Matrix ng mga sukat m ng n.
Matrix size m by n ay isang koleksyon ng mn real number o elemento ng ibang structure (polynomials, functions, etc.), na nakasulat sa anyo ng rectangular table, na binubuo ng m row at n columns at kinuha sa bilog o rectangular o double mga tuwid na bracket. Sa kasong ito, ang mga numero mismo ay tinatawag na mga elemento ng matrix at ang bawat elemento ay nauugnay sa dalawang numero - ang numero ng hilera at numero ng hanay. Ang isang matrix na may sukat na n sa pamamagitan ng n ay tinatawag parisukat matrix ng nth order, i.e. ang bilang ng mga hilera ay katumbas ng bilang ng mga hanay. tatsulok - isang parisukat na matrix kung saan ang lahat ng mga elemento sa ibaba o sa itaas ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero. Ang isang parisukat na matrix ay tinatawag na dayagonal , kung ang lahat ng off-diagonal na elemento nito ay katumbas ng zero. Scalar matrix - isang dayagonal matrix na ang mga pangunahing elemento ng dayagonal ay pantay. Ang isang espesyal na kaso ng isang scalar matrix ay ang identity matrix. dayagonal tinatawag ang isang matrix kung saan ang lahat ng diagonal na elemento ay katumbas ng 1 walang asawa matrix at ipinapahiwatig ng simbolong I o E. Tinatawag ang isang matrix na ang mga elemento ay zero wala matrix at ipinapahiwatig ng simbolong O.
Pagpaparami ng matrix A sa isang numero λ (simbolo: λ A) ay binubuo sa pagbuo ng isang matrix B, ang mga elemento nito ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng bawat elemento ng matrix A sa pamamagitan ng numerong ito, iyon ay, ang bawat elemento ng matrix B katumbas
Mga katangian ng pagpaparami ng mga matrice sa isang numero
1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA
4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB
Pagdaragdag ng matrix A + B ay ang operasyon ng paghahanap ng isang matrix C, ang lahat ng mga elemento ay katumbas ng pairwise na kabuuan ng lahat ng kaukulang elemento ng matrix A At B, iyon ay, ang bawat elemento ng matrix C katumbas
Mga katangian ng pagdaragdag ng matrix
5.commutativity) a+b=b+a
6.pagkakaisa.
7.dagdag na may zero matrix;
8.existence ng isang kabaligtaran na matrix (ang parehong bagay ngunit may mga minus sa lahat ng dako bago ang bawat numero)
Pagpaparami ng matrix - mayroong operasyon sa pagkalkula ng matrix C, ang mga elemento nito ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento sa kaukulang hilera ng unang salik at haligi ng pangalawa.
Bilang ng mga column sa matrix A dapat tumugma sa bilang ng mga hilera sa matrix B. Kung matrix A may sukat, B- , pagkatapos ay ang sukat ng kanilang produkto AB = C may .
Mga katangian ng pagpaparami ng matrix
1.associativity; (tingnan sa itaas)
2. ang produkto ay hindi commutative;
3. ang produkto ay commutative sa kaso ng multiplikasyon sa identity matrix;
4. pagiging patas ng batas sa pamamahagi; A*(B+C)=A*B+A*C.
5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);
2. Determinant ng isang parisukat na matrix ng una at ika-na order
Ang determinant ng isang matrix ay isang polynomial ng mga elemento ng isang square matrix (iyon ay, isa kung saan ang bilang ng mga row at column ay katumbas ng
Pagpapasiya sa pamamagitan ng pagpapalawak sa unang hilera
Para sa isang first order matrix determinant ay ang tanging elemento ng matrix na ito mismo:
Para sa isang matrix ng mga determinant ay tinukoy bilang
Para sa isang matrix, ang determinant ay tinukoy nang recursively:
, kung saan mayroong karagdagang minor sa elemento a 1j. Ang formula na ito ay tinatawag na pagpapalawak ng linya.
Sa partikular, ang formula para sa pagkalkula ng determinant ng isang matrix ay:
= a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31
Mga katangian ng mga determinant
Kapag nagdaragdag ng linear na kumbinasyon ng iba pang mga row (column) sa anumang row (column), hindi nagbabago ang determinant.
§ Kung ang dalawang row (columns) ng isang matrix ay magkasabay, kung gayon ang determinant nito ay katumbas ng zero.
§ Kung ang dalawa (o ilang) row (column) ng isang matrix ay linearly dependent, kung gayon ang determinant nito ay katumbas ng zero.
§ Kung muling ayusin ang dalawang row (columns) ng isang matrix, ang determinant nito ay i-multiply sa (-1).
§ Ang karaniwang salik ng mga elemento ng anumang serye ng isang determinant ay maaaring alisin sa tanda ng determinant.
§ Kung ang hindi bababa sa isang hilera (column) ng matrix ay zero, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.
§ Ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng elemento ng anumang row sa pamamagitan ng kanilang mga algebraic complement ay katumbas ng determinant.
§ Ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng elemento ng anumang serye sa pamamagitan ng algebraic complements ng mga katumbas na elemento ng parallel series ay katumbas ng zero.
§ Ang determinant ng produkto ng mga square matrice ng parehong pagkakasunud-sunod ay katumbas ng produkto ng kanilang mga determinant (tingnan din ang Binet-Cauchy formula).
§ Gamit ang index notation, ang determinant ng isang 3x3 matrix ay maaaring tukuyin gamit ang simbolo ng Levi-Civita mula sa kaugnayan:
Baliktad na matrix.
Baliktad na matrix - tulad ng isang matrix A−1, kapag pinarami kung saan ang orihinal na matrix A nagreresulta sa identity matrix E:
May kundisyon pagkakaroon:
Ang isang parisukat na matrix ay invertible kung at kung ito ay hindi isahan, iyon ay, ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero. Para sa mga non-square matrice at singular matrice, walang inverse matrice.
Formula para sa paghahanap
Kung ang matrix ay invertible, pagkatapos ay upang mahanap ang inverse matrix maaari mong gamitin ang isa sa mga sumusunod na pamamaraan:
a) Paggamit ng isang matrix ng algebraic na mga karagdagan
C T- transposed matrix ng algebraic na mga karagdagan;
Ang resultang matrix A−1 at magiging kabaligtaran. Ang pagiging kumplikado ng algorithm ay nakasalalay sa pagiging kumplikado ng algorithm para sa pagkalkula ng determinant na O det at katumbas ng O(n²)·O det.
Sa madaling salita, ang inverse matrix ay katumbas ng isa na hinati sa determinant ng orihinal na matrix at pinarami ng transposed matrix ng mga algebraic na karagdagan (ang minor ay pinarami ng (-1) sa kapangyarihan ng espasyong sinasakop nito) ng ang mga elemento ng orihinal na matris.
4. Sistema ng mga linear na equation. Solusyon ng system. Pagkakatugma at hindi pagkakatugma ng system. matrix method para sa paglutas ng isang sistema ng n linear equation na may n variable. Ang teorama ni Krammer.
Sistema m linear equation na may n hindi kilala(o, linear na sistema) sa linear algebra ay isang sistema ng mga equation ng anyo
 | (1) |
Dito x 1 , x 2 , …, x n- mga hindi alam na kailangang matukoy. a 11 , a 12 , …, isang mn- mga coefficient ng system - at b 1 , b 2 , … b m- mga libreng miyembro - ay ipinapalagay na kilala. Mga indeks ng koepisyent ( isang ij) mga sistema ay nagsasaad ng mga numero ng equation ( i) at hindi kilala ( j), kung saan nakatayo ang coefficient na ito, ayon sa pagkakabanggit.
System (1) ay tinatawag homogenous, kung ang lahat ng libreng termino nito ay katumbas ng zero ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), kung hindi - magkakaiba.
System (1) ay tinatawag parisukat, kung numero m mga equation na katumbas ng bilang n hindi kilala.
Solusyon mga sistema (1) - set n numero c 1 , c 2 , …, c n, na ang pagpapalit ng bawat isa c i sa halip na x i sa sistema (1) ginagawang pagkakakilanlan ang lahat ng equation nito.
System (1) ay tinatawag magkadugtong, kung mayroon itong hindi bababa sa isang solusyon, at hindi magkasanib, kung wala siyang solong solusyon.
Ang magkasanib na sistema ng uri (1) ay maaaring may isa o higit pang mga solusyon.
Mga solusyon c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) at c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n Ang (2) magkasanib na mga sistema ng anyo (1) ay tinatawag iba-iba, kung hindi bababa sa isa sa mga pagkakapantay-pantay ay nilabag:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Form ng matrix
Ang isang sistema ng mga linear na equation ay maaaring katawanin sa matrix form bilang:
Ax = B.
Kung ang isang hanay ng mga libreng termino ay idinagdag sa matrix A sa kanan, kung gayon ang resultang matrix ay tinatawag na extended.
Mga direktang pamamaraan
Pamamaraan ng Cramer (Panuntunan ng Cramer)- isang paraan para sa paglutas ng mga quadratic system ng linear algebraic equation na may non-zero determinant ng pangunahing matrix (at para sa mga naturang equation ay may natatanging solusyon). Pinangalanan pagkatapos ng Gabriel Cramer (1704–1752), na nag-imbento ng pamamaraan.
Paglalarawan ng pamamaraan
Para sa sistema n linear equation na may n hindi kilala (sa isang arbitrary na field)
na may determinant ng system matrix Δ na iba sa zero, ang solusyon ay nakasulat sa form
(ang i-th column ng system matrix ay pinalitan ng column ng mga libreng termino).
Sa ibang anyo, ang panuntunan ng Cramer ay binabalangkas tulad ng sumusunod: para sa anumang mga coefficient c 1, c 2, ..., c n ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay taglay:
Sa form na ito, ang pormula ng Cramer ay may bisa nang walang pag-aakalang ang Δ ay iba sa zero; kahit na hindi kinakailangan na ang mga coefficient ng system ay mga elemento ng isang integral na singsing (ang determinant ng system ay maaaring maging isang divisor ng zero sa coefficient ring). Maaari din nating ipagpalagay na alinman sa mga hanay b 1 ,b 2 ,...,b n At x 1 ,x 2 ,...,x n, o isang set c 1 ,c 2 ,...,c n hindi binubuo ng mga elemento ng coefficient ring ng system, ngunit ng ilang module sa itaas ng ring na ito.
5.Minor ng kth order. Ranggo ng matrix. Pangunahing pagbabago ng mga matrice. Ang Kronecker-Capelli theorem sa mga kondisyon ng compatibility para sa isang sistema ng mga linear equation. Paraan ng variable elimination (Gaussian) para sa isang sistema ng mga linear equation.
menor de edad matrice A ay ang determinant ng square matrix ng order k(na tinatawag ding pagkakasunud-sunod ng menor de edad na ito), na ang mga elemento ay lumilitaw sa matrix A sa intersection ng mga row na may mga numero at column na may mga numero.
Ranggo matrix row (column) system A Sa m mga linya at n ang mga column ay ang maximum na bilang ng mga hindi zero na row (column).
Ang ilang mga row (column) ay sinasabing linearly independent kung wala sa mga ito ang maaaring ipahayag nang linearly sa mga tuntunin ng iba. Ang ranggo ng sistema ng hilera ay palaging katumbas ng ranggo ng sistema ng hanay, at ang numerong ito ay tinatawag na ranggo ng matrix.
Kronecker - teorama ng Capelli (pamantayan ng pagkakapare-pareho para sa isang sistema ng mga linear algebraic equation) -
ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng pangunahing matrix nito ay katumbas ng ranggo ng pinahabang matrix nito (na may mga libreng termino), at ang sistema ay may natatanging solusyon kung ang ranggo ay katumbas ng numero ng mga hindi alam, at isang walang katapusang bilang ng mga solusyon kung ang ranggo ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam.
Pamamaraan ng Gauss - isang klasikal na paraan para sa paglutas ng isang sistema ng linear algebraic equation (SLAE). Ito ay isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable, kapag, gamit ang elementarya na pagbabago, ang isang sistema ng mga equation ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang hakbang (o triangular) na anyo, kung saan ang lahat ng iba pang mga variable ay matatagpuan nang sunud-sunod, simula sa huli (sa pamamagitan ng numero) mga variable.
6. Itinuro ang segment at vector. Pangunahing konsepto ng vector algebra. Ang kabuuan ng mga vector at ang produkto ng isang vector at isang numero. Kondisyon para sa koordinasyon ng mga vector. Mga katangian ng mga linear na operasyon sa mga vector.
Mga operasyon sa mga vector
Dagdag
Ang operasyon ng pagdaragdag ng mga geometric na vector ay maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan, depende sa sitwasyon at uri ng mga vector na isinasaalang-alang:
Dalawang vector u, v at ang vector ng kanilang kabuuan
Triangle rule. Upang magdagdag ng dalawang vector at ayon sa tuntunin ng tatsulok, ang parehong mga vector na ito ay inililipat parallel sa kanilang mga sarili upang ang simula ng isa sa mga ito ay tumutugma sa dulo ng isa pa. Pagkatapos ang kabuuan ng vector ay ibinibigay ng ikatlong bahagi ng nagresultang tatsulok, at ang simula nito ay tumutugma sa simula ng unang vector, at ang pagtatapos nito sa dulo ng pangalawang vector.
Panuntunan ng paralelogram. Upang magdagdag ng dalawang vectors at ayon sa parallelogram rule, ang parehong mga vector na ito ay inililipat parallel sa kanilang mga sarili upang ang kanilang mga pinanggalingan ay nag-tutugma. Pagkatapos ang kabuuan ng vector ay ibinibigay ng dayagonal ng paralelogram na itinayo sa kanila, simula sa kanilang karaniwang pinagmulan.
At ang modulus (haba) ng kabuuan ng vector 
tinutukoy ng cosine theorem kung saan ang anggulo sa pagitan ng mga vectors kapag ang simula ng isa ay tumutugma sa dulo ng isa. Ginagamit din ang formula ngayon - ang anggulo sa pagitan ng mga vector na lumalabas mula sa isang punto.
Vector na likhang sining
Vector na likhang sining vector by vector ay isang vector na nakakatugon sa mga sumusunod na kinakailangan:
Mga katangian ng vector C
§ ang haba ng isang vector ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector at ang sine ng anggulo φ sa pagitan ng mga ito
§ ang vector ay orthogonal sa bawat isa sa mga vectors at
§ ang direksyon ng vector C ay tinutukoy ng panuntunan ng Buravchik
Mga katangian ng isang produkto ng vector:
1. Kapag muling inaayos ang mga salik, ang produkto ng vector ay nagbabago ng tanda (anticommutativity), i.e. 
2. Ang produkto ng vector ay may pinagsamang katangian na may paggalang sa scalar factor, iyon ay
3. Ang produkto ng vector ay may katangian ng pamamahagi:
Batayan at sistema ng coordinate sa eroplano at sa kalawakan. Decomposition ng isang vector ayon sa batayan. Orthonormal na batayan at rectangular Cartesian coordinate system sa eroplano at sa kalawakan. Mga coordinate ng isang vector at isang punto sa isang eroplano at sa kalawakan. Mga projection ng isang vector sa mga coordinate axes.
Batayan (sinaunang Griyego βασις, batayan) - isang set ng mga vector sa isang vector space na ang anumang vector sa space na ito ay maaaring natatanging kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vectors mula sa set na ito - mga batayan ng vector.
Madalas na maginhawang piliin ang haba (norm) ng bawat isa sa mga batayang vector upang maging unit, ang nasabing batayan ay tinatawag na-normalize.
Representasyon ng isang tiyak (anumang) vector ng espasyo bilang isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector (ang kabuuan ng mga batayang vector ayon sa mga numerical coefficient), halimbawa
o, gamit ang sum sign Σ:
tinawag pagpapalawak ng vector na ito sa batayan na ito.
Mga coordinate ng isang vector at isang punto sa isang eroplano at sa kalawakan.
Ang x-axis coordinate ng point A ay isang numero na katumbas ng absolute value sa haba ng segment na OAx: positive kung ang point A ay nasa positive x-axis, at negatibo kung ito ay nasa negative semi-axis.
Ang unit vector o unit vector ay isang vector na ang haba ay katumbas ng isa at nakadirekta sa anumang coordinate axis.
Pagkatapos projection ng vector Ang AB sa l axis ay ang pagkakaiba x1 – x2 sa pagitan ng mga coordinate ng mga projection ng dulo at simula ng vector sa axis na ito.
8.Haba at direksyon ng mga cosiine ng isang vector, ugnayan sa pagitan ng mga direksyon ng cosine. Orth vector. Ang mga coordinate ay ang kabuuan ng mga vector, ang produkto ng isang vector at isang numero.
Ang haba ng vector ay tinutukoy ng formula
Ang direksyon ng vector ay tinutukoy ng mga anggulo α, β, γ na nabuo nito gamit ang mga coordinate axes na Ox, Oy, Oz. Ang mga cosine ng mga anggulong ito (ang tinatawag na direksyon cosines vector
) ay kinakalkula gamit ang mga formula: 
Unit vector o ort (unit vector ng isang normalized na vector space) ay isang vector na ang pamantayan (haba) ay katumbas ng isa.
Ang unit vector, collinear na may ibinigay na isa (normalized vector), ay tinutukoy ng formula
Ang mga vector ng unit ay kadalasang pinipili bilang mga base vector, dahil pinapasimple nito ang mga kalkulasyon. Ang ganitong mga base ay tinatawag na-normalize. Kung ang mga vector na ito ay orthogonal din, ang nasabing batayan ay tinatawag na orthonormal na batayan.
Mga coordinate collinear
Mga coordinate pantay
Mga coordinate kabuuan ng vector dalawang vector ang nagbibigay-kasiyahan sa mga relasyon:
Mga coordinate collinear natutugunan ng mga vector ang kaugnayan:
Mga coordinate pantay natutugunan ng mga vector ang mga relasyon:
Sum vector dalawang vector:
Kabuuan ng ilang vectors:
Produkto ng isang vector at isang numero:
Cross product ng mga vector. Mga geometric na aplikasyon ng cross product. Kondisyon para sa collinearity ng mga vectors. Algebraic na katangian ng isang halo-halong produkto. Pagpapahayag ng produkto ng vector sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga salik.
Cross product ng isang vector at ang vector b ay tinatawag na vector c, na:
1. Patayo sa mga vectors a at b, ibig sabihin, c^a at c^b;
2. May haba ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng isang paralelogram na itinayo sa mga vectors a at b bilang mga gilid (tingnan ang Fig. 17), i.e.
3. Ang mga vectors a, b at c ay bumubuo ng right-handed triple.
Mga Aplikasyon ng Geometric:
Pagtatatag ng collinearity ng mga vectors
Paghahanap ng lugar ng isang paralelogram at isang tatsulok
Ayon sa kahulugan ng produkto ng vector ng mga vectors A at b |a xb | =|a| * |b |sing, i.e. S pares = |a x b |. At, samakatuwid, DS =1/2|a x b |.
Pagpapasiya ng sandali ng puwersa tungkol sa isang punto
Ito ay kilala mula sa pisika na sandali ng puwersa F kaugnay sa punto TUNGKOL SA tinatawag na vector M, na dumadaan sa punto TUNGKOL SA At:
1) patayo sa eroplano na dumadaan sa mga punto O, A, B;
2) ayon sa bilang na katumbas ng produkto ng puwersa bawat braso
3) bumubuo ng tamang triple na may mga vectors na OA at A B.
Samakatuwid, M = OA x F.
Paghahanap ng linear na bilis ng pag-ikot
Ang bilis v ng isang punto M ng isang matibay na katawan na umiikot na may isang angular na bilis w sa paligid ng isang nakapirming axis ay tinutukoy ng Euler formula v = w xr, kung saan ang r = OM, kung saan ang O ay ilang nakapirming punto ng axis (tingnan ang Fig. 21).
Kondisyon para sa collinearity ng mga vectors - isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa collinearity ng isang non-zero vector at isang vector ay ang pagkakaroon ng isang numero na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay.
Algebraic na katangian ng isang halo-halong produkto
Ang pinaghalong produkto ng mga vector ay hindi nagbabago kapag ang mga kadahilanan ay muling inayos nang pabilog at nagbabago ng sign sa kabaligtaran kapag ang dalawang mga kadahilanan ay ipinagpapalit, habang pinapanatili ang modulus nito.
Ang vector multiplication sign na " " sa loob ng isang pinaghalong produkto ay maaaring ilagay sa pagitan ng alinman sa mga salik nito.
Ang isang halo-halong produkto ay distributive na may kinalaman sa alinman sa mga salik nito: (halimbawa) kung , pagkatapos
Pagpapahayag ng cross product sa mga tuntunin ng mga coordinate
tamang coordinate system
kaliwang coordinate system
12.Pinaghalong produkto ng mga vector. Ang geometric na kahulugan ng isang halo-halong produkto, ang kondisyon ng coplanarity ng mga vectors. Algebraic na katangian ng isang halo-halong produkto. Pagpapahayag ng pinaghalong produkto sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga salik.
Magkakahalo Ang produkto ng isang inayos na triple ng mga vectors (a,b,c) ay ang scalar product ng unang vector at ang vector product ng pangalawang vector at ang pangatlo.
Algebraic properties ng isang vector product
Anticommutativity
Pagkakaugnay na may kinalaman sa multiplikasyon sa isang scalar
Distributivity sa pamamagitan ng karagdagan
Pagkakakilanlan ni Jacobi. Tumatakbo sa R3 at break sa R7
Ang mga produkto ng vector ng mga batayang vector ay matatagpuan ayon sa kahulugan
Konklusyon
kung saan ang mga coordinate ng parehong direksyon ng vector ng linya at ang mga coordinate ng isang punto na kabilang sa linya.
Normal na vector ng isang linya sa isang eroplano. Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector. Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Mga equation ng isang tuwid na linya na may isang angular coefficient. Ang relatibong posisyon ng dalawang tuwid na linya sa isang eroplano
Normal ang isang vector ng isang linya ay anumang di-zero na vector na patayo sa linyang ito.
- equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector
Ax + Wu + C = 0- pangkalahatang equation ng isang linya.
Line equation ng anyong y=kx+b
tinawag equation ng isang tuwid na linya na may slope, at ang coefficient k ay tinatawag na slope ng linyang ito.
Teorama. Sa equation ng isang tuwid na linya na may slope y=kx+b
ang angular coefficient k ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa abscissa axis:
Mutual arrangement:
– pangkalahatang equation ng dalawang linya sa Oxy coordinate plane. Pagkatapos
1) kung , pagkatapos ay ang mga linya ay nag-tutugma;
2) kung , pagkatapos ay tuwid at parallel;
3) kung , pagkatapos ay magsalubong ang mga linya.
Patunay . Ang kundisyon ay katumbas ng collinearity ng mga normal na vector ng mga ibinigay na linya:
Samakatuwid, kung , pagkatapos ay ang mga tuwid na linya bumalandra.
Kung 
, pagkatapos , , at ang equation ng linya ay nasa anyo:
O kaya 
, ibig sabihin. tuwid tugma. Tandaan na ang proportionality coefficient ay , kung hindi, ang lahat ng coefficient ng pangkalahatang equation ay magiging zero, na imposible.
Kung ang mga linya ay hindi nag-tutugma at hindi nagsalubong, kung gayon ang kaso ay nananatili, i.e. tuwid parallel.
Equation ng isang linya sa mga segment
Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ах + Ву + С = 0 С≠0, pagkatapos, paghahati sa –С, nakukuha natin: o , kung saan
Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient A ay ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may Ox axis, at b– ang coordinate ng punto ng intersection ng tuwid na linya na may Oy axis.
Normal na equation ng isang linya
Kung ang magkabilang panig ng equation na Ax + By + C = 0 ay hinati sa isang numerong tinatawag normalizing factor, pagkatapos makuha namin
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
normal na equation ng isang linya.
Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang μ ? SA< 0.
Ang p ay ang haba ng patayo na ibinaba mula sa pinanggalingan hanggang sa tuwid na linya, at ang φ ay ang anggulo na nabuo ng patayo na ito na may positibong direksyon ng Ox axis.
C Dapat pansinin na hindi lahat ng linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga linyang parallel sa mga axes o dumadaan sa pinanggalingan.
17. Ellipse. Canonical equation ng isang ellipse. Mga katangian ng geometriko at pagbuo ng isang ellipse. Mga espesyal na termino.
Ellipse - locus ng mga puntos M Euclidean plane, kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang ibinigay na puntos F 1 at F 2 (tinatawag na foci) ay pare-pareho at mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci, iyon ay | F 1 M | + | F 2 M | = 2a, at | F 1 F 2 | < 2a.
Canonical equation
Para sa anumang ellipse, makakahanap ka ng Cartesian coordinate system na ang ellipse ay ilalarawan ng equation (ang canonical equation ng ellipse):
Inilalarawan nito ang isang ellipse na nakasentro sa pinanggalingan, na ang mga axes ay nag-tutugma sa mga coordinate axes.
Konstruksyon: 1)Paggamit ng compass
2) Dalawang trick at isang nakaunat na sinulid
3) Ellipsograph (Ang Ellipsograph ay binubuo ng dalawang slider na maaaring gumalaw kasama ang dalawang perpendicular grooves o guides. Ang mga slider ay nakakabit sa rod sa pamamagitan ng mga bisagra, at matatagpuan sa isang nakapirming distansya mula sa isa't isa kasama ang rod. Ang mga slider ay umuusad at paatras - bawat isa sa kahabaan ng sarili nitong uka, - at ang dulo ng rod ay naglalarawan ng isang ellipse sa eroplano. Ang mga semi-axes ng ellipse a at b ay kumakatawan sa mga distansya mula sa dulo ng rod hanggang sa mga bisagra sa mga slider. Karaniwan ang ang mga distansya a at b ay maaaring iba-iba, at sa gayon ay mababago ang hugis at sukat ng inilarawang ellipse)
Ang eccentricity ay nagpapakilala sa pagpahaba ng ellipse. Kung mas malapit ang eccentricity sa zero, mas ang ellipse ay kahawig ng isang bilog, at vice versa, mas malapit ang eccentricity sa pagkakaisa, mas pinahaba ito.
Parameter ng focal
Canonical equation
18.Hyperbola. Canonical equation ng hyperbolas. Mga katangian ng geometriko at pagbuo ng isang hyperbola. Mga espesyal na termino
Hyperbola(sinaunang Griyego ὑπερβολή, mula sa sinaunang Griyego na βαλειν - "ihagis", ὑπερ - "sa ibabaw") - locus ng mga puntos M Euclidean plane, kung saan ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa M hanggang sa dalawang napiling puntos F 1 at F 2 (tinatawag na foci) patuloy. Mas tiyak,
Bukod dito | F 1 F 2 | > 2a > 0.
Mga ratio
Para sa mga katangian ng mga hyperbola na tinukoy sa itaas, sinusunod nila ang mga sumusunod na relasyon
2. Ang mga directrix ng hyperbola ay ipinahiwatig ng mga linya ng dobleng kapal at ipinahiwatig D 1 at D 2. Eccentricity ε katumbas ng ratio ng mga distansya ng punto P sa hyperbole sa focus at sa kaukulang directrix (ipinapakita sa berde). Ang mga vertex ng hyperbola ay itinalaga bilang ± a. Ang mga parameter ng hyperbola ay nangangahulugan ng sumusunod:
a- distansya mula sa gitna C sa bawat isa sa mga vertex
b- ang haba ng patayo na bumaba mula sa bawat isa sa mga vertices hanggang sa mga asymptotes
c- distansya mula sa gitna C sa alinman sa mga pokus, F 1 at F 2 ,
Ang θ ay ang anggulo na nabuo ng bawat isa sa mga asymptotes at ang axis na iginuhit sa pagitan ng mga vertices.
Ari-arian
§ Para sa anumang puntong nakahiga sa isang hyperbola, ang ratio ng mga distansya mula sa puntong ito hanggang sa pokus sa distansya mula sa parehong punto hanggang sa directrix ay isang pare-parehong halaga.
§ Ang hyperbola ay may mirror symmetry tungkol sa tunay at haka-haka na mga palakol, pati na rin ang rotational symmetry kapag pinaikot sa isang anggulo na 180° sa paligid ng gitna ng hyperbola.
§ Ang bawat hyperbola ay may conjugate hyperbola, kung saan ang tunay at haka-haka na mga palakol ay nagbabago ng mga lugar, ngunit ang mga asymptotes ay nananatiling pareho. Ito ay tumutugma sa kapalit a At b sa ibabaw ng bawat isa sa isang formula na naglalarawan ng hyperbola. Ang conjugate hyperbola ay hindi resulta ng pag-ikot ng paunang hyperbola sa isang anggulo na 90°; magkaiba ang hugis ng parehong hyperbola.
19. Parabola. Canonical equation ng isang parabola. Mga katangian ng geometriko at pagbuo ng isang parabola. Mga espesyal na termino.
Parabola - ang geometric na locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang ibinigay na linya (tinatawag na directrix ng isang parabola) at isang ibinigay na punto (tinatawag na pokus ng parabola).
Ang canonical equation ng isang parabola sa isang rectangular coordinate system:
(o kung palitan mo ang mga palakol).
Ari-arian
§ 1 Ang parabola ay isang second order curve.
§ 2Ito ay may axis ng simetriya na tinatawag ang axis ng parabola. Ang axis ay dumadaan sa focus at patayo sa directrix.
§ 3 Optical na ari-arian. Ang isang sinag ng mga sinag na parallel sa axis ng parabola, na makikita sa parabola, ay nakolekta sa focus nito. At kabaliktaran, ang liwanag mula sa isang pinagmumulan na matatagpuan sa pokus ay sinasalamin ng isang parabola sa isang sinag ng mga sinag na kahanay ng axis nito.
§ 4Para sa isang parabola, ang focus ay nasa punto (0.25; 0).
Para sa isang parabola, ang focus ay nasa punto (0; f).
§ 5 Kung ang pokus ng isang parabola ay makikita na may kaugnayan sa tangent, kung gayon ang imahe nito ay nasa directrix.
§ 6 Ang parabola ay ang antipoder ng isang linya.
§ Lahat ng parabola ay magkatulad. Tinutukoy ng distansya sa pagitan ng focus at ng directrix ang sukat.
§ 7 Kapag ang isang parabola ay umiikot sa paligid ng axis ng symmetry, isang elliptical paraboloid ay nakuha.
Directtrix ng isang parabola
Focal radius
20.Normal na vector ng eroplano. Ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto ay patayo sa isang ibinigay na vector. Pangkalahatang equation ng eroplano, isang espesyal na kaso ng pangkalahatang equation ng eroplano. Vector equation ng isang eroplano. Ang relatibong posisyon ng dalawang eroplano.
Eroplano- isa sa mga pangunahing konsepto ng geometry. Sa isang sistematikong pagtatanghal ng geometry, ang konsepto ng eroplano ay karaniwang kinukuha bilang isa sa mga unang konsepto, na hindi direktang tinutukoy ng mga axiom ng geometry.
Equation ng isang eroplano sa pamamagitan ng punto at normal na vector
Sa anyo ng vector
Sa mga coordinate
Anggulo sa pagitan ng mga eroplano
Mga espesyal na kaso ng pangkalahatang equation ng eroplano.
Upang maipakita nang tama ang mga batas ng kalikasan sa pisika, kinakailangan ang mga naaangkop na tool sa matematika.
Sa geometry at physics mayroong mga dami na nailalarawan sa pamamagitan ng parehong numerical na halaga at direksyon.
Maipapayo na ilarawan ang mga ito bilang nakadirekta na mga segment o mga vector.
Sa pakikipag-ugnayan sa
Ang ganitong mga dami ay may simula (ipinapakita ng isang tuldok) at isang dulo, na ipinapahiwatig ng isang arrow. Ang haba ng isang segment ay tinatawag na (haba).
- bilis;
- acceleration;
- pulso;
- puwersa;
- sandali;
- lakas;
- gumagalaw;
- lakas ng field, atbp.
Mga coordinate ng eroplano
Tukuyin natin ang isang segment sa eroplanong nakadirekta mula sa puntong A (x1,y1) hanggang sa puntong B (x2,y2). Ang mga coordinate nito a (a1, a2) ay ang mga numerong a1=x2-x1, a2=y2-y1.
Ang module ay kinakalkula gamit ang Pythagorean theorem: 
Ang simula ng zero vector ay kasabay ng pagtatapos. Ang mga coordinate at haba ay 0.
Vector sum
Umiiral ilang mga patakaran para sa pagkalkula ng halaga
- tuntunin ng tatsulok;
- tuntunin ng polygon;
- tuntunin ng paralelogram.
Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga vector ay maaaring ipaliwanag gamit ang mga problema mula sa dynamics at mechanics. Isaalang-alang natin ang pagdaragdag ng mga vector ayon sa tuntunin ng tatsulok gamit ang halimbawa ng mga puwersang kumikilos sa isang point body at sunud-sunod na paggalaw ng katawan sa kalawakan.
Sabihin nating gumagalaw muna ang isang katawan mula sa puntong A hanggang sa puntong B, at pagkatapos ay mula sa puntong B hanggang sa puntong C. Ang huling displacement ay isang segment na nakadirekta mula sa panimulang punto A hanggang sa pagtatapos na punto C.
Ang resulta ng dalawang paggalaw o ang kanilang kabuuan s = s1+ s2. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na tuntuning tatsulok.
Ang mga arrow ay naka-line up sa isang kadena nang isa-isa, nagsasagawa ng parallel transfer kung kinakailangan. Isinasara ng kabuuang segment ang sequence. Ang simula nito ay kasabay ng simula ng una, ang pagtatapos nito sa katapusan ng huli. Sa mga dayuhang aklat-aralin ang pamamaraang ito ay tinatawag "buntot sa ulo".
Ang mga coordinate ng resulta c = a + b ay katumbas ng kabuuan ng mga katumbas na coordinate ng mga terminong c (a1+ b1, a2+ b2).
Ang kabuuan ng mga parallel (collinear) na mga vector ay tinutukoy din ng tuntuning tatsulok.
Kung ang dalawang orihinal na mga segment ay patayo sa bawat isa, kung gayon ang resulta ng kanilang pagdaragdag ay ang hypotenuse ng tamang tatsulok na itinayo sa kanila. Ang haba ng kabuuan ay kinakalkula gamit ang Pythagorean theorem.
Mga halimbawa:
- Ang bilis ng isang katawan na inihagis nang pahalang ay patayo acceleration ng free fall.
- Sa pare-parehong rotational motion, ang linear velocity ng katawan ay patayo sa centripetal acceleration.
Pagdaragdag ng tatlo o higit pang mga vector gumawa ayon sa tuntuning polygon, "buntot sa ulo"
Ipagpalagay natin na ang mga pwersang F1 at F2 ay inilalapat sa isang point body.
Ang karanasan ay nagpapatunay na ang pinagsamang epekto ng mga puwersang ito ay katumbas ng pagkilos ng isang puwersa na nakadirekta sa kahabaan ng dayagonal ng parallelogram na itinayo sa kanila. Ang resultang puwersa na ito ay katumbas ng kanilang kabuuan F = F1 + F 2. Ang paraan sa itaas ng karagdagan ay tinatawag tuntunin ng paralelogram.
Ang haba sa kasong ito ay kinakalkula ng formula
Kung saan ang θ ay ang anggulo sa pagitan ng mga gilid.
Ang mga patakaran ng tatsulok at paralelogram ay mapagpapalit. Sa physics, ang parallelogram rule ay mas madalas na ginagamit, dahil ang mga direksyon na magnitude ng mga puwersa, bilis, at acceleration ay karaniwang inilalapat sa isang puntong katawan. Sa isang three-dimensional na coordinate system, nalalapat ang parallelepiped na panuntunan.
Mga elemento ng algebra
- Ang pagdaragdag ay isang binary na operasyon: isang pares lamang ang maaaring idagdag sa isang pagkakataon.
- Commutativity: ang kabuuan mula sa muling pagsasaayos ng mga termino ay hindi nagbabago a + b = b + a. Ito ay malinaw mula sa paralelogram na panuntunan: ang dayagonal ay palaging pareho.
- Pagkakaisa: ang kabuuan ng isang di-makatwirang bilang ng mga vector ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng kanilang karagdagan (a + b) + c = a + (b + c).
- Ang pagsusuma na may zero vector ay hindi nagbabago ng alinman sa direksyon o haba: a +0= a .
- Para sa bawat vector mayroong kabaligtaran. Ang kanilang kabuuan ay katumbas ng zero a +(-a)=0, at ang mga haba ay pareho.
Multiplikasyon sa pamamagitan ng scalar
Ang resulta ng multiplikasyon sa isang scalar ay isang vector.
Ang mga coordinate ng produkto ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng isang scalar sa kaukulang mga coordinate ng orihinal.
Ang scalar ay isang numerical value na may plus o minus sign, mas malaki o mas mababa sa isa.
Mga halimbawa ng scalar na dami sa pisika:
- timbang;
- oras;
- singilin;
- haba;
- parisukat;
- dami;
- density;
- temperatura;
- enerhiya.
Halimbawa:
Ang trabaho ay ang scalar product ng puwersa at displacement A = Fs.
Kapag nag-aaral ng iba't ibang sangay ng physics, mechanics at teknikal na agham, ang mga dami ay nakatagpo na ganap na tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy ng kanilang mga numerical na halaga. Ang ganitong mga dami ay tinatawag scalar o, sa madaling salita, mga scalar.
Ang mga dami ng scalar ay haba, lugar, dami, masa, temperatura ng katawan, atbp. Bilang karagdagan sa mga dami ng scalar, sa iba't ibang mga problema ay may mga dami kung saan, bilang karagdagan sa kanilang numerical na halaga, kinakailangan ding malaman ang kanilang direksyon. Ang ganitong mga dami ay tinatawag vector. Ang mga pisikal na halimbawa ng mga dami ng vector ay maaaring ang pag-aalis ng isang materyal na punto na gumagalaw sa kalawakan, ang bilis at pagbilis ng puntong ito, pati na rin ang puwersang kumikilos dito.
Ang mga dami ng vector ay kinakatawan gamit ang mga vector.
Depinisyon ng vector. Ang vector ay isang nakadirekta na segment ng isang tuwid na linya na may tiyak na haba.
Ang isang vector ay nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang puntos. Ang isang punto ay ang panimulang punto ng vector, ang isa pang punto ay ang dulong punto ng vector. Kung tinutukoy natin ang simula ng vector na may tuldok A , at ang dulo ng vector ay isang punto SA , pagkatapos ay ang vector mismo ay denoted . Ang isang vector ay maaari ding tukuyin ng isang maliit na letrang Latin na may bar sa ibabaw nito (halimbawa, ).
Sa graphically, ang isang vector ay tinutukoy ng isang segment na may arrow sa dulo.
Ang simula ng vector ay tinatawag punto ng aplikasyon nito. Kung ang punto A ay ang simula ng vector , pagkatapos ay sasabihin namin na ang vector ay inilapat sa punto A.
Ang isang vector ay nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang dami: haba at direksyon.
Haba ng vector – ang distansya sa pagitan ng panimulang punto A at dulong punto B. Ang isa pang pangalan para sa haba ng isang vector ay ang modulus ng vector at ipinahihiwatig ng simbolo . Ang vector modulus ay tinutukoy Vector , na ang haba ay 1 ay tinatawag na unit vector. Iyon ay, ang kondisyon para sa unit vector
Ang isang vector na may zero na haba ay tinatawag na isang zero vector (na tinutukoy ng ). Malinaw, ang zero vector ay may parehong simula at pagtatapos na mga punto. Ang zero vector ay walang tiyak na direksyon.
Kahulugan ng collinear vectors. Ang mga vector at matatagpuan sa parehong linya o sa parallel na linya ay tinatawag na collinear .
Tandaan na ang mga collinear vector ay maaaring magkaroon ng iba't ibang haba at iba't ibang direksyon.
Pagpapasiya ng pantay na mga vector. Ang dalawang vector ay sinasabing magkapareho kung sila ay collinear, may parehong haba at parehong direksyon.
Sa kasong ito, isinulat nila:
Magkomento. Mula sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga vector ay sumusunod na ang isang vector ay maaaring ilipat nang kahanay sa pamamagitan ng paglalagay ng pinagmulan nito sa anumang punto sa espasyo (sa partikular, isang eroplano).
Ang lahat ng mga zero vector ay itinuturing na pantay.
Pagpapasiya ng kabaligtaran na mga vector. Ang dalawang vector ay tinatawag na kabaligtaran kung sila ay collinear, ay may parehong haba, ngunit ang kabaligtaran ng direksyon.
Sa kasong ito, isinulat nila:
Sa madaling salita, ang vector na kabaligtaran ng vector ay tinutukoy bilang .
