முந்தைய உள்ளடக்கத்தில், வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதில் சிக்கல் கருதப்பட்டது மற்றும் அதன் பல்வேறு பயன்பாடுகள் காட்டப்பட்டன: ஒரு வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு சாய்வைக் கணக்கிடுதல், தேர்வுமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது, மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் எக்ஸ்ட்ரீமாவுக்கான செயல்பாடுகளைப் படிப்பது. $\nநியூகமாண்ட்(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\nநியூகமாண்ட்(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$
படம் 1.
$s(t)$ செயல்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்ட, முன்னர் அறியப்பட்ட பாதையில் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி உடனடி வேகத்தை $v(t)$ கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் கருதப்பட்டது.
படம் 2.
$v(t)$ புள்ளியின் வேகத்தை அறிந்து $t$ நேரத்தில் ஒரு புள்ளியில் $s(t)$ கடந்து செல்லும் பாதையை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருக்கும் போது, தலைகீழ் பிரச்சனையும் மிகவும் பொதுவானது. நாம் நினைவு கூர்ந்தால், உடனடி வேகமான $v(t)$ $s(t)$: $v(t)=s'(t)$ என்பதன் வழித்தோன்றலாகக் காணப்படுகிறது. இதன் பொருள், தலைகீழ் சிக்கலைத் தீர்க்க, அதாவது பாதையைக் கணக்கிட, நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதன் வழித்தோன்றல் வேக செயல்பாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும். ஆனால் பாதையின் வழித்தோன்றல் வேகம் என்பதை நாம் அறிவோம், அதாவது: $s’(t) = v(t)$. வேகம் என்பது முடுக்க நேர நேரத்திற்கு சமம்: $v=at$. விரும்பிய பாதை செயல்பாடு படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் என்பதைத் தீர்மானிப்பது எளிது: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. ஆனால் இது ஒரு முழுமையான தீர்வு அல்ல. முழுமையான தீர்வு படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, $C$ என்பது சில மாறிலி. இது ஏன் என்று மேலும் விவாதிக்கப்படும். இப்போதைக்கு, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வின் சரியான தன்மையைச் சரிபார்ப்போம்: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.
வேகத்தின் அடிப்படையில் ஒரு பாதையைக் கண்டறிவது ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் என்பதன் இயற்பியல் பொருள் என்பது கவனிக்கத்தக்கது.
இதன் விளைவாக $s(t)$ சார்பு $v(t)$ செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என அழைக்கப்படுகிறது. மிகவும் சுவாரஸ்யமான மற்றும் அசாதாரண பெயர், இல்லையா. இந்த கருத்தின் சாரத்தை விளக்கும் மற்றும் அதன் புரிதலுக்கு வழிவகுக்கும் ஒரு பெரிய அர்த்தத்தை இது கொண்டுள்ளது. அதில் "முதல்" மற்றும் "படம்" என்ற இரண்டு வார்த்தைகள் இருப்பதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள். அவர்களே பேசுகிறார்கள். அதாவது, நம்மிடம் உள்ள வழித்தோன்றலுக்கான ஆரம்பமான செயல்பாடு இதுவாகும். இந்த வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி, ஆரம்பத்தில் இருந்த செயல்பாட்டைத் தேடுகிறோம், அது "முதல்", "முதல் படம்", அதாவது ஆன்டிடெரிவேட்டிவ். இது சில சமயங்களில் ஒரு பழமையான செயல்பாடு அல்லது ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
நாம் ஏற்கனவே அறிந்தபடி, வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறை வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்கும் செயல்முறை ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பின் செயல்பாடு வேறுபாட்டின் செயல்பாட்டின் தலைகீழ் ஆகும். உரையாடலும் உண்மைதான்.
வரையறை.ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் $f(x)$ செயல்பாட்டிற்கான ஒரு எதிர்ப்பொருள் $F(x)$ ஆகும், இதன் வழித்தோன்றல் இந்தச் சார்பு $f(x)$ க்கு சமமான $x$ க்கு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில்: $F' (x)=f (x)$.
ஒருவருக்கு ஒரு கேள்வி இருக்கலாம்: ஆரம்பத்தில் $s(t)$ மற்றும் $v(t)$ பற்றி பேசினால், வரையறையில் $F(x)$ மற்றும் $f(x)$ எங்கிருந்து வந்தது. உண்மை என்னவென்றால், $s(t)$ மற்றும் $v(t)$ ஆகியவை இந்த விஷயத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளைக் கொண்ட செயல்பாட்டு பதவியின் சிறப்பு நிகழ்வுகள், அதாவது அவை முறையே நேரத்தின் செயல்பாடு மற்றும் வேகத்தின் செயல்பாடு. $t$ மாறியும் அதே தான் - இது நேரத்தைக் குறிக்கிறது. மேலும் $f$ மற்றும் $x$ ஆகியவை முறையே ஒரு செயல்பாடு மற்றும் மாறியின் பொதுவான பதவியின் பாரம்பரிய மாறுபாடு ஆகும். ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் $F(x)$ இன் குறிப்பிற்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்துவது மதிப்பு. முதலில், $F$ என்பது மூலதனம். ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் பெரிய எழுத்துக்களில் குறிக்கப்படுகின்றன. இரண்டாவதாக, எழுத்துக்கள் ஒன்றே: $F$ மற்றும் $f$. அதாவது, $g(x)$ செயல்பாட்டிற்கு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் $G(x)$ என்றும், $z(x)$ -க்கு $Z(x)$ என்றும் குறிக்கப்படும். குறிப்பீடு எதுவாக இருந்தாலும், ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கான விதிகள் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.$F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ செயல்பாடானது $f(x)=\cos5x$ செயல்பாட்டின் எதிர்வழி என்பதை நிரூபிக்கவும்.
இதை நிரூபிக்க, நாம் $F'(x)=f(x)$ என்ற வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம், மேலும் $F(x)$: $F'(x)=( செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. இதன் பொருள் $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ என்பது $f(x)=\cos5x$ இன் எதிர்வழியாகும். கே.இ.டி.
எடுத்துக்காட்டு 2.பின்வரும் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு எந்தச் செயல்பாடுகள் பொருந்துகின்றன என்பதைக் கண்டறியவும்: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
தேவையான செயல்பாடுகளைக் கண்டறிய, அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவோம்:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.
எடுத்துக்காட்டு 3.$f(x)=0$ க்கு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்னவாக இருக்கும்?
வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம். எந்த செயல்பாடு $0$ க்கு சமமான வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கலாம் என்று சிந்திப்போம். வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையை நினைவுபடுத்தும்போது, எந்த மாறிலியும் அத்தகைய வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். நாம் தேடும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்: $F(x)= C$.
இதன் விளைவாக வரும் தீர்வு வடிவியல் மற்றும் உடல் ரீதியாக விளக்கப்படலாம். வடிவியல் ரீதியாக, இந்த வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் $y=F(x)$ வரையிலான தொடுகோடு கிடைமட்டமாக உள்ளது, எனவே $Ox$ அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான வேகம் கொண்ட ஒரு புள்ளி இடத்தில் உள்ளது, அதாவது அது பயணித்த பாதை மாறாமல் உள்ளது என்பதன் மூலம் இது விளக்கப்படுகிறது. இதன் அடிப்படையில், நாம் பின்வரும் தேற்றத்தை உருவாக்கலாம்.
தேற்றம். (செயல்பாடுகளின் நிலைத்தன்மையின் அடையாளம்) சில இடைவெளியில் $F’(x) = 0$ எனில், இந்த இடைவெளியில் $F(x)$ செயல்பாடு நிலையானதாக இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு 4.எந்தச் செயல்பாடுகள் a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ இன் எதிர்வழிகள் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; ஈ) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, இங்கு $a$ என்பது சில எண்.
ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட வேண்டும் என்று முடிவு செய்கிறோம். கணக்கிடும் போது, ஒரு மாறிலியின் வழித்தோன்றல், அதாவது எந்த எண்ணின், பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
ஈ) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
நாம் என்ன பார்க்கிறோம்? பல வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் ஒரே செயல்பாட்டின் முதன்மையானவை. எந்தவொரு செயல்பாட்டிலும் எண்ணற்ற பல ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன, மேலும் அவை $F(x) + C$ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, இங்கு $C$ என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி. அதாவது, வேறுபாட்டின் செயல்பாட்டைப் போலன்றி, ஒருங்கிணைப்பின் செயல்பாடு பன்முக மதிப்புடையது. இதன் அடிப்படையில், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் முக்கிய பண்புகளை விவரிக்கும் ஒரு தேற்றத்தை உருவாக்குவோம்.
தேற்றம். (ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் முக்கிய சொத்து) $F_1$ மற்றும் $F_2$ செயல்பாடுகள் சில இடைவெளியில் $f(x)$ செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களாக இருக்கட்டும். இந்த இடைவெளியில் இருந்து அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: $F_2=F_1+C$, $C$ என்பது சில மாறிலி.
எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் இருப்பதை வடிவியல் ரீதியாக விளக்கலாம். $Oy$ அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பைப் பயன்படுத்தி, $f(x)$க்கு ஏதேனும் இரண்டு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்களின் வரைபடங்களை ஒருவர் மற்றவரிடமிருந்து பெறலாம். இது ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பதன் வடிவியல் பொருள்.
நிலையான $C$ ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், ஆண்டிடெரிவேடிவ் வரைபடம் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் வழியாகச் செல்வதை உறுதிசெய்ய முடியும் என்பதில் கவனம் செலுத்துவது மிகவும் முக்கியம்.
படம் 3.
எடுத்துக்காட்டு 5.$f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்வைக் கண்டறியவும், இதன் வரைபடம் $(3; 1)$ புள்ளியைக் கடந்து செல்கிறது.
முதலில் $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$க்கான அனைத்து ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்களையும் கண்டுபிடிப்போம்.
அடுத்து, சி எண்ணைக் கண்டுபிடிப்போம், அதற்கான வரைபடம் $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ புள்ளி $(3; 1)$ வழியாக செல்லும். இதைச் செய்ய, புள்ளியின் ஆயங்களை வரைபட சமன்பாட்டில் மாற்றி $C$ க்கு அதைத் தீர்க்கிறோம்:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
$F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ உடன் தொடர்புடைய $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ வரைப்படத்தைப் பெற்றோம்.
ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை
வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களின் அட்டவணையைத் தொகுக்கலாம்.
| செயல்பாடுகள் | ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\in R$ இல் | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\பாவம் x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctg x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tg x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctg x+C$ |
அட்டவணையின் சரியான தன்மையை நீங்கள் பின்வரும் வழியில் சரிபார்க்கலாம்: வலது நெடுவரிசையில் அமைந்துள்ள ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் ஒவ்வொரு தொகுப்பிற்கும், வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும், இது இடது நெடுவரிசையில் தொடர்புடைய செயல்பாடுகளை விளைவிக்கும்.
ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவதற்கான சில விதிகள்
அறியப்பட்டபடி, பல செயல்பாடுகள் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டதை விட மிகவும் சிக்கலான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இந்த அட்டவணையில் இருந்து செயல்பாடுகளின் தொகைகள் மற்றும் தயாரிப்புகளின் தன்னிச்சையான கலவையாக இருக்கலாம். இங்கே கேள்வி எழுகிறது: அத்தகைய செயல்பாடுகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது. எடுத்துக்காட்டாக, அட்டவணையில் இருந்து $x^3$, $\sin x$ மற்றும் $10$ ஆகியவற்றின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பது நமக்குத் தெரியும். எடுத்துக்காட்டாக, $x^3-10\sin x$-ஐ எவ்வாறு கணக்கிடுவது? முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, இது $\frac(x^4)(4)+10\cos x$க்கு சமமாக இருக்கும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.
1. $f(x)$ க்கு $F(x)$, $g(x)$ க்கு $G(x)$ எனில், $f(x)+g(x)$ க்கு எதிர் வழித்தோன்றல் $ F(x)+G(x)$க்கு சமம்.
2. $f(x)$ க்கு $F(x)$ என்பது ஒரு எதிர்ப்பொருள் மற்றும் $a$ என்பது மாறிலி எனில், $af(x)$ க்கு, $aF(x)$ எனப்படும்.
3. $f(x)$க்கு $F(x)$, $a$ மற்றும் $b$ ஆகியவை மாறிலிகள் எனில், $\frac(1)(a) F(ax+b)$ என்பது ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும். $f (ax+b)$க்கு.
பெறப்பட்ட விதிகளைப் பயன்படுத்தி, ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை விரிவாக்கலாம்.
| செயல்பாடுகள் | ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
எடுத்துக்காட்டு 5.இதற்கான ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறியவும்:
a) $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் 4x^3+10x^7$;
b) $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
ஈ) $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
ஈ) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் பண்புகள் மற்றும் அடிப்படை ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துதல்,
நீங்கள் சில செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்க முடியும்.
ஒருங்கிணைப்பு தொழில்நுட்பங்கள்
மாற்று முறை
செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பதற்கான மிகவும் பொதுவான முறை முறை
பதிலீடு, இது தேடப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த போது பயன்படுத்தப்படுகிறது
அட்டவணையானது, ஆனால் தொடர்ச்சியான அடிப்படை மாற்றங்களின் மூலம் அது இருக்கலாம்
ஒரு அட்டவணைக்கு குறைக்கப்பட்டது.
t மாறி மாறி / x=φ(t) மற்றும், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாற்றப்படுகிறது.
எனவே, dx என்பது φ"(t)dt இன் தயாரிப்பு ஆகும்.
பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு
எடுத்துக்காட்டு: நீங்கள் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்
இங்கே, இரட்டை செங்குத்து கோடுகள் அனைத்து கணக்கீடுகளையும் இணைக்கின்றன
ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு தயாராக உள்ளன
பாகங்கள். சமன்பாட்டிற்கு வெளியே தயாரிப்பு உள்ளீடுகளை எடுக்கலாம்.
திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த
பணி. f(x) செயல்பாட்டின் எதிர்வழியாக இருக்கும் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும், எப்போது
வாதம் x இன் மதிப்பு a இலிருந்து b மதிப்புக்கு மாறுதல்.
தீர்வு. ஒருங்கிணைப்பு மூலம் நாம் கண்டுபிடித்தோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம்
நாம் பார்ப்பது போல், ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கான வெளிப்பாட்டில் F(x) + C 1
நிலையான மதிப்பு C1 இல்லை. மேலும் சி 1 என்றால் ஏதேனும்
கொடுக்கப்பட்ட எண், பின்னர் பெறப்பட்ட முடிவு பின்வரும் முடிவுக்கு வழிவகுக்கிறது: எப்போது
வாதம் x ஐ x=a மதிப்பிலிருந்து x=b க்கு மாற்றுதல், அனைத்து செயல்பாடுகளும் F(x) + C,
கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் f(x) க்கு சமமான அதே அதிகரிப்பைக் கொண்டுள்ளன
F(b)-F(a).
இந்த அதிகரிப்பு பொதுவாக ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது
சின்னம்
எனவே, தேவையான ஒருங்கிணைப்பு 6 க்கு சமம்.
திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்
1. ஒரு சைனாய்டு ஆர்க்கின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.
புரட்சியின் உடல் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
விமானத்திற்கு நான் xy விமானத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பேன்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 2. மாறி மாற்ற முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிதல்
ஒருங்கிணைப்பு
எடுத்துக்காட்டு எண். 3. மேல் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிதல்
பாகங்கள்.
வெகுஜன m மற்றும் அடர்த்தி p இடையே உள்ள உறவுகள்:
மின் கட்டணம் q மற்றும் தற்போதைய I இடையே உள்ள உறவுகள்:
வெப்ப திறன் c மற்றும் வெப்ப Q அளவு இடையே உள்ள உறவு:
பிசுபிசுப்பு திரவத்தின் இயக்கம், பாத்திரங்கள் வழியாக இரத்தம், விநியோகம் பற்றிய விளக்கம்
இருதய அமைப்பில் இரத்த அழுத்தம், வெப்ப, மின்,
உயிருடன் தொடர்புடைய காந்த, ஒளியியல் செயல்முறைகள்
உயிரினம், ஒருங்கிணைப்பு பயன்பாடு தேவைப்படுகிறது.
பயிற்சி: எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது
சட்டத்தின்படி புள்ளிகள் மாறுகின்றன v = (6t +7) m/s
பொருளின் வேகம் நேரத்தைப் பொறுத்து எவ்வளவு தூரம் பயணித்தது என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்
வி = (6t +7) m/s சட்டத்தின் படி புள்ளிகள் மாறுகின்றன, அது ஆரம்ப தருணத்தில் தெரிந்தால்
நேரம் (t=0), பொருள் புள்ளி தொடக்கத்தில் இருந்து s 0 = 4m தொலைவில் இருந்தது
x 1 இலிருந்து x 2 வரை நீட்டிக்கப்படும் போது வசந்தம் செய்த வேலையைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு.
இந்த செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைக்க, நீங்கள் மாற்றீடு செய்ய வேண்டும்
மாறி
[-1;2] பிரிவில் 4 2 ≤2 இருப்பதால், இந்த உருவத்தின் பகுதி S கணக்கிடப்படுகிறது.
பின்வரும் வழியில்:
தீர்வு.
u=சின்க்ஸ்
du = cosxdx
ஒருங்கிணைப்பின் புதிய வரம்புகள்: u 1 = 0 (x 1 = 0 என்பதால், இந்த மதிப்பை புதியதாக மாற்றுவோம்
செயல்பாடு - u = sinx, u 1 = sinx 1 = 0)
அதில் ஒரு தூண்டல் மின்னோட்டத்தின் தோற்றம்,
 |
| பதில்: |
வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்
வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் தேவையானவற்றைக் கொண்ட சமன்பாடுகள்
செயல்பாடுகள், பல்வேறு ஆர்டர்கள் மற்றும் சுயாதீன மாறிகளின் அவற்றின் வழித்தோன்றல்கள்.
வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு 17 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் எழுந்தது
இயக்கவியல் மற்றும் பிற இயற்கை அறிவியல் துறைகளின் தேவைகளின் தாக்கம்,
ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் மற்றும்
வேறுபட்ட கணக்கீடு.
I இன் படைப்புகளில் எளிமையான வேறுபாடு சமன்பாடுகள் ஏற்கனவே சந்தித்தன.
நியூட்டன் மற்றும் ஜி. லீப்னிஸ்; "வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்"
லீப்னிஸுக்கு சொந்தமானது. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த F (x) ஐக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல்
செயல்பாடுகள் f(x) நியூட்டன் தனது இரண்டாவது ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக கருதப்பட்டது
பணிகள். அடித்தளங்களை உருவாக்கியவர் என்ற முறையில் நியூட்டனின் அணுகுமுறை இதுதான்
கணித இயற்கை அறிவியல் முற்றிலும் நியாயமானது: மிகப் பெரிய அளவில்
பல சந்தர்ப்பங்களில், சில செயல்முறைகளை நிர்வகிக்கும் இயற்கையின் விதிகள்,
வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் இவற்றின் ஓட்டத்தின் கணக்கீடு
வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு செயல்முறைகள் குறைக்கப்படுகின்றன.
பின்வரும் இரண்டு எளிய எடுத்துக்காட்டுகள் விளக்குவதற்கு உதவும்
என்ன சொல்லப்பட்டது.
1) வெப்பநிலை Tக்கு சூடாக்கப்பட்ட ஒரு உடல் ஒரு ஊடகத்தில் வைக்கப்பட்டால், வெப்பநிலை
இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், சில நிபந்தனைகளின் கீழ் நாம் அதைக் கொள்ளலாம்
அதிகரிப்பு ΔT (T> 0 வழக்கில் எதிர்மறை) அதன் வெப்பநிலை ஒரு சிறிய மீது
நேர இடைவெளி Δt சூத்திரத்தால் போதுமான துல்லியத்துடன் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது
k என்பது ஒரு நிலையான குணகம். இதை கணித ரீதியாக செயலாக்கும் போது
உடல் ரீதியான பணி சரியாகச் செய்யப்படுவதாகக் கருதப்படுகிறது
வேறுபாடுகளுக்கு இடையிலான விகிதத்தை கட்டுப்படுத்துதல்
அதாவது, வேறுபட்ட சமன்பாடு உள்ளது
T என்பது t என்பது வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறது.
வசந்தத்தை நீட்டி, சுமையை உள்ளே கொண்டு வருகிறது
இயக்கம். x(t) குறிக்கிறது என்றால்
இருந்து உடலின் விலகல் அளவு
இந்த நேரத்தில் சமநிலை நிலை
நேரம் t, பின்னர் உடலின் முடுக்கம்
2வது வழித்தோன்றல் x" (t) மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
உடலில் செயல்படும் விசை tx" (t) ஆகும்
வசந்தத்தின் சிறிய நீட்சிகளுடன்
நெகிழ்ச்சிக் கோட்பாட்டின் விதிகளின்படி, இது x (t) விலகலுக்கு விகிதாசாரமாகும். அந்த.,
நாம் ஒரு வித்தியாசமான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
 |
| அவரது தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது: |
இந்த பாடம் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய வீடியோக்களின் தொடரில் முதல் பாடமாகும். இதில், ஒரு செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்றால் என்ன என்பதை பகுப்பாய்வு செய்வோம், மேலும் இந்த ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிடுவதற்கான அடிப்படை முறைகளையும் படிப்போம்.
உண்மையில், இங்கே சிக்கலான எதுவும் இல்லை: அடிப்படையில் இது வழித்தோன்றல் என்ற கருத்துக்கு வருகிறது, இது உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரிந்திருக்க வேண்டும் :)
எங்கள் புதிய தலைப்பில் இது முதல் பாடம் என்பதால், இன்று சிக்கலான கணக்கீடுகள் மற்றும் சூத்திரங்கள் இருக்காது, ஆனால் இன்று நாம் கற்றுக்கொள்வது சிக்கலான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் பகுதிகளைக் கணக்கிடும்போது மிகவும் சிக்கலான கணக்கீடுகள் மற்றும் கட்டுமானங்களுக்கு அடிப்படையாக இருக்கும் என்பதை நான் உடனடியாக கவனிக்கிறேன். .
கூடுதலாக, குறிப்பாக ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளைப் படிக்கத் தொடங்கும்போது, மாணவர் ஏற்கனவே வழித்தோன்றல்களின் கருத்துக்களுடன் குறைந்தபட்சம் பரிச்சயமானவர் மற்றும் அவற்றைக் கணக்கிடுவதில் குறைந்தபட்சம் அடிப்படை திறன்களைக் கொண்டிருக்கிறார் என்று நாம் மறைமுகமாக கருதுகிறோம். இதைப் பற்றிய தெளிவான புரிதல் இல்லாமல், ஒருங்கிணைப்பில் எதுவும் செய்ய முடியாது.
இருப்பினும், இங்கே மிகவும் பொதுவான மற்றும் நயவஞ்சகமான பிரச்சனைகளில் ஒன்று உள்ளது. உண்மை என்னவென்றால், அவர்களின் முதல் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிடத் தொடங்கும் போது, பல மாணவர்கள் அவற்றை வழித்தோன்றல்களுடன் குழப்புகிறார்கள். இதன் விளைவாக, பரீட்சைகள் மற்றும் சுயாதீன வேலைகளின் போது முட்டாள்தனமான மற்றும் புண்படுத்தும் தவறுகள் செய்யப்படுகின்றன.
எனவே, இப்போது நான் ஒரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் பற்றிய தெளிவான வரையறையை கொடுக்க மாட்டேன். பதிலுக்கு, ஒரு எளிய குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இது எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது என்பதைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறேன்.
ஆன்டிடெரிவேடிவ் என்றால் என்ன, அது எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது?
இந்த சூத்திரத்தை நாங்கள் அறிவோம்:
\[((\left(((x)^(n))) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
இந்த வழித்தோன்றல் எளிமையாக கணக்கிடப்படுகிறது:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டைக் கவனமாகப் பார்ப்போம் மற்றும் $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\left((((x))^3)) \right))^(\prime )))(3)\]
ஆனால் ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி நாம் இதை இவ்வாறு எழுதலாம்:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x))^(3)))(3) \வலது))^(\prime ))\]
இப்போது கவனம்: நாம் இப்போது எழுதியது ஒரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் வரையறை. ஆனால் அதை சரியாக எழுத, நீங்கள் பின்வருவனவற்றை எழுத வேண்டும்:
பின்வரும் வெளிப்பாடுகளை அதே வழியில் எழுதுவோம்:
இந்த விதியை நாம் பொதுமைப்படுத்தினால், பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறலாம்:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
இப்போது நாம் ஒரு தெளிவான வரையறையை உருவாக்கலாம்.
ஒரு செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ் என்பது ஒரு சார்பு ஆகும், அதன் வழித்தோன்றல் அசல் செயல்பாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும்.
ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு பற்றிய கேள்விகள்
இது மிகவும் எளிமையான மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய வரையறையாகத் தோன்றும். இருப்பினும், அதைக் கேட்டவுடன், கவனமுள்ள மாணவருக்கு உடனடியாக பல கேள்விகள் இருக்கும்:
- சரி, இந்த ஃபார்முலா சரியானது என்று சொல்லலாம். இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில், $n=1$ இல், எங்களுக்கு சிக்கல்கள் உள்ளன: "பூஜ்ஜியம்" வகுப்பில் தோன்றும், மேலும் "பூஜ்ஜியத்தால்" வகுக்க முடியாது.
- சூத்திரம் டிகிரிகளுக்கு மட்டுமே. எடுத்துக்காட்டாக, சைன், கொசைன் மற்றும் வேறு எந்த முக்கோணவியல், அதே போல் மாறிலிகளின் எதிர்ப்பொருளை எவ்வாறு கணக்கிடுவது.
- இருத்தலியல் கேள்வி: எப்பொழுதும் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? ஆம் எனில், கூட்டுத்தொகை, வேறுபாடு, விளைபொருள் போன்றவற்றின் எதிர்ப்பொருள் என்ன?
கடைசி கேள்விக்கு உடனே பதில் சொல்கிறேன். துரதிர்ஷ்டவசமாக, டெரிவேட்டிவ் போலல்லாமல், ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் எப்போதும் கருதப்படுவதில்லை. எந்தவொரு ஆரம்ப கட்டுமானத்திலிருந்தும் இதேபோன்ற கட்டுமானத்திற்கு சமமான செயல்பாட்டைப் பெறுவதற்கான உலகளாவிய சூத்திரம் எதுவும் இல்லை. சக்திகள் மற்றும் மாறிலிகளைப் பொறுத்தவரை, அதைப் பற்றி இப்போது பேசுவோம்.
சக்தி செயல்பாடுகளுடன் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, $((x)^(-1))$க்கான இந்த சூத்திரம் வேலை செய்யாது. கேள்வி எழுகிறது: பிறகு என்ன வேலை செய்கிறது? நாம் $((x)^(-1))$ எண்ண முடியாதா? நிச்சயமாக நம்மால் முடியும். முதலில் இதை நினைவில் கொள்வோம்:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
இப்போது யோசிப்போம்: எந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் $\frac(1)(x)$க்கு சமம். வெளிப்படையாக, இந்த தலைப்பைப் படித்த எந்தவொரு மாணவரும் இந்த வெளிப்பாடு இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்வார்:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
எனவே, பின்வருவனவற்றை நாம் நம்பிக்கையுடன் எழுதலாம்:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]
சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைப் போலவே, இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.
எனவே இதுவரை நாம் அறிந்தவை:
- ஒரு சக்தி செயல்பாட்டிற்கு - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- ஒரு மாறிலிக்கு - $=const\ to \cdot x$
- ஆற்றல் செயல்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு $\frac(1)(x)\to \ln x$ ஆகும்
மேலும் எளிமையான செயல்பாடுகளை நாம் பெருக்க மற்றும் வகுக்கத் தொடங்கினால், ஒரு தயாரிப்பு அல்லது பங்கீட்டின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் எப்படி கணக்கிட முடியும். துரதிர்ஷ்டவசமாக, ஒரு தயாரிப்பு அல்லது பங்கின் வழித்தோன்றலுடன் ஒப்புமைகள் இங்கு வேலை செய்யாது. நிலையான சூத்திரம் இல்லை. சில சந்தர்ப்பங்களில், தந்திரமான சிறப்பு சூத்திரங்கள் உள்ளன - எதிர்கால வீடியோ பாடங்களில் அவற்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம்.
இருப்பினும், நினைவில் கொள்ளுங்கள்: ஒரு பங்கு மற்றும் ஒரு பொருளின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் போன்ற பொதுவான சூத்திரம் எதுவும் இல்லை.
உண்மையான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
பணி எண் 1
ஒவ்வொரு சக்தி செயல்பாடுகளையும் தனித்தனியாக கணக்கிடுவோம்:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
எங்கள் வெளிப்பாட்டிற்குத் திரும்பி, பொதுவான கட்டுமானத்தை எழுதுகிறோம்:
பிரச்சனை எண் 2
நான் ஏற்கனவே கூறியது போல், படைப்புகளின் முன்மாதிரிகள் மற்றும் விவரங்கள் "புள்ளிக்கு" கருதப்படாது. இருப்பினும், இங்கே நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்யலாம்:
பின்னத்தை இரண்டு பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகப் பிரித்தோம்.
கணிதத்தைச் செய்வோம்:
நல்ல செய்தி என்னவென்றால், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களை அறிந்தால், நீங்கள் ஏற்கனவே மிகவும் சிக்கலான கட்டமைப்புகளைக் கணக்கிடலாம். இருப்பினும், இன்னும் மேலே சென்று நமது அறிவை இன்னும் கொஞ்சம் விரிவுபடுத்துவோம். உண்மை என்னவென்றால், முதல் பார்வையில், $((x)^(n))$ உடன் எந்த தொடர்பும் இல்லாத பல கட்டுமானங்கள் மற்றும் வெளிப்பாடுகள், ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் ஒரு சக்தியாக குறிப்பிடப்படலாம், அதாவது:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
இந்த நுட்பங்கள் அனைத்தும் இணைக்கப்படலாம் மற்றும் இணைக்கப்பட வேண்டும். சக்தி வெளிப்பாடுகள் இருக்கலாம்
- பெருக்கவும் (டிகிரி சேர்க்க);
- வகுத்தல் (டிகிரிகள் கழிக்கப்படுகின்றன);
- ஒரு மாறிலியால் பெருக்கவும்;
- முதலியன
பகுத்தறிவு அடுக்குடன் சக்தி வெளிப்பாடுகளைத் தீர்ப்பது
எடுத்துக்காட்டு எண். 1
ஒவ்வொரு மூலத்தையும் தனித்தனியாக கணக்கிடுவோம்:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
மொத்தத்தில், எங்கள் முழு கட்டுமானத்தையும் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x))\frac(\frac(\sqrt(x)\right)) 1)(2))) \வலது))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
எனவே நாம் பெறுகிறோம்:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
மொத்தத்தில், எல்லாவற்றையும் ஒரு வெளிப்பாடாக சேகரித்து, நாம் எழுதலாம்:
எடுத்துக்காட்டு எண். 3
தொடங்குவதற்கு, நாங்கள் ஏற்கனவே $\sqrt(x)$ கணக்கிட்டுள்ளோம் என்பதை கவனிக்கிறோம்:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\ to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2)))(5)\]
மீண்டும் எழுதுவோம்:
நாம் இப்போது படித்தது ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் எளிய கணக்கீடுகள், மிக அடிப்படையான கட்டுமானங்கள் என்று சொன்னால் நான் யாரையும் ஆச்சரியப்படுத்த மாட்டேன் என்று நம்புகிறேன். இப்போது சற்று சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம், இதில் அட்டவணை ஆண்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு கூடுதலாக, நீங்கள் பள்ளி பாடத்திட்டத்தை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், அதாவது சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள்.
மிகவும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது
பணி எண் 1
வர்க்க வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தை நினைவு கூர்வோம்:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
எங்கள் செயல்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:
அத்தகைய செயல்பாட்டின் முன்மாதிரியை நாம் இப்போது கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:
\[((x)^(\frac(2)(3))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
எல்லாவற்றையும் ஒரு பொதுவான கட்டமைப்பில் வைப்போம்:
பிரச்சனை எண் 2
இந்த வழக்கில், நாம் வேறுபாடு கனசதுரத்தை விரிவாக்க வேண்டும். நினைவில் கொள்வோம்:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, இதை இப்படி எழுதலாம்:
நமது செயல்பாட்டை சிறிது மாற்றுவோம்:
நாங்கள் எப்போதும் போல் எண்ணுகிறோம் - ஒவ்வொரு காலத்திற்கும் தனித்தனியாக:
\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\to \ln x\]
இதன் விளைவாக கட்டுமானத்தை எழுதுவோம்:
பணி எண். 3
மேலே கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம் உள்ளது, அதை விரிவாக்குவோம்:
\[\frac((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\இடது(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2(x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
இறுதி தீர்வை எழுதுவோம்:
இப்போது கவனம்! ஒரு மிக முக்கியமான விஷயம், இது பிழைகள் மற்றும் தவறான புரிதல்களின் சிங்கத்தின் பங்குடன் தொடர்புடையது. உண்மை என்னவென்றால், வழித்தோன்றல்களின் உதவியுடன் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களை எண்ணுவது மற்றும் மாற்றங்களைக் கொண்டுவருவது, மாறிலியின் வழித்தோன்றல் எதற்கு சமம் என்பதைப் பற்றி நாங்கள் சிந்திக்கவில்லை. ஆனால் மாறிலியின் வழித்தோன்றல் "பூஜ்ஜியத்திற்கு" சமம். இதன் பொருள் நீங்கள் பின்வரும் விருப்பங்களை எழுதலாம்:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
இதைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம்: ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், அதே செயல்பாடு எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கொண்டுள்ளது. எங்களுடைய ஆன்டிடெரிவேடிவ்களில் ஏதேனும் நிலையான எண்களைச் சேர்த்து புதியவற்றைப் பெறலாம்.
நாங்கள் இப்போது தீர்த்து வைத்த சிக்கல்களின் விளக்கத்தில், "ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் பொதுவான வடிவத்தை எழுதுங்கள்" என்று எழுதப்பட்டது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல. அந்த. அவற்றில் ஒன்று இல்லை, ஆனால் ஒரு முழு கூட்டம் இருப்பதாக ஏற்கனவே முன்கூட்டியே கருதப்படுகிறது. ஆனால், உண்மையில், அவை முடிவில் நிலையான $C$ இல் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. எனவே, எங்கள் பணிகளில் நாங்கள் முடிக்காததை சரிசெய்வோம்.
மீண்டும் எங்கள் கட்டுமானங்களை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், $C$ என்பது மாறிலி - $C=const$ என்று நீங்கள் சேர்க்க வேண்டும்.
எங்கள் இரண்டாவது செயல்பாட்டில் பின்வரும் கட்டுமானத்தைப் பெறுகிறோம்:
மற்றும் கடைசி:
இப்போது பிரச்சினையின் அசல் நிலையில் நமக்குத் தேவையானதை நாங்கள் உண்மையில் பெற்றுள்ளோம்.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியுடன் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
மாறிலிகள் மற்றும் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களை எழுதுவதன் தனித்தன்மைகள் பற்றி இப்போது நாம் அறிந்திருப்பதால், அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பிலிருந்தும், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் ஒரே ஒன்றைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருக்கும் போது, அடுத்த வகை சிக்கல் எழுகிறது என்பது மிகவும் தர்க்கரீதியானது. . இந்த பணி என்ன?
உண்மை என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் செங்குத்தாக மாற்றப்படுவதில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் நாம் எந்தப் புள்ளியை எடுத்தாலும், ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் நிச்சயமாக கடந்து செல்லும், மேலும், ஒன்று மட்டுமே.
எனவே, இப்போது நாம் தீர்க்கும் சிக்கல்கள் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன: மூலச் செயல்பாட்டின் சூத்திரத்தை அறிந்துகொள்வது, ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்வைக் கண்டுபிடிப்பது மட்டுமல்லாமல், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாகச் செல்லும் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், அதன் ஆயத்தொலைவுகள் சிக்கலில் கொடுக்கப்படும். அறிக்கை.
எடுத்துக்காட்டு எண். 1
முதலில், ஒவ்வொரு சொல்லையும் எளிமையாக எண்ணுவோம்:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]
இப்போது இந்த வெளிப்பாடுகளை எங்கள் கட்டுமானத்தில் மாற்றுகிறோம்:
இந்தச் செயல்பாடு $M\left(-1;4 \right)$ என்ற புள்ளியைக் கடக்க வேண்டும். அது ஒரு புள்ளியைக் கடந்து செல்கிறது என்றால் என்ன? இதன் பொருள் $x$ க்குப் பதிலாக எல்லா இடங்களிலும் $-1$ ஐ வைத்து, $F\left(x \right)$ - $-4$ க்கு பதிலாக, சரியான எண் சமத்துவத்தைப் பெற வேண்டும். இதை செய்வோம்:
எங்களிடம் $C$க்கான சமன்பாடு இருப்பதைக் காண்கிறோம், எனவே அதைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம்:
நாம் தேடும் தீர்வை எழுதுவோம்:
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
முதலில், சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வேறுபாட்டின் வர்க்கத்தை வெளிப்படுத்துவது அவசியம்:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
அசல் கட்டுமானம் பின்வருமாறு எழுதப்படும்:
இப்போது $C$ ஐக் கண்டுபிடிப்போம்: புள்ளி $M$ இன் ஆயங்களை மாற்றவும்:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
நாங்கள் $C$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம்:
இறுதி வெளிப்பாட்டைக் காட்ட இது உள்ளது:
முக்கோணவியல் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
நாம் இப்போது விவாதித்தவற்றின் இறுதித் தொடுதலாக, முக்கோணவியல் சம்பந்தப்பட்ட இரண்டு சிக்கலான சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்ள நான் முன்மொழிகிறேன். அவற்றில், அதே வழியில், நீங்கள் அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், பின்னர் இந்த தொகுப்பிலிருந்து ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் $M$ புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, முக்கோணவியல் சார்புகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிய நாம் இப்போது பயன்படுத்தும் நுட்பம், உண்மையில், சுய-சோதனைக்கான உலகளாவிய நுட்பமாகும் என்பதை நான் கவனிக்க விரும்புகிறேன்.
பணி எண் 1
பின்வரும் சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\cos )^(2))x)\]
இதன் அடிப்படையில், நாம் எழுதலாம்:
புள்ளி $M$ இன் ஆயங்களை நமது வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றுவோம்:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:
பிரச்சனை எண் 2
இது இன்னும் கொஞ்சம் கடினமாக இருக்கும். ஏன் என்று இப்போது நீங்கள் பார்ப்பீர்கள்.
இந்த சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்:
\[(\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)((\sin )^(2))x)\]
"மைனஸ்" அகற்ற, நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய வேண்டும்:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\sin )^(2))x)\]
இங்கே எங்கள் வடிவமைப்பு உள்ளது
புள்ளி $M$ இன் ஆயங்களை மாற்றுவோம்:
மொத்தத்தில், இறுதி கட்டுமானத்தை நாங்கள் எழுதுகிறோம்:
இன்று நான் உங்களிடம் சொல்ல விரும்பியது அவ்வளவுதான். ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் என்ற சொல்லைப் படித்தோம், அடிப்படைச் செயல்பாடுகளிலிருந்து அவற்றை எவ்வாறு கணக்கிடுவது, மேலும் ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் வழியாகச் செல்லும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்வைக் கண்டறிவது எப்படி.
இந்த சிக்கலான தலைப்பை குறைந்தபட்சம் கொஞ்சம் புரிந்துகொள்ள இந்தப் பாடம் உதவும் என்று நம்புகிறேன். எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், காலவரையற்ற மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் கட்டமைக்கப்படும் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களில் உள்ளது, எனவே அவற்றைக் கணக்கிடுவது முற்றிலும் அவசியம். எனக்கு அவ்வளவுதான். மீண்டும் சந்திப்போம்!
நான்கு முக்கிய ஒருங்கிணைப்பு முறைகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.
1)
ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைப்பதற்கான விதி.
.
இங்கே மற்றும் கீழே u, v, w ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறி x இன் செயல்பாடுகள்.
2)
ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை நகர்த்துதல்.
c ஆனது x இலிருந்து ஒரு நிலையான சார்பற்றதாக இருக்கட்டும். பின்னர் அதை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து வெளியே எடுக்கலாம்.
3)
மாறி மாற்று முறை.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
அத்தகைய செயல்பாட்டை நாம் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால் φ (எக்ஸ்) x இலிருந்து, அதனால்
,
பின்னர், t = φ(x) மாறியை மாற்றுவதன் மூலம், நம்மிடம் உள்ளது
.
4)
பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம்.
,
இதில் u மற்றும் v ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் செயல்பாடுகள்.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான இறுதி இலக்கு, மாற்றங்களின் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பை எளிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்குக் குறைப்பதாகும், அவை அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை >>> பார்க்கவும்
உதாரணமாக
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்
தீர்வு
ஒருங்கிணைப்பு என்பது மூன்று சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்:
, மற்றும்.
முறையைப் பயன்படுத்துதல் 1
.
அடுத்து, புதிய ஒருங்கிணைப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் மாறிலிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் 5, 4,
மற்றும் 2
, முறையே. முறையைப் பயன்படுத்துதல் 2
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்
.
n = அனுமானித்து 2
, முதல் ஒருங்கிணைப்பைக் காண்கிறோம்.
இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பை படிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்
.
என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். பிறகு
மூன்றாவது முறையைப் பயன்படுத்துவோம். t = φ என்ற மாறியை மாற்றுகிறோம் (x) = ln x.
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்
ஒருங்கிணைப்பு மாறியை எந்த எழுத்தின் மூலமும் குறிக்கலாம் என்பதால்
படிவத்தில் மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்
.
பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
போடுவோம்.
பிறகு
;
;
;
;
.
இறுதியாக எங்களிடம் உள்ளது
.
x உடன் விதிமுறைகளை சேகரிப்போம் 3
.
.
பதில்
குறிப்புகள்:
என்.எம். குந்தர், ஆர்.ஓ. குஸ்மின், உயர் கணிதத்தில் சிக்கல்களின் தொகுப்பு, "லான்", 2003.
இந்த பக்கத்தில் நீங்கள் காணலாம்:
1. உண்மையில், ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை - இது PDF வடிவத்தில் பதிவிறக்கம் செய்யப்பட்டு அச்சிடப்படலாம்;
2. இந்த அட்டவணையை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பது குறித்த வீடியோ;
3. பல்வேறு பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் சோதனைகளிலிருந்து ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளின் தொகுப்பு.
வீடியோவில், நீங்கள் செயல்பாடுகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிட வேண்டிய பல சிக்கல்களை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம், பெரும்பாலும் மிகவும் சிக்கலானது, ஆனால் மிக முக்கியமாக, அவை சக்தி செயல்பாடுகள் அல்ல. மேலே முன்மொழியப்பட்ட அட்டவணையில் சுருக்கப்பட்ட அனைத்து செயல்பாடுகளும் வழித்தோன்றல்கள் போன்ற இதயத்தால் அறியப்பட வேண்டும். அவை இல்லாமல், ஒருங்கிணைப்புகளைப் பற்றிய கூடுதல் ஆய்வு மற்றும் நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அவற்றின் பயன்பாடு சாத்தியமற்றது.
இன்று நாம் ஆதிநிலைகளை தொடர்ந்து படித்து சற்று சிக்கலான தலைப்புக்கு செல்கிறோம். கடந்த முறை நாம் ஆற்றல் செயல்பாடுகள் மற்றும் சற்று சிக்கலான கட்டுமானங்களின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களை மட்டுமே பார்த்தோம் என்றால், இன்று நாம் முக்கோணவியல் மற்றும் பலவற்றைப் பார்ப்போம்.
கடந்த பாடத்தில் நான் கூறியது போல், டெரிவேடிவ்களைப் போலன்றி, எந்த நிலையான விதிகளையும் பயன்படுத்தி "உடனடியாக" தீர்க்கப்படாது. மேலும், மோசமான செய்தி என்னவென்றால், வழித்தோன்றலைப் போலல்லாமல், ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கருதப்படவே இல்லை. நாம் முற்றிலும் சீரற்ற செயல்பாட்டை எழுதி அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சித்தால், மிக அதிக நிகழ்தகவுடன் நாம் வெற்றியடைவோம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் கணக்கிடப்படாது. ஆனால் ஒரு நல்ல செய்தி உள்ளது: எலிமெண்டரி ஃபங்ஷன்கள் எனப்படும் செயல்பாடுகளின் மிகப் பெரிய வகுப்பு உள்ளது, இவற்றின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் கணக்கிட மிகவும் எளிதானது. மேலும் அனைத்து வகையான சோதனைகள், சுயாதீன சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகள் ஆகியவற்றில் வழங்கப்படும் மற்ற அனைத்து சிக்கலான கட்டமைப்புகளும், உண்மையில், கூட்டல், கழித்தல் மற்றும் பிற எளிய செயல்கள் மூலம் இந்த அடிப்படை செயல்பாடுகளால் ஆனவை. இத்தகைய செயல்பாடுகளின் முன்மாதிரிகள் நீண்ட காலமாக கணக்கிடப்பட்டு சிறப்பு அட்டவணைகளாக தொகுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த செயல்பாடுகள் மற்றும் அட்டவணைகள் தான் இன்று நாம் வேலை செய்வோம்.
ஆனால், எப்பொழுதும் போல, மீண்டும் மீண்டும் தொடங்குவோம்: ஒரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்றால் என்ன, அவற்றில் எண்ணற்றவை ஏன் உள்ளன, அவற்றின் பொதுவான தோற்றத்தை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பதை நினைவில் கொள்வோம். இதைச் செய்ய, நான் இரண்டு எளிய சிக்கல்களை எடுத்தேன்.
எளிமையான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது
எடுத்துக்காட்டு எண். 1
$\frac(\text( )\!\pi\!\!\text( ))(6)$ மற்றும் பொதுவாக $\text( )\!\!\pi\ இருப்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம் !\!\ text( )$, செயல்பாட்டின் தேவையான ஆன்டிடெரிவேடிவ் முக்கோணவியல் தொடர்பானது என்பதை உடனடியாக நமக்குக் குறிக்கிறது. மற்றும், உண்மையில், நாம் அட்டவணையைப் பார்த்தால், $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ என்பது $\text(arctg)x$ என்பதைத் தவிர வேறில்லை. எனவே அதை எழுதுவோம்:
கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பின்வருவனவற்றை எழுத வேண்டும்:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
நாம் இங்கே முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பற்றியும் பேசுகிறோம். நாம் அட்டவணையைப் பார்த்தால், உண்மையில், இதுதான் நடக்கும்:
சுட்டிக்காட்டப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு தொகுப்பிலும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\\text( ))(6)+C\]
இறுதியாக அதை எழுதுவோம்:
இது மிகவும் எளிமையானது. ஒரே பிரச்சனை என்னவென்றால், எளிய செயல்பாடுகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிட, நீங்கள் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். இருப்பினும், உங்களுக்கான வழித்தோன்றல் அட்டவணையைப் படித்த பிறகு, இது ஒரு பிரச்சனையாக இருக்காது என்று நினைக்கிறேன்.
அதிவேக செயல்பாட்டைக் கொண்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
தொடங்குவதற்கு, பின்வரும் சூத்திரங்களை எழுதுவோம்:
\[((இ)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac((((a)^(x)))(\ln a)\]
இவை அனைத்தும் நடைமுறையில் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 1
அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளவற்றைப் பார்த்தால், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் ஒரு சதுரத்தில் இருக்க $((e)^(x))$ க்கு அத்தகைய வெளிப்பாடு இல்லை என்பதை நாம் கவனிப்போம், எனவே இந்த சதுரம் விரிவாக்கப்பட வேண்டும். இதைச் செய்ய, சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
ஒவ்வொரு சொற்களுக்கும் எதிர் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:
\[((இ)^(2x))=((\இடது(((இ)^(2)) \வலது))^(x))\இலிருந்து \frac((\இடது(((இ)) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((இ)^(-2x))=((\இடது((இ)^(-2)) \வலது))^(x))\ to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
இப்போது அனைத்து சொற்களையும் ஒரே வெளிப்பாடாகச் சேகரித்து, பொதுவான எதிர்ப்பொருளைப் பெறுவோம்:
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
இந்த முறை பட்டம் பெரியது, எனவே சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரம் மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும். எனவே அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்:
இப்போது இந்த கட்டுமானத்தில் இருந்து நமது சூத்திரத்தின் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் எடுக்க முயற்சிப்போம்:
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதிவேக செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களில் சிக்கலான அல்லது இயற்கைக்கு அப்பாற்பட்ட எதுவும் இல்லை. அவை அனைத்தும் அட்டவணைகள் மூலம் கணக்கிடப்படுகின்றன, ஆனால் கவனமுள்ள மாணவர்கள் $((e)^(2x))$ என்பது $((a) ஐ விட $((e)^(x))$ க்கு மிக நெருக்கமாக இருப்பதைக் கவனிக்கலாம். )^(x ))$. எனவே, $((e)^(2x))$ ஐக் கண்டுபிடிக்க, $((e)^(x))$ என்ற எதிர்வழியை அறிந்து கொள்ள அனுமதிக்கும் இன்னும் சில சிறப்பு விதிகள் இருக்கலாம்? ஆம், அத்தகைய விதி உள்ளது. மேலும், இது ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையுடன் பணிபுரிவதில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த பகுதியாகும். நாங்கள் இப்போது ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் பணிபுரிந்த அதே வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி அதை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.
ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையுடன் வேலை செய்வதற்கான விதிகள்
எங்கள் செயல்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:
முந்தைய வழக்கில், தீர்க்க பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம்:
\[((a)^(x))\ to \frac(((a)^(x)))(\ஆபரேட்டர் பெயர்(lna))\]
ஆனால் இப்போது அதை கொஞ்சம் வித்தியாசமாக செய்வோம்: எந்த அடிப்படையில் $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ என்பதை நினைவில் கொள்வோம். நான் ஏற்கனவே கூறியது போல், $((e)^(x))$ என்பது $((e)^(x))$ ஐ விட அதிகமாக இல்லை என்பதால், அதன் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் அதே $((e) ^க்கு சமமாக இருக்கும். (x))$. ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால், நம்மிடம் $((e)^(2x))$ மற்றும் $((e)^(-2x))$ உள்ளது. இப்போது $((e)^(2x))$ இன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்:
\[((\left(((e))^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
எங்கள் கட்டுமானத்தை மீண்டும் எழுதுவோம்:
\[((\இடது(((இ))^(2x)) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((இ)^(2x))=((\இடது(\frac(((இ))^2x)))(2) \வலது))^(\ப்ரைம் ))\]
இதன் பொருள் என்னவென்றால், $((e)^(2x))$ என்ற எதிர்ப்பொருளைக் கண்டறியும் போது பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
நீங்கள் பார்ப்பது போல், முன்பு இருந்த அதே முடிவைப் பெற்றோம், ஆனால் $((a)^(x))$ஐக் கண்டுபிடிக்க நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவில்லை. இப்போது இது முட்டாள்தனமாகத் தோன்றலாம்: ஒரு நிலையான சூத்திரம் இருக்கும்போது கணக்கீடுகளை ஏன் சிக்கலாக்க வேண்டும்? இருப்பினும், சற்று சிக்கலான வெளிப்பாடுகளில் இந்த நுட்பம் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருப்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள், அதாவது. வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறியவும்.
ஒரு வார்ம்-அப் என, இதே வழியில் $((e)^(2x))$ இன் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்வைக் கண்டுபிடிப்போம்:
\[((\left(((e))^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e))^-2x))(-2) \right))^(\prime ))\]
கணக்கிடும்போது, எங்கள் கட்டுமானம் பின்வருமாறு எழுதப்படும்:
\[((இ)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((இ)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
நாங்கள் அதே முடிவைப் பெற்றோம், ஆனால் வேறு பாதையில் சென்றோம். இந்த பாதை, இப்போது நமக்கு சற்று சிக்கலானதாகத் தோன்றுகிறது, எதிர்காலத்தில் மிகவும் சிக்கலான ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிடுவதற்கும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்துவதற்கும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
குறிப்பு! இது ஒரு மிக முக்கியமான விஷயம்: டெரிவேடிவ்கள் போன்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் பல வழிகளில் கணக்கிடப்படலாம். இருப்பினும், அனைத்து கணக்கீடுகளும் கணக்கீடுகளும் சமமாக இருந்தால், பதில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். $((e)^(-2x))$ -ன் உதாரணத்துடன் இதைப் பார்த்தோம் - ஒருபுறம், இந்த ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் "வலது வழியாக" கணக்கிட்டு, வரையறையைப் பயன்படுத்தி, மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட்டு, மறுபுறம், $ ((e)^(-2x))$ ஐ $((\left(((e))^(-2)) \வலது))^(x))$ ஆக குறிப்பிடலாம் என்பதை நினைவில் வைத்துக் கொண்டோம். $((a)^(x))$ செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ். இருப்பினும், அனைத்து மாற்றங்களுக்கும் பிறகு, எதிர்பார்த்தது போலவே முடிவு இருந்தது.
இப்போது நாம் இதையெல்லாம் புரிந்து கொண்டோம், இன்னும் குறிப்பிடத்தக்க விஷயத்திற்கு செல்ல வேண்டிய நேரம் இது. இப்போது நாம் இரண்டு எளிய கட்டுமானங்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம், ஆனால் அவற்றைத் தீர்க்கும் போது பயன்படுத்தப்படும் நுட்பம் அட்டவணையில் இருந்து அண்டை ஆண்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு இடையில் வெறுமனே "இயங்குவதை" விட மிகவும் சக்திவாய்ந்த மற்றும் பயனுள்ள கருவியாகும்.
சிக்கலைத் தீர்ப்பது: ஒரு செயல்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்
எடுத்துக்காட்டு எண். 1
எண்களில் உள்ள தொகையை மூன்று தனித்தனி பின்னங்களாகப் பிரிப்போம்:
இது மிகவும் இயல்பான மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய மாற்றமாகும் - பெரும்பாலான மாணவர்களுக்கு இதில் சிக்கல்கள் இல்லை. எங்கள் வெளிப்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:
இப்போது இந்த சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்:
எங்கள் விஷயத்தில், பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:
இந்த மூன்று-அடுக்கு பின்னங்கள் அனைத்தையும் அகற்ற, பின்வருவனவற்றைச் செய்ய நான் பரிந்துரைக்கிறேன்:
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
முந்தைய பகுதியைப் போலன்றி, வகுத்தல் என்பது ஒரு தயாரிப்பு அல்ல, ஆனால் ஒரு தொகை. இந்த விஷயத்தில், நம் பின்னத்தை பல எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகப் பிரிக்க முடியாது, ஆனால் எப்படியாவது எண் வகுப்பில் தோராயமாக அதே வெளிப்பாடு உள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த முயற்சிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், இதைச் செய்வது மிகவும் எளிது:
கணித மொழியில் "பூஜ்ஜியத்தைச் சேர்ப்பது" என்று அழைக்கப்படும் இந்தக் குறியீடு, பின்னத்தை மீண்டும் இரண்டு துண்டுகளாகப் பிரிக்க அனுமதிக்கும்:
இப்போது நாம் தேடுவதைக் கண்டுபிடிப்போம்:
அவ்வளவுதான் கணக்கீடுகள். முந்தைய சிக்கலை விட அதிக சிக்கலானது இருந்தபோதிலும், கணக்கீடுகளின் அளவு இன்னும் சிறியதாக மாறியது.
தீர்வின் நுணுக்கங்கள்
அட்டவணை ஆண்டிடெரிவேடிவ்களுடன் பணிபுரிவதில் முக்கிய சிரமம் உள்ளது, இது இரண்டாவது பணியில் குறிப்பாக கவனிக்கப்படுகிறது. உண்மை என்னவென்றால், அட்டவணையின் மூலம் எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய சில கூறுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு, நாம் எதைத் தேடுகிறோம் என்பதைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், மேலும் இந்த உறுப்புகளுக்கான தேடலில்தான் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு கணக்கீடும் உள்ளது.
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை மனப்பாடம் செய்வது மட்டும் போதாது - இதுவரை இல்லாத ஒன்றை நீங்கள் பார்க்க வேண்டும், ஆனால் இந்த சிக்கலின் ஆசிரியரும் தொகுப்பாளரும் என்ன அர்த்தம். அதனால்தான் பல கணிதவியலாளர்கள், ஆசிரியர்கள் மற்றும் பேராசிரியர்கள் தொடர்ந்து வாதிடுகின்றனர்: "எதிர்ப்பொருட்கள் அல்லது ஒருங்கிணைப்பு என்றால் என்ன - இது ஒரு கருவியா அல்லது உண்மையான கலையா?" உண்மையில், என் தனிப்பட்ட கருத்துப்படி, ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு கலை அல்ல - அதில் உன்னதமான எதுவும் இல்லை, அது வெறும் பயிற்சி மற்றும் அதிக பயிற்சி. பயிற்சி செய்ய, இன்னும் மூன்று தீவிர உதாரணங்களைத் தீர்ப்போம்.
நடைமுறையில் ஒருங்கிணைப்பு பயிற்சி அளிக்கிறோம்
பணி எண் 1
பின்வரும் சூத்திரங்களை எழுதுவோம்:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2))\ to \text(arctg)x\]
பின்வருவனவற்றை எழுதுவோம்:
பிரச்சனை எண் 2
அதை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:
மொத்த ஆண்டிடெரிவேடிவ் இதற்கு சமமாக இருக்கும்:
பணி எண். 3
இந்தப் பணியின் சிரமம் என்னவென்றால், மேலே உள்ள முந்தைய செயல்பாடுகளைப் போலல்லாமல், $x$ என்ற மாறி எதுவும் இல்லை, அதாவது. கீழே உள்ளதைப் போன்ற ஏதாவது ஒன்றைப் பெறுவதற்கு எதைக் கூட்டுவது அல்லது கழிப்பது என்பது எங்களுக்குப் புரியவில்லை. இருப்பினும், உண்மையில், இந்த வெளிப்பாடு முந்தைய வெளிப்பாடுகளை விட எளிமையானதாகக் கருதப்படுகிறது, ஏனெனில் இந்த செயல்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:
நீங்கள் இப்போது கேட்கலாம்: இந்த செயல்பாடுகள் ஏன் சமமாக உள்ளன? சரிபார்ப்போம்:
மீண்டும் மீண்டும் எழுதுவோம்:
நமது வெளிப்பாட்டை கொஞ்சம் மாற்றுவோம்:
இதையெல்லாம் நான் எனது மாணவர்களுக்கு விளக்கும்போது, எப்போதும் இதே பிரச்சனை எழுகிறது: முதல் செயல்பாட்டில் எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக உள்ளது, இரண்டாவதாக நீங்கள் அதை அதிர்ஷ்டம் அல்லது பயிற்சி மூலம் கண்டுபிடிக்கலாம், ஆனால் நீங்கள் எந்த வகையான மாற்று உணர்வுடன் இருக்கிறீர்கள்? மூன்றாவது உதாரணத்தை தீர்க்க வேண்டுமா? உண்மையில், பயப்பட வேண்டாம். கடைசி ஆண்டிடெரிவேட்டிவைக் கணக்கிடும்போது நாங்கள் பயன்படுத்திய நுட்பம் "ஒரு செயல்பாட்டை அதன் எளிமையானதாக சிதைப்பது" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது மிகவும் தீவிரமான நுட்பமாகும், மேலும் ஒரு தனி வீடியோ பாடம் அதற்கு அர்ப்பணிக்கப்படும்.
இதற்கிடையில், நாங்கள் இப்போது படித்தவை, அதாவது அதிவேக செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் உள்ளடக்கத்தில் உள்ள சிக்கல்களை ஓரளவு சிக்கலாக்குவதற்கு நான் முன்மொழிகிறேன்.
ஆண்டிடெரிவேடிவ் அதிவேக செயல்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்கள்
பணி எண் 1
பின்வருவனவற்றைக் கவனிக்கலாம்:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
இந்த வெளிப்பாட்டின் எதிர்விளைவைக் கண்டறிய, நிலையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
எங்கள் விஷயத்தில், ஆண்டிடெரிவேடிவ் இப்படி இருக்கும்:
நிச்சயமாக, நாங்கள் இப்போது தீர்த்த வடிவமைப்போடு ஒப்பிடும்போது, இது எளிமையானதாகத் தெரிகிறது.
பிரச்சனை எண் 2
மீண்டும், இந்த செயல்பாட்டை இரண்டு தனித்தனி சொற்களாக - இரண்டு தனித்தனி பின்னங்களாக எளிதாகப் பிரிக்கலாம் என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. மீண்டும் எழுதுவோம்:
மேலே விவரிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த சொற்கள் ஒவ்வொன்றின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:
ஆற்றல் செயல்பாடுகளுடன் ஒப்பிடும்போது அதிவேக செயல்பாடுகளின் சிக்கலான தன்மை அதிகமாக இருந்தாலும், கணக்கீடுகள் மற்றும் கணக்கீடுகளின் ஒட்டுமொத்த அளவு மிகவும் எளிமையானதாக மாறியது.
நிச்சயமாக, அறிவுள்ள மாணவர்களுக்கு, நாம் இப்போது விவாதித்தவை (குறிப்பாக நாம் முன்பு விவாதித்தவற்றின் பின்னணியில்) அடிப்படை வெளிப்பாடுகளாகத் தோன்றலாம். இருப்பினும், இன்றைய வீடியோ பாடத்திற்கு இந்த இரண்டு சிக்கல்களைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, மற்றொரு சிக்கலான மற்றும் அதிநவீன நுட்பத்தை உங்களுக்குச் சொல்லும் இலக்கை நான் அமைக்கவில்லை - அசல் செயல்பாடுகளை மாற்றுவதற்கு நிலையான அல்ஜீப்ரா நுட்பங்களைப் பயன்படுத்த நீங்கள் பயப்படக்கூடாது என்பதை நான் உங்களுக்குக் காட்ட விரும்பினேன். .
"ரகசிய" நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துதல்
முடிவில், நான் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான நுட்பத்தைப் பார்க்க விரும்புகிறேன், இது ஒருபுறம், இன்று நாம் முக்கியமாக விவாதித்ததைத் தாண்டியது, ஆனால், மறுபுறம், இது முதலில், சிக்கலானது அல்ல, அதாவது. தொடக்க மாணவர்கள் கூட அதை மாஸ்டர் செய்யலாம், இரண்டாவதாக, இது எல்லா வகையான சோதனைகள் மற்றும் சுயாதீனமான வேலைகளில் அடிக்கடி காணப்படுகிறது, அதாவது. இது பற்றிய அறிவு, ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையைப் பற்றிய அறிவுக்கு கூடுதலாக மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
பணி எண் 1
வெளிப்படையாக, சக்தி செயல்பாட்டிற்கு மிகவும் ஒத்த ஒன்று உள்ளது. இந்த விஷயத்தில் நாம் என்ன செய்ய வேண்டும்? இதைப் பற்றி யோசிப்போம்: $x-5$ என்பது $x$ இலிருந்து வேறுபட்டதல்ல - அவர்கள் $-5$ சேர்த்துள்ளனர். அதை இப்படி எழுதுவோம்:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[(\இடது(\frac(((x))^(5)))(5) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
$((\left(x-5 \right))^(5))$ இன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்:
\[((\left((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
இது குறிக்கிறது:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=(\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ வலது))^(\பிரதம ))\]
அட்டவணையில் அத்தகைய மதிப்பு எதுவும் இல்லை, எனவே சக்தி செயல்பாட்டிற்கான நிலையான ஆன்டிடெரிவேடிவ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இப்போது இந்த சூத்திரத்தை நாமே பெற்றுள்ளோம். பதிலை இப்படி எழுதுவோம்:
பிரச்சனை எண் 2
முதல் தீர்வைப் பார்க்கும் பல மாணவர்கள் எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது என்று நினைக்கலாம்: சக்தி செயல்பாட்டில் $x$ ஐ நேரியல் வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றவும், எல்லாம் சரியாகிவிடும். துரதிர்ஷ்டவசமாக, எல்லாம் அவ்வளவு எளிதல்ல, இப்போது இதைப் பார்ப்போம்.
முதல் வெளிப்பாட்டுடன் ஒப்புமை மூலம், பின்வருவனவற்றை எழுதுகிறோம்:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
எங்கள் வழித்தோன்றலுக்குத் திரும்பி, நாம் எழுதலாம்:
\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\இடது(4-3x \வலது))^(9))=(\இடது(\frac((\இடது(4-3x \வலது))^(10)))(-30) \வலது))^(\பிரதம ))\]
இது உடனடியாக பின்வருமாறு:
தீர்வின் நுணுக்கங்கள்
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: கடைசியாக எதுவும் மாறவில்லை என்றால், இரண்டாவது வழக்கில், $-10$ க்கு பதிலாக, $-30$ தோன்றியது. $-10$ மற்றும் $-30$ இடையே என்ன வித்தியாசம்? வெளிப்படையாக, $-3$ காரணி மூலம். கேள்வி: எங்கிருந்து வந்தது? நீங்கள் கூர்ந்து கவனித்தால், சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதன் விளைவாக இது எடுக்கப்பட்டது என்பதை நீங்கள் காணலாம் - $x$ இல் இருந்த குணகம் கீழே உள்ள ஆன்டிடெரிவேடிவ்வில் தோன்றுகிறது. இது ஒரு மிக முக்கியமான விதி, இன்றைய வீடியோ பாடத்தில் நான் முதலில் விவாதிக்கத் திட்டமிடவில்லை, ஆனால் அது இல்லாமல் அட்டவணை ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் விளக்கக்காட்சி முழுமையடையாது.
எனவே மீண்டும் செய்வோம். எங்கள் முக்கிய சக்தி செயல்பாடு இருக்கட்டும்:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
இப்போது, $x$ க்குப் பதிலாக, $kx+b$ என்ற வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம். அப்போது என்ன நடக்கும்? பின்வருவனவற்றை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\ to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1))(\left(n+ 1 \வலது)\cdot k)\]
எந்த அடிப்படையில் இதை நாம் கோருகிறோம்? மிக எளிய. மேலே எழுதப்பட்ட கட்டுமானத்தின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:
\[((\left(\frac((\left(kx+b \right)))^(n+1))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
இது முதலில் இருந்த அதே வெளிப்பாடுதான். எனவே, இந்த சூத்திரமும் சரியானது, மேலும் இது ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை கூடுதலாகப் பயன்படுத்தலாம் அல்லது முழு அட்டவணையையும் நினைவில் வைத்திருப்பது நல்லது.
"ரகசியம்: நுட்பத்திலிருந்து முடிவுகள்:
- நாம் இப்போது பார்த்த இரண்டு செயல்பாடுகளும், டிகிரிகளை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் அட்டவணையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஆன்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு குறைக்கப்படலாம், ஆனால் நான்காவது பட்டத்தை எப்படியாவது அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ சமாளிக்க முடிந்தால், நான் ஒன்பதாம் பட்டத்தை கூட கருத்தில் கொள்ள மாட்டேன். வெளிப்படுத்தத் துணிந்தார்.
- நாம் டிகிரிகளை விரிவுபடுத்தினால், ஒரு எளிய பணியானது தகாத முறையில் அதிக நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் அளவுக்கு அதிகமான கணக்கீடுகளுடன் முடிவடையும்.
- அதனால்தான் நேரியல் வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட இத்தகைய சிக்கல்கள் "தலைகீழாக" தீர்க்கப்பட வேண்டியதில்லை. உள்ளே $kx+b$ என்ற வெளிப்பாடு இருந்தால் மட்டுமே டேபிளில் உள்ள ஒன்றிலிருந்து வேறுபடும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஒன்றை நீங்கள் கண்டவுடன், மேலே எழுதப்பட்ட சூத்திரத்தை உடனடியாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ளுங்கள், அதை உங்கள் டேபிள் ஆண்டிடெரிவேடிவ் ஆக மாற்றவும், மேலும் அனைத்தும் பலனளிக்கும். வேகமாகவும் எளிதாகவும்.
இயற்கையாகவே, இந்த நுட்பத்தின் சிக்கலான தன்மை மற்றும் தீவிரத்தன்மை காரணமாக, எதிர்கால வீடியோ பாடங்களில் அதன் பரிசீலனைக்கு பல முறை திரும்புவோம், ஆனால் இன்றைக்கு அவ்வளவுதான். ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளைப் புரிந்துகொள்ள விரும்பும் மாணவர்களுக்கு இந்தப் பாடம் உண்மையில் உதவும் என்று நம்புகிறேன்.
