Isang simpleng algorithm para sa paghahanap ng extrema..

• Paghahanap ng derivative ng function
• Itinutumbas namin ang derivative na ito sa zero
• Nahanap namin ang mga halaga ng variable ng nagresultang expression (ang mga halaga ng variable kung saan ang derivative ay na-convert sa zero)
• Gamit ang mga halagang ito, hinahati namin ang linya ng coordinate sa mga pagitan (huwag kalimutan ang tungkol sa mga break point, na kailangan ding i-plot sa linya), ang lahat ng mga puntong ito ay tinatawag na "kahina-hinala" na mga punto para sa extremum
• Kinakalkula namin kung alin sa mga agwat na ito ang derivative ay magiging positibo at alin ang magiging negatibo. Upang gawin ito, kailangan mong palitan ang halaga mula sa pagitan sa derivative.

Sa mga puntos na kahina-hinala para sa isang extremum, ito ay kinakailangan upang mahanap . Upang gawin ito, tinitingnan namin ang aming mga agwat sa linya ng coordinate. Kung, kapag dumadaan sa isang punto, ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus, kung gayon ang puntong ito ay magiging maximum, at kung mula minus hanggang plus, kung gayon pinakamababa.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function, kailangan mong kalkulahin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa mga extremum point. Pagkatapos ay piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Tingnan natin ang isang halimbawa
Nahanap namin ang derivative at itinutumbas ito sa zero:

I-plot namin ang nakuha na mga halaga ng mga variable sa linya ng coordinate at kinakalkula ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga agwat. Well, halimbawa, para sa una ay kunin natin-2 , kung gayon ang derivative ay magiging pantay-0,24 , para sa pangalawang kukunin natin0 , kung gayon ang derivative ay magiging2 , at para sa pangatlo ay kukunin namin2 , kung gayon ang derivative ay magiging-0.24. Inilalagay namin ang naaangkop na mga palatandaan.

Nakikita namin na kapag dumadaan sa punto -1, ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, iyon ay, ito ang magiging pinakamababang punto, at kapag dumaan sa 1, babaguhin nito ang sign mula plus hanggang minus, ayon sa pagkakabanggit, ito ang magiging pinakamataas na punto.

1°

1°. Pagpapasiya ng extremum ng isang function.

Ang mga konsepto ng maximum, minimum, at extremum ng isang function ng dalawang variable ay katulad ng mga katumbas na konsepto ng isang function ng isang independent variable.

Hayaan ang function z =f (x ; y) tinukoy sa ilang lugar D tuldok N (x 0 ;y 0) D.

Dot (x 0 ;y 0) tinatawag na isang punto maximum mga function z= f (x ;y ), kung mayroong ganoong -kapitbahayan ng punto (x 0 ;y 0), na para sa bawat punto (x;y), Iba sa (x 0 ;y 0) mula sa kapitbahayang ito ang hindi pagkakapantay-pantay f (x ;y)< f (x 0 ;y 0). Sa Figure 12: N 1 - pinakamataas na punto, a N 2 - pinakamababang punto ng function z =f (x ;y).

Ang punto ay tinutukoy nang katulad pinakamababa function: para sa lahat ng puntos (x 0 ;y 0), Iba sa (x 0 ;y 0), mula sa d -kapitbahayan ng isang punto (x 0 ;y 0) ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f (x 0 ;y 0) >f (x 0 ;y 0).

Ang extremum ng isang function ng tatlo o higit pang mga variable ay tinutukoy nang katulad.

Ang halaga ng function sa maximum (minimum) na punto ay tinatawag maximum (minimum) mga function.

Tinatawag ang maximum at minimum ng isang function sukdulan.

Tandaan na, sa pamamagitan ng kahulugan, ang extremum point ng function ay nasa loob ng domain ng kahulugan ng function; maximum at minimum na mayroon lokal(lokal) character: ang halaga ng isang function sa isang punto (x 0 ;y 0) ay inihambing sa mga halaga nito sa mga puntong sapat na malapit sa (x 0 ;y 0). Sa lugar D ang isang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema o wala.

2°. Mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum.

Isaalang-alang natin ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang function.

Geometrically pagkakapantay-pantay f"y (x 0 ;y 0)= 0 at f"y (x 0 ;y 0) = 0 ay nangangahulugan na sa matinding punto ng function z = f (x ; y) tangent plane sa ibabaw na kumakatawan sa function f (x ; y), parallel sa eroplano Oh hoo dahil ang equation ng tangent plane ay z =z 0.

Magkomento. Ang isang function ay maaaring magkaroon ng isang extremum sa mga punto kung saan hindi bababa sa isa sa mga bahagyang derivatives ay hindi umiiral. Halimbawa, ang function ay may pinakamataas sa punto TUNGKOL SA(0;0), ngunit walang partial derivatives sa puntong ito.

Ang punto kung saan ang unang pagkakasunud-sunod ng mga partial derivatives ng function z = f (x ;y) ay katumbas ng zero, i.e. f"x = 0, f" y = 0, tinawag nakatigil na punto mga function z.

Ang mga nakatigil na punto at mga punto kung saan hindi umiiral ang kahit isang bahagyang derivative ay tinatawag kritikal na puntos.

Sa mga kritikal na punto, ang function ay maaaring magkaroon ng isang extremum o hindi. Ang pagkakapantay-pantay ng mga partial derivatives sa zero ay isang kinakailangan ngunit hindi sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum. Isaalang-alang, halimbawa, ang pag-andar z = hu. Para dito, ang puntong 0(0; 0) ay kritikal (ito ay nagiging zero). Gayunpaman, ang extremum function sa loob nito ay z = xy ay wala, dahil sa isang sapat na maliit na kapitbahayan ng puntong O(0;0) mayroong mga punto kung saan z> 0 (puntos ng 1st at 3rd quarter) at z< 0 (punto ng II at IV quarters).

Kaya, upang mahanap ang extrema ng isang function sa isang partikular na lugar, kinakailangan na isailalim ang bawat kritikal na punto ng function sa karagdagang pananaliksik.

Ang mga nakatigil na puntos ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation

fx (x, y) = 0, f"y (x, y) = 0

(mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum).

Ang sistema (1) ay katumbas ng isang equation df(x, y)=0. Sa pangkalahatan, sa matinding punto P(a, b) mga function f(x, y) o df(x, y)=0, o df(a, b) ay wala.

3°. Sapat na mga kondisyon para sa isang extremum. Hayaan P(a; b)- nakatigil na punto ng function f(x,y), i.e. . df(a, b) = 0. Pagkatapos:

at kung d2f (a, b)< 0 sa , pagkatapos f(a, b) Meron maximum mga function f (x, y);

b) kung d2f (a, b) > 0 sa , pagkatapos f(a, b)Meron pinakamababa mga function f (x,y);

c) kung d2f (a, b) nagbabago ang tanda, pagkatapos f (a, b) ay hindi isang extremum ng function f (x, y).

Ang mga ibinigay na kondisyon ay katumbas ng mga sumusunod: hayaan At . Mag-compose tayo may diskriminasyon Δ=AC -B².

1) kung Δ > 0, kung gayon ang function ay may extremum sa punto P(a;b) ibig sabihin, ang maximum kung A<0 (o SA<0 ), at pinakamababa kung A>0(o С>0);

2) kung Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b) Hindi;

3) kung Δ = 0, pagkatapos ay ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum ng function sa punto P(a; b) nananatiling bukas (kailangan ng karagdagang pananaliksik).

4°. Ang kaso ng isang function ng ilang mga variable. Para sa isang function ng tatlo o higit pang mga variable, ang mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ay katulad ng mga kondisyon (1), at ang sapat na mga kondisyon ay katulad ng mga kondisyon a), b), c) 3°.

Halimbawa. Suriin ang extremum function z=x³+3xy²-15x-12y.

Solusyon. Maghanap tayo ng mga partial derivatives at lumikha ng isang sistema ng mga equation (1):

Ang paglutas ng system, nakakakuha kami ng apat na nakatigil na puntos:

Hanapin natin ang 2nd order derivatives

at lumikha ng diskriminasyon Δ=AC - B² para sa bawat nakatigil na punto.

1) Para sa punto: , Δ=AC-B²=36-144<0 . Nangangahulugan ito na walang extremum sa punto.

2) Para sa puntong P2: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. Sa puntong P2 ang function ay may pinakamababa. Ang minimum na ito ay katumbas ng halaga ng function sa x=2, y=1: ​​​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) Para sa punto: A= -6, B=-12, C= -6; Δ = 36-144<0 . Walang extreme.

4) Para sa punto P 4: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. Sa puntong P4 ang function ay may pinakamataas na katumbas ng Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Conditional extremum. Sa pinakasimpleng kaso conditional extremum mga function f(x,y) ay ang maximum o minimum ng function na ito, na nakamit sa ilalim ng kondisyon na ang mga argumento nito ay nauugnay sa equation φ(x,y)=0 (equation ng koneksyon). Upang mahanap ang conditional extremum ng isang function f(x, y) sa pagkakaroon ng isang relasyon φ(x,y) = 0, bumubuo sa tinatawag na Lagrange function

F (x,y )=f (x,y )+λφ (x,y ),

kung saan ang λ ay isang undefined constant factor, at ang karaniwang extremum ng auxiliary function na ito ay hinahanap. Ang mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum ay nabawasan sa isang sistema ng tatlong equation

na may tatlong hindi alam x, y, λ, kung saan maaaring matukoy ang mga hindi alam na ito, sa pangkalahatan.

Ang tanong ng pagkakaroon at likas na katangian ng conditional extremum ay nalutas batay sa pag-aaral ng tanda ng pangalawang kaugalian ng Lagrange function.

para sa value system na sinusuri x, y, λ, nakuha mula sa (2) sa kondisyon na dx At dу nauugnay sa equation

.

Namely, ang function f(x,y) ay may conditional maximum kung d²F< 0, at isang kondisyon na minimum kung d²F>0. Sa partikular, kung ang discriminant Δ para sa function F(x,y) ay positibo sa isang nakatigil na punto, pagkatapos ay sa puntong ito ay may kondisyon na maximum ng function f(x, y), Kung A< 0 (o SA< 0), at isang minimum na kondisyon kung A > O(o С>0).

Katulad nito, ang conditional extremum ng isang function ng tatlo o higit pang mga variable ay matatagpuan sa pagkakaroon ng isa o higit pang mga equation ng koneksyon (ang bilang nito, gayunpaman, ay dapat na mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable). Dito kailangan nating ipakilala ang maraming hindi tiyak na mga kadahilanan sa Lagrange function dahil mayroong mga coupling equation.

Halimbawa. Hanapin ang extremum ng function z =6-4x -3y sa kondisyon na ang mga variable X At sa matugunan ang equation x²+y²=1.

Solusyon. Sa geometriko, ang problema ay bumababa sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng applicate z eroplano z=6 - 4x - Zu para sa mga punto ng intersection nito sa silindro x2+y2=1.

Pag-compile ng Lagrange function F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Meron kami . Ang mga kinakailangang kondisyon ay nagbibigay ng sistema ng mga equation

paglutas na aming nahanap:

.

,

d²F =2λ (dx²+dy²).

Kung at , kung gayon d²F >0, at, samakatuwid, sa puntong ito ang function ay may kondisyon na minimum. Kung at , pagkatapos d²F<0, at, samakatuwid, sa puntong ito ang function ay may conditional maximum.

kaya,

6°. Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function.

Hayaan ang function z =f (x ; y) tinukoy at tuloy-tuloy sa isang limitadong saradong rehiyon . Pagkatapos ay umabot siya sa ilang mga punto iyong pinakadakila M at ang pinakamaliit T mga halaga (tinatawag na global extremum). Ang mga halagang ito ay nakakamit sa pamamagitan ng pag-andar sa mga puntong matatagpuan sa loob ng rehiyon , o sa mga puntong nasa hangganan ng rehiyon.

Mga halaga ng function at maximum at minimum na puntos

Pinakamalaking halaga ng pag-andar

Pinakamaliit na halaga ng function

Tulad ng sinabi ng ninong: "Walang personal." Mga derivatives lang!

Ang gawain sa istatistika 12 ay itinuturing na medyo mahirap, at lahat dahil hindi binasa ng mga lalaki ang artikulong ito (joke). Sa karamihan ng mga kaso, ang kawalang-ingat ang dapat sisihin.

Ang 12 gawain ay may dalawang uri:

1. Hanapin ang maximum/minimum na punto (hilingin na hanapin ang "x" na mga halaga).
2. Hanapin ang pinakamalaking/pinakamaliit na halaga ng isang function (hilingin na hanapin ang mga "y" na halaga).

Paano kumilos sa mga kasong ito?

Hanapin ang maximum/minimum na punto

1. I-equate ito sa zero.
2. Ang "x" na natagpuan o natagpuan ay ang pinakamababa o pinakamataas na puntos.
3. Tukuyin ang mga palatandaan gamit ang paraan ng pagitan at piliin kung aling punto ang kailangan sa gawain.

Mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri:

Hanapin ang pinakamataas na punto ng function

• Kinukuha namin ang derivative:

Tama, una ang pagtaas ng function, pagkatapos ay bumababa - ito ang pinakamataas na punto!
Sagot: −15

Hanapin ang pinakamababang punto ng function

• Ibahin natin at kunin ang derivative:

• Malaki! Una bumababa ang function, pagkatapos ay tumataas - ito ang pinakamababang punto!

Sagot: −2

Hanapin ang pinakamalaking/pinakamaliit na halaga ng isang function

1. Kunin ang derivative ng iminungkahing function.
   
2. I-equate ito sa zero.
   
3. Ang nahanap na "x" ay ang pinakamababa o pinakamataas na punto.
   
4. Tukuyin ang mga palatandaan gamit ang paraan ng pagitan at piliin kung aling punto ang kailangan sa gawain.
5. Sa ganitong mga gawain, palaging may tinukoy na puwang: ang X na matatagpuan sa hakbang 3 ay dapat na kasama sa puwang na ito.
6. Palitan ang resultang maximum o minimum point sa orihinal na equation, at makuha namin ang pinakamalaki o pinakamaliit na value ng function.

Mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri:

Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function sa pagitan [−4; −1]

Sagot: −6

Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function sa segment

• Ang pinakamalaking halaga ng function ay "11" sa pinakamataas na punto (sa segment na ito) "0".

Sagot: 11

Mga konklusyon:

1. 70% ng mga pagkakamali ay hindi naaalala ng mga lalaki kung ano ang isasagot ang pinakamalaking/pinakamaliit na halaga ng function ay dapat na nakasulat na "y", at sa isulat ang maximum/minimum point na “x”.
2. Walang solusyon sa derivative kapag hinahanap ang mga halaga ng isang function? Walang problema, palitan ang mga matinding punto ng puwang!
3. Ang sagot ay maaaring palaging isulat bilang isang numero o isang decimal. Hindi? Pagkatapos ay pag-isipang muli ang halimbawa.
4. Sa karamihan ng mga gawain, makakakuha tayo ng isang punto at ang ating katamaran sa pagsuri sa maximum o minimum ay mabibigyang katwiran. Nakakuha kami ng isang punto - maaari mong ligtas na magsulat pabalik.
5. At dito Hindi mo dapat gawin ito kapag naghahanap ng halaga ng isang function! Suriin kung ito ang tamang punto, kung hindi, ang mga matinding halaga ng puwang ay maaaring mas malaki o mas maliit.

Mula sa artikulong ito matututunan ng mambabasa ang tungkol sa kung ano ang isang labis na halaga ng pagganap, pati na rin ang tungkol sa mga tampok ng paggamit nito sa mga praktikal na aktibidad. Ang pag-aaral ng gayong konsepto ay lubhang mahalaga para sa pag-unawa sa mga pundasyon ng mas mataas na matematika. Ang paksang ito ay mahalaga para sa mas malalim na pag-aaral ng kurso.

Sa pakikipag-ugnayan sa

Ano ang isang extremum?

Sa kurso sa paaralan, maraming mga kahulugan ng konseptong "extremum" ang ibinigay. Ang artikulong ito ay naglalayong magbigay ng pinakamalalim at pinakamalinaw na pag-unawa sa termino para sa mga walang alam sa isyu. Kaya, ang termino ay nauunawaan kung hanggang saan ang functional interval ay nakakakuha ng isang minimum o maximum na halaga sa isang partikular na hanay.

Ang extremum ay parehong pinakamababang halaga ng isang function at ang maximum sa parehong oras. Mayroong isang minimum na punto at isang maximum na punto, iyon ay, ang matinding halaga ng argumento sa graph. Ang mga pangunahing agham na gumagamit ng konseptong ito ay:

• mga istatistika;
• kontrol ng makina;
• econometrics.

Ang mga extremum point ay may mahalagang papel sa pagtukoy ng pagkakasunud-sunod ng isang naibigay na function. Ang sistema ng coordinate sa graph sa pinakamaganda ay nagpapakita ng pagbabago sa matinding posisyon depende sa pagbabago sa functionality.

Extrema ng derivative function

Mayroon ding ganitong kababalaghan bilang "derivative". Ito ay kinakailangan upang matukoy ang extremum point. Mahalagang huwag malito ang pinakamababa o pinakamataas na puntos sa pinakamataas at pinakamababang halaga. Ang mga ito ay magkakaibang mga konsepto, bagaman maaaring sila ay magkatulad.

Ang halaga ng function ay ang pangunahing kadahilanan sa pagtukoy kung paano hanapin ang pinakamataas na punto. Ang derivative ay hindi nabuo mula sa mga halaga, ngunit eksklusibo mula sa matinding posisyon nito sa isa o ibang pagkakasunud-sunod.

Ang derivative mismo ay tinutukoy batay sa mga extremum point na ito, at hindi sa pinakamalaki o pinakamaliit na halaga. Sa mga paaralang Ruso, ang linya sa pagitan ng dalawang konsepto na ito ay hindi malinaw na iginuhit, na nakakaapekto sa pag-unawa sa paksang ito sa pangkalahatan.

Isaalang-alang natin ngayon ang ganitong konsepto bilang "acute extremum". Ngayon, mayroong isang matinding minimum na halaga at isang matinding maximum na halaga. Ang kahulugan ay ibinigay alinsunod sa pag-uuri ng Russia ng mga kritikal na punto ng isang function. Ang konsepto ng isang extremum point ay ang batayan para sa paghahanap ng mga kritikal na punto sa isang graph.

Upang tukuyin ang gayong konsepto, ginamit nila ang teorama ni Fermat. Ito ang pinakamahalaga sa pag-aaral ng mga matinding punto at nagbibigay ng isang malinaw na ideya ng kanilang pag-iral sa isang anyo o iba pa. Upang matiyak ang sukdulan, mahalagang lumikha ng ilang partikular na kundisyon para sa pagbaba o pagtaas sa graph.

Upang tumpak na masagot ang tanong na "paano mahahanap ang pinakamataas na punto", dapat mong sundin ang mga alituntuning ito:

1. Paghahanap ng eksaktong domain ng kahulugan sa graph.
2. Hanapin ang derivative ng isang function at ang extremum point.
3. Lutasin ang mga karaniwang hindi pagkakapantay-pantay para sa domain kung saan matatagpuan ang argumento.
4. Mapatunayan kung aling mga function ang isang punto sa isang graph ay tinukoy at tuloy-tuloy.

Pansin! Ang paghahanap para sa kritikal na punto ng isang function ay posible lamang kung mayroong isang derivative ng hindi bababa sa pangalawang order, na sinisiguro ng isang mataas na proporsyon ng pagkakaroon ng isang extremum point.

Kinakailangang kundisyon para sa extremum ng isang function

Upang magkaroon ng extremum, mahalaga na mayroong parehong minimum at maximum na mga puntos. Kung ang panuntunang ito ay bahagyang sinusunod lamang, kung gayon ang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ay nilabag.

Ang bawat pag-andar sa anumang posisyon ay dapat na maiiba upang makilala ang mga bagong kahulugan nito. Mahalagang maunawaan na ang kaso ng isang puntong papunta sa zero ay hindi ang pangunahing prinsipyo para sa paghahanap ng naiba-iba na punto.

Ang isang matinding extremum, pati na rin ang isang minimum ng isang function, ay isang napakahalagang aspeto ng paglutas ng isang mathematical na problema gamit ang matinding mga halaga. Upang mas maunawaan ang bahaging ito, mahalagang sumangguni sa mga halaga ng tabular para sa pagtukoy ng pag-andar.

Pananaliksik ng Buong Kahulugan

Pag-plot ng Value Graph

1. Pagpapasiya ng mga punto ng pagtaas at pagbaba ng mga halaga. 2. Paghahanap ng mga discontinuity point, extremum at intersection na may mga coordinate axes. 3. Ang proseso ng pagtukoy ng mga pagbabago sa posisyon sa isang graph. 4. Pagpapasiya ng tagapagpahiwatig at direksyon ng convexity at convexity, isinasaalang-alang ang pagkakaroon ng mga asymptotes. 5. Paglikha ng isang talahanayan ng buod ng pananaliksik mula sa punto ng view ng pagtukoy ng mga coordinate nito. 6. Paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng sukdulan at matalim na mga punto. 7. Pagpapasiya ng convexity at concavity ng isang curve. 8. Ang pag-plot ng isang graph na isinasaalang-alang ang pananaliksik ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang minimum o maximum.

Ang pangunahing elemento kapag kinakailangan upang gumana sa matinding mga punto ay ang tumpak na pagbuo ng graph nito. Ang mga guro ng paaralan ay hindi madalas na binibigyang pansin ang gayong mahalagang aspeto, na isang matinding paglabag sa proseso ng edukasyon. Ang pagbuo ng isang graph ay nangyayari lamang batay sa mga resulta ng pag-aaral ng functional data, pagtukoy ng acute extrema, pati na rin ang mga punto sa graph. Ang matalim na extrema ng derivative function ay ipinapakita sa isang plot ng eksaktong mga halaga, gamit ang isang karaniwang pamamaraan para sa pagtukoy ng mga asymptotes. Ang maximum at minimum na mga punto ng function ay sinamahan ng mas kumplikadong mga graph constructions. Ito ay dahil sa isang mas malalim na pangangailangan upang malutas ang problema ng matinding extremum. Kinakailangan din na hanapin ang derivative ng isang kumplikado at simpleng function, dahil ito ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa problema ng extremum.

Extremum ng functional

Upang mahanap ang halaga sa itaas, dapat mong sundin ang mga sumusunod na patakaran:

• matukoy ang kinakailangang kondisyon para sa isang matinding kaugnayan;
• isaalang-alang ang sapat na kondisyon ng mga matinding puntos sa graph;
• isagawa ang pagkalkula ng matinding extremum.

Ginagamit din ang mga konsepto tulad ng mahinang minimum at malakas na minimum. Dapat itong isaalang-alang kapag tinutukoy ang extremum at ang tumpak na pagkalkula nito. Kasabay nito, ang talamak na pag-andar ay ang paghahanap at paglikha ng lahat ng kinakailangang kondisyon para sa pagtatrabaho sa graph ng isang function.

Ang extremum point ng isang function ay ang punto sa domain ng kahulugan ng function kung saan ang halaga ng function ay tumatagal sa isang minimum o maximum na halaga. Ang mga halaga ng function sa mga puntong ito ay tinatawag na extrema (minimum at maximum) ng function.

Kahulugan. Dot x1 function na domain f(x) ay tinatawag na maximum na punto ng function , kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas malaki kaysa sa mga halaga ng function sa mga puntong sapat na malapit dito, na matatagpuan sa kanan at kaliwa nito (iyon ay, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maximum.

Kahulugan. Dot x2 function na domain f(x) ay tinatawag na pinakamababang punto ng function, kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas mababa kaysa sa mga halaga ng function sa mga puntong sapat na malapit dito, na matatagpuan sa kanan at kaliwa nito (iyon ay, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Sa kasong ito, sinasabi namin na ang function ay nasa punto x2 pinakamababa.

Sabihin nating punto x1 - maximum na punto ng function f(x). Pagkatapos ay sa pagitan hanggang sa x1 tumataas ang function, samakatuwid ang derivative ng function ay mas malaki kaysa sa zero ( f "(x) > 0 ), at sa pagitan pagkatapos x1 bumababa ang function, samakatuwid, derivative ng isang function mas mababa sa zero ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Ipagpalagay din natin na ang punto x2 - pinakamababang punto ng function f(x). Pagkatapos ay sa pagitan hanggang sa x2 bumababa ang function, at ang derivative ng function ay mas mababa sa zero ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 tumataas ang function, at ang derivative ng function ay mas malaki sa zero ( f "(x) > 0 ). Sa kasong ito din sa punto x2 ang derivative ng function ay zero o wala.

Fermat's theorem (isang kinakailangang tanda ng pagkakaroon ng extremum ng isang function). Kung ang punto x0 - matinding punto ng pag-andar f(x) pagkatapos sa puntong ito ang derivative ng function ay katumbas ng zero ( f "(x) = 0 ) o wala.

Kahulugan. Ang mga punto kung saan ang derivative ng isang function ay zero o wala ay tinatawag kritikal na puntos .

Halimbawa 1. Isaalang-alang natin ang pag-andar.

Sa punto x= 0 ang derivative ng function ay zero, samakatuwid ang punto x= 0 ang kritikal na punto. Gayunpaman, tulad ng makikita sa graph ng function, tumataas ito sa buong domain ng kahulugan, kaya ang punto x Ang = 0 ay hindi ang extremum point ng function na ito.

Kaya, ang mga kundisyon na ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng zero o wala ay mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, ngunit hindi sapat, dahil ang iba pang mga halimbawa ng mga function ay maaaring ibigay kung saan ang mga kundisyong ito ay natutugunan, ngunit ang function ay walang extremum sa kaukulang punto. kaya lang dapat may sapat na ebidensya, na nagpapahintulot sa isa na hatulan kung mayroong extremum sa isang partikular na kritikal na punto at kung anong uri ng extremum ito - maximum o minimum.

Theorem (ang unang sapat na tanda ng pagkakaroon ng isang extremum ng isang function). Kritikal na punto x0 f(x) kung, kapag dumadaan sa puntong ito, ang derivative ng function ay nagbabago ng sign, at kung ang sign ay nagbabago mula sa "plus" hanggang sa "minus", kung gayon ito ay isang maximum na punto, at kung mula sa "minus" hanggang "plus", kung gayon ito ay isang minimum na punto.

Kung malapit sa punto x0 , sa kaliwa at sa kanan nito, pinapanatili ng derivative ang tanda nito, nangangahulugan ito na ang function ay bumababa lamang o tumataas lamang sa isang tiyak na kapitbahayan ng punto x0 . Sa kasong ito, sa punto x0 walang sukdulan.

Kaya, upang matukoy ang extremum point ng function, kailangan mong gawin ang mga sumusunod :

1. Hanapin ang derivative ng function.
2. I-equate ang derivative sa zero at tukuyin ang mga kritikal na puntos.
3. Sa isip o sa papel, markahan ang mga kritikal na punto sa linya ng numero at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative ng function sa mga resultang pagitan. Kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa "plus" hanggang sa "minus", kung gayon ang kritikal na punto ay ang pinakamataas na punto, at kung mula sa "minus" hanggang "plus", kung gayon ang pinakamababang punto.
4. Kalkulahin ang halaga ng function sa mga extremum point.

Halimbawa 2. Hanapin ang extrema ng function .

Solusyon. Hanapin natin ang derivative ng function:

I-equate natin ang derivative sa zero upang mahanap ang mga kritikal na puntos:

.

Dahil para sa anumang mga halaga ng "x" ang denominator ay hindi katumbas ng zero, tinutumbas namin ang numerator sa zero:

Nakakuha ng isang kritikal na punto x= 3 . Tukuyin natin ang tanda ng derivative sa mga agwat na nililimitahan ng puntong ito:

sa saklaw mula sa minus infinity hanggang 3 - isang minus sign, iyon ay, bumababa ang function,

sa pagitan mula 3 hanggang plus infinity mayroong plus sign, iyon ay, tumataas ang function.

Ibig sabihin, period x= 3 ang pinakamababang punto.

Hanapin natin ang halaga ng function sa pinakamababang punto:

Kaya, ang extremum point ng function ay matatagpuan: (3; 0), at ito ang pinakamababang punto.

Theorem (ang pangalawang sapat na tanda ng pagkakaroon ng extremum ng isang function). Kritikal na punto x0 ay ang extremum point ng function f(x) kung ang pangalawang derivative ng function sa puntong ito ay hindi katumbas ng zero ( f ""(x) ≠ 0 ), at kung ang pangalawang derivative ay mas malaki sa zero ( f ""(x) > 0 ), pagkatapos ay ang pinakamataas na punto, at kung ang pangalawang derivative ay mas mababa sa zero ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Tandaan 1. Kung sa punto x0 Kung ang una at pangalawang derivatives ay nawala, pagkatapos ay sa puntong ito imposibleng hatulan ang pagkakaroon ng isang extremum batay sa pangalawang sapat na pamantayan. Sa kasong ito, kailangan mong gamitin ang unang sapat na criterion para sa extremum ng isang function.

Puna 2. Ang pangalawang sapat na criterion para sa extremum ng isang function ay hindi naaangkop kahit na ang unang derivative ay hindi umiiral sa isang nakatigil na punto (kung gayon ang pangalawang derivative ay wala rin). Sa kasong ito, kailangan mo ring gamitin ang unang sapat na tanda ng isang extremum ng isang function.

Lokal na katangian ng extrema ng function

Mula sa mga kahulugan sa itaas, sumusunod na ang extremum ng isang function ay lokal sa kalikasan - ito ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function kumpara sa mga kalapit na halaga.

Sabihin nating tinitingnan mo ang iyong mga kita sa loob ng isang taon. Kung noong Mayo ay nakakuha ka ng 45,000 rubles, at noong Abril 42,000 rubles at noong Hunyo 39,000 rubles, kung gayon ang mga kita sa Mayo ay ang pinakamataas na function ng kita kumpara sa mga kalapit na halaga. Ngunit noong Oktubre nakakuha ka ng 71,000 rubles, noong Setyembre 75,000 rubles, at noong Nobyembre 74,000 rubles, kaya ang mga kita sa Oktubre ay ang pinakamababa sa function ng kita kumpara sa mga kalapit na halaga. At madali mong makita na ang maximum sa mga halaga ng Abril-Mayo-Hunyo ay mas mababa kaysa sa minimum ng Setyembre-Oktubre-Nobyembre.

Sa pangkalahatan, sa pagitan ng isang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema, at maaaring lumabas na ang ilang minimum ng function ay mas malaki kaysa sa anumang maximum. Kaya, para sa function na ipinapakita sa figure sa itaas, .

Iyon ay, hindi dapat isipin ng isa na ang maximum at minimum ng isang function ay, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito sa buong segment na isinasaalang-alang. Sa pinakamataas na punto, ang function ay may pinakamalaking halaga lamang kumpara sa mga halagang iyon na mayroon ito sa lahat ng mga punto na sapat na malapit sa pinakamataas na punto, at sa pinakamababang punto ito ay may pinakamaliit na halaga lamang kumpara sa mga halagang iyon. na mayroon ito sa lahat ng mga punto na sapat na malapit sa pinakamababang punto.

Samakatuwid, maaari nating linawin ang konsepto sa itaas ng mga extremum point ng isang function at tawagan ang mga minimum na puntos ng mga lokal na minimum na puntos, at ang maximum na mga puntos ng mga lokal na maximum na puntos.

Hinahanap namin ang extrema ng function nang magkasama

Halimbawa 3.

Solusyon: Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa buong linya ng numero. Ang hinango nito umiiral din sa buong linya ng numero. Samakatuwid, sa kasong ito, ang mga kritikal na punto ay ang mga kung saan, i.e. , mula saan at . Mga kritikal na punto at hatiin ang buong domain ng kahulugan ng function sa tatlong pagitan ng monotonicity: . Pumili tayo ng isang control point sa bawat isa sa kanila at hanapin ang sign ng derivative sa puntong ito.

Para sa pagitan, ang control point ay maaaring: hanapin. Ang pagkuha ng isang punto sa pagitan, nakukuha natin, at ang pagkuha ng isang punto sa pagitan, mayroon tayo. Kaya, sa pagitan at , at sa pagitan . Ayon sa unang sapat na criterion para sa isang extremum, walang extremum sa punto (dahil ang derivative ay nagpapanatili ng sign nito sa pagitan), at sa punto ang function ay may minimum (dahil ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus kapag pumasa. sa pamamagitan ng puntong ito). Hanapin natin ang mga katumbas na halaga ng function: , a . Sa agwat ang pag-andar ay bumababa, dahil sa agwat na ito , at sa agwat ito ay tumataas, dahil sa agwat na ito .

Upang linawin ang pagbuo ng graph, makikita natin ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes. Kapag nakakuha tayo ng equation na ang mga ugat ay at , ibig sabihin, dalawang puntos (0; 0) at (4; 0) ng graph ng function ang matatagpuan. Gamit ang lahat ng impormasyong natanggap, bumuo kami ng isang graph (tingnan ang simula ng halimbawa).

Para sa self-checking sa panahon ng mga kalkulasyon, maaari mong gamitin online na derivative calculator .

Halimbawa 4. Hanapin ang extrema ng function at buuin ang graph nito.

Ang domain ng kahulugan ng isang function ay ang buong linya ng numero, maliban sa punto, i.e. .

Upang paikliin ang pag-aaral, maaari mong gamitin ang katotohanan na ang function na ito ay pantay, dahil . Samakatuwid, ang graph nito ay simetriko tungkol sa axis Oy at ang pag-aaral ay maaari lamang gawin para sa pagitan.

Paghahanap ng derivative at mga kritikal na punto ng function:

1) ;

2) ,

ngunit ang function ay naghihirap sa isang discontinuity sa puntong ito, kaya hindi ito maaaring maging isang extremum point.

Kaya, ang ibinigay na function ay may dalawang kritikal na punto: at . Isinasaalang-alang ang parity ng function, susuriin lamang namin ang punto gamit ang pangalawang sapat na criterion para sa isang extremum. Upang gawin ito, nakita namin ang pangalawang derivative at tukuyin ang sign nito sa: makuha namin . Dahil at , ito ang pinakamababang punto ng function, at .

Upang makakuha ng mas kumpletong larawan ng graph ng isang function, alamin natin ang pag-uugali nito sa mga hangganan ng domain ng kahulugan:

(dito ang simbolo ay nagpapahiwatig ng pagnanais x sa zero mula sa kanan, at x nananatiling positibo; katulad din ang ibig sabihin ng aspirasyon x sa zero mula sa kaliwa, at x nananatiling negatibo). Kaya, kung , pagkatapos . Susunod, hanapin namin

,

mga. kung , kung gayon .

Ang graph ng isang function ay walang intersection point sa mga axes. Ang larawan ay nasa simula ng halimbawa.

Para sa self-checking sa panahon ng mga kalkulasyon, maaari mong gamitin online na derivative calculator .

Patuloy kaming naghahanap ng extrema ng function nang magkasama

Halimbawa 8. Hanapin ang extrema ng function.

Solusyon. Hanapin natin ang domain ng kahulugan ng function. Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan, nakukuha natin mula sa .

Hanapin natin ang unang derivative ng function.