HALONG PRODUKTO NG TATLONG VECTOR AT MGA KATANGIAN NITO
Pinaghalong trabaho tatlong vector ay tinatawag na isang numero na katumbas ng . Itinalaga 
. Dito, ang unang dalawang vector ay pinarami ng vector at pagkatapos ay ang resultang vector ay pinarami ng scalarly ng ikatlong vector. Malinaw, ang naturang produkto ay isang tiyak na numero.
Isaalang-alang natin ang mga katangian ng isang halo-halong produkto.
- Geometric na kahulugan pinaghalong gawain. Ang pinaghalong produkto ng 3 vectors, hanggang sa isang sign, ay katumbas ng dami ng parallelepiped na binuo sa mga vector na ito, tulad ng sa mga gilid, i.e. .
Kaya, at
.
Patunay. Isantabi natin ang mga vectors mula sa karaniwang pinagmulan at bumuo ng parallelepiped sa kanila. Ipahiwatig at tandaan natin na . Sa pamamagitan ng kahulugan ng scalar product
Ipagpalagay na at denoting sa pamamagitan ng h hanapin ang taas ng parallelepiped.
Kaya, kapag
Kung, kung gayon. Kaya naman, .
Ang pagsasama-sama ng parehong mga kasong ito, makakakuha tayo ng o .
Mula sa patunay ng ari-arian na ito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung ang triple ng mga vector ay kanang kamay, kung gayon ang pinaghalong produkto ay , at kung ito ay kaliwete, kung gayon .
- Para sa anumang mga vectors , , ang pagkakapantay-pantay ay totoo
Ang patunay ng property na ito ay sumusunod mula sa Property 1. Sa katunayan, madaling ipakita iyon at . Bukod dito, ang mga palatandaan na "+" at "-" ay kinuha nang sabay-sabay, dahil ang mga anggulo sa pagitan ng mga vector at at at ay parehong talamak at mahina.
- Kapag ang alinmang dalawang salik ay muling inayos, nagbabago ang tanda ng pinaghalong produkto.
Sa katunayan, kung isasaalang-alang natin ang isang halo-halong produkto, kung gayon, halimbawa, o
- Isang halo-halong produkto kung at kung ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero o ang mga vector ay coplanar.
Patunay.
Kaya, ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa coplanarity ng 3 vectors ay ang kanilang pinaghalong produkto ay katumbas ng zero. Bilang karagdagan, sumusunod na ang tatlong vector ay bumubuo ng batayan sa espasyo kung .
Kung ang mga vector ay ibinibigay sa coordinate form, maaari itong ipakita na ang kanilang pinaghalong produkto ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
.Kaya, ang pinaghalong produkto ay katumbas ng third-order determinant, na mayroong mga coordinate ng unang vector sa unang linya, ang mga coordinate ng pangalawang vector sa pangalawang linya, at ang mga coordinate ng ikatlong vector sa ikatlong linya.
Mga halimbawa.
ANALYTICAL GEOMETRY SA SPACE
Ang equation F(x, y, z)= 0 ay tumutukoy sa espasyo Oxyz ilang ibabaw, i.e. locus ng mga puntos na ang mga coordinate x, y, z matugunan ang equation na ito. Ang equation na ito ay tinatawag na surface equation, at x, y, z- kasalukuyang mga coordinate.
Gayunpaman, kadalasan ang ibabaw ay hindi tinukoy ng isang equation, ngunit bilang isang hanay ng mga punto sa espasyo na may isa o ibang pag-aari. Sa kasong ito, kinakailangan upang mahanap ang equation ng ibabaw batay sa mga geometric na katangian nito.
EROPLO.
NORMAL NA EROPLO NA VECTOR.
EQUATION NG ISANG EROPLO NA DUMAAN SA ISANG BIGAY NA PUNTO
Isaalang-alang natin ang isang arbitrary na eroplano σ sa kalawakan. Natutukoy ang posisyon nito sa pamamagitan ng pagtukoy ng isang vector na patayo sa eroplanong ito at ilang nakapirming punto M0(x 0, y 0, z 0), nakahiga sa σ plane.
Ang vector na patayo sa eroplanong σ ay tinatawag normal vector ng eroplanong ito. Hayaang may mga coordinate ang vector.
Kunin natin ang equation ng plane σ na dumadaan sa puntong ito M0 at pagkakaroon ng isang normal na vector. Upang gawin ito, kumuha ng di-makatwirang punto sa eroplano σ M(x, y, z) at isaalang-alang ang vector.
Para sa anumang punto M Ang О σ ay isang vector. Samakatuwid, ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay ang kondisyon na ang punto MО σ. Ito ay may bisa para sa lahat ng mga punto ng eroplanong ito at nilabag kaagad sa punto M ay nasa labas ng σ plane.
Kung tinutukoy natin ang mga puntos sa pamamagitan ng radius vector M, – radius vector ng punto M0, kung gayon ang equation ay maaaring isulat sa anyo
Ang equation na ito ay tinatawag vector equation ng eroplano. Isulat natin ito sa coordinate form. Simula noon
Kaya, nakuha namin ang equation ng eroplano na dumadaan sa puntong ito. Kaya, upang lumikha ng isang equation ng isang eroplano, kailangan mong malaman ang mga coordinate ng normal na vector at ang mga coordinate ng ilang mga punto na nakahiga sa eroplano.
Tandaan na ang equation ng eroplano ay isang equation ng 1st degree na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate x, y At z.
Mga halimbawa.
GENERAL EQUATION NG EROPLO
Maaari itong ipakita na ang anumang first degree equation na may paggalang sa mga coordinate ng Cartesian x, y, z kumakatawan sa equation ng isang tiyak na eroplano. Ang equation na ito ay nakasulat bilang:
Ax+By+Cz+D=0
at tinatawag pangkalahatang equation eroplano, at ang mga coordinate A, B, C narito ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano.
Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso ng pangkalahatang equation. Alamin natin kung paano matatagpuan ang eroplano na may kaugnayan sa sistema ng coordinate kung ang isa o higit pang mga coefficient ng equation ay naging zero.
Ang A ay ang haba ng segment na pinutol ng eroplano sa axis baka. Katulad nito, maaari itong ipakita na b At c– haba ng mga segment na pinutol ng eroplanong isinasaalang-alang sa mga palakol Oy At Oz.
Maginhawang gamitin ang equation ng isang eroplano sa mga segment upang makagawa ng mga eroplano.
Kinakalkula ng online calculator na ito ang pinaghalong produkto ng mga vector. Ang isang detalyadong solusyon ay ibinigay. Upang makalkula ang isang halo-halong produkto ng mga vector, piliin ang paraan ng kumakatawan sa mga vectors (sa pamamagitan ng mga coordinate o sa pamamagitan ng dalawang puntos), ipasok ang data sa mga cell at mag-click sa pindutan ng "Kalkulahin".
×
Babala
I-clear ang lahat ng mga cell?
Isara ang Clear
Mga tagubilin sa pagpasok ng data. Ang mga numero ay ipinasok bilang mga integer (mga halimbawa: 487, 5, -7623, atbp.), mga decimal (hal. 67., 102.54, atbp.) o mga fraction. Dapat ilagay ang fraction sa anyong a/b, kung saan ang a at b (b>0) ay mga integer o decimal na numero. Mga halimbawa 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, atbp.
Pinaghalong produkto ng mga vectors (teorya)
Pinaghalong trabaho tatlong vectors ay ang bilang na nakuha ng scalar product ng resulta ng vector product ng unang dalawang vectors at ang ikatlong vector. Sa madaling salita, kung tatlong vector ang ibinigay a, b At c, pagkatapos ay upang makuha ang pinaghalong produkto ng mga vector na ito, una ang unang dalawang vector at ang resultang vector [ ab] ay scalarly multiply sa vector c.
Pinaghalong produkto ng tatlong vectors a, b At c tinukoy bilang sumusunod: abc o kaya ( a,b,c). Pagkatapos ay maaari tayong sumulat:
| abc=([ab],c) |
Bago bumalangkas ng theorem na kumakatawan sa geometric na kahulugan ng isang halo-halong produkto, maging pamilyar sa mga konsepto ng right triple, left triple, right coordinate system, left coordinate system (mga kahulugan 2, 2" at 3 sa page vector product ng mga vectors online).
Para sa katiyakan, sa mga sumusunod ay isasaalang-alang lamang natin ang mga right-handed coordinate system.
Teorama 1. Pinaghalong produkto ng mga vector ([ab],c) ay katumbas ng dami ng isang paralleliped na itinayo sa mga vector na nabawasan sa isang karaniwang pinagmulan a, b, c, kinuha na may plus sign, kung tatlo a, b, c tama, at may minus sign kung tatlo a, b, c umalis Kung ang mga vectors a, b, c ay coplanar, kung gayon ([ ab],c) ay katumbas ng zero.
Corollary 1. Ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:
Kaya naman, sapat na para patunayan natin iyon
| ([ab],c)=([bc],a) | (3) |
Mula sa expression (3) ay malinaw na ang kaliwa at kanang bahagi ay katumbas ng dami ng paralleliped. Ngunit ang mga palatandaan ng kanan at kaliwang panig ay nag-tutugma, dahil ang mga triple ng mga vectors abc At bca may parehong oryentasyon.
Ang napatunayang pagkakapantay-pantay (1) ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pinaghalong produkto ng tatlong vectors a, b, c sa porma lang abc, nang hindi tinukoy kung aling dalawang vector ang pinarami ng vector sa unang dalawa o huling dalawa.
Corollary 2. Ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa coplanarity ng tatlong vectors ay ang kanilang pinaghalong produkto ay katumbas ng zero.
Ang patunay ay sumusunod mula sa Theorem 1. Sa katunayan, kung ang mga vector ay coplanar, kung gayon ang pinaghalong produkto ng mga vector na ito ay katumbas ng zero. Sa kabaligtaran, kung ang pinaghalong produkto ay katumbas ng zero, kung gayon ang coplanarity ng mga vector na ito ay sumusunod mula sa Theorem 1 (dahil ang dami ng isang paralleliped na binuo sa mga vectors na nabawasan sa isang karaniwang pinagmulan ay katumbas ng zero).
Corollary 3. Ang pinaghalong produkto ng tatlong vectors, dalawa sa mga ito ay nag-tutugma, ay katumbas ng zero.
Talaga. Kung ang dalawa sa tatlong mga vector ay nag-tutugma, kung gayon sila ay coplanar. Samakatuwid, ang pinaghalong produkto ng mga vector na ito ay katumbas ng zero.
Pinaghalong produkto ng mga vector sa mga coordinate ng Cartesian
Theorem 2. Hayaan ang tatlong vectors a, b At c tinukoy ng kanilang Cartesian rectangular coordinates
Patunay. Pinaghalong trabaho abc katumbas ng scalar product ng mga vectors [ ab] At c. Cross product ng mga vectors [ ab] sa mga coordinate ng Cartesian ay kinakalkula ng formula ():
Ang huling expression ay maaaring isulat gamit ang pangalawang-order na mga determinant:
ito ay kinakailangan at sapat para sa determinant na maging katumbas ng zero, ang mga hilera kung saan ay puno ng mga coordinate ng mga vectors na ito, i.e.:
 .
| (7) |
Upang patunayan ang corollary, sapat na isaalang-alang ang formula (4) at Corollary 2.
Pinaghalong produkto ng mga vector na may mga halimbawa
Halimbawa 1. Maghanap ng pinaghalong produkto ng mga vector abс, Saan
Pinaghalong produkto ng mga vector a, b, c katumbas ng determinant ng matrix L. Kalkulahin natin ang determinant ng matrix L, pagpapalawak ng determinant sa linya 1:
Vector end point a.
Mixed (o vector-scalar) na produkto tatlong vectors a, b, c (kinuha sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod) ay tinatawag na scalar product ng vector a at ang vector product b x c, i.e. ang numerong a(b x c), o, ano ang pareho, (b x c)a.Pagtatalaga: abc.
Layunin. Ang online na calculator ay idinisenyo upang kalkulahin ang pinaghalong produkto ng mga vector. Ang resultang solusyon ay nai-save sa isang Word file. Bilang karagdagan, ang isang template ng solusyon ay nilikha sa Excel.
Mga palatandaan ng coplanarity ng mga vectors
Tatlong vectors (o isang mas malaking bilang) ay tinatawag na coplanar kung sila, na nabawasan sa isang karaniwang pinagmulan, ay nasa parehong eroplano.Kung ang isa man lang sa tatlong vector ay zero, ang tatlong vector ay ituturing ding coplanar.
Tanda ng coplanarity. Kung ang system a, b, c ay kanang kamay, pagkatapos ay abc>0 ; kung iniwan, pagkatapos ay abc Geometric na kahulugan ng halo-halong produkto. Ang pinaghalong produkto na abc ng tatlong non-coplanar vectors a, b, c ay katumbas ng volume ng parallelepiped na binuo sa mga vectors a, b, c, na kinuha na may plus sign kung ang system a, b, c ay kanang kamay , at may minus sign kung kaliwete ang sistemang ito.
Mga katangian ng isang halo-halong produkto
- Kapag ang mga kadahilanan ay muling inayos nang pabilog, ang pinaghalong produkto ay hindi nagbabago; kapag ang dalawang mga kadahilanan ay muling inayos, ang tanda ay nababaligtad: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
Ito ay sumusunod mula sa geometric na kahulugan. - (a+b)cd=acd+bcd (distributive property). Pinapalawak sa anumang bilang ng mga termino.
Sumusunod mula sa kahulugan ng isang halo-halong produkto. - (ma)bc=m(abc) (combinative property na may kinalaman sa isang scalar factor).
Sumusunod mula sa kahulugan ng isang halo-halong produkto. Ginagawang posible ng mga katangiang ito na maglapat ng mga pagbabagong-anyo sa mga halo-halong produkto na naiiba lamang sa mga ordinaryong algebraic na ang pagkakasunud-sunod ng mga salik ay maaaring baguhin lamang na isinasaalang-alang ang tanda ng produkto. - Ang isang halo-halong produkto na may hindi bababa sa dalawang magkaparehong salik ay katumbas ng zero: aab=0.
Halimbawa Blg. 1. Maghanap ng isang halo-halong produkto. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .
Halimbawa Blg. 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Ang lahat ng termino maliban sa dalawang extreme ay katumbas ng zero. Gayundin, bca=abc . Samakatuwid (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
Halimbawa Blg. 3. Kalkulahin ang pinaghalong produkto ng tatlong vectors a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Solusyon. Upang kalkulahin ang pinaghalong produkto ng mga vector, kinakailangan upang mahanap ang determinant ng isang sistema na binubuo ng mga coordinate ng vector. Isulat natin ang sistema sa form.
Kahulugan. Ang bilang na [, ] ay tinatawag na pinaghalong produkto ng isang ordered triple ng mga vectors, .
Tinutukoy namin: (,) = = [, ].
Dahil ang mga produkto ng vector at scalar ay kasangkot sa kahulugan ng isang halo-halong produkto, ang kanilang mga karaniwang katangian ay ang mga katangian ng isang halo-halong produkto.
Halimbawa, () = ().
Teorama 1. Ang pinaghalong produkto ng tatlong coplanar vectors ay zero.
Patunay. Kung ang isang ibinigay na triple ng mga vector ay coplanar, kung gayon ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay nasiyahan para sa mga vector.
- 1. Sa isang ibinigay na triple ng mga vectors mayroong hindi bababa sa isang zero vector. Sa kasong ito, ang patunay ng teorama ay halata.
- 2. Sa isang ibinigay na triple ng mga vector mayroong hindi bababa sa isang pares ng mga collinear na vector. Kung ||, kung gayon [, ] = 0, dahil [, ]= . Kung
|| , pagkatapos [, ] at [, ] = 0. Katulad nito, kung || .
3. Hayaang maging coplanar ang triple ng mga vector na ito, ngunit ang mga kaso 1 at 2 ay hindi humawak. Pagkatapos ay ang vector [, ] ay magiging patayo sa eroplano kung saan ang lahat ng tatlong mga vector ay parallel.
Samakatuwid, [, ] at (,) = 0.
Teorama 2. Hayaang tukuyin ang mga vectors (), (), () sa batayan (). Pagkatapos
Patunay. Ayon sa kahulugan ng isang halo-halong produkto
(,) = [, ] = с 1 - с 2 + с 3 = .
Dahil sa mga katangian ng determinant, mayroon kaming:
Ang teorama ay napatunayan.
Teorama 3. (,) = [, ].
Patunay. kasi
at dahil sa mga katangian ng determinant na mayroon tayo:
(,) = = = [, ] = [, ].
Ang teorama ay napatunayan.
Teorama 4. Ang modulus ng pinaghalong produkto ng isang non-coplanar triple ng mga vector ay ayon sa bilang na katumbas ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga kinatawan ng mga vector na ito na may isang karaniwang pinagmulan.
Patunay. Pumili tayo ng isang di-makatwirang punto O at itabi mula rito ang mga kinatawan ng mga vector na ito, : , . Sa eroplanong OAB gagawa tayo ng parallelogram OADB at, pagdaragdag ng edge OS, gagawa tayo ng parallelepiped OADBCADB. Ang volume V ng parallelepiped na ito ay katumbas ng produkto ng base area OADB at ang haba ng taas ng parallelepiped OO.
Ang lugar ng parallelogram OADB ay |[, ]|. Sa kabila
|OO| = || |cos |, nasaan ang anggulo sa pagitan ng mga vector at [, ].
Isaalang-alang ang halo-halong module ng produkto:
|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.
Ang teorama ay napatunayan.
Tandaan 1. Kung ang pinaghalong produkto ng isang triple ng mga vector ay katumbas ng zero, ang triple ng mga vector na ito ay linearly na umaasa.
Tandaan 2. Kung ang pinaghalong produkto ng isang ibinigay na triple ng mga vector ay positibo, kung gayon ang triple ng mga vector ay tama, at kung ito ay negatibo, ang triple ng mga vector ay naiwan. Sa katunayan, ang tanda ng pinaghalong produkto ay tumutugma sa tanda ng cos, at ang magnitude ng anggulo ay tumutukoy sa oryentasyon ng triple, . Kung ang anggulo ay talamak, kung gayon ang tatlo ay tama, at kung ito ay isang mahinang anggulo, kung gayon ang tatlo ay naiwan.
Halimbawa 1. Ibinigay ang parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 at ang mga coordinate ng mga sumusunod na vectors sa orthonormal na batayan: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).
Hanapin ang: 1) dami ng parallelepiped;
- 2) mga lugar ng mukha ABCD at CDD 1 C;
- 3) cosine ng dihedral angle sa pagitan ng mga eroplanong ABC at CDD 1.
Solusyon.
Ang parallelepiped na ito ay binuo sa mga vector
Kaya, ang dami nito ay katumbas ng modulus ng pinaghalong produkto ng mga vectors na ito, i.e.
Kaya, V steam = 12 cubic units.
Alalahanin na ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng haba ng produkto ng vector ng mga vector kung saan ito itinayo.
Ipakilala natin ang notasyon: , pagkatapos
Samakatuwid, (6; - 8; - 2), kung saan
yun. sq. na mga yunit
Gayundin,
Hayaan mo na
saan (15; - 20; 1) at
Nangangahulugan ito ng mga sq. unit.
Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon: pl. (ABC)=, pl. (DCC 1)=.
Ayon sa kahulugan ng isang produkto ng vector, mayroon tayong:
Nangangahulugan ito na ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:
Mula sa pangalawang punto ng solusyon mayroon kami:
Patunayan na kung at ay magkaparehong patayo na mga vector ng yunit, kung gayon para sa anumang mga vector at ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay mayroong:
Solusyon.
Hayaang maibigay ang mga coordinate ng mga vector sa isang orthonormal na batayan: ; . Dahil, sa pamamagitan ng pag-aari ng isang halo-halong produkto mayroon kaming:
Kaya, ang pagkakapantay-pantay (1) ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo: , at ito ay isa sa mga napatunayang katangian ng produkto ng vector ng mga vector at. Kaya, ang bisa ng pagkakapantay-pantay (1) ay napatunayan.
Paglutas ng zero na bersyon ng gawaing pagsubok
Gawain Blg. 1
Ang vector ay bumubuo ng mga anggulo at may mga batayang vector at, ayon sa pagkakabanggit. Tukuyin ang anggulo na ginagawa ng vector sa vector.
Solusyon.
Bumuo tayo ng parallelepiped sa mga vector at sa isang dayagonal, upang ang mga vector at ay pantay.
Pagkatapos sa isang tamang tatsulok na may tamang anggulo, ang magnitude ng anggulo ay katumbas ng kung saan.
Katulad nito, sa isang tamang tatsulok na may tamang anggulo, ang magnitude ay katumbas ng, kung saan.
Sa isang tamang tatsulok, gamit ang Pythagorean theorem nakita namin:
Sa isang tamang tatsulok, ang binti at ang hypotenuse ay mga tamang anggulo. Kaya ang anggulo ay pantay. Ngunit ang anggulo ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng mga vector at. Kaya't nalutas ang problema.
Gawain Blg. 2.
Tatlong vector ang ibinigay sa batayan. Patunayan na ang may apat na gilid ay patag. Hanapin ang lugar nito.
Solusyon.
1. Kung ang mga vector at ay coplanar, kung gayon ito ay isang patag na may apat na gilid. Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito.
Dahil ang determinant ay katumbas ng zero, ang mga vector at ay coplanar, na nangangahulugan na ang quadrilateral ay flat.
2. Tandaan na, samakatuwid at sa gayon, ang quadrilateral ay isang trapezoid na may mga base AB at CD.
Sa pamamagitan ng pag-aari ng produkto ng vector mayroon kami:
Paghahanap ng produkto ng vector
Gawain Blg. 3. Maghanap ng isang vector collinear sa vector (2; 1; -2), na ang haba ay 5.
Solusyon.
Tukuyin natin ang mga coordinate ng vector (x, y, z). Tulad ng alam mo, ang mga collinear vector ay may proporsyonal na mga coordinate, at samakatuwid mayroon kaming:
x = 2t, y = t, z = ? 2t.
Ayon sa mga kondisyon ng problema || = 5, at sa coordinate form:
Ang pagpapahayag ng mga variable sa pamamagitan ng parameter t, nakukuha natin:
4t 2 +t 2 +4t 2 =25,
kaya,
x = , y = , z = .
Nakatanggap kami ng dalawang solusyon.
Sa araling ito titingnan natin ang dalawa pang operasyon na may mga vector: produkto ng vector ng mga vector At pinaghalong produkto ng mga vector (Immediate link para sa mga nangangailangan nito). Okay lang, minsan nangyayari na para sa kumpletong kaligayahan, bilang karagdagan sa scalar na produkto ng mga vector, parami nang parami ang kinakailangan. Ito ay pagkagumon sa vector. Maaaring tila tayo ay papasok sa gubat ng analytical geometry. Mali ito. Sa seksyong ito ng mas mataas na matematika, sa pangkalahatan ay may maliit na kahoy, maliban marahil ay sapat para sa Pinocchio. Sa katunayan, ang materyal ay napaka-pangkaraniwan at simple - halos hindi mas kumplikado kaysa sa pareho produktong scalar, magkakaroon ng mas kaunting mga karaniwang gawain. Ang pangunahing bagay sa analytical geometry, dahil marami ang makumbinsi o nakumbinsi na, ay HUWAG MAGKAKAMALI SA PAGKUKULANG. Ulitin tulad ng isang spell at ikaw ay magiging masaya =)
Kung kumikinang ang mga vector sa isang lugar sa malayo, tulad ng kidlat sa abot-tanaw, hindi mahalaga, magsimula sa aralin Mga vector para sa mga dummies upang ibalik o muling makuha ang pangunahing kaalaman tungkol sa mga vector. Ang mas handa na mga mambabasa ay maaaring maging pamilyar sa impormasyon nang pili; sinubukan kong kolektahin ang pinaka kumpletong koleksyon ng mga halimbawa na madalas na matatagpuan sa praktikal na gawain
Ano ang magpapasaya sayo kaagad? Noong bata pa ako, nakaka-juggle ako ng dalawa o kahit tatlong bola. Ito ay gumana nang maayos. Ngayon hindi mo na kailangang mag-juggle, dahil isasaalang-alang namin mga spatial vectors lamang, at ang mga flat vector na may dalawang coordinate ay maiiwan. Bakit? Ito ay kung paano ipinanganak ang mga pagkilos na ito - ang vector at pinaghalong produkto ng mga vector ay tinukoy at gumagana sa tatlong-dimensional na espasyo. Mas madali na!
Ang operasyong ito, tulad ng scalar product, ay kinabibilangan dalawang vector. Hayaan itong mga hindi nasisira na mga titik.
Ang aksyon mismo ipinapahiwatig ng sa sumusunod na paraan: . Mayroong iba pang mga pagpipilian, ngunit sanay akong tukuyin ang produkto ng vector ng mga vector sa ganitong paraan, sa mga square bracket na may krus.
At kaagad tanong: kung nasa scalar na produkto ng mga vector dalawang vector ang kasangkot, at dito ang dalawang vector ay pinarami din, pagkatapos ano ang pinagkaiba? Ang malinaw na pagkakaiba ay, una sa lahat, sa RESULTA:
Ang resulta ng scalar product ng mga vectors ay NUMBER:
Ang resulta ng cross product ng mga vectors ay VECTOR: , ibig sabihin, pinaparami natin ang mga vector at muling nakakuha ng isang vector. Saradong club. Actually, dito nagmula ang pangalan ng operasyon. Sa iba't ibang literatura na pang-edukasyon, maaaring mag-iba din ang mga pagtatalaga; Gagamitin ko ang liham.
Kahulugan ng cross product
Una ay magkakaroon ng kahulugan na may larawan, pagkatapos ay magkomento.
Kahulugan: Vector na produkto hindi collinear mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, tinatawag na VECTOR, haba na ayon sa bilang katumbas ng lugar ng paralelogram, na binuo sa mga vector na ito; vector orthogonal sa mga vector, at itinuro upang ang batayan ay may tamang oryentasyon: 
Hatiin natin ang kahulugan nang paisa-isa, maraming kawili-wiling bagay dito!
Kaya, ang mga sumusunod na mahahalagang punto ay maaaring i-highlight:
1) Ang orihinal na mga vector, na ipinahiwatig ng mga pulang arrow, ayon sa kahulugan hindi collinear. Angkop na isaalang-alang ang kaso ng mga collinear vectors sa ibang pagkakataon.
2) Kinuha ang mga vector sa isang mahigpit na tinukoy na pagkakasunud-sunod: – Ang "a" ay pinarami ng "maging", hindi "maging" na may "a". Ang resulta ng pagpaparami ng vector ay VECTOR, na nakasaad sa asul. Kung ang mga vector ay pinarami sa reverse order, makakakuha tayo ng isang vector na katumbas ng haba at kabaligtaran sa direksyon (kulay ng raspberry). Ibig sabihin, totoo ang pagkakapantay-pantay 
.
3) Ngayon, kilalanin natin ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector. Ito ay isang napakahalagang punto! Ang LENGTH ng asul na vector (at, samakatuwid, ang crimson vector) ay ayon sa bilang na katumbas ng AREA ng parallelogram na binuo sa mga vector. Sa figure, ang paralelogram na ito ay may kulay na itim.
Tandaan : ang pagguhit ay eskematiko, at, natural, ang nominal na haba ng produkto ng vector ay hindi katumbas ng lugar ng paralelogram.
Alalahanin natin ang isa sa mga geometric na formula: Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng produkto ng mga katabing panig at ang sine ng anggulo sa pagitan nila. Samakatuwid, batay sa itaas, ang formula para sa pagkalkula ng LENGTH ng isang produkto ng vector ay wasto:
Binibigyang-diin ko na ang formula ay tungkol sa LENGTH ng vector, at hindi tungkol sa vector mismo. Ano ang praktikal na kahulugan? At ang kahulugan ay sa mga problema ng analytical geometry, ang lugar ng isang paralelogram ay madalas na matatagpuan sa pamamagitan ng konsepto ng isang produkto ng vector:
Kunin natin ang pangalawang mahalagang pormula. Ang dayagonal ng isang paralelogram (pulang may tuldok na linya) ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok. Samakatuwid, ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors (red shading) ay matatagpuan gamit ang formula:
4) Ang isang pantay na mahalagang katotohanan ay ang vector ay orthogonal sa mga vector, iyon ay 
. Siyempre, ang oppositely directed vector (raspberry arrow) ay orthogonal din sa orihinal na vectors.
5) Ang vector ay nakadirekta sa gayon batayan Mayroon itong tama oryentasyon. Sa aralin tungkol sa paglipat sa isang bagong batayan Nagsalita ako ng sapat na detalye tungkol sa oryentasyon ng eroplano, at ngayon ay malalaman natin kung ano ang oryentasyon sa espasyo. Ipapaliwanag ko sa iyong mga daliri kanang kamay. Mentally combine hintuturo may vector at hinlalato may vector. Ring finger at kalingkingan pindutin ito sa iyong palad. Ang resulta hinlalaki– titingnan ang produkto ng vector. Ito ay isang right-oriented na batayan (ito ang nasa figure). Ngayon baguhin ang mga vectors ( hintuturo at gitnang daliri) sa ilang mga lugar, bilang isang resulta ang hinlalaki ay iikot, at ang produkto ng vector ay titingin na sa ibaba. Ito rin ay isang batayan na nakatuon sa tama. Maaaring may tanong ka: aling batayan ang umalis sa oryentasyon? "Italaga" sa parehong mga daliri kaliwang kamay vectors, at kunin ang kaliwang batayan at kaliwang oryentasyon ng espasyo (sa kasong ito, ang hinlalaki ay matatagpuan sa direksyon ng mas mababang vector). Sa matalinghagang pagsasalita, ang mga base na ito ay "twist" o i-orient ang espasyo sa iba't ibang direksyon. At ang konsepto na ito ay hindi dapat ituring na isang bagay na malayo o abstract - halimbawa, ang oryentasyon ng espasyo ay binago ng pinaka-ordinaryong salamin, at kung "hinutin mo ang sinasalamin na bagay mula sa salamin," kung gayon sa pangkalahatang kaso ito hindi posibleng pagsamahin ito sa "orihinal." Siyanga pala, hawakan ang tatlong daliri sa salamin at pag-aralan ang reflection ;-)
...gaano kabuti na alam mo na ngayon kanan- at kaliwa-oriented bases, nakakatakot kasi ang mga pahayag ng ilang lecturer tungkol sa pagbabago ng oryentasyon =)
Cross product ng collinear vectors
Ang kahulugan ay tinalakay nang detalyado, nananatili itong malaman kung ano ang mangyayari kapag ang mga vector ay collinear. Kung ang mga vector ay collinear, maaari silang ilagay sa isang tuwid na linya at ang aming parallelogram ay "tupi" din sa isang tuwid na linya. Ang lugar ng ganoon, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, mabulok parallelogram ay katumbas ng zero. Ang parehong sumusunod mula sa formula - ang sine ng zero o 180 degrees ay katumbas ng zero, na nangangahulugang ang lugar ay zero
Kaya, kung , pagkatapos 
At 
. Mangyaring tandaan na ang produkto ng vector mismo ay katumbas ng zero vector, ngunit sa pagsasanay ito ay madalas na napapabayaan at sila ay nakasulat na ito ay katumbas din ng zero.
Ang isang espesyal na kaso ay ang cross product ng isang vector sa sarili nito:
Gamit ang produkto ng vector, maaari mong suriin ang collinearity ng mga three-dimensional na vector, at susuriin din namin ang problemang ito, bukod sa iba pa.
Upang malutas ang mga praktikal na halimbawa na maaaring kailanganin mo trigonometriko talahanayan upang mahanap ang mga halaga ng mga sine mula dito.
Buweno, pagsikapan natin ang apoy:
Halimbawa 1
a) Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors kung 
b) Hanapin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors kung 
Solusyon: Hindi, hindi ito isang typo, sadyang ginawa kong pareho ang paunang data sa mga sugnay. Dahil mag-iiba ang disenyo ng mga solusyon!
a) Ayon sa kondisyon, kailangan mong hanapin haba vector (krus na produkto). Ayon sa kaukulang formula:
Sagot:
Kung tinanong ka tungkol sa haba, pagkatapos ay sa sagot ay ipinapahiwatig namin ang dimensyon - mga yunit.
b) Ayon sa kondisyon, kailangan mong hanapin parisukat paralelogram na binuo sa mga vector. Ang lugar ng parallelogram na ito ay ayon sa bilang na katumbas ng haba ng produkto ng vector:
Sagot:
Mangyaring tandaan na ang sagot ay hindi nagsasalita tungkol sa produkto ng vector; tinanong kami tungkol sa lugar ng figure, nang naaayon, ang dimensyon ay square units.
Palagi kaming tumitingin sa KUNG ANO ang kailangan naming hanapin ayon sa kondisyon, at, batay dito, bumalangkas kami malinaw sagot. Maaaring mukhang literal ito, ngunit maraming literalista sa mga guro, at ang takdang-aralin ay may magandang pagkakataon na maibalik para sa rebisyon. Kahit na ito ay hindi isang partikular na malayong pag-aalinlangan - kung ang sagot ay mali, kung gayon ang isa ay makakakuha ng impresyon na ang tao ay hindi nauunawaan ang mga simpleng bagay at/o hindi naiintindihan ang kakanyahan ng gawain. Ang puntong ito ay dapat palaging panatilihing nasa ilalim ng kontrol kapag nilulutas ang anumang problema sa mas mataas na matematika, at sa iba pang mga paksa.
Saan napunta ang malaking titik na "en"? Sa prinsipyo, maaari itong maging karagdagan na naka-attach sa solusyon, ngunit upang paikliin ang entry, hindi ko ginawa ito. Sana ay naiintindihan ng lahat iyon at isang pagtatalaga para sa parehong bagay.
Isang tanyag na halimbawa para sa isang solusyon sa DIY:
Halimbawa 2
Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung 
Ang formula para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng produkto ng vector ay ibinibigay sa mga komento sa kahulugan. Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin.
Sa pagsasagawa, ang gawain ay talagang napakakaraniwan; ang mga tatsulok sa pangkalahatan ay maaaring pahirapan ka.
Upang malutas ang iba pang mga problema kakailanganin namin:
Mga katangian ng produkto ng vector ng mga vector
Isinaalang-alang na namin ang ilang mga katangian ng produkto ng vector, gayunpaman, isasama ko ang mga ito sa listahang ito.
Para sa mga arbitrary na vector at isang arbitrary na numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:
1) Sa iba pang mga mapagkukunan ng impormasyon, ang item na ito ay karaniwang hindi naka-highlight sa mga katangian, ngunit ito ay napakahalaga sa mga praktikal na termino. Kaya hayaan mo na.
2) 
– ang ari-arian ay tinalakay din sa itaas, kung minsan ito ay tinatawag anticommutativity. Sa madaling salita, ang pagkakasunud-sunod ng mga vector ay mahalaga.
3) – nag-uugnay o nag-uugnay mga batas ng produkto ng vector. Ang mga constant ay madaling ilipat sa labas ng produkto ng vector. Talaga, ano ang dapat nilang gawin doon?
4) – pamamahagi o distributive mga batas ng produkto ng vector. Wala ring problema sa pagbubukas ng mga bracket.
Upang ipakita, tingnan natin ang isang maikling halimbawa:
Halimbawa 3
Hanapin kung 
Solusyon: Ang kundisyon ay muling nangangailangan ng paghahanap ng haba ng produkto ng vector. Ipinta natin ang ating miniature: 
(1) Ayon sa mga nauugnay na batas, kinukuha namin ang mga constant sa labas ng saklaw ng produkto ng vector.
(2) Inililipat namin ang constant sa labas ng module, at ang module ay "kumakain" ng minus sign. Ang haba ay hindi maaaring negatibo.
(3) Ang iba ay malinaw.
Sagot: 
Panahon na upang magdagdag ng higit pang kahoy sa apoy:
Halimbawa 4
Kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung 
Solusyon: Hanapin ang lugar ng tatsulok gamit ang formula 
. Ang catch ay ang mga vector na "tse" at "de" ay ipinakita mismo bilang mga kabuuan ng mga vector. Ang algorithm dito ay pamantayan at medyo nakapagpapaalaala sa mga halimbawa No. 3 at 4 ng aralin Tuldok na produkto ng mga vector. Para sa kalinawan, hahatiin namin ang solusyon sa tatlong yugto:
1) Sa unang hakbang, ipinapahayag namin ang produkto ng vector sa pamamagitan ng produkto ng vector, sa katunayan, ipahayag natin ang isang vector sa mga tuntunin ng isang vector. Wala pang salita sa haba!
(1) Palitan ang mga expression ng mga vector.
(2) Gamit ang mga batas sa pamamahagi, binubuksan namin ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial.
(3) Gamit ang mga nauugnay na batas, inililipat namin ang lahat ng mga constant sa kabila ng mga produkto ng vector. Sa kaunting karanasan, ang mga hakbang 2 at 3 ay maaaring isagawa nang sabay-sabay.
(4) Ang una at huling termino ay katumbas ng zero (zero vector) dahil sa magandang katangian. Sa pangalawang termino ginagamit namin ang pag-aari ng anticommutativity ng isang produkto ng vector:
(5) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.
Bilang isang resulta, ang vector ay lumabas na ipinahayag sa pamamagitan ng isang vector, na kung ano ang kinakailangan upang makamit: 
2) Sa pangalawang hakbang, nakita namin ang haba ng produkto ng vector na kailangan namin. Ang pagkilos na ito ay katulad ng Halimbawa 3: 
3) Hanapin ang lugar ng kinakailangang tatsulok: 
Ang mga yugto 2-3 ng solusyon ay maaaring nakasulat sa isang linya.
Sagot:
Ang problemang isinasaalang-alang ay karaniwan sa mga pagsusulit, narito ang isang halimbawa para sa paglutas nito sa iyong sarili:
Halimbawa 5
Hanapin kung
Isang maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Tingnan natin kung gaano ka naging matulungin sa pag-aaral ng mga nakaraang halimbawa ;-)
Cross product ng mga vector sa mga coordinate
, na tinukoy sa isang orthonormal na batayan, ipinahayag ng pormula:
Ang formula ay talagang simple: sa tuktok na linya ng determinant isinulat namin ang mga coordinate vectors, sa pangalawa at pangatlong linya ay "inilalagay" namin ang mga coordinate ng mga vector, at inilalagay namin sa mahigpit na pagkakasunud-sunod– una ang mga coordinate ng "ve" vector, pagkatapos ay ang mga coordinate ng "double-ve" vector. Kung ang mga vector ay kailangang i-multiply sa ibang pagkakasunud-sunod, ang mga hilera ay dapat na palitan: 
Halimbawa 10
Suriin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:
A)
b) 
Solusyon: Ang tseke ay batay sa isa sa mga pahayag sa araling ito: kung ang mga vector ay collinear, kung gayon ang kanilang produkto ng vector ay katumbas ng zero (zero vector): 
.
a) Hanapin ang produkto ng vector: 
Kaya, ang mga vector ay hindi collinear.
b) Hanapin ang produkto ng vector: 
Sagot: a) hindi collinear, b)
Narito, marahil, ang lahat ng pangunahing impormasyon tungkol sa produkto ng vector ng mga vector.
Ang seksyong ito ay hindi magiging napakalaki, dahil kakaunti ang mga problema kung saan ginagamit ang pinaghalong produkto ng mga vector. Sa katunayan, ang lahat ay depende sa kahulugan, geometric na kahulugan at isang pares ng mga gumaganang formula.
Ang isang halo-halong produkto ng mga vector ay ang produkto ng tatlong mga vector:
Kaya't pumila sila na parang tren at hindi makapaghintay na makilala.
Una, muli, isang kahulugan at isang larawan:
Kahulugan: Pinaghalong trabaho hindi koplanar mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, tinawag parallelepiped na dami, na binuo sa mga vectors na ito, na nilagyan ng "+" sign kung ang batayan ay tama, at isang "–" sign kung ang batayan ay naiwan.
Gawin natin ang pagguhit. Ang mga linyang hindi natin nakikita ay iginuhit ng mga tuldok na linya: 
Sumisid tayo sa kahulugan:
2) Kinuha ang mga vector sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, iyon ay, ang muling pagsasaayos ng mga vector sa produkto, tulad ng maaari mong hulaan, ay hindi mangyayari nang walang mga kahihinatnan.
3) Bago magkomento sa geometric na kahulugan, mapapansin ko ang isang malinaw na katotohanan: ang pinaghalong produkto ng mga vector ay isang NUMBER: . Sa literatura na pang-edukasyon, ang disenyo ay maaaring bahagyang naiiba; Sanay akong tukuyin ang isang halo-halong produkto ng , at ang resulta ng mga kalkulasyon sa pamamagitan ng titik na "pe".
A-prioryo ang pinaghalong produkto ay ang dami ng parallelepiped, na binuo sa mga vectors (ang figure ay iginuhit na may mga pulang vector at itim na linya). Iyon ay, ang numero ay katumbas ng dami ng isang ibinigay na parallelepiped.
Tandaan : Ang pagguhit ay eskematiko.
4) Huwag na nating alalahanin muli ang konsepto ng oryentasyon ng batayan at espasyo. Ang kahulugan ng huling bahagi ay maaaring magdagdag ng minus sign sa volume. Sa simpleng salita, ang isang halo-halong produkto ay maaaring negatibo: .
Direkta mula sa kahulugan ay sumusunod sa formula para sa pagkalkula ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vectors.
