Mga katangian ng talahanayan ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero at ang kanilang mga katangian

Ang mga pangunahing uri ng hindi pagkakapantay-pantay ay ipinakita, kabilang ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng Bernoulli, Cauchy-Bunyakovsky, Minkovsky, Chebyshev. Ang mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay at mga aksyon sa mga ito ay isinasaalang-alang. Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay ibinigay.

Mga formula para sa mga pangunahing hindi pagkakapantay-pantay

Mga formula para sa mga unibersal na hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga unibersal na hindi pagkakapantay-pantay ay nasisiyahan para sa anumang mga halaga ng mga dami na kasama sa kanila. Ang mga pangunahing uri ng unibersal na hindi pagkakapantay-pantay ay nakalista sa ibaba.

1) | isang b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a-b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Ang pagkakapantay-pantay ay nagaganap lamang kapag a 1 = a 2 = ... = a n .

4) Cauchy-Bunyakovsky hindi pagkakapantay-pantay

Nananatili ang pagkakapantay-pantay kung at kung α a k = β b k para sa lahat ng k = 1, 2, ..., n at ilang α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Minkowski, para sa p ≥ 1

Mga formula para sa kasiya-siyang hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga kasiya-siyang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa ilang mga halaga ng mga dami na kasama sa kanila.

1) Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli:
.
Mas pangkalahatan:
,
kung saan , mga numero ng parehong sign at mas malaki kaysa -1 : .
Ang lemma ni Bernoulli:
.
Tingnan ang "Mga patunay ng hindi pagkakapantay-pantay at lemma ni Bernoulli".

2)
para sa isang i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev
sa 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n at 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Sa 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n at b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Pangkalahatang hindi pagkakapantay-pantay ng Chebyshev
sa 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n at 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n at k natural
.
Sa 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n at b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay ay isang hanay ng mga alituntuning iyon na natutupad kapag binago ang mga ito. Nasa ibaba ang mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay. Ipinapalagay na ang mga paunang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa mga halaga x i (i = 1, 2, 3, 4) na kabilang sa ilang paunang natukoy na agwat.

1) Kapag binabago ang pagkakasunud-sunod ng mga panig, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nababaligtad.
Kung x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Kung x 1 ≤ x 2, kung gayon x 2 ≥ x 1.
Kung x 1 ≥ x 2, kung gayon x 2 ≤ x 1.
Kung x 1 > x 2 kung gayon x 2< x 1 .

2) Ang isang pagkakapantay-pantay ay katumbas ng dalawang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng magkaibang tanda.
Kung x 1 = x 2, kung gayon x 1 ≤ x 2 at x 1 ≥ x 2.
Kung x 1 ≤ x 2 at x 1 ≥ x 2, kung gayon x 1 = x 2.

3) Pag-aari ng transitivity
Kung x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Kung x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Kung x 1 ≤ x 2 at x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Kung x 1 ≤ x 2 at x 2 ≤ x 3 kung gayon x 1 ≤ x 3 .

4) Maaari mong idagdag (ibawas) ang parehong numero sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay.
Kung x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Kung x 1 ≤ x 2 kung gayon x 1 + A ≤ x 2 + A .
Kung x 1 ≥ x 2 kung gayon x 1 + A ≥ x 2 + A .
Kung x 1 > x 2, kung gayon x 1 + A > x 2 + A.

5) Kung mayroong dalawa o higit pang mga hindi pagkakapantay-pantay na may palatandaan ng parehong direksyon, kung gayon ang kanilang kaliwa at kanang bahagi ay maaaring idagdag.
Kung x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kung x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kung x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kung x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , kung gayon x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Nagaganap ang magkatulad na mga expression para sa mga palatandaan ≥, >.
Kung ang mga paunang hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng mga palatandaan ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay at hindi bababa sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay (ngunit lahat ng mga palatandaan ay may parehong direksyon), kung gayon ang pagdaragdag ay nagreresulta sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.

6) Ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply (hatiin) sa isang positibong numero.
Kung x 1< x 2 и A >0 , pagkatapos ay A x 1< A · x 2 .
Kung x 1 ≤ x 2 at A > 0 , pagkatapos ay A x 1 ≤ A x 2 .
Kung x 1 ≥ x 2 at A > 0, pagkatapos ay A x 1 ≥ A x 2.
Kung x 1 > x 2 at A > 0, ang A x 1 > A x 2.

7) Ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply (hatiin) sa isang negatibong numero. Sa kasong ito, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran.
Kung x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A · x 2 .
Kung x 1 ≤ x 2 at A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Kung x 1 ≥ x 2 at A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Kung x 1 > x 2 at A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Kung mayroong dalawa o higit pang hindi pagkakapantay-pantay na may mga positibong termino, na may tanda ng parehong direksyon, kung gayon ang kanilang kaliwa at kanang bahagi ay maaaring i-multiply sa bawat isa.
Kung x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pagkatapos x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kung x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pagkatapos x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kung x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pagkatapos x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kung x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 kung gayon x 1 x 3 ≤ x 2 x 4 .
Nagaganap ang magkatulad na mga expression para sa mga palatandaan ≥, >.
Kung ang mga unang hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng mga palatandaan ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay at hindi bababa sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay (ngunit lahat ng mga palatandaan ay may parehong direksyon), pagkatapos ay ang multiplikasyon ay nagreresulta sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.

9) Hayaang ang f(x) ay isang monotonically increase na function. Iyon ay, para sa anumang x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) . Pagkatapos ang function na ito ay maaaring ilapat sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, kung saan ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.
Kung x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Kung x 1 ≤ x 2 kung gayon ang f(x 1) ≤ f(x 2) .
Kung x 1 ≥ x 2, kung gayon f(x 1) ≥ f(x 2) .
Kung x 1 > x 2, kung gayon f(x 1) > f(x 2) .

10) Hayaang ang f (x) ay isang monotonically decreasing function, Ibig sabihin, para sa anumang x 1 > x 2, f (x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Kung x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x2) .
Kung x 1 ≤ x 2 kung gayon f(x 1) ≥ f(x 2) .
Kung x 1 ≥ x 2 kung gayon f(x 1) ≤ f(x 2) .
Kung x 1 > x 2, kung gayon f(x 1)< f(x 2) .

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan

Naaangkop ang paraan ng agwat kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may kasamang isang variable, na tinutukoy namin bilang x , at mayroon itong anyo:
f(x) > 0
kung saan ang f(x) ay isang tuluy-tuloy na function na may hangganan na bilang ng mga discontinuity point. Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring anuman: >, ≥,<, ≤ .

Ang paraan ng pagitan ay ang mga sumusunod.

1) Hanapin ang domain ng function na f(x) at markahan ito ng mga pagitan sa totoong axis.

2) Hanapin ang mga punto ng discontinuity ng function f(x) . Halimbawa, kung ito ay isang fraction, makikita natin ang mga punto kung saan nawawala ang denominator. Minarkahan namin ang mga puntong ito sa numerical axis.

3) Lutasin ang equation
f(x) = 0 .
Ang mga ugat ng equation na ito ay minarkahan sa linya ng numero.

4) Bilang resulta, ang numerical axis ay hahatiin ng mga puntos sa mga pagitan (mga segment). Sa loob ng bawat pagitan na kasama sa domain ng kahulugan, pipili kami ng anumang punto at sa puntong ito kinakalkula namin ang halaga ng function. Kung mas malaki sa zero ang value na ito, maglalagay kami ng “+” sign sa ibabaw ng segment (interval). Kung ang halagang ito ay mas mababa sa zero, pagkatapos ay sa itaas ng segment (interval) inilalagay namin ang sign na "-".

5) Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyo: f(x) > 0 , pagkatapos ay piliin ang mga pagitan na may tandang “+”. Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang pagsasama ng mga pagitan na ito na hindi kasama ang kanilang mga hangganan.
Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyo: f(x) ≥ 0 , pagkatapos ay idinaragdag namin sa solusyon ang mga punto kung saan f(x) = 0 . Iyon ay, ang ilan sa mga pagitan ay maaaring may mga saradong hangganan (ang hangganan ay kabilang sa pagitan). ang kabilang bahagi ay maaaring may bukas na mga hangganan (ang hangganan ay hindi kabilang sa pagitan).
Katulad nito, kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mukhang: f(x) ≤ 0 , pagkatapos ay idinaragdag namin sa solusyon ang mga punto kung saan f(x) = 0 .

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paglalapat ng kanilang mga katangian

Ang pamamaraang ito ay naaangkop sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng anumang kumplikado. Binubuo ito sa paglalapat ng mga katangian (na ipinakita sa itaas) upang mabawasan ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang mas simpleng anyo at makakuha ng solusyon. Ito ay lubos na posible na ito ay magreresulta sa hindi isa, ngunit isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Ito ay isang unibersal na pamamaraan. Nalalapat ito sa anumang hindi pagkakapantay-pantay.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

Aralin at presentasyon sa paksa: "Ang mga pangunahing katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero at kung paano lutasin ang mga ito."

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 8
Combinatorics at probability theory Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Panimula sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero

Guys, nakatagpo na tayo ng mga hindi pagkakapantay-pantay, halimbawa, noong nagsimula tayong maging pamilyar sa konsepto ng square root. Ito ay intuitively malinaw na sa tulong ng hindi pagkakapantay-pantay posible upang tantiyahin kung alin sa mga ibinigay na mga numero ay mas malaki o mas mababa. Para sa isang matematikal na paglalarawan, ito ay sapat na upang magdagdag ng isang espesyal na simbolo na nangangahulugang higit pa o mas kaunti.

Ang pagsusulat ng expression na $a>b$ sa mathematical language ay nangangahulugan na ang bilang na $a$ ay mas malaki kaysa sa numerong $b$. Sa turn, nangangahulugan ito na ang $a-b$ ay isang positibong numero.
Pagsulat ng ekspresyong $a

Tulad ng halos lahat ng mga bagay sa matematika, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay may ilang mga katangian. Pag-aaralan natin ang mga katangiang ito sa araling ito.

Ari-arian 1.
Kung $a>b$ at $b>c$, kung gayon ang $a>c$.

Patunay.
Malinaw na $10>5$, at $5>2$, at siyempre $10>2$. Ngunit ang matematika ay mahilig sa mahigpit na mga patunay para sa pinaka-pangkalahatang kaso.
Kung $a>b$, ang $a-b$ ay isang positibong numero. Kung $b>c$, ang $b-c$ ay isang positibong numero. Idagdag natin ang dalawang positibong numero.
$a-b+b-c=a-c$.
Ang kabuuan ng dalawang positibong numero ay isang positibong numero, ngunit ang $a-c$ ay isa ring positibong numero. Mula sa kung saan ito ay sumusunod na $a>c$. Ang ari-arian ay napatunayan na.

Mas malinaw na maipapakita ang property na ito gamit ang number line. Kung $a>b$, ang numerong $a$ sa totoong linya ay nasa kanan ng $b$. Alinsunod dito, kung $b>c$, ang numerong $b$ ay makikita sa kanan ng numerong $c$.
Tulad ng makikita mula sa figure, ang puntong $a$ sa aming kaso ay matatagpuan sa kanan ng puntong $c$, na nangangahulugang $a>c$.

Ari-arian 2.
Kung $a>b$, pagkatapos ay $a+c>b+c$.
Sa madaling salita, kung ang bilang na $a$ ay mas malaki kaysa sa numerong $b$, kung gayon anuman ang numero na idaragdag natin (positibo o negatibo) sa mga numerong ito, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mapangalagaan din. Ang ari-arian na ito ay napakadaling napatunayan. Kailangan mong gumawa ng pagbabawas. Ang variable na idinagdag ay mawawala at ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay magiging tama.

Ari-arian 3.
a) Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng isang positibong numero, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili.
Kung $a>b$ at $c>0$ pagkatapos ay $ac>bc$.
b) Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng negatibong numero, dapat na baligtarin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
Kung $a>b$ at $c Kung $a bc$.
Kapag naghahati, dapat kang kumilos sa parehong paraan (hatiin sa isang positibong numero - ang tanda ay napanatili, hatiin sa isang negatibong numero - ang tanda ay nagbabago).

Ari-arian 4.
Kung $a>b$ at $c>d$, kung gayon ang $a+c>b+d$.

Patunay.
Mula sa kundisyon: ang $a-b$ ay isang positibong numero at ang $c-d$ ay isang positibong numero.
Pagkatapos ang kabuuan na $(a-b)+(c-d)$ ay isa ring positibong numero.
Magpalit tayo ng ilang terminong $(a+с)-(b+d)$.
Mula sa pagbabago sa mga lugar ng mga termino, hindi nagbabago ang kabuuan.
Kaya ang $(a+c)-(b+d)$ ay isang positibong numero at $a+c>b+d$.
Ang ari-arian ay napatunayan na.

Ari-arian 5.
Kung ang $a, b ,c, d$ ay mga positibong numero at $a>b$, $c>d$, kung gayon ang $ac>bd$.

Patunay.
Dahil $a>b$ at $c>0$, pagkatapos, gamit ang property 3, mayroon kaming $ac>bc$.
Dahil $c>d$ at $b>0$, pagkatapos, gamit ang property 3, mayroon kaming $cb>bd$.
Kaya $ac>bc$ at $bc >bd$.
Pagkatapos, gamit ang property 1, makakakuha tayo ng $ac>bd$. Q.E.D.

Kahulugan.
Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $a>b$ at $c>d$ ($a Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $a>b$ at $c d$) ay tinatawag na hindi pagkakapantay-pantay ng magkasalungat na kahulugan.

Pagkatapos ay maaaring i-rephrase ang property 5. Kapag ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ay pinarami, kung saan ang kaliwa at kanang bahagi ay positibo, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ay nakuha.

Ari-arian 6.
Kung $a>b$ ($a>0$, $b>0$), kung gayon ang $a^n>b^n$, kung saan ang $n$ ay anumang natural na numero.
Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibong mga numero at itinaas ang mga ito sa parehong natural na kapangyarihan, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ay makukuha.
Tandaan na kung ang $n$ ay isang kakaibang numero, ang property 6 ay may hawak para sa anumang integer na $a$ at $b$ na may anumang sign.

Ari-arian 7.
Kung $a>b$ ($a>0$, $b>0$), kung gayon ay $\frac(1)(a)

Patunay.
Upang patunayan ang property na ito, kailangang ibawas ang $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ upang makakuha ng negatibong numero.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.

Alam namin na ang $a-b$ ay isang positibong numero, at ang produkto ng dalawang positibong numero ay isa ring positibong numero, i.e. $ab>0$.
Pagkatapos ang $\frac(-(a-b))(ab)$ ay isang negatibong numero. Ang ari-arian ay napatunayan na.

ari-arian 8.
Kung $a>0$, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon: $a+\frac(1)(a)≥2$.

Patunay.
Isaalang-alang natin ang pagkakaiba.
Ang $a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ ay isang hindi-negatibong numero.
Ang ari-arian ay napatunayan na.

Ari-arian 9. Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Cauchy (ang arithmetic mean ay mas malaki kaysa o katumbas ng geometric mean).
Kung ang $a$ at $b$ ay mga hindi-negatibong numero, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mananatili: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.

Patunay.
Isaalang-alang ang pagkakaiba:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b ))^2)(2)$ ay isang hindi negatibong numero.
Ang ari-arian ay napatunayan na.

Mga halimbawa ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

Halimbawa 1
Ito ay kilala na $-1.5 a) $3a$.
b) $-2b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^2$.
f) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.

Solusyon.
a) Gumagamit kami ng ari-arian 3. Nag-multiply kami sa isang positibong numero, na nangangahulugan na ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.
$-1.5*3 $-4.5<3a<6.3$.

B) Gamitin natin ang ari-arian 3. I-multiply sa isang negatibong numero, na nangangahulugang nagbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
c) Pagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan.
$-1.5+3.1 $1.6

D) I-multiply ang lahat ng bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay $3.1 $-5.3<-b<-3.1$.
Ngayon gawin natin ang operasyon ng karagdagan.
$-1.5-5.3 $-6.8

E) Ang lahat ng mga bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibo, pag-squaring sa kanila, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan.
${3.1}^2 $9.61

E) Ang antas ng hindi pagkakapantay-pantay ay kakaiba, pagkatapos ay maaari mong ligtas na itaas sa isang kapangyarihan at hindi baguhin ang tanda.
${(-1.5)}^3 $-3.375

G) Gamitin natin ang property 7.
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.

Halimbawa 2
Paghambingin ang mga numero:
a) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ at $2+\sqrt(8)$.
b) $π+\sqrt(8)$ at $4+\sqrt(10)$.

Solusyon.
a) I-square natin ang bawat isa sa mga numero.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$.
Kalkulahin natin ang pagkakaiba ng mga parisukat ng mga parisukat na ito.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
Malinaw na nakakuha ng positibong numero, na nangangahulugang:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
Dahil ang parehong mga numero ay positibo, kung gayon:
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$.

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Alam na ang $-2.2 Maghanap ng mga pagtatantya ng mga numero.
a) $4a$.
b) $-3b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^4$.
f) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
2. Paghambingin ang mga numero:
a) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ at $3+\sqrt(7)$.
b) $π+\sqrt(5)$ at $2+\sqrt(3)$.

Ang larangan ng mga tunay na numero ay may pag-aari ng pagkakasunud-sunod (item 6, p. 35): para sa anumang mga numerong a, b, isa at isa lamang sa tatlong mga ugnayan ang nagtataglay: o . Sa kasong ito, ang notasyon a > b ay nangangahulugan na ang pagkakaiba ay positibo, at ang pagkakaiba sa notasyon ay negatibo. Hindi tulad ng larangan ng tunay na mga numero, ang larangan ng mga kumplikadong numero ay hindi inayos: para sa mga kumplikadong numero, ang mga konseptong "mas malaki kaysa" at "mas mababa sa" ay hindi tinukoy; samakatuwid, ang kabanatang ito ay tumatalakay lamang sa mga tunay na numero.

Tinatawag namin ang mga ugnayang hindi pagkakapantay-pantay, ang mga numerong a at b ay mga miyembro (o bahagi) ng hindi pagkakapantay-pantay, ang mga palatandaan > (mas malaki kaysa) at Hindi pagkakapantay-pantay a > b at c > d ay tinatawag na hindi pagkakapantay-pantay ng pareho (o pareho) na kahulugan; hindi pagkakapantay-pantay a > b at c Kaagad itong sumusunod mula sa kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na

1) anumang positibong numero na higit sa zero;

2) anumang negatibong numero na mas mababa sa zero;

3) anumang positibong numero ay mas malaki kaysa sa anumang negatibong numero;

4) ng dalawang negatibong numero, ang isa na ang absolute value ay mas maliit ay mas malaki.

Ang lahat ng mga pahayag na ito ay umamin ng isang simpleng geometric na interpretasyon. Hayaang pumunta ang positibong direksyon ng axis ng numero sa kanan ng panimulang punto; pagkatapos, anuman ang mga palatandaan ng mga numero, ang mas malaki sa kanila ay kinakatawan ng isang puntong nakahiga sa kanan ng puntong kumakatawan sa mas maliit na bilang.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay may mga sumusunod na pangunahing katangian.

1. Asymmetry (irreversibility): kung , pagkatapos , at kabaliktaran.

Sa katunayan, kung ang pagkakaiba ay positibo, kung gayon ang pagkakaiba ay negatibo. Sinasabi nila na kapag ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay muling inayos, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat baguhin sa kabaligtaran.

2. Transitivity: kung , pagkatapos . Sa katunayan, ang pagiging positibo ng mga pagkakaiba ay nagpapahiwatig ng pagiging positibo

Bilang karagdagan sa mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay, mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay at ginagamit din. Ang mga ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: ang isang tala ay nangangahulugan na alinman o Samakatuwid, halimbawa, maaari kang sumulat at gayundin. Karaniwan, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na nakasulat na may mga palatandaan ay tinatawag na mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, at ang mga nakasulat na may mga palatandaan ay tinatawag na hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Alinsunod dito, ang mga palatandaan mismo ay tinatawag na mga palatandaan ng mahigpit o hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga katangian 1 at 2 na tinalakay sa itaas ay totoo rin para sa mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.

Isaalang-alang ngayon ang mga operasyon na maaaring isagawa sa isa o higit pang mga hindi pagkakapantay-pantay.

3. Mula sa pagdaragdag ng parehong bilang sa mga miyembro ng hindi pagkakapantay-pantay, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.

Patunay. Hayaang magbigay ng hindi pagkakapantay-pantay at isang di-makatwirang numero. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang pagkakaiba ay positibo. Idinagdag namin sa numerong ito ang dalawang kabaligtaran na mga numero kung saan hindi ito magbabago, i.e.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat nang ganito:

Ito ay sumusunod mula dito na ang pagkakaiba ay positibo, iyon ay, iyon

at ito ay dapat patunayan.

Ito ang batayan para sa posibilidad na i-skew ang anumang termino ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa isa sa mga bahagi nito patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda. Halimbawa, mula sa hindi pagkakapantay-pantay

sinusundan iyon

4. Kapag pinarami ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay sa parehong positibong numero, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago; kapag ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng parehong negatibong numero, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran.

Patunay. Let then If then since positive ang product ng positive numbers. Ang pagpapalawak ng mga bracket sa kaliwang bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay, makuha natin ang , ibig sabihin. Ang kaso ay isinasaalang-alang sa katulad na paraan.

Ang eksaktong parehong konklusyon ay maaaring iguguhit tungkol sa paghahati ng mga bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ng ilang di-zero na numero, dahil ang paghahati sa isang numero ay katumbas ng pag-multiply sa isang numero at ang mga numero ay may parehong mga palatandaan.

5. Hayaang maging positibo ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos, kapag ang mga miyembro nito ay itinaas sa parehong positibong kapangyarihan, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.

Patunay. Hayaan sa kasong ito, sa pamamagitan ng pag-aari ng transitivity, at . Pagkatapos, dahil sa monotonic na pagtaas ng power function sa at positibo, mayroon kami

Sa partikular, kung nasaan ang isang natural na numero, pagkatapos ay makuha namin

ibig sabihin, kapag kinukuha ang ugat mula sa magkabilang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na may mga positibong termino, hindi nagbabago ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay.

Hayaang maging negatibo ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos ay madaling patunayan na kapag ang mga miyembro nito ay itinaas sa isang kakaibang natural na kapangyarihan, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago, at kapag ito ay itinaas sa isang natural na kapangyarihan, ito ay nagbabago sa kabaligtaran. Mula sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga negatibong termino, maaari mo ring kunin ang ugat ng isang kakaibang antas.

Hayaan, higit pa, ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay may iba't ibang mga palatandaan. Pagkatapos, kapag ito ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago, at kapag ito ay itinaas sa isang pantay na kapangyarihan, walang tiyak na masasabi sa pangkalahatang kaso tungkol sa kahulugan ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan, kapag ang isang numero ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, ang tanda ng numero ay napanatili at samakatuwid ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. Kapag itinaas ang hindi pagkakapantay-pantay sa isang pantay na kapangyarihan, ang isang hindi pagkakapantay-pantay na may mga positibong termino ay nabuo, at ang kahulugan nito ay nakasalalay sa ganap na mga halaga ng mga tuntunin ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ng orihinal, isang hindi pagkakapantay-pantay ng ang kabaligtaran na kahulugan, at maging ang pagkakapantay-pantay!

Kapaki-pakinabang na suriin ang lahat ng sinabi tungkol sa pagtataas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang kapangyarihan gamit ang sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 1. Itaas ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay sa ipinahiwatig na kapangyarihan, baguhin, kung kinakailangan, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran o sa pantay na tanda.

a) 3 > 2 sa kapangyarihan ng 4; b) sa kapangyarihan ng 3;

c) sa kapangyarihan ng 3; d) sa kapangyarihan ng 2;

e) sa kapangyarihan ng 5; e) sa kapangyarihan ng 4;

g) 2 > -3 sa kapangyarihan ng 2; h) sa kapangyarihan ng 2,

6. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay, maaari kang pumunta sa hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng kung ang mga termino ng hindi pagkakapantay-pantay ay parehong positibo o parehong negatibo, pagkatapos ay sa pagitan ng kanilang mga kapalit ay mayroong hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan:

Patunay. Kung ang a at b ay magkaparehong tanda, kung gayon ang kanilang produkto ay positibo. Hatiin sa hindi pagkakapantay-pantay

ibig sabihin, na kinakailangan upang makuha.

Kung ang mga termino ng hindi pagkakapantay-pantay ay may magkasalungat na mga palatandaan, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng kanilang mga katumbas ay may parehong kahulugan, dahil ang mga palatandaan ng mga katumbas ay pareho sa mga palatandaan ng mga dami mismo.

Halimbawa 2. Suriin ang huling property 6 sa mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

7. Ang logarithm ng hindi pagkakapantay-pantay ay maisasagawa lamang kung ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibo (negatibong mga numero at zero ay walang logarithms).

Hayaan mong . Pagkatapos ay kailan

at kailan

Ang kawastuhan ng mga pahayag na ito ay batay sa monotonicity ng logarithmic function, na tumataas kung ang base at bumababa kung

Kaya, kapag kinuha ang logarithm ng isang hindi pagkakapantay-pantay na binubuo ng mga positibong termino, na may isang base na mas malaki kaysa sa isa, isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan tulad ng ibinigay na isa ay nabuo, at kapag kinuha ang logarithm nito na may positibong base na mas mababa sa isa, isang hindi pagkakapantay-pantay ng nabuo ang kasalungat na kahulugan.

8. Kung , kung gayon kung , ngunit , kung gayon .

Kaagad itong sumusunod mula sa mga monotonicity na katangian ng exponential function (Sec. 42), na tumataas sa case at bumababa kung

Kapag nagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ng termino sa pamamagitan ng termino, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan bilang ang data ay nabuo.

Patunay. Patunayan natin ang pahayag na ito para sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay, bagama't ito ay totoo para sa anumang bilang ng mga summed inequalities. Hayaan ang mga hindi pagkakapantay-pantay

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga numero ay magiging positibo; tapos positive din yung sum nila, i.e.

Ang pag-grupo ng mga termino sa ibang paraan, nakukuha namin

at samakatuwid

at ito ay dapat patunayan.

Walang tiyak na masasabi sa pangkalahatang kaso tungkol sa kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na nagreresulta mula sa pagdaragdag ng dalawa o higit pang hindi pagkakapantay-pantay ng magkakaibang kahulugan.

10. Kung ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay ng magkasalungat na kahulugan ay ibawas ng termino sa pamamagitan ng termino mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan tulad ng una ay nabuo.

Patunay. Hayaang magbigay ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay na magkaibang kahulugan. Ang pangalawa sa kanila, sa pamamagitan ng pag-aari ng hindi maibabalik, ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: d > c. Idagdag natin ngayon ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan at makuha ang hindi pagkakapantay-pantay

ang parehong kahulugan. Mula sa huli nahanap namin

at ito ay dapat patunayan.

Walang tiyak na masasabi sa pangkalahatang kaso tungkol sa kahulugan ng isang hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng isa pang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay.


Ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa matematika ay may mahalagang papel. Sa paaralan, kami ang pangunahing nakikitungo hindi pagkakapantay-pantay ng numero, na may kahulugan kung saan sisimulan natin ang artikulong ito. At pagkatapos ay ilista namin at bigyang-katwiran katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero, kung saan nakabatay ang lahat ng mga prinsipyo ng pagtatrabaho sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Napansin namin kaagad na magkatulad ang maraming katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Samakatuwid, ipapakita namin ang materyal ayon sa parehong pamamaraan: binubuo namin ang pag-aari, ibigay ang katwiran at mga halimbawa nito, at pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na pag-aari.

Pag-navigate sa pahina.

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero: kahulugan, mga halimbawa

Noong ipinakilala namin ang konsepto ng hindi pagkakapantay-pantay, napansin namin na ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay madalas na tinutukoy sa paraan ng pagkakasulat ng mga ito. Kaya tinawag namin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na makabuluhang algebraic expression na naglalaman ng mga palatandaan na hindi katumbas ng ≠, mas mababa sa<, больше >, mas mababa sa o katumbas ng ≤ o mas malaki kaysa sa o katumbas ng ≥. Batay sa kahulugan sa itaas, madaling tukuyin ang hindi pagkakapantay-pantay ng numero:

Ang pagpupulong sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay nagaganap sa mga aralin sa matematika sa unang baitang kaagad pagkatapos makilala ang mga unang natural na numero mula 1 hanggang 9, at makilala ang operasyon ng paghahambing. Totoo, doon sila ay tinatawag na hindi pagkakapantay-pantay, tinanggal ang kahulugan ng "numerical". Para sa kalinawan, hindi masakit na magbigay ng ilang halimbawa ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng numero mula sa yugtong iyon ng kanilang pag-aaral: 1<2 , 5+2>3 .

At higit pa mula sa natural na mga numero, ang kaalaman ay umaabot sa iba pang mga uri ng mga numero (integer, rational, real number), ang mga patakaran para sa kanilang paghahambing ay pinag-aaralan, at ito ay makabuluhang nagpapalawak ng pagkakaiba-iba ng mga species ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero: −5> −72, 3> − 0.275 (7−5, 6) , .

Mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero

Sa pagsasagawa, ang pagtatrabaho sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay nagbibigay-daan sa isang bilang ng katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Sinusunod nila ang konsepto ng hindi pagkakapantay-pantay na ipinakilala sa atin. Kaugnay ng mga numero, ang konseptong ito ay ibinigay ng sumusunod na pahayag, na maaaring ituring na kahulugan ng mga ugnayang "mas mababa sa" at "mas malaki kaysa" sa hanay ng mga numero (ito ay madalas na tinatawag na pagkakaiba sa kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay):

Kahulugan.

  • numero Ang a ay mas malaki kaysa sa b kung at kung ang pagkakaiba a−b ay isang positibong numero;
  • ang numero a ay mas mababa sa bilang b kung at kung ang pagkakaiba a−b ay negatibong numero;
  • ang bilang a ay katumbas ng bilang b kung at kung ang pagkakaiba a−b ay katumbas ng zero.

Ang kahulugang ito ay maaaring i-recast sa isang kahulugan ng mas mababa sa o katumbas ng at mas malaki kaysa sa o katumbas ng. Narito ang mga salita nito:

Kahulugan.

  • numero Ang a ay mas malaki sa o katumbas ng b kung at kung ang a−b ay isang di-negatibong numero;
  • ang bilang a ay mas mababa sa o katumbas ng bilang b kung at kung ang a − b ay isang hindi positibong numero.

Gagamitin namin ang mga kahulugang ito sa pagpapatunay ng mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero, na sinusuri namin ngayon.

Mga pangunahing katangian

Sinimulan namin ang aming pagsusuri sa tatlong pangunahing katangian ng hindi pagkakapantay-pantay. Bakit mahalaga ang mga ito? Dahil ang mga ito ay salamin ng mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay sa pinaka-pangkalahatang kahulugan, at hindi lamang kaugnay ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero na isinulat gamit ang mga palatandaan< и >, katangian:

Tulad ng para sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero na nakasulat gamit ang mga palatandaan ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ≤ at ≥, mayroon silang pag-aari ng reflexivity (sa halip na anti-reflexivity), dahil ang hindi pagkakapantay-pantay a≤a at a≥a ay kinabibilangan ng kaso ng pagkakapantay-pantay a=a . Ang mga ito ay nailalarawan din ng antisymmetry at transitivity.

Kaya, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero na nakasulat sa mga palatandaan ≤ at ≥ ay may mga sumusunod na katangian:

  • Ang reflexivity a≥a at a≤a ay tunay na hindi pagkakapantay-pantay;
  • antisymmetry, kung a≤b , kung gayon b≥a , at kung a≥b , kung gayon b≤a .
  • transitivity, kung a≤b at b≤c , pagkatapos ay a≤c , at gayundin, kung a≥b at b≥c , pagkatapos ay a≥c .

Ang kanilang patunay ay halos kapareho sa mga naibigay na, kaya't hindi natin sila papansinin, ngunit magpatuloy sa iba pang mahahalagang katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Iba pang mahahalagang katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero

Dagdagan natin ang mga pangunahing katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero ng isang serye ng mga resulta na may malaking praktikal na kahalagahan. Ang mga pamamaraan para sa pagsusuri ng mga halaga ng mga expression ay batay sa kanila, ang mga prinsipyo ng solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay atbp. Samakatuwid, ipinapayong makitungo nang maayos sa kanila.

Sa subsection na ito, bubuo kami ng mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay para lamang sa isang senyales ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ngunit dapat tandaan na ang mga katulad na katangian ay magiging wasto din para sa kabaligtaran na tanda, gayundin para sa mga palatandaan ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ipaliwanag natin ito sa isang halimbawa. Sa ibaba ay binubuo at pinatutunayan namin ang sumusunod na katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay: kung a

  • kung a>b , pagkatapos ay a+c>b+c ;
  • kung a≤b , pagkatapos ay a+c≤b+c ;
  • kung a≥b , pagkatapos ay a+c≥b+c .

Para sa kaginhawahan, ipinakita namin ang mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero sa anyo ng isang listahan, habang nagbibigay ng kaukulang pahayag, pormal na isinusulat ito gamit ang mga titik, nagbibigay ng patunay, at pagkatapos ay nagpapakita ng mga halimbawa ng paggamit. At sa dulo ng artikulo ay ibubuod namin ang lahat ng mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero sa isang talahanayan. Go!

    Ang pagdaragdag (o pagbabawas) ng anumang numero sa magkabilang panig ng isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay nagbibigay ng isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Sa madaling salita, kung ang mga numerong a at b ay ganoon a

    Upang patunayan ito, buuin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanang bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay ng numero, at ipakita na ito ay negatibo sa ilalim ng kundisyong a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a

    Hindi namin iniisip ang patunay ng pag-aari na ito ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero para sa pagbabawas ng numero c, dahil sa hanay ng mga tunay na numero ang pagbabawas ay maaaring mapalitan ng pagdaragdag ng −c .

    Halimbawa, kung idinagdag mo ang numero 15 sa parehong bahagi ng tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero 7>3, makukuha mo ang tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero 7+15>3+15, na pareho, 22>18.

    Kung ang parehong bahagi ng tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay i-multiply (o hinati) sa parehong positibong numero c, kung gayon ang tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay makukuha. Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami (o hinati) sa isang negatibong numero c, at ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nababaligtad, kung gayon ang tamang hindi pagkakapantay-pantay ay makukuha. Sa literal na anyo: kung ang mga numerong a at b ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay a bc.

    Patunay. Magsimula tayo sa kaso kapag c>0 . Buuin ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanang bahagi ng numerical inequality na pinatutunayan: a·c−b·c=(a−b)·c . Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a 0 , kung gayon ang produkto (a−b) c ay magiging negatibong numero bilang produkto ng negatibong numero a−b at positibong numero c (na kasunod mula sa ). Samakatuwid, ang isang c−b c<0 , откуда a·c

    Hindi namin pinag-iisipan ang patunay ng itinuturing na pag-aari para sa paghahati sa parehong bahagi ng isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero sa parehong bilang c, dahil ang paghahati ay palaging maaaring palitan ng multiplikasyon ng 1/c.

    Ipakita natin ang isang halimbawa ng paglalapat ng nasuri na ari-arian sa mga kongkretong numero. Halimbawa, maaari mong parehong bahagi ng tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

    Mula sa pag-aari na kakasuri lamang ng pagpaparami ng magkabilang panig ng isang pagkakapantay-pantay ng numero sa isang numero, dalawang praktikal na mahalagang resulta ang sumusunod. Kaya binabalangkas namin ang mga ito sa anyo ng mga corollaries.

    Ang lahat ng mga pag-aari na tinalakay sa itaas sa talatang ito ay nagkakaisa sa pamamagitan ng katotohanan na sa una ay ibinigay ang isang tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero, at mula dito, sa pamamagitan ng ilang mga manipulasyon sa mga bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at ang tanda, isa pang tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay nakuha. Ngayon ay magbibigay kami ng isang bloke ng mga ari-arian kung saan hindi isa, ngunit ilang wastong mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero ang unang ibinigay, at isang bagong resulta ang nakuha mula sa kanilang pinagsamang paggamit pagkatapos idagdag o i-multiply ang kanilang mga bahagi.

    Kung para sa mga numero a , b , c at d ang mga hindi pagkakapantay-pantay a

    Patunayan natin na ang (a+c)−(b+d) ay isang negatibong numero, ito ay magpapatunay na ang a+c

    Sa pamamagitan ng induction, ang property na ito ay umaabot sa termino-by-term na pagdaragdag ng tatlo, apat, at, sa pangkalahatan, anumang may hangganang bilang ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Kaya, kung para sa mga numero a 1 , a 2 , …, a n at b 1 , b 2 , …, b n hindi pagkakapantay-pantay a 1 isang 1 +a 2 +…+a n .

    Halimbawa, binibigyan tayo ng tatlong tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero ng parehong tanda −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

    Maaari mong i-multiply ang termino sa pamamagitan ng term na mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero ng parehong tanda, ang parehong bahagi nito ay kinakatawan ng mga positibong numero. Sa partikular, para sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay a

    Upang patunayan ito, maaari nating i-multiply ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay a

    Ang ari-arian na ito ay may bisa din para sa pagpaparami ng anumang may hangganang bilang ng wastong mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero na may mga positibong bahagi. Iyon ay, kung ang a 1 , a 2 , …, a n at b 1 , b 2 , …, b n ay mga positibong numero, at a 1 a 1 a 2 ... a n .

    Hiwalay, nararapat na tandaan na kung ang notasyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay naglalaman ng mga hindi positibong numero, kung gayon ang kanilang termino-by-term na multiplikasyon ay maaaring humantong sa hindi tamang mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Halimbawa, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

    • Bunga. Mga termino-by-term multiplikasyon ng magkatulad na tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng anyo a

Sa pagtatapos ng artikulo, tulad ng ipinangako, kokolektahin namin ang lahat ng pinag-aralan na pag-aari sa talahanayan ng pag-aari ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero:

Bibliograpiya.

  • Moro M.I.. Math. Proc. para sa 1 cl. maaga paaralan Sa 2 p. Bahagi 1. (Unang kalahating taon) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - ika-6 na ed. - M.: Enlightenment, 2006. - 112 p.: ill. + App. (2 magkahiwalay na l. may sakit). - ISBN 5-09-014951-8.
  • Math: pag-aaral. para sa 5 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21st ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: may sakit. ISBN 5-346-00699-0.
  • Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO