PAKSA NG ELECTIVE SUBJECT

CONVERSION NG NUMERIC AT LETTER EXPRESSIONS

Dami ng 34 na oras

mas mataas na guro sa matematika

MOU "Secondary School No. 51"

Saratov, 2008

ELECTIVE SUBJECT PROGRAM

"CONVERSION NG NUMERICAL AT LETTER EXPRESSIONS"

Paliwanag na tala

Sa mga nagdaang taon, ang mga huling pagsusulit sa mga paaralan, pati na rin ang mga pagsusulit sa pasukan sa mga unibersidad, ay isinasagawa sa tulong ng mga pagsusulit. Ang paraan ng pagsubok na ito ay iba sa klasikong pagsusulit at nangangailangan ng tiyak na paghahanda. Ang isang tampok ng pagsubok sa form na binuo hanggang sa kasalukuyan ay ang pangangailangan na sagutin ang isang malaking bilang ng mga tanong sa isang limitadong tagal ng panahon, iyon ay, kinakailangan hindi lamang upang sagutin ang mga tanong na ibinibigay, ngunit gawin din ito nang mabilis. Samakatuwid, mahalaga na makabisado ang iba't ibang mga diskarte, mga pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang makamit ang ninanais na resulta.

Kapag nilulutas ang halos anumang problema sa paaralan, kailangan mong gumawa ng ilang pagbabago. Kadalasan, ang pagiging kumplikado nito ay ganap na tinutukoy ng antas ng pagiging kumplikado at ang dami ng mga pagbabagong kailangang isagawa. Hindi karaniwan para sa isang mag-aaral na hindi malutas ang isang problema, hindi dahil hindi niya alam kung paano ito malulutas, ngunit dahil hindi niya magagawa ang lahat ng kinakailangang pagbabago at kalkulasyon sa isang makatwirang oras nang walang mga pagkakamali.

Ang elective course na "Transformation of Numerical and Letter Expressions" ay nagpapalawak at nagpapalalim sa pangunahing programa sa matematika sa high school at idinisenyo para sa pag-aaral sa grade 11. Ang iminungkahing kurso ay naglalayong bumuo ng mga kasanayan sa computational at talas ng pag-iisip. Ang kurso ay idinisenyo para sa mga mag-aaral na may mataas o karaniwang antas ng pagsasanay sa matematika at idinisenyo upang tulungan silang maghanda para sa pagpasok sa mga unibersidad, upang mag-ambag sa pagpapatuloy ng isang seryosong edukasyon sa matematika.

Mga target at layunin:

Systematization, generalization at pagpapalawak ng kaalaman ng mga mag-aaral tungkol sa mga numero at aksyon sa kanila;

Pag-unlad ng kalayaan, malikhaing pag-iisip at nagbibigay-malay na interes ng mga mag-aaral;

Pagbubuo ng interes sa proseso ng pag-compute;

Pag-aangkop ng mga mag-aaral sa mga bagong tuntunin sa pagpasok sa mga unibersidad.

Inaasahang resulta:

Kaalaman sa pag-uuri ng mga numero;

Pagpapabuti ng mga kasanayan at kakayahan ng mabilisang pagbilang;

Kakayahang gumamit ng mathematical apparatus sa paglutas ng iba't ibang problema;

Pang-edukasyon at pampakay na plano

Ang plano ay para sa 34 na oras. Ito ay pinagsama-sama na isinasaalang-alang ang paksa ng diploma, kaya dalawang magkahiwalay na bahagi ang isinasaalang-alang: numerical at alphabetic na mga expression. Sa pagpapasya ng guro, ang mga alphabetic na expression ay maaaring isaalang-alang kasama ng mga numerical sa mga nauugnay na paksa.

		Bilang ng oras
	Mga numeric na expression Buong mga numero Paraan ng mathematical induction Mga rational na numero Decimal Periodic Fractions Hindi nakapangangatwiran numero Mga ugat at antas Logarithms Trigonometric function Inverse trigonometriko function Mga kumplikadong numero Pagsubok sa paksang "Mga Numeric na expression" Paghahambing ng Numeric Expressions Mga literal na pagpapahayag Pag-convert ng mga expression na may mga radical Pagbabago ng Power Expression Pag-convert ng Logarithmic Expressions Pag-convert ng mga trigonometrikong expression Huling pagsusulit

Mga buong numero (4h)

Hanay ng numero. Pangunahing teorama ng arithmetic. NOD at NOC. mga palatandaan ng divisibility. Paraan ng mathematical induction.

Mga rational na numero (2h)

Kahulugan ng isang rational na numero. Pangunahing katangian ng isang fraction. Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Kahulugan ng periodic fraction. Ang panuntunan para sa pag-convert mula sa isang decimal periodic fraction sa isang ordinaryo.

Hindi nakapangangatwiran numero. Mga radikal. Degrees. Logarithms (6h)

Kahulugan ng isang hindi makatwirang numero. Patunay ng pagiging irrationality ng isang numero. Pag-alis ng irrationality sa denominator. Mga totoong numero. Mga katangian ng degree. Mga katangian ng arithmetic root ng nth degree. Kahulugan ng logarithm. Mga katangian ng logarithms.

Trigonometric function (4h)

Bilog ng numero. Mga numerical na halaga ng trigonometric function ng mga pangunahing anggulo. Pag-convert ng isang anggulo mula sa mga degree sa radians at vice versa. Pangunahing mga formula ng trigonometriko. Mga formula ng cast. Inverse trigonometriko function. Trigonometric na mga operasyon sa arc function. Mga pangunahing ugnayan sa pagitan ng mga function ng arc.

Mga kumplikadong numero (2h)

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero. Mga operasyon na may mga kumplikadong numero. Trigonometric at exponential form ng isang complex number.

Intermediate na pagsubok (2h)

Paghahambing ng mga numerical na expression (4h)

Mga hindi pagkakapantay-pantay sa numero sa hanay ng mga tunay na numero. Mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Pagsuporta sa hindi pagkakapantay-pantay. Mga pamamaraan para sa pagpapatunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Mga expression ng titik (8h)

Mga panuntunan para sa pagbabago ng mga expression na may mga variable: polynomials; algebraic fractions; hindi makatwiran na mga ekspresyon; trigonometriko at iba pang mga expression. Mga patunay ng pagkakakilanlan at hindi pagkakapantay-pantay. Pagpapasimple ng mga expression.

1 bahagi ng elektibong paksa: "Mga numeric na expression"

GAWAIN 1(2 oras)

Paksa ng aralin: Buong mga numero

Layunin ng Aralin: I-generalize at i-systematize ang kaalaman ng mga mag-aaral tungkol sa mga numero; alalahanin ang mga konsepto ng GCD at NOC; palawakin ang kaalaman tungkol sa mga palatandaan ng divisibility; isaalang-alang ang mga problemang nalutas sa integer.

Sa panahon ng mga klase

ako. Panimulang panayam.

Pag-uuri ng numero:

Integers;

Buong mga numero;

Mga rational na numero;

Mga tunay na numero;

Mga kumplikadong numero.

Ang pagkilala sa serye ng numero sa paaralan ay nagsisimula sa konsepto ng isang natural na numero. Ang mga numerong ginagamit sa pagbibilang ng mga bagay ay tinatawag natural. Ang set ng mga natural na numero ay tinutukoy ng N. Ang mga natural na numero ay nahahati sa prime at composite. Ang mga pangunahing numero ay mayroon lamang dalawang divisors isa at ang numero mismo, habang ang mga composite na numero ay may higit sa dalawang divisors. Pangunahing teorama ng arithmetic ay nagsasaad: "Anumang natural na bilang na higit sa 1 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga prime number (hindi kinakailangang magkaiba), at, higit pa rito, sa isang natatanging paraan (hanggang sa pagkakasunud-sunod ng mga salik)."

Dalawang mas mahalagang konsepto ng arithmetic ang nauugnay sa mga natural na numero: ang greatest common divisor (GCD) at ang least common multiple (LCM). Ang bawat isa sa mga konseptong ito ay aktwal na tumutukoy sa sarili nito. Ang solusyon ng maraming problema ay pinadali ng mga palatandaan ng divisibility, na dapat tandaan.

Tanda ng divisibility ng 2 . Ang isang numero ay nahahati sa 2 kung ang huling digit nito ay kahit o o.

Divisibility sa pamamagitan ng 4 sign . Ang isang numero ay nahahati sa 4 kung ang huling dalawang digit ay mga zero o bumubuo ng isang numero na mahahati ng 4.

Tanda ng divisibility ng 8. Ang isang numero ay nahahati ng 8 kung ang huling tatlong digit nito ay mga zero o bumubuo ng isang numero na mahahati ng 8.

Pamantayan sa divisibility para sa 3 at 9. Tanging ang mga numerong iyon ay nahahati sa 3 kung saan ang kabuuan ng mga digit ay nahahati sa 3; sa pamamagitan ng 9 - lamang ang mga kung saan ang kabuuan ng mga digit ay nahahati ng 9.

Tanda ng divisibility ng 6. Ang isang numero ay nahahati sa 6 kung ito ay nahahati sa parehong 2 at 3.

Tanda ng divisibility ng 5 . Ang nahahati sa 5 ay mga numero na ang huling digit ay 0 o 5.

Tanda ng divisibility ng 25. Ang nahahati ng 25 ay mga numero na ang huling dalawang digit ay mga zero o bumubuo ng isang numero na nahahati sa 25.

Mga palatandaan ng divisibility ng 10,100,1000. Tanging ang mga numerong may huling digit ay 0 ang mahahati sa 10, tanging ang mga numerong may huling dalawang digit ay 0 ang mahahati ng 100, tanging ang mga numerong may huling tatlong digit ay 0 ang mahahati ng 1000.

Tanda ng divisibility ng 11 . Tanging ang mga numerong iyon lamang ang mahahati ng 11 kung saan ang kabuuan ng mga digit na sumasakop sa mga kakaibang lugar ay alinman sa katumbas ng kabuuan ng mga digit na sumasakop sa mga lugar na kahit na, o naiiba mula dito sa pamamagitan ng isang numerong mahahati ng 11.

Sa unang aralin, titingnan natin ang natural at integer na mga numero. buo Ang mga numero ay natural na mga numero, ang kanilang kabaligtaran na mga numero at zero. Ang hanay ng mga integer ay tinutukoy ng Z.

II. Pagtugon sa suliranin.

HALIMBAWA 1. I-factorize: a) 899; b) 1000027.

Solusyon: a);

b) HALIMBAWA 2. Hanapin ang GCD ng mga numerong 2585 at 7975.

Solusyon: Gamitin natin ang Euclid algorithm:

Kung https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

Sagot: gcd(2585,7975) = 55.

HALIMBAWA 3 Kalkulahin:

Solusyon: = 1987100011989. Ang pangalawang produkto ay katumbas ng parehong halaga. Samakatuwid, ang pagkakaiba ay 0.

HALIMBAWA 4. Hanapin ang mga numero ng GCD at LCM a) 5544 at 1404; b) 198, 504 at 780.

Mga sagot: a) 36; 49896; b) 6; 360360.

HALIMBAWA 5. Hanapin ang quotient at remainder kapag hinahati

a) 5 hanggang 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

c) -529 hanggang (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

e) 256 hanggang (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

Solusyon: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

b)

Solusyon: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

HALIMBAWA 7..gif" width="67" height="27 src="> by 17.

Solusyon: Maglagay tayo ng record , na nangangahulugan na kapag hinati sa m, ang mga numerong a, b, c, ... d ay nagbibigay ng parehong natitira.

Samakatuwid, para sa anumang natural na k, magkakaroon

Ngunit 1989=16124+5. Ibig sabihin,

Sagot: Ang natitira ay 12.

HALIMBAWA 8. Hanapin ang pinakamaliit na natural na numero na mas malaki sa 10, na, kapag hinati sa 24, 45, at 56, ay magbibigay ng natitirang 1.

Sagot: LCM(24;45;56)+1=2521.

HALIMBAWA 9. Hanapin ang pinakamaliit na natural na numero na nahahati sa 7, at kapag hinati sa 3, 4 at 5 ay nagbibigay ng natitirang 1.

Sagot: 301. Panuto. Sa mga numero ng form na 60k + 1, kailangan mong hanapin ang pinakamaliit na mahahati ng 7; k = 5.

HALIMBAWA 10. Magtalaga sa 23 ng isang digit sa kanan at sa kaliwa upang ang resultang apat na digit na numero ay mahahati sa 9 at 11.

Sagot: 6237.

HALIMBAWA 11. Magtalaga ng tatlong digit sa likod ng numero upang ang resultang numero ay mahahati sa 7, 8 at 9.

Sagot: 304 o 808. Indikasyon. Ang numero kapag hinati sa = 789) ay nagbibigay ng natitirang 200. Samakatuwid, kung magdadagdag ka ng 304 o 808 dito, mahahati ito sa 504.

HALIMBAWA 12. Posible bang muling ayusin ang mga digit sa isang tatlong-digit na numero na mahahati ng 37 upang ang resultang numero ay mahahati din ng 37?

Sagot: Kaya mo. Tandaan..gif" width="61" height="24"> ay nahahati din sa 37. Mayroon kaming A = 100a + 10b + c = 37k, kung saan ang c = 37k -100a - 10b. Pagkatapos B = 100b + 10c + a = 100b + k - 100a - 10b) + a \u003d 370k - 999a, iyon ay, ang B ay nahahati sa 37.

HALIMBAWA 13. Hanapin ang numero, kapag hinati kung saan ang mga numerong 1108, 1453, 1844 at 2281 ay nagbibigay ng parehong natitira.

Sagot: 23. Indikasyon. Ang pagkakaiba ng alinmang dalawang binigay na numero ay mahahati sa kinakailangang isa. Nangangahulugan ito na ang anumang karaniwang divisor ng lahat ng posibleng pagkakaiba ng data, maliban sa 1, ay angkop para sa amin

HALIMBAWA 14. Kinakatawan ang 19 bilang pagkakaiba ng mga cube ng mga natural na numero.

HALIMBAWA 15. Ang parisukat ng isang natural na numero ay katumbas ng produkto ng apat na magkakasunod na odd na numero. Hanapin ang numerong ito.

Sagot: .

HALIMBAWA 16..gif" width="115" height="27"> ay hindi nahahati sa 10.

Sagot: a) Direksyon. Ang pagkakaroon ng pangkat ng una at huling mga termino, ang pangalawa at penultimate, atbp., gamitin ang formula para sa kabuuan ng mga cube.

b) Indication..gif" width="120" height="20">.

4) Hanapin ang lahat ng pares ng natural na numero na ang GCD ay 5 at ang LCM ay 105.

Sagot: 5, 105 o 15, 35.

GAWAIN 2(2 oras)

Paksa ng aralin: Paraan ng mathematical induction.

Layunin ng aralin: Isaalang-alang ang mga mathematical na pahayag na nangangailangan ng patunay; ipakilala sa mga mag-aaral ang paraan ng mathematical induction; bumuo ng lohikal na pag-iisip.

Sa panahon ng mga klase

ako. Sinusuri ang takdang-aralin.

II. Paliwanag ng bagong materyal.

Sa kurso sa matematika ng paaralan, kasama ang mga gawain na "Hanapin ang halaga ng expression", may mga gawain ng form: "Patunayan ang pagkakapantay-pantay". Ang isa sa mga pinaka-unibersal na pamamaraan para sa pagpapatunay ng mga pahayag sa matematika kung saan lumilitaw ang mga salitang "para sa isang di-makatwirang natural n" ay ang paraan ng kumpletong induction ng matematika.

Ang isang patunay na gumagamit ng paraang ito ay palaging binubuo ng tatlong hakbang:

1) Batayan ng induction. Sinusuri ang bisa ng pahayag para sa n = 1.

Sa ilang mga kaso, upang simulan ang induction, kailangan mong suriin ang ilan

mga paunang halaga.

2) Assumption ng induction. Ang pahayag ay ipinapalagay na totoo para sa alinman

3) Induktibong hakbang. Pinatutunayan namin ang bisa ng assertion para sa

Kaya, simula sa n = 1, sa batayan ng napatunayang hakbang na pasaklaw, nakukuha natin ang bisa ng assertion na pinatutunayan para sa

n =2, 3,…t. e.para sa anumang n.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

HALIMBAWA 1: Patunayan na para sa anumang natural n ang bilang ay nahahati sa 7.

Patunay: Tukuyin .

Hakbang 1..gif" width="143" height="37 src="> ay nahahati sa 7.

Hakbang 3..gif" width="600" height="88">

Ang huling numero ay nahahati ng 7 dahil ito ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang integer na nahahati ng 7.

HALIMBAWA 2: Patunayan ang pagkakapantay-pantay https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> ay nakuha mula sa pinapalitan ang n ng k = 1.

III. Pagtugon sa suliranin

Sa unang aralin, mula sa mga gawain sa ibaba (Blg. 1-3), ang ilan ay pinili para sa solusyon sa pagpapasya ng guro para sa pagsusuri sa pisara. Ang ikalawang aralin ay tumatalakay sa № 4.5; independiyenteng trabaho mula sa No. 1-3 ay isinasagawa; Ang No. 6 ay inaalok bilang karagdagang isa, na may mandatoryong desisyon sa board.

1) Patunayan na ang a) ay nahahati ng 83;

b) ay nahahati sa 13;

c) ay mahahati sa 20801.

2) Patunayan na para sa anumang natural n:

a) ay nahahati sa 120;

b) ay nahahati sa 27;

sa) mahahati sa 84;

G) ay nahahati sa 169;

e) ay nahahati sa 8;

f) ay nahahati sa 8;

g) ay nahahati sa 16;

h) mahahati sa 49;

at) ay nahahati sa 41;

sa) ay nahahati sa 23;

l) ay nahahati sa 13;

m) hinati ng .

3) Patunayan na:

G) ;

4) I-output ang sum formula https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) Patunayan na ang kabuuan ng mga miyembro ng bawat hilera ng talahanayan

…………….

ay katumbas ng parisukat ng isang kakaibang numero na ang numero sa isang hilera ay katumbas ng numero ng hilera mula sa simula ng talahanayan.

Mga sagot at tagubilin.

1) Gamitin natin ang entry na ipinakilala sa halimbawa 4 ng nakaraang aralin.

a) . Kaya nahahati sa 83 .

b) Dahil , pagkatapos ;

. Dahil dito, .

c) Dahil , kinakailangang patunayan na ang binigay na numero ay nahahati sa 11, 31 at 61..gif" width="120" height="32 src=">. Ang divisibility ng 11 at 31 ay napatunayang katulad.

2) a) Patunayan natin na ang ekspresyong ito ay nahahati ng 3, 8, 5. Ang divisibility ng 3 ay sumusunod sa katotohanan na , at sa tatlong magkakasunod na natural na numero, ang isa ay nahahati sa 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Upang suriin ang divisibility sa pamamagitan ng 5, sapat na upang isaalang-alang ang mga halaga n=0,1,2,3,4.

Ang pagsulat ng mga kundisyon ng mga problema gamit ang notasyong tinatanggap sa matematika ay humahantong sa paglitaw ng tinatawag na matematikal na mga ekspresyon, na kung saan ay tinatawag na mga expression. Sa artikulong ito, pag-uusapan natin nang detalyado numeric, literal, at variable na mga expression: magbibigay kami ng mga kahulugan at magbibigay ng mga halimbawa ng mga expression ng bawat uri.

Pag-navigate sa pahina.

Mga numeric na expression - ano ito?

Ang pagkilala sa mga numerical expression ay nagsisimula halos mula sa pinakaunang mga aralin ng matematika. Ngunit ang kanilang pangalan - mga numerical na expression - opisyal nilang nakuha sa ibang pagkakataon. Halimbawa, kung susundin mo ang kurso ng M. I. Moro, mangyayari ito sa mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika para sa ika-2 baitang. Doon, ang representasyon ng mga numerical na expression ay ibinibigay tulad ng sumusunod: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1, atbp. - lahat ng ito mga numeric na expression, at kung gagawin natin ang mga ipinahiwatig na pagkilos sa expression, makikita natin halaga ng pagpapahayag.

Mahihinuha na sa yugtong ito ng pag-aaral ng matematika, ang mga numerical expression ay tinatawag na mga talaan na may kahulugang matematika, na binubuo ng mga numero, mga bracket at mga palatandaan ng karagdagan at pagbabawas.

Maya-maya, pagkatapos makilala ang multiplikasyon at paghahati, ang mga entry ng mga numerical expression ay nagsisimulang maglaman ng mga palatandaan na "·" at ":". Narito ang ilang halimbawa: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 atbp.

At sa mataas na paaralan, ang iba't ibang mga entry para sa mga numerical na expression ay lumalaki tulad ng isang snowball na lumiligid pababa ng bundok. Ang mga common at decimal fraction, mixed number at negatibong numero, powers, roots, logarithms, sines, cosine, at iba pa ay makikita sa mga ito.

Ibuod natin ang lahat ng impormasyon sa kahulugan ng isang numeric na expression:

Kahulugan.

Numeric na expression ay isang kumbinasyon ng mga numero, mga palatandaan ng mga operasyon ng aritmetika, fractional stroke, mga palatandaan ng ugat (radicals), logarithms, notation ng trigonometric, inverse trigonometriko at iba pang mga function, pati na rin ang mga bracket at iba pang mga espesyal na simbolo ng matematika, na pinagsama-sama alinsunod sa mga patakaran na tinanggap sa matematika.

Ipaliwanag natin ang lahat ng bumubuo ng mga bahagi ng tininigan na kahulugan.

Ganap na anumang mga numero ay maaaring lumahok sa mga numerical na expression: mula sa natural hanggang sa tunay, at maging kumplikado. Iyon ay, sa mga numerical na expression ay maaaring matugunan ng isa

Gamit ang mga palatandaan ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, ang lahat ay malinaw - ito ang mga palatandaan ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati, ayon sa pagkakabanggit, na may anyong "+", "−", "·" at ":". Sa mga numerical na expression, ang isa sa mga character na ito, ang ilan sa mga ito, o lahat nang sabay-sabay, at higit sa isang beses, ay maaaring naroroon. Narito ang mga halimbawa ng mga numerical na expression sa kanila: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.

Tulad ng para sa mga bracket, mayroong parehong mga numerical na expression kung saan mayroong mga bracket, at mga expression na wala ang mga ito. Kung mayroong mga bracket sa isang numeric na expression, kung gayon ang mga ito ay karaniwang

At kung minsan ang mga bracket sa mga numerical na expression ay may ilang partikular, hiwalay na ipinahiwatig na espesyal na layunin. Halimbawa, makakahanap ka ng mga square bracket na nagsasaad ng integer na bahagi ng numero, kaya ang numerical expression na +2 ay nangangahulugan na ang numero 2 ay idinagdag sa integer na bahagi ng numero 1.75.

Mula sa kahulugan ng isang numeric na expression, malinaw din na ang expression ay maaaring maglaman ng , , log , ln , lg , mga pagtatalaga o atbp. Narito ang mga halimbawa ng mga numerical expression sa kanila: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 at .

Ang dibisyon sa mga numeric na expression ay maaaring tukuyin ng . Sa kasong ito, mayroong mga numerical na expression na may mga fraction. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga expression: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 at .

Bilang mga espesyal na mathematical na simbolo at notasyon na makikita sa mga numerical na expression, nagbibigay kami. Halimbawa, magpakita tayo ng numerical expression na may modulus .

Ano ang literal na pagpapahayag?

Ang konsepto ng mga literal na expression ay ibinibigay halos kaagad pagkatapos na pamilyar sa mga numerical na expression. Ito ay ipinasok ng ganito. Sa isang tiyak na numerical expression, ang isa sa mga numero ay hindi nakasulat, ngunit isang bilog (o isang parisukat, o isang bagay na katulad) ay inilalagay sa lugar nito, at sinasabing ang isang tiyak na numero ay maaaring palitan para sa bilog. Kunin natin ang entry bilang isang halimbawa. Kung inilagay mo, halimbawa, ang numero 2 sa halip na isang parisukat, pagkatapos ay makakakuha ka ng isang numerical na expression 3 + 2. Kaya sa halip na mga bilog, parisukat, atbp. sumang-ayon na magsulat ng mga liham, at ang mga ganitong ekspresyon na may mga liham ay tinawag literal na mga pagpapahayag. Bumalik tayo sa ating halimbawa, kung sa entry na ito sa halip na isang parisukat ay inilalagay natin ang titik a, pagkatapos ay makakakuha tayo ng literal na pagpapahayag ng form na 3+a.

Kaya, kung pinapayagan namin ang pagkakaroon ng mga titik sa isang numerical na expression, na nagpapahiwatig ng ilang mga numero, pagkatapos ay makuha namin ang tinatawag na literal na expression. Bigyan natin ng angkop na kahulugan.

Kahulugan.

Ang isang expression na naglalaman ng mga titik na nagsasaad ng ilang mga numero ay tinatawag literal na pagpapahayag.

Mula sa kahulugang ito, malinaw na ang literal na expression ay pangunahing naiiba sa isang numeric na expression dahil maaari itong maglaman ng mga titik. Karaniwan, sa literal na mga ekspresyon, ang maliliit na titik ng alpabetong Latin ay ginagamit (a, b, c, ...), at kapag tinutukoy ang mga anggulo, maliliit na titik ng alpabetong Griyego (α, β, γ, ...).

Kaya, ang mga literal na expression ay maaaring binubuo ng mga numero, titik at naglalaman ng lahat ng mga simbolo ng matematika na makikita sa mga numerical na expression, tulad ng mga bracket, root sign, logarithms, trigonometriko at iba pang mga function, atbp. Hiwalay, binibigyang-diin namin na ang isang literal na expression ay naglalaman ng kahit isang titik. Ngunit maaari rin itong maglaman ng ilang magkapareho o magkaibang mga titik.

Ngayon ay nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa ng literal na pagpapahayag. Halimbawa, ang a+b ay isang literal na expression na may mga letrang a at b . Narito ang isa pang halimbawa ng literal na expression na 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. At nagbibigay kami ng isang halimbawa ng isang literal na pagpapahayag ng isang kumplikadong anyo: .

Mga expression na may mga variable

Kung sa isang literal na pagpapahayag ang isang titik ay nagpapahiwatig ng isang halaga na hindi kumukuha ng anumang partikular na halaga, ngunit maaaring tumagal sa iba't ibang mga halaga, kung gayon ang liham na ito ay tinatawag na variable at ang ekspresyon ay tinatawag variable na pagpapahayag.

Kahulugan.

Pagpapahayag na may mga variable ay isang literal na pagpapahayag kung saan ang mga titik (lahat o ilan) ay tumutukoy sa mga dami na may iba't ibang halaga.

Halimbawa, hayaan sa expression na x 2 −1 ang letrang x ay maaaring kumuha ng anumang natural na halaga mula sa pagitan mula 0 hanggang 10, pagkatapos ay ang x ay isang variable, at ang expression na x 2 −1 ay isang expression na may variable na x .

Ito ay nagkakahalaga ng noting na maaaring mayroong ilang mga variable sa isang expression. Halimbawa, kung isasaalang-alang natin ang x at y bilang mga variable, kung gayon ang expression ay isang expression na may dalawang variable na x at y .

Sa pangkalahatan, ang paglipat mula sa konsepto ng isang literal na expression sa isang expression na may mga variable ay nangyayari sa ika-7 baitang, kapag nagsimula silang mag-aral ng algebra. Hanggang sa puntong ito, ang mga literal na expression ay nagmodelo ng ilang partikular na gawain. Sa algebra, sinimulan nilang tingnan ang expression nang mas pangkalahatan, nang walang pagtukoy sa isang tiyak na gawain, na may pag-unawa na ang expression na ito ay umaangkop sa isang malaking bilang ng mga gawain.

Sa pagtatapos ng talatang ito, bigyang-pansin natin ang isa pang punto: sa pamamagitan ng paglitaw ng isang literal na pagpapahayag ay imposibleng malaman kung ang mga titik na kasama dito ay mga variable o hindi. Samakatuwid, walang pumipigil sa amin na isaalang-alang ang mga titik na ito bilang mga variable. Sa kasong ito, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga terminong "literal na expression" at "expression na may mga variable" ay nawawala.

Bibliograpiya.

• Math. 2 mga cell Proc. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyong may adj. sa isang elektron. carrier. Sa 2 o'clock, Part 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova at iba pa] - 3rd ed. - M.: Edukasyon, 2012. - 96 p.: may sakit. - (Paaralan ng Russia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Math: pag-aaral. para sa 5 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21st ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: may sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang literal na expression (o expression na may mga variable) ay isang mathematical expression na binubuo ng mga numero, letra, at sign ng mathematical operations. Halimbawa, literal ang sumusunod na expression:

a+b+4

Gamit ang mga literal na expression, maaari mong isulat ang mga batas, formula, equation, at function. Ang kakayahang manipulahin ang mga literal na expression ay ang susi sa isang mahusay na kaalaman sa algebra at mas mataas na matematika.

Anumang seryosong problema sa matematika ay bumababa sa paglutas ng mga equation. At upang malutas ang mga equation, kailangan mong magawang magtrabaho sa mga literal na expression.

Upang gumana sa mga literal na expression, kailangan mong pag-aralan nang mabuti ang pangunahing aritmetika: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, mga pangunahing batas ng matematika, mga fraction, mga aksyon na may mga fraction, mga proporsyon. At hindi lang para mag-aral, kundi intindihin ng maigi.

Nilalaman ng aralin

Mga variable

Ang mga titik na nakapaloob sa mga literal na pagpapahayag ay tinatawag mga variable. Halimbawa, sa expression a+b+ 4 na variable ay mga titik a at b. Kung sa halip na mga variable na ito ay pinapalitan namin ang anumang mga numero, pagkatapos ay ang literal na expression a+b+ 4 ay magiging isang numeric na expression, ang halaga nito ay makikita.

Tinatawag ang mga numerong pinapalitan ng mga variable variable na halaga. Halimbawa, baguhin natin ang mga halaga ng mga variable a at b. Gamitin ang equals sign para baguhin ang mga value

a = 2, b = 3

Binago namin ang mga halaga ng mga variable a at b. variable a nagtalaga ng halaga 2 , variable b nagtalaga ng halaga 3 . Bilang resulta, ang literal na pagpapahayag a+b+4 nagko-convert sa isang normal na numeric na expression 2+3+4 na ang halaga ay matatagpuan:

Kapag pinarami ang mga variable, isinusulat ang mga ito nang magkasama. Halimbawa, ang entry ab pareho ang ibig sabihin ng entry a x b. Kung papalitan natin sa halip na mga variable a at b numero 2 at 3 , pagkatapos ay makakakuha tayo ng 6

Magkasama, maaari mo ring isulat ang multiplikasyon ng isang numero sa isang expression sa mga bracket. Halimbawa, sa halip na a×(b + c) maaaring isulat a(b + c). Ang paglalapat ng distributive law of multiplication, nakukuha natin a(b + c)=ab+ac.

Odds

Sa literal na mga expression, madalas kang makakahanap ng notasyon kung saan ang isang numero at isang variable ay nakasulat nang magkasama, halimbawa 3a. Sa katunayan, ito ay isang shorthand para sa pagpaparami ng numero 3 sa isang variable. a at mukhang ang entry na ito 3×a .

Sa madaling salita, ang expression 3a ay ang produkto ng bilang 3 at ang variable a. Numero 3 sa gawaing ito ay tinatawag koepisyent. Ipinapakita ng koepisyent na ito kung gaano karaming beses tataas ang variable a. Ang ekspresyong ito ay mababasa bilang " a tatlong beses o tatlong beses a", o "dagdagan ang halaga ng variable a tatlong beses", ngunit kadalasang binabasa bilang "tatlo a«

Halimbawa, kung ang variable a ay katumbas ng 5 , pagkatapos ay ang halaga ng expression 3a ay magiging katumbas ng 15.

3 x 5 = 15

Sa simpleng mga termino, ang koepisyent ay ang numero na nauuna sa titik (bago ang variable).

Maaaring may ilang mga titik, halimbawa 5abc. Dito ang coefficient ay ang numero 5 . Ang koepisyent na ito ay nagpapakita na ang produkto ng mga variable abc tumataas ng limang beses. Ang ekspresyong ito ay mababasa bilang " abc limang beses" o "pataasin ang halaga ng expression abc limang beses" o "lima abc «.

Kung sa halip na mga variable abc palitan ang mga numero 2, 3 at 4, pagkatapos ay ang halaga ng expression 5abc ay magiging katumbas ng 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Maaari mong isipin kung paano unang pinarami ang mga numero 2, 3 at 4, at ang nagresultang halaga ay tumaas ng limang beses:

Ang tanda ng koepisyent ay tumutukoy lamang sa koepisyent, at hindi nalalapat sa mga variable.

Isaalang-alang ang expression −6b. Minus sa harap ng coefficient 6 , nalalapat lamang sa koepisyent 6 , at hindi nalalapat sa variable b. Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magpapahintulot sa iyo na huwag magkamali sa hinaharap na may mga palatandaan.

Hanapin ang halaga ng expression −6b sa b = 3.

−6b −6×b. Para sa kalinawan, isinusulat namin ang expression −6b sa pinalawak na anyo at palitan ang halaga ng variable b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng isang expression −6b sa b = −5

Isulat natin ang ekspresyon −6b sa pinalawak na anyo

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng isang expression −5a+b sa a = 3 at b = 2

−5a+b ay ang maikling anyo para sa −5 × a + b, samakatuwid, para sa kalinawan, isinusulat namin ang expression −5×a+b sa pinalawak na anyo at palitan ang mga halaga ng mga variable a at b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Minsan ang mga titik ay isinusulat nang walang koepisyent, halimbawa a o ab. Sa kasong ito, ang koepisyent ay isa:

ngunit ang yunit ay tradisyonal na hindi nakasulat, kaya sila ay sumusulat lamang a o ab

Kung mayroong isang minus bago ang titik, kung gayon ang koepisyent ay isang numero −1 . Halimbawa, ang expression -a actually mukhang −1a. Ito ang produkto ng minus one at ang variable a. Ito ay lumabas na ganito:

−1 × a = −1a

Narito ang isang maliit na trick. Sa ekspresyon -a minus bago ang variable a aktwal na tumutukoy sa "invisible unit" at hindi ang variable a. Samakatuwid, kapag nilutas ang mga problema, dapat kang maging maingat.

Halimbawa, ibinigay ang expression -a at hinihiling sa amin na hanapin ang halaga nito sa a = 2, pagkatapos sa paaralan ay pinalitan namin ang isang deuce sa halip na isang variable a at makakuha ng sagot −2 , hindi talaga tumututok sa kung paano ito naging. Sa katunayan, nagkaroon ng multiplication ng minus one sa positibong numero 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Kung ang isang expression ay ibinigay -a at ito ay kinakailangan upang mahanap ang halaga nito sa a = −2, pagkatapos ay pinapalitan namin −2 sa halip na isang variable a

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Upang maiwasan ang mga pagkakamali, sa una ang mga hindi nakikitang yunit ay maaaring isulat nang tahasan.

Halimbawa 4 Hanapin ang halaga ng isang expression abc sa a=2 , b=3 at c=4

Pagpapahayag abc 1×a×b×c. Para sa kalinawan, isinusulat namin ang expression abc a , b at c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Halimbawa 5 Hanapin ang halaga ng isang expression abc sa a=−2 , b=−3 at c=−4

Isulat natin ang ekspresyon abc sa pinalawak na anyo at palitan ang mga halaga ng mga variable a , b at c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Halimbawa 6 Hanapin ang halaga ng isang expression − abc sa a=3 , b=5 at c=7

Pagpapahayag − abc ay ang maikling anyo para sa −1×a×b×c. Para sa kalinawan, isinusulat namin ang expression − abc sa pinalawak na anyo at palitan ang mga halaga ng mga variable a , b at c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Halimbawa 7 Hanapin ang halaga ng isang expression − abc sa a=−2 , b=−4 at c=−3

Isulat natin ang ekspresyon − abc pinalawak:

−abc = −1 × a × b × c

Palitan ang halaga ng mga variable a , b at c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Paano matukoy ang koepisyent

Minsan kinakailangan upang malutas ang isang problema kung saan kinakailangan upang matukoy ang koepisyent ng isang expression. Sa prinsipyo, ang gawaing ito ay napaka-simple. Ito ay sapat na upang makapag-multiply nang tama ng mga numero.

Upang matukoy ang koepisyent sa isang expression, kailangan mong hiwalay na i-multiply ang mga numero na kasama sa expression na ito, at hiwalay na i-multiply ang mga titik. Ang resultang numerical factor ay ang coefficient.

Halimbawa 1 7m×5a×(−3)×n

Ang expression ay binubuo ng ilang mga kadahilanan. Ito ay malinaw na makikita kung ang ekspresyon ay nakasulat sa pinalawak na anyo. Ibig sabihin, gumagana 7m at 5a isulat sa form 7×m at 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Inilapat namin ang kaugnay na batas ng multiplikasyon, na nagbibigay-daan sa amin upang i-multiply ang mga kadahilanan sa anumang pagkakasunud-sunod. Ibig sabihin, hiwalay na i-multiply ang mga numero at hiwalay na i-multiply ang mga titik (mga variable):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Ang koepisyent ay −105 . Pagkatapos makumpleto, ang bahagi ng titik ay mas mainam na ayusin sa alpabetikong pagkakasunud-sunod:

−105 ng umaga

Halimbawa 2 Tukuyin ang coefficient sa expression: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Ang koepisyent ay 6.

Halimbawa 3 Tukuyin ang coefficient sa expression:

I-multiply natin ang mga numero at titik nang hiwalay:

Ang koepisyent ay −1. Pakitandaan na ang unit ay hindi naitala, dahil ang coefficient 1 ay karaniwang hindi naitala.

Ang mga tila simpleng gawaing ito ay maaaring maglaro ng isang napakalupit na biro sa atin. Madalas na lumalabas na ang tanda ng koepisyent ay naitakda nang hindi tama: alinman sa isang minus ay tinanggal o, sa kabaligtaran, ito ay itinakda nang walang kabuluhan. Upang maiwasan ang mga nakakainis na pagkakamali, dapat itong pag-aralan sa isang mahusay na antas.

Mga termino sa literal na pagpapahayag

Kapag nagdagdag ka ng ilang numero, makukuha mo ang kabuuan ng mga numerong iyon. Ang mga numerong nagdaragdag ay tinatawag na mga termino. Maaaring may ilang termino, halimbawa:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kapag ang isang expression ay binubuo ng mga termino, mas madaling kalkulahin ito, dahil mas madaling idagdag kaysa ibawas. Ngunit ang expression ay maaaring maglaman ng hindi lamang karagdagan, kundi pati na rin ang pagbabawas, halimbawa:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Sa expression na ito, ang mga numero 3 at 5 ay ibinabawas, hindi idinagdag. Ngunit walang pumipigil sa amin na palitan ang pagbabawas ng karagdagan. Pagkatapos ay muli tayong nakakakuha ng isang expression na binubuo ng mga termino:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Hindi mahalaga na ang mga numero -3 at -5 ay may minus sign na. Ang pangunahing bagay ay ang lahat ng mga numero sa expression na ito ay konektado sa pamamagitan ng karagdagan sign, iyon ay, ang expression ay isang kabuuan.

Parehong expression 1 + 2 − 3 + 4 − 5 at 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) ay katumbas ng parehong halaga - minus one

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Kaya, ang halaga ng expression ay hindi magdurusa mula sa katotohanan na pinapalitan natin ang pagbabawas ng karagdagan sa isang lugar.

Maaari mo ring palitan ang pagbabawas ng karagdagan sa mga literal na expression. Halimbawa, isaalang-alang ang sumusunod na expression:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Para sa anumang mga halaga ng mga variable a B C D at s mga ekspresyon 7a + 6b - 3c + 2d - 4s at 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) ay magiging katumbas ng parehong halaga.

Dapat kang maging handa para sa katotohanan na ang isang guro sa paaralan o isang guro sa isang institute ay maaaring tumawag sa mga termino kahit na ang mga numero (o mga variable) na hindi sila.

Halimbawa, kung ang pagkakaiba ay nakasulat sa pisara a-b, tapos hindi sasabihin ng teacher yan a ay ang minuend, at b- mababawas. Tatawagin niya ang parehong mga variable ng isang karaniwang salita - mga tuntunin. At lahat dahil ang pagpapahayag ng anyo a-b mathematician nakikita kung paano ang kabuuan a + (−b). Sa kasong ito, ang expression ay nagiging isang kabuuan, at ang mga variable a at (−b) maging mga sangkap.

Mga katulad na termino

Mga katulad na termino ay mga terminong may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, isaalang-alang ang expression 7a + 6b + 2a. Mga tuntunin 7a at 2a magkaroon ng parehong bahagi ng titik - variable a. Kaya ang mga tuntunin 7a at 2a ay pareho.

Karaniwan, ang mga katulad na termino ay idinaragdag upang pasimplehin ang isang expression o lutasin ang isang equation. Ang operasyong ito ay tinatawag pagbabawas ng mga katulad na termino.

Upang magdala ng mga katulad na termino, kailangan mong idagdag ang mga coefficient ng mga terminong ito, at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik.

Halimbawa, nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa expression 3a + 4a + 5a. Sa kasong ito, ang lahat ng mga termino ay magkatulad. Idinaragdag namin ang kanilang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik - sa variable a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Ang ganitong mga termino ay karaniwang ibinibigay sa isip at ang resulta ay naitala kaagad:

3a + 4a + 5a = 12a

Gayundin, maaari kang makipagtalo tulad nito:

Mayroong 3 variable a , 4 pang variable a at 5 pang variable a ang idinagdag sa kanila. Bilang resulta, nakakuha kami ng 12 variable a

Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa ng pagbabawas ng mga katulad na termino. Isinasaalang-alang na ang paksang ito ay napakahalaga, sa una ay isusulat namin nang detalyado ang bawat detalye. Sa kabila ng katotohanan na ang lahat ay napaka-simple dito, karamihan sa mga tao ay gumagawa ng maraming pagkakamali. Karamihan ay dahil sa kawalan ng pansin, hindi kamangmangan.

Halimbawa 1 3isang + 2isang + 6isang + 8a

Idinaragdag namin ang mga coefficient sa expression na ito at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

3isang + 2isang + 6isang + 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19a

Konstruksyon (3 + 2 + 6 + 8) × a hindi mo maisulat, kaya agad naming isusulat ang sagot

3 isang + 2 isang + 6 isang + 8 a = 19 a

Halimbawa 2 Magdala ng mga katulad na termino sa expression 2a+a

Pangalawang termino a nakasulat na walang koepisyent, ngunit sa katunayan ito ay nauuna sa isang koepisyent 1 , na hindi natin nakikita dahil sa katotohanang hindi ito naitala. Kaya ang expression ay ganito ang hitsura:

2a + 1a

Ngayon ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino. Iyon ay, idinagdag namin ang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Isulat natin ang solusyon sa maikling salita:

2a + a = 3a

2a+a, maaari kang makipagtalo sa ibang paraan:

Halimbawa 3 Magdala ng mga katulad na termino sa expression 2a - a

Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan:

2a + (−a)

Pangalawang termino (−a) nakasulat na walang koepisyent, ngunit sa katunayan ito ay parang (−1a). Coefficient −1 muli invisible dahil sa ang katunayan na ito ay hindi naitala. Kaya ang expression ay ganito ang hitsura:

2a + (−1a)

Ngayon ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino. Idinaragdag namin ang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Karaniwang isinusulat nang mas maikli:

2a − a = a

Nagdadala ng mga katulad na termino sa expression 2a−a Maaari ka ring makipagtalo sa ibang paraan:

Mayroong 2 variable a , ibinawas ang isang variable a , bilang resulta nagkaroon lamang ng isang variable a

Halimbawa 4 Magdala ng mga katulad na termino sa expression 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Ngayon ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino. Idagdag ang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Isulat natin ang solusyon sa maikling salita:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

May mga expression na naglalaman ng ilang magkakaibang grupo ng magkatulad na termino. Halimbawa, 3a + 3b + 7a + 2b. Para sa gayong mga expression, ang parehong mga patakaran ay nalalapat tulad ng para sa iba, ibig sabihin, pagdaragdag ng mga coefficient at pagpaparami ng resulta sa karaniwang bahagi ng titik. Ngunit upang maiwasan ang mga pagkakamali, maginhawang salungguhitan ang iba't ibang grupo ng mga termino na may iba't ibang linya.

Halimbawa, sa expression 3a + 3b + 7a + 2b yaong mga terminong naglalaman ng variable a, ay maaaring salungguhitan ng isang linya, at ang mga terminong iyon na naglalaman ng variable b, ay maaaring salungguhitan ng dalawang linya:

Ngayon ay maaari tayong magdala ng mga katulad na termino. Iyon ay, idagdag ang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik. Dapat itong gawin para sa parehong pangkat ng mga termino: para sa mga terminong naglalaman ng variable a at para sa mga terminong naglalaman ng variable b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Muli, inuulit namin, ang pagpapahayag ay simple, at ang mga katulad na termino ay maaaring ibigay sa isip:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Halimbawa 5 Magdala ng mga katulad na termino sa expression 5a - 6a - 7b + b

Pinapalitan namin ang pagbabawas ng karagdagan kung posible:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Salungguhitan tulad ng mga termino na may magkakaibang linya. Mga tuntuning naglalaman ng mga variable a salungguhitan na may isang linya, at ang mga terminong naglalaman ng mga variable b, na may salungguhit na may dalawang linya:

Ngayon ay maaari tayong magdala ng mga katulad na termino. Iyon ay, idagdag ang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Kung ang expression ay naglalaman ng mga ordinaryong numero na walang alpabetikong mga kadahilanan, pagkatapos ay idinagdag ang mga ito nang hiwalay.

Halimbawa 6 Magdala ng mga katulad na termino sa expression 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan kung posible:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Ipakita natin ang mga katulad na termino. Numero −5 at 7 walang literal na mga kadahilanan, ngunit ang mga ito ay magkatulad na mga termino - kailangan mo lamang idagdag ang mga ito. At ang termino 2b ay mananatiling hindi magbabago, dahil ito lamang ang nasa ekspresyong ito na may salik ng titik b, at walang maidaragdag dito:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Isulat natin ang solusyon sa maikling salita:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Maaaring i-order ang mga termino upang ang mga terminong iyon na may parehong bahagi ng titik ay matatagpuan sa parehong bahagi ng expression.

Halimbawa 7 Magdala ng mga katulad na termino sa expression 5t+2x+3x+5t+x

Dahil ang expression ay ang kabuuan ng ilang mga termino, ito ay nagbibigay-daan sa amin upang suriin ito sa anumang pagkakasunud-sunod. Samakatuwid, ang mga terminong naglalaman ng variable t, ay maaaring isulat sa simula ng expression, at ang mga terminong naglalaman ng variable x sa dulo ng expression:

5t+5t+2x+3x+x

Ngayon ay maaari tayong magdagdag ng mga katulad na termino:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Isulat natin ang solusyon sa maikling salita:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Ang kabuuan ng magkasalungat na numero ay zero. Gumagana rin ang panuntunang ito para sa mga literal na expression. Kung ang expression ay naglalaman ng parehong mga termino, ngunit may kabaligtaran na mga palatandaan, maaari mong alisin ang mga ito sa yugto ng pagbabawas ng mga katulad na termino. Sa madaling salita, i-drop lamang ang mga ito mula sa expression dahil ang kanilang kabuuan ay zero.

Halimbawa 8 Magdala ng mga katulad na termino sa expression 3t − 4t − 3t + 2t

Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan kung posible:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Mga tuntunin 3t at (−3t) ay kabaligtaran. Ang kabuuan ng magkasalungat na termino ay katumbas ng zero. Kung aalisin natin ang zero na ito sa expression, hindi magbabago ang value ng expression, kaya aalisin natin ito. At aalisin namin ito sa pamamagitan ng karaniwang pagtanggal ng mga tuntunin 3t at (−3t)

Bilang resulta, magkakaroon tayo ng expression (−4t) + 2t. Sa expression na ito, maaari kang magdagdag ng mga katulad na termino at makuha ang huling sagot:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Isulat natin ang solusyon sa maikling salita:

Pagpapasimple ng pagpapahayag

"pasimplehin ang expression" at ang sumusunod ay ang pagpapahayag na dapat gawing simple. Pasimplehin ang Expression ibig sabihin ay gawing mas simple at mas maikli.

Sa katunayan, napag-usapan na natin ang pagpapasimple ng mga expression kapag binabawasan ang mga fraction. Pagkatapos ng pagbabawas, ang fraction ay naging mas maikli at mas madaling basahin.

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa. Pasimplehin ang expression.

Ang gawaing ito ay maaaring literal na maunawaan tulad ng sumusunod: "Gawin ang anumang maaari mong gawin sa expression na ito, ngunit gawin itong mas simple" .

Sa kasong ito, maaari mong bawasan ang fraction, ibig sabihin, hatiin ang numerator at denominator ng fraction ng 2:

Ano pa bang pwedeng gawin? Maaari mong kalkulahin ang resultang fraction. Pagkatapos makuha namin ang decimal 0.5

Bilang resulta, ang fraction ay pinasimple sa 0.5.

Ang unang tanong na itatanong sa iyong sarili kapag nilutas ang mga naturang problema ay dapat "anong pwedeng gawin?" . Dahil may mga bagay na kaya mong gawin at may mga bagay na hindi mo kayang gawin.

Ang isa pang mahalagang punto na dapat tandaan ay ang halaga ng isang expression ay hindi dapat magbago pagkatapos na ang expression ay pinasimple. Balik tayo sa expression. Ang expression na ito ay isang dibisyon na maaaring isagawa. Matapos maisagawa ang dibisyong ito, nakuha namin ang halaga ng expression na ito, na katumbas ng 0.5

Ngunit pinasimple namin ang expression at nakakuha ng bagong pinasimpleng expression. Ang halaga ng bagong pinasimpleng expression ay 0.5 pa rin

Ngunit sinubukan din naming gawing simple ang expression sa pamamagitan ng pagkalkula nito. Bilang resulta, ang huling sagot ay 0.5.

Kaya, gaano man natin gawing simple ang expression, ang halaga ng mga resultang expression ay 0.5 pa rin. Nangangahulugan ito na ang pagpapasimple ay naisagawa nang tama sa bawat yugto. Ito ang kailangan nating pagsikapan kapag pinasimple ang mga expression - ang kahulugan ng expression ay hindi dapat magdusa mula sa ating mga aksyon.

Kadalasang kinakailangan na gawing simple ang mga literal na pagpapahayag. Para sa kanila, ang parehong mga panuntunan sa pagpapasimple ay nalalapat tulad ng para sa mga numerical na expression. Maaari kang magsagawa ng anumang wastong pagkilos, hangga't hindi nagbabago ang halaga ng expression.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 1 Pasimplehin ang Expression 5.21s × t × 2.5

Upang gawing simple ang expression na ito, maaari mong i-multiply nang hiwalay ang mga numero at hiwalay na i-multiply ang mga titik. Ang gawaing ito ay halos kapareho sa isa na aming isinasaalang-alang noong natutunan naming matukoy ang koepisyent:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

Kaya ang expression 5.21s × t × 2.5 pinasimple sa ika-13.025.

Halimbawa 2 Pasimplehin ang Expression −0.4×(−6.3b)×2

Pangalawang gawain (−6.3b) maaaring isalin sa isang anyo na naiintindihan natin, ibig sabihin, nakasulat sa anyo ( −6.3)×b , pagkatapos ay hiwalay na i-multiply ang mga numero at hiwalay na i-multiply ang mga titik:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

Kaya ang expression −0.4×(−6.3b)×2 pinasimple sa 5.04b

Halimbawa 3 Pasimplehin ang Expression

Isulat natin ang expression na ito nang mas detalyado upang malinaw na makita kung nasaan ang mga numero at kung nasaan ang mga titik:

Ngayon ay pinarami namin ang mga numero nang hiwalay at i-multiply ang mga titik nang hiwalay:

Kaya ang expression pinasimple sa −abc. Ang solusyon na ito ay maaaring maisulat nang mas maikli:

Kapag pinasimple ang mga expression, ang mga fraction ay maaaring bawasan sa proseso ng paglutas, at hindi sa pinakadulo, tulad ng ginawa natin sa mga ordinaryong fraction. Halimbawa, kung sa kurso ng paglutas ay nakatagpo tayo ng isang expression ng form , kung gayon hindi kinakailangan na kalkulahin ang numerator at denominator at gumawa ng isang bagay tulad nito:

Ang isang fraction ay maaaring bawasan sa pamamagitan ng pagpili ng parehong factor sa numerator at denominator at pagbabawas ng mga salik na ito sa pamamagitan ng kanilang pinakamalaking karaniwang divisor. Sa madaling salita, gamitin ang , kung saan hindi namin inilalarawan nang detalyado kung saan nahahati ang numerator at denominator.

Halimbawa, sa numerator, ang factor 12 at sa denominator, ang factor 4 ay maaaring bawasan ng 4. Pinananatili natin ang apat sa ating isipan, at hinahati ang 12 at 4 sa apat na ito, isinusulat natin ang mga sagot sa tabi ng mga numerong ito, na dati nang natawid ang mga ito

Ngayon ay maaari mong i-multiply ang mga resultang maliliit na salik. Sa kasong ito, hindi marami sa kanila at maaari mong i-multiply ang mga ito sa iyong isip:

Sa paglipas ng panahon, maaari mong makita na kapag nilutas ang isang partikular na problema, ang mga expression ay nagsisimulang "tumaba", kaya ipinapayong masanay sa mabilis na mga kalkulasyon. Kung ano ang maaaring kalkulahin sa isip ay dapat kalkulahin sa isip. Kung ano ang mabilis maputol ay dapat maputol ng mabilis.

Halimbawa 4 Pasimplehin ang Expression

Kaya ang expression pinasimple sa

Halimbawa 5 Pasimplehin ang Expression

Hiwalay kaming nagpaparami ng mga numero at hiwalay na mga titik:

Kaya ang expression pinasimple sa mn.

Halimbawa 6 Pasimplehin ang Expression

Isulat natin ang expression na ito nang mas detalyado upang malinaw na makita kung nasaan ang mga numero at kung nasaan ang mga titik:

Ngayon ay pinarami namin ang mga numero nang hiwalay at ang mga titik nang hiwalay. Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, ang decimal na fraction −6.4 at ang mixed number ay maaaring ma-convert sa ordinaryong mga fraction:

Kaya ang expression pinasimple sa

Ang solusyon para sa halimbawang ito ay maaaring maisulat nang mas maikli. Magiging ganito ang hitsura:

Halimbawa 7 Pasimplehin ang Expression

Hiwalay kaming nagpaparami ng mga numero at magkahiwalay na titik. Para sa kaginhawaan ng pagkalkula, ang pinaghalong numero at mga decimal na fraction 0.1 at 0.6 ay maaaring ma-convert sa mga ordinaryong fraction:

Kaya ang expression pinasimple sa a B C D. Kung laktawan mo ang mga detalye, ang solusyon na ito ay maaaring maisulat nang mas maikli:

Pansinin kung paano nabawasan ang fraction. Ang mga bagong multiplier, na nakukuha sa pamamagitan ng pagbabawas sa mga nakaraang multiplier, ay maaari ding bawasan.

Ngayon ay pag-usapan natin kung ano ang hindi dapat gawin. Kapag pinasimple ang mga expression, mahigpit na ipinagbabawal ang pagpaparami ng mga numero at titik kung ang expression ay isang kabuuan at hindi isang produkto.

Halimbawa, kung gusto mong gawing simple ang expression 5a + 4b, kung gayon hindi ito maaaring isulat bilang sumusunod:

Katumbas ito ng katotohanan na kung hihilingin sa amin na magdagdag ng dalawang numero, at i-multiply namin ang mga ito sa halip na idagdag ang mga ito.

Kapag pinapalitan ang anumang mga halaga ng mga variable a at b pagpapahayag 5a+4b nagiging isang simpleng numeric na expression. Ipagpalagay natin ang mga variable a at b may mga sumusunod na kahulugan:

a = 2 , b = 3

Pagkatapos ang halaga ng expression ay magiging 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Una, isinasagawa ang pagpaparami, at pagkatapos ay idinagdag ang mga resulta. At kung sinubukan naming gawing simple ang expression na ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga numero at titik, makukuha namin ang sumusunod:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Ito ay lumiliko ng isang ganap na naiibang kahulugan ng expression. Sa unang kaso ito pala 22 , sa pangalawang kaso 120 . Nangangahulugan ito na ang pagpapasimple ng expression 5a + 4b ay ginawa nang hindi tama.

Matapos gawing simple ang expression, ang halaga nito ay hindi dapat magbago sa parehong mga halaga ng mga variable. Kung, kapag pinapalitan ang anumang mga variable na halaga sa orihinal na expression, ang isang halaga ay nakuha, pagkatapos ay pagkatapos na gawing simple ang expression, ang parehong halaga ay dapat makuha tulad ng bago ang pagpapasimple.

Sa pagpapahayag 5a + 4b actually walang magawa. Hindi ito nagiging mas madali.

Kung ang expression ay naglalaman ng mga katulad na termino, maaari silang idagdag kung ang layunin namin ay gawing simple ang expression.

Halimbawa 8 Pasimplehin ang Expression 0.3a−0.4a+a

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

o mas maikli: 0.3a - 0.4a + a = 0.9a

Kaya ang expression 0.3a−0.4a+a pinasimple sa 0.9a

Halimbawa 9 Pasimplehin ang Expression −7.5a − 2.5b + 4a

Upang pasimplehin ang expression na ito, maaari kang magdagdag ng mga katulad na termino:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

o mas maikli −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

termino (−2.5b) nanatiling hindi nabago, dahil walang dapat itiklop dito.

Halimbawa 10 Pasimplehin ang Expression

Upang pasimplehin ang expression na ito, maaari kang magdagdag ng mga katulad na termino:

Ang koepisyent ay para sa kaginhawaan ng pagkalkula.

Kaya ang expression pinasimple sa

Halimbawa 11. Pasimplehin ang Expression

Upang pasimplehin ang expression na ito, maaari kang magdagdag ng mga katulad na termino:

Kaya ang expression pinasimple sa .

Sa halimbawang ito, mas makatuwirang idagdag muna ang una at huling koepisyent. Sa kasong ito, makakakuha tayo ng isang maikling solusyon. Ito ay magiging ganito:

Halimbawa 12. Pasimplehin ang Expression

Upang pasimplehin ang expression na ito, maaari kang magdagdag ng mga katulad na termino:

Kaya ang expression pinasimple sa .

Ang termino ay nanatiling hindi nabago, dahil walang idadagdag dito.

Ang solusyon na ito ay maaaring maisulat nang mas maikli. Magiging ganito ang hitsura:

Inalis ng maikling solusyon ang mga hakbang ng pagpapalit ng pagbabawas ng karagdagan at isang detalyadong talaan kung paano nabawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang isa pang pagkakaiba ay na sa detalyadong solusyon, ang sagot ay parang , ngunit sa madaling salita bilang . Sa totoo lang, pareho lang ang expression nito. Ang pagkakaiba ay sa unang kaso, ang pagbabawas ay pinalitan ng karagdagan, dahil sa simula, nang isulat namin ang solusyon nang detalyado, pinalitan namin ang pagbabawas ng karagdagan hangga't maaari, at ang kapalit na ito ay napanatili para sa sagot.

Mga pagkakakilanlan. Magkaparehong pantay na mga ekspresyon

Pagkatapos naming gawing simple ang anumang expression, ito ay nagiging mas simple at mas maikli. Upang suriin kung ang expression ay pinasimple nang tama, ito ay sapat na upang palitan ang anumang mga halaga ng mga variable muna sa nakaraang expression, na kung saan ay kinakailangan upang pasimplehin, at pagkatapos ay sa bago, na kung saan ay pinasimple. Kung ang halaga sa parehong mga expression ay pareho, ang expression ay pinasimple nang tama.

Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng halimbawa. Hayaang kailanganin na gawing simple ang expression 2a × 7b. Upang gawing simple ang expression na ito, maaari mong hiwalay na i-multiply ang mga numero at titik:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Suriin natin kung pinasimple natin nang tama ang expression. Upang gawin ito, palitan ang anumang mga halaga ng mga variable a at b una sa unang expression, na kailangang gawing simple, at pagkatapos ay sa pangalawa, na pinasimple.

Hayaan ang mga halaga ng mga variable a , b ay ang mga sumusunod:

a = 4 , b = 5

Palitan ang mga ito sa unang expression 2a × 7b

Ngayon ay palitan natin ang parehong mga halaga ng mga variable sa expression na nagresulta mula sa pagpapasimple 2a×7b, lalo na sa expression 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Nakikita natin iyon sa a=4 at b=5 ang halaga ng unang pagpapahayag 2a×7b at ang halaga ng pangalawang expression 14ab pantay

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Ang parehong ay mangyayari para sa anumang iba pang mga halaga. Halimbawa, hayaan a=1 at b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Kaya, para sa anumang mga halaga ng mga variable, ang mga expression 2a×7b at 14ab ay katumbas ng parehong halaga. Ang mga ganitong ekspresyon ay tinatawag magkaparehong pantay.

Napagpasyahan namin na sa pagitan ng mga expression 2a×7b at 14ab maaari kang maglagay ng pantay na senyales, dahil ang mga ito ay katumbas ng parehong halaga.

2a × 7b = 14ab

Ang pagkakapantay-pantay ay anumang ekspresyong pinagdugtong ng pantay na tanda (=).

At ang pagkakapantay-pantay ng anyo 2a×7b = 14ab tinawag pagkakakilanlan.

Ang pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na totoo para sa anumang mga halaga ng mga variable.

Iba pang mga halimbawa ng pagkakakilanlan:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Oo, ang mga batas ng matematika na aming pinag-aralan ay mga pagkakakilanlan.

Ang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero ay mga pagkakakilanlan din. Halimbawa:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Kapag nilulutas ang isang kumplikadong problema, upang mapadali ang pagkalkula, ang kumplikadong expression ay pinapalitan ng isang mas simpleng expression na kaparehong katumbas ng nauna. Ang ganitong kapalit ay tinatawag magkaparehong pagbabago ng ekspresyon o simple lang conversion ng expression.

Halimbawa, pinasimple namin ang expression 2a × 7b, at makakuha ng mas simpleng expression 14ab. Ang pagpapasimpleng ito ay maaaring tawaging pagbabago ng pagkakakilanlan.

Madalas mong mahahanap ang isang gawain na nagsasabing "patunayan na ang pagkakapantay-pantay ay pagkakakilanlan" at pagkatapos ay ibibigay ang pagkakapantay-pantay na patunayan. Kadalasan ang pagkakapantay-pantay na ito ay binubuo ng dalawang bahagi: ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay. Ang aming gawain ay magsagawa ng magkatulad na pagbabago sa isa sa mga bahagi ng pagkakapantay-pantay at makuha ang iba pang bahagi. O magsagawa ng magkaparehong pagbabago sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay at siguraduhing ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng parehong mga expression.

Halimbawa, patunayan natin na ang pagkakapantay-pantay 0.5a × 5b = 2.5ab ay isang pagkakakilanlan.

Pasimplehin ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito. Upang gawin ito, i-multiply nang hiwalay ang mga numero at titik:

0.5 × 5 × a × b = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

Bilang resulta ng isang maliit na pagbabago ng pagkakakilanlan, ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay naging katumbas ng kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay. Kaya napatunayan natin na ang pagkakapantay-pantay 0.5a × 5b = 2.5ab ay isang pagkakakilanlan.

Mula sa magkatulad na pagbabago, natutunan nating magdagdag, magbawas, mag-multiply at maghati ng mga numero, bawasan ang mga fraction, magdala ng mga katulad na termino, at pasimplehin din ang ilang mga expression.

Ngunit ang mga ito ay malayo sa lahat ng magkatulad na pagbabagong umiiral sa matematika. Marami pang magkakaparehong pagbabago. Muli at muli nating makikita ito sa hinaharap.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Nagustuhan mo ba ang aralin?
Sumali sa aming bagong pangkat ng Vkontakte at magsimulang makatanggap ng mga abiso ng mga bagong aralin

Mga expression, conversion ng expression

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan (mga ekspresyong may kapangyarihan) at ang kanilang pagbabago

Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan. Una, tututuon natin ang mga pagbabagong ginagawa gamit ang anumang uri ng mga expression, kabilang ang mga power expression, gaya ng pagbubukas ng mga bracket, na binabawasan ang mga katulad na termino. At pagkatapos ay susuriin namin ang mga pagbabagong likas na partikular sa mga expression na may mga degree: nagtatrabaho sa base at exponent, gamit ang mga katangian ng mga degree, atbp.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang Power Expressions?

Ang terminong "mga expression ng kapangyarihan" ay halos hindi matatagpuan sa mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan, ngunit madalas itong lumilitaw sa mga koleksyon ng mga gawain, lalo na idinisenyo upang maghanda para sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri at ang OGE, halimbawa,. Pagkatapos suriin ang mga gawain kung saan kinakailangan na magsagawa ng anumang mga aksyon na may mga power expression, nagiging malinaw na ang mga power expression ay nauunawaan bilang mga expression na naglalaman ng mga degree sa kanilang mga entry. Samakatuwid, para sa iyong sarili, maaari mong kunin ang sumusunod na kahulugan:

Kahulugan.

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay mga ekspresyong naglalaman ng mga kapangyarihan.

Dalhin natin mga halimbawa ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Bukod dito, kakatawanin namin sila ayon sa kung paano nagaganap ang pagbuo ng mga pananaw mula sa isang degree na may natural na indicator hanggang sa isang degree na may totoong indicator.

Tulad ng alam mo, una ay mayroong isang kakilala sa antas ng isang numero na may natural na exponent, sa yugtong ito ang unang pinakasimpleng mga expression ng kapangyarihan ng uri 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atbp.

Maya-maya, pinag-aralan ang kapangyarihan ng isang numero na may integer exponent, na humahantong sa paglitaw ng mga power expression na may negatibong integer na kapangyarihan, tulad ng sumusunod: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Sa mga senior class, muli silang bumalik sa mga degree. Doon, ipinakilala ang isang degree na may rational exponent, na humahantong sa paglitaw ng kaukulang mga expression ng kapangyarihan: , , atbp. Panghuli, ang mga degree na may mga hindi makatwirang exponent at mga expression na naglalaman ng mga ito ay isinasaalang-alang: , .

Ang usapin ay hindi limitado sa nakalistang mga expression ng kapangyarihan: lalo pang tumagos ang variable sa exponent, at mayroong, halimbawa, mga ganitong expression na 2 x 2 +1 o . At pagkatapos na makilala, ang mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms ay nagsisimulang lumitaw, halimbawa, x 2 lgx −5 x lgx.

Kaya, nalaman namin ang tanong kung ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susunod, matututunan natin kung paano baguhin ang mga ito.

Ang mga pangunahing uri ng mga pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan

Gamit ang mga power expression, maaari mong gawin ang alinman sa mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression. Halimbawa, maaari mong palawakin ang mga bracket, palitan ang mga numeric na expression ng kanilang mga halaga, magdagdag ng mga katulad na termino, at iba pa. Naturally, sa kasong ito kinakailangan na sundin ang tinatanggap na pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga aksyon. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng power expression 2 3 ·(4 2 −12) .

Solusyon.

Ayon sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, ginagawa muna namin ang mga aksyon sa mga bracket. Doon, una, pinapalitan namin ang kapangyarihan ng 4 2 sa halaga nito na 16 (tingnan kung kinakailangan), at pangalawa, kinakalkula namin ang pagkakaiba 16−12=4 . Meron kami 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Sa resultang expression, pinapalitan namin ang kapangyarihan ng 2 3 ng halaga nito 8 , pagkatapos ay kalkulahin namin ang produkto 8·4=32 . Ito ang nais na halaga.

Kaya, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Sagot:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expressions 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solusyon.

Malinaw, ang ekspresyong ito ay naglalaman ng magkatulad na mga termino 3 · a 4 · b − 7 at 2 · a 4 · b − 7 , at maaari nating bawasan ang mga ito: .

Sagot:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Halimbawa.

Ipahayag ang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan bilang isang produkto.

Solusyon.

Upang makayanan ang gawain ay nagbibigay-daan sa representasyon ng numero 9 bilang isang kapangyarihan ng 3 2 at ang kasunod na paggamit ng pinaikling formula ng pagpaparami, ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

Mayroon ding ilang magkakaparehong pagbabagong likas sa mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susunod, susuriin natin ang mga ito.

Paggawa gamit ang base at exponent

Mayroong mga degree, sa batayan at / o tagapagpahiwatig na hindi lamang mga numero o variable, ngunit ilang mga expression. Bilang halimbawa, isulat natin ang (2+0.3 7) 5−3.7 at (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Kapag nagtatrabaho sa gayong mga expression, posibleng palitan ang parehong expression sa base ng degree at ang expression sa indicator na may magkaparehong pantay na expression sa DPV ng mga variable nito. Sa madaling salita, ayon sa mga patakaran na kilala sa amin, maaari naming hiwalay na i-convert ang base ng antas, at hiwalay - ang tagapagpahiwatig. Malinaw na bilang resulta ng pagbabagong ito, nakuha ang isang expression na kapareho ng orihinal.

Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapahintulot sa amin na pasimplehin ang mga expression na may mga kapangyarihan o makamit ang iba pang mga layunin na kailangan namin. Halimbawa, sa power expression (2+0.3 7) 5−3.7 na binanggit sa itaas, maaari kang magsagawa ng mga operasyon na may mga numero sa base at exponent, na magbibigay-daan sa iyong pumunta sa kapangyarihan ng 4.1 1.3. At pagkatapos buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino sa base ng degree (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) nakakakuha tayo ng power expression ng isang mas simpleng anyo a 2 (x+1) .

Paggamit ng Power Properties

Ang isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may kapangyarihan ay ang mga pagkakapantay-pantay na sumasalamin sa . Alalahanin natin ang mga pangunahing. Para sa anumang positibong numero a at b at arbitrary na tunay na mga numero r at s, ang mga sumusunod na katangian ng kapangyarihan ay nagtataglay:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Tandaan na para sa natural, integer, at positibong exponent, maaaring hindi masyadong mahigpit ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b. Halimbawa, para sa mga natural na numerong m at n, ang pagkakapantay-pantay a m a n =a m+n ay totoo hindi lamang para sa positibong a , kundi pati na rin sa mga negatibo, at para sa a=0 .

Sa paaralan, ang pangunahing pansin sa pagbabago ng mga ekspresyon ng kapangyarihan ay tiyak na nakatuon sa kakayahang pumili ng naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama. Sa kasong ito, ang mga base ng mga degree ay karaniwang positibo, na nagpapahintulot sa iyo na gamitin ang mga katangian ng mga degree nang walang mga paghihigpit. Ang parehong naaangkop sa pagbabagong-anyo ng mga expression na naglalaman ng mga variable sa mga base ng degree - ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable ay kadalasang tulad na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga dito, na nagpapahintulot sa iyo na malayang gamitin ang mga katangian. ng mga degree. Sa pangkalahatan, kailangan mong patuloy na tanungin ang iyong sarili kung posible bang mag-aplay ng anumang ari-arian ng mga degree sa kasong ito, dahil ang hindi tumpak na paggamit ng mga ari-arian ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng ODZ at iba pang mga problema. Ang mga puntong ito ay tinalakay nang detalyado at may mga halimbawa sa artikulong pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng mga degree. Dito ikukulong natin ang ating sarili sa ilang simpleng halimbawa.

Halimbawa.

Ipahayag ang expression na a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 bilang isang kapangyarihan na may base a .

Solusyon.

Una, binabago natin ang pangalawang salik (a 2) −3 sa pamamagitan ng pag-aari ng pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Sa kasong ito, ang paunang pagpapahayag ng kapangyarihan ay kukuha ng anyong 2.5 ·a −6:a −5.5 . Malinaw, ito ay nananatiling gamitin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, mayroon tayo
isang 2.5 a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Sagot:

isang 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Ginagamit ang mga power properties kapag binabago ang mga power expression mula kaliwa pakanan at mula kanan papuntang kaliwa.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng pagpapahayag ng kapangyarihan.

Solusyon.

Ang pagkakapantay-pantay (a·b) r =a r ·b r , na inilapat mula kanan pakaliwa, ay nagbibigay-daan sa iyong pumunta mula sa orihinal na expression patungo sa produkto ng form at higit pa. At kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag: .

Posibleng isagawa ang pagbabago ng orihinal na expression sa ibang paraan:

Sagot:

.

Halimbawa.

Dahil sa power expression a 1.5 −a 0.5 −6 , magpasok ng bagong variable t=a 0.5 .

Solusyon.

Ang degree a 1.5 ay maaaring katawanin bilang isang 0.5 3 at higit pa sa batayan ng pag-aari ng degree sa degree (a r) s =a r s na inilapat mula kanan pakaliwa, i-convert ito sa form (a 0.5) 3 . Sa ganitong paraan, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. Ngayon ay madaling magpakilala ng bagong variable t=a 0.5 , nakukuha natin ang t 3 −t−6 .

Sagot:

t 3 −t−6 .

Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan

Ang mga power expression ay maaaring maglaman ng mga fraction na may kapangyarihan o kumakatawan sa mga naturang fraction. Ang alinman sa mga pangunahing pagbabago ng fraction na likas sa mga fraction ng anumang uri ay ganap na naaangkop sa mga naturang fraction. Iyon ay, ang mga fraction na naglalaman ng mga degree ay maaaring bawasan, bawasan sa isang bagong denominator, gumana nang hiwalay sa kanilang numerator at hiwalay sa denominator, atbp. Upang ilarawan ang mga salita sa itaas, isaalang-alang ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa.

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Ang power expression na ito ay isang fraction. Gawin natin ang numerator at denominator nito. Sa numerator, binubuksan namin ang mga bracket at pinasimple ang expression na nakuha pagkatapos nito gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, at sa denominator ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino:

At binabago din namin ang tanda ng denominator sa pamamagitan ng paglalagay ng minus sa harap ng fraction: .

Sagot:

.

Ang pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan sa isang bagong denominator ay isinasagawa katulad ng pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator. Kasabay nito, ang isang karagdagang kadahilanan ay matatagpuan din at ang numerator at denominator ng fraction ay pinarami nito. Kapag ginagawa ang pagkilos na ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang pagbawas sa isang bagong denominator ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng DPV. Upang maiwasang mangyari ito, kinakailangan na ang karagdagang kadahilanan ay hindi maglaho para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.

Halimbawa.

Dalhin ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) sa denominator a, b) sa denominator.

Solusyon.

a) Sa kasong ito, medyo madaling malaman kung anong karagdagang kadahilanan ang nakakatulong upang makamit ang ninanais na resulta. Ito ay isang salik a 0.3, dahil ang isang 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a . Tandaan na sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable a (ito ang set ng lahat ng positibong tunay na numero), ang degree na 0.3 ay hindi nawawala, samakatuwid, may karapatan tayong i-multiply ang numerator at denominator ng ibinigay na fraction sa pamamagitan ng karagdagang salik na ito:

b) Kung titingnang mabuti ang denominator, makikita natin iyon

at ang pagpaparami ng expression na ito sa ay magbibigay ng kabuuan ng mga cube at , iyon ay, . At ito ang bagong denominator kung saan kailangan nating dalhin ang orihinal na fraction.

Kaya nakakita kami ng karagdagang kadahilanan. Ang expression ay hindi nawawala sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable na x at y, samakatuwid, maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan nito:

Sagot:

a) , b) .

Wala ring bago sa pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga degree: ang numerator at denominator ay kinakatawan bilang isang tiyak na bilang ng mga kadahilanan, at ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator ay nababawasan.

Halimbawa.

Bawasan ang bahagi: a) , b).

Solusyon.

a) Una, ang numerator at denominator ay maaaring bawasan ng mga numerong 30 at 45, na katumbas ng 15. Gayundin, malinaw naman, maaari mong bawasan ng x 0.5 +1 at ng . Narito ang mayroon tayo:

b) Sa kasong ito, ang parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator ay hindi agad makikita. Upang makuha ang mga ito, kailangan mong magsagawa ng mga paunang pagbabago. Sa kasong ito, binubuo sila sa pag-decomposing ng denominator sa mga kadahilanan ayon sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat:

Sagot:

a)

b) .

Ang pagbabawas ng mga fraction sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction ay pangunahing ginagamit upang magsagawa ng mga operasyon sa mga fraction. Ang mga aksyon ay isinasagawa ayon sa mga kilalang tuntunin. Kapag nagdadagdag (nagbabawas) ng mga fraction, ang mga ito ay binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos kung saan ang mga numerator ay idinagdag (binabawas), at ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ay isang fraction na ang numerator ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominador. Ang paghahati sa isang fraction ay multiplikasyon sa pamamagitan ng katumbas nito.

Halimbawa.

Sundin ang mga hakbang .

Solusyon.

Una, ibawas natin ang mga fraction sa mga bracket. Upang gawin ito, dinadala namin ang mga ito sa isang karaniwang denominator, na , pagkatapos ay ibawas ang mga numerator:

Ngayon kami ay nagpaparami ng mga fraction:

Malinaw, ang pagbawas ng kapangyarihan x 1/2 ay posible, pagkatapos nito ay mayroon na tayo .

Maaari mo ring gawing simple ang power expression sa denominator sa pamamagitan ng paggamit ng difference ng squares formula: .

Sagot:

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Malinaw, ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng (x 2.7 +1) 2, ito ay nagbibigay ng fraction . Malinaw na may ibang kailangang gawin sa mga kapangyarihan ng x. Upang gawin ito, kino-convert namin ang resultang fraction sa isang produkto. Nagbibigay ito sa amin ng pagkakataong gamitin ang pag-aari ng paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan: . At sa dulo ng proseso, pumasa kami mula sa huling produkto hanggang sa fraction.

Sagot:

.

At idinagdag namin na posible at sa maraming mga kaso ay kanais-nais na ilipat ang mga kadahilanan na may mga negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator o mula sa denominator patungo sa numerator sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda ng exponent. Ang ganitong mga pagbabago ay kadalasang nagpapasimple ng mga karagdagang aksyon. Halimbawa, ang isang power expression ay maaaring palitan ng .

Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan

Kadalasan sa mga expression kung saan kinakailangan ang ilang pagbabago, kasama ang mga degree na may mga fractional exponents, mayroon ding mga ugat. Upang i-convert ang gayong ekspresyon sa nais na anyo, sa karamihan ng mga kaso ito ay sapat na upang pumunta lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Ngunit dahil ito ay mas maginhawa upang gumana sa mga degree, sila ay karaniwang lumipat mula sa mga ugat hanggang sa mga degree. Gayunpaman, ipinapayong isagawa ang gayong paglipat kapag ang ODZ ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagbibigay-daan sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga degree nang hindi kinakailangang i-access ang module o hatiin ang ODZ sa ilang mga agwat (tinalakay namin ito nang detalyado sa artikulo, ang paglipat mula sa mga ugat tungo sa mga kapangyarihan at vice versa Matapos makilala ang antas na may makatwirang exponent isang antas na may hindi makatwiran na tagapagpahiwatig ay ipinakilala, na ginagawang posible na magsalita ng isang antas na may arbitrary na tunay na tagapagpahiwatig. Sa yugtong ito, ang nagsisimulang mag-aral ang paaralan exponential function, na kung saan ay analytically ibinigay sa pamamagitan ng antas, sa batayan ng kung saan mayroong isang numero, at sa indicator - isang variable. Kaya tayo ay nahaharap sa mga exponential expression na naglalaman ng mga numero sa base ng degree, at sa exponent - mga expression na may mga variable, at natural na ang pangangailangan ay lumitaw upang maisagawa ang mga pagbabagong-anyo ng naturang mga expression.

Dapat sabihin na ang pagbabagong-anyo ng mga expression ng ipinahiwatig na uri ay karaniwang kailangang isagawa kapag nagresolba mga exponential equation at exponential inequalities, at ang mga pagbabagong ito ay medyo simple. Sa karamihan ng mga kaso, ang mga ito ay nakabatay sa mga katangian ng antas at higit na naglalayong magpakilala ng bagong variable sa hinaharap. Ang equation ay magpapahintulot sa amin na ipakita ang mga ito 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Una, ang mga exponents, kung saan ang mga exponents ay matatagpuan ang kabuuan ng ilang variable (o expression na may mga variable) at isang numero, ay pinapalitan ng mga produkto. Nalalapat ito sa una at huling mga termino ng expression sa kaliwang bahagi:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Susunod, ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay hinati ng expression 7 2 x , na kumukuha lamang ng mga positibong halaga sa ODZ ng variable x para sa orihinal na equation (ito ay isang karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri, hindi kami pinag-uusapan ito ngayon, kaya tumuon sa mga kasunod na pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan ):

Ngayon ang mga fraction na may kapangyarihan ay kinansela, na nagbibigay .

Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponent ay pinalitan ng mga kapangyarihan ng mga ratio, na humahantong sa equation , na katumbas ng . Ang mga pagbabagong ginawa ay nagpapahintulot sa amin na magpakilala ng isang bagong variable, na binabawasan ang solusyon ng orihinal na exponential equation sa solusyon ng quadratic equation

I. V. Boikov, L. D. Romanova Koleksyon ng mga gawain para sa paghahanda para sa pagsusulit. Bahagi 1. Penza 2003.