Δ இல் வரம்பிற்கு இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை கடந்து செல்லுதல் எக்ஸ்→ 0 மற்றும் வழித்தோன்றல் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது f "(எக்ஸ் 0) உள்ளது, எனவே இடதுபுறத்தில் உள்ள வரம்பு எப்படி Δ என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல எக்ஸ்→ 0, நாம் பெறுகிறோம்: Δ இல் எக்ஸ் → 0 – 0 f"(எக்ஸ் 0) Δ இல் ≥ 0 a எக்ஸ் → 0 + 0 f"(எக்ஸ் 0) ≤ 0. முதல் f"(எக்ஸ் 0) ஒரு எண்ணை வரையறுக்கிறது, பின்னர் இந்த இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளும் இணக்கமாக இருந்தால் மட்டுமே f"(எக்ஸ் 0) = 0.

நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றம், வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக மாறும் வாதத்தின் மதிப்புகளில் மட்டுமே அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் இருக்க முடியும் என்று கூறுகிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் ஒரு சார்பு ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கும் போது நாங்கள் வழக்கைக் கருத்தில் கொண்டோம். வழித்தோன்றல் இல்லாத சந்தர்ப்பங்களில் நிலைமை என்ன? உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

ஒய்=|எக்ஸ்|.

செயல்பாட்டிற்கு புள்ளியில் வழித்தோன்றல் இல்லை எக்ஸ்=0 (இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடம் வரையறுக்கப்பட்ட தொடுகோடு இல்லை), ஆனால் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் உள்ளது, ஏனெனில் ஒய்(0)=0, மற்றும் அனைவருக்கும் எக்ஸ்≠ 0ஒய் > 0.

இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் உருவாக்கப்பட்ட தேற்றம் ஆகியவற்றிலிருந்து, ஒரு செயல்பாடு இரண்டு நிகழ்வுகளில் மட்டுமே உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்க முடியும் என்பது தெளிவாகிறது: 1) வழித்தோன்றல் இருக்கும் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான புள்ளிகளில்; 2) வழித்தோன்றல் இல்லாத இடத்தில்.

இருப்பினும், ஒரு கட்டத்தில் இருந்தால் எக்ஸ் 0 அது எங்களுக்குத் தெரியும் f "(x 0 ) =0, பின்னர் இதிலிருந்து அந்த புள்ளியில் முடிவு செய்ய முடியாது எக்ஸ் 0 செயல்பாடு ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளது.

உதாரணத்திற்கு.

ஆனால் காலம் எக்ஸ்=0 ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல, ஏனெனில் இந்த புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் செயல்பாட்டு மதிப்புகள் அச்சுக்கு கீழே அமைந்துள்ளன எருது, மற்றும் மேலே வலதுபுறம்.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மறைந்துவிடும் அல்லது இல்லாத செயல்பாட்டின் டொமைனில் இருந்து ஒரு வாதத்தின் மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன முக்கியமான புள்ளிகள்.

மேலே உள்ள எல்லாவற்றிலிருந்தும் செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் முக்கியமான புள்ளிகளில் உள்ளன, இருப்பினும், ஒவ்வொரு முக்கியமான புள்ளியும் ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல. எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிய, நீங்கள் செயல்பாட்டின் அனைத்து முக்கிய புள்ளிகளையும் கண்டறிய வேண்டும், பின்னர் இந்த புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றையும் தனித்தனியாக அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சமாக ஆராய வேண்டும். பின்வரும் தேற்றம் இந்த நோக்கத்திற்காக உதவுகிறது.

தேற்றம் 2. (ஒரு முனையின் இருப்புக்கான போதுமான நிபந்தனை.) முக்கியமான புள்ளியைக் கொண்ட சில இடைவெளியில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். எக்ஸ் 0, மற்றும் இந்த இடைவெளியின் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் வேறுபடக்கூடியது (ஒருவேளை, புள்ளியைத் தவிர எக்ஸ் 0) இந்தப் புள்ளியின் வழியாக இடமிருந்து வலமாக நகரும் போது, ​​வழித்தோன்றல் குறியை கூட்டலில் இருந்து கழித்தால், புள்ளியில் எக்ஸ் = எக்ஸ் 0 செயல்பாடு அதிகபட்சம். என்றால், கடந்து செல்லும் போது எக்ஸ் 0 இடமிருந்து வலமாக, வழித்தோன்றல் மைனஸிலிருந்து கூட்டலுக்கு அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, பின்னர் செயல்பாடு இந்த கட்டத்தில் குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது.

இவ்வாறு, என்றால்

f "(x)>0 மணிக்கு எக்ஸ்<எக்ஸ் 0 மற்றும் f "(x)< 0 மணிக்கு x>x 0, பின்னர் எக்ஸ் 0 - அதிகபட்ச புள்ளி;

ஆதாரம். முதலில் கடந்து செல்லும் போது என்று வைத்துக்கொள்வோம் எக்ஸ் 0 வழித்தோன்றல் கூட்டல் இருந்து கழித்தல் அடையாளம், அதாவது. அனைவருக்கும் முன்னால் எக்ஸ், புள்ளிக்கு அருகில் எக்ஸ் 0 f "(x)> 0 க்கு எக்ஸ்< x 0 , f "(x)< 0 க்கு x>x 0 . லாக்ரேஞ்ச் தேற்றத்தை வேறுபாட்டிற்குப் பயன்படுத்துவோம் f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), எங்கே cஇடையே உள்ளது எக்ஸ்மற்றும் எக்ஸ் 0 .

விடுங்கள் எக்ஸ்< x 0 . பிறகு c< x 0 மற்றும் f "(c)> 0. அதனால் தான் f "(c)(x- x 0)< 0 மற்றும் எனவே

f(x) - f(x 0 )< 0, அதாவது f(x)< f(x 0 ).

விடுங்கள் x > x 0 . பிறகு c>x 0 மற்றும் f "(c)< 0. பொருள் f "(c)(x- x 0)< 0. அதனால் தான் f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

இவ்வாறு, அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் எக்ஸ்போதுமான அருகில் எக்ஸ் 0 f(x)< f(x 0 ) . இந்த புள்ளியில் என்று அர்த்தம் எக்ஸ் 0 செயல்பாடு அதிகபட்சமாக உள்ளது.

குறைந்தபட்ச தேற்றத்தின் இரண்டாம் பகுதி இதேபோல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இந்த தேற்றத்தின் அர்த்தத்தை படத்தில் விளக்குவோம். விடுங்கள் f "(x 1 ) =0 மற்றும் எதற்கும் எக்ஸ்,போதுமான அருகில் எக்ஸ் 1, ஏற்றத்தாழ்வுகள் திருப்திகரமாக உள்ளன

f "(x)< 0 மணிக்கு எக்ஸ்< x 1 , f "(x)> 0 மணிக்கு x>x 1 .

பின்னர் புள்ளியின் இடதுபுறம் எக்ஸ் 1 செயல்பாடு வலதுபுறத்தில் அதிகரிக்கிறது மற்றும் குறைகிறது, எனவே, எப்போது எக்ஸ் = எக்ஸ் 1 செயல்பாடு அதிகரிப்பிலிருந்து குறைகிறது, அதாவது அதிகபட்சம்.

இதேபோல், நாம் புள்ளிகளைக் கருத்தில் கொள்ளலாம் எக்ஸ் 2 மற்றும் எக்ஸ் 3 .

மேலே உள்ள அனைத்தையும் படத்தில் திட்டவட்டமாக சித்தரிக்கலாம்:

எக்ஸ்ட்ரம்மிற்கான y=f(x) செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கான விதி

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் f(x)

ஒரு செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் f "(x).

இதற்கான முக்கியமான புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்கவும்:

சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும் f "(x)=0;

அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும் எக்ஸ்அதற்கான வழித்தோன்றல் f "(x)இல்லை.

முக்கியமான புள்ளியின் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்கவும். வழித்தோன்றலின் அடையாளம் இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகளுக்கு இடையில் மாறாமல் இருப்பதால், முக்கியமான புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் ஒரு புள்ளியிலும் வலதுபுறம் ஒரு புள்ளியிலும் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை தீர்மானிப்பது போதுமானது.

தீவிர புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

y=(7x^2-56x+56)e^x செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பை [-3; 2].

தீர்வு

தயாரிப்பு வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அசல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\இடது(e^x\வலது)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x.வழித்தோன்றலின் பூஜ்ஜியங்களைக் கணக்கிடுவோம்: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை ஒழுங்கமைப்போம் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் அசல் செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிப்போம்.

படத்தில் இருந்து தெளிவாகிறது என்பது பிரிவில் [-3; 0] அசல் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, மற்றும் பிரிவில் அது குறைகிறது. எனவே, பிரிவில் மிகப்பெரிய மதிப்பு [-3; 2] x=0 இல் அடையப்படுகிறது மற்றும் சமமாக உள்ளது y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

பதில்

நிலை

பிரிவில் y=12x-12tg x-18 செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பைக் கண்டறியவும் \இடது.

தீர்வு

y"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0.இதன் பொருள் அசல் செயல்பாடு பரிசீலனையில் உள்ள இடைவெளியில் அதிகரிக்காது மற்றும் இடைவெளியின் இடது முனையில், அதாவது x=0 இல் மிகப்பெரிய மதிப்பை எடுக்கும். மிகப்பெரிய மதிப்பு உள்ளது y(0)= 12\cdot 0-12 tg (0)-18= -18.

பதில்

ஆதாரம்: "கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2017க்கான தயாரிப்பு. சுயவிவர நிலை." எட். F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

நிலை

y=(x+8)^2e^(x+52) செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம். உற்பத்தியின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம், x^\alpha மற்றும் e^x ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்:

y"(x)= \இடது((x+8)^2\வலது)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\வலது)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை ஒழுங்கமைப்போம் மற்றும் அசல் செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளை தீர்மானிப்போம். எந்த xக்கும் e^(x+52)>0. y"=0 மணிக்கு x=-8, x=-10.

y=(x+8)^2e^(x+52) சார்பு ஒரு குறைந்தபட்ச புள்ளி x=-8 என்று படம் காட்டுகிறது.

பதில்

ஆதாரம்: "கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2017க்கான தயாரிப்பு. சுயவிவர நிலை." எட். F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

நிலை

செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளியைக் கண்டறியவும் y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

தீர்வு

ODZ: x \geqslant 0. அசல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

வழித்தோன்றலின் பூஜ்ஜியங்களைக் கணக்கிடுவோம்:

8-\sqrt x=0;

\sqrt x=8;

x=64.

வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை ஒழுங்கமைப்போம் மற்றும் அசல் செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளை தீர்மானிப்போம்.

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளி x=64 மட்டுமே என்பதை படம் காட்டுகிறது.

பதில்

ஆதாரம்: "கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2017க்கான தயாரிப்பு. சுயவிவர நிலை." எட். F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

நிலை

பிரிவில் y=5x^2-12x+2\ln x+37 செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்பைக் கண்டறியவும் \இடது[\frac35; \frac75\வலது].

தீர்வு

ODZ: x>0.

அசல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

வழித்தோன்றலின் பூஜ்ஜியங்களை வரையறுப்போம்: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\ntin\இடது[\frac35; \frac75\வலது],

x_2=1\in\இடது[\frac35; \frac75\வலது].

வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை ஒழுங்கமைப்போம் மற்றும் பரிசீலனையில் உள்ள இடைவெளியில் அசல் செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிப்போம்.

படத்தில் இருந்து அது பிரிவில் தெளிவாக உள்ளது \இடது[\frac35; 1\வலது]அசல் செயல்பாடு குறைகிறது, மற்றும் பிரிவில் \இடதுஅதிகரிக்கிறது. எனவே, பிரிவில் மிகச்சிறிய மதிப்பு \இடது[\frac35; \frac75\வலது] x=1 இல் அடையப்படுகிறது மற்றும் சமமாக உள்ளது y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

பதில்

ஆதாரம்: "கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2017க்கான தயாரிப்பு. சுயவிவர நிலை." எட். F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

நிலை

y=(x+4)^2(x+1)+19 செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பை [-5; -3].

தீர்வு

தயாரிப்பு வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அசல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இந்த புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் இயக்கத்தின் திசை மாறுகிறது என்றும் நாம் கூறலாம்: செயல்பாடு வீழ்ச்சியடைந்து வளரத் தொடங்கினால், இது குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும், மாறாக, இது அதிகபட்ச புள்ளியாகும்.

குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சம் கூட்டாக அழைக்கப்படுகின்றன செயல்பாட்டின் தீவிரம்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மேலே உள்ள வரைபடத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்ட ஐந்து புள்ளிகளும் தீவிரமானவை.

இதற்கு நன்றி, உங்களிடம் செயல்பாட்டின் வரைபடம் இல்லாவிட்டாலும், இந்த புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் இல்லை.

கவனம்!அவர்கள் எழுதும் போது உச்சநிலைஅல்லது அதிகபட்சம்/குறைந்தபட்சம் என்பது செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதாவது. \(y\). அவர்கள் எழுதும் போது தீவிர புள்ளிகள்அல்லது அதிகபட்சம்/குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் என்பது அதிகபட்சம்/குறைந்தபட்சம் அடையும் Xகள். எடுத்துக்காட்டாக, மேலே உள்ள படத்தில், \(-5\) என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளி (அல்லது தீவிர புள்ளி), மற்றும் \(1\) என்பது குறைந்தபட்சம் (அல்லது உச்சநிலை) ஆகும்.

வழித்தோன்றல் வரைபடத்திலிருந்து (ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணி 7) செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

ஒரு எடுத்துக்காட்டைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை ஒன்றாகக் கண்டுபிடிப்போம்:

எங்களுக்கு ஒரு வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது வரைபடத்தில் எந்தப் புள்ளிகளில் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதை நாங்கள் தேடுகிறோம். வெளிப்படையாக, இவை புள்ளிகள் \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) மற்றும் \(3\). செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை \(5\).

கவனம்!ஒரு அட்டவணை கொடுக்கப்பட்டால் வழித்தோன்றல்செயல்பாடுகள், ஆனால் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள், வழித்தோன்றலின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சங்களை நாங்கள் கணக்கிடவில்லை! செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மறைந்து போகும் (அதாவது \(x\) அச்சை வெட்டும்) புள்ளிகளை எண்ணுகிறோம்.

வழித்தோன்றல் வரைபடத்திலிருந்து (ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணி 7) செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, நீங்கள் இன்னும் இரண்டு முக்கியமான விதிகளை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

- செயல்பாடு அதிகரிக்கும் இடத்தில் வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக இருக்கும்.
- செயல்பாடு குறையும் இடத்தில் வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இருக்கும்.

இந்த விதிகளைப் பயன்படுத்தி, வழித்தோன்றல் வரைபடத்தில் செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தீவிர புள்ளிகளில் குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சம் தேடப்பட வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது, அதாவது. மத்தியில் \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) மற்றும் \(3\).

சிக்கலைத் தீர்ப்பதை எளிதாக்குவதற்கு, உருவத்தில் பிளஸ் மற்றும் மைனஸ் குறியீடுகளை முதலில் வைப்போம், இது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைக் குறிக்கிறது. பின்னர் அம்புகள் - அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் செயல்பாடுகளைக் குறிக்கிறது.

\(-13\) உடன் தொடங்குவோம்: \(-13\) வரையிலான வழித்தோன்றல் நேர்மறையானது, அதாவது. செயல்பாடு வளரும், பின்னர் வழித்தோன்றல் எதிர்மறையானது, அதாவது. செயல்பாடு செயலிழக்கிறது. இதை நீங்கள் கற்பனை செய்தால், \(-13\) என்பது அதிகபட்ச புள்ளி என்பது தெளிவாகிறது.

\(-11\): வழித்தோன்றல் முதலில் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறையானது, அதாவது செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது மற்றும் பின்னர் குறைகிறது. மீண்டும், இதை மனரீதியாக வரைய முயற்சிக்கவும், \(-11\) என்பது குறைந்தபட்சம் என்பது உங்களுக்குத் தெளிவாகத் தெரியும்.

\(- 9\): செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது மற்றும் பின்னர் குறைகிறது - அதிகபட்சம்.

\(-7\): குறைந்தபட்சம்.

\(3\): அதிகபட்சம்.

மேலே உள்ள அனைத்தையும் பின்வரும் முடிவுகளால் சுருக்கமாகக் கூறலாம்:

- இந்தச் செயல்பாடு அதிகபட்சமாக வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் மற்றும் குறியை கூட்டலில் இருந்து கழித்தலுக்கு மாற்றும்.
- செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் மற்றும் குறியீட்டை மைனஸிலிருந்து கூட்டாக மாற்றுகிறது.

செயல்பாட்டின் சூத்திரம் தெரிந்தால் (ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் 12 பணி) அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, முந்தைய பத்தியில் உள்ளதைப் போலவே நீங்கள் செய்ய வேண்டும்: வழித்தோன்றல் எங்கே நேர்மறை, எங்கு எதிர்மறை மற்றும் பூஜ்ஜியம் எங்கே என்பதைக் கண்டறியவும். அதை தெளிவுபடுத்த, நான் ஒரு எடுத்துக்காட்டு தீர்வுடன் ஒரு வழிமுறையை எழுதுவேன்:

1. \(f"(x)\) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
2. \(f"(x)=0\) சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.
3. ஒரு அச்சை \(x\) வரைந்து அதில் படி 2 இல் பெறப்பட்ட புள்ளிகளைக் குறிக்கவும், அச்சு பிரிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளை வளைவுகளால் வரையவும். அச்சுக்கு மேலே லேபிள் \(f"(x)\), மற்றும் அச்சுக்கு கீழே \(f(x)\).
4. ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் (இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி) வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்கவும்.
5. ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் (அச்சுக்கு மேல்) வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை வைக்கவும், மேலும் செயல்பாட்டின் (அச்சுக்கு கீழே) அதிகரிப்பு (↗) அல்லது குறைப்பை (↘) குறிக்க அம்புக்குறியைப் பயன்படுத்தவும்.
6. படி 2 இல் பெறப்பட்ட புள்ளிகளைக் கடக்கும்போது வழித்தோன்றலின் அடையாளம் எவ்வாறு மாறியது என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:
   - \(f’(x)\) குறியை “\(+\)” இலிருந்து “\(-\)” ஆக மாற்றினால், \(x_1\) என்பது அதிகபட்ச புள்ளியாகும்;
   - \(f’(x)\) அடையாளத்தை “\(-\)” இலிருந்து “\(+\)” ஆக மாற்றினால், \(x_3\) என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்;
   - \(f’(x)\) அடையாளத்தை மாற்றவில்லை என்றால், \(x_2\) ஒரு ஊடுருவல் புள்ளியாக இருக்கலாம்.

அனைத்து! அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன.

வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அச்சில் புள்ளிகளை சித்தரிக்கும் போது, ​​அளவை புறக்கணிக்க முடியும். செயல்பாட்டின் நடத்தை கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. இந்த வழியில் அதிகபட்சம் எங்கே, குறைந்தபட்சம் எங்கே என்பது தெளிவாகத் தெரியும்.

உதாரணமாக(பயன்பாடு). செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளியைக் கண்டறியவும் \(y=3x^5-20x^3-54\).
தீர்வு:
1. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)

3. – 6. எண் கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளைத் தொகுத்து, வழித்தோன்றலின் அடையாளம் எவ்வாறு மாறுகிறது மற்றும் செயல்பாடு எவ்வாறு நகர்கிறது என்பதைத் தீர்மானிப்போம்:

அதிகபட்ச புள்ளி \(-2\) என்பது இப்போது தெளிவாகிறது.

பதில். \(-2\).