Konstruksyon ng mga seksyon polyhedra

Stereometry ika-10 baitang

Nakumpleto ng isang guro sa matematika

MBOU "Molodkovskaya Secondary School"

Stepchenko M.A.

Layunin ng aralin:

Bumuo ng mga kasanayan sa paglutas ng mga problema na kinasasangkutan ng pagbuo ng mga seksyon ng isang tetrahedron at parallelepiped

“Sabihin mo at makakalimutan ko. Ipakita mo sa akin at maaalala ko..."

Sinaunang Tsino

salawikain

Ito ay kawili-wili!

Maraming mga artista, na binabaluktot ang mga batas ng pananaw, nagpinta ng mga hindi pangkaraniwang larawan. Sa pamamagitan ng paraan, ang mga guhit na ito ay napakapopular sa mga mathematician. Sa Internet maaari kang makahanap ng maraming mga site kung saan nai-publish ang mga imposibleng bagay na ito.

Ang mga sikat na artista na sina Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey at iba pa ay nagulat sa mga mathematician sa kanilang mga painting.

"Maaari lang itong iguhit ng isang taong gumagawa ng disenyo nang hindi nakikita ang pananaw..."

Jos de Mey

Ang mga batas ng geometry ay madalas na nilalabag sa mga laro sa computer.

Pag-akyat sa hagdan na ito, nananatili kami sa iisang palapag.

A 2 . Kung ang dalawang puntos ay nasa isang tuwid na linya

humiga sa eroplano, pagkatapos ay ang lahat ng mga punto

ang mga tuwid na linya ay namamalagi sa eroplanong ito.

Geometry: Teksbuk. Para sa 10-11 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev at iba pa - ika-9 na ed., bilang susugan. – M.: Enlightenment, 2000. – 206 p.: ill. – ISBN 5-09-008612-5.

Walang hagdan dito!

A

"Ang mga umiibig sa pagsasanay na walang teorya ay tulad ng isang marino na sumakay sa isang barko na walang timon o kumpas at samakatuwid ay hindi alam kung saan siya naglalayag."

Leonardo da Vinci

http://blogs.nnm.ru/page6/

AXIOMS

planimetry

stereometry

Ilarawan ang relatibong posisyon ng mga punto at linya

A1. Sa pamamagitan ng anumang tatlong punto na hindi nakahiga sa parehong linya, isang eroplano ang dumadaan, at isa lamang

1. Ang bawat linya ay naglalaman ng hindi bababa sa dalawang puntos

A2. Kung ang dalawang punto ng isang linya ay nasa isang eroplano, ang lahat ng mga punto ng linya ay nasa eroplanong ito

2. Mayroong hindi bababa sa tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya

3. Ang isang tuwid na linya ay dumadaan sa alinmang dalawang punto, at isa lamang.

A3. Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi.

Ang pangunahing konsepto ng geometry ay "magsinungaling sa pagitan"

4. Sa tatlong punto sa isang tuwid na linya, isa at isa lamang ang nasa pagitan ng dalawa.

Eroplano (kabilang ang secant) ay maaaring tukuyin susunod paraan

Isang punto ng intersection

Walang mga intersection point

Sa pagtawid

ay eroplano

Sa pagtawid

ay isang segment

Pagputol ng eroplano parallelepiped (tetrahedron) ay anumang eroplano sa magkabilang panig kung saan may mga punto ng isang ibinigay na parallelepiped (tetrahedron).

Upang bumuo ng isang seksyon ng isang polyhedron na may isang eroplano ay nangangahulugan na ipahiwatig ang mga punto ng intersection ng cutting plane na may mga gilid ng polyhedron at ikonekta ang mga puntong ito sa mga segment na kabilang sa mga mukha ng polyhedron.

Upang bumuo ng isang seksyon ng isang polyhedron na may isang eroplano, kailangan mong ipahiwatig sa eroplano ng bawat mukha 2 mga puntong kabilang sa seksyon, ikonekta ang mga ito sa isang tuwid na linya at hanapin ang mga punto ng intersection ng tuwid na linya na ito sa mga gilid ng polyhedron.

Isang sanggunian na gabay sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika para sa mataas na paaralan. Tsypkin A.G., Pinsky A.I./Under. Na-edit ni V.I. Blagodatskikh. – M.: Agham. Pangunahing tanggapan ng editoryal ng pisikal at matematikal na panitikan, 1983. – 416 p.

Pagputol ng eroplano nagsa-intersect sa mga mukha ng isang tetrahedron (parallelepiped) kasama mga segment.

L

Polygon na ang mga gilid ay ang mga segment na ito ay tinatawag cross section tetrahedron ((parallelepiped).

Pagputol ng eroplano

Ang cutting plane ay nag-intersect sa mga mukha ng tetrahedron kasama ang mga segment.

Ang polygon na ang mga gilid ay ang mga segment na ito ay seksyon ng tetrahedron .

Upang malutas ang maraming mga geometric na problema, kinakailangan na bumuo ng mga ito mga seksyon iba't ibang eroplano.

Upang bumuo ng isang seksyon, kailangan mong bumuo ng mga intersection point ng cutting plane na may mga gilid at ikonekta ang mga ito sa mga segment.

Ang mga sumusunod ay dapat isaalang-alang:

1. Maaari mo lamang ikonekta ang dalawang punto sa pagsisinungaling

sa eroplano ng isang mukha.

2. Ang isang cutting plane ay nag-intersect parallel faces kasama ang parallel segments.

3. Kung isang punto lamang ang minarkahan sa eroplano ng mukha, na kabilang sa eroplano ng seksyon, kung gayon ang isang karagdagang punto ay dapat na itayo. Upang gawin ito, kinakailangan upang mahanap ang mga intersection point ng mga nakagawa na na mga linya kasama ang iba pang mga linya na nakahiga sa parehong mga mukha.

Anong mga polygon ang maaaring makuha sa isang seksyon?

Ang isang tetrahedron ay may 4 na mukha

Ang mga seksyon ay maaaring magmukhang:

• Quadrilaterals

• Mga tatsulok

Ang parallelepiped ay may 6 na mukha

• Mga Pentagon

• Mga tatsulok

Sa mga seksyon nito

maaaring lumabas:

• Mga heksagono

• Quadrilaterals

Blitz - survey

• Ang gawain ng blitz survey ay sagutin ang mga tanong at bigyang-katwiran ang sagot gamit ang mga axiom, theorems at mga katangian ng mga parallel na eroplano.

Blitz survey.

D 1

SA 1

Naniniwala ka ba na ang mga tuwid na linya na NK at BB 1 ay nagsalubong?

A 1

B 1

Blitz survey.

D 1

SA 1

A 1

Naniniwala ka ba dun

direktang NK at BB 1

bumalandra?

B 1

Blitz survey.

D 1

SA 1

Naniniwala ka ba na ang direktang NK at MR ay nagsasapawan?

A 1

B 1

Ang pagguhit ay may

isa pang pagkakamali!

Naniniwala ka ba na ang mga tuwid na linya H R at NK

bumalandra?

Blitz survey.

SA 1

D 1

A 1

B 1

Ang pagguhit ay may

isa pang pagkakamali!

Nag-intersect ba ang mga linyang H R at A 1 B 1?

Blitz survey.

Nag-intersect ba ang mga linyang H R at C 1 D 1?

D 1

SA 1

A 1

B 1

Nag-intersect ba sila?

direktang NK at DC?

Nag-intersect ba sila?

tuwid na linya NK at A D?

Naniniwala ka ba

na direktang MO at AC

bumalandra?

Blitz survey.

Direktang MO at AB ay nagsalubong, dahil nakahiga sa parehong eroplano (A D C). Ang direktang MO at AB ay hindi nagsalubong, dahil nakahiga sa iba't ibang mga eroplano (A D C) at (A D B) - ang mga eroplanong ito ay bumalandra sa tuwid na linya A D, kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi.

Naniniwala ka ba

na direktang MO at AB

bumalandra?

Ang kakayahang malutas ang mga problema ay isang praktikal na sining, tulad ng paglangoy o skiing...: matututuhan mo lamang ito sa pamamagitan ng paggaya sa mga napiling modelo at patuloy na pagsasanay...

D. Polya

Ari-arian

parallel na eroplano.

Kung dalawang magkatulad na eroplano

tinawid ng pangatlo,

tapos yung mga linya ng intersection nila

parallel.

A

b

Tutulungan tayo ng property na ito

kapag gumagawa ng mga seksyon.

Ang pinakasimpleng mga gawain.

D 1

SA 1

B 1

A 1

Ikinonekta namin ang 2 puntos na kabilang sa parehong mukha ng polyhedron na may mga segment. Kung putulin mo ang tuktok ng isang pyramid, makakakuha ka ng pinutol na pyramid.

Ang pinakasimpleng mga gawain.

Mga seksyon ng dayagonal.

D 1

SA 1

D 1

SA 1

A 1

B 1

A 1

B 1

Ikinonekta namin ang 2 puntos na kabilang sa parehong mukha ng polyhedron na may mga segment. Mga seksyon ng dayagonal.

D 1

SA 1

A 1

B 1

Axiomatic na pamamaraan

Pamamaraan ng pagsubaybay

• Pamamaraan ng pagsubaybay

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang pagbuo ng isang pantulong na linya, na isang imahe ng linya ng intersection ng cutting plane na may eroplano ng anumang mukha ng figure. Ito ay pinaka-maginhawa upang bumuo ng isang imahe ng linya ng intersection ng cutting plane na may eroplano ng mas mababang base. Ang linyang ito ay tinatawag na bakas ng cutting plane. Gamit ang bakas, madaling bumuo ng mga larawan ng mga punto ng cutting plane na matatagpuan sa mga gilid ng gilid o mga gilid ng isang pigura.

1. Bumuo ng mga seksyon ng parallelepiped na may eroplanong dumadaan sa mga punto B 1, M, N

7. Ituloy natin ang MN at BD.

2. Ipagpatuloy ang MN,BA

5. B 1 O ∩ A 1 A=K

10. B 1 E ∩ D 1 D=P, PN

Bumuo ng isang seksyon ng isang polyhedron na may isang eroplanong dumadaan sa mga punto M, R, K, kung ang K ay kabilang sa eroplano a.

Mga solusyon sa opsyon 1.

Mga solusyon para sa opsyon 2.

Mga panuntunan para sa pagpipigil sa sarili:

• Ang mga vertex ng seksyon ay matatagpuan lamang sa mga gilid.

• Ang mga gilid ng seksyon ay nasa gilid lamang ng polyhedron.

• Ang isang cutting plane ay nag-intersect sa isang mukha o face plane nang isang beses lamang.

Kung gusto mong matutong lumangoy, pagkatapos ay matapang na pumasok sa tubig, at kung gusto mong matutunan kung paano lutasin ang mga problema, pagkatapos ay lutasin ang mga ito

(D. Polya)

• Atanasyan L.S., et al. Geometry 10-11. – M.: Edukasyon, 2008.
• Litvinenko V.N., Polyhedra. Mga problema at solusyon. – M.: Vita-Press, 1995.
• Smirnov V.A., Smirnova I.M., Unified State Examination 100 puntos. Geometry. Seksyon ng polyhedra. – M.: Pagsusulit, 2011.
• Pang-edukasyon at metodolohikal na suplemento sa pahayagan na "Una ng Setyembre" "Matematika". Fedotova O., Kabakova T. Pinagsamang aralin "Pagbuo ng mga seksyon ng isang prisma", 9/2010.

• Ziv B.G. Didactic na materyales sa geometry para sa grade 10. – M., Edukasyon, 1997.
• Electronic na edisyon "1C: Paaralan. Mathematics, 5-11 grades. workshop"

7. http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html

Chudaeva Elena Vladimirovna, guro sa matematika,

Institusyong pang-edukasyon ng munisipyo "Insarskaya secondary school No. 1",

Insar, Republika ng Mordovia

Konstruksyon ng mga seksyon ng polyhedra

Suporta sa edukasyon at pamamaraan: Atanasyan L.S. at iba pa.. Geometry baitang 10-11.

Kagamitan at materyales para sa aralin: kompyuter, projector, screen, presentasyon para samahan ang aralin, mga handout ng mag-aaral.

Layunin ng aralin: pagpapalalim, paglalahat, sistematisasyon, pagsasama-sama ng nakuhang kaalaman at kanilang pag-unlad sa hinaharap (pag-aralan ang pamamaraan ng pagsubaybay)

Mga layunin ng aralin:

1. Upang lumikha ng pagganyak sa mga mag-aaral na pag-aralan ang paksang ito.

2. Paunlarin sa mga mag-aaral ang kakayahang gumamit ng mga pangunahing kaalaman upang magkaroon ng bagong kaalaman.

3. Paunlarin ang pag-iisip ng mga mag-aaral (ang kakayahang tumukoy ng mahahalagang katangian at gumawa ng mga paglalahat).

4. Paunlarin sa mga mag-aaral ang mga kasanayan ng isang malikhaing diskarte sa paglutas ng mga problema at ang mga kasanayan sa gawaing pananaliksik sa isang problema.

Kaalaman, kakayahan, kasanayan at katangian na pagsasama-samahin ng mga mag-aaral sa panahon ng aralin:

ang kakayahang gumamit ng pangunahing kaalaman upang makakuha ng bagong kaalaman;

ang kakayahang tukuyin ang mga mahahalagang katangian at gumawa ng mga generalization;

mga kasanayan ng isang malikhaing diskarte sa paglutas ng mga problema na kinasasangkutan ng pagbuo ng mga seksyon

Plano ng aralin:

1. Pagbuo ng motibasyon sa mga mag-aaral na pag-aralan ang paksang ito.

2. Pagsusuri ng takdang-aralin. Makasaysayang impormasyon.

3. Pag-uulit ng pangunahing kaalaman (axiomatics, mga pamamaraan ng pagtukoy ng isang eroplano).

4. Paglalapat ng kaalaman sa isang karaniwang sitwasyon.

5. Pag-aaral at pagsasama-sama ng bagong materyal: ang pamamaraan ng bakas.

6. Malayang gawain.

7. Pagbubuod ng aralin.

8. Takdang-Aralin.

Sa panahon ng mga klase: ako yugto – Panimulang usapan.

Sinusuri ang takdang-aralin. (6-7 min)

Mga anyo at pamamaraan ng trabaho

Mga aktibidad

mga mag-aaral

1.Pagganyak

Panimulang pag-uusap (1 min)

Nakikinig ang mga guro

2. Pagsusuri ng takdang-aralin

Mga komento sa mga mini-speeches ng mag-aaral

Makinig sa mga talumpati ng kanilang mga kasama, magtanong

II yugto– Pag-update ng kaalaman (10 min)

(pag-uulit ng teoretikal na materyal)

Mga anyo at pamamaraan ng trabaho

Mga aktibidad

mga mag-aaral

1. Pag-uulit ng mga axiom ng stereometry

2. Pag-uulit: relatibong posisyon sa espasyo ng mga linya at eroplano

3. Paglalahat ng teorya

Konklusyon tungkol sa mga pamamaraan para sa pagtukoy ng isang eroplano

Pagtatala ng output sa isang kuwaderno

4. Pag-uulit ng konsepto ng isang polyhedron at ang seksyon ng isang polyhedron sa pamamagitan ng isang eroplano

Survey ng Mag-aaral

Oral na sagot sa mga tanong ng guro

III yugto– Paglalapat ng kaalaman sa isang karaniwang sitwasyon (6-7 min)

(gumawa ayon sa mga yari na guhit)

Mga anyo at pamamaraan ng trabaho

Mga aktibidad

mga mag-aaral

Paglutas ng mga karaniwang problema gamit ang mga yari na guhit (bawat mag-aaral ay binibigyan ng isang worksheet na may mga kondisyon ng problema at isang guhit para sa pagbuo ng isang seksyon).

Pinagsamang solusyon ng unang problema (detalyadong pagkomento sa mga hakbang ng solusyon at pagtatala ng disenyo sa isang worksheet).

Pag-aaral ng mga kondisyon ng problema, pagtatrabaho sa mga yari na guhit, na sinusundan ng pagsusuri ng solusyon mula sa mga slide.

IV yugto–SAmga katangian ng parallel planes (6 min)

Mga anyo at pamamaraan ng gawaing guro

Mga uri ng aktibidad ng mag-aaral

1. Pag-uulit ng paksang "Parallelism of planes."

2. Paglutas ng problema

Paggawa sa mga nakahandang slide (frontal survey ng mga mag-aaral)

Sinusuri ang kawastuhan ng gawain

Oral na sagot sa mga tanong ng guro

Pagbuo ng mga seksyon sa isang worksheet.

Nasa pisara ang mga sagot.

Stage V - Access sa bagong kaalaman: "Paraan ng mga bakas" (6 min)

Mga anyo at pamamaraan ng trabaho

Mga aktibidad

mga mag-aaral

1. Pag-aaral ng bagong materyal

2. Pagsasama-sama ng bagong materyal

Paliwanag ng bagong materyal. Nagpapakita ng pang-edukasyon na fragment ng pang-edukasyon na pelikula na "Paano gumawa ng cross-section ng isang cube?"

Magtrabaho mula sa mga yari na guhit sa board (na may kasunod na pagkomento sa mga yugto ng pagbuo ng isang seksyon sa isang slide)

Pakinggan ang paliwanag ng guro. Panonood ng pang-edukasyon na pelikula. Pagsusuri ng mga fragment ng video, pag-record ng sample na solusyon.

Dalawang mag-aaral ang nag-solve sa pisara, ang iba ay nasa worksheet

VI yugto - Malayang gawain (4-5 min)

Mga anyo at pamamaraan ng trabaho

Mga aktibidad

mga mag-aaral

Malayang gawaing pang-edukasyon

Pagpapaliwanag ng gawaing gagawin.

Sinusuri ang pagkumpleto ng gawain.

Pagsasagawa ng independiyenteng gawain (gamit ang mga yari na guhit).

Self-test gamit ang mga yari na slide.

VII yugto– pagbubuod ng aralin (4 min)

Mga anyo at pamamaraan ng trabaho

Mga aktibidad

mga mag-aaral

1. Pagbubuod

2. Malikhaing takdang-aralin

Pagtalakay pagkatapos ng aralin gamit ang mga slide

Naka-project sa screen

Oral na sagot sa mga tanong ng guro

Entry sa mga diary

SA PANAHON NG MGA KLASE

Panimulang usapan. Makasaysayang impormasyon.

Guro: Hello guys! Ang paksa ng aming aralin ay "Pagbuo ng mga seksyon ng polyhedra batay sa axiomatics." Sa panahon ng aralin, ibubuod at isa-systematize natin ang teoretikal na materyal na sakop, at ilalapat ito sa mga praktikal na problema sa pagbuo ng mga seksyon, na umaabot sa bago, mas kumplikadong antas ng kahirapan sa gawain.

ang pangunahing layunin ating aralin sa pagpapalalim, pagsasaayos, pagpapatatag ng mga nakuhang kaalaman at kanilang pag-unlad sa hinaharap.

Bilang takdang-aralin, hiniling sa iyo na magsulat ng mga sanaysay o maikling talumpati tungkol sa kasaysayan ng pag-unlad ng geometry, tungkol sa buhay ng mga dakilang mathematician, tungkol sa kanilang mga sikat na tuklas at theorems. Ang mga ulat at abstract ay naging napaka-interesante, ngunit sa panahon ng aralin ay maririnig lamang natin ang tatlong mini-speech na sumasagot sa tanong: ano ang pinag-aaralan ng stereometry, paano ito lumitaw at umunlad, at saan ito ginagamit?

1 mag-aaral. Ang konsepto ng stereometry, na pinag-aralan. (2 minuto)

2 mag-aaral. Euclid - ang nagtatag ng geometry, arkitektura ng Greek. (2 minuto)

3 mag-aaral. Teorya ng matematika ng pagpipinta. Ang "Golden Ratio" ay ang formula para sa perpektong katawan ng tao ayon kay Leonardo da Vinci. (2 – 3 min)

SA stereometry pinag-aaralan ang magagandang bagay sa matematika. Ang kanilang mga anyo ay nahahanap ang kanilang aplikasyon sa sining, arkitektura, at konstruksiyon. "Ito ay hindi nagkataon na sinasabi nila na ang Cheops pyramid ay isang tahimik na treatise sa geometry, at ang arkitektura ng Greek ay ang panlabas na pagpapahayag ng geometry ni Euclid," isinulat ng arkitekto na si Corbusier.

Lumipas ang mga siglo, ngunit hindi nagbago ang papel ng geometry. Ito ay nananatiling "gramatika ng arkitekto." Nakikita ng mga geometric na hugis ang kanilang aplikasyon sa sining, arkitektura, at konstruksiyon.

Teorya ng matematika ng pagpipinta - Ito ang teorya ng pananaw, na kumakatawan, sa mga salita ni Leonardo da Vinci, "isang pinaka banayad na pag-aaral at imbensyon, batay sa pag-aaral ng matematika, na, sa pamamagitan ng kapangyarihan ng mga linya, ginawa kung ano ang malapit na lumitaw na malayo, at kung ano ang ay maliit, malaki." Ang pagtatayo ng mga istrukturang pang-inhinyero na naganap noong Renaissance ay muling binuhay at pinalawak ang mga pamamaraan ng mga projection na imahe na ginamit sa sinaunang mundo. Ang mga arkitekto at iskultor ay nahaharap sa pangangailangan na lumikha ng isang doktrina ng pictorial perspective sa isang geometric na batayan. Maraming mga halimbawa ng pagbuo ng mga imahe ng pananaw ay makukuha sa mga gawa ng napakatalino na artistang Italyano at natatanging siyentipiko. Leonardo da Vinci. Sa kauna-unahang pagkakataon, pinag-uusapan niya ang pagbabawas ng sukat ng iba't ibang mga segment na umuurong sa kailaliman ng larawan, naglalagay ng pundasyon para sa panoramic na pananaw, nagsasaad ng mga patakaran para sa pamamahagi ng mga anino, at nagpapahayag ng kumpiyansa sa pagkakaroon ng isang tiyak na pormula sa matematika para sa ang kagandahan ng ratio ng mga sukat ng katawan ng tao - ang "golden ratio" na formula.

Kaya, maayos naming nilapitan ang paksa ng aming aralin, at ang tulay sa susunod na yugto nito ay ang mga salita ni Leonardo da Vinci:

"Ang mga umiibig sa pagsasanay na walang teorya ay tulad ng isang marino na sumakay sa isang barko na walang timon o kumpas at samakatuwid ay hindi alam kung saan siya naglalayag."

Tinutukoy ng pahayag na ito ang susunod na yugto ng ating aralin: pag-uulit ng teoretikal na materyal.

II. Pag-update ng kaalaman (pag-uulit ng teoretikal na materyal)

2.1. Mga Axiom ng stereometry (ang mga talahanayan ay naiwan para sa mga mag-aaral na magtrabaho).

a) ipaliwanag ang nilalaman ng mga axiom at ilarawan ang mga ito gamit ang isang modelo;

b) mga mag-aaral na nagbabasa ng teksto ng mga axiom;

c) pagpapatupad ng pagguhit;

2.2. Corollaries mula sa axioms ng stereometry.

2.3. Ang relatibong posisyon sa espasyo ng mga tuwid na linya at eroplano.

a) dalawang linya (mga linya ay parallel, intersect, cross)

b) tuwid na linya at eroplano (ang tuwid na linya ay namamalagi sa eroplano, intersects ang eroplano, ay parallel sa eroplano)

c) dalawang eroplano (ang mga eroplano ay nagsalubong o kahanay).

Sa panahon ng pag-uusap, ang mga mahahalagang punto ng teorya ay naka-highlight:

a) Tanda ng paralelismo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano: Kung ang isang linya na hindi nakahiga sa isang naibigay na eroplano ay parallel sa ilang linya na nakahiga sa eroplanong ito, kung gayon ito ay parallel sa ibinigay na eroplano.

b) Tanda ng magkatulad na eroplano: Kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay parallel sa dalawang intersecting na linya ng isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay parallel.

Guro: Sa pagbubuod ng lahat ng nasabi, nakarating tayo sa konklusyon tungkol sa mga pamamaraan para sa pagtukoy ng isang eroplano.

2.5. Ang konsepto ng polyhedra. Seksyon.

Polyhedron ay isang katawan na nililimitahan ng isang may hangganang bilang ng mga eroplano. Ang ibabaw ng isang polyhedron ay binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga polygon.

M
ang polyhedron na nakuha sa pamamagitan ng intersecting ng isang polyhedron at isang eroplano ay tinatawag cross section polyhedron sa pamamagitan ng ipinahiwatig na eroplano .

III. Paglalapat ng kaalaman sa isang karaniwang sitwasyon.

Gamit ang nakuha na kaalaman, ilalapat namin ito sa pagtatayo ng mga seksyon ng polyhedra batay sa axiomatics.

Ang mga halimbawa at ang kanilang mga solusyon ay ibinibigay ng mga mag-aaral (sa ilalim ng gabay ng guro).

IV. Pagbuo ng mga seksyon gamit ang mga katangian ng parallel na eroplano.

Guro: Upang malutas ang susunod na pangkat ng mga problema, kailangan nating ulitin ang mga katangian ng mga parallel na eroplano.

V. Isang paraan upang makakuha ng bagong kaalaman: "Trace Method".

Nanonood ng isang pang-edukasyon na pelikula.

Electronic na edisyon

Paglalapat ng nakuhang kaalaman (mga mag-aaral na nilulutas ang dalawang problema sa pisara at pagkatapos ay tinitingnan ang tamang solusyon at naitala ang disenyo).

VI- Pansariling gawain

na sinusundan ng mutual verification (gamit ang slide na may handa na solusyon).

VII. Pagbubuod ng aralin

1. Ano ang bagong natutunan mo sa aralin?

2. Paano nabuo ang cross section ng isang tetrahedron?

3. Anong mga polygon ang maaaring maging isang seksyon ng isang tetrahedron?

4. Anong mga polygon ang maaaring makuha sa seksyon ng isang parallelepiped?

5. Ano ang masasabi mo tungkol sa pamamaraan ng pagsubaybay?

Malikhaing takdang-aralin. Bumuo ng dalawang problema para sa pagbuo ng mga seksyon ng polyhedra gamit ang nakuhang kaalaman.

Mga ginamit na mapagkukunan

Ang prototype ng araling ito ay ang aralin ng may-akda na si Legkoshur Irina Mikhailovna , ang mga pagbabago sa karagdagan at pagtatanghal para sa aralin ay ginawa sa kanyang pahintulot noong 2008. Link:

Atanasyan L.S. at iba pa.. Geometry baitang 10-11. Pagtuturo.

Electronic na edisyon "1C: Paaralan. Mathematics, 5-11 grades. workshop"

Electronic na edisyon" Geometry workbook. Gabay para sa mga aplikante. Buong kurso para sa mga baitang 7-11"

Mga gawain para sa pagbuo ng mga seksyon

Mga Kahulugan. 1. Ang secant plane ng isang tetrahedron (parallepiped) ay anumang eroplano sa magkabilang gilid kung saan may mga punto ng isang ibinigay na tetrahedron (parallepiped). 2. Ang isang polygon na ang mga gilid ay mga segment na nagsasalubong sa mga mukha ng isang tetrahedron (parallepiped) ay tinatawag na isang seksyon ng isang tetrahedron (parallepiped).

Mga seksyon ng isang tetrahedron at parallelepiped

A B C S Gawain 1. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga ibinigay na punto D, E, K. D E K M F Konstruksyon: 2. EK 3. EK ∩ AC = F 4 . FD 5. FD ∩ B C = M 6. KM 1. DE D E K M – kinakailangang seksyon

Mga paliwanag para sa konstruksyon: 1. Ikonekta ang mga puntong K at F na kabilang sa parehong eroplano A 1 B 1 C 1 D 1. A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 2. Bumuo ng isang seksyon na may isang eroplano na dumadaan sa mga ibinigay na punto E, F, K. K L M Konstruksyon: 1. KF 2. FE 3. FE ∩ A B = L EFKNM – ang kinakailangang seksyon F E N 4 . LN ║ FK 6. EM 5. LN ∩ AD = M 7 . KN Mga paliwanag para sa konstruksyon: 2. Ikonekta ang mga punto F at E, na kabilang sa parehong eroplano AA 1 B 1 B. Mga paliwanag para sa konstruksyon: 3. Mga linya FE at AB, na nakahiga sa parehong eroplano AA 1 B 1 B, bumalandra sa punto L . Mga paliwanag para sa pagtatayo: 4. Gumuhit kami ng tuwid na linya na LN parallel sa FK (kung ang cutting plane ay nag-intersect sa tapat ng mga mukha, pagkatapos ay intersects ang mga ito kasama ang parallel na mga segment). Mga paliwanag para sa pagtatayo: 5. Ang linya ng LN ay nag-intersect sa gilid AD sa puntong M. Mga paliwanag para sa pagtatayo: 6. Ikinonekta namin ang mga puntong E at M na kabilang sa parehong eroplano AA 1 D 1 D. Mga paliwanag para sa pagtatayo: 7. Ikinonekta namin ang mga puntong K at N, na kabilang sa parehong eroplano ВСС 1 В 1.

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 3. Bumuo ng isang seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga punto K, L, M. K L M Konstruksyon: 1. ML 2. ML ∩ D 1 A 1 = E 3. EK M LFKPG – kinakailangang seksyon F E N P G T 4 . EK ∩ A 1 B 1 = F 6 . LM ∩ D 1 D = N 5 . LF 7. E K ∩ D 1 C 1 = T 8 . NT 9. NT ∩ DC = G NT ∩ CC 1 = P 10 . MG 11. PK

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong T, H, M, M∈AB. N T M Konstruksyon: 1. NM 1. MT 1. N T Piliin ang tamang opsyon:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng isang seksyon na may isang eroplanong dumadaan sa mga puntong T, H, M, M∈AB. N T M Construction: 1. NM Comments: Ang mga puntong ito ay nabibilang sa iba't ibang mukha! Bumalik

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong T, H, M, M∈AB. N T M Konstruksyon: 1. M T Mga Komento: Ang mga puntong ito ay nabibilang sa iba't ibang mukha! Bumalik

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E 2. NT ∩ B C = E Piliin ang tama opsyon:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Gawain 4. Bumuo ng isang seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ BC = E Balik Mga Puna: Ang mga tuwid na linyang ito ay nagsasalubong! Hindi sila maaaring mag-intersect!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3. ME ∩ AA 1 = F 3 . ME ∩ B C = F 3 . ME ∩ CC 1 = F Piliin ang tamang opsyon:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Gawain 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga punto H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 3. ME ∩ AA 1 = F 2. NT ∩ D C = E E Balik Mga Komento: Ang mga tuwid na linyang ito ay tinawid! Hindi sila maaaring mag-intersect!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Gawain 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga punto H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 3. ME ∩ CC 1 = F 2. NT ∩ D C = E E Balik Mga Komento: Ang mga tuwid na linyang ito ay tumatawid! Hindi sila maaaring mag-intersect!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. N F 4. T F 4. MT Piliin ang tamang opsyon:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F Mga Komento: Ang mga puntong ito ay nabibilang sa iba't ibang mukha! Bumalik

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. MT Comments: Ang mga puntong ito ay nabibilang sa iba't ibang mukha! Bumalik

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ A 1 A = K 5. T F ∩ B 1 B = K Piliin ang tamang opsyon:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ A 1 A = K Mga Komento: Ang mga tuwid na linyang ito ay tumatawid! Hindi sila maaaring mag-intersect! Bumalik

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L 6. N K ∩ A D = L 6. T K ∩ A D = L Piliin ang tamang opsyon:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. N K ∩ A D = L Mga Komento: Ang mga tuwid na linyang ito ay tumatawid! Hindi sila maaaring mag-intersect! Bumalik

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. T K ∩ A D = L Mga Komento: Ang mga tuwid na linyang ito ay tinawid! Hindi sila maaaring mag-intersect! Bumalik

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. LT 7. LF 7. LH Piliin ang tamang opsyon:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L T Mga Komento: Ang mga puntong ito ay nabibilang sa magkakaibang mukha! Bumalik

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. LF Comments: Ang mga puntong ito ay nabibilang sa magkaibang mukha! Bumalik

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Suliranin 4. Bumuo ng seksyon na may eroplanong dumadaan sa mga puntong H, M, T. N T M Konstruksyon: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L N NT F M L – ang kinakailangang seksyon

A BCS Problema 5. Bumuo ng isang seksyon na may isang eroplano na dumadaan sa mga ibinigay na punto K, M, P, P∈ABC KMP P Konstruksyon:

A BCS Gawain 5. Bumuo ng isang seksyon sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa mga ibinigay na punto K, M, P, P∈ABC K M R E N F Konstruksyon: 1. KM 2. KM ∩ CA = E 3. E P 4 . EP ∩ AB = F EP ∩ B C = N 5 . M F 6. N K KM FN – kinakailangang seksyon

Salamat sa iyong atensyon!

Maraming mga artista, na binabaluktot ang mga batas ng pananaw, nagpinta ng mga hindi pangkaraniwang larawan. Sa pamamagitan ng paraan, ang mga guhit na ito ay napakapopular sa mga mathematician. Sa Internet maaari kang makahanap ng maraming mga site kung saan nai-publish ang mga imposibleng bagay na ito. Ang mga sikat na artist na sina Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey at iba pa ay nagulat sa mga mathematician sa kanilang mga painting.

Jos de Mey “Maaari lamang itong iguhit ng isang taong gumagawa ng disenyo nang hindi nalalaman ang pananaw...”

"Ang mga umiibig sa pagsasanay na walang teorya ay tulad ng isang marino na sumakay sa isang barko na walang timon o kumpas at samakatuwid ay hindi alam kung saan siya naglalayag." Leonardo da Vinci

Upang bumuo ng isang seksyon ng isang polyhedron na may isang eroplano ay nangangahulugan na ipahiwatig ang mga punto ng intersection ng cutting plane na may mga gilid ng polyhedron at ikonekta ang mga puntong ito sa mga segment na kabilang sa mga mukha ng polyhedron. Upang makabuo ng isang seksyon ng isang polyhedron na may isang eroplano, kailangan mong ipahiwatig sa eroplano ng bawat mukha ang 2 puntos na kabilang sa seksyon, ikonekta ang mga ito sa isang tuwid na linya at hanapin ang mga punto ng intersection ng tuwid na linya na ito na may mga gilid ng polyhedron .

AXIOMS ​​​​planimetry stereometry 1. Ang bawat linya ay naglalaman ng hindi bababa sa dalawang puntos 2. Mayroong hindi bababa sa tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya 3. Ang isang linya ay dumadaan sa alinmang dalawang puntos, at isa lamang. Ilarawan ang relatibong posisyon ng mga punto at tuwid na linya. A1. Sa pamamagitan ng anumang tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya, may pumasa sa isang eroplano, at, bukod dito, isang A2 lamang. Kung ang dalawang punto ng isang linya ay nasa isang eroplano, ang lahat ng mga punto ng linya ay nasa eroplanong A3 na ito. Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang tuwid na linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi.

Sa kasong ito, kinakailangang isaalang-alang ang mga sumusunod: 1. Maaari mo lamang ikonekta ang dalawang punto na nakahiga sa eroplano ng isang mukha. Upang bumuo ng isang seksyon, kailangan mong bumuo ng mga intersection point ng cutting plane na may mga gilid at ikonekta ang mga ito sa mga segment. 2. Ang isang cutting plane ay nag-intersect parallel faces kasama ang parallel segments. 3. Kung isang punto lamang ang minarkahan sa eroplano ng mukha, na kabilang sa eroplano ng seksyon, kung gayon ang isang karagdagang punto ay dapat na itayo. Upang gawin ito, kinakailangan upang mahanap ang mga intersection point ng mga nakagawa na na mga linya kasama ang iba pang mga linya na nakahiga sa parehong mga mukha.

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 N H K Ang pinakasimpleng problema D R O M A B C

O A B C D O A B C D

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Mga diagonal na seksyon A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1

Axiomatic method Paraan ng mga bakas Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang pagbuo ng isang pantulong na linya, na isang imahe ng linya ng intersection ng cutting plane na may eroplano ng anumang mukha ng figure. Ito ay pinaka-maginhawa upang bumuo ng isang imahe ng linya ng intersection ng cutting plane na may eroplano ng mas mababang base. Ang linyang ito ay tinatawag na bakas ng cutting plane. Gamit ang isang bakas, madaling bumuo ng mga larawan ng mga punto ng cutting plane na matatagpuan sa mga lateral na gilid o mga mukha ng figure.

A B C D K L M N F G Gumuhit ng tuwid na linya FO sa pamamagitan ng mga puntos F at O. O Ang segment na FO ay isang hiwa ng mukha na KLBA ng isang cutting plane. Katulad nito, ang segment na FG ay isang hiwa ng mukha na LMCB. Axiom Kung ang dalawang magkaibang eroplano ay may isang karaniwang punto, pagkatapos ay bumalandra sila sa isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito (at mayroon pa tayong 2 puntos). Theorem Kung ang dalawang punto ng isang linya ay nabibilang sa isang eroplano, kung gayon ang buong linya ay kabilang sa eroplanong ito. Bakit kami sigurado na kami ay gumawa ng mga hiwa sa mga gilid? Bumuo ng isang seksyon ng prism na dumadaan sa mga punto O, F, G Hakbang 1: gupitin ang mga mukha KLBA at LMCB

A B C D K L M N F G Hakbang 2: hanapin ang bakas ng cutting plane sa base plane. Gumuhit ng tuwid na linya AB hanggang sa mag-intersect ito sa straight line na FO. O Nakuha namin ang punto H, na kabilang sa parehong cutting plane at base plane. Sa katulad na paraan nakakakuha tayo ng puntong R. Axiom Kung ang dalawang magkaibang eroplano ay may isang karaniwang punto, pagkatapos ay magsalubong sila sa isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito (at mayroon pa tayong 2 puntos). Theorem Kung ang dalawang punto ng isang linya ay nabibilang sa isang eroplano, kung gayon ang buong linya ay kabilang sa eroplanong ito. H R Sa pamamagitan ng mga puntos na H at R gumuhit tayo ng isang tuwid na linya na HR - ang bakas ng cutting plane. Bakit tayo nakakasigurado na ang straight line na HR ay ang bakas ng cutting plane sa base plane?

E S A B C D K L M N F G Hakbang 3: gumawa ng mga pagbawas sa iba pang mga mukha Dahil ang tuwid na linya ng HR ay nag-intersect sa ibabang mukha ng polyhedron, nakukuha namin ang point E sa input at point S sa output. O Kaya, ang segment na ES ay isang hiwa ng mukha ABCD. Axiom Kung ang dalawang magkaibang eroplano ay may isang karaniwang punto, pagkatapos ay bumalandra sila sa isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito (at mayroon pa tayong 2 puntos). Theorem Kung ang dalawang punto ng isang linya ay nabibilang sa isang eroplano, kung gayon ang buong linya ay kabilang sa eroplanong ito. H R Gumuhit kami ng mga segment na OE (cut ng mukha ng KNDA) at GS (cut ng mukha ng MNDC). Bakit tayo sigurado na ginagawa natin ang lahat ng tama?

A1A1 A B B1B1 C C1C1 D D1D1 M N 1. Bumuo ng mga seksyon ng parallelepiped na may eroplanong dumadaan sa mga punto B 1, M, N O K E P Mga Panuntunan 1. MN 2. Ipagpatuloy ang MN, BA 4. B 1 O 6. KM 7. Ipagpatuloy ang MN at BD. 9. B 1 E 5. B 1 O A 1 A=K 8. MN BD=E 10. B 1 E D 1 D=P, PN 3.MN BA=O

Mga panuntunan para sa pagpipigil sa sarili: Ang mga vertex ng seksyon ay matatagpuan lamang sa mga gilid. Ang mga gilid ng seksyon ay nasa gilid lamang ng polyhedron. Ang isang cutting plane ay nag-intersect sa isang mukha o face plane nang isang beses lamang.

44 1. Atanasyan L.S., et al.. Geometry - M.: Enlightenment, Litvinenko V.N., Polyhedra. Mga problema at solusyon. – M.: Vita-Press, Smirnov V.A., Smirnova I.M., Unified State Examination 100 puntos. Geometry. Seksyon ng polyhedra. – M.: Exam, Educational at methodological supplement sa pahayagang "Unang Setyembre" "Mathematics". Fedotova O., Kabakova T. Pinagsanib na aralin "Pagbuo ng mga seksyon ng isang prisma", 9/ Ziv B.G. Didactic na materyales sa geometry para sa grade 10. – M., Edukasyon, Elektronikong publikasyong “1C: School. Mathematics, 5-11 grades. Workshop" 7. ml