ஒரு செவ்வக மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள். இந்த மேட்ரிக்ஸில் நாம் தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கிறோம் என்றால் கேகோடுகள் மற்றும் கேநெடுவரிசைகள், பின்னர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் உள்ள உறுப்புகள் kth வரிசையின் சதுர அணியை உருவாக்குகின்றன. இந்த மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் அழைக்கப்படுகிறது kth வரிசையில் சிறியது matrix A. வெளிப்படையாக, matrix A ஆனது m ​​மற்றும் n எண்களில் 1 முதல் சிறியது வரை எந்த வரிசையிலும் மைனர்களைக் கொண்டுள்ளது. மேட்ரிக்ஸ் A இன் அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற மைனர்களிலும், குறைந்தபட்சம் ஒரு சிறியவர் இருக்கிறார், அதன் வரிசை மிகப்பெரியது. கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற சிறிய ஆர்டர்களில் மிகப்பெரியது அழைக்கப்படுகிறது தரவரிசைமெட்ரிக்குகள். அணி A இன் ரேங்க் என்றால் ஆர், இதன் பொருள் அணி A பூஜ்ஜியமற்ற சிறிய வரிசையைக் கொண்டுள்ளது ஆர், ஆனால் ஒவ்வொரு மைனர் ஆர்டரை விட பெரியது ஆர், பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். அணி A இன் தரவரிசை r(A) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, உறவு வைத்திருக்கிறது

சிறார்களைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கணக்கிடுதல்

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறை அல்லது அடிப்படை மாற்றங்களின் முறை மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. முதல் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கணக்கிடும்போது, ​​நீங்கள் குறைந்த வரிசை மைனர்களில் இருந்து உயர் வரிசை மைனர்களுக்கு மாற வேண்டும். பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட அணி A இன் kth வரிசையின் மைனர் D ஏற்கனவே கண்டறியப்பட்டிருந்தால், மைனர் Dயின் எல்லையில் உள்ள (k+1) வரிசை மைனர்களுக்கு மட்டுமே கணக்கீடு தேவைப்படுகிறது, அதாவது. மைனராக அதைக் கொண்டுள்ளது. அவை அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை சமமாக இருக்கும் கே.

எடுத்துக்காட்டு 1.சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

.

தீர்வு.நாங்கள் 1வது வரிசை சிறார்களுடன் தொடங்குகிறோம், அதாவது. அணி A இன் உறுப்புகளில் இருந்து, எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வரிசை மற்றும் முதல் நெடுவரிசையில் அமைந்துள்ள ஒரு சிறிய (உறுப்பு) M 1 = 1 ஐ தேர்வு செய்வோம். இரண்டாவது வரிசை மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசையின் உதவியுடன் எல்லை, பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட சிறிய M 2 = ஐப் பெறுகிறோம். இப்போது M2 எல்லையில் உள்ள 3வது வரிசை சிறார்களுக்கு திரும்புவோம். அவற்றில் இரண்டு மட்டுமே உள்ளன (நீங்கள் இரண்டாவது அல்லது நான்காவது நெடுவரிசையைச் சேர்க்கலாம்). அவற்றைக் கணக்கிடுவோம்: = 0. எனவே, மூன்றாம் வரிசையின் அனைத்து எல்லைக் மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக மாறினர். அணி A இன் ரேங்க் இரண்டு.

அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கணக்கிடுதல்

தொடக்கநிலைபின்வரும் மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன:

1) ஏதேனும் இரண்டு வரிசைகளின் (அல்லது நெடுவரிசைகள்) வரிசைமாற்றம்

2) ஒரு வரிசையை (அல்லது நெடுவரிசையை) பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண்ணால் பெருக்குதல்,

3) ஒரு வரிசையில் (அல்லது நெடுவரிசை) மற்றொரு வரிசையை (அல்லது நெடுவரிசை) சேர்த்தல், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது.

இரண்டு மெட்ரிக்குகள் அழைக்கப்படுகின்றன இணையான, வரையறுக்கப்பட்ட அடிப்படை மாற்றங்களின் தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி அவற்றில் ஒன்று மற்றொன்றிலிருந்து பெறப்பட்டால்.

சமமான மெட்ரிக்குகள் பொதுவாகச் சமமாக இல்லை, ஆனால் அவற்றின் தரவரிசைகள் சமமாக இருக்கும். Matrices A மற்றும் B சமமானதாக இருந்தால், அது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: A~பி.

நியமனம்மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு அணி, இதில் பிரதான மூலைவிட்டத்தின் தொடக்கத்தில் ஒரு வரிசையில் பல உள்ளன (அவற்றின் எண்ணிக்கை பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம்), மற்ற அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், எடுத்துக்காட்டாக,

.

வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, எந்த மேட்ரிக்ஸையும் நியமனமாக குறைக்கலாம். ஒரு நியமன மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அதன் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள ஒன்றின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 2மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

மற்றும் அதை நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வரவும்.

தீர்வு.இரண்டாவது வரியிலிருந்து, முதல் வரியைக் கழித்து, இந்த வரிகளை மறுசீரமைக்கவும்:

.

இப்போது இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிகளிலிருந்து முறையே 2 மற்றும் 5 ஆல் பெருக்கப்படும் முதல் வரியைக் கழிப்போம்:

;

மூன்றாவது வரியிலிருந்து முதலில் கழிக்கவும்; நாங்கள் ஒரு அணியைப் பெறுகிறோம்

இது மேட்ரிக்ஸ் A க்கு சமமானதாகும், ஏனெனில் இது வரையறுக்கப்பட்ட அடிப்படை மாற்றங்களின் தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, அணி B இன் தரவரிசை 2, எனவே r(A)=2. மேட்ரிக்ஸ் B ஐ எளிதாக நியமனமாக குறைக்கலாம். முதல் நெடுவரிசையைக் கழிப்பதன் மூலம், பொருத்தமான எண்களால் பெருக்கி, அனைத்து அடுத்தடுத்தவற்றிலிருந்தும், முதல் வரிசையைத் தவிர, முதல் வரிசையின் அனைத்து உறுப்புகளையும் பூஜ்ஜியமாக மாற்றுவோம், மீதமுள்ள வரிசைகளின் கூறுகள் மாறாது. பின்னர், இரண்டாவது நெடுவரிசையைக் கழித்து, பொருத்தமான எண்களால் பெருக்கி, அடுத்தடுத்த எல்லாவற்றிலிருந்தும், இரண்டாவது வரிசையைத் தவிர, இரண்டாவது வரிசையின் அனைத்து உறுப்புகளையும் பூஜ்ஜியமாக மாற்றி, நியமன மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம்:

.

முன்பு ஒரு சதுர அணிக்கு வது வரிசையில் மைனர் என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது
உறுப்பு . இது வரிசையை தீர்மானிப்பவருக்கு வழங்கப்பட்ட பெயர் என்பதை நினைவில் கொள்வோம்
, தீர்மானிப்பதில் இருந்து பெறப்பட்டது
கடந்து செல்வதன் மூலம் வது வரி மற்றும் வது நெடுவரிசை.

மைனர் என்ற பொதுவான கருத்தை இப்போது அறிமுகப்படுத்துவோம். சிலவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம் சதுரம் அவசியமில்லைஅணி . சிலவற்றை தேர்வு செய்வோம் வரி எண்கள்
மற்றும் நெடுவரிசை எண்கள்
.

வரையறை. சிறிய ஒழுங்கு மெட்ரிக்குகள் (தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளுடன் தொடர்புடையது) ஆர்டர் தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது , தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ள உறுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்டது, அதாவது. எண்

.

ஒவ்வொரு மேட்ரிக்ஸிலும் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் பல மைனர்கள் உள்ளனர் , எத்தனை வழிகளில் நீங்கள் வரி எண்களைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்
மற்றும் நெடுவரிசைகள்
.

வரையறை. அணியில் அளவுகள்
சிறிய ஒழுங்கு அழைக்கப்பட்டது அடிப்படை, அது பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால் மற்றும் அனைத்து சிறார்களும் ஒழுங்காக இருந்தால்
பூஜ்ஜியம் அல்லது சிறிய வரிசைக்கு சமம்
மேட்ரிக்ஸில் முற்றிலும் இல்லை.

ஒரு மேட்ரிக்ஸ் பல்வேறு அடிப்படை மைனர்களைக் கொண்டிருக்கலாம் என்பது தெளிவாகிறது, ஆனால் அனைத்து அடிப்படை மைனர்களும் ஒரே வரிசையைக் கொண்டுள்ளனர். உண்மையில், அனைத்து சிறார்களும் ஒழுங்காக இருந்தால்
பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம், பின்னர் வரிசையின் அனைத்து மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்
, மற்றும், இதன் விளைவாக, அனைத்து உயர் ஆர்டர்கள்.

வரையறை. மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசைஅடிப்படை மைனரின் வரிசை அழைக்கப்படுகிறது, அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர மற்ற சிறார்களுக்கான மிகப்பெரிய வரிசை. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை, வரையறையின்படி, பூஜ்ஜியமாகக் கருதப்படுகிறது.

மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை சின்னத்தால் குறிப்போம்
. தரவரிசையின் வரையறையிலிருந்து அது மேட்ரிக்ஸைப் பின்பற்றுகிறது அளவுகள்
விகிதம் சரியானது.

மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை கணக்கிட இரண்டு வழிகள்

A) சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறை

மேட்ரிக்ஸில் ஒரு மைனர் கண்டுபிடிக்கப்படட்டும்
-வது வரிசை, பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. அந்த சிறார்களை மட்டும் கருத்தில் கொள்வோம்
-வது வரிசை, இதில் (விளிம்பு) மைனர் உள்ளது
: அவை அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை . இல்லையெனில், எல்லைக்குட்பட்ட சிறார்களில் பூஜ்ஜியமற்ற மைனர் இருக்கிறார்
-வது வரிசை, மற்றும் முழு நடைமுறையும் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 9 . மேட்ரிக்ஸின் தரத்தைக் கண்டறியவும் சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறை மூலம்.

இரண்டாவது வரிசை மைனரை தேர்வு செய்வோம்
. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மைனரின் எல்லையில் ஒரு மூன்றாம்-வரிசை மைனர் மட்டுமே உள்ளது
. அதை கணக்கிடுவோம்.

எனவே இது சிறியது
அடிப்படை, மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அதன் வரிசைக்கு சமம், அதாவது.

மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணங்கள் மிகச் சிறியதாக இல்லாவிட்டால், அடிப்படைத் தேடலில் சிறார்களின் மூலம் மீண்டும் மீண்டும் செய்வது பெரிய கணக்கீடுகளுடன் தொடர்புடைய ஒரு பணியாகும் என்பது தெளிவாகிறது. எவ்வாறாயினும், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிய எளிய வழி உள்ளது - அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி.

b) அடிப்படை உருமாற்ற முறை

வரையறை. எலிமெண்டரி மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்கள்பின்வரும் மாற்றங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன:

ஒரு சரத்தை பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் பெருக்குதல்;

ஒரு வரியில் மற்றொரு வரியைச் சேர்த்தல்;

வரிகளின் மறுசீரமைப்பு;

அதே நெடுவரிசை மாற்றங்கள்.

உருமாற்றங்கள் 1 மற்றும் 2 உறுப்பு மூலம் உறுப்பு செய்யப்படுகிறது.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வகைகளின் மாற்றங்களை இணைப்பதன் மூலம், மீதமுள்ள சரங்களின் நேரியல் கலவையை எந்த சரத்திலும் சேர்க்கலாம்.

தேற்றம். அடிப்படை மாற்றங்கள் மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை மாற்றாது.

(ஆதாரம் இல்லை)

மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை கணக்கிடுவதற்கான நடைமுறை முறையின் யோசனை

அடிப்படை மாற்றங்களின் உதவியுடன் இந்த மேட்ரிக்ஸ் தோற்றத்திற்கு வழிவகுக்கும்

, (5)

இதில் "மூலைவிட்ட" கூறுகள்
பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டவை, மேலும் "மூலைவிட்ட" க்கு கீழே அமைந்துள்ள கூறுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். மேட்ரிக்ஸை அழைக்க ஒப்புக்கொள்வோம் இந்த வகை முக்கோணமானது (இல்லையெனில், இது மூலைவிட்டம், ட்ரெப்சாய்டல் அல்லது ஏணி என்று அழைக்கப்படுகிறது). அணி குறைப்புக்குப் பிறகு முக்கோண வடிவத்திற்கு நாம் உடனடியாக எழுதலாம்
.

உண்மையில்,
(அடிப்படை மாற்றங்கள் தரத்தை மாற்றாது என்பதால்). ஆனால் அணி பூஜ்யம் அல்லாத சிறிய வரிசை உள்ளது :

,

மற்றும் எந்த சிறிய ஒழுங்கு
பூஜ்ய சரத்தை கொண்டுள்ளது, எனவே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

இப்போது நடைமுறையை உருவாக்குவோம் தரவரிசை கணக்கீடு விதிமெட்ரிக்குகள் அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துதல்: மேட்ரிக்ஸின் தரத்தைக் கண்டறிய இது அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு முக்கோண வடிவத்திற்கு கொண்டு வரப்பட வேண்டும் . பின்னர் அணி தரவரிசை இதன் விளைவாக வரும் மேட்ரிக்ஸில் பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும் .

எடுத்துக்காட்டு 10. மேட்ரிக்ஸின் தரத்தைக் கண்டறியவும் அடிப்படை மாற்றங்களின் முறை மூலம்

தீர்வு.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகளை மாற்றுவோம் (இரண்டாவது வரியின் முதல் உறுப்பு −1 மற்றும் அதனுடன் மாற்றங்களைச் செய்ய வசதியாக இருக்கும்). இதன் விளைவாக, இதற்குச் சமமான மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம்.

குறிப்போம் -அணியின் அந்த வரிசை - . அசல் மேட்ரிக்ஸை முக்கோண வடிவத்திற்கு குறைக்க வேண்டும். முதல் வரியை முன்னணி வரியாகக் கருதுவோம், அது எல்லா மாற்றங்களிலும் பங்கேற்கும், ஆனால் அது மாறாமல் இருக்கும்.

முதல் கட்டத்தில், முதல் உறுப்பு தவிர, முதல் நெடுவரிசையில் பூஜ்ஜியங்களைப் பெற அனுமதிக்கும் மாற்றங்களைச் செய்வோம். இதைச் செய்ய, இரண்டாவது வரியிலிருந்து முதல் வரியைக் கழிக்கவும், 2 ஆல் பெருக்கவும்
, மூன்றாவது வரியில் முதலில் சேர்க்கவும்
, மற்றும் மூன்றாவது இருந்து நாம் முதல் கழிக்க, 3 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது
இந்த மேட்ரிக்ஸின் ரேங்குடன் ரேங்க் ஒத்துப்போகும் மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம். அதை அதே எழுத்தில் குறிப்போம் :

.

மேட்ரிக்ஸை படிவமாக (5) குறைக்க வேண்டியிருப்பதால், நான்காவது வரிசையில் இருந்து இரண்டாவதாக கழிக்கிறோம். இந்த வழக்கில் எங்களிடம் உள்ளது:

.

முக்கோண வடிவத்தின் அணி பெறப்படுகிறது, அதை நாம் முடிக்கலாம்
, அதாவது பூஜ்ஜியமற்ற கோடுகளின் எண்ணிக்கை. சுருக்கமாக, சிக்கலுக்கான தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

ஒவ்வொரு அணியிலும், இரண்டு தரவரிசைகள் இணைக்கப்படலாம்: ஒரு வரிசை வரிசை (வரிசை அமைப்பின் தரவரிசை) மற்றும் ஒரு நெடுவரிசை தரவரிசை (நெடுவரிசை அமைப்பின் தரவரிசை).

தேற்றம்

மேட்ரிக்ஸின் வரிசை தரவரிசை அதன் நெடுவரிசை தரத்திற்கு சமம்.

மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை

வரையறை

மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை$A$ என்பது அதன் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளின் தரவரிசை.

$\operatorname(rang) A$ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது

நடைமுறையில், ஒரு மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிய, பின்வரும் அறிக்கை பயன்படுத்தப்படுகிறது: மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க், மேட்ரிக்ஸை எச்செலோன் வடிவத்திற்குக் குறைத்த பிறகு பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்.

மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளில் (நெடுவரிசைகள்) அடிப்படை மாற்றங்கள் அதன் தரத்தை மாற்றாது.

படி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அதன் பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்.

உதாரணமாக

உடற்பயிற்சி.அணி $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \\ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\ முடிவு(வரிசை)\வலது) $

தீர்வு.அதன் வரிசைகளில் அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அணி $A$ ஐ எச்செலான் வடிவத்திற்குக் குறைக்கிறோம். இதைச் செய்ய, முதலில் மூன்றாவது வரியிலிருந்து இரண்டாவது இரண்டைக் கழிக்கவும்:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\ முடிவு(வரிசை)\வலது) $$

இரண்டாவது வரியிலிருந்து நான்காவது வரியைக் கழிக்கிறோம், 4 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது; மூன்றில் இருந்து - இரண்டு நான்கில்:

$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5) ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\ முடிவு(வரிசை)\வலது) $$

முதல் ஐந்தை இரண்டாவது வரியிலும், மூன்றாவது மூன்றை மூன்றாவது வரியிலும் சேர்க்கிறோம்:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\ முடிவு(வரிசை)\வலது) $$

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகளை மாற்றவும்:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\ முடிவு(வரிசை)\வலது) $$

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\ end(array)\ right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$

பதில்.$ \ operatorname(rang) A=2 $

சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறை

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிவதற்கான மற்றொரு முறை இந்த தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது - சிறிய விளிம்பு முறை. இந்த முறையின் சாராம்சம் சிறார்களைக் கண்டறிவது, குறைந்த ஆர்டர்களில் இருந்து தொடங்கி உயர்ந்தவர்களுக்கு நகரும். $n$th வரிசையின் மைனர் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இல்லாவிட்டால், $n+1$வது வரிசையின் அனைத்து மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் $n$ க்கு சமமாக இருக்கும்.

உதாரணமாக

உடற்பயிற்சி.அணி $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\ end(array)\ right) $ சிறிய விளிம்பு முறையைப் பயன்படுத்தி.

தீர்வு.குறைந்தபட்ச வரிசையின் மைனர்கள் முதல் வரிசையின் மைனர்கள், அவை $A$ அணியின் உறுப்புகளுக்குச் சமம். எடுத்துக்காட்டாக, சிறிய $ M_(1)=1 \neq 0 $ . முதல் வரிசை மற்றும் முதல் நெடுவரிசையில் அமைந்துள்ளது. இரண்டாவது வரிசை மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசையின் உதவியுடன் அதை எல்லைப்படுத்துகிறோம், சிறிய $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; இரண்டாவது வரிசையின் மற்றொரு மைனரைக் கருத்தில் கொள்வோம், இதற்காக நாம் மைனர் $M_1$ ஐ இரண்டாவது வரிசை மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசையின் உதவியுடன் எல்லைப்படுத்துகிறோம், பிறகு மைனர் $ M_(2)^(2)=\இடது| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , அதாவது மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் ​இரண்டுக்கும் குறையாது. அடுத்து, மைனர் $ M_(2)^(2) $ எல்லையில் இருக்கும் மூன்றாம் வரிசை சிறார்களை நாங்கள் கருதுகிறோம். அத்தகைய இரண்டு சிறார்களும் உள்ளனர்: மூன்றாவது வரிசையின் கலவையானது இரண்டாவது நெடுவரிசை அல்லது நான்காவது நெடுவரிசையுடன். இந்த சிறார்களை கணக்கிடுவோம்.

மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை

வரையறை 1

இந்த வரிசைகள் எதுவும் (இந்த நெடுவரிசைகள் எதுவும் இல்லை) மற்ற வரிசைகள்/நெடுவரிசைகளின் அடிப்படையில் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்படாவிட்டால், மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள்/நெடுவரிசைகளின் அமைப்பு நேரியல் சார்பற்றதாகக் கூறப்படுகிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட அணி $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ வரிசைகள்/நெடுவரிசைகளின் அமைப்பின் தரவரிசையானது நேரியல் சார்பற்ற வரிசைகள்/நெடுவரிசைகளின் மிகப்பெரிய எண்ணிக்கையாகும்.

நெடுவரிசை அமைப்பின் தரவரிசை எப்போதும் வரிசை அமைப்பின் தரத்துடன் பொருந்துகிறது. இந்த தரவரிசை கேள்விக்குரிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் என்பது கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் சிறிய வரிசைகளின் அதிகபட்சமாகும், அதற்கான தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமாக இல்லை.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் குறிக்க பின்வரும் குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: $rangA$, $rgA$, $rankA$.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

1. பூஜ்ஜிய அணிக்கு, மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை பூஜ்ஜியமாகும், மீதமுள்ளவற்றுக்கு, தரவரிசை சில நேர்மறை எண்ணாகும்.
2. $m\times n$ வரிசையின் செவ்வக மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க், மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையை விட அதிகமாக இல்லை, அதாவது. $0\le ரேங்க்\le \min (m,n)$.
3. சில வரிசையின் ஒருமை அல்லாத சதுர அணிக்கு, இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் வரிசையுடன் ஒத்துப்போகிறது.
4. சில வரிசையின் சதுர மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான், பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான மேட்ரிக்ஸின் வரிசையை விட குறைவான தரவரிசையைக் கொண்டுள்ளது.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிய இரண்டு வழிகள் உள்ளன:

• தீர்மானிப்பவர்கள் மற்றும் சிறார்களைப் பயன்படுத்தி எல்லை (விளிம்பு முறை);
• அடிப்படை மாற்றங்கள் மூலம்.

விளிம்பு முறை அல்காரிதம் பின்வருவனவற்றை உள்ளடக்கியது:

1. அனைத்து முதல்-வரிசை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது, ​​​​எங்களிடம் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.
2. முதல் வரிசை மைனர்களில் குறைந்தபட்சம் ஒருவராவது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இல்லாமலும், அனைத்து இரண்டாம் வரிசை சிறார்களும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாகவும் இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 1 ஆகும்.
3. இரண்டாவது வரிசை மைனர்களில் குறைந்தபட்சம் ஒருவராவது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத நிலையில், மூன்றாம் வரிசை மைனர்கள் ஆய்வு செய்யப்படுவார்கள். இதன் விளைவாக, $k$ வரிசையின் மைனர் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, மேலும் $k+1$ ஆர்டரின் மைனர்கள் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமா என்பது சரிபார்க்கப்படுகிறது. $k+1$ வரிசையின் அனைத்து மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் $k$ க்கு சமமாக இருக்கும்.

மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது: எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

தீர்வு:

அசல் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 3 ஐ விட அதிகமாக இருக்கக்கூடாது என்பதை நினைவில் கொள்க.

முதல்-வரிசை மைனர்களில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத சிறார்களும் உள்ளனர், எடுத்துக்காட்டாக, $M_(1) =\left|-2\right|=-2$. இரண்டாம் நிலை சிறார்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (-2) & (1) \\ (1) & (0) \end(array)\right|=-2\cdot 0-1 \cdot 1=0-1=-1\ne 0$

$M_(3) =\left|\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2 ) & (3) \end(array)\right|=-2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 4-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 3\cdot (-2)=3+8-0-3+12=20\ne 0$

எனவே, கேள்விக்குரிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 3 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2

அணி $A=\left(\begin(array)(cccc) (1) & (2) & (3) & (0) & (1) \\ (0) & (1) & ( 2) & (3) & (4) \\ (2) & (3) & (1) & (4) & (5) \\ (0) & (0) & (0) & (0) & ( 0) \ முடிவு(வரிசை)\வலது)$.

தீர்வு:

அசல் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 4 (4 வரிசைகள், 5 நெடுவரிசைகள்) க்கு மேல் இருக்கக்கூடாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

முதல்-வரிசை மைனர்களில் பூஜ்ஜியம் அல்லாத மைனர்கள் உள்ளனர், எடுத்துக்காட்டாக, $M_(1) =\left|1\right|=1$. இரண்டாம் நிலை சிறார்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (1) & (2) \\ (0) & (1) \end(array)\right|=1\cdot 1-0\cdot 2=1-0=1\ne 0$

இரண்டாவது-வரிசை மைனரின் எல்லையை நாங்கள் செய்து மூன்றாம்-வரிசை மைனரைப் பெறுவோம்.

$M_(3) =\left|\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (1) & (2) \\ (2) & (3) & (1) \end(array)\right|=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 3\cdot 3-2\cdot 1\cdot 3-0\cdot 1\ cdot 2-2\cdot 3\cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3\ne 0$

மூன்றாவது வரிசை மைனரின் விளிம்பைச் செய்து நான்காவது வரிசை மைனரைப் பெறுவோம்.

$M_(4) =\left|\begin(array)(cccc) (1) & (2) & (3) & (0) \\ (0) & (1) & (2) & (3) \ \ (2) & (3) & (1) & (4) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \ end(array)\right|=0$ (பூஜ்ய சரம் கொண்டது)

$M_(5) =\இடது|\தொடங்க(வரிசை)(cccc) (1) & (2) & (3) & (1) \\ (0) & (1) & (2) & (4) \ \ (2) & (3) & (1) & (5) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \ end(array)\right|=0$ (பூஜ்ய சரம் கொண்டது)

மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து நான்காவது வரிசை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், எனவே, கேள்விக்குரிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 3 ஆகும்.

அடிப்படை உருமாற்றங்கள் மூலம் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிவது, மேட்ரிக்ஸை ஒரு மூலைவிட்ட (படி) வடிவத்திற்குக் குறைக்கிறது. மாற்றங்களின் விளைவாக பெறப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை பூஜ்ஜியமற்ற மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

அணி $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2 ) & (3) \ முடிவு(வரிசை)\வலது)$.

தீர்வு:

அணி A இன் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசைகளை மாற்றுவோம்:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2) & ( 3) \ end(array)\ right)\sim \left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (2) & (3) \ முடிவு(வரிசை)\வலது)$

அணி B இன் முதல் வரிசையை எண் 2 ஆல் பெருக்கி இரண்டாவது வரிசையுடன் சேர்ப்போம்:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (2) & (3) \end(array)\ right)\sim \left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (1) & (2) & (3) \ முடிவு(வரிசை)\வலது)$

மேட்ரிக்ஸ் C இன் முதல் வரிசையை எண் -1 ஆல் பெருக்கி மூன்றாவது வரிசையில் சேர்ப்போம்:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (1) & (2) & (3) \ முடிவு(வரிசை)\வலது)\sim \left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (2) & (0) \இறுதி(வரிசை)\வலது)$

அணி D இன் இரண்டாவது வரிசையை எண் -2 ஆல் பெருக்கி மூன்றாவது வரிசையில் சேர்ப்போம்:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (2) & (0) \ முடிவு(வரிசை)\வலது)\sim \left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (-20) \ முடிவு(வரிசை)\வலது)$

$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (-20) \end(array)\right)$ - echelon matrix

பூஜ்ஜியம் அல்லாத மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 3, எனவே $rang=3$.

வரையறை. மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசைதிசையன்களாகக் கருதப்படும் நேரியல் சார்பற்ற வரிசைகளின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கையாகும்.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை பற்றிய தேற்றம் 1. மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசைஒரு மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனரின் அதிகபட்ச வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தீர்மானிப்பவர்கள் குறித்த பாடத்தில் மைனர் என்ற கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே விவாதித்தோம், இப்போது அதை பொதுமைப்படுத்துவோம். மேட்ரிக்ஸில் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான வரிசைகள் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான நெடுவரிசைகளை எடுத்துக்கொள்வோம், மேலும் இது "எவ்வளவு" என்பது மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருக்க வேண்டும், மேலும் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளுக்கு இது "எத்தனை" ஆக இருக்க வேண்டும் அதே எண். பின்னர் எத்தனை வரிசைகள் மற்றும் எத்தனை நெடுவரிசைகளின் சந்திப்பில் நமது அசல் மேட்ரிக்ஸை விட குறைந்த வரிசையின் அணி இருக்கும். தீர்மானிப்பான் ஒரு அணி மற்றும் குறிப்பிடப்பட்ட "சில" (வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை) k ஆல் குறிக்கப்பட்டால், kth வரிசையில் சிறியதாக இருக்கும்.

வரையறை.சிறிய ( ஆர்+1)தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மைனர் இருக்கும் வரிசை ஆர்-வது வரிசை கொடுக்கப்பட்ட மைனருக்கு எல்லை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மிகவும் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படும் இரண்டு முறைகள் மேட்ரிக்ஸின் தரத்தைக் கண்டறிதல். இது சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் வழிமற்றும் அடிப்படை மாற்றங்களின் முறை(காஸ் முறை).

எல்லை மைனர்கள் முறையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​பின்வரும் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையில் தேற்றம் 2.ஒரு மைனர் மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளிலிருந்து இயற்றப்பட்டால் ஆர்வது வரிசை, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, பின்னர் மேட்ரிக்ஸின் தரம் சமமாக இருக்கும் ஆர்.

அடிப்படை உருமாற்ற முறையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​​​பின்வரும் சொத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது:

அடிப்படை மாற்றங்களின் மூலம், அசல் ஒன்றிற்கு சமமான ட்ரெப்சாய்டல் மேட்ரிக்ஸ் பெறப்பட்டால், பின்னர் இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசைபூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட கோடுகளைத் தவிர, அதில் உள்ள கோடுகளின் எண்ணிக்கை.

சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிதல்

ஒரு உயர் வரிசையின் இந்த மைனர் கொடுக்கப்பட்ட மைனரைக் கொண்டிருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட ஒரு உயர் வரிசையின் மைனர் என்பது இணைக்கப்பட்ட மைனர் ஆகும்.

உதாரணமாக, அணி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

மைனரை எடுத்துக் கொள்வோம்

எல்லைக்குட்பட்ட சிறார்களாக இருப்பார்கள்:

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்அடுத்தது.

1. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத இரண்டாவது வரிசையின் சிறார்களைக் கண்டறியவும். அனைத்து இரண்டாம் வரிசை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் ( ஆர் =1 ).

2. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத இரண்டாவது வரிசையில் குறைந்தபட்சம் ஒரு மைனர் இருந்தால், மூன்றாவது வரிசையின் எல்லை மைனர்களை உருவாக்குகிறோம். மூன்றாவது வரிசையின் அனைத்து எல்லை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் இரண்டுக்கு சமம் ( ஆர் =2 ).

3. மூன்றாவது வரிசையின் எல்லைக்குட்பட்ட மைனர்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், நாங்கள் எல்லைக்குட்பட்ட மைனர்களை உருவாக்குகிறோம். நான்காவது வரிசையின் அனைத்து எல்லை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மூன்றுக்கு சமம் ( ஆர் =2 ).

4. மேட்ரிக்ஸ் அளவு அனுமதிக்கும் வரை இந்த வழியில் தொடரவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

.

தீர்வு. இரண்டாவது வரிசையில் சிறியது .

அதை எல்லை படுத்துவோம். நான்கு எல்லை சிறார்களும் இருப்பார்கள்:

,

,

எனவே, மூன்றாவது வரிசையின் அனைத்து எல்லை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், எனவே, இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை இரண்டுக்கு சமம் ( ஆர் =2 ).

எடுத்துக்காட்டு 2.மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 1 க்கு சமம், ஏனெனில் இந்த மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து இரண்டாம் வரிசை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (இதில், பின்வரும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளில் எல்லைக்குட்பட்ட சிறார்களின் நிகழ்வுகளைப் போலவே, அன்புள்ள மாணவர்கள் சரிபார்க்க அழைக்கப்படுகிறார்கள் தங்களை, ஒருவேளை தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்தலாம்), மற்றும் முதல்-வரிசை சிறார்களிடையே, அதாவது, மேட்ரிக்ஸின் கூறுகளில், பூஜ்ஜியமற்றவை உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 3.மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. இந்த மேட்ரிக்ஸின் இரண்டாவது வரிசை மைனர், மேலும் இந்த மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து மூன்றாம் வரிசை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். எனவே, இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை இரண்டு.

எடுத்துக்காட்டு 4.மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 3 ஆகும், ஏனெனில் இந்த மேட்ரிக்ஸின் ஒரே மூன்றாவது-வரிசை மைனர் 3 ஆகும்.

அடிப்படை மாற்றங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரத்தைக் கண்டறிதல் (காஸ் முறை)

ஏற்கனவே எடுத்துக்காட்டு 1 இல், சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை நிர்ணயிக்கும் பணிக்கு அதிக எண்ணிக்கையிலான தீர்மானிப்பவர்களின் கணக்கீடு தேவைப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது. இருப்பினும், கணக்கீட்டின் அளவை குறைந்தபட்சமாக குறைக்க ஒரு வழி உள்ளது. இந்த முறை அடிப்படை மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்களின் பயன்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது மற்றும் காஸ் முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

பின்வரும் செயல்பாடுகள் அடிப்படை மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்களாக புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன:

1) பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் மேட்ரிக்ஸின் எந்த வரிசை அல்லது நெடுவரிசையையும் பெருக்குதல்;

2) மேட்ரிக்ஸின் எந்த வரிசை அல்லது நெடுவரிசையின் உறுப்புகளுடன் மற்றொரு வரிசை அல்லது நெடுவரிசையின் தொடர்புடைய கூறுகளைச் சேர்ப்பது, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது;

3) மேட்ரிக்ஸின் இரண்டு வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளை மாற்றுதல்;

4) "பூஜ்ய" வரிசைகளை அகற்றுதல், அதாவது, அதன் கூறுகள் அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்;

5) ஒன்றைத் தவிர அனைத்து விகிதாசாரக் கோடுகளையும் நீக்குதல்.

தேற்றம்.ஒரு அடிப்படை மாற்றத்தின் போது, ​​மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மாறாது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மேட்ரிக்ஸில் இருந்து அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தினால் ஏஅணிக்கு சென்றார் பி, அந்த .