Upang matagumpay na malutas trigonometriko equation maginhawang gamitin paraan ng pagbabawas sa mga naunang nalutas na problema. Tingnan natin kung ano ang kakanyahan ng pamamaraang ito?

Sa anumang iminungkahing problema, kailangan mong makita ang dating nalutas na problema, at pagkatapos, gamit ang sunud-sunod na katumbas na mga pagbabago, subukang bawasan ang problemang ibinigay sa iyo sa isang mas simple.

Kaya, kapag nilulutas ang mga trigonometrikong equation, kadalasan ay bumubuo sila ng ilang finite sequence ng mga katumbas na equation, ang huling link kung saan ay isang equation na may malinaw na solusyon. Mahalaga lamang na tandaan na kung ang mga kasanayan para sa paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko ay hindi nabuo, kung gayon ang paglutas ng mas kumplikadong mga equation ay magiging mahirap at hindi epektibo.

Bilang karagdagan, kapag nilulutas ang mga trigonometrikong equation, hindi mo dapat kalimutan ang tungkol sa posibilidad ng pagkakaroon ng ilang mga solusyon.

Halimbawa 1. Hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation cos x = -1/2 sa pagitan.

Solusyon:

paraan ko. I-plot natin ang mga graph ng mga function na y = cos x at y = -1/2 at hanapin ang bilang ng kanilang mga karaniwang puntos sa pagitan (Fig. 1).

Dahil ang mga graph ng mga function ay may dalawang karaniwang mga punto sa pagitan, ang equation ay naglalaman ng dalawang ugat sa pagitan na ito.

II paraan. Gamit ang trigonometriko na bilog (Larawan 2), nalaman natin ang bilang ng mga puntos na kabilang sa pagitan kung saan ang cos x = -1/2. Ipinapakita ng figure na ang equation ay may dalawang ugat.

III paraan. Gamit ang formula ng mga ugat ng trigonometric equation, malulutas namin ang equation cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, ang k ay isang integer (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, ang k ay isang integer (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, ang k ay isang integer (k ∈ Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, ang k ay isang integer (k € Z).

Ang mga ugat na 2π/3 at -2π/3 + 2π ay nabibilang sa pagitan, ang k ay isang integer. Kaya, ang equation ay may dalawang ugat sa isang naibigay na pagitan.

Sagot: 2.

Sa hinaharap, ang mga trigonometric equation ay malulutas ng isa sa mga iminungkahing pamamaraan, na sa maraming mga kaso ay hindi ibinubukod ang paggamit ng iba pang mga pamamaraan.

Halimbawa 2. Hanapin ang bilang ng mga solusyon sa equation na tg (x + π/4) = 1 sa pagitan [-2π; 2π].

Solusyon:

Gamit ang formula ng mga ugat ng trigonometric equation, nakukuha natin ang:

x + π/4 = arctan 1 + πk, ang k ay isang integer (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, ang k ay isang integer (k € Z);

x = πk, k ay isang integer (k € Z);

Ang pagitan [-2π; 2π] nabibilang sa mga numero -2π; -π; 0; π; 2π. Kaya, ang equation ay may limang ugat sa isang naibigay na pagitan.

Sagot: 5.

Halimbawa 3. Hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation cos 2 x + sin x cos x = 1 sa pagitan [-π; π].

Solusyon:

Dahil 1 = sin 2 x + cos 2 x (basic trigonometric identity), ang orihinal na equation ay nagiging:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

kasalanan 2 x - kasalanan x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Ang produkto ay katumbas ng zero, na nangangahulugan na kahit isa sa mga salik ay dapat na katumbas ng zero, samakatuwid:

sin x \u003d 0 o sin x - cos x \u003d 0.

Dahil ang halaga ng variable, kung saan ang cos x = 0, ay hindi ang mga ugat ng pangalawang equation (ang sine at cosine ng parehong numero ay hindi maaaring katumbas ng zero sa parehong oras), pagkatapos ay hatiin natin ang parehong bahagi ng pangalawa. equation sa pamamagitan ng cos x:

sin x = 0 o sin x / cos x - 1 = 0.

Sa pangalawang equation, ginagamit namin ang katotohanan na tg x = sin x / cos x, pagkatapos:

sin x = 0 o tg x = 1. Gamit ang mga formula, mayroon tayong:

x = πk o x = π/4 + πk, ang k ay isang integer (k ∈ Z).

Mula sa unang serye ng mga ugat hanggang sa pagitan [-π; π] nabibilang sa mga numero -π; 0; π. Mula sa pangalawang serye: (π/4 – π) at π/4.

Kaya, ang limang ugat ng orihinal na equation ay nabibilang sa pagitan [-π; π].

Sagot: 5.

Halimbawa 4. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 sa pagitan [-π; 1.1π].

Solusyon:

Isulat muli natin ang equation sa sumusunod na anyo:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 at gumawa ng pagbabago.

Hayaan ang tg x + сtgx = a. I-square natin ang magkabilang panig ng equation:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Palawakin natin ang mga bracket:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Dahil tg x сtgx \u003d 1, pagkatapos ay tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, ibig sabihin

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

Ngayon ang orihinal na equation ay mukhang:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Gamit ang teorama ni Vieta, nakukuha natin na a = -1 o a = -2.

Ang paggawa ng reverse substitution, mayroon kaming:

tg x + сtgx = -1 o tg x + сtgx = -2. Lutasin natin ang mga nakuhang equation.

tgx + 1/tgx = -1 o tgx + 1/tgx = -2.

Sa pamamagitan ng pag-aari ng dalawang magkaparehong katumbas na mga numero, tinutukoy namin na ang unang equation ay walang mga ugat, at mula sa pangalawang equation mayroon kaming:

tg x = -1, ibig sabihin. x = -π/4 + πk, ang k ay isang integer (k € Z).

Ang pagitan [-π; 1,1π] ang mga ugat ay nabibilang: -π/4; -π/4 + π. Ang kanilang kabuuan:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Sagot: π/2.

Halimbawa 5. Hanapin ang arithmetic mean ng mga ugat ng equation na sin 3x + sin x = sin 2x sa pagitan ng [-π; 0.5π].

Solusyon:

Ginagamit namin ang formula na sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), pagkatapos

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x at ang equation ay nagiging

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Inalis namin ang common factor sin 2x sa mga bracket

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Lutasin natin ang resultang equation:

kasalanan 2x \u003d 0 o 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 o cos x = 1/2;

2x = πk o x = ±π/3 + 2πk, ang k ay isang integer (k ∈ Z).

Kaya tayo ay may mga ugat

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k ay isang integer (k € Z).

Ang pagitan [-π; 0.5π] nabibilang sa mga ugat -π; -π/2; 0; π/2 (mula sa unang serye ng mga ugat); π/3 (mula sa pangalawang serye); -π/3 (mula sa ikatlong serye). Ang kanilang arithmetic mean ay:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Sagot: -π/6.

Halimbawa 6. Hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation na sin x + cos x = 0 sa pagitan [-1.25π; 2π].

Solusyon:

Ang equation na ito ay isang homogenous na equation ng unang degree. Hatiin ang parehong bahagi nito sa cosx (ang halaga ng variable, kung saan ang cos x = 0, ay hindi ang mga ugat ng equation na ito, dahil ang sine at cosine ng parehong numero ay hindi maaaring katumbas ng zero sa parehong oras). Ang orihinal na equation ay mukhang:

x = -π/4 + πk, ang k ay isang integer (k ∈ Z).

Gap [-1.25π; 2π] ay may mga ugat -π/4; (-π/4 + π); at (-π/4 + 2π).

Kaya, tatlong ugat ng equation ang nabibilang sa ibinigay na pagitan.

Sagot: 3.

Matutong gawin ang pinakamahalagang bagay - upang malinaw na ipakita ang isang plano para sa paglutas ng problema, at pagkatapos ay ang anumang trigonometric equation ay nasa iyong balikat.

Mayroon ka bang anumang mga katanungan? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Sa pakiusap mo!

13. Lutasin ang equation na 3-4cos 2 x=0. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat nito na kabilang sa pagitan.

Ibaba natin ang cosine degree sa pamamagitan ng formula: 1+cos2α=2cos 2 α. Kumuha kami ng katumbas na equation:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (-2) at makuha ang pinakasimpleng trigonometric equation:

14. Hanapin ang b 5 geometric progression kung b 4 =25 at b 6 =16.

Ang bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng mga miyembrong katabi nito:

(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Mayroon tayong (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25 16 ⇒ b 5 =±5 4 ⇒ b 5 =±20.

15. Hanapin ang derivative ng function: f(x)=tgx-ctgx.

16. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function y(x)=x 2 -12x+27

sa segment.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function y=f(x) sa segment, kailangan mong hanapin ang mga halaga ng function na ito sa mga dulo ng segment at sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment na ito, at pagkatapos ay piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit mula sa lahat ng nakuhang halaga.

Hanapin natin ang mga halaga ng function sa x=3 at sa x=7, i.e. sa dulo ng segment.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Hanapin ang derivative ng function na ito: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); ang kritikal na punto x=6 ay kabilang sa ibinigay na pagitan. Hanapin ang halaga ng function sa x=6.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. At ngayon pumili kami mula sa tatlong nakuhang halaga: 0; -8 at -9 ang pinakamalaki at pinakamaliit: pinakamarami. =0; sa pagkuha =-9.

17. Hanapin ang pangkalahatang anyo ng mga antiderivative para sa function:

Ang interval na ito ay ang domain ng kahulugan ng function na ito. Ang mga sagot ay dapat magsimula sa F(x), hindi f(x) dahil naghahanap kami ng isang antiderivative. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang function na F(x) ay antiderivative para sa function na f(x) kung ang pagkakapantay-pantay ay: F’(x)=f(x). Kaya makakahanap ka lang ng mga derivatives ng mga iminungkahing sagot hanggang makuha mo ang function na ito. Ang isang mahigpit na solusyon ay ang pagkalkula ng integral ng isang naibigay na function. Naglalapat kami ng mga formula:

19. Buuin ang equation ng isang tuwid na linya na naglalaman ng median BD ng triangle ABC kung ang mga vertices nito ay A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).

Upang i-compile ang equation ng isang tuwid na linya, kailangan mong malaman ang mga coordinate ng 2 puntos ng tuwid na linya na ito, at alam lang natin ang mga coordinate ng point B. Dahil hinahati ng median BD ang kabaligtaran sa kalahati, ang point D ay ang midpoint. ng segment na AC. Ang mga midpoint ng isang segment ay ang kalahating kabuuan ng mga katumbas na coordinate ng mga dulo ng segment. Hanapin natin ang mga coordinate ng point D.

20. Kalkulahin:

24. Ang lugar ng isang regular na tatsulok sa base ng isang tamang prisma ay

Ang problemang ito ay ang kabaligtaran ng problema 24 mula sa opsyon 0021.

25. Maghanap ng pattern at ipasok ang nawawalang numero: 1; apat; 9; 16; …

Malinaw na ang numerong ito 25 , dahil binibigyan tayo ng pagkakasunod-sunod ng mga parisukat ng mga natural na numero:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Good luck at tagumpay sa lahat!

a) Lutasin ang equation: .

b) Hanapin ang mga ugat ng equation na ito na kabilang sa pagitan .

Ang solusyon sa problema

Ang araling ito ay nagpapakita ng isang halimbawa ng paglutas ng isang trigonometric equation, na maaaring matagumpay na magamit sa paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. Sa partikular, kapag nilulutas ang mga problema ng uri ng C1, ang solusyon na ito ay magiging may kaugnayan.

Sa panahon ng solusyon, ang trigonometric function ng kaliwang bahagi ng equation ay binago gamit ang formula ng double argument sine. Ang cosine function sa kanang bahagi ay nakasulat din bilang isang sine function na may argumento na pinasimple sa. Sa kasong ito, ang pag-sign sa harap ng nakuha na trigonometriko function ay baligtad. Dagdag pa, ang lahat ng mga termino ng equation ay inilipat sa kaliwang bahagi nito, kung saan ang karaniwang kadahilanan ay kinuha sa labas ng mga bracket. Bilang resulta, ang resultang equation ay kinakatawan bilang isang produkto ng dalawang salik. Ang bawat kadahilanan ay itinakda na katumbas ng zero, na nagpapahintulot sa amin na matukoy ang mga ugat ng equation. Pagkatapos ang mga ugat ng equation na kabilang sa ibinigay na pagitan ay tinutukoy. Gamit ang paraan ng pagliko, sa itinayong bilog na yunit, ang isang pagliko ay minarkahan mula sa kaliwang hangganan ng ibinigay na segment sa kanan. Ang nahanap na mga ugat sa bilog ng yunit ay konektado sa pamamagitan ng mga segment na may gitna nito, at pagkatapos ay tinutukoy ang mga punto kung saan ang mga segment na ito ay nagsalubong sa coil. Ang mga intersection point na ito ay ang sagot sa bahaging "b" ng problema.