21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 - 4 21 42 = 3025 - 3582< 0.
பதில்: 1; 2.
§6. தொகுதிகள் மற்றும் அளவுருக்கள் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது
மாடுலஸ் குறியின் கீழ் x மாறி தோன்றும் பல சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். அதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுவோம்
x, x ≥ 0 என்றால்,
x = - x என்றால் x< 0.
எடுத்துக்காட்டு 1: சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:
a) x - 2 = 3; b) x + 1 - 2x - 3 = 1;
x+2 |
X =1; ஈ) x 2 - |
6; இ) 6x 2 - |
x+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x - 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
அ) ஒரு எண்ணின் மாடுலஸ் 3 என்றால், இந்த எண் 3 அல்லது (− 3), |
||||||||||||||||||||||||||||||||
அதாவது x - 2 = 3, x = 5 அல்லது x - 2 = - 3, x = - 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
b) ஒரு தொகுதியின் வரையறையிலிருந்து அது பின்வருமாறு |
x+1 |
X + 1, x + 1 ≥ 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||
அதாவது x ≥ − 1 மற்றும் |
x+1 |
= - x - 1 இல் x< − 1. Выражение |
2x - 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 x − 3 என்றால் x ≥ 3 |
மற்றும் x என்றால் − 2 x + 3 க்கு சமம்< 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
எக்ஸ்< −1 |
சமன்பாடு |
இணையான |
சமன்பாடு |
|||||||||||||||||||||||||||||
− x -1 - |
(− 2 x + 3 ) = 1, அதில் இருந்து அது பின்வருமாறு |
x = 5. ஆனால் எண் 5 இல்லை |
||||||||||||||||||||||||||||||
x நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது< − 1, следовательно, |
x இல்< − 1 данное |
|||||||||||||||||||||||||||||||
சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 ≤ x< |
சமன்பாடு |
இணையான |
சமன்பாடு |
|||||||||||||||||||||||||||||
x + 1− (2x + 3) = 1, இது x = 1 என்பதைக் குறிக்கிறது; |
எண் 1 திருப்தி - |
|||||||||||||||||||||||||||||||
நிபந்தனையை சந்திக்கிறது - 1 ≤ x< |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 5, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். இருபடி சமன்பாடுகள்
x ≥ |
சமன்பாடு |
இணையான |
சமன்பாடு |
||||||||||||||||||
x + 1 - (− 2 x - 3 ) = 1, இதில் x = 3 தீர்வு உள்ளது. மேலும் எண் 3 ஆக இருப்பதால் |
|||||||||||||||||||||
x ≥ நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது |
பின்னர் அது சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாகும். |
||||||||||||||||||||
x+2 |
|||||||||||||||||||||
c) பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுத்தல் என்றால் |
அதே வேண்டும் |
||||||||||||||||||||
x - 1 |
|||||||||||||||||||||
அறிகுறிகள், பின்னம் நேர்மறை, மற்றும் வேறுபட்டால், அது எதிர்மறையானது, அதாவது. |
|||||||||||||||||||||
x+2 |
x+2 |
x ≤ − 2 என்றால், x > 1 என்றால், |
|||||||||||||||||||
x - 1 |
|||||||||||||||||||||
x - 1 |
|||||||||||||||||||||
x+2 |
என்றால் - 2< x < 1. |
||||||||||||||||||||
−1 |
|||||||||||||||||||||
x ≤ − 2க்கு |
மற்றும் x > 1க்கு |
||||||||||||||||||||
அசல் சமன்பாடு சமன்பாட்டிற்கு சமம் |
|||||||||||||||||||||
x+2 |
X =1, x +2 |
X (x -1 ) = x -1, x 2 - x +3 =0. |
|||||||||||||||||||
x - 1 |
|||||||||||||||||||||
கடைசி சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை. |
|||||||||||||||||||||
− 2 இல்< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению |
|||||||||||||||||||||
x+2 |
X =1, - x -2 + x 2 - x = x -1, x 2 -3 x -1 = 0. |
||||||||||||||||||||
x - 1 |
|||||||||||||||||||||
இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்: |
|||||||||||||||||||||
x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13. |
|||||||||||||||||||||
ஏற்றத்தாழ்வுகள் |
− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13 |
ஸ்லேடோவா- |
|||||||||||||||||||
எனவே, இந்த எண் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும். |
|||||||||||||||||||||
x ≥ 0 கொடுக்கப்பட்டது |
சமன்பாடு |
இணையான |
சமன்பாடு |
||||||||||||||||||
x 2 - x -6 = 0, |
அதன் வேர்கள் எண்கள் 3 மற்றும் – 2. எண் 3 |
||||||||||||||||||||
x > 0 நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது, |
மற்றும் எண் - 2 இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை- |
||||||||||||||||||||
எனவே, எண் 3 மட்டுமே அசல் ஒரு தீர்வு
எக்ஸ்< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.
© 2011, MIPT இல் FZFTSH. தொகுத்தவர்: யாகோவ்லேவா தமரா கரிடோனோவ்னா
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 5, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். இருபடி சமன்பாடுகள் |
||||||||
x ≥ - 1 கொடுக்கப்பட்டது |
சமன்பாடு |
இணையான |
சமன்பாடு |
|||||
6 x 2 - x - 1 = 0, அதன் வேர்களைக் கண்டறியவும்: x = 1 ± |
25, x = 1, x |
= −1 . |
||||||
இரண்டு வேர்களும் நிபந்தனை x ≥ − 1, |
எனவே, அவை |
|||||||
இந்த சமன்பாட்டின் தீர்வுகள். மணிக்கு |
எக்ஸ்< − 1 данное уравнение |
|||||||
தீர்வுகள் இல்லாத 6 x 2 + x + 1 = 0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம். |
||||||||
f (x, a) மற்றும் g (x, a) ஆகிய வெளிப்பாடுகள் கொடுக்கப்படட்டும், |
மாற்றங்களைச் சார்ந்தது |
|||||||
எக்ஸ் |
மற்றும் ஏ. |
பிறகு சமன்பாடு |
f (x, a) = g(x, a) |
மாற்றங்கள் குறித்து |
||||
noah x அழைக்கப்படுகிறது அளவுருவுடன் சமன்பாடுஅ. ஒரு அளவுருவுடன் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது என்பது, அந்த அளவுருவின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புக்கு, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டறிவது.
எடுத்துக்காட்டு 2. அளவுருவின் அனைத்து செல்லுபடியாகும் மதிப்புகளுக்கான சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
a) கோடாரி 2 - 3 = 4 a 2 - 2 x 2 ; b) (a - 3 ) x 2 = a 2 - 9;
c) (a - 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a - 2 ) = 0.
x 2 = |
4a 2 + 3 |
வெளிப்பாடு 4 மற்றும் 2 |
எந்த ஒரு க்கும் 3 > 0; ஒரு > − 2க்கு உள்ளன |
|||||
a+2 |
||||||||
எங்களிடம் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன: x = |
4a 2 + 3 |
மற்றும் x = - |
4a 2 |
என்றால் |
a+2< 0, то |
|||
a+2 |
a+2 |
|||||||
வெளிப்பாடு 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2
பதில்: x = ± |
4a 2 + 3 |
ஒரு > - 2 க்கு; |
ஒரு ≤ - 2 க்கு தீர்வுகள் இல்லை. |
|
a+2 |
||||
பின்னர் x 2 = a + 3. a + 3 = 0 எனில், |
||||
b) a = 3 எனில், x. ஒரு ≠ 3 என்றால், |
||||
அந்த. a = - 3 என்றால், |
சமன்பாடு x = 0 என்ற தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. Ec- |
|||
என்பதை ஒரு< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 மற்றும் a ≠ 3, பின்னர் சமன்பாட்டில் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன: x 1 = a + 3 மற்றும் x 2 = − a + 3.
© 2011, MIPT இல் FZFTSH. தொகுத்தவர்: யாகோவ்லேவா தமரா கரிடோனோவ்னா
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 5, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். இருபடி சமன்பாடுகள் |
||||||||||||||||||
a = 1 இந்த சமன்பாடு வடிவத்தை எடுக்கும் |
4x - 1 = 0, |
|||||||||||||||||
x = 1 |
என்பது அவரது முடிவு. மணிக்கு |
a ≠ 1 இந்த சமன்பாடு |
||||||||||||||||
சதுரம், அதன் பாகுபாடு D 1 க்கு சமம் |
||||||||||||||||||
(a + 1 ) 2 - (a - 1 )(a - 2 ) = 5 a - 1. |
||||||||||||||||||
5 a - 1 என்றால்< 0, т.е. a < 1 , |
இந்த சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை. |
|||||||||||||||||
ஒரு = என்றால் |
பின்னர் சமன்பாடு ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது |
|||||||||||||||||
a+1 |
||||||||||||||||||
x = - |
||||||||||||||||||
ஒரு - 1 |
−1 |
|||||||||||||||||
ஒரு > என்றால் |
மற்றும் ஒரு ≠ 1, |
இந்த சமன்பாட்டில் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன: |
||||||||||||||||
x = - (a + 1) ± 5 a - 1. |
||||||||||||||||||
ஒரு - 1 |
−(a +1 ) ± |
|||||||||||||||||
1 மணிக்கு |
a = 1; x = 3 |
ஒரு மணிக்கு |
; x = |
5a - 1 |
||||||||||||||
ஒரு - 1 |
||||||||||||||||||
ஒரு > 1க்கு |
மற்றும் ஒரு ≠ 1; ஒரு மணிக்கு< 1 |
சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை. |
||||||||||||||||
§7. சமன்பாடுகளின் தீர்வு அமைப்புகள். இருபடி சமன்பாடுகளைக் குறைக்கும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
இந்த பிரிவில் நாம் இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகளைக் கொண்ட அமைப்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்
2x + 3y = 8,
xy = 2.
இந்த அமைப்பில், 2 x + 3 y = 8 சமன்பாடு முதல் நிலை சமன்பாடு ஆகும், மேலும் xy = 2 சமன்பாடு இரண்டாவது டிகிரி சமன்பாடு ஆகும். முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்போம்
© 2011, MIPT இல் FZFTSH. தொகுத்தவர்: யாகோவ்லேவா தமரா கரிடோனோவ்னா
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 5, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். இருபடி சமன்பாடுகள்
மாற்றீடுகள். கணினியின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து, நாம் x ஐ y மூலம் வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் x க்கு இந்த வெளிப்பாட்டை கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:
8 - 3 ஆண்டு |
4 − |
||||||
y, 4 |
y y = 2. |
||||||
கடைசி சமன்பாடு இருபடி சமன்பாட்டிற்கு குறைகிறது
8y - 3y 2 = 4, 3y 2 - 8y + 4 = 0.
அதன் வேர்களைக் காண்கிறோம்: |
|||||||||||||
4 ± 4 |
4 ± 2 |
Y=2,y |
|||||||||||
x = 4 - நிபந்தனையிலிருந்து |
நமக்கு x = 1, x கிடைக்கும் |
||||||||||||
பதில்: (1;2) மற்றும் |
|||||||||||||
எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:
x 2 + y 2 = 41,
xy = 20.
இரண்டாவது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் பெருக்கி முதல் சமன்பாட்டில் சேர்க்கவும்
அமைப்பு சமன்பாடு: |
x 2 + y 2 + 2xy = 41 + 20 2, |
(x + y) 2 = 81, எங்கிருந்து |
||||
அது x + y = 9 அல்லது x + y = - 9. |
||||||
x + y = 9 என்றால் |
x = 9 - y. இந்த வெளிப்பாட்டை x க்கு பதிலாக மாற்றுவோம் |
|||||
அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாடு: |
||||||
(9 - y ) y = 20, y 2 - 9 y + 20 = 0, |
||||||
y = 9 ± 81 - 80 = 9 ± 1, y = 5, y |
4, x = 4, x = 5. |
|||||
x + y = - 9 நிபந்தனையிலிருந்து நாம் தீர்வுகளை (-4; - 5) மற்றும் (-5; - 4) பெறுகிறோம். |
||||||
பதில்: (± 4; ± 5), (± 5; ± 4) . |
||||||
எடுத்துக்காட்டு 3. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்: |
||||||
y = 1, |
||||||
x- |
||||||
x−y |
||||||
கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம்
( x - y )( x + y ) = 5.
© 2011, MIPT இல் FZFTSH. தொகுத்தவர்: யாகோவ்லேவா தமரா கரிடோனோவ்னா
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 5, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். இருபடி சமன்பாடுகள்
x - y = 1 என்ற சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுவது: x + y = 5. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு சமமான சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.
x- |
y = 1, |
|
y = 5. |
||
இந்த சமன்பாடுகளைச் சேர்ப்போம், நமக்குக் கிடைக்கும்: 2 x = 6, |
x = 3, x = 9. |
||||||
முதல் சமன்பாட்டில் x = 9 ஐ மாற்றவும் |
அமைப்புகள் பெறும் |
||||||
எங்களிடம் 3 - y = 1 உள்ளது, அதாவது y = 4. |
|||||||
பதில்: (9;4). |
(x + y)(x |
Y -4 ) = -4, |
|||||
எடுத்துக்காட்டு 4. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்: (x 2 + y 2 ) xy = - 160. |
|||||||
xy = v; |
|||||||
புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துவோம் |
x + y = u |
||||||
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy - 2 xy = (x + y) 2 - 2 xy = u2 - 2 v, |
|||||||
u (u −4 ) = -4, |
|||||||
அமைப்பு (u 2 - 2 v ) v = - 160 வடிவத்தில் குறைக்கப்பட்டது. |
|||||||
நாங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்: |
|||||||
u (u - 4) = - 4, u 2 - 4u + 4 = 0, (u - 2) 2 = 0, u = 2. |
|||||||
உங்களுக்கான இந்த மதிப்பை சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்: |
|||||||
(u 2 - 2v ) v = - 160, (4 - 2v ) v = - 160, 2v 2 - 4v - 160 = 0, |
|||||||
v 2 - 2v - 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v |
= −8. |
||||||
இரண்டு சமன்பாடு அமைப்புகளை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்: |
|||||||
எக்ஸ் + ஒய் = 2, |
|||||||
எக்ஸ் + ஒய் = 2, |
|||||||
மற்றும் |
|||||||
xy = 10 |
xy = − 8. |
||||||
மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி இரண்டு அமைப்புகளையும் நாங்கள் தீர்க்கிறோம். முதல் அமைப்புக்கு எங்களிடம் உள்ளது: |
|||||||
எக்ஸ்= 2 − ஒய், ( 2 − ஒய்) ஒய்= 10, ஒய்2 − 2 ஒய்+ 10 = 0. |
|||||||
இதன் விளைவாக வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை. இரண்டாவது அமைப்புக்கு எங்களிடம் உள்ளது: எக்ஸ்= 2 − ஒய், (2 − ஒய்) ஒய்= − 8, ஒய்2 − 2 ஒய்− 8 = 0.
ஒய்= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, ஒய்1 = 4, ஒய்2 = − 2. பிறகுஎக்ஸ்1 = − 2 மற்றும்எக்ஸ்2 = 4. பதில்: (− 2;4 ) மற்றும்(4; − 2 ) .
© 2011, MIPT இல் FZFTSH. தொகுத்தவர்: யாகோவ்லேவா தமரா கரிடோனோவ்னா
3 ஆல் பெருக்கினால், நாம் பெறுகிறோம்:
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 5, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். இருபடி சமன்பாடுகள்
எடுத்துக்காட்டு 5.சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:
எக்ஸ் 2 + 4 xy = 3,
ஒய் 2 + 3 xy = 2.
முதல் சமன்பாட்டை 2 ஆல் பெருக்கினால், இரண்டாவது சமன்பாட்டை கழிக்கவும்,
2 எக்ஸ் 2 − xy − 3 ஒய் 2 = 0.
என்றால் ஒய்= 0, பின்னர் மற்றும் எக்ஸ்= 0, ஆனால் ஒன்றிரண்டு எண்கள் (0;0 ) அசல் அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வு அல்ல. பெறப்பட்ட சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிப்போம்
மீது ராயல்டி ஒய்2 , |
||||||||||||||||||||||||
1 ± 5 , எக்ஸ் = 2 ஒய் மற்றும்எக்ஸ் = − ஒய் . |
||||||||||||||||||||||||
−3 |
= 0, |
|||||||||||||||||||||||
ஒய் |
||||||||||||||||||||||||
மாற்றுவோம் |
பொருள் |
எக்ஸ் = |
3ஒய் |
முதல் சமன்பாடு |
||||||||||||||||||||
9 ஒய்2 + 6 ஒய்2 = 3, 11ஒய்2 = 4, ஒய்= |
, எக்ஸ்= |
, எக்ஸ்= − |
||||||||||||||||||||||
மதிப்பை மாற்றவும் எக்ஸ்= − ஒய்அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டில்: ஒய்2 − 4 ஒய்2 = 3, − 3 ஒய்2 = 3.
தீர்வுகள் இல்லை.
எடுத்துக்காட்டு 9.அனைத்து அளவுரு மதிப்புகளையும் கண்டறியவும் அ, இதற்கு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு
எக்ஸ் 2 + (ஒய் − 2 ) 2 = 1,
ஒய் = கோடாரி 2 .
குறைந்தது ஒரு தீர்வு உள்ளது.
இந்த அமைப்பு ஒரு அளவுரு கொண்ட அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அவை பகுப்பாய்வு ரீதியாக தீர்க்கப்படலாம், அதாவது. சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, அல்லது நீங்கள் வரைகலை முறை என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்தலாம்.
முதல் சமன்பாடு புள்ளியில் அதன் மையத்துடன் ஒரு வட்டத்தை வரையறுக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க (0;2 ) ஆரம் 1. இரண்டாவது சமன்பாடு அ≠ 0 தோற்றத்தில் அதன் உச்சியுடன் ஒரு பரவளையத்தை வரையறுக்கிறது.
என்றால் அ 2
ஒரு வேளையில், பரவளையமானது வட்டத்தின் தொடுகோடு இருக்கும். அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து பின்வருமாறு:
ஆம் அது எக்ஸ்2 = ஒய்/ அ, |
இந்த மதிப்புகளை மாற்றவும் |
எக்ஸ் 2 |
முதல் சமன்பாட்டில்: |
||||||||||
1 |
|||||||||||||
+(ஒய்−2 ) |
= 1, |
+ ஒய் |
− 4 ஒய்+ 4 = 1, ஒய் |
4 − அஒய்+ 3 |
= 0. |
||||||||
தொடுநிலை விஷயத்தில், சமச்சீர் காரணமாக, ஒரே ஒரு மதிப்பு மட்டுமே உள்ளது ஒய், எனவே, விளைந்த சமன்பாட்டின் பாகுபாடு இருக்க வேண்டும்
0 க்கு சமம் ஒய்தொடர்பு புள்ளி நேர்மறை, முதலியன
ஒய் = 2 |
− அ |
நமக்கு கிடைக்கும், |
|||||||||||||||
> 0; டி |
1 2 |
||||||||||||||||
4 − அ |
4 − அ |
− 12 = 0, |
4 − அ |
> 0 |
|||||||||||||
நாம் பெறுகிறோம்: 4 |
= 2 |
= 4 −2 |
|||||||||||||||
அ = |
4 + 2 3 |
4 + 2 3 |
2 + |
||||||||||||||
( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) = |
16 − 12 = |
||||||||||||||||
4 − 2 3 |
|||||||||||||||||
என்றால் அ> 2 + 2 3 , பின்னர் பரவளையமானது வட்டத்தை 4 புள்ளிகளில் வெட்டும் -
© 2011, MIPT இல் FZFTSH. தொகுத்தவர்: யாகோவ்லேவா தமரா கரிடோனோவ்னா
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 5, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். இருபடி சமன்பாடுகள்
எனவே, கணினிக்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வு இருந்தால்
அ≥ 2 + 2 3 .
எடுத்துக்காட்டு 10.ஒரு குறிப்பிட்ட இயற்கையான இரண்டு இலக்க எண்ணின் இலக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையானது இந்த இலக்கங்களின் பெருக்கத்தை விட இரண்டு மடங்கு அதிகமாகும். இந்த இரண்டு இலக்க எண்ணை அதன் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையால் வகுத்த பிறகு, எண் 4 மற்றும் மீதி 3. இந்த இரண்டு இலக்க எண்ணைக் கண்டறியவும்.
இரண்டு இலக்க எண் இருக்கட்டும் 10 அ+ பி, எங்கே அமற்றும் பி- இந்த எண்ணின் இலக்கங்கள். சிக்கலின் முதல் நிபந்தனையிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்: அ2 + பி2 = 9 + 2 ab, இரண்டாவது நிபந்தனையிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்: 10 அ+ பி= 4 (அ+ பி) + 3.
அ 2 + பி 2 = 9 + 2 ab ,
சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்: 6 அ− 3 பி= 3.
அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்
6அ− 3பி= 3, 2அ− பி= 1, பி= 2அ− 1.
இந்த மதிப்பை மாற்றவும் பிஅமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டிற்கு:
அ2 + ( 2அ− 1) 2 = 9 + 2அ( 2அ− 1) , 5அ2 − 4அ+ 1 = 9 + 4அ2 − 2அ,
அ2 − 2அ− 8 = 0, டி1 = 1 + 8 = 9, அ= 1 ± 3, அ1 = 4, அ2 = − 2 < 0, பி1 = 7.
பதில்: 47.
எடுத்துக்காட்டு 11.இரண்டு கரைசல்களைக் கலந்த பிறகு, ஒன்று 48 கிராம் மற்றும் மற்றொன்று 20 கிராம், நீரற்ற பொட்டாசியம் அயோடைடு, 200 கிராம் புதிய கரைசல் பெறப்பட்டது. முதல் கரைசலின் செறிவு இரண்டாவது செறிவை விட 15% அதிகமாக இருந்தால் அசல் தீர்வுகள் ஒவ்வொன்றின் செறிவையும் கண்டறியவும்.
மூலம் குறிப்போம் எக்ஸ்% என்பது இரண்டாவது தீர்வு மற்றும் அதற்குப் பிறகு செறிவு (எக்ஸ்+ 15 ) % - முதல் தீர்வு செறிவு.
(எக்ஸ்+ 15 )% |
எக்ஸ் % |
|||
நான் தீர்வு |
II தீர்வு |
|||
முதல் கரைசலில் 48 கிராம் உள்ளது (எக்ஸ்+ 15 ) மொத்த கரைசலின் எடையால்%,
எனவே தீர்வு எடை எக்ஸ்48 + 15 100. இரண்டாவது கரைசலில் 20 கிராம் கோ-
© 2011, MIPT இல் FZFTSH. தொகுத்தவர்: யாகோவ்லேவா தமரா கரிடோனோவ்னா
இலக்கு:
- இரண்டு மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளை மீண்டும் தீர்க்கும் அமைப்பு
- அளவுருக்கள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை வரையறுக்கவும்
- அளவுருக்கள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை உங்களுக்குக் கற்பிக்கும்.
வகுப்புகளின் போது
- ஏற்பாடு நேரம்
- மீண்டும் மீண்டும்
- ஒரு புதிய தலைப்பின் விளக்கம்
- ஒருங்கிணைப்பு
- பாடத்தின் சுருக்கம்
- வீட்டு பாடம்
2. மீண்டும் மீண்டும்:
I. ஒரு மாறியுடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாடு:
1. ஒரு மாறியுடன் நேரியல் சமன்பாட்டை வரையறுக்கவும்
[ax=b வடிவத்தின் சமன்பாடு, இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a மற்றும் b ஆகியவை சில எண்கள், ஒரு மாறியுடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாடு எனப்படும்]
2. ஒரு நேரியல் சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம்?
[- a=0, b0 எனில், சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை, x
a=0, b=0 எனில், x R
a0 என்றால், சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு, x =
3. சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் கண்டறியவும் (விருப்பங்களின்படி)
II. 2 மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடு மற்றும் 2 மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு.
1. ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டை இரண்டு மாறிகளில் வரையறுக்கவும். ஒரு உதாரணம் கொடுங்கள்.
[இரண்டு மாறிகள் கொண்ட ஒரு நேரியல் சமன்பாடு ax + by = c வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், இதில் x மற்றும் y மாறிகள், a, b மற்றும் c ஆகியவை சில எண்கள். எடுத்துக்காட்டாக, x-y=5]
2. இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது என்ன?
[இரண்டு மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு என்பது மாறிகளின் ஒரு ஜோடி மதிப்புகள் ஆகும், இது சமன்பாட்டை உண்மையான சமத்துவமாக மாற்றுகிறது.]
3. x = 7, y = 3 மாறிகளின் மதிப்புகளின் ஜோடி 2x + y = 17 சமன்பாட்டிற்கான தீர்வா?
4. இரண்டு மாறிகளில் உள்ள சமன்பாட்டின் வரைபடம் என்ன அழைக்கப்படுகிறது?
[இரண்டு மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டின் வரைபடம் என்பது, இந்தச் சமன்பாட்டிற்கான ஆயத்தொலைவுகள் ஆயத் தளத்தின் அனைத்துப் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும்.]
5. சமன்பாட்டின் வரைபடம் என்ன என்பதைக் கண்டறியவும்:
[y என்ற மாறியை x மூலம் வெளிப்படுத்துவோம்: y=-1.5x+3
சூத்திரம் y=-1.5x+3 ஒரு நேரியல் சார்பு, இதன் வரைபடம் ஒரு நேர் கோடு. 3x+2y=6 மற்றும் y=-1.5x+3 ஆகிய சமன்பாடுகள் சமமாக இருப்பதால், இந்த வரியும் 3x+2y=6 சமன்பாட்டின் வரைபடமாகும்.
6. a0 அல்லது b0 ஆகிய மாறிகள் x மற்றும் y உடன் ax+bу=c சமன்பாட்டின் வரைபடம் என்ன?
[இரண்டு மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாட்டின் வரைபடம், இதில் மாறிகளின் குணகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருக்காது.]
7. இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது என்ன?
[இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான தீர்வு என்பது ஒரு ஜோடி மாறிகளின் மதிப்புகள் ஆகும், இது அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் உண்மையான சமத்துவமாக மாற்றுகிறது]
8. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது என்றால் என்ன?
சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது என்பது அதன் அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டுபிடிப்பது அல்லது தீர்வுகள் இல்லை என்பதை நிரூபிப்பது என்பதாகும்.
9. அத்தகைய அமைப்பில் எப்பொழுதும் தீர்வுகள் உள்ளதா என்றும், அப்படியானால், எத்தனை (வரைகலையாக) உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியவும்.
10. இரண்டு மாறிகள் கொண்ட இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு எத்தனை தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கலாம்?
[கோடுகள் வெட்டினால் ஒரே தீர்வு; கோடுகள் இணையாக இருந்தால் தீர்வுகள் இல்லை; கோடுகள் இணைந்தால் எண்ணற்ற பல]
11. எந்த சமன்பாடு பொதுவாக நேர்கோட்டை வரையறுக்கிறது?
12. கோண குணகங்கள் மற்றும் இலவச விதிமுறைகளுக்கு இடையே ஒரு இணைப்பை நிறுவவும்:
விருப்பம் I:
k 1 = k 2 , b 1 b 2, தீர்வுகள் இல்லை; |
விருப்பம் II:
k 1 k 2, ஒரு தீர்வு; |
விருப்பம் III:
k 1 = k 2, b 1 = b 2, பல தீர்வுகள். |
முடிவுரை:
- இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களாக இருக்கும் கோடுகளின் கோண குணகங்கள் வேறுபட்டால், இந்த கோடுகள் வெட்டுகின்றன மற்றும் கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.
- கோடுகளின் கோண குணகங்கள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், மற்றும் y- அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகள் வேறுபட்டால், கோடுகள் இணையாக இருக்கும், மேலும் கணினிக்கு தீர்வுகள் இல்லை.
- கோண குணகங்களும் y- அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், கோடுகள் ஒன்றிணைகின்றன மற்றும் கணினியில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.
ஆசிரியர் மற்றும் மாணவர்கள் படிப்படியாக நிரப்பும் பலகையில் ஒரு அட்டவணை உள்ளது.
III. ஒரு புதிய தலைப்பின் விளக்கம்.
வரையறை: பார்வை அமைப்பு
- A 1 x+B 1 y=C
- A 2 x+B 2 y=C 2
A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 ஆகியவை அளவுருக்களைப் பொறுத்து வெளிப்பாடுகளாகவும், x மற்றும் y அறியப்படாதவைகளாகவும் உள்ளன, அளவுருக்களில் இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:
1) என்றால், கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது
2) என்றால், கணினிக்கு தீர்வுகள் இல்லை
3) என்றால், கணினியில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.
IV. ஒருங்கிணைப்பு
எடுத்துக்காட்டு 1.
அளவுரு a இன் எந்த மதிப்புகளில் கணினி செய்கிறது
- 2x - 3y = 7
- ஆ - 6y = 14
a) எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன;
b) ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது
பதில்:
a) a=4 எனில், கணினி எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது;
b) என்றால் a4, பின்னர் ஒரே ஒரு தீர்வு உள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு 2.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்
- x+(m+1)y=1
- x+2y=n
தீர்வு: a), அதாவது. m1 க்கு கணினி ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.
b), அதாவது. m=1 (2=m+1) மற்றும் n1 க்கு அசல் அமைப்பில் தீர்வுகள் இல்லை
c) , m=1 மற்றும் n=1 க்கு கணினி எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.
பதில்: அ) m=1 மற்றும் n1 எனில், தீர்வுகள் இல்லை
b) m=1 மற்றும் n=1, பின்னர் தீர்வு ஒரு எல்லையற்ற தொகுப்பாகும்
- y - ஏதேனும்
- x=n-2y
c) m1 மற்றும் n ஏதேனும் இருந்தால்
எடுத்துக்காட்டு 3.
- akh-3ау=2а+3
- x+ay=1
தீர்வு: சமன்பாடு II இலிருந்து x = 1-ay மற்றும் மாற்று சமன்பாடு I ஐ சமன்பாட்டில் காணலாம்
а(1-ау)-3ау=2а+3
a-a 2 y-3ау=2а+3
A 2 y-3ау=а+3
A(a+3)y=a+3
சாத்தியமான வழக்குகள்:
1) a=0. பின்னர் சமன்பாடு 0*y=3 [y] போல் தெரிகிறது
எனவே, a=0 க்கு கணினியில் தீர்வுகள் இல்லை
2) a=-3. பிறகு 0*y=0.
எனவே, ஒய். இந்த வழக்கில் x=1-ау=1+3у
3) a0 மற்றும் a-3. பிறகு y=-, x=1-a(-=1+1=2
பதில்:
1) a=0 எனில், பின்னர் (x; y)
2) a=-3 என்றால், x=1+3y, y
3) என்றால் a0 மற்றும் a?-3, பின்னர் x=2, y=-
இரண்டாவது முறையைத் தீர்க்கும் முறையைக் கருத்தில் கொள்வோம் (1).
இயற்கணிதக் கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினி (1) ஐத் தீர்ப்போம்: முதலில், கணினியின் முதல் சமன்பாட்டை B 2 ஆல் பெருக்கவும், இரண்டாவது B 1 ஆல் பெருக்கவும் மற்றும் இந்த சமன்பாடுகளை காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்க்கவும், இதனால் மாறி y ஐ நீக்குகிறது:
ஏனெனில் A 1 B 2 -A 2 B 1 0, பின்னர் x =
இப்போது x என்ற மாறியை நீக்குவோம். இதைச் செய்ய, கணினியின் (1) முதல் சமன்பாட்டை A 2 ஆல் பெருக்கவும், இரண்டாவது A 1 ஆல் பெருக்கவும், மேலும் இரண்டு சமன்பாடுகளையும் காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்க்கவும்:
- A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
- -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
- y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 -A 1 C 2
ஏனெனில் A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y = 
தீர்வு முறையின் வசதிக்காக (1), நாங்கள் பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:
- முக்கிய தீர்மானிப்பான்
இப்போது அமைப்பு (1)க்கான தீர்வை தீர்மானிப்பதன் மூலம் எழுதலாம்:
கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரங்கள் க்ராமரின் சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
என்றால், கணினி (1) ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது: x=; y=
என்றால் , அல்லது , பின்னர் அமைப்பு (1) தீர்வுகள் இல்லை
, , , , என்றால் அமைப்பு (1) எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.
இந்த வழக்கில், அமைப்பு மேலும் விசாரிக்கப்பட வேண்டும். இந்த வழக்கில், ஒரு விதியாக, இது ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், கணினியை பின்வரும் வழியில் படிப்பது பெரும்பாலும் வசதியானது: சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், அளவுருக்களின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளைக் கண்டறிந்து அல்லது அளவுருக்களில் ஒன்றை மற்றவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் இந்த அளவுரு மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம். அமைப்பு. குறிப்பிட்ட எண் குணகங்கள் அல்லது சிறிய எண்ணிக்கையிலான அளவுருக்கள் கொண்ட ஒரு அமைப்பைப் பெறுகிறோம், அவை படிக்கப்பட வேண்டும்.
அமைப்பின் A 1 , A 2 , B 1 , B 2 குணகங்கள் பல அளவுருக்கள் சார்ந்து இருந்தால், கணினியை தீர்மானிப்பதைப் பயன்படுத்தி கணினியைப் படிப்பது வசதியானது.
எடுத்துக்காட்டு 4.
அளவுரு a இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும், சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்
- (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
- (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4
தீர்வு: அமைப்பின் தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:
= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)
= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)
=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)
பாடம் "ஒரு தொகுதி கொண்ட அளவுருவுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது."
இலக்கு: ஒரு தொகுதி கொண்ட அளவுருவுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் திறனை வளர்ப்பது; தர்க்கரீதியான சிந்தனை மற்றும் சுயாதீனமான வேலை திறன்களை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
உபகரணங்கள்: விளக்கக்காட்சி.
வகுப்புகளின் போது.
1. மாணவர்களின் அறிவைப் புதுப்பிக்க, ஒரு தொகுதியின் கருத்தை மீண்டும் செய்ய வேண்டும் மற்றும் ஒரு தொகுதியுடன் பல சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க வேண்டும்: |x|=3; |x|= - 5; |x|=0.
பின்னர் கேள்விக்கு பதிலளிக்க மாணவர்களைக் கேளுங்கள்: ஒரு மாடுலஸுடன் கூடிய சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம், இது எதைச் சார்ந்தது?
முடிவு ஸ்லைடு 2 இல் உள்ளது. இது ஒரு குறிப்பேட்டில் எழுதப்பட்டுள்ளது.
சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பகுப்பாய்வு |x - 2 |= 3
வகுப்பின் முன் வேலை: சமன்பாடு 1. |x + 4 |= 0.
சமன்பாடுகளை நீங்களே தீர்ப்பது:
2. |x - 3 |= 5; 3. |4 - x |= 7; 4. |5 - x |= - 9. சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு பற்றிய பகுப்பாய்வு உடற்பயிற்சி 1 :
சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும்
||x| +5 - a |= 2. (ஸ்லைடு 3)
ஆசிரியரின் கருத்துகள்: இது ஒரு அளவுருவுடன் கூடிய சமன்பாடு, அதாவது. மாறி a உடன். இந்த மாறியின் மதிப்பைப் பொறுத்து, சமன்பாட்டின் வடிவம் மாறும். இதன் பொருள் சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கை a ஐப் பொறுத்தது.
பணி கேள்விக்கு பதிலளிக்க மாணவர்களை அழைக்கவும் “a இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டுபிடி, ஒவ்வொன்றிற்கும் சமன்பாடு ||x| +5 - மற்றும் |= 2 சரியாக 3 வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. (ஒரு மதிப்புக்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மதிப்பு இருந்தால், பதில் படிவத்தில் அவற்றின் தொகையை எழுதவும்). பதில்: 7. (ஸ்லைடு 4)
குழுவில் தீர்க்கவும் பணி 2: a இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும், அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் ||x| சமன்பாடு - 3 + a |= 4 சரியாக 3 வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. பதில்:- 1.
சுதந்திரமான வேலை.உடற்பயிற்சி
3
.a இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும், அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் ||x| -4+ மற்றும் |= 3 இல் சரியாக 1 ரூட் உள்ளது. பதில்: 7.
பணி 4 . a இன் எந்த மதிப்புகளுக்கு சமன்பாடு செய்கிறது
|a - 5 - |x||= 3 க்கு ஒற்றைப்படை எண்கள் உள்ளன (ஒரு மதிப்புக்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மதிப்பு இருந்தால், விடைத்தாளில் அவற்றின் தொகையை எழுதுங்கள்). பதில்: 10.
ஒரு செயல்பாட்டின் சமநிலைப் பண்பு மற்றும் வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்தி சிக்கலை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கண்டறிய மாணவர்களை அழைக்கவும்.
7. பாடம் சுருக்கம். இன்று வகுப்பில் என்ன வேலை செய்தீர்கள்? உங்களுக்கான புதிய மற்றும் கல்வி ஏதாவது இருந்ததா? உங்கள் அடுத்த பாடத்தில் என்ன வேலை செய்ய விரும்புகிறீர்கள்?
10x - 5y - 3z = - 9,
6 x + 4 y - 5 z = - 1.3 x - 4 y - 6 z = - 23.
இதை செய்ய, முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளில் x க்கான குணகங்களை சமன் செய்வோம், முதல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 6 ஆல் பெருக்கவும், இரண்டாவது சமன்பாட்டை 10 ஆல் பெருக்கவும்:
60x - 30 y - 18z = - 54.60x + 40 y - 50z = - 10.
இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் சமன்பாட்டைக் கழிக்கிறோம்.
எனவே, நாம் பெறுகிறோம்: 70 y - 32 z = 44, 35 y - 16 z = 22.
அசல் அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் மூன்றாவது சமன்பாட்டைக் கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்: 4 y + 8 y - 5 z + 12 z = - 1 + 46,
12 y + 7z = 45.
இப்போது நாம் ஒரு புதிய சமன்பாடு அமைப்பைத் தீர்க்கிறோம்:
35y - 16z = 22.12y + 7z = 45.
புதிய அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டிற்கு, 7 ஆல் பெருக்கப்படும், இரண்டாவது சமன்பாட்டை 16 ஆல் பெருக்கி, நாம் பெறுகிறோம்:
35 7 y + 12 16y = 22 7 + 45 16,
இப்போது அசல் அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டில் y = 2, z = 3 ஐ மாற்றுகிறோம்
தலைப்புகள், நாம் பெறுவது: 10x - 5 2 - 3 3 = - 9, 10x - 10 - 9 = - 9, 10x = 10, x = 1.
பதில்: (1; 2;3). ▲
§ 3. அளவுருக்கள் மற்றும் தொகுதிகள் கொண்ட அமைப்புகளின் தீர்வு
கோடாரி + 4 y = 2 a,
சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள்
x + ay = a.
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 3, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்.
இந்த அமைப்பில் உண்மையில் மூன்று மாறிகள் உள்ளன, அதாவது: a, x, y. x மற்றும் y அறியப்படாததாகக் கருதப்படுகிறது, a அளவுரு என அழைக்கப்படுகிறது. அளவுருவின் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் இந்த அமைப்பின் தீர்வுகளை (x, y) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
அத்தகைய அமைப்புகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைக் காண்பிப்போம். கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து மாறி x ஐ வெளிப்படுத்துவோம்: x = a - ay. கணினியின் முதல் சமன்பாட்டில் x க்கு இந்த மதிப்பை மாற்றுகிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:
a (a - ay) + 4 y = 2 a,
(2 - a )(2 + a ) y = a (2 - a ) .
a = 2 எனில், 0 y = 0 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். இந்தச் சமன்பாடு y எந்த எண்ணாலும் திருப்திப்படுத்தப்படும், பின்னர் x = 2 - 2 y, அதாவது, a = 2 க்கு, எண்களின் ஜோடி (2 - 2 y; y) அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வு. y இருக்க முடியும் என்பதால்
எந்த எண், பின்னர் a = 2 கொண்ட கணினி எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.
a = − 2 எனில், 0 y = 8 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். இந்தச் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு இல்லை.
இப்போது ஒரு ≠ ± 2 என்றால், |
பின்னர் y = |
a (2 - a) |
|||||||
(2 - a )(2 + a ) |
2+அ |
||||||||
x = a - ay = a - |
|||||||||
2+அ |
|||||||||
பதில்: a = 2 க்கு, கணினி வடிவத்தின் எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது (2 - 2 y; y), y என்பது எந்த எண்ணாகவும் இருக்கும்;
a = - 2 க்கு கணினியில் தீர்வுகள் இல்லை; |
||||||
ஒரு ≠ ± 2 க்கு, கணினியில் ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது |
. ▲ |
|||||
2+அ |
2+அ |
நாங்கள் இந்த அமைப்பைத் தீர்த்து, எந்த அளவுருவின் மதிப்புகளுக்கு ஒரு கணினிக்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது, அது எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும்போது, அ அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளுக்கு தீர்வுகள் இல்லை என்பதை நிறுவினோம்.
எடுத்துக்காட்டு 1: சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்
© 2010, MIPT இல் FZFTSH. தொகுத்தவர்: யாகோவ்லேவா தமரா கரிடோனோவ்னா
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 3, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்.
−3 |
y - 1 |
|||||||||||
3x - 2 y = 5. |
||||||||||||
கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் x ஐ y மூலம் வெளிப்படுத்துகிறோம், நாம் பெறுகிறோம் |
||||||||||||
2 y + 5 |
கணினியின் முதல் சமன்பாட்டில் x க்கு இந்த மதிப்பை மாற்றுகிறோம் |
|||||||||||
தலைப்புகள், நாங்கள் பெறுகிறோம்: |
2y + 5 |
−3 |
y - 1 |
−3 |
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
வெளிப்பாடு |
y = - |
y > - |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; என்றால் |
−5 |
= -ஒய் |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
வெளிப்பாடு y - 1 = 0, |
y = 1. என்றால் |
y > 1, பிறகு |
y - 1 |
Y - 1, மற்றும் es- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
என்பதை ஒய்< 1, то |
y - 1 |
1 - ஒய். |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y ≥ 1 என்றால் |
y - 1 |
Y−1 மற்றும் |
நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−3(ஒய் |
− 1) = 3, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−3 y |
3, − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2 2 + |
5 ) = 3. எண் 2 > 1, எனவே ஜோடி (3;2) மறு- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
அமைப்பை மாற்றுகிறது. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
இப்போது விடுங்கள் |
5 ≤ ஒய்<1, |
y - 1 |
− y ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
கண்டுபிடிக்கும் |
நாம் பெறுகிறோம் |
சமன்பாடு |
3y−3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 y + 10 |
3 y = 6, |
13 y = 8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
© 2010, MIPT இல் FZFTSH. தொகுத்தவர்: யாகோவ்லேவா தமரா கரிடோனோவ்னா
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 3, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்.
(2 y + 5) = |
||||||||||||||||||||||||||||||
ஆனால் குறைவாக |
எனவே ஒரு ஜோடி எண்கள் |
|||||||||||||||||||||||||||||
அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வாகும். |
||||||||||||||||||||||||||||||
ஒய்< − |
பின்னர் நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: |
3y−3 |
||||||||||||||||||||||||||||
4 y - |
3y = 6, |
5 ஆண்டு = |
28, y = 28. |
பொருள் |
||||||||||||||||||||||||||
அதனால் தீர்வுகள் இல்லை. |
||||||||||||||||||||||||||||||
இவ்வாறு, கணினி இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது (3;2) மற்றும் 13 27 ; 13 8 ▲
§ 4. சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு கார் ஒரு நகரத்திலிருந்து ஒரு கிராமத்திற்கு 2.5 மணி நேரத்தில் பயணிக்கிறது. அவர் தனது வேகத்தை மணிக்கு 20 கிமீ வேகத்தில் அதிகரித்தால், 2 மணி நேரத்தில் அவர் நகரத்திலிருந்து கிராமத்திற்கு உள்ள தூரத்தை விட 15 கி.மீ. இந்த தூரத்தைக் கண்டறியவும்.
நகரத்திற்கும் கிராமத்திற்கும் இடையே உள்ள தூரத்தை S ஆல் குறிப்போம் மற்றும் காரின் வேகத்தை V ஆல் குறிப்போம். பின்னர் S ஐக் கண்டுபிடிக்க இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்
2.5V = S,
(V + 20) 2 = S + 15.
© 2010, MIPT இல் FZFTSH. தொகுத்தவர்: யாகோவ்லேவா தமரா கரிடோனோவ்னா
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 3, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்.
இரண்டாவது சமன்பாட்டில்: |
எஸ் + 20 2 |
S +15, |
எஸ் = 25, |
எஸ் = 125. |
||
பதில்: 125 கி.மீ. ▲
எடுத்துக்காட்டு 2. இரண்டு இலக்க எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 15 ஆகும். இந்த இலக்கங்கள் மாற்றப்பட்டால், அசல் எண்ணை விட 27 கூடுதல் எண்ணைப் பெறுவீர்கள். இந்த எண்களைக் கண்டறியவும்.
கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை ab, அதாவது. பத்துகளின் எண்ணிக்கை a, மற்றும் ஒன்றின் எண்ணிக்கை b. சிக்கலின் முதல் நிபந்தனையிலிருந்து நம்மிடம் உள்ளது: a + b = 15. ba எண்ணிலிருந்து ab எண்ணைக் கழித்தால், நமக்கு 27 கிடைக்கும், எனவே நாம் இரண்டாவது சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: 10 b + a - (10 a + b) = 27. x
2010-2011 கல்வியாண்டு ஆண்டு., எண். 3, 8 ஆம் வகுப்பு. கணிதம். சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்.
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 20 ஆல் பெருக்குவோம், நாம் பெறுவது: x + 8 y = 840. x மற்றும் y ஐக் கண்டுபிடிக்க சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்
பதில்: 40 t, 100 t
எடுத்துக்காட்டு 4. ஒரு கணினி ஆபரேட்டர், ஒரு மாணவருடன் பணிபுரிகிறார், ஒரு பணியை 2 மணி 24 நிமிடங்களில் செயல்படுத்துகிறார். ஆபரேட்டர் 2 மணிநேரமும், மாணவர் 1 மணிநேரமும் வேலை செய்தால்
குழந்தைகள் முழு வேலைகளில் 2 3 முடித்தனர். செயல்பட எவ்வளவு நேரம் ஆகும்
ru மற்றும் மாணவர் தனித்தனியாக பணியைச் செயல்படுத்த வேண்டுமா?
அனைத்து வேலைகளையும் 1 ஆல் குறிக்கலாம், ஆபரேட்டர் உற்பத்தித்திறனை x ஆல் மற்றும் மாணவர்களின் உற்பத்தித்திறனை y ஆல் குறிக்கலாம். அதை நாங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம்
2 மணி 24 நிமிடங்கள் = 2 5 2 மணி நேரம் = 12 5 மணி நேரம்.
சிக்கலின் முதல் நிபந்தனையிலிருந்து அது (x+y) 12 5 = 1. சிக்கலின் இரண்டாவது நிபந்தனையிலிருந்து 2 x + y = 2 3. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெற்றோம்
(x+y) |
|||||||||||||||||||||||||||
2 x + y = |
|||||||||||||||||||||||||||
மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்: |
|||||||||||||||||||||||||||
− 2 x ; |
|||||||||||||||||||||||||||
−2 x |
−x |
− 1; |
|||||||||||||||||||||||||
; x = |
; y = |
||||||||||||||||||||||||||
© 2010, MIPT இல் FZFTSH. தொகுத்தவர்: யாகோவ்லேவா தமரா கரிடோனோவ்னா
1. அளவுருவுடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்
ஒரு அளவுருவுடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் சாதாரண சமன்பாடுகளின் அதே அடிப்படை முறைகளால் தீர்க்கப்படுகின்றன: மாற்று முறை, சமன்பாடுகளைச் சேர்க்கும் முறை மற்றும் வரைகலை முறை. நேரியல் அமைப்புகளின் வரைகலை விளக்கம் பற்றிய அறிவு, வேர்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் அவற்றின் இருப்பு பற்றிய கேள்விக்கு பதிலளிப்பதை எளிதாக்குகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 1.
சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு தீர்வுகள் இல்லாத அளவுரு a க்கான அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்.
(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.
தீர்வு.
இந்த பணியை தீர்க்க பல வழிகளைப் பார்ப்போம்.
1 வழி.நாங்கள் சொத்தை பயன்படுத்துகிறோம்: x க்கு முன்னால் உள்ள குணகங்களின் விகிதம் y க்கு முன்னால் உள்ள குணகங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருந்தால், கணினிக்கு தீர்வுகள் இல்லை, ஆனால் இலவச விதிமுறைகளின் விகிதத்திற்கு சமமாக இல்லை (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). பின்னர் எங்களிடம் உள்ளது:
1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 அல்லது அமைப்பு
(மற்றும் 2 – 3 = 1,
(அ ≠ 2.
முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து a 2 = 4, எனவே, a ≠ 2 என்ற நிபந்தனையை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பதிலைப் பெறுகிறோம்.
பதில்: a = -2.
முறை 2.மாற்று முறை மூலம் தீர்க்கிறோம்.
(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,
((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.
முதல் சமன்பாட்டில் அடைப்புக்குறிக்குள் y என்ற பொதுவான காரணியை எடுத்த பிறகு, நாம் பெறுகிறோம்:
((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.
முதல் சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை என்றால் கணினிக்கு தீர்வுகள் இல்லை, அதாவது
(மற்றும் 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.
வெளிப்படையாக, a = ± 2, ஆனால் இரண்டாவது நிபந்தனையை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், பதில் மைனஸ் பதிலுடன் மட்டுமே வருகிறது.
பதில்: a = -2.
எடுத்துக்காட்டு 2.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பு எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்ட அளவுருக்கான அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்.
(8x + ay = 2,
(கோடாரி + 2y = 1.
தீர்வு.
சொத்தின்படி, x மற்றும் y குணகங்களின் விகிதம் ஒரே மாதிரியாகவும், அமைப்பின் இலவச உறுப்பினர்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாகவும் இருந்தால், அது எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது (அதாவது a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). எனவே 8/a = a/2 = 2/1. இதன் விளைவாக வரும் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளையும் தீர்க்கும்போது, இந்த எடுத்துக்காட்டில் a = 4 பதில் என்பதைக் காண்கிறோம்.
பதில்: a = 4.
2. அளவுருவுடன் கூடிய பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்
எடுத்துக்காட்டு 3.
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
தீர்வு.
கணினியின் முதல் சமன்பாட்டை 2 ஆல் பெருக்குவோம்:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கழித்தால், நமக்கு 5|x| கிடைக்கும் = 4 - ஏ. இந்த சமன்பாடு a = 4 க்கு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும். மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும் (ஒரு< 4) или ни одного (при а > 4).
பதில்: a = 4.
எடுத்துக்காட்டு 4.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்.
(x + y = a,
(y – x 2 = 1.
தீர்வு.
வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்போம். இவ்வாறு, அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் வரைபடம், Oy அச்சில் ஒரு அலகுப் பிரிவால் மேல்நோக்கி உயர்த்தப்பட்ட ஒரு பரவளையமாகும். முதல் சமன்பாடு y = -x கோட்டிற்கு இணையான கோடுகளின் தொகுப்பைக் குறிப்பிடுகிறது (படம் 1). ஆய (-0.5, 1.25) கொண்ட ஒரு புள்ளியில் y = -x + a என்ற நேர்கோடு பரவளையத்துடன் தொடுவாக இருந்தால், கணினிக்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது என்பது படத்தில் இருந்து தெளிவாகக் காணப்படுகிறது (-0.5, 1.25). இந்த ஆயங்களை x மற்றும் y க்கு பதிலாக நேர்கோட்டு சமன்பாட்டில் மாற்றினால், அளவுரு a இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம்: 
1.25 = 0.5 + a;
பதில்: a = 0.75.
எடுத்துக்காட்டு 5.
மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி, அளவுரு a இன் எந்த மதிப்பில், கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது என்பதைக் கண்டறியவும்.
(கோடாரி – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
தீர்வு.
முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் y ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம், அதை இரண்டாவதாக மாற்றுகிறோம்:
(y = கோடாரி – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.
இரண்டாவது சமன்பாட்டை kx = b வடிவத்திற்குக் குறைப்போம், இது k ≠ 0க்கான தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும். எங்களிடம் உள்ளது:
ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
நாம் சதுர முக்கோணத்தை a 2 + 3a + 2 அடைப்புக்குறிகளின் பலனாகக் குறிப்பிடுகிறோம்
(a + 2)(a + 1), மற்றும் இடதுபுறத்தில் அடைப்புக்குறிக்குள் x ஐ எடுக்கிறோம்:
(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).
வெளிப்படையாக, ஒரு 2 + 3a பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது, எனவே,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, அதாவது ≠ 0 மற்றும் ≠ -3.
பதில்:ஒரு ≠ 0; ≠ -3.
எடுத்துக்காட்டு 6.
வரைகலை தீர்வு முறையைப் பயன்படுத்தி, எந்த அளவுருவின் மதிப்பில் கணினிக்கு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.
(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.
தீர்வு.
நிபந்தனையின் அடிப்படையில், நாம் ஒரு மையத்துடன் ஒரு வட்டத்தை உருவாக்குகிறோம் மற்றும் 3 அலகு பிரிவுகளின் ஆரம் இதுதான் அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது
x 2 + y 2 = 9. கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாடு (y = |x| + a) உடைந்த கோடு. பயன்படுத்தி படம் 2வட்டத்துடன் தொடர்புடைய அதன் இருப்பிடத்தின் சாத்தியமான எல்லா நிகழ்வுகளையும் நாங்கள் கருதுகிறோம். a = 3 என்று பார்ப்பது எளிது. 
பதில்: a = 3.
இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா? சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று தெரியவில்லையா?
ஒரு ஆசிரியரிடமிருந்து உதவி பெற -.
முதல் பாடம் இலவசம்!
blog.site, உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, அசல் மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.
