− 4 1+ 4 | −6 | 27≡ 0, |
|||||||||||
−4 x +4 y +27 | |||||||||||||
+(y +6 ) | x = 1, x | ||||||||||||
(x − 1 ) | = −6. | ||||||||||||
y = −6 | |||||||||||||
Tandaan na ang solusyon ng pangalawang equation ay hindi pa solusyon ng system. Ang mga resultang numero ay dapat ipalit sa natitirang unang equation ng system. Sa kasong ito, pagkatapos ng pagpapalit, makakakuha tayo ng pagkakakilanlan.
Sagot: (1, - 6).♦
§5. Mga homogeneous na equation at system | ||||
Function f (x ,y ) | tinawag | homogenous | k kung |
|
f (tx, ty) = tk f(x, y) . | Halimbawa, ang function na f (x ,y ) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 |
|||
ay homogenous ng degree 4, dahil | f(tx, ty) = 4 | (tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 + |
||
+ (tx ) 2 (ty ) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 ) . Equation f (x, y) = 0, kung saan | f (x, y) - |
|||
homogenous function ay tinatawag na homogenous. Ito ay bumababa sa equation
na may isang hindi alam, kung magpapakilala tayo ng bagong variable t = x y .
f (x, y) = a,
System na may dalawang variable g (x, y) \u003d b, kung saan f (x, y), g (x, y) -
Ang mga homogenous na function ng parehong antas ay tinatawag na homogenous. Kung ab ≠ 0, i-multiply ang unang equation sa b, ang pangalawa sa a at ikaw-
inihambing namin ang isa mula sa isa - nakakakuha kami ng isang katumbas na sistema
bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.
Ang unang equation sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable t = | (o t = | ) ay bumababa sa |
||||||||||
equation na may isang hindi alam. | ||||||||||||
Kung a = 0 | (b = 0) , pagkatapos ay ang equation f (x ,y ) = 0(g (x ,y ) = 0) sa pamamagitan ng pagpapalit |
|||||||||||
mga variable t = | (o t = | ) bumababa sa isang equation na may isang hindi alam |
||||||||||
−xy+y | 21 , |
|||||||||||
Halimbawa 20. (Moscow State University, 2001, chemistry department) Lutasin ang sistema | − 2xy + 15= 0. |
|||||||||||
2012-2013 akademikong taon taon, No. 1, 11 na mga cell. Math. Algebraic equation, inequalities, system
− xy + y 2 =21, | − xy +y 2 | y2 − 2xy | |||||||||||||||||||||||||||||
-2xy = -15 | |||||||||||||||||||||||||||||||
2xy = − 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||
x ≠ 0, y ≠ 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||
19 ± 11 | |||||||||||||||||||||||||||||||
5x2 - 19xy + 12y2 = 0 5 | − 19 | 12 = 0 | |||||||||||||||||||||||||||||
-2xy = -15 | |||||||||||||||||||||||||||||||
x=3y, | |||||||||||||||||||||||||||||||
y = ±5. | |||||||||||||||||||||||||||||||
3 ) , | (− 3 3;− | 3 ) ,(4; 5) , | (− 4;− 5) .♦ | ||||||||||||||||||||||||||||
§6. Mga sistemang simetriko | |||||||||||||||||||||||||||||||
f(x, y) | tinawag | simetriko, | |||||||||||||||||||||||||||||
f (x, y) = f(y, x) . | |||||||||||||||||||||||||||||||
f(x, y) = a | |||||||||||||||||||||||||||||||
Sistema ng mga equation ng anyo | kung saan f (x ,y ) ,g (x ,y ) – symmet- |
||||||||||||||||||||||||||||||
g (x, y) = b, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ric, ay tinatawag na sistemang simetriko. Mga ganyang sistema
mas madalas | sa pamamagitan lamang ng pagpapakilala ng bago | mga variable |
x + y= u, xy |
x 3+ x 3y 3+ y 3= 17,
Halimbawa 21. Lutasin ang System of Equation
x + xy+ y= 5 .
♦ Ito ay isang algebraic (symmetric) na sistema, kadalasang nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng x + y = u ,xy = v . Napapansin iyon
x 3+ x 3y 3+ y 3= (x + y ) (x 2− xy + y 2) + x 3y 3=
= (x+ y) ((x+ y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u(u2 − 3 v) + v3 ,
muling isulat ang system sa form
© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofia Ilyinichna
2012-2013 akademikong taon taon, No. 1, 11 na mga cell. Math. Algebraic equation, inequalities, system
− 3uv+v | u = 5 − v, | |||||||||||||||
6 =0 | ||||||||||||||||
V=5 | −5v | v=3, u=2 |
||||||||||||||
(sa mga lumang variable) | ||||||||||||||||
x+y=2, | x=2-y , | |||||||||||||||
xy = 3, | y 2 − 2y + 3= 0 | |||||||||||||||
x+y=3, | x = 3 − y, | x=2,y=1, | ||||||||||||||
y −3 y +2 =0 | x=1,y=2. | |||||||||||||||
xy = 2, | ||||||||||||||||
Sagot: (2;1), | (1; 2) .♦ | |||||||||||||||
Panitikan
1. S. I. Kolesnikova "Masinsinang kurso ng paghahanda para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado." Moscow, Iris - Pindutin;
2. "Paglutas ng mga kumplikadong problema ng Unified State Examination" Moscow, Iris - Press o "Wako", 2011;
3. Magazine "Potensyal" №№1-2 para sa 2005 - mga artikulo ni S. I. Kolesnikova "Hindi makatwiran equation" at "Hindi makatwiran inequalities";
4. S. I. Kolesnikov "Irrational Equation", Moscow, 2010,
OOO "Azbuka";
5. S. I. Kolesnikova "Hindi makatwiran na hindi pagkakapantay-pantay", Moscow, 2010, Azbuka LLC;
6. S. I. Kolesnikova "Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga module", Moscow, 2010, Azbuka LLC.
mga tanong sa pagsusulit
1(2). Hanapin ang pinakamaliit na haba ng pagitan na naglalaman ng lahat ng solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay 5x + 1≥ 2(x − 1) .
2(2). Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (hindi na kailangang lutasin ang cubic equation, dahil mayroong factor x − 2 sa kanan at kaliwa).
3(2). Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 2− x ≥ x − 3.
4(2). Hanapin ang pinakamaliit na haba ng puwang na kabilang sa
anihin ang lahat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay | x2 + 5 x− 84 | ≤ 0 . |
(x + 13 )(x + 14 ) |
5(3). Hanapin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga integer na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay
© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofia Ilyinichna
2012-2013 akademikong taon taon, No. 1, 11 na mga cell. Math. Algebraic equation, inequalities, system
4 −x −8 +x ≤x +6 .
6(3). Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 5+ x − 8− x ≤ 3− x .
7(3). Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay | -x3 -x -1 | ≤x. | |||||
9 − 4x − (x + 3) ) | |||||||
8(3). Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay | 4 −x −(x +2 ) )( | ≤ 0. |
|||||
(x + 1 )(x − 2 )(x − 3 ) |
|||||||
9(4). Hanapin ang pinakamaliit na haba ng puwang na kabilang sa
anihin ang lahat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay | |||||||||||
x+5 | x+2 | 144-x< 0. |
|||||||||
X-2 | 4 x −5 | 6x − 6 | |||||||||
10(2). Hanapin ang pinakamaliit na haba ng pagitan na naglalaman ng lahat ng mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay 8x − 8≤ 32+ 4x − x 2 .
11(4). Hanapin ang kabuuan ng mga parisukat ng lahat ng integer na solusyon ng hindi-
2(2). Hanapin ang pinakamaikling pagitan na naglalaman |
||||||||||
(x − 1 )3 (x + 3 ) |
||||||||||
lahat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay | ≤ 0 . |
|||||||||
2x − 1 | x − 2 | ) (x − 1 ) |
||||||||
3(2). Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay | 4 (x− 3 ) 4 ≥ 4 (x− 7 ,5 ) 4 . |
|||||||||||
4(4). Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay | x2 + 3 x− 4 | x 2− 16 | 2x 2 + 3x − 20 | |||||||||
5(3). Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay(x 2 | X +1 ) 2 −2 x 3 +x 2 +x −3 x 2 | ≥ 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 − 2x − 1≤ 3. | Mga gawain | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 5x + 6+ 9 - 2x - 5 2012-2013 akademikong taon taon, No. 1, 11 na mga cell. Math. Algebraic equation, inequalities, system
11(3). Tatlong rider ang nagsisimula sa parehong oras mula sa parehong punto sa circuit at nagmamaneho sa pare-pareho ang bilis sa parehong direksyon. Naabutan ng unang racer ang pangalawa sa unang pagkakataon, na ginawa ang kanyang ikalimang lap, sa isang puntong kabaligtaran ng simula, at kalahating oras pagkatapos nito ay naabutan niya ang ikatlong racer sa pangalawang pagkakataon, hindi binibilang ang sandali ng pagsisimula. . Naabutan ng pangalawang rider ang pangatlo sa unang pagkakataon 3 oras pagkatapos ng pagsisimula. Ilang lap bawat oras ang gagawin ng unang rider kung makumpleto ng pangalawa ang lap sa loob ng dalawampung minuto man lang? © 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofia Ilyinichna | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Panimula Ang problema ng aking proyekto ay ang kakayahang lutasin ang iba't ibang mga sistema ng mga equation ay kinakailangan para sa matagumpay na pagpasa sa pagsusulit, at sa kurso ng mataas na paaralan ay hindi sila nabibigyan ng sapat na oras upang malaman ang isyung ito nang mas malalim. Ang layunin ng trabaho: upang maghanda para sa matagumpay na paghahatid ng pagsusulit. Mga Gawain sa gawain: Palawakin ang iyong kaalaman sa larangan ng matematika na may kaugnayan sa konsepto ng "symmetry". Pagbutihin ang iyong kultura sa matematika, gamit ang konsepto ng "symmetry" kapag nilulutas ang mga sistema ng mga equation, na tinatawag na simetriko, pati na rin ang iba pang mga problema ng matematika.
Ang konsepto ng simetrya. Symmetry - (sinaunang Greek συμμετρία), sa isang malawak na kahulugan - immutability sa ilalim ng anumang pagbabago. Kaya, halimbawa, ang spherical symmetry ng isang katawan ay nangangahulugan na ang hitsura ng katawan ay hindi magbabago kung ito ay paikutin sa espasyo sa mga arbitrary na anggulo. Ang bilateral symmetry ay nangangahulugan na ang kanan at kaliwa ay magkapareho sa hitsura sa ilang eroplano.
Paglutas ng problema gamit ang symmetry. Problema 1 Dalawang tao ang humalili sa paglalagay ng magkaparehong mga barya sa isang bilog na mesa, at ang mga barya ay hindi dapat magkatakpan. Talo ang hindi makagalaw. Sino ang mananalo kapag naglaro ng tama? (Sa madaling salita, sinong manlalaro ang may diskarte sa panalong?)
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga simetriko na sistema. Ang mga sistemang simetriko ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable, na siyang pangunahing simetriko polynomial. Ang isang simetriko na sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam na x at y ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng u = x + y, v = xy.
Halimbawa No. 2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 \u003d 78, 2x - 3xy + 2y + 8 \u003d 0 Gamit ang mga pangunahing simetriko polynomial, ang system ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo 3uv - 2v \u003d 78, 2u - 3v \u003d -8. Ang pagpapahayag ng u = mula sa pangalawang equation at pagpapalit nito sa unang equation, nakukuha natin ang 9v2– 28v – 156 = 0. Ang mga ugat ng equation na ito v 1 = 6 at v 2 = - ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang mga katumbas na halaga u1 = 5, u2= - mula sa expression na u = .
Lutasin natin ngayon ang sumusunod na hanay ng mga sistema. x \u003d 5 - y, at y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -. x \u003d 5 - y, at y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -. x \u003d 5 - y, at y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3, at x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= Sagot: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).
Theorems na ginagamit sa paglutas ng simetriko system. Theorem 1. (sa simetriko polynomial) Anumang simetriko polynomial sa dalawang variable ay maaaring katawanin bilang isang function ng dalawang pangunahing simetriko polynomial Sa madaling salita, para sa anumang simetriko polynomial f (x, y) mayroong isang function ng dalawang variable φ (u, v) ganyan
Theorem 2. (sa simetriko polynomial) Theorem 2. (sa simetriko polynomial) Anumang simetriko polynomial sa tatlong variable ay maaaring katawanin bilang isang function ng tatlong pangunahing simetriko polynomial: Sa madaling salita, para sa anumang simetriko polynomial f (x, y) mayroong tulad ng isang function ng tatlong mga variable θ (u, v, w) tulad na
Mas kumplikadong simetriko system - mga system na naglalaman ng module: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y-1 | = 2. Isaalang-alang ang sistemang ito nang hiwalay para sa x< 1 и при х ≥ 1.
Если х < 1, то:
а) при у < х система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
b) para sa x ≤ y< 1 система принимает вид
б) при х ≤ у < 1 система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1.
Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
в) при у ≥ 1 (тогда у >x) kinukuha ng system ang form - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2, o - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, mula sa kung saan matatagpuan namin ang x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1. Ang pangalawang pares ng mga numero ay kabilang sa lugar na isinasaalang-alang, iyon ay, ito ay isang solusyon sa sistemang ito.
Kung x ≥ 1, kung gayon: Kung x ≥ 1, kung gayon: a) x > y at y< 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 – у = 1 = 2,
или
х – у + у 2= 3,
х – у = 2,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;
б) при х >y at y ≥ 1 ang sistema ay nasa anyong x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, o x - y + y 2 = 3, x + y = 4, kung saan makikita natin ang x = 1, y = 3. Ang pares ng mga numerong ito ay hindi kabilang sa lugar na isinasaalang-alang;
c) para sa x ≤ y (pagkatapos ay y ≥ 1), kinukuha ng system ang anyo c) para sa x ≤ y (pagkatapos ay y ≥ 1), kinukuha ng system ang anyo - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, o - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, mula sa kung saan makikita natin ang x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Ang mga pares ng numerong ito ay hindi kabilang sa lugar na isinasaalang-alang. Kaya, x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. Sagot: (- 1; 1); (labing-isa).
Konklusyon Ang matematika ay nagpapaunlad ng pag-iisip ng tao, nagtuturo sa pamamagitan ng lohika upang makahanap ng iba't ibang mga solusyon. Kaya, nang natutunan kung paano lutasin ang mga simetriko na sistema, napagtanto ko na magagamit ang mga ito hindi lamang upang makumpleto ang mga partikular na halimbawa, ngunit maaari ko ring lutasin ang iba't ibang uri ng mga problema. Sa tingin ko, hindi lang ako ang makikinabang sa proyekto. Para sa mga nais ding maging pamilyar sa paksang ito, ang aking trabaho ay magiging isang mabuting katulong.
Listahan ng ginamit na panitikan: Bashmakov M.I., "Algebra at ang simula ng pagsusuri", 2nd edition, Moscow, "Prosveshchenie", 1992, 350 na pahina. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "Algebra and elementary functions ", direktoryo; ikatlong edisyon, binago at pinalaki; Kyiv, Naukova, Dumka, 1987, 648 pp. Sharygin I. F., "Mathematics for high school students", Moscow, Drofa publishing house, 1995, 490 pp. Mga mapagkukunan ng Internet: http://www.college. en/
Maaaring gamitin ang gawain para sa mga aralin at ulat sa paksang "Matematika"
Ang mga handa na presentasyon sa matematika ay ginagamit bilang mga visual aid na nagbibigay-daan sa isang guro o magulang na ipakita ang paksang pinag-aaralan mula sa textbook gamit ang mga slide at talahanayan, magpakita ng mga halimbawa para sa paglutas ng mga problema at equation, at pagsubok ng kaalaman. Sa seksyong ito ng site, maaari kang makahanap at mag-download ng maraming handa na mga presentasyon sa matematika para sa mga mag-aaral sa mga baitang 1,2,3,4,5,6, pati na rin ang mga presentasyon sa mas mataas na matematika para sa mga mag-aaral sa unibersidad.
Pag-aaral ng karagdagang panitikan sa paglutas ng mga sistema ng mga equation, nakilala ko ang isang bagong uri ng mga sistema - simetriko. At itinakda ko ang aking sarili ng isang layunin:
Ibuod ang siyentipikong impormasyon sa paksang "Systems of Equation".
Unawain at alamin kung paano lutasin ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;
3) Isaalang-alang ang mga pangunahing teorya na may kaugnayan sa simetriko sistema ng mga equation
4) Matutong lutasin ang mga simetriko na sistema ng mga equation.
Kasaysayan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation.
Ang pag-aalis ng mga hindi alam mula sa mga linear na equation ay matagal nang ginagamit. Noong 17-18 siglo. sa. Ang mga diskarte sa pagbubukod ay binuo ni Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange.
Sa modernong notasyon, ang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam ay may anyo: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 Ang mga solusyon ng sistemang ito ay ipinahayag ng mga formula.
a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1
Salamat sa paraan ng coordinate na nilikha noong ika-17 siglo. Fermat at Descartes, naging posible na malutas ang mga sistema ng mga equation nang grapiko.
Sa sinaunang mga teksto ng Babylonian na isinulat noong 3-2 millennia BC. e. , ay naglalaman ng maraming mga problema na nalutas sa pamamagitan ng pag-compile ng mga sistema ng mga equation, kung saan ang mga equation ng pangalawang degree ay ipinakilala din.
Halimbawa #1:
Idinagdag ko ang mga lugar ng aking dalawang parisukat: 25. Ang gilid ng pangalawang parisukat ay katumbas ng gilid ng una at 5 pa. Ang kaukulang sistema ng mga equation sa kaukulang notasyon ay mukhang: x2 + y2 = 25, y = x = 5
Si Diophantus, na walang notasyon para sa maraming hindi alam, ay nagsumikap na pumili ng hindi alam sa paraang mabawasan ang solusyon ng sistema sa solusyon ng isang solong equation.
Halimbawa #2:
"Maghanap ng dalawang natural na numero, alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay 208."
Ang problema ay nalutas din sa pamamagitan ng pag-iipon ng isang sistema ng mga equation, x + y = 20, ngunit nalutas ang x2 + y2 = 208
Diophantus, pagpili bilang hindi kilalang kalahati ng pagkakaiba ng mga nais na numero, i.e.
(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10
2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- ay hindi nakakatugon sa kondisyon ng problema, samakatuwid, kung z = 2x = 12, at y = 8
Mga konsepto ng isang sistema ng mga algebraic equation.
Sa maraming mga problema, maaaring kailanganin upang makahanap ng ilang hindi kilalang mga dami, alam na ang iba pang mga dami na nabuo sa kanilang tulong (mga function ng mga hindi alam) ay katumbas ng bawat isa o sa ilang ibinigay na dami. Isaalang-alang natin ang isang simpleng halimbawa.
Ang isang hugis-parihaba na kapirasong lupa na may lawak na 2400 m2 ay nabakuran ng 200 m ang haba ng bakod. hanapin ang haba at lapad ng segment. Sa katunayan, ang "algebraic model" ng problemang ito ay isang sistema ng dalawang equation at isang hindi pagkakapantay-pantay.
Mga posibleng limitasyon-dapat palaging isaisip ang mga hindi pagkakapantay-pantay. Kapag nalutas mo ang mga problema para sa pag-compile ng mga sistema ng mga equation. Ngunit pa rin ang pangunahing bagay ay upang malutas ang mga equation sa kanilang sarili. Sasabihin ko sa iyo ang tungkol sa mga pamamaraan na ginamit.
Magsimula tayo sa mga kahulugan.
Ang sistema ng mga equation ay isang set ng ilang (higit sa isang) equation na konektado ng isang kulot na bracket.
Ang curly bracket ay nangangahulugan na ang lahat ng mga equation ng system ay dapat na isagawa nang sabay-sabay, at nagpapakita na kailangan mong humanap ng isang pares ng mga numero (x; y) na magpapabago sa bawat equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay.
Ang isang solusyon sa isang sistema ay isang pares ng mga numerong x at y na, kapag ipinalit sa sistemang ito, gagawing tunay na pagkakapantay-pantay ang bawat isa sa mga equation nito.
Upang malutas ang isang sistema ng mga equation ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga solusyon nito o itatag na wala.
Pamamaraan ng pagpapalit.
Ang paraan ng pagpapalit ay na sa isa sa mga equation ang isang variable ay ipinahayag sa mga tuntunin ng isa pa. Ang resultang expression ay pinapalitan sa isa pang equation, na pagkatapos ay nagiging isang equation na may isang variable, at pagkatapos ito ay malulutas. Ang mga resultang halaga ng variable na ito ay pinapalitan sa anumang equation ng orihinal na sistema at ang pangalawang variable ay matatagpuan.
Algorithm.
1. Ipahayag ang y sa mga tuntunin ng x mula sa isang equation ng system.
2. Palitan ang resultang expression sa halip na y sa isa pang equation ng system.
3. Lutasin ang resultang equation para sa x.
4. Palitan naman ang bawat ugat ng equation na matatagpuan sa ikatlong hakbang sa halip na x sa expression na y hanggang x na nakuha sa unang hakbang.
5) Isulat ang sagot sa anyo ng mga pares ng mga halaga (x; y).
Halimbawa No. 1 y \u003d x - 1,
Palitan sa pangalawang equation y \u003d x - 1, nakakakuha kami ng 5x + 2 (x - 1) \u003d 16, kung saan x \u003d 2. pinapalitan namin ang nagresultang expression sa unang equation: y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.
Sagot: (2; 1).
Halimbawa #2:
8y - x \u003d 4, 1) 2 (8y - 4) - 21y \u003d 2
2x - 21y \u003d 2 16y - 8 - 21y \u003d 2
5y \u003d 10 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2
2x - 21y \u003d 2
2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20
2 (8y - 4) - 21y \u003d 2 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2
Sagot: (-20; -2).
Halimbawa #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2
X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - quadratic equation y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8
Kaya naman (-2; -4); (4; 8) ay mga solusyon sa sistemang ito.
Paraan ng pagdaragdag.
Ang paraan ng pagdaragdag ay binubuo sa katotohanan na kung ang isang ibinigay na sistema ay binubuo ng mga equation na, kapag pinagsama-sama, ay bumubuo ng isang equation na may isang variable, pagkatapos ay sa pamamagitan ng paglutas ng equation na ito, makukuha natin ang mga halaga ng isa sa mga variable. Ang halaga ng pangalawang variable ay matatagpuan, tulad ng sa paraan ng pagpapalit.
Algorithm para sa paglutas ng mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.
1. I-equalize ang mga module ng coefficients para sa isa sa mga hindi alam.
2. Pagdaragdag o pagbabawas ng mga resultang equation, humanap ng hindi alam.
3. Pagpapalit ng nahanap na halaga sa isa sa mga equation ng orihinal na sistema, hanapin ang pangalawang hindi alam.
Halimbawa #1. Lutasin ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagdaragdag ng: x + y \u003d 20, x - y \u003d 10
Ang pagbabawas ng pangalawang equation mula sa unang equation, nakukuha natin
Nagpapahayag kami mula sa pangalawang expression x \u003d 20 - y
Palitan ang y \u003d 5 sa expression na ito: x \u003d 20 - 5 x \u003d 15.
Sagot: (15; 5).
Halimbawa #2:
Katawanin natin ang mga equation ng iminungkahing sistema bilang isang pagkakaiba, nakukuha natin
7y = 21, kung saan y = 3
Ipalit ang halagang ito sa halagang ipinahayag mula sa pangalawang equation ng system x = , nakukuha namin ang x = 4.
Sagot: (4; 3).
Halimbawa #3:
2x + 11y = 15,
10x - 11y = 9
Pagdaragdag ng mga equation na ito, mayroon kaming:
2x + 10x = 15 + 9
12x \u003d 24 x \u003d 2, pinapalitan ang halagang ito sa pangalawang equation, nakukuha namin:
10 * 2 - 11y \u003d 9, mula sa kung saan y \u003d 1.
Ang solusyon ng sistemang ito ay ang pares: (2; 1).
Graphical na paraan upang malutas ang mga sistema ng mga equation.
Algorithm.
1. Bumuo ng mga graph ng bawat isa sa mga equation ng system.
2. Paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga itinayong linya.
Ang kaso ng mutual arrangement ng mga linya sa eroplano.
1. Kung ang mga linya ay nagsalubong, ibig sabihin, ay may isang karaniwang punto, kung gayon ang sistema ng mga equation ay may isang solusyon.
2. Kung ang mga linya ay parallel, iyon ay, wala silang mga karaniwang puntos, kung gayon ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon.
3. Kung ang mga linya ay nag-tutugma, ibig sabihin, ay may maraming mga puntos, kung gayon ang sistema ng mga equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Halimbawa #1:
Lutasin nang grapiko ang sistema ng mga equation x - y \u003d -1,
Ipinapahayag namin mula sa una at pangalawang equation ang y: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x
Bumuo tayo ng mga graph ng bawat isa sa mga equation ng system:
1) y \u003d 1 + x - ang graph ng function ay isang tuwid na linya x 0 1 (1; 2) y 1 2
2) y \u003d 4 - 2x - ang graph ng function ay isang tuwid na linya x 0 1 y 4 2
Sagot: (1; 2).
Halimbawa #2: y x + 2y = 6,
4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - ang graph ng function ay isang tuwid na linya x 0 2 y 3 2 y \u003d - ang graph ng function ay isang tuwid na linya x 0 2 y 2 1
Sagot: Walang solusyon.
Halimbawa No. 3: y x - 2y \u003d 2,
3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - ang graph ng function ay isang tuwid na linya x 0 2 y -1 0
Sagot: Ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable.
Ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable ay ang isang bagong variable ay ipinakilala lamang sa isang equation o dalawang bagong variable para sa parehong mga equation nang sabay-sabay, pagkatapos ay ang equation o mga equation ay malulutas na may kinalaman sa mga bagong variable, pagkatapos nito ay nananatili upang malutas ang isang mas simpleng sistema ng mga equation, kung saan makikita natin ang nais na solusyon.
Halimbawa #1:
x + y = 5
Ipahiwatig ang = z, pagkatapos ay =.
Ang unang equation ay kukuha ng anyo na z + = , ito ay katumbas ng 6z - 13 + 6 = 0. Nang malutas ang resultang equation, mayroon tayong z = ; z=. Pagkatapos = o = , sa madaling salita, ang unang equation ay nahati sa dalawang equation, samakatuwid, mayroon tayong dalawang sistema:
x + y = 5 x + y = 5
Ang mga solusyon ng mga sistemang ito ay ang mga solusyon ng ibinigay na sistema.
Ang solusyon ng unang sistema ay ang pares: (2; 3), at ang pangalawa ay ang pares (3; 2).
Samakatuwid, ang mga solusyon ng system + = , x + y = 5
Ang mga pares ay (2; 3); (3; 2)
Halimbawa #2:
Hayaan = X, a = Y.
X \u003d, 5 * - 2Y \u003d 1
5X - 2Y \u003d 1 2.5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1
20 - 7.5U - 2U \u003d 1
X \u003d, -9.5Y \u003d -19
5 * - 2Y = 1 Y = 2
Gumawa tayo ng kapalit.
2 x = 1, y = 0.5
Sagot: (1; 0.5).
Symmetric system ng mga equation.
Ang isang sistema na may n hindi alam ay tinatawag na simetriko kung hindi ito nagbabago kapag ang mga hindi alam ay muling inayos.
Ang isang simetriko na sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam na x at y ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng u = x + y, v = xy. Tandaan na ang mga expression na nakatagpo sa simetriko system ay ipinahayag sa mga tuntunin ng u at v. Magbigay tayo ng ilang mga halimbawa na walang alinlangan na interes para sa paglutas ng maraming simetriko system: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v, atbp.
Ang simetriko na sistema ng tatlong equation para sa mga hindi alam na x y, z ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Kung ang u, v, w ay natagpuan, pagkatapos ay nabuo ang isang cubic equation na t2 – ut2 + vt – w = 0, na ang mga ugat na t1, t2, t3 sa iba't ibang permutasyon ay mga solusyon ng orihinal na sistema. Ang pinakakaraniwang mga expression sa naturang mga sistema ay ipinahayag sa mga tuntunin ng u, v, w tulad ng sumusunod: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w
Halimbawa #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4
Hayaan ang x + y = u, xy = v.
u2 – v = 13, u = 4
16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4
Gumawa tayo ng kapalit.
Sagot: (1; 3); (3; 1).
Halimbawa #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4
Hayaan ang x + y = u, xy = v.
u3 – 3uv = 28, u = 4
64 - 12 v = 28, u = 4
12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4
Gumawa tayo ng kapalit.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
Sagot: (1; 3); (3; 1).
Halimbawa #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13
Hayaan ang x = y = u, xy = v.
u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4
Gumawa tayo ng kapalit.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
Sagot: (1; 3); (3; 1).
Halimbawa #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65
Hayaan ang x + y = u, xy = v.
u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65
15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4
Gumawa tayo ng kapalit.
x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4
Sagot: (4; 1); (labing-apat).
Halimbawa #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23
Gumawa tayo ng pagbabago ng mga hindi alam, ang sistema ay kukuha ng form na u2 + v = 49, u + v = 23
Pagdaragdag ng mga equation na ito, makakakuha tayo ng u2 + u - 72 = 0 na may mga ugat na u1 = 8, u2 = -9. Alinsunod dito, v1 = 15, v2 = 32. Nananatili itong lutasin ang set ng mga sistema x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32
Ang sistema x + y = 8 ay may mga solusyon x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.
Ang sistema x + y = -9 ay walang tunay na solusyon.
Sagot: (3; 5), (5; 3).
Halimbawa numero 6. Lutasin ang sistema ng mga equation.
2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0
Gamit ang mga pangunahing simetriko polynomial u = y + x at v = xy, nakukuha namin ang sumusunod na sistema ng mga equation
2u2 - 7v = 16, u + v = -3
Ang pagpapalit ng expression na v = -3 – u mula sa pangalawang equation ng system patungo sa unang equation, makuha natin ang sumusunod na equation 2u2 + 7u + 5 = 0, na ang mga ugat ay u1 = -1 at u2 = -2.5; at, nang naaayon, ang mga halaga v1 = -2 at v2 = -0.5 ay nakuha mula sa v = -3 - u.
Ngayon ay nananatili itong lutasin ang sumusunod na hanay ng mga system x + y \u003d -1, at x + y \u003d -2.5, xy \u003d -2 xy \u003d -0.5
Ang mga solusyon sa hanay ng mga sistemang ito, at samakatuwid ng orihinal na sistema (dahil sa kanilang pagkakapareho), ay ang mga sumusunod: (1; -2), (-2; 1), (;).
Halimbawa #7:
3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,
2x - 3xy + 2y + 8 = 0
Gamit ang mga pangunahing simetriko polynomial, ang sistema ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo
3uv - 2v = 78,
Ang pagpapahayag ng u = mula sa pangalawang equation at pagpapalit nito sa unang equation, makakakuha tayo ng 9v2 – 28v – 156 = 0. Ang mga ugat ng equation na ito v1 = 6 at v2 = - ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang mga katumbas na halaga u1 = 5, u2 = - mula sa expression na u =.
Nalutas na namin ngayon ang sumusunod na hanay ng mga system x + y \u003d 5, at x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d -.
x \u003d 5 - y, at y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -.
x \u003d 5 - y, at y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -.
x = 5 – y, at y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3, at x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =
Sagot: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).
Konklusyon.
Sa proseso ng pagsulat ng artikulo, nakilala ko ang iba't ibang uri ng mga sistema ng algebraic equation. Summarized ng siyentipikong impormasyon sa paksang "Systems of Equation".
Naunawaan at natutunan kung paano lutasin sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;
Sinuri ang mga pangunahing teorya na may kaugnayan sa mga simetriko na sistema ng mga equation
Natutunan kung paano lutasin ang mga simetriko na sistema ng mga equation.
Tahanan > SolusyonRational equation at hindi pagkakapantay-pantay
I. Rational equation.
Linear na equation.
Mga sistema ng linear equation.
Ibalik ang mga equation.
Ang formula ng Vieta para sa mga polynomial na mas mataas ang antas.
Mga sistema ng mga equation ng ikalawang antas.
Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong hindi alam sa paglutas ng mga equation at sistema ng mga equation.
Mga homogenous na equation.
Solusyon ng mga simetriko na sistema ng mga equation.
Mga equation at sistema ng mga equation na may mga parameter.
Graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear equation.
Mga equation na naglalaman ng modulus sign.
Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga rational equation
II. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.
Mga katangian ng katumbas na hindi pagkakapantay-pantay.
Algebraic inequalities.
paraan ng pagitan.
Fractional-rational inequalities.
Mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng absolute value.
Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter.
Mga sistema ng makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.
Graphical na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay.
III. Pagsusulit sa pagpapatunay.
Rational Equation
tingnan ang function
P(x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,
kung saan ang n ay isang natural na numero, a 0 , a 1 ,…, a n ay ilang tunay na numero, ay tinatawag na isang buong rational function.
Ang isang equation ng form na P(x) = 0, kung saan ang P(x) ay isang buong rational function, ay tinatawag na isang buong rational equation.
Uri ng equation
P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,
kung saan ang P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) ay mga buong rational function, ay tinatawag na rational equation .
Ang paglutas ng rational equation na P (x) / Q (x) = 0, kung saan ang P (x) at Q (x) ay polynomials (Q (x) 0), binabawasan sa paglutas ng equation na P (x) = 0 at pagsuri kung ang mga ugat ay nakakatugon sa kondisyon Q (x) 0.
Linear na equation.
Ang isang equation ng form na ax+b=0, kung saan ang a at b ay ilang mga constant, ay tinatawag na linear equation.
Kung a0, kung gayon ang linear equation ay may iisang ugat: x = -b /a.
Kung a=0; b0, kung gayon ang linear equation ay walang mga solusyon.
Kung a=0; b=0, pagkatapos, muling isulat ang orihinal na equation sa anyong ax = -b, madaling makita na ang anumang x ay isang solusyon sa isang linear na equation.
Ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: y = ax + b.
Kung ang linya ay dumaan sa isang punto na may mga coordinate X 0 at Y 0, kung gayon ang mga coordinate na ito ay nakakatugon sa equation ng linya, ibig sabihin, Y 0 = aX 0 + b.
Halimbawa 1.1. lutasin ang equation
2x - 3 + 4(x - 1) = 5.
Solusyon. Palawakin natin ang mga bracket nang paisa-isa, bigyan ng like terms at hanapin ang x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
Halimbawa 1.2. lutasin ang equation
2x - 3 + 2(x - 1) = 4(x - 1) - 7.
Solusyon. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.
Sagot: .
Halimbawa 1.3. Lutasin ang equation.
2x + 3 - 6(x - 1) = 4(x - 1) + 5.
Solusyon. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,
– 4x + 9 = 9 – 4x,
4x + 4x = 9 - 9,
Sagot: Kahit anong numero.
Mga sistema ng linear equation.
Uri ng equation
a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,
kung saan ang a 1 , b 1 , … ,a n , b ay ilang constants, ay tinatawag na linear equation na may n unknowns x 1 , x 2 , …, x n .
Ang isang sistema ng mga equation ay tinatawag na linear kung ang lahat ng mga equation sa sistema ay linear. Kung ang sistema ay binubuo ng n hindi alam, posible ang sumusunod na tatlong kaso:
ang sistema ay walang mga solusyon;
ang sistema ay may eksaktong isang solusyon;
Ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon.
Halimbawa 2.4. lutasin ang sistema ng mga equation
Solusyon. Posibleng lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit, na binubuo sa pagpapahayag ng isang hindi alam sa mga tuntunin ng iba pang hindi alam ng anumang equation ng system, at pagkatapos ay palitan ang halaga ng hindi alam na ito sa iba pang mga equation.
Mula sa unang equation ay ipinapahayag natin ang: x = (8 - 3y) / 2. Pinapalitan natin ang expression na ito sa pangalawang equation at kumuha ng sistema ng mga equation
X \u003d (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y \u003d 7. Mula sa pangalawang equation nakukuha namin ang y \u003d 2. Isinasaalang-alang ito, mula sa unang equation x \u003d 1. Sagot: (1; 2) Halimbawa 2.5. Lutasin ang isang sistema ng mga equation
Solusyon. Ang sistema ay walang mga solusyon, dahil ang dalawang equation ng system ay hindi maaaring masiyahan nang sabay-sabay (mula sa unang equation x + y = 3, at mula sa pangalawang x + y = 3.5).
Sagot: Walang solusyon.
Halimbawa 2.6. lutasin ang sistema ng mga equation
Solusyon. Ang sistema ay may walang katapusang maraming mga solusyon, dahil ang pangalawang equation ay nakuha mula sa una sa pamamagitan ng pagpaparami ng 2 (ibig sabihin, sa katunayan, mayroon lamang isang equation na may dalawang hindi alam).
Sagot: Walang katapusang maraming solusyon.
Halimbawa 2.7. lutasin ang sistema ng mga equation
x + y - z = 2,
2x – y + 4z = 1,
Solusyon. Kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation, maginhawang gamitin ang paraan ng Gauss, na binubuo sa pagbabago ng system sa isang triangular na anyo.
Pina-multiply namin ang unang equation ng system sa pamamagitan ng - 2 at, pagdaragdag ng resulta na nakuha sa pangalawang equation, nakukuha namin - 3y + 6z \u003d - 3. Ang equation na ito ay maaaring muling isulat bilang y - 2z \u003d 1. Pagdaragdag ng unang equation kasama ang pangatlo, nakakakuha tayo ng 7y \u003d 7, o y = 1.
Kaya, ang sistema ay nakakuha ng isang tatsulok na anyo
x + y - z = 2,
Ang pagpapalit ng y = 1 sa pangalawang equation, makikita natin ang z = 0. Ang pagpapalit ng y =1 at z = 0 sa unang equation, makikita natin ang x = 1. Sagot: (1; 1; 0). Halimbawa 2.8. para sa kung anong mga halaga ng parameter ang sistema ng mga equation
2x + ay = a + 2,
(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
may walang katapusang maraming solusyon? Solusyon. Mula sa unang equation ipinapahayag namin ang x:
x = - (a / 2)y + a / 2 +1.
Ang pagpapalit ng expression na ito sa pangalawang equation, nakukuha natin
(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),
ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).
Pag-aaral sa huling equation, tandaan namin na para sa a = 3 mayroon itong anyo na 0y = 0, i.e. ito ay nasiyahan para sa anumang mga halaga ng y. Sagot: 3.
Quadratic equation at equation na nagpapababa sa kanila.
Isang equation ng anyong ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang a, b at c ay ilang mga numero (a0);
Ang x ay isang variable, na tinatawag na isang quadratic equation.
Ang formula para sa paglutas ng isang quadratic equation.
Una, hinahati natin ang magkabilang panig ng equation ax 2 + bx + c = 0 sa a - hindi nito babaguhin ang mga ugat nito. Upang malutas ang nagresultang equation
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
pumili ng isang buong parisukat sa kaliwang bahagi
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).
Para sa kaiklian, tinutukoy namin ang expression (b 2 - 4ac) ng D. Pagkatapos ay ang nagresultang pagkakakilanlan ay nasa anyo
Tatlong kaso ang posible:
kung ang numero D ay positibo (D > 0), kung gayon sa kasong ito posible na kunin ang square root ng D at isulat ang D bilang D = (D) 2 . Pagkatapos
D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , samakatuwid ang pagkakakilanlan ay nasa anyo
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / 2a) 2 .
Ayon sa pormula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha namin mula dito:
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =
= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a)).
Teorama: Kung hawak ang pagkakakilanlan
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2),
pagkatapos ay ang quadratic equation ax 2 + bx + c \u003d 0 para sa X 1 X 2 ay may dalawang ugat X 1 at X 2, at para sa X 1 \u003d X 2 - isang ugat lamang X 1.
Sa bisa ng teorama na ito, sumusunod ito mula sa pagkakakilanlan na nakuha sa itaas na ang equation
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,
at sa gayon ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay may dalawang ugat:
X 1 \u003d (-b + D) / 2a; X 2 \u003d (-b - D) / 2a.
Kaya x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1)(x - x2).
Karaniwan ang mga ugat na ito ay nakasulat sa isang formula:
kung saan b 2 - 4ac \u003d D.
kung ang numero D ay katumbas ng zero (D = 0), kung gayon ang pagkakakilanlan
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
kumukuha ng anyong x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .
Kasunod nito na para sa D = 0, ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay may isang ugat ng multiplicity 2: X 1 = - b / 2a
3) Kung ang numero D ay negatibo (D< 0), то – D >0, at samakatuwid ang expression
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
ay ang kabuuan ng dalawang termino, ang isa ay hindi negatibo at ang isa ay positibo. Ang nasabing kabuuan ay hindi maaaring katumbas ng zero, kaya ang equation
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
walang tunay na ugat. Ni ang equation na ax 2 + bx + c = 0.
Kaya, upang malutas ang quadratic equation, dapat kalkulahin ng isa ang discriminant
D \u003d b 2 - 4ac.
Kung D = 0, kung gayon ang quadratic equation ay may natatanging solusyon:
Kung D > 0, ang quadratic equation ay may dalawang ugat:
X 1 \u003d (-b + D) / (2a); X 2 \u003d (-b - D) / (2a).
Kung si D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Kung ang isa sa mga coefficient b o c ay katumbas ng zero, kung gayon ang quadratic equation ay maaaring malutas nang hindi kinakalkula ang discriminant:
b = 0; c 0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)
b 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.
Ang mga ugat ng isang pangkalahatang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng 1 ay tinatawag na reduced. Karaniwan ang ibinigay na quadratic equation ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
x 2 + px + q = 0.
Ang teorama ni Vieta.
Nakuha namin ang pagkakakilanlan
x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d (x - x1) (x - x2),
kung saan ang X 1 at X 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + bx + c =0. Palawakin natin ang mga bracket sa kanang bahagi ng pagkakakilanlan na ito.
x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .
Kasunod nito na X 1 + X 2 = - b / a at X 1 X 2 = c / a. Napatunayan namin ang sumusunod na teorama, na unang itinatag ng Pranses na matematiko na si F. Viet (1540 - 1603):
Teorama 1 (Vieta). Ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation ay katumbas ng coefficient sa X, kinuha gamit ang kabaligtaran na sign at hinati sa coefficient sa X 2; ang produkto ng mga ugat ng equation na ito ay katumbas ng libreng termino na hinati ng koepisyent sa X 2 .
Theorem 2 (baligtad). Kung ang pagkakapantay-pantay
X 1 + X 2 \u003d - b / a at X 1 X 2 \u003d c / a,
pagkatapos ang mga numerong X 1 at X 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + bx + c = 0.
Magkomento. Ang mga formula X 1 + X 2 \u003d - b / a at X 1 X 2 \u003d c / a ay nananatiling totoo kahit na sa kaso kapag ang equation na ax 2 + bx + c \u003d 0 ay may isang ugat X 1 ng multiplicity 2, kung inilalagay namin ang ipinahiwatig na mga formula X 2 = X 1 . Samakatuwid, karaniwang tinatanggap na para sa D = 0, ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay may dalawang ugat na nag-tutugma sa bawat isa.
Kapag nilulutas ang mga problemang nauugnay sa Vieta theorem, kapaki-pakinabang na gamitin ang mga relasyon
(1 / X 1) + (1 / X 2) \u003d (X 1 + X 2) / X 1 X 2;
X 1 2 + X 2 2 \u003d (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;
X 1 / X 2 + X 2 / X 1 \u003d (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 \u003d ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;
X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =
\u003d (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2).
Halimbawa 3.9. Lutasin ang equation na 2x 2 + 5x - 1 = 0.
Solusyon. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;
X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.
Sagot: X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.
Halimbawa 3.10. Lutasin ang equation x 3 - 5x 2 + 6x = 0
Solusyon. I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation x(x 2 - 5x + 6) = 0,
kaya x \u003d 0 o x 2 - 5x + 6 \u003d 0.
Ang paglutas ng quadratic equation, nakukuha namin ang X 1 \u003d 2, X 2 \u003d 3.
Sagot: 0; 2; 3.
Halimbawa 3.11.
x 3 - 3x + 2 = 0. Solusyon. Muli nating isulat ang equation, pagsulat -3x \u003d - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 \u003d 0, at ngayon ay pangkat namin ang x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) \u003d 0, ( x - 1) (x( x + 1) - 2) = 0,x - 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1. Sagot: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = - 2. Halimbawa 3.12. Lutasin ang Equation7
Layunin ng Aralin:
- pang-edukasyon: pag-aaral upang malutas ang mga sistema ng mga equation na naglalaman ng isang homogenous na equation, simetriko sistema ng mga equation;
- umuunlad: pag-unlad ng pag-iisip, atensyon, memorya, kakayahang i-highlight ang pangunahing bagay;
- pang-edukasyon: pag-unlad ng mga kasanayan sa komunikasyon.
Uri ng aralin: aralin sa pagkatuto ng bagong materyal.
Mga ginamit na teknolohiya sa pag-aaral:
- gumawa ng sama sama;
- paraan ng disenyo.
Kagamitan: computer, multimedia projector.
Isang linggo bago ang aralin, ang mga mag-aaral ay tumatanggap ng mga paksa para sa mga malikhaing takdang-aralin (ayon sa mga opsyon).
Opsyon ko. Symmetric system ng mga equation. Mga solusyon.
II opsyon. Mga sistemang naglalaman ng homogenous na equation. Mga solusyon.
Ang bawat mag-aaral, gamit ang karagdagang literatura na pang-edukasyon, ay dapat mahanap ang naaangkop na materyal na pang-edukasyon, pumili ng isang sistema ng mga equation at lutasin ito.
Isang mag-aaral mula sa bawat opsyon ang gumagawa ng mga multimedia presentation sa paksa ng malikhaing gawain. Ang guro ay nagbibigay ng gabay sa mga mag-aaral kung kinakailangan.
I. Pagganyak para sa mga aktibidad sa pagkatuto ng mga mag-aaral
Panimulang talumpati ng guro
Sa nakaraang aralin, isinasaalang-alang namin ang solusyon ng mga sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit ng mga hindi alam. Walang pangkalahatang tuntunin para sa pagpili ng mga bagong variable. Gayunpaman, ang dalawang uri ng mga sistema ng mga equation ay maaaring makilala kapag mayroong isang makatwirang pagpili ng mga variable:
- simetriko sistema ng mga equation;
- sistema ng mga equation, ang isa ay homogenous.
II. Pag-aaral ng bagong materyal
Ang mga mag-aaral ng pangalawang opsyon ay nag-uulat sa kanilang takdang-aralin.
1. Slideshow ng isang multimedia presentation "Systems containing a homogeneous equation" (presentation 1).
2. Magtrabaho nang magkapares ng mga mag-aaral na nakaupo sa parehong desk: ipinapaliwanag ng isang mag-aaral ng pangalawang opsyon sa isang kapitbahay sa desk ang solusyon sa isang sistemang naglalaman ng isang homogenous na equation.
Ulat ng mga mag-aaral ng 1st option.
1. Slideshow ng multimedia presentation na "Symmetric systems of equation" (presentation 2).
Isulat ng mga mag-aaral sa kanilang kuwaderno:
2. Magtrabaho nang magkapares ng mga mag-aaral na nakaupo sa parehong desk: isang mag-aaral ng opsyon Ipinapaliwanag ko sa isang kapitbahay sa desk ang solusyon ng isang simetriko na sistema ng mga equation.
III. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal
Magtrabaho sa mga pangkat (sa isang grupo ng 4 na mag-aaral ay magkaisa ang mga mag-aaral na nakaupo sa katabing mga mesa).
Ang bawat isa sa 6 na pangkat ay nagsasagawa ng sumusunod na gawain.
Tukuyin ang uri ng system at lutasin ito:
Ang mga mag-aaral sa mga grupo ay nagsusuri ng mga sistema, tinutukoy ang kanilang uri, pagkatapos, sa kurso ng gawaing pangharap, talakayin ang mga solusyon sa mga sistema.
a) sistema
simetriko, ipinakilala namin ang mga bagong variable x+y=u, xy=v
b) sistema
naglalaman ng isang homogenous na equation.
Ang isang pares ng mga numero (0;0) ay hindi solusyon sa system.
IV. Pagkontrol sa kaalaman ng mga mag-aaral
Malayang gawain sa mga opsyon.
Lutasin ang sistema ng mga equation:
Ibinibigay ng mga mag-aaral ang kanilang mga notebook sa guro para sa pagsusuri.
V. Takdang-Aralin
1. Isinasagawa ng lahat ng mag-aaral.
Lutasin ang sistema ng mga equation:
2. Magsagawa ng "malakas" na mga mag-aaral.
Lutasin ang sistema ng mga equation:
VI. Buod ng aralin
Mga Tanong:
Anong mga uri ng sistema ng mga equation ang natutunan mo sa klase?
Anong paraan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation ang ginagamit upang malutas ang mga ito?
Pag-uulat ng mga markang natanggap ng mga mag-aaral sa panahon ng aralin.
