Kadalasan, ang numerator at denominator ng isang fraction ay mga algebraic na expression na dapat munang mabulok sa mga salik, at pagkatapos, kapag natagpuan ang pareho sa kanila, hatiin ang numerator at denominator sa kanila, iyon ay, bawasan ang fraction. Ang isang buong kabanata ng isang aklat-aralin sa algebra sa ika-7 baitang ay nakatuon sa mga gawain sa pagsasaliksik ng isang polynomial. Maaaring gawin ang pag-factor 3 paraan, pati na rin ang kumbinasyon ng mga pamamaraang ito.
1. Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami
Tulad ng alam sa i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng iba pang polynomial at idagdag ang mga resultang produkto. Mayroong hindi bababa sa 7 (pitong) karaniwang mga kaso ng pagpaparami ng mga polynomial na kasama sa konsepto. Halimbawa,
Talahanayan 1. Factorization sa unang paraan
2. Pag-alis ng karaniwang salik sa bracket
Ang pamamaraang ito ay batay sa aplikasyon ng distributive law of multiplication. Halimbawa,
Hinahati namin ang bawat termino ng orihinal na expression sa pamamagitan ng salik na kinuha namin, at sa parehong oras ay nakukuha namin ang expression sa mga bracket (iyon ay, ang resulta ng paghahati sa kung ano ang kinuha namin ay nananatili sa mga bracket). Una sa lahat, kailangan mo matukoy nang tama ang multiplier, na dapat naka-bracket.
Ang polynomial sa mga bracket ay maaari ding maging karaniwang salik:
Kapag nagsasagawa ng "factorize" na gawain, ang isa ay dapat na maging maingat lalo na sa mga palatandaan kapag inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket. Upang baguhin ang tanda ng bawat termino sa isang panaklong (b - a), inaalis namin ang karaniwang kadahilanan -1 , habang ang bawat termino sa bracket ay nahahati sa -1: (b - a) = - (a - b) .
Kung sakaling ang expression sa mga bracket ay parisukat (o sa anumang kahit na kapangyarihan), kung gayon ang mga numero sa loob ng mga bracket ay maaaring palitan ganap na libre, dahil ang mga minus na kinuha mula sa mga bracket ay magiging plus kapag pinarami: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 at iba pa…
3. Paraan ng pagpapangkat
Minsan hindi lahat ng termino sa expression ay may karaniwang salik, ngunit ilan lamang. Pagkatapos ay maaari mong subukan mga tuntunin ng pangkat sa mga bracket upang ang ilang kadahilanan ay maaaring alisin sa bawat isa. Pamamaraan ng pagpapangkat ay double bracketing ng mga karaniwang salik.
4. Paggamit ng ilang pamamaraan nang sabay-sabay
Minsan kailangan mong mag-aplay hindi isa, ngunit ilang mga paraan upang i-factor ang isang polynomial sa mga kadahilanan nang sabay-sabay.
Ito ay isang buod sa paksa. "Factorization". Piliin ang mga susunod na hakbang:
- Pumunta sa susunod na abstract:
Upang ma-factorize, kinakailangan na gawing simple ang mga expression. Ito ay kinakailangan upang maaari pang mabawasan. Ang decomposition ng isang polynomial ay may katuturan kapag ang antas nito ay hindi mas mababa kaysa sa pangalawa. Ang polynomial na may unang degree ay tinatawag na linear.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ang artikulo ay magbubunyag ng lahat ng mga konsepto ng agnas, mga teoretikal na pundasyon at mga pamamaraan para sa pag-factor ng isang polynomial.
Teorya
Teorama 1Kapag ang anumang polynomial na may degree n na may anyong P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , ay kinakatawan bilang isang produkto na may pare-parehong salik na may pinakamataas na antas a n at n linear na salik (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , pagkatapos ay P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , kung saan x i , i = 1 , 2 , … , n - ito ang mga ugat ng polynomial.
Ang theorem ay inilaan para sa mga ugat ng kumplikadong uri x i , i = 1 , 2 , … , n at para sa kumplikadong coefficients a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Ito ang batayan ng anumang pagkabulok.
Kapag ang mga koepisyent ng anyong a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n ay tunay na mga numero, kung gayon ang mga kumplikadong ugat ay magaganap sa mga pares ng conjugate. Halimbawa, ang mga ugat x 1 at x 2 na nauugnay sa isang polynomial ng anyong P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . Ang + a 1 x + a 0 ay itinuturing na kumplikadong conjugate, kung gayon ang iba pang mga ugat ay totoo, kaya't nakuha natin na ang polynomial ay nasa anyong P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kung saan x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Magkomento
Ang mga ugat ng isang polynomial ay maaaring ulitin. Isaalang-alang ang patunay ng theorem ng algebra, ang mga kahihinatnan ng Bezout's theorem.
Pangunahing teorama ng algebra
Teorama 2Anumang polynomial na may degree n ay may hindi bababa sa isang ugat.
Ang teorama ni Bezout
Pagkatapos hatiin ang polynomial ng anyong P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 on (x - s) , pagkatapos ay makuha natin ang natitira, na katumbas ng polynomial sa punto s , pagkatapos ay makuha natin
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kung saan ang Q n - 1 (x) ay isang polynomial na may degree n - 1 .
Corollary mula sa teorem ni Bezout
Kapag ang ugat ng polynomial na P n (x) ay itinuturing na s , pagkatapos ay P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Ang kaakibat na ito ay sapat kapag ginamit upang ilarawan ang solusyon.
Factorization ng isang square trinomial
Ang isang parisukat na trinomial ng anyong a x 2 + b x + c ay maaaring i-factor sa mga linear na salik. pagkatapos ay makuha natin na a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , kung saan ang x 1 at x 2 ay mga ugat (kumplikado o tunay).
Ipinapakita nito na ang agnas mismo ay bumababa sa paglutas ng quadratic equation mamaya.
Halimbawa 1
I-factor ang isang square trinomial.
Solusyon
Kinakailangang hanapin ang mga ugat ng equation na 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang halaga ng discriminant ayon sa formula, pagkatapos ay makuha namin ang D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Kaya mayroon tayo nito
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Mula dito makuha natin na 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Upang maisagawa ang tseke, kailangan mong buksan ang mga bracket. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang pagpapahayag ng form:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Pagkatapos ng pag-verify, nakarating kami sa orihinal na expression. Ibig sabihin, masasabi natin na tama ang pagpapalawak.
Halimbawa 2
I-factorize ang isang square trinomial ng anyong 3 x 2-7 x - 11 .
Solusyon
Nakuha namin na kinakailangan upang kalkulahin ang nagresultang quadratic equation ng form 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Upang mahanap ang mga ugat, kailangan mong matukoy ang halaga ng discriminant. Nakukuha namin iyon
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816
Mula dito makuha natin na 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Halimbawa 3
I-factor ang polynomial na 2 x 2 + 1.
Solusyon
Ngayon ay kailangan mong lutasin ang quadratic equation 2 x 2 + 1 = 0 at hanapin ang mga ugat nito. Nakukuha namin iyon
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Ang mga ugat na ito ay tinatawag na kumplikadong conjugate, na nangangahulugan na ang agnas mismo ay maaaring katawanin bilang 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Halimbawa 4
Palawakin ang parisukat na trinomial x 2 + 1 3 x + 1 .
Solusyon
Una kailangan mong lutasin ang isang quadratic equation ng form na x 2 + 1 3 x + 1 = 0 at hanapin ang mga ugat nito.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Ang pagkakaroon ng nakuha ang mga ugat, sumulat kami
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Magkomento
Kung negatibo ang value ng discriminant, mananatiling second-order polynomial ang mga polynomial. Kaya't sumusunod na hindi namin ibubulok ang mga ito sa mga linear na kadahilanan.
Mga pamamaraan para sa pag-factor ng polynomial ng degree na mas mataas kaysa sa pangalawa
Ipinagpapalagay ng agnas ang isang unibersal na pamamaraan. Karamihan sa lahat ng mga kaso ay batay sa isang corollary ng Bezout's theorem. Upang gawin ito, kailangan mong piliin ang halaga ng ugat x 1 at babaan ang antas nito sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa 1 sa pamamagitan ng paghahati sa (x - x 1) . Ang resultang polynomial ay kailangang mahanap ang root x 2 , at ang proseso ng paghahanap ay cyclical hanggang sa makakuha tayo ng kumpletong pagpapalawak.
Kung ang ugat ay hindi natagpuan, kung gayon ang iba pang mga pamamaraan ng factorization ay ginagamit: pagpapangkat, karagdagang mga termino. Ipinapalagay ng paksang ito ang solusyon ng mga equation na may mas matataas na kapangyarihan at mga coefficient ng integer.
Inalis ang karaniwang salik sa mga bracket
Isaalang-alang ang kaso kapag ang libreng termino ay katumbas ng zero, kung gayon ang anyo ng polynomial ay magiging P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + isang 1 x .
Makikita na ang ugat ng naturang polynomial ay magiging katumbas ng x 1 \u003d 0, pagkatapos ay maaari mong katawanin ang polynomial sa anyo ng isang expression P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Ang pamamaraang ito ay itinuturing na inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.
Halimbawa 5
I-factor ang third degree polynomial 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Solusyon
Nakikita namin na ang x 1 \u003d 0 ay ang ugat ng ibinigay na polynomial, pagkatapos ay maaari naming i-bracket ang x mula sa buong expression. Nakukuha namin ang:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Lumipat tayo sa paghahanap ng mga ugat ng square trinomial 4 x 2 + 8 x - 1. Hanapin natin ang discriminant at ang mga ugat:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Pagkatapos ay sinundan iyon
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Upang magsimula, isaalang-alang natin ang isang paraan ng agnas na naglalaman ng mga integer coefficient ng form na P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , kung saan ang coefficient ng pinakamataas na kapangyarihan ay 1 .
Kapag ang polynomial ay may integer na mga ugat, kung gayon sila ay itinuturing na mga divisors ng libreng termino.
Halimbawa 6
Palawakin ang expression na f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Solusyon
Isaalang-alang kung mayroong mga integer na ugat. Kinakailangan na isulat ang mga divisors ng numero - 18. Nakukuha natin iyon ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Ito ay sumusunod na ang polynomial na ito ay may mga integer na ugat. Maaari mong suriin ayon sa pamamaraan ng Horner. Ito ay napaka-maginhawa at nagbibigay-daan sa mabilis mong makuha ang expansion coefficients ng isang polynomial:
Kasunod nito na ang x \u003d 2 at x \u003d - 3 ay ang mga ugat ng orihinal na polynomial, na maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng anyo:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Bumaling tayo sa agnas ng isang square trinomial ng form x 2 + 2 x + 3 .
Dahil ang discriminant ay negatibo, nangangahulugan ito na walang tunay na ugat.
Sagot: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Magkomento
Pinapayagan na gumamit ng pagpili ng ugat at paghahati ng isang polynomial sa pamamagitan ng isang polynomial sa halip ng scheme ni Horner. Ipagpatuloy nating isaalang-alang ang pagpapalawak ng isang polynomial na naglalaman ng integer coefficients ng form na P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , ang pinakamataas na hindi katumbas ng isa.
Nagaganap ang kasong ito para sa mga fractional rational fraction.
Halimbawa 7
I-factor ang f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Solusyon
Kinakailangang baguhin ang variable y = 2 x , dapat pumasa ang isa sa isang polynomial na may mga coefficient na katumbas ng 1 sa pinakamataas na antas. Kailangan mong magsimula sa pamamagitan ng pagpaparami ng expression sa 4 . Nakukuha namin iyon
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Kapag ang resultang function ng form g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ay may mga integer na ugat, kung gayon ang kanilang paghahanap ay kabilang sa mga divisors ng libreng termino. Magiging ganito ang entry:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng function na g (y) sa mga puntong ito upang makakuha ng zero bilang resulta. Nakukuha namin iyon
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Nakuha namin na ang y \u003d - 5 ay ang ugat ng equation ng form na y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, na nangangahulugang x \u003d y 2 \u003d - 5 2 ang ugat ng orihinal na function.
Halimbawa 8
Kinakailangang hatiin sa isang hanay na 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 sa x + 5 2.
Solusyon
Sumulat kami at nakakuha:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Ang pagsuri sa mga divisors ay aabutin ng maraming oras, kaya mas kumikita na kunin ang factorization ng resultang square trinomial ng form x 2 + 7 x + 3. Sa pamamagitan ng equating sa zero, nakita namin ang discriminant.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Kaya naman sinusunod iyon
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Mga artipisyal na trick kapag nagsasaliksik ng polynomial
Ang mga makatwirang ugat ay hindi likas sa lahat ng polynomial. Upang gawin ito, kailangan mong gumamit ng mga espesyal na pamamaraan upang makahanap ng mga kadahilanan. Ngunit hindi lahat ng polynomial ay maaaring mabulok o mairepresenta bilang isang produkto.
Pamamaraan ng pagpapangkat
May mga kaso kung kailan posible na pangkatin ang mga tuntunin ng isang polynomial upang makahanap ng isang karaniwang salik at alisin ito sa mga bracket.
Halimbawa 9
I-factor ang polynomial x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Solusyon
Dahil ang mga coefficient ay mga integer, kung gayon ang mga ugat ay maaari ding maging integer. Upang suriin, kinukuha namin ang mga halaga 1 , - 1 , 2 at - 2 upang makalkula ang halaga ng polynomial sa mga puntong ito. Nakukuha namin iyon
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Ipinapakita nito na walang mga ugat, kinakailangan na gumamit ng ibang paraan ng agnas at solusyon.
Kinakailangan ang pagpapangkat:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Pagkatapos pagsama-samahin ang orihinal na polynomial, kailangan itong katawanin bilang isang produkto ng dalawang square trinomial. Para magawa ito, kailangan nating i-factorize. nakukuha natin yan
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Magkomento
Ang pagiging simple ng pagpapangkat ay hindi nangangahulugan na sapat na madaling pumili ng mga termino. Walang tiyak na paraan upang malutas ito, samakatuwid ito ay kinakailangan na gumamit ng mga espesyal na theorems at mga patakaran.
Halimbawa 10
I-factor ang polynomial x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
Solusyon
Ang binigay na polynomial ay walang integer na ugat. Ang mga tuntunin ay dapat igrupo. Nakukuha namin iyon
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Pagkatapos ng factoring, nakuha namin iyon
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Paggamit ng pinaikling multiplication at mga binomial na formula ng Newton upang i-factor ang isang polynomial
Ang hitsura ay madalas na hindi palaging ginagawang malinaw kung aling paraan ang gagamitin sa panahon ng agnas. Matapos magawa ang mga pagbabago, maaari kang bumuo ng isang linya na binubuo ng tatsulok ni Pascal, kung hindi man ay tinatawag silang binomial ng Newton.
Halimbawa 11
I-factor ang polynomial x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Solusyon
Kinakailangang i-convert ang expression sa form
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Ang pagkakasunod-sunod ng mga coefficient ng kabuuan sa mga bracket ay ipinahiwatig ng expression na x + 1 4 .
Kaya mayroon tayong x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1-3 = x + 1 4-3 .
Pagkatapos ilapat ang pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha namin
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Isaalang-alang ang expression na nasa pangalawang panaklong. Ito ay malinaw na walang mga kabayo doon, kaya ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat ay dapat na ilapat muli. Nakakakuha tayo ng expression na parang
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Halimbawa 12
I-factor ang x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Solusyon
Baguhin natin ang ekspresyon. Nakukuha namin iyon
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Kinakailangang ilapat ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga cube. Nakukuha namin ang:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Isang paraan para sa pagpapalit ng variable kapag nagfa-factor ng polynomial
Kapag binabago ang isang variable, ang antas ay nababawasan at ang polynomial ay pinangkat.
Halimbawa 13
I-factor ang isang polynomial ng anyong x 6 + 5 x 3 + 6 .
Solusyon
Sa pamamagitan ng kundisyon, malinaw na kailangang gumawa ng kapalit na y = x 3 . Nakukuha namin ang:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Ang mga ugat ng nagresultang quadratic equation ay y = - 2 at y = - 3, pagkatapos
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Kinakailangang ilapat ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng kabuuan ng mga cube. Nakukuha namin ang mga expression ng form:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Ibig sabihin, nakuha na natin ang ninanais na pagpapalawak.
Ang mga kaso na tinalakay sa itaas ay makakatulong sa pagsasaalang-alang at pag-factor ng polynomial sa iba't ibang paraan.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Ang mga konsepto ng "polynomial" at "factorization ng isang polynomial" sa algebra ay napaka-pangkaraniwan, dahil kailangan mong malaman ang mga ito upang madaling magsagawa ng mga kalkulasyon na may malalaking multi-valued na numero. Ang artikulong ito ay maglalarawan ng ilang mga paraan ng agnas. Ang lahat ng mga ito ay medyo simpleng gamitin, kailangan mo lamang piliin ang tama sa bawat kaso.
Ang konsepto ng isang polynomial
Ang polynomial ay ang kabuuan ng monomials, iyon ay, mga expression na naglalaman lamang ng multiplication operation.
Halimbawa, ang 2 * x * y ay isang monomial, ngunit ang 2 * x * y + 25 ay isang polynomial, na binubuo ng 2 monomials: 2 * x * y at 25. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag na binomials.
Minsan, para sa kaginhawaan ng paglutas ng mga halimbawa na may mga multivalued na halaga, ang expression ay dapat na mabago, halimbawa, decomposed sa isang tiyak na bilang ng mga kadahilanan, iyon ay, mga numero o expression sa pagitan ng kung saan ang pagpaparami ay ginanap. Mayroong ilang mga paraan upang i-factor ang isang polynomial. Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa mga ito simula sa pinaka primitive, na ginagamit kahit na sa mga pangunahing klase.
Pagpapangkat (pangkalahatang entry)
Ang formula para sa pagsasaliksik ng polynomial sa mga salik sa pamamagitan ng paraan ng pagpapangkat sa pangkalahatan ay ganito ang hitsura:
ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)
Kinakailangang pangkatin ang mga monomial upang magkaroon ng karaniwang salik sa bawat pangkat. Sa unang panaklong, ito ang salik c, at sa pangalawa - d. Dapat itong gawin upang pagkatapos ay alisin ito sa bracket, sa gayon ay pinapasimple ang mga kalkulasyon.
Decomposition algorithm sa isang partikular na halimbawa
Ang pinakasimpleng halimbawa ng pag-factor ng polynomial sa mga salik gamit ang paraan ng pagpapangkat ay ibinigay sa ibaba:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)
Sa unang bracket, kailangan mong kunin ang mga termino na may salik a, na magiging karaniwan, at sa pangalawa - na may salik na b. Bigyang-pansin ang + at - sign sa tapos na expression. Inilagay namin bago ang monomial ang sign na nasa unang expression. Iyon ay, kailangan mong magtrabaho hindi sa expression 25a, ngunit sa expression -25. Ang minus sign, tulad nito, ay "nakadikit" sa expression sa likod nito at palaging isinasaalang-alang ito sa mga kalkulasyon.
Sa susunod na hakbang, kailangan mong alisin ang kadahilanan, na karaniwan, sa labas ng bracket. Iyan ay para sa pagpapangkat. Ang pag-alis nito sa bracket ay nangangahulugang isulat bago ang bracket (inaalis ang multiplication sign) lahat ng mga salik na eksaktong inuulit sa lahat ng mga termino na nasa bracket. Kung walang 2, ngunit 3 o higit pang mga termino sa bracket, ang karaniwang kadahilanan ay dapat na nakapaloob sa bawat isa sa kanila, kung hindi, hindi ito maaaring alisin sa bracket.
Sa aming kaso, 2 termino lamang sa mga bracket. Ang pangkalahatang multiplier ay makikita kaagad. Ang unang panaklong ay a, ang pangalawa ay b. Dito kailangan mong bigyang-pansin ang mga digital coefficient. Sa unang bracket, ang parehong coefficients (10 at 25) ay multiple ng 5. Nangangahulugan ito na hindi lamang a, kundi pati na rin ang 5a ay maaaring i-bracket. Bago ang bracket, isulat ang 5a, at pagkatapos ay hatiin ang bawat isa sa mga termino sa mga bracket sa pamamagitan ng karaniwang salik na kinuha, at isulat din ang quotient sa mga bracket, na hindi nakakalimutan ang + at - na mga palatandaan. Gawin ang parehong sa pangalawang bracket , kunin ang 7b, mula noong 14 at 35 na multiple ng 7.
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).
Ito ay naging 2 termino: 5a (2c - 5) at 7b (2c - 5). Ang bawat isa sa kanila ay naglalaman ng isang karaniwang kadahilanan (ang buong expression sa mga bracket dito ay pareho, na nangangahulugang ito ay isang karaniwang kadahilanan): 2c - 5. Kailangan din itong alisin sa bracket, iyon ay, ang mga termino 5a at 7b manatili sa pangalawang bracket:
5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).
Kaya ang buong expression ay:
10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).
Kaya, ang polynomial 10ac + 14bc - 25a - 35b ay nabubulok sa 2 salik: (2c - 5) at (5a + 7b). Maaaring tanggalin ang multiplication sign sa pagitan nila kapag nagsusulat
Minsan may ganitong uri ng mga expression: 5a 2 + 50a 3, dito maaari kang mag-bracket hindi lamang a o 5a, ngunit kahit na 5a 2. Dapat mong palaging subukang alisin ang pinakamalaking posibleng karaniwang kadahilanan mula sa bracket. Sa aming kaso, kung hahatiin namin ang bawat termino sa isang karaniwang kadahilanan, makakakuha kami ng:
5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(kapag kinakalkula ang quotient ng ilang mga kapangyarihan na may pantay na mga base, ang base ay pinapanatili, at ang exponent ay ibabawas). Kaya, ang isa ay nananatili sa bracket (sa anumang kaso huwag kalimutang sumulat ng isa kung kukuha ka ng isa sa mga termino mula sa bracket) at ang quotient ng dibisyon: 10a. Lumalabas na:
5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)
Mga parisukat na formula
Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, ilang mga formula ang nakuha. Ang mga ito ay tinatawag na pinababang mga pormula ng pagpaparami at kadalasang ginagamit. Ang mga formula na ito ay tumutulong sa pag-factorize ng mga polynomial na naglalaman ng mga kapangyarihan. Ito ay isa pang makapangyarihang paraan para ma-factorize. Kaya narito sila:
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - ang formula, na tinatawag na "square of the sum", dahil bilang isang resulta ng pagpapalawak sa isang parisukat, ang kabuuan ng mga numero na nakapaloob sa mga bracket ay kinuha, iyon ay, ang halaga ng kabuuan na ito ay pinarami ng sarili nitong 2 beses, na kung saan ibig sabihin ito ay isang multiplier.
- a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - ang formula ng parisukat ng pagkakaiba, ito ay katulad ng nauna. Ang resulta ay isang pagkakaiba na nakapaloob sa mga bracket, na nakapaloob sa isang parisukat na kapangyarihan.
- a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- ito ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, dahil sa simula ang polynomial ay binubuo ng 2 parisukat ng mga numero o mga expression sa pagitan ng kung saan ang pagbabawas ay ginaganap. Ito marahil ang pinakakaraniwang ginagamit sa tatlo.
Mga halimbawa para sa pagkalkula sa pamamagitan ng mga formula ng mga parisukat
Ang mga kalkulasyon sa mga ito ay ginawa nang simple. Halimbawa:
- 25x2 + 20xy + 4y 2 - gamitin ang formula na "square of the sum".
- Ang 25x 2 ay ang parisukat ng 5x. Ang 20xy ay dalawang beses ang produkto ng 2*(5x*2y), at ang 4y 2 ay ang parisukat ng 2y.
- Kaya 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ang polynomial na ito ay nabubulok sa 2 mga kadahilanan (ang mga kadahilanan ay pareho, samakatuwid ito ay nakasulat bilang isang expression na may isang parisukat na kapangyarihan).
Ang mga operasyon ayon sa pormula ng parisukat ng pagkakaiba ay ginaganap nang katulad sa mga ito. Ang natitira ay ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Ang mga halimbawa para sa formula na ito ay napakadaling matukoy at mahanap sa iba pang mga expression. Halimbawa:
- 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Mula noong 25a 2 \u003d (5a) 2, at 400 \u003d 20 2
- 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Mula noong 36x 2 \u003d (6x) 2, at 25y 2 \u003d (5y 2)
- c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Dahil 169b 2 = (13b) 2
Mahalaga na ang bawat isa sa mga termino ay parisukat ng ilang expression. Pagkatapos ang polynomial na ito ay isasaalang-alang ng pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Para dito, hindi kinakailangan na ang pangalawang kapangyarihan ay nasa itaas ng numero. May mga polynomial na naglalaman ng malalaking kapangyarihan, ngunit angkop pa rin para sa mga formula na ito.
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
Sa halimbawang ito, ang isang 8 ay maaaring katawanin bilang (a 4) 2 , iyon ay, ang parisukat ng isang tiyak na expression. Ang 25 ay 5 2 at ang 10a ay 4 - ito ang dobleng produkto ng mga terminong 2*a 4 *5. Iyon ay, ang expression na ito, sa kabila ng pagkakaroon ng mga degree na may malalaking exponents, ay maaaring mabulok sa 2 mga kadahilanan upang gumana sa kanila sa ibang pagkakataon.
Mga formula ng kubo
Ang parehong mga formula ay umiiral para sa factoring polynomials na naglalaman ng mga cube. Ang mga ito ay medyo mas kumplikado kaysa sa mga may mga parisukat:
- a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- Ang formula na ito ay tinatawag na kabuuan ng mga cube, dahil sa paunang anyo nito ang polynomial ay ang kabuuan ng dalawang expression o numero na nakapaloob sa isang kubo.
- a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - ang isang formula na kapareho ng nauna ay tinutukoy bilang pagkakaiba ng mga cube.
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - sum cube, bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang kabuuan ng mga numero o expression ay nakuha, nakapaloob sa mga bracket at pinarami sa sarili nito 3 beses, iyon ay, matatagpuan sa cube
- a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - ang pormula, na pinagsama-sama ng pagkakatulad sa nauna na may pagbabago sa ilang mga palatandaan lamang ng mga operasyong matematika (plus at minus), ay tinatawag na "kubo ng pagkakaiba".
Ang huling dalawang formula ay halos hindi ginagamit para sa layunin ng pag-factor ng isang polynomial, dahil ang mga ito ay kumplikado, at ito ay medyo bihirang makahanap ng mga polynomial na ganap na tumutugma sa ganoong istraktura upang sila ay mabulok ayon sa mga formula na ito. Ngunit kailangan mo pa ring malaman ang mga ito, dahil kakailanganin sila para sa mga aksyon sa kabaligtaran na direksyon - kapag binubuksan ang mga bracket.
Mga halimbawa para sa mga formula ng kubo
Isaalang-alang ang isang halimbawa: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).
Nakakuha kami ng medyo prime number dito, kaya makikita mo kaagad na ang 64a 3 ay (4a) 3 at ang 8b 3 ay (2b) 3 . Kaya, ang polynomial na ito ay pinalawak ng pagkakaiba ng formula ng mga cube sa 2 mga kadahilanan. Ang mga aksyon sa formula ng kabuuan ng mga cube ay ginaganap sa pamamagitan ng pagkakatulad.
Mahalagang maunawaan na hindi lahat ng polynomial ay maaaring mabulok sa kahit isa sa mga paraan. Ngunit may mga ganoong expression na naglalaman ng mas malalaking kapangyarihan kaysa sa isang parisukat o isang kubo, ngunit maaari rin silang palawakin sa mga pinaikling anyo ng pagpaparami. Halimbawa: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).
Ang halimbawang ito ay naglalaman ng kasing dami ng 12 degrees. Ngunit kahit na maaari itong i-factor gamit ang sum of cubes formula. Upang gawin ito, kailangan mong katawanin ang x 12 bilang (x 4) 3, iyon ay, bilang isang kubo ng ilang expression. Ngayon, sa halip na a, kailangan mong palitan ito sa formula. Well, ang expression na 125y 3 ay ang cube ng 5y. Ang susunod na hakbang ay isulat ang formula at gawin ang mga kalkulasyon.
Sa una, o kapag may pagdududa, maaari mong suriin palagi sa pamamagitan ng back multiplication. Kailangan mo lamang buksan ang mga bracket sa resultang expression at magsagawa ng mga aksyon na may mga katulad na termino. Nalalapat ang pamamaraang ito sa lahat ng nakalistang paraan ng pagbabawas: kapwa upang gumana sa isang karaniwang kadahilanan at pagpapangkat, at sa mga operasyon sa mga formula ng mga cube at square powers.
8 mga halimbawa ng factorization ng polynomials ay ibinigay. Kasama sa mga ito ang mga halimbawa sa paglutas ng mga quadratic at biquadratic na equation, mga halimbawa na may paulit-ulit na polynomial, at mga halimbawa sa paghahanap ng mga integer na ugat ng ikatlo at ikaapat na degree na polynomial.
1. Mga halimbawa na may solusyon ng isang quadratic equation
Halimbawa 1.1
x 4 + x 3 - 6 x 2.
Solusyon
Ilabas ang x 2
para sa mga bracket:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Mga ugat ng equation:
, .
.
Sagot
Halimbawa 1.2
Pag-factor ng third-degree polynomial:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
Solusyon
Inalis namin ang x sa mga bracket:
.
Lutasin namin ang quadratic equation x 2 + 6 x + 9 = 0:
Ang discriminant nito ay .
Dahil ang discriminant ay katumbas ng zero, ang mga ugat ng equation ay multiple: ;
.
Mula dito nakukuha natin ang agnas ng polynomial sa mga salik:
.
Sagot
Halimbawa 1.3
Pag-factor ng fifth-degree polynomial:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Solusyon
Ilabas ang x 3
para sa mga bracket:
.
Lutasin namin ang quadratic equation x 2 - 2 x + 10 = 0.
Ang discriminant nito ay .
Dahil ang discriminant ay mas mababa sa zero, ang mga ugat ng equation ay kumplikado: ;
, .
Ang factorization ng isang polynomial ay may anyo:
.
Kung kami ay interesado sa factoring na may totoong coefficients, kung gayon:
.
Sagot
Mga halimbawa ng factoring polynomial gamit ang mga formula
Mga halimbawa na may biquadratic polynomial
Halimbawa 2.1
I-factor ang biquadratic polynomial:
x 4 + x 2 - 20.
Solusyon
Ilapat ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Sagot
Halimbawa 2.2
Pag-factor ng isang polynomial na bumababa sa isang biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.
Solusyon
Ilapat ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Sagot
Halimbawa 2.3 na may recursive polynomial
Pag-factor ng recursive polynomial:
.
Solusyon
Ang recursive polynomial ay may kakaibang antas. Samakatuwid ito ay may ugat x = - 1
. Hinahati namin ang polynomial sa x - (-1) = x + 1. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.
Gumagawa kami ng pagpapalit:
, ;
;
;
.
Sagot
Mga Halimbawa ng Factoring Polynomial na may Integer Roots
Halimbawa 3.1
Pag-factor ng isang polynomial:
.
Solusyon
Ipagpalagay na ang equation
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Kaya, natagpuan namin ang tatlong ugat:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Dahil ang orihinal na polynomial ay nasa ikatlong antas, ito ay hindi hihigit sa tatlong mga ugat. Dahil natagpuan namin ang tatlong ugat, ang mga ito ay simple. Pagkatapos
.
Sagot
Halimbawa 3.2
Pag-factor ng isang polynomial:
.
Solusyon
Ipagpalagay na ang equation
ay may hindi bababa sa isang integer na ugat. Pagkatapos ito ay ang divisor ng numero 2
(isang miyembro na walang x ). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
-2, -1, 1, 2
.
Palitan ang mga halagang ito nang paisa-isa:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Kung ipagpalagay natin na ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng numero 2
(isang miyembro na walang x ). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 2, -1, -2
.
Palitan ang x = -1
:
.
Kaya nakahanap kami ng isa pang ugat x 2
= -1
. Posible, tulad ng sa nakaraang kaso, na hatiin ang polynomial sa pamamagitan ng , ngunit papangkatin natin ang mga termino:
.
Dahil ang equation x 2 + 2 = 0 ay walang tunay na mga ugat, kung gayon ang factorization ng polynomial ay may anyo.
Alam na natin kung paano bahagyang gamitin ang factorization ng pagkakaiba ng mga degree - kapag pinag-aaralan ang paksang "Pagkakaiba ng mga parisukat" at "Pagkakaiba ng mga Cubes", natutunan nating irepresenta bilang isang produkto ang pagkakaiba ng mga expression na maaaring katawanin bilang mga parisukat o bilang mga cube ng ilang expression o numero.
Mga pinaikling pormula ng pagpaparami
Ayon sa mga formula ng pinaikling multiplikasyon:
ang pagkakaiba ng mga parisukat ay maaaring katawanin bilang produkto ng pagkakaiba ng dalawang numero o expression sa pamamagitan ng kanilang kabuuan
Ang pagkakaiba ng mga cube ay maaaring katawanin bilang produkto ng pagkakaiba ng dalawang numero ng hindi kumpletong parisukat ng kabuuan
Transition sa pagkakaiba ng mga expression sa 4 na kapangyarihan
Batay sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat, subukan nating i-factor ang expression na $a^4-b^4$
Alalahanin kung paano itinaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan - para dito, ang base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent ay pinarami, ibig sabihin, $((a^n))^m=a^(n*m)$
Pagkatapos ay maaari mong isipin:
$a^4=(((a)^2))^2$
$b^4=(((b)^2))^2$
Kaya ang aming expression ay maaaring katawanin bilang $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$
Ngayon sa unang bracket ay muli nating nakuha ang pagkakaiba ng mga numero, na nangangahulugang maaari tayong muling mag-factor bilang produkto ng pagkakaiba ng dalawang numero o expression sa pamamagitan ng kanilang kabuuan: $a^2-b^2=\left(a-b\right) (a+b)$.
Ngayon ay kinakalkula namin ang produkto ng pangalawa at pangatlong bracket gamit ang panuntunan para sa produkto ng polynomial - pinarami namin ang bawat termino ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawang polynomial at idagdag ang resulta. Upang gawin ito, i-multiply muna natin ang unang termino ng unang polynomial - $a$ - sa una at pangalawang termino ng pangalawa (sa pamamagitan ng $a^2$ at $b^2$), i.e. nakukuha natin ang $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, pagkatapos ay i-multiply natin ang pangalawang termino ng unang polynomial -$b$- sa una at pangalawang termino ng pangalawang polynomial (sa pamamagitan ng $a^2$ at $b^2$), ang mga iyon. kumuha ng $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ at buuin ang mga resultang expression
$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$
Isinulat namin ang pagkakaiba ng mga monomial ng ika-4 na antas, isinasaalang-alang ang kinakalkula na produkto:
$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \kaliwa(a-b\kanan)(a+b)(a^2+b^2)\ $=
Transition sa pagkakaiba ng mga expression sa ika-6 na kapangyarihan
Batay sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat, subukan nating i-factor ang expression na $a^6-b^6$
Alalahanin kung paano itinaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan - para dito, ang base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent ay pinarami, ibig sabihin, $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$
Pagkatapos ay maaari mong isipin:
$a^6=(((a)^3))^2$
$b^6=(((b)^3))^2$
Kaya ang aming expression ay maaaring katawanin bilang $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$
Sa unang bracket nakuha namin ang pagkakaiba ng mga cubes ng monomials, sa pangalawa ang kabuuan ng mga cubes ng monomials, ngayon ay maaari nating muli na i-factor ang pagkakaiba ng mga cubes ng monomials bilang produkto ng pagkakaiba ng dalawang numero ng hindi kumpletong parisukat ng kabuuan $a^3-b^3=\kaliwa(a-b\kanan)( a^2+ab+b^2)$
Ang orihinal na expression ay tumatagal ng anyo
$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\kaliwa(a^3+b^3\kanan)=\kaliwa(a-b\kanan)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$
Kinakalkula namin ang produkto ng pangalawa at pangatlong bracket gamit ang panuntunan para sa produkto ng mga polynomial - pinaparami namin ang bawat termino ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawang polynomial at idinagdag ang resulta.
$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$
Isinulat namin ang pagkakaiba ng mga monomial ng ika-6 na antas, na isinasaalang-alang ang kinakalkula na produkto:
$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\kaliwa(a^3+b^3\kanan)=\kaliwa(a-b\kanan)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$
Pag-factoring ang pagkakaiba ng kapangyarihan
Suriin natin ang mga formula para sa pagkakaiba ng mga cube, ang pagkakaiba ng $4$ degrees, ang pagkakaiba ng $6$ degrees
Nakikita namin na sa bawat isa sa mga pagpapalawak na ito ay mayroong ilang pagkakatulad, na ginagawang pangkalahatan na nakukuha namin:
Halimbawa 1
I-factor ang $(32x)^(10)-(243y)^(15)$
Solusyon: Una, kinakatawan namin ang bawat monomial bilang ilang monomial sa kapangyarihan ng 5:
\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]
Ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba ng kapangyarihan
Larawan 1.
