Ang ilang mga resulta na likas sa pagkilos na ito ay maaaring mapansin. Ang mga resultang ito ay tinatawag mga katangian ng pagdaragdag ng mga natural na numero. Sa artikulong ito, susuriin namin nang detalyado ang mga katangian ng pagdaragdag ng mga natural na numero, isulat ang mga ito gamit ang mga titik at magbigay ng mga paliwanag na halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Kaugnay na pag-aari ng pagdaragdag ng mga natural na numero.

Ngayon ay nagbibigay kami ng isang halimbawa na naglalarawan ng nauugnay na pag-aari ng pagdaragdag ng mga natural na numero.

Isipin ang isang sitwasyon: 1 mansanas ang nahulog mula sa unang puno ng mansanas, at 2 mansanas at 4 pang mansanas ang nahulog mula sa pangalawang puno ng mansanas. Ngayon isaalang-alang ang sumusunod na sitwasyon: 1 mansanas at 2 pang mansanas ang nahulog mula sa unang puno ng mansanas, at 4 na mansanas ang nahulog mula sa pangalawang puno ng mansanas. Malinaw na ang parehong bilang ng mga mansanas ay nasa lupa sa una at pangalawang mga kaso (na maaaring ma-verify sa pamamagitan ng muling pagkalkula). Iyon ay, ang resulta ng pagdaragdag ng numero 1 sa kabuuan ng mga numero 2 at 4 ay katumbas ng resulta ng pagdaragdag ng kabuuan ng mga numero 1 at 2 sa numero 4.

Ang isinasaalang-alang na halimbawa ay nagbibigay-daan sa amin na bumalangkas ng nauugnay na pag-aari ng pagdaragdag ng mga natural na numero: upang magdagdag ng isang naibigay na kabuuan ng dalawang numero sa isang ibinigay na numero, maaari mong idagdag ang unang termino ng kabuuan na ito sa numerong ito at idagdag ang pangalawang termino ng ang kabuuan na ito sa resultang nakuha. Maaaring isulat ang property na ito gamit ang mga letrang tulad nito: a+(b+c)=(a+b)+c, kung saan ang a , b at c ay mga arbitraryong natural na numero.

Pakitandaan na sa pagkakapantay-pantay na a+(b+c)=(a+b)+c ay may mga panaklong "(" at ")". Ginagamit ang mga panaklong sa mga expression upang ipahiwatig ang pagkakasunud-sunod kung saan isinasagawa ang mga aksyon - ang mga aksyon sa mga bracket ay unang ginagawa (higit pa tungkol dito sa seksyon). Sa madaling salita, ang mga bracket ay naglalagay ng mga expression na ang mga halaga ay unang sinusuri.

Sa pagtatapos ng talatang ito, tandaan namin na ang nag-uugnay na pag-aari ng karagdagan ay nagbibigay-daan sa amin na natatanging matukoy ang pagdaragdag ng tatlo, apat at higit pang mga natural na numero.

Ang pag-aari ng pagdaragdag ng zero at isang natural na numero, ang pag-aari ng pagdaragdag ng zero sa zero.

Alam namin na ang zero ay HINDI isang natural na numero. Kaya bakit kami nagpasya na isaalang-alang ang pagdaragdag ng pag-aari ng zero at isang natural na numero sa artikulong ito? May tatlong dahilan para dito. Una: ginagamit ang property na ito kapag nagdaragdag ng mga natural na numero sa isang column. Pangalawa: ginagamit ang property na ito kapag binabawasan ang mga natural na numero. Pangatlo: kung ipagpalagay natin na ang zero ay nangangahulugan ng kawalan ng isang bagay, kung gayon ang kahulugan ng pagdaragdag ng zero at isang natural na numero ay tumutugma sa kahulugan ng pagdaragdag ng dalawang natural na numero.

Isagawa natin ang pangangatwiran na tutulong sa atin na bumalangkas ng pagdaragdag ng katangian ng zero at isang natural na numero. Isipin na walang mga item sa kahon (sa madaling salita, mayroong 0 item sa kahon), at isang item ang inilalagay dito, kung saan ang a ay anumang natural na numero. Ibig sabihin, nagdagdag ng 0 at isang item. Ito ay malinaw na pagkatapos ng pagkilos na ito ay may mga item sa kahon. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay na 0+a=a ay totoo.

Katulad nito, kung ang isang kahon ay naglalaman ng mga item at 0 mga item ang idinagdag dito (iyon ay, walang mga item na idinagdag), pagkatapos ng pagkilos na ito, isang item ang malalagay sa kahon. Kaya a+0=a .

Ngayon ay maaari nating sabihin ang pag-aari ng pagdaragdag ng zero at isang natural na numero: ang kabuuan ng dalawang numero, ang isa ay zero, ay katumbas ng pangalawang numero. Sa matematika, ang katangiang ito ay maaaring isulat bilang sumusunod na pagkakapantay-pantay: 0+a=a o a+0=a, kung saan ang a ay isang arbitrary na natural na numero.

Hiwalay, binibigyang-pansin namin ang katotohanan na kapag nagdaragdag ng natural na numero at zero, ang commutative property ng karagdagan ay nananatiling totoo, iyon ay, a+0=0+a .

Sa wakas, binubuo namin ang zero-zero na pag-aari ng karagdagan (ito ay medyo halata at hindi nangangailangan ng mga karagdagang komento): ang kabuuan ng dalawang numero na ang bawat zero ay zero. Yan ay, 0+0=0 .

Ngayon ay oras na upang malaman kung paano ginaganap ang pagdaragdag ng mga natural na numero.

Bibliograpiya.

• Math. Anumang mga aklat-aralin para sa mga baitang 1, 2, 3, 4 ng mga institusyong pang-edukasyon.
• Math. Anumang mga aklat-aralin para sa 5 klase ng mga institusyong pang-edukasyon.

Ang paksa kung saan nakatuon ang aralin na ito ay "Mga Katangian ng Pagdaragdag." Dito, makikilala mo ang mga commutative at associative na katangian ng karagdagan, sinusuri ang mga ito gamit ang mga partikular na halimbawa. Alamin kung kailan mo magagamit ang mga ito upang gawing mas madali ang proseso ng pagkalkula. Makakatulong ang mga test case na matukoy kung gaano mo natutunan ang materyal.

Aralin: Karagdagang Katangian

Tingnang mabuti ang ekspresyon:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Kailangan nating hanapin ang halaga nito. Gawin natin.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Ang resulta ng expression na 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Sabihin mo sa akin, maginhawa bang magkalkula? Ang pagkalkula ay hindi masyadong maginhawa. Tingnan muli ang mga numero sa expression na ito. Posible bang palitan ang mga ito upang ang mga kalkulasyon ay mas maginhawa?

Kung muli nating ayusin ang mga numero sa ibang paraan:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Ang huling resulta ng expression ay 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Nakikita namin na ang mga resulta ng mga expression ay pareho.

Ang mga termino ay maaaring palitan kung ito ay maginhawa para sa mga kalkulasyon, at ang halaga ng kabuuan ay hindi magbabago mula dito.

Mayroong batas sa matematika: Commutative batas ng karagdagan. Sinasabi nito na ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa muling pagsasaayos ng mga termino.

Nagtalo sina Uncle Fyodor at Sharik. Natagpuan ni Sharik ang halaga ng expression habang ito ay nakasulat, at sinabi ni Uncle Fyodor na alam niya ang isa pang mas maginhawang paraan ng pagkalkula. Nakikita mo ba ang isang mas maginhawang paraan upang makalkula?

Nalutas ng bola ang ekspresyon tulad ng nakasulat. At sinabi ni Uncle Fyodor na alam niya ang batas na nagpapahintulot sa iyo na baguhin ang mga tuntunin, at pinalitan ang mga numero 25 at 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Nakikita namin na ang resulta ay nananatiling pareho, ngunit ang pagkalkula ay naging mas madali.

Tingnan ang mga sumusunod na expression at basahin ang mga ito.

6 + (24 + 51) = 81 (sa 6 idagdag ang kabuuan ng 24 at 51)
Mayroon bang maginhawang paraan upang makalkula?
Nakikita natin na kung magdadagdag tayo ng 6 at 24, makakakuha tayo ng round number. Palaging mas madaling magdagdag ng isang bagay sa isang bilog na numero. Kunin sa panaklong ang kabuuan ng mga numero 6 at 24.
(6 + 24) + 51 = …
(idagdag ang 51 sa kabuuan ng mga numero 6 at 24)

Kalkulahin natin ang halaga ng expression at tingnan kung nagbago ang halaga ng expression?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Nakikita namin na ang halaga ng expression ay nananatiling pareho.

Magsanay tayo sa isa pang halimbawa.

(27 + 19) + 1 = 47 (idagdag ang 1 sa kabuuan ng mga numero 27 at 19)
Anong mga numero ang maaaring maginhawang pagsama-samahin sa paraang makakuha ng maginhawang paraan?
Nahulaan mo na ito ang mga numero 19 at 1. Kunin natin ang kabuuan ng mga numero 19 at 1 sa mga bracket.
27 + (19 + 1) = …
(sa 27 idagdag ang kabuuan ng mga numero 19 at 1)
Hanapin natin ang halaga ng expression na ito. Naaalala namin na ang aksyon sa panaklong ay unang ginanap.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Ang kahulugan ng aming pagpapahayag ay nananatiling pareho.

Kaugnay na batas ng karagdagan: dalawang katabing termino ay maaaring mapalitan ng kanilang kabuuan.

Ngayon ay magsanay tayo sa paggamit ng parehong mga batas. Kailangan nating kalkulahin ang halaga ng expression:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Una, ginagamit namin ang commutative property ng karagdagan, na nagpapahintulot sa amin na magpalit ng mga termino. Pagpalitin natin ang mga tuntunin 14 at 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Ngayon ginagamit namin ang nag-uugnay na ari-arian, na nagpapahintulot sa amin na palitan ang dalawang magkalapit na termino sa pamamagitan ng kanilang kabuuan.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Una, alamin natin ang halaga ng kabuuan ng 38 at 2.

Ngayon ang kabuuan ay 14 at 6.

3. Festival ng mga ideyang pedagogical "Open Lesson" ().

gawin sa bahay

1. Kalkulahin ang kabuuan ng mga termino sa iba't ibang paraan:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Kalkulahin ang mga resulta ng mga expression:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Kalkulahin ang halaga sa isang maginhawang paraan:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Kaya, sa pangkalahatan, WALANG commutative property ang pagbabawas ng mga natural na numero. Isulat natin ang pahayag na ito sa mga titik. Kung ang a at b ay hindi pantay na natural na mga numero, kung gayon a−b≠b−a. Halimbawa, 45−21≠21−45 .

Ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan ng dalawang numero mula sa isang natural na numero.

Ang susunod na katangian ay nauugnay sa pagbabawas ng kabuuan ng dalawang numero mula sa isang natural na numero. Tingnan natin ang isang halimbawa na magbibigay sa atin ng pang-unawa sa ari-arian na ito.

Isipin na mayroon tayong 7 barya sa ating mga kamay. Nagpasya muna kaming magtago ng 2 coin, ngunit sa pag-aakalang hindi ito magiging sapat, nagpasya kaming mag-ipon ng isa pang barya. Batay sa kahulugan ng pagdaragdag ng mga natural na numero, maaari itong mapagtatalunan na sa kasong ito ay nagpasya kaming i-save ang bilang ng mga barya, na tinutukoy ng kabuuan 2 + 1. Kaya, kumuha kami ng dalawang barya, magdagdag ng isa pang barya sa kanila at ilagay ang mga ito sa isang alkansya. Sa kasong ito, ang bilang ng mga barya na natitira sa ating mga kamay ay tinutukoy ng pagkakaiba 7−(2+1) .

Ngayon isipin natin na mayroon tayong 7 barya, at naglalagay tayo ng 2 barya sa alkansya, at pagkatapos nito - isa pang barya. Sa matematika, ang prosesong ito ay inilalarawan ng sumusunod na numerical expression: (7−2)−1 .

Kung binibilang namin ang mga barya na nananatili sa mga kamay, pagkatapos ay sa una at pangalawang kaso mayroon kaming 4 na barya. Ibig sabihin, 7−(2+1)=4 at (7−2)−1=4 , kaya 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Ang itinuturing na halimbawa ay nagpapahintulot sa amin na bumalangkas ng pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan ng dalawang numero mula sa isang ibinigay na natural na numero. Upang ibawas mula sa isang ibinigay na natural na numero ang isang ibinigay na kabuuan ng dalawang natural na mga numero ay kapareho ng pagbabawas ng unang termino ng kabuuan na ito mula sa isang ibinigay na natural na numero, at pagkatapos ay pagbabawas ng pangalawang termino mula sa nagresultang pagkakaiba.

Alalahanin na binigyan namin ng kahulugan ang pagbabawas ng mga natural na numero para lamang sa kaso kung ang minuend ay mas malaki kaysa sa subtrahend, o katumbas nito. Samakatuwid, maaari lamang nating ibawas ang isang naibigay na kabuuan mula sa isang ibinigay na natural na numero kung ang kabuuan na ito ay hindi mas malaki kaysa sa natural na bilang na binabawasan. Tandaan na sa ilalim ng kundisyong ito, ang bawat isa sa mga termino ay hindi lalampas sa natural na bilang kung saan ang kabuuan ay ibinabawas.

Gamit ang mga titik, ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan ng dalawang numero mula sa isang ibinigay na natural na numero ay nakasulat bilang isang pagkakapantay-pantay a−(b+c)=(a−b)−c, kung saan ang a , b at c ay ilang natural na numero, at ang mga kundisyon a>b+c o a=b+c ay natutugunan.

Ang itinuturing na pag-aari, pati na rin ang nauugnay na pag-aari ng pagdaragdag ng mga natural na numero, ay nagpapahintulot sa iyo na ibawas ang kabuuan ng tatlo o higit pang mga numero mula sa isang ibinigay na natural na numero.

Ang pag-aari ng pagbabawas ng isang natural na numero mula sa kabuuan ng dalawang numero.

Dumaan kami sa susunod na pag-aari, na nauugnay sa pagbabawas ng isang ibinigay na natural na numero mula sa isang ibinigay na kabuuan ng dalawang natural na numero. Isaalang-alang ang mga halimbawa na makakatulong sa amin na "makita" ang katangiang ito ng pagbabawas ng natural na numero mula sa kabuuan ng dalawang numero.

Ipagpalagay na mayroon tayong 3 kendi sa unang bulsa, at 5 kendi sa pangalawa, at kailangan nating magbigay ng 2 kendi. Magagawa natin ito sa iba't ibang paraan. Sabay-sabay nating kunin sila.

Una, maaari nating ilagay ang lahat ng mga kendi sa isang bulsa, pagkatapos ay kumuha ng 2 kendi mula doon at ibigay ang mga ito. Ilarawan natin ang mga pagkilos na ito sa matematika. Pagkatapos naming ilagay ang mga kendi sa isang bulsa, ang kanilang numero ay matutukoy sa pamamagitan ng kabuuan ng 3 + 5. Ngayon, sa kabuuang bilang ng mga kendi, mamimigay kami ng 2 kendi, habang ang natitirang bilang ng mga kendi na mayroon kami ay matutukoy ng sumusunod na pagkakaiba (3+5)−2 .

Pangalawa, maaari tayong mamigay ng 2 kendi sa pamamagitan ng pagkuha nito sa unang bulsa. Sa kasong ito, tinutukoy ng pagkakaibang 3−2 ang natitirang bilang ng mga kendi sa unang bulsa, at ang kabuuang bilang ng mga kendi na natitira namin ay matutukoy ng kabuuan (3−2)+5 .

Pangatlo, maaari tayong mamigay ng 2 kendi mula sa pangalawang bulsa. Pagkatapos ang pagkakaiba 5−2 ay tumutugma sa bilang ng natitirang mga kendi sa pangalawang bulsa, at ang kabuuang natitirang bilang ng mga kendi ay matutukoy ng kabuuan na 3+(5−2) .

Ito ay malinaw na sa lahat ng mga kaso magkakaroon tayo ng parehong bilang ng mga matamis. Samakatuwid, ang mga pagkakapantay-pantay (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) ay wasto.

Kung kailangan nating magbigay ng hindi 2, ngunit 4 na kendi, pagkatapos ay magagawa natin ito sa dalawang paraan. Una, mamigay ng 4 na kendi, na nailagay na lahat sa isang bulsa. Sa kasong ito, ang natitirang bilang ng mga matamis ay tinutukoy ng isang expression tulad ng (3+5)−4 . Pangalawa, maaari tayong mamigay ng 4 na kendi mula sa pangalawang bulsa. Sa kasong ito, ang kabuuang bilang ng mga kendi ay nagbibigay ng sumusunod na kabuuan 3+(5−4) . Malinaw na sa una at pangalawang kaso magkakaroon tayo ng parehong bilang ng mga matamis, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (3+5)−4=3+(5−4) ay totoo.

Pagkatapos pag-aralan ang mga resulta na nakuha sa pamamagitan ng paglutas ng mga naunang halimbawa, maaari nating bumalangkas ang katangian ng pagbabawas ng isang ibinigay na natural na numero mula sa isang ibinigay na kabuuan ng dalawang numero. Ang pagbabawas ng isang ibinigay na natural na numero mula sa isang ibinigay na kabuuan ng dalawang numero ay kapareho ng pagbabawas ng isang ibinigay na numero mula sa isa sa mga termino, at pagkatapos ay pagdaragdag ng nagresultang pagkakaiba at isa pang termino. Dapat tandaan na HINDI dapat mas malaki ang ibinawas na numero kaysa sa termino kung saan ibinabawas ang numerong ito.

Isulat natin ang katangian ng pagbabawas ng natural na numero mula sa kabuuan gamit ang mga titik. Hayaang ang a , b at c ay ilang natural na numero. Pagkatapos, sa kondisyon na ang a ay mas malaki kaysa o katumbas ng c, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay (a+b)−c=(a−c)+b, at sa ilalim ng kondisyon na ang b ay mas malaki sa o katumbas ng c , ang pagkakapantay-pantay (a+b)−c=a+(b−c). Kung ang parehong a at b ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng c , ang parehong huling pagkakapantay-pantay ay totoo, at maaari silang isulat tulad ng sumusunod: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang isa ay maaaring bumalangkas ng pag-aari ng pagbabawas ng isang natural na numero mula sa kabuuan ng tatlo o higit pang mga numero. Sa kasong ito, ang natural na numerong ito ay maaaring ibawas mula sa anumang termino (siyempre, kung ito ay mas malaki kaysa o katumbas ng bilang na ibinabawas), at ang natitirang mga termino ay maaaring idagdag sa resultang pagkakaiba.

Upang mailarawan ang tininigan na ari-arian, maaari nating isipin na marami tayong bulsa, at naglalaman ang mga ito ng mga matatamis. Ipagpalagay na kailangan nating magbigay ng 1 kendi. Malinaw na maaari tayong magbigay ng 1 kendi mula sa anumang bulsa. Kasabay nito, hindi mahalaga kung aling bulsa ang ibibigay namin, dahil hindi ito nakakaapekto sa bilang ng mga matamis na natitira namin.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Hayaang ang a , b , c at d ay ilang natural na numero. Kung a>d o a=d , kung gayon ang pagkakaiba (a+b+c)−d ay katumbas ng kabuuan ng (a−d)+b+c . Kung b>d o b=d , kung gayon (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Kung c>d o c=d , kung gayon ang pagkakapantay-pantay (a+b+c)−d=a+b+(c−d) ay totoo.

Dapat pansinin na ang pag-aari ng pagbabawas ng isang natural na numero mula sa kabuuan ng tatlo o higit pang mga numero ay hindi isang bagong pag-aari, dahil ito ay sumusunod sa mga katangian ng pagdaragdag ng mga natural na numero at ang pag-aari ng pagbabawas ng isang numero mula sa kabuuan ng dalawang numero.

Bibliograpiya.

• Math. Anumang mga aklat-aralin para sa mga baitang 1, 2, 3, 4 ng mga institusyong pang-edukasyon.
• Math. Anumang mga aklat-aralin para sa 5 klase ng mga institusyong pang-edukasyon.