Paano magpasok ng mga mathematical formula sa site?

Kung sakaling kailanganin mong magdagdag ng isa o dalawang mathematical formula sa isang web page, kung gayon ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay tulad ng inilarawan sa artikulo: ang mga mathematical formula ay madaling naipasok sa site sa anyo ng mga larawan na awtomatikong nabubuo ng Wolfram Alpha. Bilang karagdagan sa pagiging simple, ang unibersal na paraan na ito ay makakatulong na mapabuti ang visibility ng site sa mga search engine. Ito ay gumagana nang mahabang panahon (at sa tingin ko ito ay gagana magpakailanman), ngunit ito ay luma na sa moral.

Kung patuloy kang gumagamit ng mga mathematical formula sa iyong site, pagkatapos ay inirerekomenda kong gumamit ka ng MathJax, isang espesyal na JavaScript library na nagpapakita ng mathematical notation sa mga web browser gamit ang MathML, LaTeX, o ASCIIMathML markup.

Mayroong dalawang paraan upang simulan ang paggamit ng MathJax: (1) gamit ang isang simpleng code, maaari mong mabilis na ikonekta ang isang MathJax script sa iyong site, na awtomatikong mai-load mula sa isang malayong server sa tamang oras (listahan ng mga server); (2) i-upload ang MathJax script mula sa isang malayuang server patungo sa iyong server at ikonekta ito sa lahat ng pahina ng iyong site. Ang pangalawang paraan ay mas kumplikado at nakakaubos ng oras at magbibigay-daan sa iyong mapabilis ang paglo-load ng mga pahina ng iyong site, at kung ang parent na MathJax server ay pansamantalang hindi magagamit sa ilang kadahilanan, hindi ito makakaapekto sa iyong sariling site sa anumang paraan. Sa kabila ng mga pakinabang na ito, pinili ko ang unang paraan, dahil ito ay mas simple, mas mabilis at hindi nangangailangan ng mga teknikal na kasanayan. Sundin ang aking halimbawa, at sa loob ng 5 minuto ay magagamit mo na ang lahat ng feature ng MathJax sa iyong site.

Maaari mong ikonekta ang script ng MathJax library mula sa isang malayuang server gamit ang dalawang opsyon sa code na kinuha mula sa pangunahing website ng MathJax o mula sa pahina ng dokumentasyon:

Kailangang kopyahin at i-paste ang isa sa mga opsyon sa code na ito sa code ng iyong web page, mas mabuti sa pagitan ng mga tag at o pagkatapos mismo ng tag . Ayon sa unang opsyon, ang MathJax ay naglo-load nang mas mabilis at nagpapabagal sa pahina nang mas kaunti. Ngunit awtomatikong sinusubaybayan at nilo-load ng pangalawang opsyon ang pinakabagong bersyon ng MathJax. Kung ilalagay mo ang unang code, kakailanganin itong i-update sa pana-panahon. Kung i-paste mo ang pangalawang code, ang mga pahina ay maglo-load nang mas mabagal, ngunit hindi mo kailangang patuloy na subaybayan ang mga update sa MathJax.

Ang pinakamadaling paraan upang ikonekta ang MathJax ay nasa Blogger o WordPress: sa control panel ng site, magdagdag ng widget na idinisenyo upang magpasok ng third-party na JavaScript code, kopyahin ang una o pangalawang bersyon ng load code na ipinakita sa itaas dito, at ilagay ang widget nang mas malapit. sa simula ng template (sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi sa lahat ng kailangan , dahil ang MathJax script ay load asynchronously). Iyon lang. Ngayon matutunan ang MathML, LaTeX, at ASCIIMathML markup syntax at handa ka nang mag-embed ng mga math formula sa iyong mga web page.

Ang anumang fractal ay binuo ayon sa isang tiyak na panuntunan, na patuloy na inilalapat ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang bawat ganoong oras ay tinatawag na isang pag-ulit.

Ang umuulit na algorithm para sa paggawa ng isang Menger sponge ay medyo simple: ang orihinal na cube na may gilid 1 ay hinati ng mga eroplanong parallel sa mga mukha nito sa 27 pantay na cube. Ang isang gitnang kubo at 6 na kubo na katabi nito kasama ang mga mukha ay tinanggal mula dito. Ito ay lumiliko ang isang set na binubuo ng 20 natitirang mas maliliit na cubes. Ang paggawa ng pareho sa bawat isa sa mga cube na ito, nakakakuha kami ng isang set na binubuo ng 400 mas maliliit na cube. Ang pagpapatuloy ng prosesong ito nang walang katapusan, nakukuha namin ang Menger sponge.

Sa teorya ng functional series, ang seksyon na nakatuon sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye ay sumasakop sa isang sentral na lugar.

Kaya, ang problema ay ibinabanta: para sa isang naibigay na function ito ay kinakailangan upang mahanap ang tulad ng isang serye ng kapangyarihan

na nagtagpo sa ilang pagitan at ang kabuuan nito ay katumbas ng
, mga.

= ..

Ang gawaing ito ay tinatawag na ang problema ng pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng kapangyarihan.

Isang kinakailangang kondisyon para sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng kapangyarihan ang pagkakaiba nito ay isang walang katapusang bilang ng beses - ito ay sumusunod sa mga katangian ng convergent power series. Ang kundisyong ito ay nasiyahan, bilang panuntunan, para sa mga elementarya na pag-andar sa kanilang domain ng kahulugan.

Kaya't ipagpalagay natin na ang function
ay may mga derivatives ng anumang pagkakasunud-sunod. Maaari ba itong palawakin sa isang serye ng kapangyarihan, kung gayon, paano mahahanap ang seryeng ito? Ang ikalawang bahagi ng problema ay mas madaling lutasin, kaya simulan natin ito.

Ipagpalagay natin na ang function
ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng isang serye ng kapangyarihan na nagtatagpo sa isang pagitan na naglalaman ng isang punto X 0 :

= .. (*)

saan a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a P ,... – hindi tiyak (pa) mga koepisyent.

Ilagay natin sa pagkakapantay-pantay (*) ang halaga x = x 0 , pagkatapos makuha namin

.

Pinag-iiba namin ang termino ng power series (*) ayon sa termino

= ..

at paglalagay dito x = x 0 , nakukuha natin

.

Sa susunod na pagkita ng kaibhan, makukuha natin ang serye

= ..

ipagpalagay x = x 0 , nakukuha natin
, saan
.

Pagkatapos P-fold differentiation nakukuha natin

Ipagpalagay sa huling pagkakapantay-pantay x = x 0 , nakukuha natin
, saan

Kaya ang mga coefficient ay natagpuan

,
,
, …,
,….,

pagpapalit kung alin sa isang hilera (*), nakukuha namin

Ang resultang serye ay tinatawag malapit kay taylor para sa function
.

Kaya, itinatag namin iyon kung ang function ay maaaring palawakin sa isang serye ng kapangyarihan sa mga kapangyarihan (x - x 0 ), kung gayon ang pagpapalawak na ito ay natatangi at ang resultang serye ay kinakailangang isang serye ng Taylor.

Tandaan na ang serye ng Taylor ay maaaring makuha para sa anumang function na may mga derivatives ng anumang order sa punto x = x 0 . Ngunit hindi pa ito nangangahulugan na ang isang pantay na tanda ay maaaring ilagay sa pagitan ng pag-andar at ang resultang serye, i.e. na ang kabuuan ng serye ay katumbas ng orihinal na function. Una, ang gayong pagkakapantay-pantay ay maaari lamang magkaroon ng kahulugan sa rehiyon ng convergence, at ang Taylor series na nakuha para sa function ay maaaring mag-diverge, at ikalawa, kung ang Taylor series ay nagtatagpo, kung gayon ang kabuuan nito ay maaaring hindi magkatugma sa orihinal na function.

3.2. Sapat na mga kondisyon para sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Taylor

Bumuo tayo ng isang pahayag sa tulong kung saan malulutas ang nakasaad na problema.

Kung ang function
sa ilang kapitbahayan ng puntong x 0 ay may mga derivatives hanggang sa (n+ 1)-th order inclusive, pagkatapos ay sa kapitbahayan na ito mayroon kamipormula Taylor

saanR n (X)-natirang termino ng Taylor formula - may anyo (Lagrange form)

saan tuldokξ nasa pagitan ng x at x 0 .

Tandaan na may pagkakaiba sa pagitan ng Taylor series at ng Taylor formula: ang Taylor formula ay isang finite sum, i.e. P - nakapirming numero.

Alalahanin na ang kabuuan ng serye S(x) maaaring tukuyin bilang limitasyon ng functional sequence ng mga partial sums S P (x) sa ilang pagitan X:

.

Ayon dito, ang pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Taylor ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang serye na para sa alinman XX

Sinusulat namin ang Taylor formula sa form kung saan

pansinin mo yan
tumutukoy sa error na nakukuha namin, palitan ang function f(x) polinomyal S n (x).

Kung ang
, pagkatapos
, mga. lumalawak ang function sa isang serye ng Taylor. Sa kabaligtaran, kung
, pagkatapos
.

Kaya, napatunayan namin criterion para sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Taylor.

Upang sa ilang pagitan ang pag-andarf(x) lumalawak sa isang serye ng Taylor, ito ay kinakailangan at sapat na sa pagitan na ito
, saanR n (x) ay ang natitira sa serye ng Taylor.

Sa tulong ng formulated criterion, maaaring makuha ng isa sapatkundisyon para sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Taylor.

Kung nasailang kapitbahayan ng puntong x 0 ang mga ganap na halaga ng lahat ng mga derivatives ng isang function ay limitado ng parehong numero M≥ 0, ibig sabihin.

, to sa lugar na ito, lumalawak ang function sa isang serye ng Taylor.

Mula sa itaas ito ay sumusunod algorithmpagpapalawak ng function f(x) sa isang serye ni Taylor sa paligid ng punto X 0 :

1. Paghahanap ng mga derivative function f(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Kinakalkula namin ang halaga ng function at ang mga halaga ng mga derivatives nito sa punto X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Pormal naming isinulat ang serye ng Taylor at hanapin ang rehiyon ng convergence ng nagresultang serye ng kapangyarihan.

4. Sinusuri namin ang katuparan ng sapat na mga kondisyon, i.e. magtatag para sa kung saan X mula sa convergence region, natitirang termino R n (x) may posibilidad na maging zero sa
o
.

Ang pagpapalawak ng mga function sa isang serye ng Taylor ayon sa algorithm na ito ay tinatawag pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Taylor ayon sa kahulugan o direktang pagkabulok.

Paano magpasok ng mga mathematical formula sa site?

Kung sakaling kailanganin mong magdagdag ng isa o dalawang mathematical formula sa isang web page, kung gayon ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay tulad ng inilarawan sa artikulo: ang mga mathematical formula ay madaling naipasok sa site sa anyo ng mga larawan na awtomatikong nabubuo ng Wolfram Alpha. Bilang karagdagan sa pagiging simple, ang unibersal na paraan na ito ay makakatulong na mapabuti ang visibility ng site sa mga search engine. Ito ay gumagana nang mahabang panahon (at sa tingin ko ito ay gagana magpakailanman), ngunit ito ay luma na sa moral.

Kung patuloy kang gumagamit ng mga mathematical formula sa iyong site, pagkatapos ay inirerekomenda kong gumamit ka ng MathJax, isang espesyal na JavaScript library na nagpapakita ng mathematical notation sa mga web browser gamit ang MathML, LaTeX, o ASCIIMathML markup.

Mayroong dalawang paraan upang simulan ang paggamit ng MathJax: (1) gamit ang isang simpleng code, maaari mong mabilis na ikonekta ang isang MathJax script sa iyong site, na awtomatikong mai-load mula sa isang malayong server sa tamang oras (listahan ng mga server); (2) i-upload ang MathJax script mula sa isang malayuang server patungo sa iyong server at ikonekta ito sa lahat ng pahina ng iyong site. Ang pangalawang paraan ay mas kumplikado at nakakaubos ng oras at magbibigay-daan sa iyong mapabilis ang paglo-load ng mga pahina ng iyong site, at kung ang parent na MathJax server ay pansamantalang hindi magagamit sa ilang kadahilanan, hindi ito makakaapekto sa iyong sariling site sa anumang paraan. Sa kabila ng mga pakinabang na ito, pinili ko ang unang paraan, dahil ito ay mas simple, mas mabilis at hindi nangangailangan ng mga teknikal na kasanayan. Sundin ang aking halimbawa, at sa loob ng 5 minuto ay magagamit mo na ang lahat ng feature ng MathJax sa iyong site.

Maaari mong ikonekta ang script ng MathJax library mula sa isang malayuang server gamit ang dalawang opsyon sa code na kinuha mula sa pangunahing website ng MathJax o mula sa pahina ng dokumentasyon:

Kailangang kopyahin at i-paste ang isa sa mga opsyon sa code na ito sa code ng iyong web page, mas mabuti sa pagitan ng mga tag at o pagkatapos mismo ng tag . Ayon sa unang opsyon, ang MathJax ay naglo-load nang mas mabilis at nagpapabagal sa pahina nang mas kaunti. Ngunit awtomatikong sinusubaybayan at nilo-load ng pangalawang opsyon ang pinakabagong bersyon ng MathJax. Kung ilalagay mo ang unang code, kakailanganin itong i-update sa pana-panahon. Kung i-paste mo ang pangalawang code, ang mga pahina ay maglo-load nang mas mabagal, ngunit hindi mo kailangang patuloy na subaybayan ang mga update sa MathJax.

Ang pinakamadaling paraan upang ikonekta ang MathJax ay nasa Blogger o WordPress: sa control panel ng site, magdagdag ng widget na idinisenyo upang magpasok ng third-party na JavaScript code, kopyahin ang una o pangalawang bersyon ng load code na ipinakita sa itaas dito, at ilagay ang widget nang mas malapit. sa simula ng template (sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi sa lahat ng kailangan , dahil ang MathJax script ay load asynchronously). Iyon lang. Ngayon matutunan ang MathML, LaTeX, at ASCIIMathML markup syntax at handa ka nang mag-embed ng mga math formula sa iyong mga web page.

Ang anumang fractal ay binuo ayon sa isang tiyak na panuntunan, na patuloy na inilalapat ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang bawat ganoong oras ay tinatawag na isang pag-ulit.

Ang umuulit na algorithm para sa paggawa ng isang Menger sponge ay medyo simple: ang orihinal na cube na may gilid 1 ay hinati ng mga eroplanong parallel sa mga mukha nito sa 27 pantay na cube. Ang isang gitnang kubo at 6 na kubo na katabi nito kasama ang mga mukha ay tinanggal mula dito. Ito ay lumiliko ang isang set na binubuo ng 20 natitirang mas maliliit na cubes. Ang paggawa ng pareho sa bawat isa sa mga cube na ito, nakakakuha kami ng isang set na binubuo ng 400 mas maliliit na cube. Ang pagpapatuloy ng prosesong ito nang walang katapusan, nakukuha namin ang Menger sponge.

Kung ang function f(x) ay may ilang pagitan na naglalaman ng isang punto a, mga derivatives ng lahat ng mga order, kung gayon ang Taylor formula ay maaaring ilapat dito:

saan rn- ang tinatawag na natitirang termino o ang natitira sa serye, maaari itong matantya gamit ang Lagrange formula:

, kung saan ang bilang x ay nakapaloob sa pagitan X at a.

Kung para sa ilang halaga x r n®0 sa n®¥, pagkatapos ay sa limitasyon ang Taylor formula para sa halagang ito ay nagiging convergent formula serye ni Taylor:

Kaya ang function f(x) maaaring palawakin sa isang serye ng Taylor sa isinasaalang-alang na punto X, kung:

1) mayroon itong mga derivatives ng lahat ng mga order;

2) ang itinayong serye ay nagtatagpo sa puntong ito.

Sa a=0 nakakakuha tayo ng isang serye na tinatawag malapit sa Maclaurin:

Halimbawa 1 f(x)= 2x.

Solusyon. Hanapin natin ang mga halaga ng function at mga derivatives nito sa X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x sa 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga ng mga derivative sa pormula ng serye ng Taylor, nakukuha namin:

Ang radius ng convergence ng seryeng ito ay katumbas ng infinity, kaya ang pagpapalawak na ito ay valid para sa -¥<x<+¥.

Halimbawa 2 X+4) para sa function f(x)= e x.

Solusyon. Paghahanap ng mga derivatives ng function e x at ang kanilang mga halaga sa punto X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Samakatuwid, ang nais na serye ng Taylor ng function ay may anyo:

Ang agnas na ito ay may bisa din para sa -¥<x<+¥.

Halimbawa 3 . Palawakin ang function f(x)=ln x sa isang serye sa pamamagitan ng mga antas ( X- 1),

(ibig sabihin, sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto X=1).

Solusyon. Nahanap namin ang mga derivatives ng function na ito.

Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa formula, nakuha namin ang nais na serye ng Taylor:

Sa tulong ng pagsubok ni d'Alembert, mapapatunayan ng isa na ang serye ay nagtatagpo kung kailan

½ X- 1½<1. Действительно,

Ang serye ay nagtatagpo kung ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 nakakakuha tayo ng alternating series na nakakatugon sa mga kondisyon ng Leibniz test. Sa X=0 function ay hindi tinukoy. Kaya, ang rehiyon ng convergence ng serye ng Taylor ay ang kalahating bukas na pagitan (0;2).

Ipakita natin ang mga pagpapalawak na nakuha sa ganitong paraan sa serye ng Maclaurin (i.e., sa isang lugar ng punto X=0) para sa ilang elementary function:

(2) ,

(3) ,

( ang huling pagpapalawak ay tinatawag binomial series)

Halimbawa 4 . Palawakin ang function sa isang serye ng kapangyarihan

Solusyon. Sa decomposition (1), pinapalitan namin X sa - X 2, nakukuha namin ang:

Halimbawa 5 . Palawakin ang function sa isang Maclaurin series

Solusyon. Meron kami

Gamit ang formula (4), maaari nating isulat ang:

pagpapalit sa halip na X sa formula -X, nakukuha natin:

Mula dito makikita natin:

Ang pagpapalawak ng mga bracket, muling pagsasaayos ng mga tuntunin ng serye at paggawa ng pagbabawas ng mga katulad na termino, nakukuha namin

Ang seryeng ito ay nagtatagpo sa pagitan

(-1;1) dahil nagmula ito sa dalawang serye, na ang bawat isa ay nagtatagpo sa pagitan na ito.

Magkomento .

Ang mga formula (1)-(5) ay maaari ding gamitin upang palawakin ang mga kaukulang function sa isang Taylor series, i.e. para sa pagpapalawak ng mga function sa positive integer powers ( Ha). Upang gawin ito, kinakailangan na magsagawa ng mga katulad na pagbabago sa isang naibigay na function upang makuha ang isa sa mga function (1) - (5), kung saan sa halip na X gastos k( Ha) m , kung saan ang k ay isang pare-parehong numero, ang m ay isang positibong integer. Kadalasan ay maginhawa upang baguhin ang variable t=Ha at palawakin ang resultang function na may paggalang sa t sa serye ng Maclaurin.

Ang pamamaraang ito ay naglalarawan ng teorama sa pagiging natatangi ng pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng kapangyarihan. Ang kakanyahan ng theorem na ito ay na sa kapitbahayan ng parehong punto, dalawang magkaibang serye ng kapangyarihan ay hindi maaaring makuha na magtatagpo sa parehong function, gaano man ang pagpapalawak nito ay ginanap.

Halimbawa 6 . Palawakin ang function sa isang serye ng Taylor sa isang kapitbahayan ng isang punto X=3.

Solusyon. Ang problemang ito ay maaaring malutas, tulad ng dati, gamit ang kahulugan ng serye ng Taylor, kung saan kinakailangan upang mahanap ang mga derivatives ng mga function at ang kanilang mga halaga sa X=3. Gayunpaman, magiging mas madaling gamitin ang kasalukuyang agnas (5):

Ang resultang serye ay nagtatagpo sa o -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Halimbawa 7 . Sumulat ng isang serye ni Taylor sa mga kapangyarihan ( X-1) mga tampok .

Solusyon.

Ang serye ay nagtatagpo sa , o 2< x£5.

Fourier na serye ng mga periodic function na may period 2π.

Binibigyang-daan ka ng seryeng Fourier na pag-aralan ang mga pana-panahong pag-andar sa pamamagitan ng pag-decompose sa mga ito sa mga bahagi. Ang mga alternating current at voltages, displacements, speed at acceleration ng crank mechanisms, at acoustic waves ay mga tipikal na praktikal na aplikasyon ng periodic functions sa mga kalkulasyon ng engineering.

Ang pagpapalawak ng serye ng Fourier ay batay sa pagpapalagay na ang lahat ng mga function na may praktikal na kahalagahan sa pagitan -π ≤ x ≤ π ay maaaring ipahayag bilang convergent trigonometric series (ang isang serye ay itinuturing na convergent kung ang sequence ng mga partial sums na binubuo ng mga termino nito ay nagtatagpo) :

Karaniwang (=usual) na notasyon sa pamamagitan ng kabuuan ng sinx at cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

kung saan ang a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. ay tunay na mga pare-pareho, i.e.

Kung saan, para sa hanay mula -π hanggang π, ang mga coefficient ng seryeng Fourier ay kinakalkula ng mga formula:

Ang mga coefficient na a o ,a n at b n ay tinatawag Fourier coefficients, at kung mahahanap ang mga ito, tatawagin ang serye (1). malapit sa Fourier, naaayon sa function na f(x). Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) ay tinatawag na una o pangunahing harmonica,

Ang isa pang paraan upang magsulat ng isang serye ay ang paggamit ng ugnayang acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Kung saan ang a o ay pare-pareho, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 ay ang mga amplitude ng iba't ibang bahagi, at katumbas ng isang n \ u003d arctg a n /b n.

Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx + b 1 sinx) o c 1 sin (x + α 1) ay tinatawag na una o pangunahing harmonica,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) o c 2 sin(2x+α 2) ay tinatawag pangalawang harmonic at iba pa.

Upang tumpak na kumatawan sa isang kumplikadong signal, karaniwang kinakailangan ang isang walang katapusang bilang ng mga termino. Gayunpaman, sa maraming praktikal na mga problema sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga unang ilang termino.

Fourier series ng non-periodic functions na may period 2π.

Pagkabulok ng mga non-periodic function.

Kung ang function na f(x) ay hindi pana-panahon, hindi ito maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Gayunpaman, posibleng tumukoy ng seryeng Fourier na kumakatawan sa isang function sa anumang saklaw ng lapad na 2π.

Dahil sa isang non-periodic function, ang isa ay maaaring bumuo ng isang bagong function sa pamamagitan ng pagpili ng mga halaga ng f(x) sa loob ng isang tiyak na hanay at pag-uulit ng mga ito sa labas ng hanay na ito sa pagitan ng 2π. Dahil ang bagong function ay panaka-nakang may panahon na 2π, maaari itong palawakin sa isang seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Halimbawa, ang function na f(x)=x ay hindi pana-panahon. Gayunpaman, kung ito ay kinakailangan upang palawakin ito sa isang seryeng Fourier sa pagitan mula 0 hanggang 2π, pagkatapos ay isang periodic function na may isang panahon ng 2π ay itinayo sa labas ng pagitan na ito (tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba).

Para sa mga non-periodic function tulad ng f(x)=x, ang kabuuan ng Fourier series ay katumbas ng halaga ng f(x) sa lahat ng puntos sa ibinigay na range, ngunit hindi ito katumbas ng f(x) para sa mga puntos sa labas ng saklaw. Upang mahanap ang seryeng Fourier ng isang non-periodic function sa hanay na 2π, ang parehong formula ng Fourier coefficients ay ginagamit.

Kahit at kakaibang mga function.

Sabi nila ang function na y=f(x) kahit kung f(-x)=f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng kahit na mga function ay palaging simetriko tungkol sa y-axis (iyon ay, ang mga ito ay nakasalamin). Dalawang halimbawa ng even functions: y=x 2 at y=cosx.

Sinasabi nila na ang function na y=f(x) kakaiba, kung f(-x)=-f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng mga kakaibang function ay palaging simetriko tungkol sa pinagmulan.

Maraming mga function ay hindi kahit na o kakaiba.

Pagpapalawak ng serye ng Fourier sa mga cosine.

Ang Fourier series ng even periodic function f(x) na may period 2π ay naglalaman lamang ng mga cosine terms (i.e., hindi naglalaman ng sine terms) at maaaring may kasamang constant term. Dahil dito,

nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Ang seryeng Fourier ng isang kakaibang periodic function na f(x) na may tuldok 2π ay naglalaman lamang ng mga terminong may mga sinus (ibig sabihin, hindi naglalaman ng mga terminong may mga cosine).

Dahil dito,

nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Fourier series sa isang kalahating cycle.

Kung ang isang function ay tinukoy para sa isang saklaw, sabihin nating 0 hanggang π, at hindi lamang 0 hanggang 2π, maaari itong palawakin sa isang serye lamang sa mga tuntunin ng mga sine o sa mga tuntunin lamang ng mga cosine. Ang nagresultang seryeng Fourier ay tinatawag malapit sa Fourier sa kalahating ikot.

Kung gusto mong makakuha ng decomposition Fourier sa isang kalahating cycle sa mga cosine function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, pagkatapos ay kinakailangan na bumuo ng kahit na periodic function. Sa fig. sa ibaba ay ang function na f(x)=x na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang even function ay simetriko tungkol sa f(x) axis, iginuhit namin ang linyang AB, tulad ng ipinapakita sa Fig. sa ibaba. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na agwat, ang nagreresultang triangular na hugis ay panaka-nakang may tuldok na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay mayroong anyo, na ipinapakita. sa fig. sa ibaba. Dahil kinakailangan na makuha ang Fourier expansion sa mga cosine, tulad ng dati, kinakalkula namin ang Fourier coefficients a o at a n

Kung kailangan mong makuha sine half-cycle Fourier expansion function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, pagkatapos ay kinakailangan na bumuo ng isang kakaibang periodic function. Sa fig. sa ibaba ay ang function na f(x)=x na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kakaibang pag-andar ay simetriko na may paggalang sa pinanggalingan, binubuo namin ang linya ng CD, tulad ng ipinapakita sa Fig. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na agwat, ang natanggap na signal ng sawtooth ay panaka-nakang may panahon na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay may anyo na ipinapakita sa Fig. Dahil kinakailangan na makuha ang Fourier expansion sa kalahating cycle sa mga tuntunin ng mga sine, tulad ng dati, kinakalkula namin ang Fourier coefficient. b

Fourier series para sa arbitrary na pagitan.

Pagpapalawak ng periodic function na may period L.

Ang periodic function na f(x) ay umuulit habang ang x ay tumataas ng L, i.e. f(x+L)=f(x). Ang paglipat mula sa naunang itinuturing na mga function na may panahon 2π hanggang sa mga function na may panahon L ay medyo simple, dahil ito ay maaaring gawin gamit ang isang pagbabago ng variable.

Upang mahanap ang serye ng Fourier ng function na f(x) sa hanay -L/2≤x≤L/2, ipinakilala namin ang isang bagong variable na u upang ang function na f(x) ay may panahon na 2π na may kinalaman sa u. Kung u=2πx/L, kung gayon ang x=-L/2 para sa u=-π at x=L/2 para sa u=π. Hayaan din ang f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ang seryeng Fourier F(u) ay may anyo

(Maaaring palitan ang mga limitasyon sa pagsasama ng anumang pagitan ng haba L, halimbawa, mula 0 hanggang L)

Fourier series sa kalahating cycle para sa mga function na ibinigay sa interval L≠2π.

Para sa pagpapalit na u=πx/L, ang pagitan mula x=0 hanggang x=L ay tumutugma sa pagitan mula u=0 hanggang u=π. Samakatuwid, ang function ay maaaring palawakin sa isang serye lamang sa mga tuntunin ng mga cosine o lamang sa mga tuntunin ng mga sine, i.e. sa Fourier series sa kalahating cycle.

Ang pagpapalawak sa mga cosine sa hanay mula 0 hanggang L ay may anyo