Problema 1

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation sa dalawang paraan: gamit ang mga formula ng Cramer at ang pamamaraan ni Gauss

1) lutasin ang inhomogeneous system ng linear algebraic equation Ax = B gamit ang Cramer method

Ang determinant ng system D ay hindi katumbas ng zero. Hanapin natin ang mga pantulong na determinant D 1, D 2, D 3, kung hindi sila katumbas ng zero, kung gayon walang mga solusyon, kung pantay-pantay sila, kung gayon mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Isang sistema ng 3 linear equation na may 3 hindi alam, ang determinant nito ay nonzero, ay palaging pare-pareho at may natatanging solusyon, na kinakalkula ng mga formula:

Sagot: nakuha namin ang solusyon:

2) lutasin ang inhomogeneous system ng linear algebraic equation Ax = B gamit ang Gauss method

Gumawa tayo ng pinahabang matrix ng system

Gawin natin ang unang linya bilang gabay, at ang elementong a 11 = 1 bilang gabay. Gamit ang linya ng gabay nakakakuha tayo ng mga zero sa unang column.

tumutugma sa hanay ng mga solusyon ng sistema ng mga linear na equation

Sagot: nakuha namin ang solusyon:

Problema 2

Ibinigay ang mga coordinate ng vertices ng triangle ABC

Hanapin:

1) haba ng gilid AB;

4) equation ng median AE;

Buuin ang ibinigay na tatsulok at lahat ng linya sa coordinate system.

A(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).

1) Distansya sa pagitan ng mga punto A( x 1; sa 1) at B( x 2; sa 2) ay tinutukoy ng formula

gamit kung saan makikita natin ang haba ng gilid AB;

2) mga equation ng panig AB at BC at ang kanilang mga angular coefficient;

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na punto ng eroplano A( x 1; sa 1) at B( x 2; sa 2) ay may anyo

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng mga puntos A at B sa (2), nakuha namin ang equation ng side AB:

Nahanap namin ang angle coefficient k AB ng straight line AB sa pamamagitan ng pagbabago ng resultang equation sa anyo ng isang equation ng isang straight line na may angle coefficient. y =kx - b.

, ibig sabihin, mula saan

Katulad nito, nakuha namin ang equation ng tuwid na linya BC at hanapin ang angular coefficient nito.

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng mga puntos B at C sa (2), nakuha namin ang equation para sa side BC:

Nahanap namin ang koepisyent ng anggulo k ng BC ng tuwid na BC sa pamamagitan ng pagbabago ng nagresultang equation sa anyo ng equation ng isang tuwid na linya na may isang angular coefficient y =kx - b.

, yan ay

3) panloob na anggulo sa vertex B sa radians na may katumpakan na 0.01

Upang mahanap ang panloob na anggulo ng aming tatsulok, ginagamit namin ang formula:

Tandaan na ang pamamaraan para sa pagkalkula ng pagkakaiba sa pagitan ng mga angular coefficient sa numerator ng fraction na ito ay nakasalalay sa relatibong posisyon ng mga tuwid na linya AB at BC.

Ang pagpapalit ng naunang kinakalkula na mga halaga ng k BC at k AB sa (3), nakita namin:

Ngayon, gamit ang mga talahanayan na may isang microcalculator ng engineering, nakukuha namin ang B » 1.11 rad.

4) equation ng median AE;

Upang i-compile ang equation ng median AE, una naming hanapin ang mga coordinate ng point E, na nasa gitna ng segment BC

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng mga puntos A at E sa equation (2), makuha natin ang median equation:

5) equation at haba ng taas CD;

Upang i-compile ang equation para sa taas CD, ginagamit namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M( x 0 ; y 0) na may ibinigay na slope k, na may anyo

at ang kondisyon ng perpendicularity ng mga tuwid na linya AB at CD, na ipinahayag ng kaugnayan k AB k CD = -1, kung saan k CD = -1/k AB = - 3/4

Pinapalitan sa (4) sa halip na k ang halaga k C D = -3/4, at sa halip na x 0 , y 0 ang kaukulang mga coordinate ng point C, makuha namin ang equation para sa taas CD

Upang kalkulahin ang haba ng taas ng CD, ginagamit namin ang formula para sa paghahanap ng distansya d mula sa isang naibigay na punto M( x 0 ; y 0) sa isang ibinigay na tuwid na linya na may equation na Ax+ By + C = 0, na may anyo:

Papalitan sa (5) sa halip x 0 ; y 0 mga coordinate ng point C, at sa halip na A, B, C ang mga coefficient ng equation ng straight line AB, nakukuha natin

6) ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto E parallel sa gilid AB at ang punto M ng intersection nito sa taas CD;

Dahil ang nais na tuwid na linya EF ay parallel sa tuwid na linya AB, kung gayon k EF = k AB = 4/3. Ang pagpapalit sa equation (4) sa halip x 0 ; y 0 mga coordinate ng point E, at sa halip na k ang halaga k EF makuha natin ang equation ng straight line EF."

Upang mahanap ang mga coordinate ng point M, sama-sama naming nilulutas ang mga equation ng mga linyang EF at CD.

Kaya, M(5.48, 0.64).

7) equation ng isang bilog na may sentro sa point E na dumadaan sa vertex B

Dahil ang bilog ay may sentro sa punto E(4.5; 2) at dumadaan sa vertex B(4; 3), kung gayon ang radius nito

Canonical equation ng isang bilog na may radius R na may sentro sa punto M 0 ( x 0 ; y 0) ay may anyo

Triangle ABC, height CD, median AE, straight line EF, point M at isang bilog na binuo sa x0y coordinate system sa Fig. 1.

Suliranin 3

Gumuhit ng equation ng isang linya, para sa bawat punto kung saan ang distansya nito sa point A (2; 5) ay katumbas ng distansya sa tuwid na linya y = 1. I-plot ang resultang curve sa coordinate system

Solusyon

Hayaan M ( x, y) - kasalukuyang punto ng nais na kurba. Ibagsak natin ang patayong MB mula sa punto M hanggang sa tuwid na linya y = 1 (Larawan 2). Pagkatapos B(x; 1). Since MA = MB, then

Binubuo namin ang pangunahing determinant para sa system

at kalkulahin ito.

Pagkatapos ay bumubuo kami ng mga karagdagang determinant

at kalkulahin ang mga ito.

Ayon sa panuntunan ng Cramer, ang solusyon sa system ay matatagpuan gamit ang mga formula

;
;
, Kung

1)

Kalkulahin natin:

Gamit ang mga formula ng Cramer nahanap namin:

Sagot: (1; 2; 3)

2)

Kalkulahin natin:

Dahil ang pangunahing determinant
, at hindi bababa sa isang karagdagang isa ay hindi katumbas ng zero (sa aming kaso
), kung gayon ang sistema ay walang solusyon.

3)

Kalkulahin natin:

Dahil ang lahat ng mga determinant ay katumbas ng zero, ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, na makikita bilang mga sumusunod:

Lutasin ang mga system sa iyong sarili:

A)
b)

Sagot: a) (1; 2; 5) b) ;;

Praktikal na aralin Blg. 3 sa paksa:

Dot product ng dalawang vectors at application nito

1. Kung ibibigay
At
, pagkatapos ay makikita natin ang scalar product gamit ang formula:

∙

2. Kung, kung gayon ang scalar product ng dalawang vector na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

1. Nabigyan ng dalawang vectors
At

Nakikita namin ang kanilang scalar na produkto tulad ng sumusunod:

.

2. Dalawang vector ang ibinigay:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Ang scalar product ay matatagpuan tulad nito:

3.
,

3.1 Paghahanap ng gawain ng isang pare-parehong puwersa sa isang tuwid na seksyon ng landas

1) Sa ilalim ng impluwensya ng puwersa na 15 N, ang katawan ay gumagalaw sa isang tuwid na linya na 2 metro. Ang anggulo sa pagitan ng puwersa at direksyon ng paggalaw =60 0. Kalkulahin ang gawaing ginawa ng isang puwersa upang ilipat ang isang katawan.

Ibinigay:

Solusyon:

2) Ibinigay:

Solusyon:

3) Isang katawan ang lumipat mula sa puntong M(1; 2; 3) hanggang sa puntong N(5; 4; 6) sa ilalim ng impluwensya ng puwersa na 60 N. Ang anggulo sa pagitan ng direksyon ng puwersa at ng displacement vector =45 0. Kalkulahin ang gawaing ginawa ng puwersang ito.

Solusyon: hanapin ang displacement vector

Paghahanap ng module ng displacement vector:

Ayon sa formula
Maghanap ng trabaho:

3.2 Pagtukoy sa orthogonality ng dalawang vectors

Ang dalawang vector ay orthogonal kung
, yan ay

kasi

1)

- hindi orthogonal

2)

– orthogonal

3) Tukuyin kung ano  ang mga vectors
At
kapwa orthogonal.

kasi
, Iyon
, Ibig sabihin

Magpasya para sa iyong sarili:

A)

. Hanapin ang kanilang scalar product.

b) Kalkulahin kung gaano karaming trabaho ang nagagawa ng puwersa
, kung ang punto ng aplikasyon nito, na gumagalaw nang patuwid, ay lumipat mula sa punto M (5; -6; 1) hanggang sa puntong N (1; -2; 3)

c) Tukuyin kung ang mga vector ay orthogonal
At

Mga sagot: a) 1 b) 16 c) oo

3.3 Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga vector

1)

. Hanapin .

Nahanap namin

palitan sa formula:

.

1). Ibinigay ang mga vertex ng tatsulok na A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1). Hanapin ang anggulo sa vertex A.

Ilagay natin ito sa formula:

Magpasya para sa iyong sarili:

Ibinigay ang vertices ng triangle A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Tukuyin ang panloob na anggulo sa vertex A.

Sagot: 90 o

Praktikal na aralin Blg. 4 sa paksa:

VECTOR PRODUCT NG DALAWANG VECTOR AT ANG APPLICATION NITO.

Formula para sa paghahanap ng cross product ng dalawang vectors:

	parang

1) Hanapin ang modulus ng produkto ng vector:

Bumuo tayo ng determinant at kalkulahin ito (gamit ang panuntunan ni Sarrus o ang theorem sa pagpapalawak ng determinant sa mga elemento ng unang hilera).

1st method: ayon sa panuntunan ni Sarrus

Paraan 2: palawakin ang determinant sa mga elemento ng unang hilera.

2) Hanapin ang modulus ng produkto ng vector:

4.1. PAGKUKULALA NG LUGAR NG ISANG PARALLELOGRAM NA NABUO SA DALAWANG VECTOR.

1) Kalkulahin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector

2). Hanapin ang produkto ng vector at ang modulus nito

4.2. PAGKUKULUTA NG LUGAR NG ISANG TRIANGLE

Halimbawa: ang ibinigay ay ang mga vertices ng tatsulok na A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Kalkulahin ang lugar ng tatsulok.

Una, hanapin natin ang mga coordinate ng dalawang vector na nagmumula sa parehong vertex.

Hanapin natin ang kanilang produkto ng vector

4.3. DETERMINATION OF COLLINEARITY NG DALAWANG VECTOR

Kung ang vector
At
ay collinear, kung gayon

, ibig sabihin, ang mga coordinate ng mga vector ay dapat na proporsyonal.

a) Ibinigay na mga vector::
,
.

Collinear kasi sila
At

pagkatapos bawasan ang bawat fraction makuha namin ang ratio

b) Ibinigay na mga vector:

.

Hindi sila collinear kasi
o

Magpasya para sa iyong sarili:

a) Sa anong mga halaga ng m at n ng vector
collinear?

Sagot:
;

b) Hanapin ang produkto ng vector at ang modulus nito
,
.

Sagot:
,
.

Praktikal na aralin Blg. 5 sa paksa:

STRAIGHT LINE SA ISANG EROPLO

Problema Blg. 1. Hanapin ang equation ng isang linyang dumadaan sa punto A(-2; 3) na kahanay ng linya

1. Hanapin ang slope ng linya
.

ay ang equation ng isang tuwid na linya na may isang angular coefficient at isang inisyal na ordinate (
). kaya lang
.

2. Dahil ang mga linyang MN at AC ay parallel, ang kanilang mga angular coefficient ay pantay, i.e.
.

3. Upang mahanap ang equation ng straight line AC, ginagamit namin ang equation ng isang straight line na dumadaan sa isang punto na may ibinigay na angular coefficient:

. Sa pormula na ito sa halip At palitan ang mga coordinate ng point A(-2; 3), sa halip Palitan natin – 3. Bilang resulta ng pagpapalit ay nakukuha natin:

Sagot:

Gawain Blg. 2. Hanapin ang equation ng isang linya na dumadaan sa puntong K(1; –2) parallel sa linya.

1. Hanapin natin ang slope ng linya.

Ito ang pangkalahatang equation ng isang linya, na sa pangkalahatang anyo ay ibinibigay ng formula. Paghahambing ng mga equation, nakita namin na A = 2, B = –3. Ang slope ng tuwid na linya na ibinigay ng equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
. Ang pagpapalit ng A = 2 at B = –3 sa formula na ito, nakukuha namin ang slope ng tuwid na linya MN. Kaya,
.

2. Dahil ang mga linyang MN at KS ay magkatulad, ang kanilang mga angular coefficient ay pantay:
.

3. Upang mahanap ang equation ng straight line na KS, ginagamit namin ang formula para sa equation ng straight line na dumadaan sa isang punto na may ibinigay na angular coefficient.
. Sa pormula na ito sa halip At palitan natin ang mga coordinate ng puntong K(–2; 3), sa halip na

Problema Blg. 3. Hanapin ang equation ng linyang dumadaan sa puntong K(–1; –3) patayo sa linya.

1. ay isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, na sa pangkalahatang anyo ay ibinibigay ng formula.

at nalaman namin na A = 3, B = 4.

Ang slope ng tuwid na linya na ibinigay ng equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
. Ang pagpapalit ng A = 3 at B = 4 sa formula na ito, nakuha namin ang slope ng tuwid na linya MN:
.

2. Dahil ang mga linyang MN at KD ay patayo, ang kanilang mga angular coefficient ay inversely proportional at kabaligtaran ng sign:

.

3. Upang mahanap ang equation ng tuwid na linya KD, ginagamit namin ang formula para sa equation ng tuwid na linya na dumadaan sa punto na may ibinigay na angular coefficient

. Sa pormula na ito sa halip At palitan ang mga coordinate ng puntong K(–1;–3), sa halip palitan natin Bilang resulta ng pagpapalit ay nakukuha namin:

Magpasya para sa iyong sarili:

1. Hanapin ang equation ng linyang dumadaan sa puntong K(–4; 1) parallel sa linya
.

Sagot:
.

2. Hanapin ang equation ng linyang dumadaan sa puntong K(5; –2) parallel sa linya
.

3. Hanapin ang equation ng linyang dumadaan sa puntong K(–2, –6) patayo sa linya
.

4. Hanapin ang equation ng linyang dumadaan sa puntong K(7; –2) patayo sa linya
.

Sagot:
.

5. Hanapin ang equation ng perpendicular na bumaba mula sa puntong K(–6; 7) hanggang sa tuwid na linya
.

2.3.1. Kahulugan.

Hayaang ibigay ang mga linear na equation:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Kung kinakailangan upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa mga equation (2.3.1) ¾ (2.3.3), pagkatapos ay sinasabi nila na bumubuo sila sistema . Ang sistemang binubuo ng mga equation (2.3.1) ¾ (2.3.3) ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

Ang pangkalahatang solusyon ng mga equation na bumubuo sa sistema ay tinatawag solusyon sa sistema . Lutasin ang sistema (2.3.4) ¾ nangangahulugan ito ng paghahanap ng hanay ng lahat ng mga solusyon nito, o pagpapatunay na wala.

Tulad ng sa mga nakaraang kaso, sa ibaba ay makikita natin ang mga kondisyon kung saan ang system (2.3.4) ay may natatanging solusyon, mayroong higit sa isang solusyon, at walang solusyon.

2.3.2. Kahulugan. Hayaang ibigay ang sistema (2.3.4) ng mga linear na equation. Mga matrice

ay tinatawag nang naaayon ( basic )matris At pinahabang matrix mga sistema.

2.3.3. Ang mga kahulugan ng mga katumbas na sistema ng anyo (2.3.4), pati na rin ang mga elementarya na pagbabago ng ika-1 at ika-2 uri, ay ipinakilala sa parehong paraan tulad ng para sa mga sistema ng dalawang equation na may dalawa at tatlong hindi alam.

Pagbabagong elementarya Ang ikatlong uri ng sistema (2.3.4) ay tinatawag na pagpapalitan ng ilang dalawang equation ng sistemang ito. Katulad ng mga nakaraang kaso ng mga sistema ng 2 equation sa elementarya na pagbabago ng sistema, ang sistema ay nakuha,katumbas nito.

2.3.4. Mag-ehersisyo. Lutasin ang mga sistema ng mga equation:

Solusyon. A)

(1) Pinalitan namin ang una at pangalawang equation ng system (type 3 transformation).

(2) Ang unang equation na pinarami ng 4 ay ibinawas sa pangalawa, at ang unang equation na pinarami ng 6 ay ibinawas mula sa pangatlo (type 2 transformation); kaya, ang hindi alam ay hindi kasama sa pangalawa at pangatlong equation x .

(3) Ang pangalawang equation, na pinarami ng 14, ay ibinawas sa pangatlo; ang hindi alam ay hindi kasama sa pangatlo y .

(4) Mula sa huling equation nakita namin z = 1, pinapalitan kung alin sa pangalawa, makikita natin y = 0. Panghuli, pagpapalit y = 0 at z = 1 sa unang equation, nakita namin x = -2.ñ

(1) Pinalitan namin ang una at pangalawang equation ng system.

(2) Ang unang equation na pinarami ng 4 ay ibinawas mula sa pangalawa, at ang unang equation na pinarami ng 6 ay ibinawas mula sa ikatlo.

(3) Ang pangalawa at pangatlong equation ay magkasabay. Ibinubukod namin ang isa sa kanila mula sa system (o, sa madaling salita, kung ibawas namin ang pangalawa sa ikatlong equation, ang ikatlong equation ay magiging pagkakakilanlan 0 = 0; ito ay hindi kasama sa system. Ipinapalagay namin z = a .

(4) Kapalit z = a sa pangalawa at unang equation.

(5) Pagpapalit y = 12 - 12a sa unang equation, nakita namin x .

c) Kung ang unang equation ay hinati ng 4, at ang pangatlong ¾ ng 6, pagkatapos ay dumating tayo sa isang katumbas na sistema

na katumbas ng equation x - 2y - z = -3. Ang mga solusyon sa equation na ito ay kilala (tingnan ang Halimbawa 2.2.3 b))

Ang huling pagkakapantay-pantay sa resultang sistema ay magkasalungat. Samakatuwid, ang sistema ay walang mga solusyon.

Ang mga pagbabagong-anyo (1) at (2) ¾ ay eksaktong kapareho ng mga kaukulang pagbabago ng system b))

(3) Ibawas ang pangalawa sa huling equation.

Sagot: a) (-2; 0; 1);

b) (21 - 23 a ; 12 - 12a ; a ), a Î R;

c) ((-3 + 2 a + b ; a ; b )|a , b Î R};

d) Walang solusyon ang sistema.

2.3.5. Mula sa mga nakaraang halimbawa ay sinusundan iyon sistema na may tatlong hindi alam, tulad ng isang sistema na may dalawang hindi alam, maaaring may isang solusyon lamang, isang walang katapusang bilang ng mga solusyon at walang isang solong solusyon. Sa ibaba ay susuriin natin ang lahat ng posibleng kaso. Ngunit ipinakilala muna namin ang ilang notasyon.

Hayaang tukuyin ng D ang determinant ng system matrix:

Hayaang tukuyin ng D 1 ang determinant na nakuha mula sa D sa pamamagitan ng pagpapalit sa unang hanay ng isang hanay ng mga libreng termino:

Katulad nito, ilagay natin

D 2 = at D 3 = .

2.3.6. Teorama. Kung D¹0, pagkatapos ay ang sistema(2.3.4)ay may natatanging solusyon

, , . (2.3.5)

Ang mga formula (2.3.5) ay tinatawag mga formula = = 0 para sa lahat i ¹ j at hindi bababa sa isa sa mga determinant , , hindi katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay walang solusyon.

4) Kung = = = = = = 0 para sa lahat i ¹ j , pagkatapos ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, depende sa dalawang parameter.

PRAKTIKAL NA ARALIN Blg. 7

SOLUSYON NG ISANG SYSTEM NG 3 LINEAR EQUATIONS

MAY TATLONG VARIABLE

Target:

Bumuo ng kakayahang magbago ng mga matrice;

Bumuo ng mga kasanayan sa paglutas ng system3 linear equation sa tatlong variable gamit ang Cramer's method;

Pagsama-samahin ang kaalaman tungkol sa mga katangian ng 2nd at 3rd order determinants;

Materyal at teknikal na suporta: mga patnubay para sa pagsasagawa ng gawain;

Lead time: 2 akademikong oras;

Pag-unlad ng aralin:

Mag-aral ng maikling teoretikal na impormasyon;

Kumpletuhin ang mga gawain;

Gumawa ng konklusyon sa gawain;

Maghanda ng pagtatanggol sa iyong trabaho sa mga tanong sa pagsusulit.

Maikling teoretikal na impormasyon:

Ang matrix ay isang parisukat o hugis-parihaba na mesa, puno ng mga numero. Ang mga numerong ito ay tinatawag na mga elemento ng matrix.

Mga elemento ng matrix, pahalang na matatagpuan, bumuo ng mga hilera ng matrix. Mga elemento ng matrix, nakaayos nang patayo, bumuo ng mga haligi ng matrix.

Ang mga linya ay binibilang mula kaliwa hanggang kanan, simula sa numero1, ang mga hanay ay binibilang mula sa itaas hanggang sa ibaba, simula sa numero1.

MatrixA , pagkakaroonm mga linya atn mga hanay, tinatawag na matrixlakim san at itinalagaA m∙n . Elementoa ako j matriceA = { a ij } nakatayo sa intersectioni - oh mga linya atj- ika-kolum.

Ang pangunahing dayagonal ng isang square matrix ay ang dayagonal na humahantong mula sa itaas na kaliwang sulok ng matrix hanggang sa kanang ibabang sulok.Ang gilid na dayagonal ng isang parisukat na matrix ay ang dayagonal na humahantong mula sa ibabang kaliwang sulok ng matrix hanggang sa kanang itaas na sulok.

Ang dalawang matrice ay itinuturing na pantay-pantay kung sila ay may parehong dimensyon at ang kanilang mga katumbas na elemento ay pantay.

Ang bawat matrix ay maaaring i-multiply sa anumang numero, at kungk – numero, kung gayonk ∙ A ={ k ∙ a ij }.

Mga matrice ng parehong lakiA m∙n AtB m∙n maaaring tiklop, atA m∙n + B m∙n = { a ij + b i j }.

Ang operasyon ng pagdaragdag ng matrix ay may mga katangianA + B = B + A , A +( B + C ) = ( A + B ) + C .

Halimbawa 1. Pagkatapos magsagawa ng mga operasyon sa matrices, hanapin ang matrix C= 2A - B, kung saan, .

Solusyon.

Kalkulahin natin ang matrix 2A ng dimensyon na 3x3:

Kalkulahin natin ang matrix C = 2A - Sa dimensyon 3x3:

C = 2 A - B .

Determinant ng isang third-order matrix ay ang bilang na tinukoy ng pagkakapantay-pantay:

.

Ang numerong ito ay kumakatawan sa isang algebraic sum na binubuo ng anim na termino. Ang bawat termino ay naglalaman ng eksaktong isang elemento mula sa bawat row at bawat column ng matrix. Ang bawat termino ay binubuo ng produkto ng tatlong salik.

Fig.1.1. Fig.1.2.

Ang mga palatandaan kung saan ang mga tuntunin ng determinant ay kasama sa formula para sa paghahanap ng third-order determinant ay maaaring matukoy gamit ang ibinigay na pamamaraan, na tinatawag na panuntunan ng mga tatsulok o panuntunan ni Sarrus. Ang unang tatlong termino ay kinuha gamit ang plus sign at tinutukoy mula sa figure (1.1.), at ang susunod na tatlong termino ay kinuha gamit ang minus sign at tinutukoy mula sa figure (1.2).

Halimbawa 2. Kalkulahin ang third-order determinant gamit ang panuntunan ni Sarrus:

Solusyon:

Halimbawa 3. Kalkulahin ang third-order determinant gamit ang expansion method sa mga elemento ng unang row:

Solusyon:

Ginagamit namin ang formula:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

Isaalang-alang natin ang mga pangunahing katangian ng mga determinant:

Ang determinant na may zero na row (column) ay katumbas ng zero.

Kung magpaparami ka ng anumang row (anumang column) ng isang matrix sa anumang numero, ang determinant ng matrix ay i-multiply sa numerong ito.

Ang determinant ay hindi nagbabago kapag ang matrix ay inilipat.

Ang determinant ay nagbabago ng sign kapag ang alinmang dalawang row (column) ng matrix ay muling inayos.

Ang determinant ng isang matrix na may dalawang magkaparehong row (column) ay katumbas ng zero.

Ang determinant ay hindi magbabago kung ang anumang iba pang row ay idaragdag sa anumang row, na i-multiply sa anumang numero. Ang isang katulad na pahayag ay totoo para sa mga hanay.

Ang mga katangian ng mga matrice at determinant ay malawakang ginagamit kapag nilulutas ang isang sistema ng tatlong linear na equation na may tatlong hindi alam:

,

kung saan ang x 1 , X 2 , X 3 ay mga variable, at 11 , A 12 ,…, A 33 - numerical coefficients. Dapat alalahanin na kapag nilulutas ang isang sistema, posible ang isa sa tatlong posibleng sagot:

1) ang sistema ay may natatanging solusyon – (x 1 ; X 2 ; X 3 );

2) ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon (hindi natukoy);

3) ang sistema ay walang mga solusyon (inconsistent).

Isaalang-alang ang paglutas ng isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alamPamamaraan ni Cramer, nanagbibigay-daan sa iyo upang mahanapang tanging solusyon sa system, batay sa kakayahang kalkulahin ang mga determinant ng third-order:

Halimbawa 3. Maghanap ng solusyon sa isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam gamit ang mga formula ng Cramer:

Solusyon. Maghanap ng mga determinant ng ikatlong order gamit angAng panuntunan o pagpapalawak ni Sarrus sa pamamagitan ng mga elemento ng unang hanay:

Nahanap namin ang solusyon sa system gamit ang mga formula:

Sagot: (- 152; 270; -254)

Mga gawain para sa independiyenteng pagkumpleto:

ako. Hanapin ang transformation matrix.

II. Compute determinantIIIutos.

III. Lutasin ang system gamit ang paraan ng Cramer.

Opsyon 1.

1. C = A +3 B , Kung, . 2..

Opsyon 2.

1. C =2 A - B , Kung, . 2..

Opsyon 3.

1. C = 3 A + B , Kung, . 2. .

Opsyon 4.

1. C = A - 4 B , Kung, . 2..

Opsyon 5.

1. C = 4 A - B , Kung, . 2..

Opsyon 6.

1. C = A +2 B , Kung, . 2..

Opsyon 7.

1. C =2 A + B , Kung, . 2..

Opsyon 8.

1. C =3 A - B , Kung, . 2..

Opsyon 9.

1. C = A - 3 B , Kung, . 2..

Opsyon 10.

1. C = A - 2 B , Kung, . 2..

Opsyon 11.

1. C = A +4 B , Kung, . 2..

Opsyon 12.

1. C =4 A + B , Kung, . 2..

Opsyon 13.

1. C = A +3 B , Kung, . 2..

Opsyon 14.

1. C =2 A - B , Kung, . 2..

Opsyon 15.

1. C =3 A + B , Kung, . 2..

Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili:

Ano ang isang matrix?

Mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga determinant ng third-order?

Isulat ang mga formula ng Cramer para sa paglutas ng isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong variable.

Ang mga sistema ng mga equation ay malawakang ginagamit sa sektor ng ekonomiya para sa pagmomodelo ng matematika ng iba't ibang proseso. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga problema sa pamamahala at pagpaplano ng produksyon, mga ruta ng logistik (problema sa transportasyon) o paglalagay ng kagamitan.

Ang mga sistema ng mga equation ay ginagamit hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika at biology, kapag nilulutas ang mga problema sa paghahanap ng laki ng populasyon.

Ang isang sistema ng mga linear na equation ay dalawa o higit pang mga equation na may ilang mga variable kung saan ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang karaniwang solusyon. Ang ganitong pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang lahat ng mga equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay o nagpapatunay na ang pagkakasunod-sunod ay hindi umiiral.

Linear equation

Ang mga equation ng anyong ax+by=c ay tinatawag na linear. Ang mga pagtatalagang x, y ay ang mga hindi alam na ang halaga ay dapat matagpuan, b, a ay ang mga coefficient ng mga variable, c ay ang libreng termino ng equation.
Ang paglutas ng isang equation sa pamamagitan ng paglalagay nito ay magmumukhang isang tuwid na linya, ang lahat ng mga punto ay mga solusyon sa polynomial.

Mga uri ng mga sistema ng mga linear na equation

Ang pinakasimpleng mga halimbawa ay itinuturing na mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable na X at Y.

F1(x, y) = 0 at F2(x, y) = 0, kung saan F1,2 ay function at (x, y) ay function variable.

Lutasin ang sistema ng mga equation - nangangahulugan ito ng paghahanap ng mga halaga (x, y) kung saan ang sistema ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay o pagtatatag na ang angkop na mga halaga ng x at y ay hindi umiiral.

Ang isang pares ng mga halaga (x, y), na isinulat bilang mga coordinate ng isang punto, ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation.

Kung ang mga sistema ay may isang karaniwang solusyon o walang solusyon na umiiral, ang mga ito ay tinatawag na katumbas.

Ang mga homogenous na sistema ng linear equation ay mga sistema na ang kanang bahagi ay katumbas ng zero. Kung ang kanang bahagi pagkatapos ng pantay na tanda ay may halaga o ipinahayag ng isang function, ang naturang sistema ay heterogenous.

Ang bilang ng mga variable ay maaaring higit sa dalawa, pagkatapos ay dapat nating pag-usapan ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear equation na may tatlo o higit pang mga variable.

Kapag nahaharap sa mga sistema, ipinapalagay ng mga mag-aaral na ang bilang ng mga equation ay kinakailangang magkasabay sa bilang ng mga hindi alam, ngunit hindi ito ang kaso. Ang bilang ng mga equation sa system ay hindi nakadepende sa mga variable; maaaring magkaroon ng marami sa kanila ayon sa gusto.

Simple at kumplikadong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Walang pangkalahatang analytical na pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema; lahat ng mga pamamaraan ay batay sa mga numerical na solusyon. Detalyadong inilalarawan ng kursong matematika sa paaralan ang mga pamamaraan tulad ng permutation, algebraic addition, substitution, pati na rin ang mga graphical at matrix na pamamaraan, solusyon sa pamamagitan ng Gaussian method.

Ang pangunahing gawain kapag nagtuturo ng mga pamamaraan ng solusyon ay ang magturo kung paano tama na pag-aralan ang system at hanapin ang pinakamainam na algorithm ng solusyon para sa bawat halimbawa. Ang pangunahing bagay ay hindi kabisaduhin ang isang sistema ng mga patakaran at aksyon para sa bawat pamamaraan, ngunit upang maunawaan ang mga prinsipyo ng paggamit ng isang partikular na pamamaraan.

Ang paglutas ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation sa kurikulum ng pangkalahatang edukasyon ng ika-7 baitang ay medyo simple at ipinaliwanag nang detalyado. Sa anumang aklat-aralin sa matematika, ang bahaging ito ay binibigyan ng sapat na atensyon. Ang paglutas ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss at Cramer na pamamaraan ay pinag-aralan nang mas detalyado sa mga unang taon ng mas mataas na edukasyon.

Paglutas ng mga sistema gamit ang paraan ng pagpapalit

Ang mga aksyon ng paraan ng pagpapalit ay naglalayong ipahayag ang halaga ng isang variable sa mga tuntunin ng pangalawa. Ang expression ay pinapalitan sa natitirang equation, pagkatapos ay binabawasan ito sa isang form na may isang variable. Ang aksyon ay paulit-ulit depende sa bilang ng mga hindi alam sa system

Magbigay tayo ng solusyon sa isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation ng klase 7 gamit ang paraan ng pagpapalit:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang variable na x ay ipinahayag sa pamamagitan ng F(X) = 7 + Y. Ang resultang expression, na pinalitan sa 2nd equation ng system sa halip ng X, ay nakatulong upang makakuha ng isang variable Y sa 2nd equation. . Ang paglutas sa halimbawang ito ay madali at nagbibigay-daan sa iyong makuha ang halaga ng Y. Ang huling hakbang ay suriin ang mga nakuhang halaga.

Hindi laging posible na lutasin ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagpapalit. Ang mga equation ay maaaring maging kumplikado at ang pagpapahayag ng variable sa mga tuntunin ng pangalawang hindi alam ay magiging masyadong mahirap para sa karagdagang mga kalkulasyon. Kapag mayroong higit sa 3 hindi alam sa system, hindi angkop din ang paglutas sa pamamagitan ng pagpapalit.

Solusyon ng isang halimbawa ng isang sistema ng linear inhomogeneous equation:

Solusyon gamit ang algebraic na karagdagan

Kapag naghahanap ng mga solusyon sa mga system gamit ang paraan ng pagdaragdag, ang mga equation ay idinaragdag ng termino sa pamamagitan ng termino at pinarami ng iba't ibang numero. Ang pangwakas na layunin ng mga pagpapatakbo ng matematika ay isang equation sa isang variable.

Ang paggamit ng pamamaraang ito ay nangangailangan ng pagsasanay at pagmamasid. Ang paglutas ng isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagdaragdag kapag mayroong 3 o higit pang mga variable ay hindi madali. Maginhawang gamitin ang pagdaragdag ng algebraic kapag ang mga equation ay naglalaman ng mga fraction at decimal.

Algorithm ng solusyon:

1. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa isang tiyak na numero. Bilang resulta ng operasyon ng aritmetika, ang isa sa mga coefficient ng variable ay dapat maging katumbas ng 1.
2. Idagdag ang nagresultang termino ng expression ayon sa termino at hanapin ang isa sa mga hindi alam.
3. I-substitute ang resultang value sa 2nd equation ng system para mahanap ang natitirang variable.

Paraan ng solusyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable

Ang isang bagong variable ay maaaring ipakilala kung ang sistema ay nangangailangan ng paghahanap ng isang solusyon para sa hindi hihigit sa dalawang equation; ang bilang ng mga hindi alam ay dapat ding hindi hihigit sa dalawa.

Ang pamamaraan ay ginagamit upang gawing simple ang isa sa mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable. Ang bagong equation ay nalutas para sa ipinakilalang hindi alam, at ang resultang halaga ay ginagamit upang matukoy ang orihinal na variable.

Ang halimbawa ay nagpapakita na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable t, posible na bawasan ang 1st equation ng system sa isang standard na quadratic trinomial. Maaari mong lutasin ang isang polynomial sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant.

Kinakailangang hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang kilalang formula: D = b2 - 4*a*c, kung saan ang D ay ang gustong discriminant, b, a, c ang mga salik ng polynomial. Sa ibinigay na halimbawa, a=1, b=16, c=39, samakatuwid D=100. Kung mas malaki sa zero ang discriminant, may dalawang solusyon: t = -b±√D / 2*a, kung mas mababa sa zero ang discriminant, may isang solusyon: x = -b / 2*a.

Ang solusyon para sa mga nagresultang sistema ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.

Visual na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema

Angkop para sa 3 equation system. Ang pamamaraan ay binubuo sa pagbuo ng mga graph ng bawat equation na kasama sa system sa coordinate axis. Ang mga coordinate ng mga intersection point ng mga curve ang magiging pangkalahatang solusyon ng system.

Ang graphical na pamamaraan ay may isang bilang ng mga nuances. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa isang visual na paraan.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, para sa bawat linya dalawang puntos ang itinayo, ang mga halaga ng variable na x ay pinili nang arbitraryo: 0 at 3. Batay sa mga halaga ng x, ang mga halaga para sa y ay natagpuan: 3 at 0. Ang mga puntos na may mga coordinate (0, 3) at (3, 0) ay minarkahan sa graph at ikinonekta ng isang linya.

Ang mga hakbang ay dapat na ulitin para sa pangalawang equation. Ang punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon ng system.

Ang sumusunod na halimbawa ay nangangailangan ng paghahanap ng isang graphical na solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation: 0.5x-y+2=0 at 0.5x-y-1=0.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang sistema ay walang solusyon, dahil ang mga graph ay parallel at hindi nagsalubong sa kanilang buong haba.

Ang mga sistema mula sa mga halimbawa 2 at 3 ay magkatulad, ngunit kapag binuo ito ay nagiging halata na ang kanilang mga solusyon ay iba. Dapat tandaan na hindi laging posible na sabihin kung ang isang sistema ay may solusyon o wala; ito ay palaging kinakailangan upang bumuo ng isang graph.

Ang matrix at ang mga varieties nito

Ginagamit ang mga matrice upang maigsi na magsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Ang matrix ay isang espesyal na uri ng talahanayan na puno ng mga numero. Ang n*m ay may n - row at m - column.

Ang matrix ay parisukat kapag ang bilang ng mga column at row ay pantay. Ang matrix-vector ay isang matrix ng isang column na may walang katapusang posibleng bilang ng mga row. Ang isang matrix na may mga kasama sa isa sa mga diagonal at iba pang mga zero na elemento ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Ang inverse matrix ay isang matrix kapag pinarami kung saan ang orihinal ay nagiging unit matrix; ang gayong matrix ay umiiral lamang para sa orihinal na parisukat.

Mga panuntunan para sa pag-convert ng isang sistema ng mga equation sa isang matrix

Kaugnay ng mga sistema ng mga equation, ang mga coefficient at libreng termino ng mga equation ay isinulat bilang mga numero ng matrix; ang isang equation ay isang hilera ng matrix.

Ang isang matrix row ay sinasabing nonzero kung ang kahit isang elemento ng row ay hindi zero. Samakatuwid, kung sa alinman sa mga equation ang bilang ng mga variable ay naiiba, pagkatapos ay kinakailangan na magpasok ng zero sa lugar ng nawawalang hindi alam.

Ang mga matrix column ay dapat na mahigpit na tumutugma sa mga variable. Nangangahulugan ito na ang mga coefficient ng variable x ay maaaring isulat lamang sa isang column, halimbawa ang una, ang coefficient ng hindi kilalang y - sa pangalawa lamang.

Kapag nagpaparami ng isang matrix, ang lahat ng mga elemento ng matrix ay sunud-sunod na pinarami ng isang numero.

Mga opsyon para sa paghahanap ng inverse matrix

Ang formula para sa paghahanap ng inverse matrix ay medyo simple: K -1 = 1 / |K|, kung saan ang K -1 ay ang inverse matrix, at |K| ay ang determinant ng matrix. |K| hindi dapat katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon.

Ang determinant ay madaling kalkulahin para sa isang two-by-two matrix; kailangan mo lang i-multiply ang mga elemento ng dayagonal sa bawat isa. Para sa opsyong "tatlo sa tatlo", mayroong formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Maaari mong gamitin ang formula, o maaari mong tandaan na kailangan mong kumuha ng isang elemento mula sa bawat row at bawat column upang ang mga bilang ng mga column at row ng mga elemento ay hindi na maulit sa trabaho.

Paglutas ng mga halimbawa ng mga sistema ng linear equation gamit ang matrix method

Ang paraan ng matrix ng paghahanap ng solusyon ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabawasan ang masalimuot na mga entry kapag nilulutas ang mga system na may malaking bilang ng mga variable at equation.

Sa halimbawa, ang isang nm ay ang mga coefficient ng mga equation, ang matrix ay isang vector x n ay mga variable, at ang b n ay mga libreng termino.

Paglutas ng mga sistema gamit ang Gaussian method

Sa mas mataas na matematika, ang Gaussian method ay pinag-aaralan kasama ng Cramer method, at ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa mga system ay tinatawag na Gauss-Cramer solution method. Ang mga pamamaraang ito ay ginagamit upang mahanap ang mga variable ng mga sistema na may malaking bilang ng mga linear equation.

Ang pamamaraang Gauss ay halos kapareho sa mga solusyon sa pamamagitan ng pagpapalit at algebraic na karagdagan, ngunit mas sistematiko. Sa kurso ng paaralan, ang solusyon sa pamamaraang Gaussian ay ginagamit para sa mga sistema ng 3 at 4 na equation. Ang layunin ng pamamaraan ay upang bawasan ang sistema sa anyo ng isang baligtad na trapezoid. Sa pamamagitan ng algebraic transformations at substitutions, ang halaga ng isang variable ay matatagpuan sa isa sa mga equation ng system. Ang pangalawang equation ay isang expression na may 2 hindi alam, habang ang 3 at 4 ay, ayon sa pagkakabanggit, na may 3 at 4 na variable.

Pagkatapos dalhin ang system sa inilarawang anyo, ang karagdagang solusyon ay ibinababa sa sunud-sunod na pagpapalit ng mga kilalang variable sa mga equation ng system.

Sa mga aklat-aralin sa paaralan para sa ika-7 baitang, ang isang halimbawa ng solusyon sa pamamaraang Gauss ay inilarawan bilang mga sumusunod:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, sa hakbang (3) dalawang equation ang nakuha: 3x 3 -2x 4 =11 at 3x 3 +2x 4 =7. Ang paglutas ng alinman sa mga equation ay magbibigay-daan sa iyo upang malaman ang isa sa mga variable x n.

Ang Theorem 5, na binanggit sa teksto, ay nagsasaad na kung ang isa sa mga equation ng sistema ay papalitan ng isang katumbas, kung gayon ang resultang sistema ay magiging katumbas din ng orihinal.

Ang pamamaraang Gaussian ay mahirap maunawaan ng mga mag-aaral sa gitnang paaralan, ngunit isa ito sa mga pinakakawili-wiling paraan upang mapaunlad ang katalinuhan ng mga batang naka-enrol sa mga advanced na programa sa pag-aaral sa mga klase sa matematika at pisika.

Para sa kadalian ng pag-record, ang mga kalkulasyon ay karaniwang ginagawa tulad ng sumusunod:

Ang mga coefficient ng mga equation at libreng termino ay nakasulat sa anyo ng isang matrix, kung saan ang bawat hilera ng matrix ay tumutugma sa isa sa mga equation ng system. naghihiwalay sa kaliwang bahagi ng equation mula sa kanan. Ang mga numerong Romano ay nagpapahiwatig ng mga bilang ng mga equation sa system.

Una, isulat ang matrix na gagamitin, pagkatapos ay ang lahat ng mga aksyon na isinasagawa sa isa sa mga hilera. Ang resultang matrix ay isinulat pagkatapos ng "arrow" sign at ang mga kinakailangang algebraic na operasyon ay ipagpapatuloy hanggang sa makamit ang resulta.

Ang resulta ay dapat na isang matrix kung saan ang isa sa mga diagonal ay katumbas ng 1, at lahat ng iba pang mga coefficient ay katumbas ng zero, iyon ay, ang matrix ay nabawasan sa isang unit form. Hindi natin dapat kalimutang magsagawa ng mga kalkulasyon na may mga numero sa magkabilang panig ng equation.

Ang paraan ng pag-record na ito ay hindi gaanong masalimuot at nagbibigay-daan sa iyo na hindi magambala sa pamamagitan ng paglilista ng maraming hindi alam.

Ang libreng paggamit ng anumang paraan ng solusyon ay mangangailangan ng pangangalaga at ilang karanasan. Hindi lahat ng pamamaraan ay isang inilapat na kalikasan. Ang ilang mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon ay mas kanais-nais sa isang partikular na lugar ng aktibidad ng tao, habang ang iba ay umiiral para sa mga layuning pang-edukasyon.