Palawakin ang module ng expression:

Seksyon 2. Mga pangunahing katangian.

Isa pang mahalagang katotohanan: Ang modulus ay hindi kailanman negatibo. Anuman ang bilang namin - kahit na positibo, kahit na negatibo - ang modulus nito ay palaging lumalabas na positibo (o sa matinding mga kaso, zero). Kaya naman ang modulus ay madalas na tinatawag na absolute value ng isang numero.

Bilang karagdagan, kung pagsasamahin natin ang kahulugan ng modulus para sa positibo at negatibong numero, makakakuha tayo ng pandaigdigang kahulugan ng modulus para sa lahat ng numero. Namely: ang modulus ng isang numero ay katumbas ng numerong ito mismo, kung ang numero ay positibo (o zero), o katumbas ng kabaligtaran na numero, kung ang numero ay negatibo. Maaari mong isulat ito bilang isang pormula:

Mayroon ding isang module ng zero, ngunit ito ay palaging katumbas ng zero. Gayundin, ang zero ay ang tanging numero na walang kabaligtaran.

Kaya, kung isasaalang-alang natin ang function na $y=\left| x \right|$ at subukang iguhit ang graph nito, makakakuha ka ng ganoong "daw":

Halimbawa ng modulus graph at equation solution

Mula sa larawang ito ay makikita mo kaagad ang $\left| -m \right|=\left| m \right|$, at ang plot ng module ay hindi nahuhulog sa ibaba ng x-axis. Ngunit hindi lang iyon: ang pulang linya ay nagmamarka ng tuwid na linya na $y=a$, na, na may positibong $a$, ay nagbibigay sa amin ng dalawang ugat nang sabay-sabay: $((x)_(1))$ at $((x) _(2)) $, pero pag-uusapan natin yan mamaya. :)

Bilang karagdagan sa isang purong algebraic na kahulugan, mayroong isang geometriko. Sabihin nating mayroong dalawang puntos sa linya ng numero: $((x)_(1))$ at $((x)_(2))$. Sa kasong ito, ang expression na $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ ay ang distansya lamang sa pagitan ng mga tinukoy na punto. O, kung gusto mo, ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga puntong ito:

Ito rin ay sumusunod mula sa kahulugan na ito na ang modulus ay palaging hindi negatibo. Ngunit sapat na mga kahulugan at teorya - lumipat tayo sa totoong mga equation. :)

Pangunahing Pormula

Okay, nalaman namin ang kahulugan. Ngunit hindi ito naging mas madali. Paano lutasin ang mga equation na naglalaman ng mismong modyul na ito?

Kalmado, kalmado lang. Magsimula tayo sa mga pinakasimpleng bagay. Isaalang-alang ang isang bagay tulad nito:

\[\kaliwa| x\right|=3\]

Kaya ang modulo$x$ ay 3. Ano ang maaaring katumbas ng $x$? Well, sa paghusga sa kahulugan, ang $x=3$ ay babagay sa amin. Talaga:

\[\kaliwa| 3\kanan|=3\]

Mayroon bang iba pang mga numero? Parang pahiwatig ni Cap na meron. Halimbawa, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, ibig sabihin. nasiyahan ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.

Kaya siguro kung hahanapin natin, isipin, mas maraming numero ang makikita natin? Ngunit maghiwalay: wala nang mga numero. Equation $\left| x \right|=3$ ay may dalawang ugat lamang: $x=3$ at $x=-3$.

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Hayaan, sa halip na ang variable na $x$, ang function na $f\left(x \right)$ ay nakabitin sa ilalim ng modulus sign, at sa kanan, sa halip na triple, naglalagay kami ng arbitrary number na $a$. Nakukuha namin ang equation:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=a\]

Well, paano ka magdedesisyon? Paalalahanan kita: Ang $f\left(x \right)$ ay isang arbitrary function, ang $a$ ay anumang numero. Yung. kahit ano! Halimbawa:

\[\kaliwa| 2x+1 \right|=5\]

\[\kaliwa| 10x-5 \right|=-65\]

Tingnan natin ang pangalawang equation. Maaari mong agad na sabihin tungkol sa kanya: wala siyang mga ugat. Bakit? Tama iyan: dahil nangangailangan ito ng modulus na maging katumbas ng isang negatibong numero, na hindi mangyayari, dahil alam na natin na ang modulus ay palaging isang positibong numero o, sa matinding mga kaso, zero.

Ngunit sa unang equation, mas masaya ang lahat. Mayroong dalawang mga opsyon: alinman ay may positibong expression sa ilalim ng module sign, at pagkatapos ay $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, o negatibo pa rin ang expression na ito, kung saan $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Sa unang kaso, ang aming equation ay muling isusulat bilang:

\[\kaliwa| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

At biglang lumalabas na ang submodule expression na $2x+1$ ay talagang positibo - ito ay katumbas ng numero 5. Ibig sabihin, maaari nating ligtas na malutas ang equation na ito - ang resultang ugat ay magiging isang piraso ng sagot:

Ang mga hindi makapaniwala ay maaaring subukang palitan ang natagpuang ugat sa orihinal na equation at tiyakin na talagang magkakaroon ng positibong numero sa ilalim ng modulus.

Ngayon tingnan natin ang kaso ng isang negatibong pagpapahayag ng submodule:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Rightarrow 2x+1=-5\]

Oops! Muli, malinaw ang lahat: ipinapalagay namin na $2x+1 \lt 0$, at bilang resulta nakuha namin na $2x+1=-5$ - sa katunayan, ang expression na ito ay mas mababa sa zero. Niresolba namin ang nagresultang equation, habang alam na natin na ang nahanap na ugat ay babagay sa atin:

Sa kabuuan, muli kaming nakatanggap ng dalawang sagot: $x=2$ at $x=3$. Oo, ang halaga ng mga kalkulasyon ay naging mas kaunti kaysa sa napakasimpleng equation na $\left| x \right|=3$, ngunit sa panimula walang nagbago. Kaya marahil mayroong ilang uri ng unibersal na algorithm?

Oo, umiiral ang gayong algorithm. At ngayon ay susuriin natin ito.

Pag-alis ng module sign

Bigyan tayo ng equation na $\left| f\left(x \right) \right|=a$, at $a\ge 0$ (kung hindi, tulad ng alam na natin, walang mga ugat). Pagkatapos ay maaari mong alisin ang modulo sign ayon sa sumusunod na panuntunan:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Kaya, ang aming equation sa modulus ay nahahati sa dalawa, ngunit walang modulus. Iyan ang buong teknolohiya! Subukan nating lutasin ang isang pares ng mga equation. Magsimula tayo dito

\[\kaliwa| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Hiwalay naming isasaalang-alang kapag may sampu na may plus sa kanan, at hiwalay kapag may minus. Meron kami:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(align)\]

Iyon lang! Nakakuha kami ng dalawang ugat: $x=1.2$ at $x=-2.8$. Ang buong solusyon ay literal na kinuha ng dalawang linya.

Ok, walang tanong, tingnan natin ang isang bagay na mas seryoso:

\[\kaliwa| 7-5x \right|=13\]

Muli, buksan ang module na may plus at minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(align)\]

Muli ng ilang linya - at handa na ang sagot! Tulad ng sinabi ko, walang kumplikado sa mga module. Kailangan mo lamang tandaan ang ilang mga patakaran. Samakatuwid, pumunta kami nang higit pa at magpatuloy sa talagang mas mahirap na mga gawain.

Variable right side case

Ngayon isaalang-alang ang equation na ito:

\[\kaliwa| 3x-2 \right|=2x\]

Ang equation na ito ay sa panimula ay naiiba sa lahat ng nauna. Paano? At ang katotohanan na ang expression na $2x$ ay nasa kanan ng equal sign - at hindi natin malalaman nang maaga kung ito ay positibo o negatibo.

Paano maging sa kasong iyon? Una, dapat nating maunawaan minsan at para sa lahat iyon kung ang kanang bahagi ng equation ay negatibo, kung gayon ang equation ay walang mga ugat- alam na natin na ang modulus ay hindi maaaring katumbas ng negatibong numero.

At pangalawa, kung ang tamang bahagi ay positibo pa rin (o katumbas ng zero), maaari kang magpatuloy nang eksakto sa parehong paraan tulad ng dati: buksan lamang ang module nang hiwalay sa plus sign at hiwalay na may minus sign.

Kaya, bumubuo kami ng isang panuntunan para sa mga arbitrary na function $f\left(x \right)$ at $g\left(x \right)$ :

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Tungkol sa aming equation, nakukuha namin ang:

\[\kaliwa| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Buweno, kakayanin natin ang $2x\ge 0$ na kinakailangan kahit papaano. Sa huli, maaari nating palitan ang mga ugat na nakuha natin mula sa unang equation at suriin kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak o hindi.

Kaya't lutasin natin ang equation mismo:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(align)\]

Well, alin sa dalawang ugat na ito ang nakakatugon sa kinakailangan $2x\ge 0$? Oo pareho! Samakatuwid, ang sagot ay dalawang numero: $x=(4)/(3)\;$ at $x=0$. Yan ang solusyon. :)

Inaasahan ko na ang isa sa mga estudyante ay nagsimula nang magsawa? Well, isaalang-alang ang isang mas kumplikadong equation:

\[\kaliwa| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Kahit na ito ay mukhang masama, sa katunayan ito ay ang lahat ng parehong equation ng form na "modulus equals function":

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

At ito ay malulutas sa parehong paraan:

\[\kaliwa| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Haharapin natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa ibang pagkakataon - ito ay sa paanuman ay masyadong mabisyo (talagang simple, ngunit hindi natin ito malulutas). Sa ngayon, tingnan natin ang mga resultang equation. Isaalang-alang ang unang kaso - ito ay kapag ang module ay pinalawak na may plus sign:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Well, narito ito ay isang walang utak na kailangan mong kolektahin ang lahat sa kaliwa, magdala ng mga katulad at tingnan kung ano ang mangyayari. At ito ang nangyayari:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Ang paglalagay ng karaniwang salik na $((x)^(2))$ sa labas ng bracket, makakakuha tayo ng napakasimpleng equation:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Dito ginamit namin ang isang mahalagang katangian ng produkto, para sa kapakanan kung saan namin isinaalang-alang ang orihinal na polynomial: ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero.

Ngayon, sa parehong paraan, haharapin natin ang pangalawang equation, na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalawak ng module na may minus sign:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(align)\]

Muli, ang parehong bagay: ang produkto ay zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay zero. Meron kami:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Well, nakakuha kami ng tatlong ugat: $x=0$, $x=1.5$ at $x=(2)/(3)\;$. Well, ano ang mapupunta sa huling sagot mula sa set na ito? Upang gawin ito, tandaan na mayroon kaming karagdagang hadlang sa hindi pagkakapantay-pantay:

Paano isaalang-alang ang kinakailangang ito? Palitan lang natin ang mga nahanap na ugat at suriin kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak sa mga $x$ na ito o hindi. Meron kami:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Kaya, ang ugat na $x=1.5$ ay hindi angkop sa amin. At dalawang ugat lamang ang pupunta bilang tugon:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Tulad ng nakikita mo, kahit na sa kasong ito ay walang mahirap - ang mga equation na may mga module ay palaging nalutas ayon sa algorithm. Kailangan mo lang magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa mga polynomial at hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, nagpapatuloy kami sa mas kumplikadong mga gawain - hindi magkakaroon ng isa, ngunit dalawang mga module.

Mga equation na may dalawang module

Sa ngayon, pinag-aralan lamang namin ang pinakasimpleng mga equation - mayroong isang module at iba pa. Ipinadala namin ang "iba pang bagay" na ito sa isa pang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, malayo sa module, upang sa huli ang lahat ay mababawasan sa isang equation tulad ng $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ o mas simple $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Ngunit tapos na ang kindergarten - oras na upang isaalang-alang ang isang bagay na mas seryoso. Magsimula tayo sa mga equation tulad nito:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Ito ay isang equation ng form na "ang modulus ay katumbas ng modulus". Ang pangunahing mahalagang punto ay ang kawalan ng iba pang mga termino at salik: isang module lamang sa kaliwa, isa pang module sa kanan - at wala nang iba pa.

Iisipin na ngayon na ang gayong mga equation ay mas mahirap lutasin kaysa sa napag-aralan natin sa ngayon. Ngunit hindi: mas madaling malutas ang mga equation na ito. Narito ang formula:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Lahat! Itinutumbas lang namin ang mga expression ng submodule sa pamamagitan ng paglalagay ng prefix sa isa sa mga ito ng plus o minus sign. At pagkatapos ay malulutas namin ang nagresultang dalawang equation - at handa na ang mga ugat! Walang karagdagang mga paghihigpit, walang hindi pagkakapantay-pantay, atbp. Napakasimple ng lahat.

Subukan nating lutasin ang problemang ito:

\[\kaliwa| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \kanan|\]

Elementary Watson! Pagbubukas ng mga module:

\[\kaliwa| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Isaalang-alang natin ang bawat kaso nang hiwalay:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Ang unang equation ay walang mga ugat. Dahil kailan ang $3=-7$? Para sa anong mga halaga ng $x$? “Ano ba ang $x$? Binato ka ba? Wala talagang $x$,” sabi mo. At magiging tama ka. Nakakuha kami ng pagkakapantay-pantay na hindi nakasalalay sa variable na $x$, at sa parehong oras ang pagkakapantay-pantay mismo ay hindi tama. Kaya lang walang ugat.

Sa pangalawang equation, ang lahat ay medyo mas kawili-wili, ngunit napaka-simple:

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay literal na napagpasyahan sa isang pares ng mga linya - hindi namin inaasahan ang anumang bagay mula sa isang linear equation. :)

Bilang resulta, ang huling sagot ay: $x=1$.

Well, paano? Mahirap? Syempre hindi. Subukan natin ang iba pa:

\[\kaliwa| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|\]

Muli mayroon kaming isang equation tulad ng $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Samakatuwid, agad naming muling isinulat ito, na inilalantad ang sign ng module:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Marahil ay may magtatanong ngayon: “Hoy, anong klaseng kalokohan? Bakit plus-minus ang nasa kanang bahagi at hindi sa kaliwang bahagi? Calm down, ipapaliwanag ko ang lahat. Sa katunayan, sa isang mabuting paraan, dapat ay muling isinulat natin ang ating equation bilang mga sumusunod:

Pagkatapos ay kailangan mong buksan ang mga bracket, ilipat ang lahat ng mga termino sa isang direksyon mula sa pantay na pag-sign (dahil ang equation, malinaw naman, ay magiging parisukat sa parehong mga kaso), at pagkatapos ay hanapin ang mga ugat. Ngunit dapat mong aminin: kapag ang "plus-minus" ay nasa harap ng tatlong termino (lalo na kapag ang isa sa mga terminong ito ay isang parisukat na expression), kahit papaano ay mukhang mas kumplikado ito kaysa sa sitwasyon kapag ang "plus-minus" ay nasa harap lamang ng dalawa. mga tuntunin.

Ngunit walang pumipigil sa amin na muling isulat ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:

\[\kaliwa| x-1 \kanan|=\kaliwa| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|=\kaliwa| x-1 \right|\]

Anong nangyari? Oo, walang espesyal: pinalitan lang ang kaliwa at kanang bahagi. Isang maliit na bagay, na sa huli ay magpapasimple ng kaunti sa ating buhay. :)

Sa pangkalahatan, nilulutas namin ang equation na ito, isinasaalang-alang ang mga opsyon na may plus at minus:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Ang unang equation ay may mga ugat na $x=3$ at $x=1$. Ang pangalawa ay karaniwang isang eksaktong parisukat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\kaliwa(x-1 \kanan))^(2))\]

Samakatuwid, mayroon itong iisang ugat: $x=1$. Ngunit natanggap na natin ang ugat na ito kanina. Kaya, dalawang numero lamang ang mapupunta sa huling sagot:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Kumpleto na ang Misyon! Maaari mong kunin ito mula sa istante at kumain ng pie. Mayroong 2 sa kanila, ang iyong average. :)

Mahalagang paalaala. Ang pagkakaroon ng parehong mga ugat para sa iba't ibang mga bersyon ng pagpapalawak ng module ay nangangahulugan na ang mga orihinal na polynomial ay nabubulok sa mga kadahilanan, at kabilang sa mga salik na ito ay kinakailangang maging isang karaniwan. Talaga:

\[\begin(align)& \left| x-1 \kanan|=\kaliwa| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\kaliwa| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

Isa sa mga katangian ng module: $\left| a\cdot b \right|=\left| isang \kanan|\cdot \kaliwa| b \right|$ (iyon ay, ang modulus ng produkto ay katumbas ng produkto ng moduli), kaya ang orihinal na equation ay maaaring muling isulat bilang

\[\kaliwa| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \kanan|\]

As you can see, meron talaga tayong common factor. Ngayon, kung kinokolekta mo ang lahat ng mga module sa isang gilid, maaari mong alisin ang multiplier na ito sa bracket:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \kanan|; \\&\kaliwa| x-1 \kanan|-\kaliwa| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\&\kaliwa| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Kaya, ngayon naaalala namin na ang produkto ay katumbas ng zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Kaya, ang orihinal na equation na may dalawang module ay nabawasan sa dalawang pinakasimpleng equation na napag-usapan natin sa pinakasimula ng aralin. Ang mga naturang equation ay maaaring malutas sa ilang linya lamang. :)

Ang pangungusap na ito ay maaaring mukhang hindi kinakailangang kumplikado at hindi naaangkop sa pagsasanay. Gayunpaman, sa katotohanan, maaari kang makatagpo ng mas kumplikadong mga gawain kaysa sa mga pinag-aaralan namin ngayon. Sa kanila, ang mga module ay maaaring isama sa polynomials, arithmetic roots, logarithms, atbp. At sa mga ganoong sitwasyon, ang kakayahang babaan ang kabuuang antas ng equation sa pamamagitan ng paglalagay ng isang bagay sa labas ng bracket ay maaaring napaka-madaling gamitin. :)

Ngayon gusto kong pag-aralan ang isa pang equation, na sa unang tingin ay maaaring mukhang baliw. Maraming mga mag-aaral ang "nananatili" dito - kahit na ang mga naniniwala na mayroon silang mahusay na pag-unawa sa mga modyul.

Gayunpaman, ang equation na ito ay mas madaling lutasin kaysa sa kung ano ang isinasaalang-alang namin kanina. At kung naiintindihan mo kung bakit, makakakuha ka ng isa pang trick para sa mabilis na paglutas ng mga equation na may mga module.

Kaya ang equation ay:

\[\kaliwa| x-((x)^(3)) \kanan|+\kaliwa| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Hindi, hindi ito isang typo: ito ay isang plus sa pagitan ng mga module. At kailangan nating hanapin kung aling $x$ ang kabuuan ng dalawang module ay katumbas ng zero. :)

Ano ang problema? At ang problema ay ang bawat module ay isang positibong numero, o sa matinding mga kaso, zero. Ano ang mangyayari kapag nagdagdag ka ng dalawang positibong numero? Malinaw, muli isang positibong numero:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Ang huling linya ay maaaring magbigay sa iyo ng ideya: ang tanging kaso kung saan ang kabuuan ng moduli ay zero ay kung ang bawat modulus ay katumbas ng zero:

\[\kaliwa| x-((x)^(3)) \kanan|+\kaliwa| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

Kailan katumbas ng zero ang modulus? Sa isang kaso lamang - kapag ang expression ng submodule ay katumbas ng zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Kaya, mayroon tayong tatlong punto kung saan ang unang modulus ay nakatakda sa zero: 0, 1, at −1; pati na rin ang dalawang punto kung saan ang pangalawang module ay na-zero: −2 at 1. Gayunpaman, kailangan natin ang parehong mga modyul na ma-zero sa parehong oras, kaya kabilang sa mga numerong natagpuan, kailangan nating piliin ang mga kasama sa parehong set. Malinaw, mayroon lamang isang numero: $x=1$ - ito ang magiging huling sagot.

paraan ng paghahati

Buweno, nasaklaw na namin ang isang grupo ng mga gawain at natutunan ang maraming mga trick. Sa tingin mo yun lang? Pero hindi! Ngayon ay isasaalang-alang namin ang pangwakas na pamamaraan - at sa parehong oras ang pinakamahalaga. Pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahati ng mga equation na may modulus. Ano ang tatalakayin? Bumalik tayo ng kaunti at isaalang-alang ang ilang simpleng equation. Halimbawa, ito:

\[\kaliwa| 3x-5\right|=5-3x\]

Sa prinsipyo, alam na natin kung paano lutasin ang naturang equation, dahil ito ay isang karaniwang $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Ngunit subukan nating tingnan ang equation na ito mula sa isang bahagyang naiibang anggulo. Mas tiyak, isaalang-alang ang expression sa ilalim ng module sign. Ipaalala ko sa iyo na ang modulus ng anumang numero ay maaaring katumbas ng numero mismo, o maaari itong kabaligtaran ng numerong ito:

\[\kaliwa| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Sa totoo lang, ang kalabuan na ito ay ang buong problema: dahil nagbabago ang bilang sa ilalim ng modulus (depende ito sa variable), hindi malinaw sa atin kung ito ay positibo o negatibo.

Ngunit paano kung una naming hinihiling na ang bilang na ito ay positibo? Halimbawa, hilingin natin na $3x-5 \gt 0$ - sa kasong ito, garantisadong makakakuha tayo ng positibong numero sa ilalim ng modulus sign, at ganap nating maaalis ang modulus na ito:

Kaya, ang aming equation ay magiging isang linear, na madaling malutas:

Totoo, lahat ng pagsasaalang-alang na ito ay may katuturan lamang sa ilalim ng kundisyong $3x-5 \gt 0$ - kami mismo ang nagpasimula ng pangangailangang ito upang malinaw na maihayag ang module. Kaya't palitan natin ang nahanap na $x=\frac(5)(3)$ sa kundisyong ito at suriin:

Lumalabas na para sa tinukoy na halaga ng $x$, ang aming kinakailangan ay hindi natutugunan, dahil ang expression ay naging katumbas ng zero, at kailangan namin itong maging mahigpit na mas malaki kaysa sa zero. Nakakalungkot. :(

Pero ayos lang! Pagkatapos ng lahat, may isa pang pagpipilian $3x-5 \lt 0$. Bukod dito: mayroon ding kaso $3x-5=0$ - ito ay dapat ding isaalang-alang, kung hindi, ang solusyon ay hindi kumpleto. Kaya, isaalang-alang ang $3x-5 \lt 0$ case:

Malinaw na magbubukas ang module na may minus sign. Ngunit pagkatapos ay lumitaw ang isang kakaibang sitwasyon: ang parehong expression ay lalabas pareho sa kaliwa at sa kanan sa orihinal na equation:

Nagtataka ako para sa kung anong $x$ ang expression na $5-3x$ ay magiging katumbas ng expression na $5-3x$? Mula sa gayong mga equation, kahit ang Kapitan ay halatang mabulunan ng laway, ngunit alam natin na ang equation na ito ay isang pagkakakilanlan, i.e. ito ay totoo para sa anumang halaga ng variable!

At nangangahulugan ito na ang anumang $x$ ay babagay sa amin. Gayunpaman, mayroon kaming limitasyon:

Sa madaling salita, ang sagot ay hindi magiging isang numero, ngunit isang buong pagitan:

Sa wakas, may isa pang kaso na dapat isaalang-alang: $3x-5=0$. Ang lahat ay simple dito: magkakaroon ng zero sa ilalim ng modulus, at ang modulus ng zero ay katumbas din ng zero (direktang sumusunod ito mula sa kahulugan):

Ngunit pagkatapos ay ang orihinal na equation na $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ ay muling isusulat ng ganito:

Nakuha na namin ang ugat na ito sa itaas nang isaalang-alang namin ang kaso $3x-5 \gt 0$. Bukod dito, ang ugat na ito ay isang solusyon sa equation na $3x-5=0$ - ito ang paghihigpit na ipinakilala namin mismo upang mapawalang-bisa ang modulus. :)

Kaya, bilang karagdagan sa agwat, masisiyahan din tayo sa numerong nasa pinakadulo ng agwat na ito:

Kabuuang panghuling sagot: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Hindi masyadong pangkaraniwan na makakita ng ganoong crap sa sagot sa isang medyo simple (esensyal na linear) equation na may modulus Buweno, masanay: ang pagiging kumplikado ng module ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga sagot sa naturang mga equation ay maaaring maging ganap na hindi mahulaan.

Higit na mas mahalaga ang iba pa: kaka-dismantle lang namin ng isang unibersal na algorithm para sa paglutas ng isang equation na may modulus! At ang algorithm na ito ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1. I-equate ang bawat modulus sa equation sa zero. Kumuha tayo ng ilang equation;
2. Lutasin ang lahat ng mga equation na ito at markahan ang mga ugat sa linya ng numero. Bilang resulta, ang tuwid na linya ay mahahati sa ilang mga pagitan, sa bawat isa kung saan ang lahat ng mga module ay natatanging pinalawak;
3. Lutasin ang orihinal na equation para sa bawat pagitan at pagsamahin ang mga sagot.

Iyon lang! May nananatiling isang tanong lamang: kung ano ang gagawin sa mga ugat mismo, na nakuha sa unang hakbang? Sabihin nating mayroon tayong dalawang ugat: $x=1$ at $x=5$. Sisirain nila ang linya ng numero sa 3 piraso:

Kaya ano ang mga pagitan? Malinaw na mayroong tatlo sa kanila:

1. Kaliwa: $x \lt 1$ - ang yunit mismo ay hindi kasama sa pagitan;
2. Central: $1\le x \lt 5$ - dito ang isa ay kasama sa pagitan, ngunit ang lima ay hindi kasama;
3. Ang pinakakanan: $x\ge 5$ — ang lima ay kasama lang dito!

Sa tingin ko naiintindihan mo na ang pattern. Kasama sa bawat pagitan ang kaliwang dulo at hindi kasama ang kanang dulo.

Sa unang sulyap, ang naturang tala ay maaaring mukhang hindi komportable, hindi makatwiran, at sa pangkalahatan ay isang uri ng kabaliwan. Ngunit maniwala ka sa akin: pagkatapos ng isang maliit na pagsasanay, makikita mo na ito ang pinaka-maaasahang diskarte at sa parehong oras ay hindi nakakasagabal sa mga hindi malabo na pagbubunyag ng mga module. Mas mainam na gumamit ng gayong pamamaraan kaysa mag-isip sa bawat oras: bigyan ang kaliwa / kanang dulo sa kasalukuyang agwat o "ihagis" ito sa susunod.

Dito nagtatapos ang aralin. Mag-download ng mga gawain para sa self-solving, pagsasanay, ihambing sa mga sagot - at magkita-kita tayo sa susunod na aralin, na ilalaan sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga module. :)

Pagtuturo

Kung ang modulus ay kinakatawan bilang isang tuluy-tuloy na function, kung gayon ang halaga ng argumento nito ay maaaring maging positibo o negatibo: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Ang modulus ay zero, at ang modulus ng anumang positibong numero ay ang modulus nito. Kung negatibo ang argumento, pagkatapos buksan ang mga bracket, nagbabago ang sign nito mula minus hanggang plus. Batay dito, ang konklusyon ay sumusunod na ang mga module ng kabaligtaran ay pantay: |-x| = |x| = x.

Ang modulus ng complex number ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: |a| = √b ² + c ² at |a + b| ≤ |a| + |b|. Kung ang argument ay naglalaman ng positibong numero bilang multiplier, maaari itong alisin sa bracket sign, halimbawa: |4*b| = 4*|b|.

Kung ang argumento ay ipinakita bilang isang kumplikadong numero, kung gayon para sa kaginhawahan ng mga kalkulasyon, ang pagkakasunud-sunod ng mga termino ng expression na nakapaloob sa mga square bracket ay pinapayagan: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 dahil ang (2-3) ay mas mababa sa zero.

Ang argumentong itinaas sa kapangyarihan ay sabay-sabay sa ilalim ng tanda ng ugat ng parehong pagkakasunud-sunod - ito ay malulutas sa: √a² = |a| = ±a.

Kung mayroon kang isang gawain sa harap mo na hindi tumutukoy sa kondisyon para sa pagpapalawak ng mga bracket ng module, kung gayon hindi mo kailangang alisin ang mga ito - ito ang magiging huling resulta. At kung gusto mong buksan ang mga ito, dapat mong tukuyin ang sign ±. Halimbawa, kailangan mong hanapin ang halaga ng expression na √(2 * (4-b)) ². Ang kanyang solusyon ay ganito ang hitsura: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Dahil ang tanda ng expression na 4-b ay hindi kilala, dapat itong iwanang nasa panaklong. Kung magdagdag ka ng karagdagang kundisyon, halimbawa, |4-b| >

Ang modulus ng zero ay katumbas ng zero, at ang modulus ng anumang positibong numero ay katumbas ng sarili nito. Kung negatibo ang argumento, pagkatapos buksan ang mga bracket, nagbabago ang sign nito mula minus hanggang plus. Batay dito, ang konklusyon ay sumusunod na ang moduli ng magkasalungat na mga numero ay pantay-pantay: |-x| = |x| = x.

Ang modulus ng complex number ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: |a| = √b ² + c ² at |a + b| ≤ |a| + |b|. Kung ang argument ay naglalaman ng positive integer bilang multiplier, maaari itong alisin sa bracket sign, halimbawa: |4*b| = 4*|b|.

Ang modulus ay hindi maaaring negatibo, kaya ang anumang negatibong numero ay na-convert sa isang positibo: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2.5| = 2.5.

Kung ang argumento ay ipinakita bilang isang kumplikadong numero, kung gayon para sa kaginhawahan ng mga kalkulasyon, pinapayagan na baguhin ang pagkakasunud-sunod ng mga termino ng expression na nakapaloob sa mga square bracket: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 dahil ang (2-3) ay mas mababa sa zero.

Kung mayroon kang isang gawain sa harap mo na hindi tumutukoy sa kondisyon para sa pagpapalawak ng mga bracket ng module, kung gayon hindi mo kailangang alisin ang mga ito - ito ang magiging huling resulta. At kung gusto mong buksan ang mga ito, dapat mong tukuyin ang sign ±. Halimbawa, kailangan mong hanapin ang halaga ng expression na √(2 * (4-b)) ². Ang kanyang solusyon ay ganito ang hitsura: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Dahil ang tanda ng expression na 4-b ay hindi kilala, dapat itong iwanang nasa panaklong. Kung magdagdag ka ng karagdagang kundisyon, halimbawa, |4-b| > 0, pagkatapos ang resulta ay 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Bilang isang hindi kilalang elemento, ang isang tiyak na numero ay maaari ding ibigay, na dapat isaalang-alang, dahil. makakaapekto ito sa tanda ng pagpapahayag.

Ang artikulong ito ay nakatuon sa mga pamamaraan para sa paglutas ng iba't ibang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman
variable sa ilalim ng module sign.

Kung sa pagsusulit ay nakatagpo ka ng isang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa isang module, maaari mo itong lutasin,
nang hindi alam ang anumang espesyal na pamamaraan at ginagamit lamang ang kahulugan ng module. Totoo ba,
maaari itong tumagal ng isang oras at kalahati ng mahalagang oras ng pagsusulit.

Samakatuwid, nais naming sabihin sa iyo ang tungkol sa mga pamamaraan na nagpapasimple sa solusyon ng mga naturang problema.

Una sa lahat, tandaan natin ito

Isaalang-alang ang iba't ibang uri mga equation na may modulus. (Higit pa sa hindi pagkakapantay-pantay mamaya.)

Kaliwang module, kanang numero

Ito ang pinakasimpleng kaso. Lutasin natin ang equation

Mayroon lamang dalawang numero na ang modulus ay apat. Ito ay 4 at -4. Samakatuwid, ang equation
ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang simple:

Ang pangalawang equation ay walang mga solusyon. Mga solusyon sa una: x = 0 at x = 5.

Sagot: 0; 5.

Variable sa ilalim ng module at sa labas ng module

Dito kailangan mong palawakin ang module ayon sa kahulugan. . . o isipin!

Ang equation ay nahahati sa dalawang kaso, depende sa tanda ng expression sa ilalim ng modulus.
Sa madaling salita, ito ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema:

Solusyon ng unang sistema: . Ang pangalawang sistema ay walang solusyon.
Sagot: 1.

Unang kaso: x ≥ 3. Alisin ang module:

Ang bilang , bilang negatibo, ay hindi nakakatugon sa kundisyon x ≥ 3 at samakatuwid ay hindi ang ugat ng orihinal na equation.

Alamin natin kung ang numero ay nakakatugon sa kundisyong ito. Upang gawin ito, gumawa kami ng pagkakaiba at tinutukoy ang tanda nito:

Kaya, higit sa tatlo at samakatuwid ay ang ugat ng orihinal na equation

Pangalawang kaso: x< 3. Снимаем модуль:

Numero . ay mas malaki kaysa sa , at samakatuwid ay hindi nakakatugon sa kundisyon x< 3. Проверим :

Ibig sabihin, . ay ang ugat ng orihinal na equation.

Alisin ang module ayon sa kahulugan? Nakakatakot man lang isipin, dahil hindi perpektong parisukat ang discriminant. Mas mabuting gamitin natin ang sumusunod na pagsasaalang-alang: isang equation ng anyong |A| = B ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema:

Pareho, ngunit bahagyang naiiba:

Sa madaling salita, nilulutas natin ang dalawang equation, A = B at A = −B, at pagkatapos ay piliin ang mga ugat na nakakatugon sa kundisyon B ≥ 0.

Magsimula na tayo. Una, lutasin natin ang unang equation:

Pagkatapos ay lutasin namin ang pangalawang equation:

Ngayon sa bawat kaso sinusuri namin ang tanda ng kanang bahagi:

Samakatuwid, lamang at angkop.

Quadratic equation na may |x| = t

Lutasin natin ang equation:

Dahil , maginhawang gawin ang pagbabago |x| = t. Nakukuha namin:

Sagot: ±1.

Ang modulus ay katumbas ng modulo

Pinag-uusapan natin ang mga equation ng form |A| = |B|. Ito ay isang regalo ng kapalaran. Walang pagpapalawak ng module ayon sa kahulugan! Ito ay simple:

Halimbawa, isaalang-alang ang equation: . Ito ay katumbas ng sumusunod na hanay:

Ito ay nananatiling lutasin ang bawat isa sa mga equation ng populasyon at isulat ang sagot.

Dalawa o higit pang mga module

Lutasin natin ang equation:

Hindi namin aabalahin ang bawat module nang hiwalay at buksan ito sa pamamagitan ng kahulugan - magkakaroon ng masyadong maraming mga pagpipilian. Mayroong mas makatwirang paraan - ang paraan ng mga pagitan.

Ang mga expression sa ilalim ng mga module ay nawawala sa mga puntong x = 1, x = 2 at x = 3. Hinahati ng mga puntong ito ang linya ng numero sa apat na pagitan (mga pagitan). Minarkahan namin ang mga puntong ito sa linya ng numero at inilalagay ang mga palatandaan para sa bawat isa sa mga expression sa ilalim ng mga module sa mga agwat na nakuha. (Ang pagkakasunud-sunod ng mga palatandaan ay kapareho ng pagkakasunud-sunod ng kaukulang mga module sa equation.)

Kaya, kailangan nating isaalang-alang ang apat na kaso - kapag ang x ay nasa bawat isa sa mga pagitan.

Case 1: x ≥ 3. Ang lahat ng mga module ay tinanggal "na may plus":

Ang resultang halaga x = 5 ay nakakatugon sa kundisyon x ≥ 3 at samakatuwid ay ang ugat ng orihinal na equation.

Case 2: 2 ≤ x ≤ 3. Ang huling module ay tinanggal na ngayon "na may minus":

Ang nakuhang halaga ng x ay angkop din - kabilang ito sa itinuturing na pagitan.

Case 3: 1 ≤ x ≤ 2. Ang pangalawa at pangatlong module ay tinanggal "na may minus":

Nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero para sa anumang x mula sa isinasaalang-alang na pagitan, nagsisilbi silang mga solusyon sa equation na ito.

Case 4: x ≤ 1 ≤ 1. Ang pangalawa at pangatlong module ay tinanggal "na may minus":

Walang bago. Alam na natin na ang x = 1 ay isang solusyon.

Sagot: ∪ (5).

Module sa loob ng isang module

Lutasin natin ang equation:

Magsisimula kami sa pagpapalawak ng panloob na module.

1) x ≤ 3. Nakukuha namin ang:

Ang expression sa ilalim ng modulus ay naglalaho sa . Ang puntong ito ay nabibilang sa isinasaalang-alang
pagitan. Samakatuwid, kailangan nating isaalang-alang ang dalawang subcase.

1.1) Nakukuha namin sa kasong ito:

Ang halagang ito ng x ay hindi maganda, dahil hindi ito kabilang sa pagitan na isinasaalang-alang.

1.2). Pagkatapos:

Ang halaga ng x na ito ay hindi rin maganda.

Kaya, para sa x ≤ 3 walang mga solusyon. Lumipat tayo sa pangalawang kaso.

2) x ≥ 3. Mayroon kaming:

Narito kami ay masuwerte: ang expression na x + 2 ay positibo sa itinuturing na pagitan! Samakatuwid, wala nang anumang mga subcase: ang module ay tinanggal "na may plus":

Ang halagang ito ng x ay nasa pagitan na isinasaalang-alang at samakatuwid ay ang ugat ng orihinal na equation.

Ito ay kung paano malulutas ang lahat ng mga gawain ng ganitong uri - binubuksan namin ang mga nested na module, simula sa panloob.