Ang pagkakaroon ng karaniwang form na $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, kung saan ang kaliwang bahagi ay ang kabuuang differential ng ilang function $F Ang \left( x,y\right)$ ay tinatawag na total differential equation.

Ang equation sa kabuuang mga pagkakaiba ay maaaring palaging muling isulat bilang $dF\left(x,y\right)=0$, kung saan ang $F\left(x,y\right)$ ay isang function na ang $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Isama natin ang magkabilang panig ng equation $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; ang integral ng zero na kanang bahagi ay katumbas ng isang arbitraryong pare-parehong $C$. Kaya, ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito sa implicit form ay $F\left(x,y\right)=C$.

Upang ang isang ibinigay na differential equation ay maging isang equation sa kabuuang differentials, ito ay kinakailangan at sapat na ang kundisyon $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ makuntento. Kung natugunan ang tinukoy na kundisyon, mayroong isang function na $F\left(x,y\right)$, kung saan maaari naming isulat ang: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, kung saan nakakuha tayo ng dalawang relasyon : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ at $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right )$.

Isinasama namin ang unang ugnayang $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ sa $x$ at makakuha ng $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kung saan ang $U\left(y\right)$ ay isang arbitrary na function ng $y$.

Piliin natin ito upang ang pangalawang ugnayan na $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ ay nasiyahan. Upang gawin ito, iniiba namin ang resultang kaugnayan para sa $F\left(x,y\right)$ na may paggalang sa $y$ at itinutumbas ang resulta sa $Q\left(x,y\right)$. Nakukuha namin ang: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\kanan)$.

Ang karagdagang solusyon ay:

• mula sa huling pagkakapantay-pantay ay makikita natin ang $U"\left(y\right)$;
• isama ang $U"\left(y\right)$ at hanapin ang $U\left(y\right)$;
• palitan ang $U\left(y\right)$ sa equality $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ at sa wakas ay nakuha namin ang function na $F\left(x,y\right)$.

\

Natagpuan namin ang pagkakaiba:

Isinasama namin ang $U"\left(y\right)$ sa $y$ at hanapin ang $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Hanapin ang resulta: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon sa form na $F\left(x,y\right)=C$, namely:

Humanap ng partikular na solusyon $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kung saan $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Ang bahagyang solusyon ay may anyo: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

ilang function. Kung ibabalik natin ang isang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito, makikita natin ang pangkalahatang integral ng differential equation. Sa ibaba ay pag-uusapan natin paraan ng pagpapanumbalik ng isang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito.

Ang kaliwang bahagi ng isang differential equation ay ang kabuuang differential ng ilang function U(x, y) = 0, kung matugunan ang kundisyon.

kasi buong pag-andar ng kaugalian U(x, y) = 0 Ito , na nangangahulugan na kapag natugunan ang kundisyon, nakasaad na .

pagkatapos, .

Mula sa unang equation ng system na nakuha namin . Nahanap namin ang function gamit ang pangalawang equation ng system:

Sa ganitong paraan mahahanap natin ang kinakailangang function U(x, y) = 0.

Halimbawa.

Hanapin natin ang pangkalahatang solusyon ng DE .

Solusyon.

Sa ating halimbawa. Ang kundisyon ay natutugunan dahil:

Pagkatapos, ang kaliwang bahagi ng paunang differential equation ay ang kabuuang differential ng ilang function U(x, y) = 0. Kailangan nating hanapin ang function na ito.

kasi ay ang kabuuang pagkakaiba ng function U(x, y) = 0, Ibig sabihin:

.

Pinagsasama namin sa pamamagitan ng x 1st equation ng system at pag-iba-iba na may kinalaman sa y resulta:

.

Mula sa 2nd equation ng system ay nakuha namin. Ibig sabihin:

saan SA- di-makatwirang pare-pareho.

Kaya, ang pangkalahatang integral ng ibinigay na equation ay magiging .

May pangalawa paraan ng pagkalkula ng isang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito. Binubuo ito ng pagkuha ng integral na linya ng isang nakapirming punto (x 0 , y 0) sa isang punto na may variable na coordinate (x, y): . Sa kasong ito, ang halaga ng integral ay independiyente sa landas ng pagsasama. Maginhawang kunin bilang integration path ang isang putol na linya na ang mga link ay parallel sa mga coordinate axes.

Halimbawa.

Hanapin natin ang pangkalahatang solusyon ng DE .

Solusyon.

Sinusuri namin ang katuparan ng kondisyon:

Kaya, ang kaliwang bahagi ng differential equation ay ang kumpletong differential ng ilang function U(x, y) = 0. Hanapin natin ang function na ito sa pamamagitan ng pagkalkula ng curvilinear integral ng punto (1; 1) dati (x, y). Bilang isang landas ng pagsasama, kumukuha kami ng putol na linya: ang unang seksyon ng putol na linya ay ipinapasa sa isang tuwid na linya y = 1 mula sa punto (1, 1) dati (x, 1), bilang pangalawang seksyon ng landas na kumukuha kami ng isang tuwid na bahagi ng linya mula sa punto (x, 1) dati (x, y):

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng remote control ay ganito: .

Halimbawa.

Alamin natin ang pangkalahatang solusyon ng DE.

Solusyon.

kasi , na nangangahulugan na ang kundisyon ay hindi nasiyahan, kung gayon ang kaliwang bahagi ng differential equation ay hindi magiging kumpletong differential ng function at kailangan mong gamitin ang pangalawang paraan ng solusyon (ang equation na ito ay isang differential equation na may mga separable variable).

Sa paksang ito, titingnan natin ang paraan ng muling pagtatayo ng isang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito at magbibigay ng mga halimbawa ng mga problema na may kumpletong pagsusuri ng solusyon.

Nangyayari na ang mga differential equation (DE) ng anyong P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 ay maaaring maglaman ng kumpletong pagkakaiba ng ilang function sa kaliwang panig. Pagkatapos ay mahahanap natin ang pangkalahatang integral ng differential equation kung una nating ibubuo ang function mula sa kabuuang differential nito.

Halimbawa 1

Isaalang-alang ang equation na P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Ang kaliwang bahagi ay naglalaman ng pagkakaiba ng isang partikular na function U(x, y) = 0. Para magawa ito, dapat matugunan ang kundisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Ang kabuuang pagkakaiba ng function na U (x, y) = 0 ay may anyo na d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Isinasaalang-alang ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x makuha natin:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Sa pamamagitan ng pagbabago ng unang equation mula sa nagresultang sistema ng mga equation, makakakuha tayo ng:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Mahahanap natin ang function na φ (y) mula sa pangalawang equation ng dating nakuhang sistema:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Ito ay kung paano namin nakita ang nais na function na U (x, y) = 0.

Halimbawa 2

Hanapin ang pangkalahatang solusyon para sa differential equation (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Solusyon

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Suriin natin kung ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ay nasiyahan:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Ang aming kondisyon ay natutugunan.

Batay sa mga kalkulasyon, maaari nating tapusin na ang kaliwang bahagi ng orihinal na differential equation ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function U (x, y) = 0. Kailangan nating hanapin ang function na ito.

Dahil ang (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y ay ang kabuuang pagkakaiba ng function na U (x, y) = 0, kung gayon

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Isama natin ang unang equation ng system na may paggalang sa x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Ngayon ay pinag-iiba namin ang resultang resulta na may paggalang sa y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Sa pagbabago ng pangalawang equation ng system, nakukuha natin ang: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Ibig sabihin nito ay
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho.

Nakukuha namin ang: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Ang pangkalahatang integral ng orihinal na equation ay x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Tingnan natin ang isa pang paraan para sa paghahanap ng isang function gamit ang isang kilalang kabuuang kaugalian. Kabilang dito ang paggamit ng isang curvilinear integral mula sa isang nakapirming punto (x 0, y 0) hanggang sa isang punto na may variable na coordinate (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Sa ganitong mga kaso, ang halaga ng integral ay hindi nakasalalay sa anumang paraan sa landas ng pagsasama. Maaari naming kunin bilang isang integration path ang isang putol na linya, ang mga link na kung saan ay matatagpuan parallel sa coordinate axes.

Halimbawa 3

Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Solusyon

Suriin natin kung ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ay nasiyahan:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Lumalabas na ang kaliwang bahagi ng differential equation ay kinakatawan ng kabuuang differential ng ilang function U (x, y) = 0. Upang mahanap ang function na ito, kinakailangan upang kalkulahin ang integral ng linya ng punto (1 ; 1) dati (x, y). Dalhin natin bilang landas ng pagsasama ang isang putol na linya, ang mga seksyon nito ay dadaan sa isang tuwid na linya y = 1 mula sa punto (1, 1) hanggang (x, 1) at pagkatapos ay mula sa punto (x, 1) hanggang (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Nakakuha kami ng pangkalahatang solusyon sa isang differential equation ng form x y - x y 2 + C = 0.

Halimbawa 4

Tukuyin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Solusyon

Suriin natin kung ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ay nasiyahan.

Dahil ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, kung gayon ang kundisyon ay hindi masisiyahan. Nangangahulugan ito na ang kaliwang bahagi ng differential equation ay hindi ang kumpletong differential ng function. Ito ay isang differential equation na may mga separable variable at iba pang mga solusyon ay angkop para sa paglutas nito.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Differential tinatawag na equation ng form

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

kung saan ang kaliwang bahagi ay ang kabuuang pagkakaiba ng anumang function ng dalawang variable.

Tukuyin natin ang hindi kilalang pag-andar ng dalawang variable (ito ang kailangang matagpuan kapag nilulutas ang mga equation sa kabuuang pagkakaiba) sa pamamagitan ng F at babalikan natin ito sa lalong madaling panahon.

Ang unang bagay na dapat mong bigyang pansin ay dapat mayroong isang zero sa kanang bahagi ng equation, at ang sign na nagkokonekta sa dalawang termino sa kaliwang bahagi ay dapat na isang plus.

Pangalawa, kailangang obserbahan ang ilang pagkakapantay-pantay, na nagpapatunay na ang differential equation na ito ay isang equation sa kabuuang differentials. Ang tseke na ito ay isang ipinag-uutos na bahagi ng algorithm para sa paglutas ng mga equation sa kabuuang mga pagkakaiba (ito ay nasa ikalawang talata ng araling ito), kaya ang proseso ng paghahanap ng isang function F medyo labor-intensive at mahalagang siguraduhin sa unang yugto na hindi tayo magsasayang ng oras.

Kaya, ang hindi kilalang function na kailangang matagpuan ay tinutukoy ng F. Ang kabuuan ng mga bahagyang pagkakaiba para sa lahat ng mga independiyenteng variable ay nagbibigay ng kabuuang pagkakaiba. Samakatuwid, kung ang equation ay isang kabuuang differential equation, ang kaliwang bahagi ng equation ay ang kabuuan ng partial differentials. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Alalahanin natin ang formula para sa pagkalkula ng kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable:

Ang paglutas ng huling dalawang pagkakapantay-pantay, maaari nating isulat

.

Iniiba namin ang unang pagkakapantay-pantay na may paggalang sa variable na "y", ang pangalawa - na may paggalang sa variable na "x":

.

na isang kundisyon para sa isang naibigay na differential equation upang maging tunay na total differential equation.

Algorithm para sa paglutas ng mga differential equation sa kabuuang differentials

Hakbang 1. Siguraduhin na ang equation ay isang kabuuang differential equation. Para sa pagpapahayag ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function F(x, y) ay kailangan at sapat upang . Sa madaling salita, kailangan mong kunin ang partial derivative na may kinalaman sa x at ang partial derivative na may kinalaman sa y isa pang termino at, kung ang mga derivatives na ito ay pantay, kung gayon ang equation ay isang kabuuang differential equation.

Hakbang 2. Isulat ang isang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3. Isama ang unang equation ng system - sa pamamagitan ng x (y F:

,
y.

Ang isang alternatibong opsyon (kung mas madaling mahanap ang integral sa ganitong paraan) ay ang pagsamahin ang pangalawang equation ng system - sa pamamagitan ng y (x nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Sa ganitong paraan naibalik din ang function F:

,
kung saan ay isang hindi pa kilalang function ng X.

Hakbang 4. Ang resulta ng hakbang 3 (ang natagpuang pangkalahatang integral) ay pinag-iba ng y(sa kahalili - ayon sa x) at katumbas ng pangalawang equation ng system:

,

at sa isang alternatibong bersyon - sa unang equation ng system:

.

Mula sa nagresultang equation natutukoy namin (alternatibo)

Hakbang 5. Ang resulta ng hakbang 4 ay ang pagsama-samahin at hanapin (sa kahalili, hanapin ).

Hakbang 6. Palitan ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Arbitrary na pare-pareho C madalas na isinusulat pagkatapos ng equal sign - sa kanang bahagi ng equation. Kaya nakakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon sa differential equation sa kabuuang differentials. Ito, tulad ng nabanggit na, ay may anyo F(x, y) = C.

Mga halimbawa ng mga solusyon sa differential equation sa kabuuang differentials

Halimbawa 1.

Hakbang 1. equation sa kabuuang pagkakaiba x isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa y ibang termino
equation sa kabuuang pagkakaiba .

Hakbang 2. F:

Hakbang 3. Sa pamamagitan ng x (y nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan ay isang hindi pa kilalang function ng y.

Hakbang 4. y

.

.

Hakbang 5.

Hakbang 6. F. Arbitrary na pare-pareho C :
.

Anong error ang malamang na mangyari dito? Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay ang pagkuha ng isang bahagyang integral sa isa sa mga variable para sa karaniwang integral ng isang produkto ng mga function at subukang pagsamahin sa pamamagitan ng mga bahagi o isang kapalit na variable, at gayundin na kunin ang bahagyang derivative ng dalawang mga kadahilanan bilang ang derivative ng isang produkto ng mga function at hanapin ang derivative gamit ang kaukulang formula.

Dapat itong alalahanin: kapag kinakalkula ang isang bahagyang integral na may paggalang sa isa sa mga variable, ang isa ay pare-pareho at tinanggal mula sa tanda ng integral, at kapag kinakalkula ang bahagyang derivative na may paggalang sa isa sa mga variable, ang isa pa. ay isa ring pare-pareho at ang derivative ng expression ay matatagpuan bilang derivative ng variable na "kumikilos" na pinarami ng pare-pareho.

Among mga equation sa kabuuang pagkakaiba Karaniwang makahanap ng mga halimbawa na may exponential function. Ito ang susunod na halimbawa. Kapansin-pansin din ang katotohanan na ang solusyon nito ay gumagamit ng alternatibong opsyon.

Halimbawa 2. Lutasin ang differential equation

.

Hakbang 1. Siguraduhin natin na ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa x isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa y ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, na nangangahulugang ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba .

Hakbang 2. Sumulat tayo ng isang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3. Isama natin ang pangalawang equation ng system - sa pamamagitan ng y (x nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan ay isang hindi pa kilalang function ng X.

Hakbang 4. Pinag-iiba namin ang resulta ng hakbang 3 (ang natagpuang pangkalahatang integral) kaugnay ng X

at katumbas ng unang equation ng system:

Mula sa nagresultang equation natutukoy namin:
.

Hakbang 5. Isinasama namin ang resulta ng hakbang 4 at hanapin:
.

Hakbang 6. Pinapalitan namin ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Arbitrary na pare-pareho C isulat pagkatapos ng equal sign. Kaya nakuha namin ang kabuuan paglutas ng differential equation sa kabuuang differentials :
.

Sa sumusunod na halimbawa bumalik kami mula sa isang alternatibong opsyon sa pangunahing isa.

Halimbawa 3. Lutasin ang differential equation

Hakbang 1. Siguraduhin natin na ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa y isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa x ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, na nangangahulugang ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba .

Hakbang 2. Sumulat tayo ng isang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3. Isama natin ang unang equation ng system - Sa pamamagitan ng x (y nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan ay isang hindi pa kilalang function ng y.

Hakbang 4. Pinag-iiba namin ang resulta ng hakbang 3 (ang natagpuang pangkalahatang integral) kaugnay ng y

at katumbas ng pangalawang equation ng system:

Mula sa nagresultang equation natutukoy namin:
.

Hakbang 5. Isinasama namin ang resulta ng hakbang 4 at hanapin:

Hakbang 6. Pinapalitan namin ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Arbitrary na pare-pareho C isulat pagkatapos ng equal sign. Kaya nakuha namin ang kabuuan paglutas ng differential equation sa kabuuang differentials :
.

Halimbawa 4. Lutasin ang differential equation

Hakbang 1. Siguraduhin natin na ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa y isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa x ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, na nangangahulugang ang equation ay isang kabuuang differential equation.

Hakbang 2. Sumulat tayo ng isang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3. Isama natin ang unang equation ng system - Sa pamamagitan ng x (y nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan ay isang hindi pa kilalang function ng y.

Hakbang 4. Pinag-iiba namin ang resulta ng hakbang 3 (ang natagpuang pangkalahatang integral) kaugnay ng y

at katumbas ng pangalawang equation ng system:

Mula sa nagresultang equation natutukoy namin:
.

Hakbang 5. Isinasama namin ang resulta ng hakbang 4 at hanapin:

Hakbang 6. Pinapalitan namin ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Arbitrary na pare-pareho C isulat pagkatapos ng equal sign. Kaya nakuha namin ang kabuuan paglutas ng differential equation sa kabuuang differentials :
.

Halimbawa 5. Lutasin ang differential equation

.

Hakbang 1. Siguraduhin natin na ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa y isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa x ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, na nangangahulugang ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba .

Kahulugan 8.4. Differential equation ng form

saan
ay tinatawag na total differential equation.

Tandaan na ang kaliwang bahagi ng naturang equation ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function
.

Sa pangkalahatan, ang equation (8.4) ay maaaring katawanin bilang

Sa halip na equation (8.5), maaari nating isaalang-alang ang equation

,

ang solusyon kung saan ay ang pangkalahatang integral ng equation (8.4). Kaya, upang malutas ang equation (8.4) ito ay kinakailangan upang mahanap ang function
. Alinsunod sa kahulugan ng equation (8.4), mayroon tayo

(8.6)

Function
maghahanap kami ng isang function na nakakatugon sa isa sa mga kundisyong ito (8.6):

saan - isang arbitrary na function na independyente sa .

Function
ay tinukoy upang ang pangalawang kondisyon ng pagpapahayag (8.6) ay nasiyahan

(8.7)

Mula sa expression (8.7) natutukoy ang function
. Pagpapalit nito sa ekspresyong para sa
at makuha ang pangkalahatang integral ng orihinal na equation.

Suliranin 8.3. Isama ang Equation

Dito
.

Samakatuwid, ang equation na ito ay kabilang sa uri ng differential equation sa kabuuang differentials. Function
hahanapin natin sa form

.

Sa kabila,

.

Sa ilang mga kaso ang kondisyon
maaaring hindi matupad.

Pagkatapos ang mga naturang equation ay binabawasan sa uri na isinasaalang-alang sa pamamagitan ng pagpaparami ng tinatawag na integrating factor, na, sa pangkalahatang kaso, ay isang function lamang o .

Kung ang ilang equation ay may integrating factor na nakasalalay lamang sa , pagkatapos ito ay tinutukoy ng formula

saan ang relasyon dapat ay isang function lamang .

Katulad nito, ang integrating factor depende lamang sa , ay tinutukoy ng formula

saan ang relasyon
dapat ay isang function lamang .

Kawalan sa mga ibinigay na relasyon, sa unang kaso, ng variable , at sa pangalawa - ang variable , ay isang tanda ng pagkakaroon ng isang integrating factor para sa isang ibinigay na equation.

Suliranin 8.4. Bawasan ang equation na ito sa isang equation sa kabuuang differentials.

.

Isaalang-alang ang kaugnayan:

.

Paksa 8.2. Linear differential equation

Kahulugan 8.5. Differential equation
ay tinatawag na linear kung ito ay linear na may paggalang sa nais na function , ang hinango nito at hindi naglalaman ng produkto ng ninanais na function at ang hinango nito.

Ang pangkalahatang anyo ng isang linear differential equation ay kinakatawan ng sumusunod na kaugnayan:

(8.8)

Kung may kaugnayan (8.8) ang kanang bahagi
, kung gayon ang gayong equation ay tinatawag na linear homogenous. Sa kaso kapag ang kanang bahagi
, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na linear inhomogeneous.

Ipakita natin na ang equation (8.8) ay maaaring isama sa mga quadrature.

Sa unang yugto, isinasaalang-alang namin ang isang linear homogenous na equation.

Ang nasabing equation ay isang equation na may mga separable variable. Talaga,

;

/

Tinutukoy ng huling kaugnayan ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous equation.

Upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang linear inhomogeneous equation, ang paraan ng pag-iiba-iba ng derivative ng isang pare-pareho ay ginagamit. Ang ideya ng pamamaraan ay ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay nasa parehong anyo ng solusyon ng kaukulang homogeneous equation, ngunit isang arbitrary na pare-pareho. pinalitan ng ilang function
para malaman. Kaya mayroon kaming:

(8.9)

Pinapalitan sa kaugnayan (8.8) ang mga katumbas na ekspresyon
At
, nakukuha namin

Ang pagpapalit ng huling expression sa kaugnayan (8.9), nakuha namin ang pangkalahatang integral ng linear na hindi homogenous na equation.

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay tinutukoy ng dalawang quadrature: ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous equation at isang partikular na solusyon ng isang linear inhomogeneous equation.

Suliranin 8.5. Isama ang Equation

Kaya, ang orihinal na equation ay kabilang sa uri ng linear inhomogeneous differential equation.

Sa unang yugto, makakahanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa isang linear homogenous equation.

;

Sa ikalawang yugto, tinutukoy namin ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous equation, na matatagpuan sa anyo

,

saan
- function upang matukoy.

Kaya mayroon kaming:

Pagpapalit ng mga relasyon para sa At sa orihinal na linear inhomogeneous equation na nakuha natin:

;

;

.

Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay magkakaroon ng anyo:

.