதம், ஒரு சின்னம் அல்ல).

செயல்படட்டும் = u(x,y)+iv(x,y) புள்ளியின் அருகாமையில் வரையறுக்கப்படுகிறது z = எக்ஸ்+iy. மாறி என்றால் zஅதிகரிப்பு  z= எக்ஸ்+நான் ஒய், பின்னர் செயல்பாடு
ஒரு அதிகரிப்பு கிடைக்கும்


= (z+ z)–
=u(எக்ஸ்+ எக்ஸ், ஒய்+ ஒய்)+

+ iv(எக்ஸ்+ எக்ஸ், ஒய்+ ஒய்) - u(x,y) - iv(x,y) = [u(எக்ஸ்+ எக்ஸ், ஒய்+ ஒய்) –

– u(x,y)] + நான்[v(எக்ஸ்+ எக்ஸ், ஒய்+ ஒய்) - v(x,y)] =

= u(x,y) + நான் v(x,y).

வரையறை. வரம்பு இருந்தால்

=

,

இந்த வரம்பு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது
புள்ளியில் zமற்றும் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது f(z) அல்லது
. எனவே, வரையறையின்படி,

=

=

. (1.37)

செயல்பாடு என்றால்
புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது z, பிறகு செயல்பாடு என்று சொல்கிறார்கள்
புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது z. வெளிப்படையாக, செயல்பாடு வேறுபட்டதாக இருக்க வேண்டும்
செயல்பாடுகள் அவசியம் u(x,y) மற்றும் v(x,y) வித்தியாசமாக இருந்தது. இருப்பினும், வழித்தோன்றலின் இருப்புக்கு இது போதுமானதாக இல்லை f(z) உதாரணமாக, செயல்பாட்டிற்கு டபிள்யூ== எக்ஸ்–iyசெயல்பாடுகள் u(x,y)=எக்ஸ்

மற்றும் v(x,y)=–ஒய்அனைத்து புள்ளிகளிலும் வேறுபடக்கூடியது M( x,y), ஆனால் விகிதத்தின் வரம்பு
மணிக்கு  எக்ஸ்0,  ஒய்0 இல்லை, ஏனெனில் என்றால்  ஒய்= 0,  எக்ஸ் 0, பின்னர்  டபிள்யூ/ z= 1,

என்றால்  எக்ஸ் = 0,  ஒய் 0, பின்னர்  டபிள்யூ/z = -1.

ஒற்றை வரம்பு இல்லை. இதன் பொருள் செயல்பாடு

டபிள்யூ= எந்த நிலையிலும் வழித்தோன்றல் இல்லை z. சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இருப்பதற்கு, கூடுதல் நிபந்தனைகள் தேவை. சரியாக எவை? இந்த கேள்விக்கான பதில் பின்வரும் தேற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது.

தேற்றம்.செயல்பாடுகளை விடுங்கள் u(x,y) மற்றும் v(x,y) புள்ளி M( x,y) பின்னர் செயல்பாட்டின் பொருட்டு

= u(x,y) + iv(x,y)

புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றல் இருந்தது z = எக்ஸ்+iy, சமத்துவம் பேணுவதற்கு இது அவசியம் மற்றும் போதுமானது

சமன்பாடுகள் (1.38) Cauchy-Riemann நிலைமைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஆதாரம். 1) அவசியம். செயல்படட்டும்
புள்ளி z இல் ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது, அதாவது வரம்பு உள்ளது

=

=
.(1.39)

சமத்துவத்தின் வலது பக்க வரம்பு (1.39) புள்ளி எந்தப் பாதையில் செல்கிறது என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல  z =  எக்ஸ்+நான் ஒய்பாடுபடுகிறது

க்கு 0. குறிப்பாக, y = 0, x  0 (படம் 1.10), பின்னர்

x = 0, y  0 (படம் 1.11) என்றால்

(1.41)

படம்.1.10 படம். 1.11

சமத்துவங்களில் இடது பக்கங்கள் (1.40) மற்றும் (1.41) சமம். இதன் பொருள் வலது பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும்

அதைத் தொடர்ந்து வருகிறது

இவ்வாறு, வழித்தோன்றலின் இருப்பு அனுமானத்திலிருந்து f(z) சமத்துவம் (1.38) பின்வருமாறு, அதாவது, வழித்தோன்றலின் இருப்புக்கு Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள் அவசியம் f(z).

1) போதுமான அளவு. இப்போது சமத்துவங்கள் (1.38) திருப்தி அடைந்தன என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

இந்த வழக்கில் செயல்பாடு என்பதை நிரூபிக்கவும்
புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது z= எக்ஸ்+iy, அதாவது வரம்பு (1.39)

=

உள்ளது.

செயல்பாடுகள் இருந்து u(x,y) மற்றும் v(x,y) புள்ளி M( x,y), பின்னர் இந்தச் செயல்பாடுகளின் மொத்த அதிகரிப்பு புள்ளி M( x,y) வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்

எங்கே  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 மணிக்கு  எக்ஸ்0, ஒய்0.

ஏனெனில், (1.38)

எனவே,

=
,

 1 =  1 +நான் 1 0,  2 =  2 +நான் 2 0 மணிக்கு z =  எக்ஸ்+நான்ஒய்0.

இதனால்,

 முதல் z 2 =  எக்ஸ் 2 + ஒய் 2 , பிறகு  எக்ஸ்/ z1,  y/z1. அதனால் தான்

 மணிக்கு z  0.

சமத்துவத்தின் வலது பக்கம் (1.42) வரம்பு உள்ளது  z 0, எனவே, இடது பக்கத்திலும் வரம்பு உள்ளது  z 0, மற்றும் இந்த வரம்பு எந்த பாதையை சார்ந்தது அல்ல  z 0 ஆக முனைகிறது. இவ்வாறு, புள்ளியில் இருந்தால் அது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது M(x,y) நிபந்தனைகள் (1.38) பூர்த்தி செய்யப்பட்டன, பின்னர் செயல்பாடு
புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது z = எக்ஸ்+iy, மற்றும்

தேற்றம் முற்றிலும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் செயல்பாட்டில், சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு இரண்டு சூத்திரங்கள் (1.40) மற்றும் (1.42) பெறப்பட்டன.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (1.38) மேலும் இரண்டு சூத்திரங்களைப் பெறலாம்

, (1.43)

. (1.44)

செயல்பாடு என்றால் f(z) பகுதி D இன் அனைத்து புள்ளிகளிலும் ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது, பின்னர் செயல்பாடு என்று கூறுகிறோம்
டொமைன் D இல் வேறுபடுத்தக்கூடியது. இதற்கு, D டொமைனின் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள் திருப்திப்படுத்தப்படுவது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது.

உதாரணமாக. Cauchy-Riemann நிபந்தனைகளை சரிபார்க்கவும்

செயல்பாடுகள் இ z .

ஏனெனில் இ z = இ x+iy = இ எக்ஸ்(காஸ் ஒய் + நான்பாவம் ஒய்),

அந்த u(எக்ஸ், ஒய்) = ரீ இ z = இ எக்ஸ் cos ஒய், v(எக்ஸ், ஒய்) = இம் இ z = இ எக்ஸ்பாவம் ஒய்,

,
,

எனவே,

ஒரு செயல்பாட்டிற்கான Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள் இ zஅனைத்து புள்ளிகளிலும் நிறைவேற்றப்பட்டது z. எனவே செயல்பாடு இ zசிக்கலான மாறியின் முழுத் தளத்திலும் வேறுபடக்கூடியது, மற்றும்

வேறுபாடு சரியாக அதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது

செயல்பாடுகள் z n , cos z, பாவம் z, ch z, sh z, Ln z, மற்றும் சூத்திரங்களின் செல்லுபடியாகும்

(z n) = n z n-1, (காஸ் z) = -பாவம் z, (பாவம் z) = விலை z,

(ch z) = sh z, (ஷ z) = ch z, (Ln z) = 1/z.

ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளுக்கு, உண்மையான மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான அனைத்து விதிகளும் நடைமுறையில் இருக்கும். இந்த விதிகளின் ஆதாரம் உண்மையான மாறியின் செயல்பாடுகளைப் போலவே வழித்தோன்றலின் வரையறையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

தேற்றம்

செயல்பாட்டின் பொருட்டு டபிள்யூ = f(z) , சில பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது டிசிக்கலான விமானம், புள்ளியில் வேறுபட்டது z 0 = எக்ஸ் 0 + நான்ஒய் 0 ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடாக z, அதன் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகள் அவசியம் மற்றும் போதுமானது uமற்றும் vபுள்ளியில் வேறுபட்டது ( எக்ஸ் 0 ,ஒய் 0) உண்மையான மாறிகளின் செயல்பாடுகளாக எக்ஸ்மற்றும் ஒய்கூடுதலாக, இந்த கட்டத்தில் Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள் திருப்தி அடைகின்றன:

; ;

Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள் திருப்தி அடைந்தால், வழித்தோன்றல் f"(z) பின்வரும் படிவங்களில் ஏதேனும் ஒன்றைக் குறிப்பிடலாம்:

ஆதாரம்

விளைவுகள்

கதை

இந்த நிலைமைகள் முதன்முதலில் d'Alembert (1752) இன் வேலையில் தோன்றின, 1777 இல் செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க் அகாடமிக்கு அறிக்கை செய்யப்பட்டது, நிபந்தனைகள் முதலில் செயல்பாடுகளின் பகுப்பாய்வின் தன்மையைப் பெற்றன 1814 இல் பாரிஸ் அகாடமி ஆஃப் சயின்ஸுக்கு வழங்கப்பட்ட நினைவுக் குறிப்பிலிருந்து தொடங்கி, செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டை உருவாக்க இந்த உறவுகளைப் பயன்படுத்தியது. செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் அடித்தளத்தில் ரீமானின் புகழ்பெற்ற ஆய்வுக் கட்டுரை 1851 ஆம் ஆண்டிலிருந்து தொடங்குகிறது.

இலக்கியம்

ஷபாத் பி.வி.சிக்கலான பகுப்பாய்வு அறிமுகம். - எம்.: அறிவியல், . - 577 பக்.
டிச்மார்ஷ் ஈ.செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு: Transl. ஆங்கிலத்தில் இருந்து - 2வது பதிப்பு., திருத்தப்பட்டது. - எம்.: அறிவியல், . - 464 செ.
ப்ரிவலோவ் ஐ. ஐ.சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் அறிமுகம்: உயர் கல்விக்கான கையேடு. - எம்.-எல்.: ஸ்டேட் பப்ளிஷிங் ஹவுஸ், . - 316 பக்.
எவ்கிராஃபோவ் எம். ஏ.பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள். - 2வது பதிப்பு., திருத்தப்பட்டது. மற்றும் கூடுதல் - எம்.: அறிவியல், . - 472 செ.

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை. 2010.

மற்ற அகராதிகளில் "Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள்" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்:

ரீமான், டி'அலெம்பர்ட் ஆய்லர் நிலைமைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறார், ஒரு சிக்கலான மாறியின் வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளை இணைக்கும் உறவுகள். பொருளடக்கம் 1 வார்த்தைகள் ... விக்கிபீடியா

Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள், அல்லது D'Alembert Euler நிபந்தனைகள், உண்மையான u = u(x,y) மற்றும் கற்பனையான v = v(x,y) சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் பகுதிகள், f(ன் எல்லையற்ற தொடர்ச்சியான வேறுபாட்டை உறுதிசெய்கிறது. z) ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாக... ... விக்கிபீடியா

D Alembert Euler நிபந்தனைகள், உண்மையான u=u(x, y).மற்றும் கற்பனையான v=v(x, y).ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் பாகங்கள், ஒரு செயல்பாடாக f(z) இன் மோனோஜெனிட்டி மற்றும் பகுப்பாய்வை உறுதி செய்கிறது. ஒரு சிக்கலான மாறியின். செயல்பாட்டின் பொருட்டு w=f(z),…… கணித கலைக்களஞ்சியம்

அகஸ்டின் லூயிஸ் காச்சி அகஸ்டின் லூயிஸ் காச்சி ... விக்கிபீடியா

அகஸ்டின் லூயிஸ் கௌச்சி அகஸ்டின் லூயிஸ் காச்சி (பிரெஞ்சு அகஸ்டின் லூயிஸ் காச்சி; ஆகஸ்ட் 21, 1789, பாரிஸ் மே 23, 1857, சாக்ஸ் (ஈவ் டி செயின்)) பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர், பாரிஸ் அகாடமி ஆஃப் சயின்ஸின் உறுப்பினர், கணித பகுப்பாய்வுக்கான அடித்தளத்தை உருவாக்கினார். பகுப்பாய்வில் பெரும் பங்களிப்பு ... விக்கிபீடியா

ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் கருத்து

முதலில், ஒரு மாறியின் பள்ளி செயல்பாட்டைப் பற்றிய நமது அறிவைப் புதுப்பிப்போம்:

ஒரு மாறியின் சார்பு என்பது ஒரு விதியின்படி, சுயாதீன மாறியின் ஒவ்வொரு மதிப்பும் (வரையறையின் டொமைனில் இருந்து) செயல்பாட்டின் ஒரே ஒரு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கும். இயற்கையாகவே, "x" மற்றும் "y" ஆகியவை உண்மையான எண்கள்.

சிக்கலான வழக்கில், செயல்பாட்டு சார்பு இதேபோல் குறிப்பிடப்படுகிறது:

ஒரு சிக்கலான மாறியின் ஒற்றை-மதிப்புச் சார்பு என்பது ஒரு விதியின்படி சுயாதீன மாறியின் ஒவ்வொரு சிக்கலான மதிப்பும் (வரையறையின் டொமைனில் இருந்து) செயல்பாட்டின் ஒரே ஒரு சிக்கலான மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கும். கோட்பாடு பல-மதிப்பு மற்றும் வேறு சில வகையான செயல்பாடுகளையும் கருதுகிறது, ஆனால் எளிமைக்காக நான் ஒரு வரையறையில் கவனம் செலுத்துவேன்.

சிக்கலான மாறி செயல்பாட்டிற்கு என்ன வித்தியாசம்?

முக்கிய வேறுபாடு: சிக்கலான எண்கள். நான் முரண்பாடாக இல்லை. இதுபோன்ற கேள்விகள் பெரும்பாலும் மக்களை மயக்கத்தில் விடுகின்றன, கட்டுரையின் முடிவில் நான் உங்களுக்கு ஒரு வேடிக்கையான கதையைச் சொல்கிறேன். பாடத்தில் டம்மிகளுக்கான சிக்கலான எண்கள்வடிவத்தில் ஒரு கலப்பு எண்ணைக் கருதினோம். இப்போது "z" எழுத்து மாறி மாறிவிட்டதால், அதை பின்வருமாறு குறிப்பிடுவோம்: , "x" மற்றும் "y" ஆகியவை வெவ்வேறு உண்மையான மதிப்புகளைப் பெறலாம். தோராயமாகச் சொன்னால், ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடு மாறிகள் மற்றும் , இது "சாதாரண" மதிப்புகளைப் பொறுத்தது. இந்த உண்மையிலிருந்து பின்வரும் புள்ளி தர்க்கரீதியாக பின்வருமாறு:

சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதி

ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்:
, இரண்டு உண்மையான மாறிகளின் இரண்டு செயல்பாடுகள் எங்கே மற்றும் உள்ளன.

செயல்பாடு செயல்பாட்டின் உண்மையான பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.
செயல்பாடு செயல்பாட்டின் கற்பனை பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அதாவது, ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடு இரண்டு உண்மையான செயல்பாடுகள் மற்றும் . இறுதியாக எல்லாவற்றையும் தெளிவுபடுத்த, நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

தீர்வு: "zet" என்ற சுயாதீன மாறி, நீங்கள் நினைவில் வைத்திருப்பது போல், வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, எனவே:

(1) நாங்கள் மாற்றியமைத்தோம்.

(2) முதல் வார்த்தைக்கு, சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்பட்டது. காலப்பகுதியில், அடைப்புக்குறிகள் திறக்கப்பட்டுள்ளன.

(3) கவனமாக ஸ்கொயர், மறக்காமல்

(4) விதிமுறைகளை மீண்டும் ஒருங்கிணைத்தல்: முதலில் கற்பனை அலகு இல்லாத சொற்களை (முதல் குழு), பின்னர் இருக்கும் சொற்களை (இரண்டாம் குழு) மீண்டும் எழுதுகிறோம். விதிமுறைகளை மாற்றுவது அவசியமில்லை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், மேலும் இந்த படிநிலையைத் தவிர்க்கலாம் (உண்மையில் அதை வாய்வழியாகச் செய்வதன் மூலம்).

(5) இரண்டாவது குழுவிற்கு அதை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கிறோம்.

இதன் விளைவாக, எங்கள் செயல்பாடு வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது

பதில்:
- செயல்பாட்டின் உண்மையான பகுதி.
- செயல்பாட்டின் கற்பனை பகுதி.

இவை என்ன வகையான செயல்பாடுகளாக மாறியது? மிகவும் பிரபலமான இரண்டு மாறிகளின் மிகவும் சாதாரண செயல்பாடுகளை நீங்கள் காணலாம் பகுதி வழித்தோன்றல்கள். இரக்கமின்றி, அதைக் கண்டுபிடிப்போம். ஆனால் சிறிது நேரம் கழித்து.

சுருக்கமாக, தீர்க்கப்பட்ட சிக்கலுக்கான வழிமுறையை பின்வருமாறு எழுதலாம்: நாங்கள் , அசல் செயல்பாட்டில், எளிமைப்படுத்தல்களைச் செய்து, அனைத்து சொற்களையும் இரண்டு குழுக்களாகப் பிரிக்கிறோம் - ஒரு கற்பனை அலகு இல்லாமல் (உண்மையான பகுதி) மற்றும் ஒரு கற்பனை அலகு (கற்பனை பகுதி) .

செயல்பாட்டின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதியைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. உங்கள் செக்கர்ஸ் வரையப்பட்ட சிக்கலான விமானத்தில் நீங்கள் போருக்கு விரைந்து செல்வதற்கு முன், தலைப்பில் மிக முக்கியமான ஆலோசனையை உங்களுக்கு வழங்குகிறேன்:

கவனமாக இரு! நீங்கள் கவனமாக இருக்க வேண்டும், நிச்சயமாக, எல்லா இடங்களிலும், ஆனால் சிக்கலான எண்களில் நீங்கள் முன்னெப்போதையும் விட கவனமாக இருக்க வேண்டும்! நினைவில் கொள்ளுங்கள், அடைப்புக்குறிகளை கவனமாக திறக்கவும், எதையும் இழக்காதீர்கள். எனது அவதானிப்புகளின்படி, மிகவும் பொதுவான தவறு ஒரு அடையாளத்தை இழப்பதாகும். அவசரப்படாதே!

பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

இப்போது கன சதுரம். சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
.

சூத்திரங்கள் நடைமுறையில் பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானவை, ஏனெனில் அவை தீர்வு செயல்முறையை கணிசமாக விரைவுபடுத்துகின்றன.

ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துதல்.
Cauchy-Riemann நிலைமைகள்

எனக்கு இரண்டு செய்திகள் உள்ளன: நல்லது மற்றும் கெட்டது. நான் நல்லதில் இருந்து ஆரம்பிக்கிறேன். ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டிற்கு, வேறுபாட்டின் விதிகள் மற்றும் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை செல்லுபடியாகும். எனவே, உண்மையான மாறியின் செயல்பாட்டின் அதே வழியில் வழித்தோன்றல் எடுக்கப்படுகிறது.

மோசமான செய்தி என்னவென்றால், ஒரு சிக்கலான மாறியின் பல செயல்பாடுகளுக்கு எந்த வழித்தோன்றலும் இல்லை, மேலும் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு வேறுபட்டதா என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். மேலும் உங்கள் இதயம் எப்படி உணர்கிறது என்பதை "கண்டுபிடிப்பது" கூடுதல் பிரச்சனைகளுடன் தொடர்புடையது.

ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த செயல்பாடு வேறுபட்டதாக இருக்க, இது அவசியம் மற்றும் போதுமானது:

1) எனவே முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன. இந்த குறிப்புகளை இப்போதே மறந்து விடுங்கள், ஏனெனில் ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் வேறுபட்ட குறியீடு பாரம்பரியமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது: .

2) அதனால் Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள் என்று அழைக்கப்படுபவை பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

இந்த விஷயத்தில் மட்டுமே வழித்தோன்றல் இருக்கும்!

ஒரு செயல்பாட்டின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளைத் தீர்மானிக்கவும் . Cauchy-Riemann நிபந்தனைகளின் நிறைவேற்றத்தை சரிபார்க்கவும். Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு மூன்று தொடர்ச்சியான நிலைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது:

1) செயல்பாட்டின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த பணி முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளில் விவாதிக்கப்பட்டது, எனவே நான் கருத்து இல்லாமல் அதை எழுதுகிறேன்:

அப்போதிருந்து:

இதனால்:
- செயல்பாட்டின் உண்மையான பகுதி;
- செயல்பாட்டின் கற்பனை பகுதி.

இன்னும் ஒரு தொழில்நுட்ப புள்ளியில் நான் வாழ்கிறேன்: உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளில் விதிமுறைகளை எந்த வரிசையில் எழுத வேண்டும்? ஆம், கொள்கையளவில், அது ஒரு பொருட்டல்ல. உதாரணமாக, உண்மையான பகுதியை இப்படி எழுதலாம்: , மற்றும் கற்பனை பகுதியை இப்படி எழுதலாம்.

3) Cauchy-Riemann நிபந்தனைகளின் நிறைவேற்றத்தை சரிபார்க்கலாம். அவற்றில் இரண்டு உள்ளன.

நிலையைச் சரிபார்த்து ஆரம்பிக்கலாம். கண்டுபிடிக்கிறோம் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்:

இதனால், நிலைமை திருப்திகரமாக உள்ளது.

நிச்சயமாக, நல்ல செய்தி என்னவென்றால், பகுதி வழித்தோன்றல்கள் எப்போதும் மிகவும் எளிமையானவை.

இரண்டாவது நிபந்தனையின் நிறைவேற்றத்தை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

முடிவு ஒன்றுதான், ஆனால் எதிர் அறிகுறிகளுடன், அதாவது, நிபந்தனையும் பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது.

Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள் திருப்திகரமாக உள்ளன, எனவே செயல்பாடு வேறுபட்டது.

3) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். வழித்தோன்றல் மிகவும் எளிமையானது மற்றும் வழக்கமான விதிகளின்படி காணப்படுகிறது:

கற்பனை அலகு வேறுபாட்டின் போது மாறிலியாகக் கருதப்படுகிறது.

பதில்: - உண்மையான பகுதி, - கற்பனை பகுதி.
Cauchy-Riemann நிபந்தனைகள் திருப்திகரமாக உள்ளன.

FKP ஒருங்கிணைந்த. கௌச்சியின் தேற்றம்.

சூத்திரம் ( 52 ) Cauchy ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் அல்லது Cauchy ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு விளிம்பாக இருந்தால் ( 52 ) ஒரு வட்டத்தைத் தேர்ந்தெடுங்கள், பின்னர், வில் நீளத்தின் வேறுபாட்டை மாற்றியமைத்து கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், Cauchy ஒருங்கிணைப்பை சராசரி மதிப்புக்கான சூத்திரமாகக் குறிப்பிடலாம்:

Cauchy ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தின் சுயாதீனமான அர்த்தத்துடன் கூடுதலாக, ( 52 ), (54 ) உண்மையில் விளிம்பு ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கு மிகவும் வசதியான வழியை வழங்குகிறது, இது காணக்கூடியது போல, இந்த செயல்பாடு ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டிருக்கும் இடத்தில் ஒருங்கிணைப்பின் "மீதமுள்ள" மதிப்பின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 3-9. ஒரு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள் விளிம்புடன் (படம்.20).

தீர்வு. எடுத்துக்காட்டு 4-1 போலல்லாமல், செயல்பாடு ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டிருக்கும் புள்ளி வட்டத்தின் உள்ளே அமைந்துள்ளது. படிவத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம் ( 52 ):

கௌச்சியின் சூத்திரம்.

துண்டாக மென்மையான எல்லையுடன் சிக்கலான விமானத்தில் ஒரு பகுதி இருக்கட்டும், செயல்பாடு ஹோலோமார்பிக் மற்றும் பிராந்தியத்தின் உள்ளே ஒரு புள்ளியாக இருக்கும். பின்வரும் Cauchy சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்:

சூத்திரம் உள்ளேயும், மூடும்போதும் தொடர்ச்சியாகவும் இருப்பதாகக் கருதினால், மேலும் எல்லை துண்டாக மென்மையாக இல்லாமல், சரிசெய்யக்கூடியதாக இருந்தால் மட்டுமே அது செல்லுபடியாகும் (ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடு என்பது ஒரு சிக்கலான எண்ணின் செயல்பாடு, துண்டு வரிசையாக மென்மையானது உண்மையான எண்)

அடிப்படை FKP: டெய்லர் செயல்பாடு, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள், தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், மடக்கைச் செயல்பாடுகள், Cauchy சூத்திரம்.

பள்ளி மாணவர்களுக்கான போர்டல். சுய தயாரிப்பு