Isa sa pinakamahirap na paksa para sa mga mag-aaral ay ang paglutas ng mga equation na naglalaman ng variable sa ilalim ng modulus sign. Tingnan natin para sa isang simula kung ano ang konektado sa? Bakit, halimbawa, ang mga quadratic equation na karamihan sa mga bata ay nag-click tulad ng mga nuts, ngunit sa isang malayo mula sa pinaka kumplikadong konsepto bilang isang module ay may napakaraming problema?

Sa palagay ko, ang lahat ng mga paghihirap na ito ay nauugnay sa kakulangan ng malinaw na nabalangkas na mga patakaran para sa paglutas ng mga equation na may isang modulus. Kaya, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, tiyak na alam ng mag-aaral na kailangan muna niyang ilapat ang discriminant formula, at pagkatapos ay ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation. Ngunit paano kung ang isang module ay nakatagpo sa equation? Susubukan naming malinaw na ilarawan ang kinakailangang plano ng aksyon sa kaso kapag ang equation ay naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng modulus sign. Nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa para sa bawat kaso.

Ngunit una, tandaan natin kahulugan ng modyul. Kaya, ang modulus ng numero a ang numero mismo ay tinatawag na kung a di-negatibo at -a kung ang numero a mas mababa sa zero. Maaari mong isulat ito tulad nito:

|a| = a kung a ≥ 0 at |a| = -a kung a< 0

Sa pagsasalita tungkol sa geometric na kahulugan ng module, dapat tandaan na ang bawat tunay na numero ay tumutugma sa isang tiyak na punto sa numero ng axis - nito sa coordinate. Kaya, ang module o ang absolute value ng isang numero ay ang distansya mula sa puntong ito hanggang sa pinagmulan ng numerical axis. Palaging ibinibigay ang distansya bilang positibong numero. Kaya, ang modulus ng anumang negatibong numero ay isang positibong numero. Sa pamamagitan ng paraan, kahit na sa yugtong ito, maraming mga mag-aaral ang nagsisimulang malito. Anumang numero ay maaaring nasa module, ngunit ang resulta ng paglalapat ng module ay palaging isang positibong numero.

Ngayon ay magpatuloy tayo sa paglutas ng mga equation.

1. Isaalang-alang ang isang equation ng anyong |x| = c, kung saan ang c ay isang tunay na numero. Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang kahulugan ng modulus.

Hinahati namin ang lahat ng tunay na numero sa tatlong grupo: ang mga mas malaki sa zero, ang mas mababa sa zero, at ang pangatlong grupo ay ang numero 0. Isinulat namin ang solusyon sa anyo ng isang diagram:

(±c kung c > 0

Kung |x| = c, pagkatapos x = (0 kung c = 0

(walang ugat kung may< 0

1) |x| = 5, dahil 5 > 0, pagkatapos x = ±5;

2) |x| = -5, kasi -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, pagkatapos x = 0.

2. Isang equation ng anyong |f(x)| = b, kung saan b > 0. Upang malutas ang equation na ito, kinakailangan upang mapupuksa ang modulus. Ginagawa namin ito ng ganito: f(x) = b o f(x) = -b. Ngayon ay kinakailangan upang malutas nang hiwalay ang bawat isa sa mga nakuha na equation. Kung sa orihinal na equation b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, dahil 4> 0, pagkatapos

x + 2 = 4 o x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, dahil 11 > 0, pagkatapos

x 2 - 5 = 11 o x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 walang ugat

3) |x 2 – 5x| = -8 , dahil -walo< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Isang equation ng anyong |f(x)| = g(x). Ayon sa kahulugan ng modyul, ang naturang equation ay magkakaroon ng mga solusyon kung ang kanang bahagi nito ay mas malaki sa o katumbas ng zero, i.e. g(x) ≥ 0. Pagkatapos ay mayroon tayong:

f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Ang equation na ito ay magkakaroon ng mga ugat kung 5x - 10 ≥ 0. Dito magsisimula ang solusyon ng naturang mga equation.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Solusyon:

2x - 1 = 5x - 10 o 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Pagsamahin ang O.D.Z. at ang solusyon, nakukuha namin:

Ang ugat x \u003d 11/7 ay hindi magkasya ayon sa O.D.Z., ito ay mas mababa sa 2, at x \u003d 3 ay natutugunan ang kundisyong ito.

Sagot: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito gamit ang interval method:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Solusyon:

x - 1 \u003d 1 - x 2 o x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 o x = 1 x = 0 o x = 1

3. Pagsamahin ang solusyon at O.D.Z.:

Ang mga ugat na x = 1 at x = 0 lamang ang angkop.

Sagot: x = 0, x = 1.

4. Isang equation ng anyong |f(x)| = |g(x)|. Ang nasabing equation ay katumbas ng sumusunod na dalawang equation f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Ang equation na ito ay katumbas ng sumusunod na dalawa:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 o x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 o x = 4 x = 2 o x = 1

Sagot: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit (pagbabago ng variable). Ang paraan ng solusyon na ito ay pinakamadaling ipaliwanag sa isang partikular na halimbawa. Kaya, hayaan ang isang quadratic equation na may modulus na ibigay:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Sa pamamagitan ng property ng module x 2 = |x| 2 , kaya ang equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Gawin natin ang pagbabago |x| = t ≥ 0, pagkatapos ay magkakaroon tayo ng:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Ang paglutas ng equation na ito, nakukuha natin na t \u003d 1 o t \u003d 5. Bumalik tayo sa kapalit:

|x| = 1 o |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Sagot: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa:

x 2 + |x| – 2 = 0. Sa pamamagitan ng katangian ng modyul x 2 = |x| 2, kaya

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Gawin natin ang pagbabago |x| = t ≥ 0, kung gayon:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Paglutas ng equation na ito, nakukuha namin, t \u003d -2 o t \u003d 1. Bumalik tayo sa kapalit:

|x| = -2 o |x| = 1

Walang mga ugat x = ± 1

Sagot: x = -1, x = 1.

6. Ang isa pang uri ng mga equation ay ang mga equation na may "kumplikadong" modulus. Ang mga nasabing equation ay kinabibilangan ng mga equation na mayroong "mga module sa loob ng isang module". Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring malutas gamit ang mga katangian ng module.

1) |3 – |x|| = 4. Kami ay kumilos sa parehong paraan tulad ng sa mga equation ng pangalawang uri. kasi 4> 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang equation:

3 – |x| = 4 o 3 – |x| = -4.

Ngayon ipahayag natin ang module x sa bawat equation, pagkatapos |x| = -1 o |x| = 7.

Nalulutas namin ang bawat isa sa mga nagresultang equation. Walang mga ugat sa unang equation, dahil -isa< 0, а во втором x = ±7.

Sagot x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Nilulutas namin ang equation na ito sa katulad na paraan:

3 + |x + 1| = 5 o 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 o x + 1 = -2. Walang mga ugat.

Sagot: x = -3, x = 1.

Mayroon ding unibersal na paraan para sa paglutas ng mga equation na may modulus. Ito ang paraan ng spacing. Ngunit isasaalang-alang pa natin ito.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang modyul ay isa sa mga bagay na tila narinig na ng lahat, ngunit sa katotohanan ay wala talagang nakakaintindi. Samakatuwid, ngayon magkakaroon ng isang malaking aral na nakatuon sa paglutas ng mga equation na may mga module.

Sasabihin ko kaagad sa iyo: ang aralin ay magiging simple. Sa pangkalahatan, ang mga module sa pangkalahatan ay medyo simpleng paksa. “Oo, siyempre, madali lang! Sumabog ang utak ko!" - maraming mga mag-aaral ang magsasabi, ngunit ang lahat ng mga brain break na ito ay dahil sa katotohanan na karamihan sa mga tao ay walang kaalaman sa kanilang mga ulo, ngunit isang uri ng crap. At ang layunin ng araling ito ay gawing kaalaman ang dumi. :)

Medyo teorya

Kaya tara na. Magsimula tayo sa pinakamahalaga: ano ang modyul? Ipaalala ko sa iyo na ang modulus ng isang numero ay pareho lang ng numero, ngunit kinuha nang walang minus sign. Iyon ay, halimbawa, $\left| -5 \kanan|=5$. O $\left| -129.5\kanan|=129.5$.

Ganun ba kasimple? Oo, simple. Ano ang modulus ng isang positibong numero? Narito ito ay mas simple: ang modulus ng isang positibong numero ay katumbas ng numerong ito mismo: $\left| 5\kanan|=5$; $\kaliwa| 129.5 \right|=129.5$ atbp.

Ito ay lumalabas na isang kakaibang bagay: ang iba't ibang mga numero ay maaaring magkaroon ng parehong module. Halimbawa: $\left| -5 \kanan|=\kaliwa| 5\kanan|=5$; $\kaliwa| -129.5 \kanan|=\kaliwa| 129.5 \right|=129.5$. Madaling makita kung anong uri ng mga numero ang mga ito, kung saan ang mga module ay pareho: ang mga numerong ito ay kabaligtaran. Kaya, tandaan namin para sa ating sarili na ang mga module ng magkasalungat na numero ay pantay:

\[\kaliwa| -a \kanan|=\kaliwa| a\right|\]

Isa pang mahalagang katotohanan: Ang modulus ay hindi kailanman negatibo. Anuman ang bilang namin - kahit na positibo, kahit na negatibo - ang modulus nito ay palaging lumalabas na positibo (o sa matinding mga kaso, zero). Kaya naman ang modulus ay madalas na tinatawag na absolute value ng isang numero.

Bilang karagdagan, kung pagsasamahin natin ang kahulugan ng modulus para sa positibo at negatibong numero, makakakuha tayo ng pandaigdigang kahulugan ng modulus para sa lahat ng numero. Namely: ang modulus ng isang numero ay katumbas ng numerong ito mismo, kung ang numero ay positibo (o zero), o katumbas ng kabaligtaran na numero, kung ang numero ay negatibo. Maaari mong isulat ito bilang isang pormula:

Mayroon ding isang module ng zero, ngunit ito ay palaging katumbas ng zero. Gayundin, ang zero ay ang tanging numero na walang kabaligtaran.

Kaya, kung isasaalang-alang natin ang function na $y=\left| x \right|$ at subukang iguhit ang graph nito, makakakuha ka ng ganoong "daw":

Halimbawa ng modulus graph at equation solution

Mula sa larawang ito makikita mo kaagad ang $\left| -m \right|=\left| m \right|$, at ang plot ng module ay hindi kailanman bumabagsak sa ibaba ng x-axis. Ngunit hindi lang iyon: ang pulang linya ay nagmamarka ng tuwid na linya $y=a$, na, na may positibong $a$, ay nagbibigay sa amin ng dalawang ugat nang sabay-sabay: $((x)_(1))$ at $((x) _(2)) $, pero pag-uusapan natin yan mamaya. :)

Bilang karagdagan sa isang purong algebraic na kahulugan, mayroong isang geometriko. Sabihin nating mayroong dalawang puntos sa linya ng numero: $((x)_(1))$ at $((x)_(2))$. Sa kasong ito, ang expression na $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ ay ang distansya lamang sa pagitan ng mga tinukoy na punto. O, kung gusto mo, ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga puntong ito:

Ang modulus ay ang distansya sa pagitan ng mga puntos sa linya ng numero

Ito rin ay sumusunod mula sa kahulugan na ito na ang modulus ay palaging hindi negatibo. Ngunit sapat na mga kahulugan at teorya - lumipat tayo sa totoong mga equation. :)

Pangunahing Formula

Okay, nalaman namin ang kahulugan. Ngunit hindi ito naging mas madali. Paano lutasin ang mga equation na naglalaman ng mismong modyul na ito?

Kalmado, kalmado lang. Magsimula tayo sa mga pinakasimpleng bagay. Isaalang-alang ang isang bagay tulad nito:

\[\kaliwa| x\right|=3\]

Kaya ang modulo$x$ ay 3. Ano ang maaaring katumbas ng $x$? Well, sa paghusga sa kahulugan, ang $x=3$ ay babagay sa amin. Talaga:

\[\kaliwa| 3\kanan|=3\]

Mayroon bang iba pang mga numero? Si Cap ay tila nagpapahiwatig na mayroon. Halimbawa, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, ibig sabihin. nasiyahan ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.

Kaya siguro kung hahanapin natin, isipin, mas maraming numero ang makikita natin? Ngunit maghiwalay: wala nang mga numero. Equation $\left| x \right|=3$ ay may dalawang ugat lamang: $x=3$ at $x=-3$.

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Hayaan ang function na $f\left(x \right)$ sa halip na ang variable na $x$ sa ilalim ng modulus sign, at sa kanan sa halip na triple ay naglalagay kami ng arbitrary number na $a$. Nakukuha namin ang equation:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=a\]

Well, paano ka magdedesisyon? Paalalahanan kita: Ang $f\left(x \right)$ ay isang arbitrary function, ang $a$ ay anumang numero. Yung. kahit ano! Halimbawa:

\[\kaliwa| 2x+1 \right|=5\]

\[\kaliwa| 10x-5 \right|=-65\]

Tingnan natin ang pangalawang equation. Maaari mong agad na sabihin tungkol sa kanya: wala siyang mga ugat. Bakit? Tama iyan: dahil nangangailangan ito ng modulus na katumbas ng isang negatibong numero, na hindi kailanman mangyayari, dahil alam na natin na ang modulus ay palaging isang positibong numero o, sa matinding mga kaso, zero.

Ngunit sa unang equation, mas masaya ang lahat. Mayroong dalawang mga opsyon: alinman ay may positibong expression sa ilalim ng module sign, at pagkatapos ay $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, o negatibo pa rin ang expression na ito, kung saan $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Sa unang kaso, ang aming equation ay muling isusulat bilang:

\[\kaliwa| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

At biglang lumalabas na ang submodule expression na $2x+1$ ay talagang positibo - ito ay katumbas ng numero 5. Ibig sabihin, maaari nating ligtas na malutas ang equation na ito - ang resultang ugat ay magiging isang piraso ng sagot:

Ang mga hindi makapaniwala ay maaaring subukang palitan ang natagpuang ugat sa orihinal na equation at tiyakin na talagang magkakaroon ng positibong numero sa ilalim ng modulus.

Ngayon tingnan natin ang kaso ng isang negatibong pagpapahayag ng submodule:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Rightarrow 2x+1=-5\]

Oops! Muli, malinaw ang lahat: ipinapalagay namin na $2x+1 \lt 0$, at bilang resulta nakuha namin na $2x+1=-5$ - sa katunayan, ang expression na ito ay mas mababa sa zero. Nalulutas namin ang nagresultang equation, habang alam na namin na ang natagpuang ugat ay angkop sa amin:

Sa kabuuan, muli kaming nakatanggap ng dalawang sagot: $x=2$ at $x=3$. Oo, ang halaga ng mga kalkulasyon ay naging mas kaunti kaysa sa napakasimpleng equation na $\left| x \right|=3$, ngunit sa panimula walang nagbago. Kaya marahil mayroong ilang uri ng unibersal na algorithm?

Oo, umiiral ang gayong algorithm. At ngayon ay susuriin natin ito.

Pag-alis ng module sign

Bigyan tayo ng equation na $\left| f\left(x \right) \right|=a$, at $a\ge 0$ (kung hindi, tulad ng alam na natin, walang mga ugat). Pagkatapos ay maaari mong alisin ang modulo sign ayon sa sumusunod na panuntunan:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Kaya, ang aming equation sa modulus ay nahahati sa dalawa, ngunit walang modulus. Iyan ang buong teknolohiya! Subukan nating lutasin ang isang pares ng mga equation. Magsimula tayo dito

\[\kaliwa| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Hiwalay naming isasaalang-alang kapag may sampu na may plus sa kanan, at hiwalay kapag may minus. Meron kami:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(align)\]

yun lang! Nakakuha kami ng dalawang ugat: $x=1.2$ at $x=-2.8$. Ang buong solusyon ay literal na kinuha ng dalawang linya.

Ok, walang tanong, tingnan natin ang isang bagay na mas seryoso:

\[\kaliwa| 7-5x \right|=13\]

Muli, buksan ang module na may plus at minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(align)\]

Muli ng ilang linya - at handa na ang sagot! Tulad ng sinabi ko, walang kumplikado sa mga module. Kailangan mo lamang tandaan ang ilang mga patakaran. Samakatuwid, pumunta kami nang higit pa at magpatuloy sa talagang mas mahirap na mga gawain.

Variable kanang side case

Ngayon isaalang-alang ang equation na ito:

\[\kaliwa| 3x-2 \right|=2x\]

Ang equation na ito ay sa panimula ay naiiba sa lahat ng nauna. paano? At ang katotohanan na ang expression na $2x$ ay nasa kanan ng equal sign - at hindi natin malalaman nang maaga kung ito ay positibo o negatibo.

Paano maging sa kasong iyon? Una, dapat nating maunawaan minsan at para sa lahat iyon kung ang kanang bahagi ng equation ay negatibo, kung gayon ang equation ay walang mga ugat- alam na natin na ang modulus ay hindi maaaring katumbas ng negatibong numero.

At pangalawa, kung ang tamang bahagi ay positibo pa rin (o katumbas ng zero), maaari kang magpatuloy nang eksakto sa parehong paraan tulad ng dati: buksan lamang ang module nang hiwalay sa plus sign at hiwalay na may minus sign.

Kaya, bumubuo kami ng panuntunan para sa mga arbitrary na function $f\left(x \right)$ at $g\left(x \right)$ :

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Tungkol sa aming equation, nakukuha namin ang:

\[\kaliwa| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Aba, kakayanin natin ang $2x\ge 0$ na kinakailangan kahit papaano. Sa huli, maaari nating palitan ang mga ugat na nakuha natin mula sa unang equation at suriin kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak o hindi.

Kaya't lutasin natin ang equation mismo:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(align)\]

Well, alin sa dalawang ugat na ito ang nakakatugon sa kinakailangan $2x\ge 0$? Oo pareho! Samakatuwid, ang sagot ay dalawang numero: $x=(4)/(3)\;$ at $x=0$. Yan ang solusyon. :)

Inaasahan ko na ang isa sa mga estudyante ay nagsimula nang magsawa? Buweno, isaalang-alang ang isang mas kumplikadong equation:

\[\kaliwa| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Kahit na ito ay mukhang masama, sa katunayan ito ay ang lahat ng parehong equation ng form na "modulus equals function":

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

At ito ay malulutas sa parehong paraan:

\[\kaliwa| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \kaliwa(x-((x)^(3)) \kanan), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Haharapin natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa ibang pagkakataon - ito ay sa paanuman ay masyadong mabisyo (talagang simple, ngunit hindi natin ito malulutas). Sa ngayon, tingnan natin ang mga resultang equation. Isaalang-alang ang unang kaso - ito ay kapag ang module ay pinalawak na may plus sign:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Well, narito ito ay isang walang utak na kailangan mong kolektahin ang lahat sa kaliwa, magdala ng mga katulad at tingnan kung ano ang mangyayari. At ito ang nangyayari:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Ang paglalagay ng karaniwang salik na $((x)^(2))$ sa labas ng bracket, makakakuha tayo ng napakasimpleng equation:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Dito ginamit namin ang isang mahalagang katangian ng produkto, para sa kapakanan kung saan namin isinaalang-alang ang orihinal na polynomial: ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero.

Ngayon, sa parehong paraan, haharapin natin ang pangalawang equation, na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalawak ng module na may minus sign:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(align)\]

Muli, ang parehong bagay: ang produkto ay zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay zero. Meron kami:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Well, nakakuha kami ng tatlong ugat: $x=0$, $x=1.5$ at $x=(2)/(3)\;$. Well, ano ang mapupunta sa huling sagot mula sa set na ito? Upang gawin ito, tandaan na mayroon kaming karagdagang hadlang sa hindi pagkakapantay-pantay:

Paano isaalang-alang ang kinakailangang ito? Palitan lang natin ang mga nahanap na ugat at suriin kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak sa mga $x$ na ito o hindi. Meron kami:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Kaya, ang ugat na $x=1.5$ ay hindi angkop sa amin. At dalawang ugat lamang ang pupunta bilang tugon:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Tulad ng nakikita mo, kahit na sa kasong ito ay walang mahirap - ang mga equation na may mga module ay palaging nalutas ayon sa algorithm. Kailangan mo lang magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa mga polynomial at hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, nagpapatuloy kami sa mas kumplikadong mga gawain - hindi magkakaroon ng isa, ngunit dalawang mga module.

Mga equation na may dalawang module

Sa ngayon, pinag-aralan lang namin ang pinakasimpleng mga equation - mayroong isang module at iba pa. Ipinadala namin ang "iba pang bagay" na ito sa isa pang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, malayo sa module, upang sa huli ang lahat ay mababawasan sa isang equation tulad ng $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ o mas simple $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Ngunit tapos na ang kindergarten - oras na upang isaalang-alang ang isang bagay na mas seryoso. Magsimula tayo sa mga equation na tulad nito:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Ito ay isang equation ng form na "ang modulus ay katumbas ng modulus". Ang pangunahing mahalagang punto ay ang kawalan ng iba pang mga termino at salik: isang module lamang sa kaliwa, isa pang module sa kanan - at wala nang iba pa.

Iisipin ngayon ng isa na ang gayong mga equation ay mas mahirap lutasin kaysa sa napag-aralan natin sa ngayon. Ngunit hindi: mas madaling malutas ang mga equation na ito. Narito ang formula:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Lahat! Itinutumbas lang namin ang mga expression ng submodule sa pamamagitan ng paglalagay ng prefix sa isa sa mga ito ng plus o minus sign. At pagkatapos ay malulutas namin ang nagresultang dalawang equation - at handa na ang mga ugat! Walang karagdagang mga paghihigpit, walang hindi pagkakapantay-pantay, atbp. Napakasimple ng lahat.

Subukan nating lutasin ang problemang ito:

\[\kaliwa| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \kanan|\]

Elementary Watson! Pagbubukas ng mga module:

\[\kaliwa| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Isaalang-alang natin ang bawat kaso nang hiwalay:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Ang unang equation ay walang mga ugat. Dahil kailan ang $3=-7$? Para sa anong mga halaga ng $x$? “Ano ba ang $x$? Binato ka ba? Wala talagang $x$,” sabi mo. At magiging tama ka. Nakakuha kami ng pagkakapantay-pantay na hindi nakadepende sa variable na $x$, at sa parehong oras ang pagkakapantay-pantay mismo ay hindi tama. Kaya lang walang ugat.

Sa pangalawang equation, ang lahat ay medyo mas kawili-wili, ngunit napaka-simple:

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay literal na napagpasyahan sa isang pares ng mga linya - hindi namin inaasahan ang anumang bagay mula sa isang linear equation. :)

Bilang resulta, ang huling sagot ay: $x=1$.

Well, paano? Mahirap? Syempre hindi. Subukan natin ang iba pa:

\[\kaliwa| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|\]

Muli mayroon kaming isang equation tulad ng $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Samakatuwid, agad naming muling isinulat ito, na inilalantad ang sign ng module:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Marahil ay may magtatanong ngayon: “Hoy, anong kalokohan? Bakit plus-minus ang nasa kanang bahagi at hindi sa kaliwang bahagi? Calm down, ipapaliwanag ko ang lahat. Sa katunayan, sa isang mabuting paraan, dapat ay muling isinulat natin ang ating equation bilang mga sumusunod:

Pagkatapos ay kailangan mong buksan ang mga bracket, ilipat ang lahat ng mga termino sa isang direksyon mula sa pantay na pag-sign (dahil ang equation, malinaw naman, ay magiging parisukat sa parehong mga kaso), at pagkatapos ay hanapin ang mga ugat. Ngunit dapat mong aminin: kapag ang "plus-minus" ay nasa harap ng tatlong termino (lalo na kapag ang isa sa mga terminong ito ay isang parisukat na expression), kahit papaano ay mukhang mas kumplikado kaysa sa sitwasyon kung ang "plus-minus" ay nasa harap lamang ng dalawa. mga tuntunin.

Ngunit walang pumipigil sa amin na muling isulat ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:

\[\kaliwa| x-1 \kanan|=\kaliwa| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|=\kaliwa| x-1 \right|\]

Anong nangyari? Oo, walang espesyal: pinalitan lang ang kaliwa at kanang bahagi. Isang maliit na bagay, na sa huli ay magpapasimple ng kaunti sa ating buhay. :)

Sa pangkalahatan, nilulutas namin ang equation na ito, isinasaalang-alang ang mga opsyon na may plus at minus:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Ang unang equation ay may mga ugat na $x=3$ at $x=1$. Ang pangalawa ay karaniwang isang eksaktong parisukat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\kaliwa(x-1 \kanan))^(2))\]

Samakatuwid, mayroon itong iisang ugat: $x=1$. Ngunit natanggap na natin ang ugat na ito kanina. Kaya, dalawang numero lamang ang mapupunta sa huling sagot:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Natupad ang misyon! Maaari mong kunin ito mula sa istante at kumain ng pie. Mayroong 2 sa kanila, ang iyong average. :)

Mahalagang paalaala. Ang pagkakaroon ng parehong mga ugat para sa iba't ibang bersyon ng pagpapalawak ng module ay nangangahulugan na ang orihinal na polynomial ay nabubulok sa mga salik, at kabilang sa mga salik na ito ay kinakailangang magkaroon ng isang karaniwan. Talaga:

\[\begin(align)& \left| x-1 \kanan|=\kaliwa| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\kaliwa| x-1 \kanan|=\kaliwa| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

Isa sa mga katangian ng module: $\left| a\cdot b \right|=\left| isang \kanan|\cdot \kaliwa| b \right|$ (iyon ay, ang modulus ng produkto ay katumbas ng produkto ng moduli), kaya ang orihinal na equation ay maaaring muling isulat bilang

\[\kaliwa| x-1 \kanan|=\kaliwa| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \kanan|\]

Tulad ng nakikita mo, mayroon kaming isang karaniwang kadahilanan. Ngayon, kung kinokolekta mo ang lahat ng mga module sa isang gilid, maaari mong alisin ang multiplier na ito sa bracket:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \kanan|; \\&\kaliwa| x-1 \kanan|-\kaliwa| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\&\kaliwa| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Kaya, ngayon naaalala namin na ang produkto ay katumbas ng zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Kaya, ang orihinal na equation na may dalawang modyul ay nabawasan sa dalawang pinakasimpleng equation na napag-usapan natin sa simula ng aralin. Ang mga naturang equation ay maaaring malutas sa ilang linya lamang. :)

Ang pangungusap na ito ay maaaring mukhang hindi kinakailangang kumplikado at hindi naaangkop sa pagsasanay. Gayunpaman, sa katotohanan, maaari kang makatagpo ng mas kumplikadong mga gawain kaysa sa mga pinag-aaralan namin ngayon. Sa kanila, ang mga module ay maaaring isama sa polynomials, arithmetic roots, logarithms, atbp. At sa ganitong mga sitwasyon, ang kakayahang babaan ang kabuuang antas ng equation sa pamamagitan ng paglalagay ng isang bagay sa labas ng bracket ay maaaring napaka-madaling gamitin. :)

Ngayon gusto kong pag-aralan ang isa pang equation, na sa unang tingin ay maaaring mukhang baliw. Maraming mga mag-aaral ang "nananatili" dito - kahit na ang mga naniniwala na mayroon silang mahusay na pag-unawa sa mga module.

Gayunpaman, ang equation na ito ay mas madaling lutasin kaysa sa kung ano ang isinasaalang-alang namin kanina. At kung naiintindihan mo kung bakit, makakakuha ka ng isa pang trick para sa mabilis na paglutas ng mga equation na may mga module.

Kaya ang equation ay:

\[\kaliwa| x-((x)^(3)) \kanan|+\kaliwa| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Hindi, hindi ito isang typo: ito ay isang plus sa pagitan ng mga module. At kailangan nating hanapin kung aling $x$ ang kabuuan ng dalawang module ay katumbas ng zero. :)

Ano ang problema? At ang problema ay ang bawat module ay isang positibong numero, o sa matinding mga kaso, zero. Ano ang mangyayari kapag nagdagdag ka ng dalawang positibong numero? Malinaw, muli isang positibong numero:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Ang huling linya ay maaaring magbigay sa iyo ng ideya: ang tanging kaso kung saan ang kabuuan ng moduli ay zero ay kung ang bawat modulus ay katumbas ng zero:

\[\kaliwa| x-((x)^(3)) \kanan|+\kaliwa| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

Kailan katumbas ng zero ang modulus? Sa isang kaso lamang - kapag ang expression ng submodule ay katumbas ng zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Kaya, mayroon tayong tatlong punto kung saan ang unang modulus ay nakatakda sa zero: 0, 1, at −1; pati na rin ang dalawang punto kung saan ang pangalawang module ay na-zero: −2 at 1. Gayunpaman, kailangan natin ang parehong mga modyul na ma-zero sa parehong oras, kaya kabilang sa mga numerong natagpuan, kailangan nating piliin ang mga kasama sa parehong set. Malinaw, mayroon lamang isang numero: $x=1$ - ito ang magiging huling sagot.

paraan ng paghahati

Buweno, napag-usapan na namin ang isang bungkos ng mga gawain at natutunan ang maraming mga trick. Sa tingin mo yun lang? Pero hindi! Ngayon ay isasaalang-alang namin ang pangwakas na pamamaraan - at sa parehong oras ang pinakamahalaga. Pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahati ng mga equation na may isang modulus. Ano ang tatalakayin? Bumalik tayo ng kaunti at isaalang-alang ang ilang simpleng equation. Halimbawa, ito:

\[\kaliwa| 3x-5\right|=5-3x\]

Sa prinsipyo, alam na natin kung paano lutasin ang naturang equation, dahil ito ay isang karaniwang $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Ngunit subukan nating tingnan ang equation na ito mula sa isang bahagyang naiibang anggulo. Mas tiyak, isaalang-alang ang expression sa ilalim ng module sign. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang modulus ng anumang numero ay maaaring katumbas ng numero mismo, o maaari itong kabaligtaran ng numerong ito:

\[\kaliwa| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Sa totoo lang, ang kalabuan na ito ay ang buong problema: dahil nagbabago ang numero sa ilalim ng modulus (depende ito sa variable), hindi malinaw sa atin kung ito ay positibo o negatibo.

Ngunit paano kung una naming hinihiling na ang bilang na ito ay positibo? Halimbawa, hilingin natin na $3x-5 \gt 0$ - sa kasong ito, garantisadong makakakuha tayo ng positibong numero sa ilalim ng modulus sign, at ganap nating maaalis ang modulus na ito:

Kaya, ang aming equation ay magiging isang linear, na madaling malutas:

Totoo, ang lahat ng pagsasaalang-alang na ito ay may katuturan lamang sa ilalim ng kundisyong $3x-5 \gt 0$ - kami mismo ang nagpakilala ng pangangailangang ito upang malinaw na maihayag ang module. Kaya't palitan natin ang nahanap na $x=\frac(5)(3)$ sa kundisyong ito at suriin:

Lumalabas na para sa tinukoy na halaga ng $x$, ang aming kinakailangan ay hindi natutugunan, dahil ang expression ay naging katumbas ng zero, at kailangan namin itong maging mahigpit na mas malaki kaysa sa zero. Nakakalungkot. :(

Pero ayos lang! Pagkatapos ng lahat, may isa pang pagpipilian $3x-5 \lt 0$. Bukod dito: mayroon ding kaso $3x-5=0$ - ito ay dapat ding isaalang-alang, kung hindi, ang solusyon ay hindi kumpleto. Kaya, isaalang-alang ang $3x-5 \lt 0$ case:

Malinaw na magbubukas ang module na may minus sign. Ngunit pagkatapos ay lumitaw ang isang kakaibang sitwasyon: ang parehong expression ay lalabas pareho sa kaliwa at sa kanan sa orihinal na equation:

Nagtataka ako para sa kung anong $x$ ang expression na $5-3x$ ay magiging katumbas ng expression na $5-3x$? Mula sa gayong mga equation, kahit na ang Kapitan ay halatang mabulunan ng laway, ngunit alam natin na ang equation na ito ay isang pagkakakilanlan, i.e. ito ay totoo para sa anumang halaga ng variable!

At nangangahulugan ito na ang anumang $x$ ay babagay sa amin. Gayunpaman, mayroon kaming limitasyon:

Sa madaling salita, ang sagot ay hindi magiging isang numero, ngunit isang buong pagitan:

Sa wakas, may isa pang kaso na dapat isaalang-alang: $3x-5=0$. Ang lahat ay simple dito: magkakaroon ng zero sa ilalim ng modulus, at ang modulus ng zero ay katumbas din ng zero (direktang sumusunod ito mula sa kahulugan):

Ngunit pagkatapos ay ang orihinal na equation na $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ ay muling isusulat ng ganito:

Nakuha na namin ang ugat na ito sa itaas nang isaalang-alang namin ang kaso $3x-5 \gt 0$. Bukod dito, ang ugat na ito ay isang solusyon sa equation na $3x-5=0$ - ito ang paghihigpit na ipinakilala namin mismo upang mapawalang-bisa ang modulus. :)

Kaya, bilang karagdagan sa agwat, masisiyahan din tayo sa numerong nasa pinakadulo ng agwat na ito:

Pagsasama-sama ng Mga Roots sa Equation na may Modulus

Kabuuang panghuling sagot: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Hindi masyadong pangkaraniwan na makakita ng ganoong crap sa sagot sa isang medyo simple (esensyal na linear) equation na may modulus Buweno, masanay: ang pagiging kumplikado ng module ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga sagot sa naturang mga equation ay maaaring maging ganap na hindi mahulaan.

Higit na mas mahalaga ay iba pa: kaka-dismantle lang namin ng isang unibersal na algorithm para sa paglutas ng isang equation na may modulus! At ang algorithm na ito ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1. I-equate ang bawat modulus sa equation sa zero. Kumuha tayo ng ilang equation;
2. Lutasin ang lahat ng mga equation na ito at markahan ang mga ugat sa linya ng numero. Bilang resulta, ang tuwid na linya ay mahahati sa ilang mga pagitan, sa bawat isa kung saan ang lahat ng mga module ay natatanging pinalawak;
3. Lutasin ang orihinal na equation para sa bawat pagitan at pagsamahin ang mga sagot.

yun lang! Isang tanong lamang ang natitira: ano ang gagawin sa mga ugat na nakuha sa unang hakbang? Sabihin nating mayroon tayong dalawang ugat: $x=1$ at $x=5$. Sisirain nila ang linya ng numero sa 3 piraso:

Paghahati ng linya ng numero sa mga pagitan gamit ang mga puntos

Kaya ano ang mga pagitan? Malinaw na mayroong tatlo sa kanila:

1. Kaliwa: $x \lt 1$ - ang yunit mismo ay hindi kasama sa pagitan;
2. Central: $1\le x \lt 5$ - dito ang isa ay kasama sa pagitan, ngunit hindi kasama ang lima;
3. Ang pinakakanan: $x\ge 5$ — ang lima ay kasama lang dito!

Sa tingin ko naiintindihan mo na ang pattern. Kasama sa bawat pagitan ang kaliwang dulo at hindi kasama ang kanang dulo.

Sa unang sulyap, ang naturang rekord ay maaaring mukhang hindi komportable, hindi makatwiran, at sa pangkalahatan ay isang uri ng kabaliwan. Ngunit maniwala ka sa akin: pagkatapos ng isang maliit na pagsasanay, makikita mo na ang diskarte na ito ay ang pinaka-maaasahan at sa parehong oras ay hindi nakakasagabal sa mga hindi malabo na nagpapakita ng mga module. Mas mainam na gumamit ng gayong pamamaraan kaysa mag-isip sa bawat oras: bigyan ang kaliwa / kanang dulo sa kasalukuyang agwat o "ihagis" ito sa susunod.

Sa artikulong ito, susuriin namin nang detalyado ang ganap na halaga ng isang numero. Magbibigay kami ng iba't ibang mga kahulugan ng modulus ng isang numero, ipakilala ang notasyon at magbibigay ng mga graphic na paglalarawan. Sa kasong ito, isinasaalang-alang namin ang iba't ibang mga halimbawa ng paghahanap ng modulus ng isang numero ayon sa kahulugan. Pagkatapos nito, inilista namin at binibigyang-katwiran ang mga pangunahing katangian ng modyul. Sa pagtatapos ng artikulo, pag-uusapan natin kung paano tinutukoy at natagpuan ang modulus ng isang kumplikadong numero.

Pag-navigate sa pahina.

Modulus ng numero - kahulugan, notasyon at mga halimbawa

Magpakilala muna kami pagtatalaga ng modulus. Ang module ng numerong a ay isusulat bilang , iyon ay, sa kaliwa at sa kanan ng numero ay maglalagay tayo ng mga patayong linya na bumubuo sa tanda ng module. Magbigay tayo ng ilang halimbawa. Halimbawa, ang modulo -7 ay maaaring isulat bilang ; Ang module 4,125 ay isinusulat bilang , at ang module ay isinusulat bilang .

Ang sumusunod na kahulugan ng module ay tumutukoy sa, at samakatuwid, sa, at sa mga integer, at sa mga makatwiran at hindi makatwiran na mga numero, bilang sa mga bumubuong bahagi ng hanay ng mga tunay na numero. Pag-uusapan natin ang tungkol sa modulus ng isang kumplikadong numero sa.

Kahulugan.

Modulus ng a ay alinman sa numerong a mismo, kung a ay isang positibong numero, o ang numerong −a, ang kabaligtaran ng numerong a, kung a ay isang negatibong numero, o 0, kung a=0 .

Ang tininigan na kahulugan ng modulus ng isang numero ay kadalasang isinusulat sa sumusunod na anyo , ang notasyong ito ay nangangahulugan na kung a>0 , kung a=0 , at kung a<0 .

Ang tala ay maaaring katawanin sa isang mas compact na anyo . Ang notasyong ito ay nangangahulugan na kung (a ay mas malaki kaysa o katumbas ng 0 ), at kung a<0 .

May record din . Dito, ang kaso kapag ang a=0 ay dapat ipaliwanag nang hiwalay. Sa kasong ito, mayroon tayong , ngunit −0=0 , dahil ang zero ay itinuturing na isang numero na kabaligtaran sa sarili nito.

Dalhin natin mga halimbawa ng paghahanap ng modulus ng isang numero na may ibinigay na kahulugan. Halimbawa, hanapin natin ang mga module ng mga numero 15 at . Magsimula tayo sa paghahanap. Dahil ang numero 15 ay positibo, ang modulus nito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, katumbas ng numerong ito mismo, iyon ay, . Ano ang modulus ng isang numero? Dahil isang negatibong numero, kung gayon ang modulus nito ay katumbas ng bilang na kabaligtaran ng numero, iyon ay, ang numero . Sa ganitong paraan, .

Sa pagtatapos ng talatang ito, nagbibigay kami ng isang konklusyon, na kung saan ay napaka-maginhawa upang magamit sa pagsasanay kapag hinahanap ang modulus ng isang numero. Mula sa kahulugan ng modulus ng isang numero ito ay sumusunod na ang modulus ng isang numero ay katumbas ng numero sa ilalim ng sign ng modulus, anuman ang sign nito, at mula sa mga halimbawang tinalakay sa itaas, ito ay napakalinaw na nakikita. Ang tinig na pahayag ay nagpapaliwanag kung bakit ang modulus ng isang numero ay tinatawag din ang ganap na halaga ng numero. Kaya ang modulus ng isang numero at ang ganap na halaga ng isang numero ay iisa at pareho.

Modulus ng isang numero bilang distansya

Sa geometriko, ang modulus ng isang numero ay maaaring bigyang-kahulugan bilang distansya. Dalhin natin pagpapasiya ng modulus ng isang numero sa mga tuntunin ng distansya.

Kahulugan.

Modulus ng a ay ang distansya mula sa pinanggalingan sa linya ng coordinate hanggang sa punto na tumutugma sa bilang a.

Ang kahulugan na ito ay naaayon sa kahulugan ng modulus ng isang numero na ibinigay sa unang talata. Ipaliwanag natin ang puntong ito. Ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto na tumutugma sa isang positibong numero ay katumbas ng numerong ito. Ang zero ay tumutugma sa pinanggalingan, kaya ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong may coordinate 0 ay zero (walang solong segment at walang segment na bumubuo sa anumang bahagi ng segment ng yunit ang kailangang ipagpaliban upang makarating mula sa punto O hanggang sa punto may coordinate 0). Ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa isang puntong may negatibong coordinate ay katumbas ng bilang na kabaligtaran ng coordinate ng ibinigay na punto, dahil ito ay katumbas ng distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto na ang coordinate ay ang kabaligtaran na numero.

Halimbawa, ang modulus ng numero 9 ay 9, dahil ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto na may coordinate 9 ay siyam. Kumuha tayo ng isa pang halimbawa. Ang puntong may coordinate −3.25 ay nasa layong 3.25 mula sa punto O, kaya .

Ang tunog na kahulugan ng modulus ng isang numero ay isang espesyal na kaso ng pagtukoy sa modulus ng pagkakaiba ng dalawang numero.

Kahulugan.

Pagkakaiba ng modulus ng dalawang numero a at b ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga punto ng coordinate line na may mga coordinate a at b .

Iyon ay, kung ang mga puntos sa coordinate line A(a) at B(b) ay ibinigay, kung gayon ang distansya mula sa punto A hanggang sa punto B ay katumbas ng modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng mga numerong a at b. Kung kukunin natin ang point O (reference point) bilang point B, pagkatapos ay makukuha natin ang kahulugan ng modulus ng numerong ibinigay sa simula ng talatang ito.

Pagtukoy sa modulus ng isang numero sa pamamagitan ng arithmetic square root

Minsan nahanap pagpapasiya ng modulus sa pamamagitan ng arithmetic square root.

Halimbawa, kalkulahin natin ang mga module ng mga numero −30 at batay sa kahulugang ito. Meron kami . Katulad nito, kinakalkula namin ang modulus ng dalawang-katlo: .

Ang kahulugan ng modulus ng isang numero sa mga tuntunin ng arithmetic square root ay pare-pareho din sa kahulugan na ibinigay sa unang talata ng artikulong ito. Ipakita natin. Hayaan ang isang positibong numero, at hayaang ang −a ay negatibo. Pagkatapos at , kung a=0 , kung gayon .

Mga katangian ng module

Ang module ay may ilang mga katangiang resulta - mga katangian ng module. Ngayon ay ibibigay namin ang pangunahing at pinakakaraniwang ginagamit sa kanila. Kapag pinatunayan ang mga katangiang ito, aasa tayo sa kahulugan ng modulus ng isang numero sa mga tuntunin ng distansya.

Magsimula tayo sa pinaka-halatang katangian ng module − Ang modulus ng isang numero ay hindi maaaring negatibong numero. Sa literal na anyo, ang ari-arian na ito ay may anyo para sa anumang numerong a . Napakadaling bigyang-katwiran ang property na ito: ang modulus ng isang numero ay ang distansya, at ang distansya ay hindi maaaring ipahayag bilang negatibong numero.

Lumipat tayo sa susunod na katangian ng modyul. Ang modulus ng isang numero ay katumbas ng zero kung at kung ang numerong ito ay zero. Ang modulus ng zero ay zero sa pamamagitan ng kahulugan. Ang zero ay tumutugma sa pinagmulan, walang ibang punto sa linya ng coordinate ang tumutugma sa zero, dahil ang bawat tunay na numero ay nauugnay sa isang solong punto sa linya ng coordinate. Para sa parehong dahilan, ang anumang numero maliban sa zero ay tumutugma sa isang punto maliban sa pinagmulan. At ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa anumang punto maliban sa puntong O ay hindi katumbas ng zero, dahil ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos ay katumbas ng zero kung at kung ang mga puntong ito ay magkasabay. Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapatunay na ang modulus lamang ng zero ay katumbas ng zero.

Move on. Ang mga magkasalungat na numero ay may pantay na mga module, iyon ay, para sa anumang numero a . Sa katunayan, ang dalawang punto sa linya ng coordinate, na ang mga coordinate ay magkasalungat na mga numero, ay nasa parehong distansya mula sa pinanggalingan, na nangangahulugan na ang mga module ng magkasalungat na mga numero ay pantay.

Ang susunod na katangian ng module ay: ang modulus ng produkto ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng mga module ng mga numerong ito, yan ay, . Sa pamamagitan ng kahulugan, ang modulus ng produkto ng mga numerong a at b ay alinman sa a b kung , o −(a b) kung . Ito ay sumusunod mula sa mga tuntunin ng multiplikasyon ng mga tunay na numero na ang produkto ng moduli ng mga numero a at b ay katumbas ng alinman sa a b , , o −(a b) , kung , na nagpapatunay sa itinuturing na pag-aari.

Ang modulus ng quotient ng paghahati ng a sa b ay katumbas ng quotient ng paghahati ng modulus ng a sa modulus ng b, yan ay, . Bigyan natin ng katwiran ang katangiang ito ng modyul. Dahil ang quotient ay katumbas ng produkto, kung gayon . By virtue of the previous property, we have . Nananatili lamang itong gamitin ang pagkakapantay-pantay , na wasto dahil sa kahulugan ng modulus ng numero.

Ang sumusunod na katangian ng module ay isinulat bilang isang hindi pagkakapantay-pantay: Ang , a , b at c ay mga arbitrary na tunay na numero. Ang nakasulat na hindi pagkakapantay-pantay ay walang iba kundi hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok. Upang gawing malinaw ito, kunin natin ang mga puntos na A(a) , B(b) , C(c) sa linya ng coordinate, at isaalang-alang ang degenerate triangle ABC, na ang mga vertices ay nasa parehong linya. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang modulus ng pagkakaiba ay katumbas ng haba ng segment AB, - ang haba ng segment AC, at - ang haba ng segment CB. Dahil ang haba ng alinmang panig ng isang tatsulok ay hindi lalampas sa kabuuan ng mga haba ng iba pang dalawang panig, ang hindi pagkakapantay-pantay , samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroon din.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na napatunayan ay mas karaniwan sa anyo . Ang nakasulat na hindi pagkakapantay-pantay ay karaniwang itinuturing bilang isang hiwalay na pag-aari ng modyul na may pormulasyon: " Ang modulus ng kabuuan ng dalawang numero ay hindi lalampas sa kabuuan ng moduli ng mga numerong ito". Ngunit ang hindi pagkakapantay-pantay ay direktang sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay , kung ilalagay natin ang −b sa halip na b dito, at kukunin ang c=0 .

Complex number modulus

Pagbigyan natin pagpapasiya ng modulus ng isang kumplikadong numero. Pagbigyan tayo kumplikadong numero, nakasulat sa algebraic form , kung saan ang x at y ay ilang tunay na numero, na kumakatawan, ayon sa pagkakabanggit, ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang ibinigay na kumplikadong numero z, at ito ay isang haka-haka na yunit.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang ganap na halaga ng isang numero a ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto PERO(a).

Upang maunawaan ang kahulugang ito, pinapalitan namin sa halip na isang variable a anumang numero, halimbawa 3 at subukang basahin itong muli:

Ang ganap na halaga ng isang numero 3 ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto PERO(3 ).

Nagiging malinaw na ang module ay hindi hihigit sa karaniwang distansya. Subukan nating makita ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong A( 3 )

Ang distansya mula sa pinanggalingan ng mga coordinate hanggang point A( 3 ) ay katumbas ng 3 (tatlong yunit o tatlong hakbang).

Ang modulus ng isang numero ay ipinahiwatig ng dalawang patayong linya, halimbawa:

Ang modulus ng numero 3 ay tinutukoy bilang mga sumusunod: |3|

Ang modulus ng numero 4 ay tinutukoy bilang mga sumusunod: |4|

Ang modulus ng bilang 5 ay ipinahiwatig bilang mga sumusunod: |5|

Hinanap namin ang modulus ng numero 3 at nalaman na ito ay katumbas ng 3. Kaya isinulat namin:

Nagbabasa tulad ng: "Ang modulus ng tatlo ay tatlo"

Ngayon subukan nating hanapin ang modulus ng numero -3. Muli, bumalik kami sa kahulugan at pinapalitan ang numero -3 dito. Lamang sa halip ng isang tuldok A gumamit ng bagong punto B. Punto A nagamit na natin sa unang halimbawa.

Ang modulus ng numero ay 3 tawagan ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto B(—3 ).

Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isa pa ay hindi maaaring negatibo. Samakatuwid, ang modulus ng anumang negatibong numero, bilang isang distansya, ay hindi rin magiging negatibo. Ang module ng numerong -3 ay magiging numero 3. Ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong B(-3) ay katumbas din ng tatlong unit:

Nagbabasa tulad ng: "Ang modulus ng isang numero minus tatlo ay tatlo"

Ang modulus ng numero 0 ay 0, dahil ang punto na may coordinate 0 ay tumutugma sa pinagmulan, i.e. distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto O(0) katumbas ng zero:

"Ang modulus ng zero ay zero"

Gumagawa kami ng mga konklusyon:

• Ang modulus ng isang numero ay hindi maaaring negatibo;
• Para sa isang positibong numero at zero, ang modulus ay katumbas ng numero mismo, at para sa isang negatibo, sa kabaligtaran na numero;
• Ang magkasalungat na numero ay may pantay na mga module.

Kabaligtaran ng mga numero

Ang mga numero na naiiba lamang sa mga palatandaan ay tinatawag kabaligtaran. Halimbawa, ang mga numero −2 at 2 ay magkasalungat. Sila ay naiiba lamang sa mga palatandaan. Ang numero −2 ay may minus sign, at 2 ay may plus sign, ngunit hindi namin ito nakikita, dahil ang plus, tulad ng sinabi namin kanina, ay tradisyonal na hindi nakasulat.

Higit pang mga halimbawa ng magkasalungat na numero:

Ang magkasalungat na numero ay may pantay na mga module. Halimbawa, hanapin natin ang mga module para sa −2 at 2

Ipinapakita ng figure na ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa mga punto A(−2) at B(2) katumbas ng dalawang hakbang.

Nagustuhan mo ba ang aralin?
Sumali sa aming bagong pangkat ng Vkontakte at magsimulang makatanggap ng mga abiso ng mga bagong aralin