Ginagamit ng kurso wikang geometriko, na binubuo ng mga notasyon at mga simbolo na pinagtibay sa kurso ng matematika (sa partikular, sa bagong kursong geometry sa mataas na paaralan).
Ang buong iba't ibang mga pagtatalaga at simbolo, pati na rin ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ito, ay maaaring nahahati sa dalawang grupo:
pangkat I - mga pagtatalaga ng mga geometric na numero at mga relasyon sa pagitan nila;
pangkat II pagtatalaga ng mga lohikal na operasyon, na bumubuo ng syntactic na batayan ng geometric na wika.
Ang sumusunod ay isang kumpletong listahan ng mga simbolo ng matematika na ginamit sa kursong ito. Ang partikular na atensyon ay binabayaran sa mga simbolo na ginagamit upang italaga ang mga projection ng mga geometric na hugis.
Pangkat I
MGA SIMBOL NA ITINALAGA ANG MGA GEOMETRIC FIGURE AT KAUGNAYAN SA PAGITAN NILA
A. Pagtatalaga ng mga geometric na hugis
1. Ang geometric na pigura ay ipinapahiwatig - F.
2. Ang mga puntos ay ipinapahiwatig ng malalaking titik ng alpabetong Latin o mga numerong Arabe:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Ang mga linyang arbitraryong matatagpuan kaugnay ng mga projection planes ay ipinapahiwatig ng maliliit na titik ng alpabetong Latin:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Ang mga linya ng antas ay ipinahiwatig: h - pahalang; f- pangharap.
Ang sumusunod na notasyon ay ginagamit din para sa mga tuwid na linya:
(AB) - isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong A at B;
[AB) - isang sinag na may simula sa punto A;
[AB] - isang tuwid na bahagi ng linya na nililimitahan ng mga puntong A at B.
4. Ang mga ibabaw ay tinutukoy ng maliliit na titik ng alpabetong Greek:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Upang bigyang-diin ang paraan ng pagtukoy sa ibabaw, dapat mong tukuyin ang mga geometric na elemento kung saan ito tinukoy, halimbawa:
α(a || b) - ang eroplanong α ay tinutukoy ng magkatulad na linya a at b;
β(d 1 d 2 gα) - ang surface β ay tinutukoy ng mga gabay d 1 at d 2 , ang generatrix g at ang eroplano ng parallelism α.
5. Ang mga anggulo ay ipinahiwatig:
∠ABC - anggulo na may tuktok sa punto B, pati na rin ang ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Angular: ang halaga (degree measure) ay ipinahiwatig ng sign, na inilalagay sa itaas ng anggulo:
Ang halaga ng anggulong ABC;
Ang halaga ng anggulo φ.
Ang tamang anggulo ay minarkahan ng isang parisukat na may tuldok sa loob
7. Ang mga distansya sa pagitan ng mga geometric na figure ay ipinahiwatig ng dalawang vertical na segment - ||.
Halimbawa:
|AB| - distansya sa pagitan ng mga punto A at B (haba ng segment AB);
|Aa| - distansya mula sa punto A hanggang linya a;
|Aα| - mga distansya mula sa punto A hanggang sa ibabaw α;
|ab| - distansya sa pagitan ng mga linya a at b;
|αβ| distansya sa pagitan ng mga ibabaw α at β.
8. Para sa mga projection plane, ang mga sumusunod na pagtatalaga ay tinatanggap: π 1 at π 2, kung saan ang π 1 ay ang horizontal projection plane;
π 2 -fyuntal plane ng mga projection.
Kapag pinapalitan ang mga projection plane o nagpapakilala ng mga bagong eroplano, ang huli ay tumutukoy sa π 3, π 4, atbp.
9. Ang projection axes ay ipinapahiwatig: x, y, z, kung saan ang x ay ang x-axis; y ay ang y-axis; z - ilapat ang axis.
Ang pare-parehong linya ng Monge diagram ay tinutukoy ng k.
10. Ang mga projection ng mga punto, linya, ibabaw, anumang geometric figure ay ipinahiwatig ng parehong mga titik (o numero) bilang orihinal, kasama ang pagdaragdag ng isang superscript na tumutugma sa projection plane kung saan sila nakuha:
A", B", C", D", ... , L", M", N", pahalang na projection ng mga puntos; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... frontal projection ng mga puntos; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - pahalang na projection ng mga linya; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... frontal projection ng mga linya; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... pahalang na projection ng mga ibabaw; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... frontal projection ng mga surface.
11. Ang mga bakas ng mga eroplano (mga ibabaw) ay ipinahiwatig ng parehong mga titik tulad ng pahalang o pangharap, na may pagdaragdag ng isang subscript 0α, na nagbibigay-diin na ang mga linyang ito ay nasa projection plane at kabilang sa eroplano (surface) α.
Kaya: h 0α - pahalang na bakas ng eroplano (ibabaw) α;
f 0α - pangharap na bakas ng eroplano (ibabaw) α.
12. Ang mga bakas ng mga tuwid na linya (mga linya) ay ipinahiwatig ng malalaking titik, na nagsisimula sa mga salita na tumutukoy sa pangalan (sa Latin na transkripsyon) ng projection plane na tinatawid ng linya, na may subscript na nagpapahiwatig na kabilang sa linya.
Halimbawa: H a - pahalang na bakas ng isang tuwid na linya (linya) a;
F a - frontal trace ng isang tuwid na linya (linya) a.
13. Ang pagkakasunud-sunod ng mga puntos, mga linya (ng anumang figure) ay minarkahan ng mga subscript 1,2,3,..., n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;
α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;
F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n atbp.
Ang pantulong na projection ng punto, na nakuha bilang isang resulta ng pagbabagong-anyo upang makuha ang aktwal na halaga ng geometric figure, ay tinutukoy ng parehong titik na may subscript 0:
A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
Axonometric projection
14. Ang mga axonometric projection ng mga punto, linya, ibabaw ay ipinahiwatig ng parehong mga titik tulad ng kalikasan kasama ang pagdaragdag ng superscript 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Ang mga pangalawang projection ay ipinahiwatig sa pamamagitan ng pagdaragdag ng superscript 1:
A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Upang mapadali ang pagbabasa ng mga guhit sa aklat-aralin, maraming mga kulay ang ginamit sa disenyo ng materyal na naglalarawan, ang bawat isa ay may isang tiyak na kahulugan ng semantiko: ang mga itim na linya (tuldok) ay nagpapahiwatig ng paunang data; ang berdeng kulay ay ginagamit para sa mga linya ng auxiliary graphic constructions; ang mga pulang linya (tuldok) ay nagpapakita ng mga resulta ng mga konstruksyon o yaong mga geometric na elemento na dapat bigyan ng espesyal na atensyon.
| hindi. | Pagtatalaga | Nilalaman | Halimbawa ng simbolikong notasyon |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | tugma | (AB) ≡ (CD) - isang tuwid na linya na dumadaan sa mga punto A at B, tumutugma sa linyang dumadaan sa mga punto C at D |
| 2 | ≅ | Kaayon | ∠ABC≅∠MNK - anggulong ABC ay kapareho ng anggulong MNK |
| 3 | ∼ | Katulad | ΔABS∼ΔMNK - magkatulad ang mga tatsulok na ABC at MNK |
| 4 | || | Parallel | α||β - plane α ay parallel sa plane β |
| 5 | ⊥ | Perpendikular | a⊥b - ang mga linya a at b ay patayo |
| 6 | magkaibang lahi | na may d - mga linyang c at d na nagsalubong | |
| 7 | Tangents | t l - linya t ay padaplis sa linya l. βα - eroplanong β padaplis sa ibabaw α |
|
| 8 | → | Ay ipinapakita | F 1 → F 2 - ang figure F 1 ay naka-map sa figure F 2 |
| 9 | S | sentro ng projection. Kung ang projection center ay hindi tamang punto, ang posisyon nito ay ipinahiwatig ng isang arrow, na nagpapahiwatig ng direksyon ng projection | - |
| 10 | s | Direksyon ng projection | - |
| 11 | P | Parallel projection | p s α Parallel projection - parallel projection sa eroplano α sa direksyon s |
| hindi. | Pagtatalaga | Nilalaman | Halimbawa ng simbolikong notasyon | Isang halimbawa ng simbolikong notasyon sa geometry |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Mga set | - | - |
| 2 | A, B, C,... | Itakda ang mga elemento | - | - |
| 3 | { ... } | Binubuo ng... | F(A, B, C,... ) | Ф(A, B, C,...) - figure Ф ay binubuo ng mga puntos A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Walang laman na set | L - ∅ - ang set L ay walang laman (walang mga elemento) | - |
| 5 | ∈ | Nabibilang sa, ay isang elemento | 2∈N (kung saan ang N ay ang hanay ng mga natural na numero) - ang numero 2 ay kabilang sa set N | A ∈ a - point A ay kabilang sa linyang a (Ang punto A ay nasa linya a) |
| 6 | ⊂ | Kasama, naglalaman | N⊂M - ang set N ay isang bahagi (subset) ng set M ng lahat ng rational na numero | a⊂α - ang linya a ay kabilang sa eroplanong α (naiintindihan sa kahulugan: ang hanay ng mga punto ng linya a ay isang subset ng mga punto ng eroplano α) |
| 7 | ∪ | Isang asosasyon | C \u003d A U B - set C ay isang unyon ng mga set A at B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5) | ABCD = ∪ [BC] ∪ - putol na linya, ang ABCD ay pagsasama ng mga segment [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Intersection ng marami | М=К∩L - ang set М ay ang intersection ng set К at L (naglalaman ng mga elementong kabilang sa parehong set K at set L). M ∩ N = ∅- intersection ng mga set M at N ang walang laman na set (walang mga karaniwang elemento ang set M at N) | a = α ∩ β - linya a ay ang intersection mga eroplanong α at β at ∩ b = ∅ - ang mga linya a at b ay hindi nagsalubong (walang karaniwang puntos) |
| hindi. | Pagtatalaga | Nilalaman | Halimbawa ng simbolikong notasyon |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | dugtong ng mga pangungusap; tumutugma sa unyon "at". Ang pangungusap (p∧q) ay totoo kung at kung ang p at q ay parehong totoo | α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Ang intersection ng mga surface α at β ay isang set ng mga puntos (linya), na binubuo ng lahat ng mga iyon at tanging mga puntong K na nabibilang sa parehong ibabaw α at sa ibabaw β |
| 2 | ∨ | Disjunction ng mga pangungusap; tumutugma sa unyon "o". Pangungusap (p∨q) totoo kapag ang hindi bababa sa isa sa mga pangungusap na p o q ay totoo (i.e. alinman sa p o q o pareho). | - |
| 3 | ⇒ | Ang implikasyon ay isang lohikal na kahihinatnan. Ang ibig sabihin ng pangungusap na p⇒q ay: "kung p, kung gayon q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. Kung ang dalawang linya ay parallel sa isang pangatlo, kung gayon sila ay parallel sa isa't isa. |
| 4 | ⇔ | Ang pangungusap (p⇔q) ay nauunawaan sa diwa: "kung p, kung gayon q; kung q, kung gayon p" | А∈α⇔А∈l⊂α. Ang isang punto ay kabilang sa isang eroplano kung ito ay kabilang sa ilang linya na kabilang sa eroplanong iyon. Totoo rin ang kabaligtaran: kung ang isang punto ay kabilang sa ilang linya, pag-aari ng eroplano, pagkatapos ito ay kabilang din sa eroplano mismo. |
| 5 | ∀ | Ang pangkalahatang quantifier ay nagbabasa: para sa lahat, para sa lahat, para sa sinuman. Ang expression na ∀(x)P(x) ay nangangahulugang: "para sa alinmang x: property P(x)" | ∀(ΔABC)( = 180°) Para sa alinmang (para sa alinmang) tatsulok, ang kabuuan ng mga halaga ng mga anggulo nito sa vertices ay 180° |
| 6 | ∃ | Ang existential quantifier ay nagbabasa ng: umiiral. Ang ekspresyong ∃(x)P(x) ay nangangahulugang: "may x na may katangiang P(x)" | (∀α)(∃a). Para sa anumang eroplanong α, mayroong isang linya na hindi kabilang sa eroplanong α at parallel sa eroplano α |
| 7 | ∃1 | Ang uniqueness ng existence quantifier, reads: there is a unique (-th, -th)... Ang expression na ∃1(x)(Px) ay nangangahulugang: "may kakaiba (isa lang) x, pagkakaroon ng ari-arian Rx" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Para sa alinmang dalawang magkaibang puntong A at B, mayroong natatanging linya a, pagdaan sa mga puntong ito. |
| 8 | (px) | Negasyon ng pahayag P(x) | ab(∃α )(α⊃а, b). Kung ang mga linya a at b ay magsalubong, kung gayon walang eroplanong a na naglalaman ng mga ito |
| 9 | \ | Negatibong tanda | ≠ - ang segment [AB] ay hindi katumbas ng segment .a? b - ang linya a ay hindi parallel sa linya b |
Balagin Viktor
Sa pagkatuklas ng mga alituntunin at teorema sa matematika, ang mga siyentipiko ay nakabuo ng bagong notasyon sa matematika, mga palatandaan. Ang mga mathematical sign ay mga simbolo na idinisenyo upang itala ang mga matematikal na konsepto, pangungusap at kalkulasyon. Sa matematika, ang mga espesyal na simbolo ay ginagamit upang paikliin ang tala at ipahayag ang pahayag nang mas tumpak. Bilang karagdagan sa mga numero at titik ng iba't ibang mga alpabeto (Latin, Greek, Hebrew), ang matematikal na wika ay gumagamit ng maraming espesyal na simbolo na naimbento sa nakalipas na ilang siglo.
I-download:
Preview:
MGA SIMBOLO SA MATHEMATICAL.
Nagawa ko na ang trabaho
mag-aaral sa ika-7 baitang
GBOU sekondaryang paaralan No. 574
Balagin Victor
2012-2013 akademikong taon
MGA SIMBOLO SA MATHEMATICAL.
- Panimula
Ang salitang matematika ay dumating sa atin mula sa sinaunang Griyego, kung saan ang ibig sabihin ng μάθημα ay "upang matuto", "kumuha ng kaalaman". At ang nagsasabing: "Hindi ko kailangan ng matematika, hindi ako magiging mathematician" ay mali. Ang bawat tao'y nangangailangan ng matematika. Inilalantad ang kahanga-hangang mundo ng mga numero sa paligid natin, ito ay nagtuturo sa atin na mag-isip nang mas malinaw at tuloy-tuloy, bumuo ng pag-iisip, atensyon, tinuturuan ang tiyaga at kalooban. Sinabi ni M.V. Lomonosov: "Inaayos ng matematika ang isip." Sa madaling salita, tinuturuan tayo ng matematika na matuto kung paano makakuha ng kaalaman.
Ang matematika ay ang unang agham na maaaring makabisado ng tao. Ang pinakamatandang aktibidad ay ang pagbibilang. Binilang ng ilang primitive na tribo ang bilang ng mga bagay gamit ang kanilang mga daliri at paa. Ang pagguhit ng bato, na nakaligtas hanggang sa ating panahon mula sa Panahon ng Bato, ay naglalarawan ng numero 35 sa anyo ng 35 na patpat na iginuhit nang sunud-sunod. Masasabi nating ang 1 stick ay ang unang simbolo ng matematika.
Ang mathematical na "writing" na ginagamit natin ngayon - mula sa notasyon ng hindi kilalang mga titik x, y, z hanggang sa integral sign - ay unti-unting nabuo. Ang pag-unlad ng simbolismo ay pinasimple ang gawain sa mga pagpapatakbo ng matematika at nag-ambag sa pag-unlad ng matematika mismo.
Mula sa sinaunang Griyegong "simbolo" (Griyego. symbolon - isang tanda, isang tanda, isang password, isang emblem) - isang palatandaan na nauugnay sa objectivity na ipinapahiwatig nito sa paraang ang kahulugan ng sign at ang paksa nito ay kinakatawan lamang ng sign mismo at ipinahayag lamang sa pamamagitan ng interpretasyon nito.
Sa pagkatuklas ng mga alituntunin at teorema sa matematika, ang mga siyentipiko ay nakabuo ng bagong notasyon sa matematika, mga palatandaan. Ang mga mathematical sign ay mga simbolo na idinisenyo upang itala ang mga matematikal na konsepto, pangungusap at kalkulasyon. Sa matematika, ang mga espesyal na simbolo ay ginagamit upang paikliin ang tala at ipahayag ang pahayag nang mas tumpak. Bilang karagdagan sa mga numero at titik ng iba't ibang mga alpabeto (Latin, Greek, Hebrew), ang matematikal na wika ay gumagamit ng maraming espesyal na simbolo na naimbento sa nakalipas na ilang siglo.
2. Mga palatandaan ng karagdagan, pagbabawas
Ang kasaysayan ng mathematical notation ay nagsisimula sa Paleolithic. Ang mga bato at buto na may mga bingot na ginagamit para sa pagbibilang ay mula pa sa panahong ito. Ang pinakatanyag na halimbawa ayishango bone. Ang sikat na buto mula sa Ishango (Kongo), mula noong mga 20 libong taon BC, ay nagpapatunay na sa oras na iyon ang isang tao ay nagsagawa ng medyo kumplikadong mga operasyon sa matematika. Ang mga bingaw sa mga buto ay ginamit para sa karagdagan at inilapat sa mga grupo, na sumasagisag sa pagdaragdag ng mga numero.
Ang sinaunang Egypt ay mayroon nang mas advanced na sistema ng notasyon. Halimbawa, sapapyrus ni ahmesbilang isang simbolo para sa karagdagan, ang imahe ng dalawang paa na naglalakad pasulong sa teksto ay ginagamit, at para sa pagbabawas - dalawang binti na naglalakad pabalik.Tinutukoy ng mga sinaunang Griyego ang karagdagan sa pamamagitan ng pagsulat nang magkatabi, ngunit paminsan-minsan ay ginagamit nila ang simbolong slash na “/” para dito at isang semi-elliptic na kurba para sa pagbabawas.
Ang mga simbolo para sa mga aritmetikong operasyon ng karagdagan (kasama ang "+'') at pagbabawas (minus "-'') ay napakakaraniwan na halos hindi natin naiisip na hindi sila palaging umiiral. Ang pinagmulan ng mga simbolong ito ay hindi malinaw. Ang isa sa mga bersyon ay ang mga ito ay dating ginamit sa pangangalakal bilang mga palatandaan ng kita at pagkalugi.
Ito rin ay pinaniniwalaan na ang ating tandanagmula sa isa sa mga anyo ng salitang "et", na sa Latin ay nangangahulugang "at". Pagpapahayag a+b nakasulat sa Latin na ganito: a at b . Unti-unti, dahil sa madalas na paggamit, mula sa sign " et "nananatili lamang" t ", na sa paglipas ng panahon, naging"+ ". Ang unang tao na maaaring gumamit ng tandabilang abbreviation para sa et, ay ang astronomer na si Nicole d'Orem (may-akda ng The Book of the Sky and the World) noong kalagitnaan ng ikalabing-apat na siglo.
Sa pagtatapos ng ikalabinlimang siglo, ang French mathematician na si Chiquet (1484) at ang Italian Pacioli (1494) ay gumamit ng "'' o " '' (nagsasaad ng "plus") para sa karagdagan at "'' o " '' (nagsasaad ng "minus") para sa pagbabawas.
Ang notasyon ng pagbabawas ay mas nakakalito, dahil sa halip na isang simpleng "” sa mga aklat na German, Swiss at Dutch ay minsan ginagamit ang simbolo na “÷” kung saan tinutukoy natin ngayon ang dibisyon. Ilang mga aklat noong ikalabimpitong siglo (halimbawa, ang mga Descartes at Mersenne) ay gumamit ng dalawang tuldok na “∙ ∙” o tatlong tuldok na “∙ ∙ ∙” upang ipahiwatig ang pagbabawas.
Ang unang paggamit ng modernong algebraic sign "” ay tumutukoy sa isang manuskrito ng Aleman sa algebra mula 1481, na natagpuan sa aklatan ng Dresden. Sa isang Latin na manuskrito mula sa parehong oras (mula rin sa Dresden library), mayroong parehong mga character: "" at " - " . Ang sistematikong paggamit ng mga palatandaan "” at “-” para sa karagdagan at pagbabawas ay nangyayari saJohann Widmann. Ang Aleman na matematiko na si Johann Widmann (1462-1498) ang unang gumamit ng parehong mga palatandaan upang markahan ang presensya at kawalan ng mga mag-aaral sa kanyang mga lektura. Totoo, may katibayan na "hiniram" niya ang mga palatandaang ito mula sa isang kilalang propesor sa Unibersidad ng Leipzig. Noong 1489, sa Leipzig, inilathala niya ang unang naka-print na libro (Mercantile Arithmetic - "Commercial Arithmetic"), kung saan ang parehong mga palatandaan ay naroroon. at , sa akdang "Isang mabilis at kaaya-ayang account para sa lahat ng mangangalakal" (c. 1490)
Bilang isang makasaysayang pag-usisa, ito ay nagkakahalaga ng noting na kahit na pagkatapos ng pag-aampon ng signhindi lahat ay gumamit ng simbolong ito. Si Widman mismo ang nagpakilala nito bilang isang Greek cross(ang sign na ginagamit natin ngayon) na ang pahalang na stroke ay minsan ay bahagyang mas mahaba kaysa sa patayo. Ang ilang mga mathematician tulad ng Record, Harriot at Descartes ay gumamit ng parehong tanda. Ang iba (hal. Hume, Huygens, at Fermat) ay gumamit ng Latin na krus na "†", kung minsan ay inilalagay nang pahalang, na may crossbar sa isang dulo o sa kabilang dulo. Sa wakas, ang ilan (gaya ng Halley) ay gumamit ng mas pandekorasyon na hitsura " ».
3. Equal sign
Ang equal sign sa matematika at iba pang eksaktong agham ay nakasulat sa pagitan ng dalawang expression na magkapareho sa laki. Si Diophantus ang unang gumamit ng equal sign. Tinukoy niya ang pagkakapantay-pantay sa letrang i (mula sa Greek isos - katumbas). ATsinaunang at medyebal na matematikaAng pagkakapantay-pantay ay ipinahiwatig sa salita, halimbawa, est egale, o ginamit nila ang pagdadaglat na "ae" mula sa Latin na aequalis - "pantay". Ginamit din ng ibang mga wika ang mga unang titik ng salitang "katumbas", ngunit hindi ito tinatanggap sa pangkalahatan. Ang equal sign "=" ay ipinakilala noong 1557 ng isang Welsh na manggagamot at mathematician.Robert Record(Record R., 1510-1558). Ang simbolo II ay nagsilbi sa ilang mga kaso bilang isang simbolo ng matematika para sa pagkakapantay-pantay. Ipinakilala ng rekord ang simbolo na "='' na may dalawang magkaparehong pahalang na parallel na linya, mas mahaba kaysa sa ginagamit ngayon. Ang Ingles na matematiko na si Robert Record ang unang gumamit ng simbolo na "pagkakapantay-pantay", na nakikipagtalo sa mga salitang: "walang dalawang bagay ang maaaring magkapantay sa isa't isa ng higit sa dalawang magkatulad na mga segment." Ngunit kahit sasiglo XVIIRene Descartesginamit ang abbreviation na "ae".François Vietang katumbas na tanda ay nagsasaad ng pagbabawas. Sa loob ng ilang panahon, ang pagkalat ng simbolo ng Record ay nahadlangan ng katotohanan na ang parehong simbolo ay ginamit upang ipahiwatig ang magkatulad na mga linya; sa huli, napagpasyahan na gawing patayo ang simbolo ng paralelismo. Ang tanda ay nakatanggap lamang ng pamamahagi pagkatapos ng mga gawa ni Leibniz sa pagliko ng ika-17-18 na siglo, iyon ay, higit sa 100 taon pagkatapos ng pagkamatay ng taong unang gumamit nito para dito.Roberta Record. Walang mga salita sa kanyang lapida - isang inukit na "pantay" na karatula.
Ang mga nauugnay na simbolo para sa tinatayang pagkakapantay-pantay na "≈" at pagkakakilanlan "≡" ay napakabata - ang una ay ipinakilala noong 1885 ni Günther, ang pangalawa - noong 1857Riemann
4. Mga palatandaan ng multiplikasyon at paghahati
Ang multiplication sign sa anyo ng isang krus ("x") ay ipinakilala ng isang Anglican na pari-matematician.William Otred sa 1631. Bago sa kanya, ang letrang M ay ginamit para sa tanda ng pagpaparami, bagaman ang ibang mga pagtatalaga ay iminungkahi: ang simbolo ng parihaba (Erigon, ), asterisk ( Johann Rahn, ).
Mamaya Leibnizpinalitan ng tuldok ang krus (endika-17 siglo) para hindi malito sa sulat x ; bago sa kanya, ang gayong simbolismo ay natagpuan saRegiomontana (ika-15 siglo) at isang English scientistThomas Harriot (1560-1621).
Upang ipahiwatig ang pagkilos ng paghahatiSangayginusto ang slash. Nagsimulang tukuyin ang dibisyon ng colonLeibniz. Bago sa kanila, madalas ding ginagamit ang letrang D.fibonacci, ang katangian ng fraction, na ginamit din sa mga sulating Arabe, ay ginagamit din. Dibisyon sa anyo obelus ("÷") ay ipinakilala ng isang Swiss mathematicianJohann Rahn(c. 1660)
5. Tanda ng porsyento.
Isang daan ng isang kabuuan, kinuha bilang isang yunit. Ang salitang "porsiyento" mismo ay nagmula sa Latin na "pro centum", na nangangahulugang "isang daan". Noong 1685, inilathala sa Paris ang Manwal ng Komersyal na Arithmetic ni Mathieu de la Porte (1685). Sa isang lugar, ito ay tungkol sa mga porsyento, na noon ay nangangahulugang "cto" (maikli para sa cento). Gayunpaman, napagkamalan ng typesetter na ang "cto" ay isang fraction at nag-type ng "%". Kaya dahil sa isang typo, ginamit ang sign na ito.
6. Tanda ng kawalang-hanggan
Ang kasalukuyang simbolo ng infinity na "∞" ay ginamit naJohn Wallis noong 1655. John Wallisnaglathala ng malaking treatise na "The Arithmetic of the Infinite" (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi sa Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata), kung saan ipinakilala niya ang simbolo na kanyang naimbentokawalang-hanggan. Hindi pa rin alam kung bakit pinili niya ang partikular na sign na ito. Ang isa sa mga pinaka-makapangyarihang hypotheses ay nag-uugnay sa pinagmulan ng simbolong ito sa Latin na titik na "M", na ginamit ng mga Romano upang kumatawan sa bilang na 1000.Ang simbolo para sa infinity ay tinatawag na "lemniscus" (lat. ribbon) ng mathematician na si Bernoulli mga apatnapung taon na ang lumipas.
Sinasabi ng isa pang bersyon na ang pagguhit ng "walong" ay nagbibigay ng pangunahing pag-aari ng konsepto ng "infinity": kilusan walang katapusan . Kasama ang mga linya ng numero 8, maaari kang gumawa ng walang katapusang paggalaw, tulad ng sa isang cycle track. Upang hindi malito ang ipinakilalang tanda sa numero 8, nagpasya ang mga mathematician na ilagay ito nang pahalang. Nangyari. Ang notasyong ito ay naging pamantayan para sa lahat ng matematika, hindi lamang sa algebra. Bakit ang infinity ay hindi tinutukoy ng zero? Ang sagot ay halata: kahit paano mo i-on ang numero 0, hindi ito magbabago. Samakatuwid, ang pagpipilian ay nahulog sa 8.
Ang isa pang pagpipilian ay isang ahas na nilalamon ang buntot nito, na, isa at kalahating libong taon BC sa Egypt, ay sumisimbolo sa iba't ibang mga proseso na walang simula at walang katapusan.
Maraming naniniwala na ang strip ng Möbius ay ang ninuno ng simbolokawalang-hanggan, dahil ang infinity simbolo ay patented pagkatapos ng pag-imbento ng "Möbius strip" na aparato (pinangalanan pagkatapos ng ikalabinsiyam na siglo mathematician Möbius). Möbius strip - isang strip ng papel na hubog at konektado sa mga dulo, na bumubuo ng dalawang spatial na ibabaw. Gayunpaman, ayon sa magagamit na makasaysayang impormasyon, ang simbolo ng infinity ay nagsimulang gamitin upang kumatawan sa infinity dalawang siglo bago ang pagtuklas ng Möbius strip.
7. Palatandaan uling a at patayo sti
Mga simbolo" sulok"at" patayo»nakaisip 1634Pranses na matematikoPierre Erigon. Ang kanyang perpendikular na simbolo ay nakabaligtad, na kahawig ng letrang T. Ang simbolo ng anggulo ay nakapagpapaalaala sa icon., binigyan ito ng modernong anyoWilliam Otred ().
8. Lagda paralelismo at
simbolo" paralelismo» kilala mula noong sinaunang panahon, ito ay ginamitHeron at Pappus ng Alexandria. Sa una, ang simbolo ay katulad ng kasalukuyang pantay na tanda, ngunit sa pagdating ng huli, upang maiwasan ang pagkalito, ang simbolo ay pinaikot patayo (Sangay(1677), Kersey (John Kersey ) at iba pang mga mathematician noong ika-17 siglo)
9. Pi
Ang pangkalahatang tinatanggap na notasyon para sa isang numero na katumbas ng ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito (3.1415926535...) ay unang nabuoWilliam Jones sa 1706, kinuha ang unang titik ng mga salitang Griyego na περιφέρεια -bilog at περίμετρος - perimeter, na siyang circumference ng isang bilog. Nagustuhan ang abbreviation na itoEuler, na ang mga gawa ay tiyak na nagtakda ng pagtatalaga.
10. Sine at cosine
Ang hitsura ng sine at cosine ay kawili-wili.
Sinus mula sa Latin - sinus, cavity. Ngunit ang pangalang ito ay may mahabang kasaysayan. Ang mga Indian mathematician ay sumulong nang malayo sa trigonometrya sa rehiyon ng ika-5 siglo. Ang salitang "trigonometry" mismo ay hindi umiral, ito ay ipinakilala ni Georg Klugel noong 1770.) Ang tinatawag natin ngayon na sine ay halos tumutugma sa tinatawag ng mga Indian na ardha-jiya, na isinalin bilang isang semi-bowstring (i.e. kalahating chord). Para sa maikli, tinawag lang nila ito - jiya (bowstring). Nang isinalin ng mga Arabo ang mga gawa ng mga Hindu mula sa Sanskrit, hindi nila isinalin ang "kuwerdas" sa Arabic, ngunit na-transcribe lamang ang salita sa mga titik na Arabe. Ito pala ay isang jib. Ngunit dahil ang mga maikling patinig ay hindi ipinahiwatig sa pagsulat ng pantig ng Arabe, ang j-b ay talagang nananatili, na katulad ng isa pang salitang Arabe - jaib (depression, sinus). Nang isalin ni Gerard ng Cremona ang mga Arabo sa Latin noong ika-12 siglo, isinalin niya ang salitang ito bilang sinus, na sa Latin ay nangangahulugan din ng sinus, deepening.
Ang cosine ay awtomatikong lumitaw, dahil tinawag siya ng mga Hindu na koti-jiya, o ko-jiya sa madaling salita. Ang Koti ay ang hubog na dulo ng busog sa Sanskrit.Mga modernong pagdadaglat at nagpakilala William Oughtredat naayos sa mga gawa Euler.
Ang mga tangent/cotangent na pagtatalaga ay mula sa ibang pagkakataon (ang Ingles na salitang tangent ay nagmula sa Latin na tangere, to touch). At kahit hanggang ngayon ay walang pinag-isang pagtatalaga - sa ilang mga bansa ang pagtatalaga ng tan ay mas madalas na ginagamit, sa iba pa - tg
11. Pagpapaikli ng "What was required to prove" (ch.t.d.)
Quod erat demonstrandum » (kwol erat lamonstranlum).
Ang pariralang Griyego ay nangangahulugang "kung ano ang kailangang patunayan", at ang Latin - "kung ano ang dapat ipakita." Tinatapos ng formula na ito ang bawat mathematical na pangangatwiran ng dakilang Greek mathematician ng Sinaunang Greece, si Euclid (III siglo BC). Isinalin mula sa Latin - na kinakailangan upang patunayan. Sa medieval scientific treatises, ang formula na ito ay madalas na isinulat sa isang pinaikling anyo: QED.
12. Mathematical notation.
Mga simbolo | Kasaysayan ng simbolo |
Ang mga plus at minus na palatandaan ay tila naimbento sa German mathematical school ng "kossists" (iyon ay, algebraists). Ginamit ang mga ito sa Arithmetic ni Johann Widmann na inilathala noong 1489. Bago ito, ang pagdaragdag ay ipinahiwatig ng titik p (plus) o ang salitang Latin na et (kaugnay na "at"), at pagbabawas - ng titik m (minus). Sa Widman, pinapalitan ng plus sign hindi lamang ang karagdagan, kundi pati na rin ang unyon na "at". Ang pinagmulan ng mga simbolo na ito ay hindi malinaw, ngunit malamang na ginamit ang mga ito sa pangangalakal bilang mga palatandaan ng kita at pagkalugi. Ang parehong mga simbolo ay halos agad na naging karaniwan sa Europa - maliban sa Italya. |
|
× ∙ | Ang multiplication sign ay ipinakilala noong 1631 ni William Ootred (England) sa anyo ng isang oblique cross. Bago sa kanya, ginamit ang letrang M. Nang maglaon, pinalitan ni Leibniz ang krus ng isang tuldok (huling bahagi ng ika-17 siglo) upang hindi ito malito sa letrang x; bago sa kanya, ang gayong simbolismo ay natagpuan sa Regiomontanus (XV siglo) at ang Ingles na siyentipiko na si Thomas Harriot (1560-1621). |
/ : ÷ | Mas gusto ni Owtred ang slash. Ang dibisyon ng colon ay nagsimulang tukuyin ang Leibniz. Bago sa kanila, madalas ding ginagamit ang letrang D. Sa England at United States, ang simbolo na ÷ (obelus), na iminungkahi nina Johann Rahn at John Pell noong kalagitnaan ng ika-17 siglo, ay naging laganap. |
= | Ang equal sign ay iminungkahi ni Robert Record (1510-1558) noong 1557. Ipinaliwanag niya na wala nang higit na katumbas sa mundo kaysa sa dalawang magkatulad na mga bahagi ng parehong haba. Sa kontinental Europa, ang pantay na tanda ay ipinakilala ni Leibniz. |
Ang mga marka ng paghahambing ay ipinakilala ni Thomas Harriot sa kanyang trabaho, na inilathala pagkatapos ng pagkamatay noong 1631. Bago siya, sumulat sila sa mga salita: higit pa, mas kaunti. |
|
% | Lumilitaw ang simbolo ng porsyento sa kalagitnaan ng ika-17 siglo sa ilang mga mapagkukunan nang sabay-sabay, ang pinagmulan nito ay hindi malinaw. May hypothesis na ito ay nagmula sa isang pagkakamali ng isang typesetter, na nag-type ng abbreviation na cto (cento, hundredth) bilang 0/0. Mas malamang na isa itong cursive commercial badge na lumitaw mga 100 taon na ang nakalipas. |
√ | Ang root sign ay unang ginamit ng German mathematician na si Christoph Rudolph, mula sa Cossist school, noong 1525. Ang karakter na ito ay nagmula sa inilarawan sa pangkinaugalian na unang titik ng salitang radix (ugat). Ang linya sa itaas ng radikal na ekspresyon ay wala sa una; kalaunan ay ipinakilala ito ni Descartes para sa ibang layunin (sa halip na mga bracket), at ang tampok na ito ay sumanib sa root sign. |
isang n | Exponentiation. Ang modernong notasyon para sa exponent ay ipinakilala ni Descartes sa kanyang Geometry (1637), bagama't para lamang sa mga natural na kapangyarihan na higit sa 2. Kalaunan ay pinalawak ni Newton ang anyo ng notasyong ito sa mga negatibo at fractional na exponent (1676). |
() | Ang mga panaklong ay lumitaw sa Tartaglia (1556) para sa radikal na pagpapahayag, ngunit karamihan sa mga matematiko ay ginustong salungguhitan ang naka-highlight na expression sa halip na mga bracket. Ipinakilala ni Leibniz ang mga bracket sa pangkalahatang paggamit. |
Ang sum sign ay ipinakilala ni Euler noong 1755. |
|
Ang tanda ng produkto ay ipinakilala ni Gauss noong 1812. |
|
i | Ang letrang i bilang ang code para sa haka-haka na yunit:iminungkahi ni Euler (1777), na kumuha ng unang titik ng salitang imaginarius (haka-haka) para dito. |
π | Ang pangkalahatang tinatanggap na pagtatalaga para sa bilang na 3.14159 ... ay nabuo ni William Jones noong 1706, na kinuha ang unang titik ng mga salitang Griyego na περιφέρεια - circumference at περίμετρος - perimeter, iyon ay, ang circumference ng isang bilog. |
Hinango ni Leibniz ang notasyon para sa integral mula sa unang titik ng salitang "Summa" (Summa). |
|
y" | Ang maikling pagtatalaga ng derivative na may prime ay bumalik sa Lagrange. |
Ang simbolo ng limitasyon ay lumitaw noong 1787 kasama si Simon Lhuillier (1750-1840). |
|
Ang simbolo ng infinity ay naimbento ni Wallis, na inilathala noong 1655. |
13. Konklusyon
Ang agham ng matematika ay kailangan para sa isang sibilisadong lipunan. Ang matematika ay matatagpuan sa lahat ng agham. Ang wikang matematika ay halo-halong wika ng kimika at pisika. Pero naiintindihan pa rin namin. Masasabi nating sinisimulan nating pag-aralan ang wika ng matematika kasama ng ating katutubong pananalita. Ang matematika ay naging mahalagang bahagi ng ating buhay. Salamat sa mga pagtuklas sa matematika ng nakaraan, ang mga siyentipiko ay lumikha ng mga bagong teknolohiya. Ginagawang posible ng mga nakaligtas na pagtuklas na malutas ang mga kumplikadong problema sa matematika. At ang sinaunang wikang matematika ay malinaw sa amin, at ang mga pagtuklas ay kawili-wili sa amin. Salamat sa matematika, natuklasan ni Archimedes, Plato, Newton ang mga pisikal na batas. Pinag-aaralan namin sila sa paaralan. Sa pisika, mayroon ding mga simbolo, mga terminong likas sa pisikal na agham. Ngunit ang wikang matematika ay hindi nawawala sa mga pisikal na pormula. Sa kabaligtaran, ang mga formula na ito ay hindi maisusulat nang walang kaalaman sa matematika. Sa pamamagitan ng kasaysayan, ang kaalaman at katotohanan ay napanatili para sa mga susunod na henerasyon. Ang karagdagang pag-aaral ng matematika ay kinakailangan para sa mga bagong pagtuklas. Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng isang Google account (account) at mag-sign in: https://accounts.google.com
Mga slide caption:
Mga simbolo ng matematika Ang gawain ay ginawa ng isang mag-aaral ng ika-7 baitang ng paaralan No. 574 Balagin Viktor
Ang isang simbolo (Greek symbolon - isang tanda, isang tanda, isang password, isang emblem) ay isang palatandaan na nauugnay sa objectivity na itinalaga nito upang ang kahulugan ng sign at ang paksa nito ay kinakatawan lamang ng sign mismo at inihayag. sa pamamagitan lamang ng interpretasyon nito. Ang mga palatandaan ay mga mathematical convention na idinisenyo upang itala ang mga mathematical na konsepto, pangungusap at kalkulasyon.
Bone of Ishango Bahagi ng papyrus ng Ahmes
+ − Plus at minus sign. Ang pagdaragdag ay tinukoy ng titik p (plus) o ang salitang Latin na et (kaugnay na "at"), at pagbabawas ng titik m (minus). Ang ekspresyong a + b ay isinulat sa Latin tulad nito: a et b.
notasyon ng pagbabawas. ÷ ∙ ∙ o ∙ ∙ ∙ Rene Descartes Marin Mersenne
Isang pahina mula sa aklat ni Johann Widmann. Noong 1489, inilathala ni Johann Widmann ang unang nakalimbag na aklat sa Leipzig (Mercantile Arithmetic - "Commercial Arithmetic"), kung saan naroroon ang parehong + at - na mga palatandaan.
Pagdaragdag ng notasyon. Christian Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley
Equal sign Si Diophantus ang unang gumamit ng equal sign. Tinukoy niya ang pagkakapantay-pantay sa letrang i (mula sa Greek isos - katumbas).
Equal sign Iminungkahi noong 1557 ng English mathematician na si Robert Record "No two objects can be equal to each other more than two parallel segments." Sa continental Europe, ang equal sign ay ipinakilala ni Leibniz
× ∙ Multiplication sign Ipinakilala noong 1631 ni William Oughtred (England) sa anyo ng oblique cross. Pinalitan ni Leibniz ang krus ng isang tuldok (katapusan ng ika-17 siglo) upang hindi ito malito sa letrang x. William Otred Gottfried Wilhelm Leibniz
Porsiyento. Matthieu de la Porte (1685). Isang daan ng isang kabuuan, kinuha bilang isang yunit. "porsyento" - "pro centum", na nangangahulugang - "isang daan". "cto" (maikli para sa cento). Napagkamalan ng typesetter ang "cto" para sa isang fraction at nag-type ng "%".
Infinity. John Wallis Ipinakilala ni John Wallis ang simbolo na naimbento niya noong 1655. Ang ahas na lumalamon sa kanyang buntot ay sumisimbolo sa iba't ibang proseso na walang simula at walang katapusan.
Ang simbolo para sa infinity ay nagsimulang gamitin upang kumatawan sa infinity dalawang siglo bago ang pagtuklas ng Möbius strip Ang Möbius strip ay isang strip ng papel na nakakurba at konektado sa mga dulo nito upang bumuo ng dalawang spatial na ibabaw. August Ferdinand Möbius
Anggulo at Perpendikular. Ang mga simbolo ay naimbento noong 1634 ng French mathematician na si Pierre Erigon. Ang simbolo ng anggulo ni Erigon ay kahawig ng isang icon. Ang perpendikular na simbolo ay nabaligtad, na kahawig ng titik T . Ang mga palatandaang ito ay binigyan ng kanilang modernong anyo ni William Oughtred (1657).
Paralelismo. Ang simbolo ay ginamit ni Heron ng Alexandria at Pappus ng Alexandria. Sa una, ang simbolo ay katulad ng kasalukuyang pantay na tanda, ngunit sa pagdating ng huli, upang maiwasan ang pagkalito, ang simbolo ay pinaikot patayo. Heron ng Alexandria
Pi. π ≈ 3.1415926535... William Jones noong 1706 π εριφέρεια - circumference at π ερίμετρος - perimeter, iyon ay, ang circumference ng bilog. Ang pagbawas na ito ay nasiyahan kay Euler, na ang mga gawa ay ganap na naayos ang pagtatalaga. William Jones
sin Sinus at cosine cos Sinus (mula sa Latin) - sinus, cavity. koti-jiya, o ko-jiya para sa maikli. Koti - ang hubog na dulo ng busog Ang mga modernong maikling pagtatalaga ay ipinakilala ni William Otred at naayos sa mga gawa ni Euler. "arha-jiva" - sa mga Indian - "half-string" Leonard Euler William Otred
Ano ang kinakailangan upang patunayan (ch.t.d.) "Quod erat demonstrandum" QED. Ang formula na ito ay nagtatapos sa bawat matematikal na pangangatwiran ng mahusay na matematiko ng Sinaunang Greece, si Euclid (III siglo BC).
Naiintindihan namin ang sinaunang wikang matematika. Sa pisika, mayroon ding mga simbolo, mga terminong likas sa pisikal na agham. Ngunit ang wikang matematika ay hindi nawawala sa mga pisikal na pormula. Sa kabaligtaran, ang mga formula na ito ay hindi maisusulat nang walang kaalaman sa matematika.
sa dalawa), 3 > 2 (ang tatlo ay mas malaki kaysa sa dalawa), atbp.Ang pag-unlad ng simbolismo ng matematika ay malapit na nauugnay sa pangkalahatang pag-unlad ng mga konsepto at pamamaraan ng matematika. Una Mga palatandaan sa matematika may mga palatandaan para sa paglalarawan ng mga numero - numero, ang paglitaw nito, tila, nauna sa pagsulat. Ang pinaka sinaunang sistema ng pagnunumero - Babylonian at Egyptian - ay lumitaw noong 3 1/2 millennia BC. e.
Una Mga palatandaan sa matematika para sa mga di-makatwirang halaga ay lumitaw nang maglaon (simula sa ika-5-4 na siglo BC) sa Greece. Ang mga dami (lugar, volume, anggulo) ay ipinakita bilang mga segment, at ang produkto ng dalawang di-makatwirang homogenous na dami - bilang isang parihaba na binuo sa kaukulang mga segment. Sa "Simula" Euclid (ika-3 siglo BC) ang mga dami ay ipinahiwatig ng dalawang titik - ang paunang at panghuling titik ng kaukulang segment, at kung minsan kahit isa. Sa Archimedes (ika-3 siglo BC) ang huling pamamaraan ay naging karaniwan. Ang nasabing pagtatalaga ay naglalaman ng mga posibilidad para sa pagbuo ng literal na calculus. Gayunpaman, sa klasikal na sinaunang matematika, ang literal na calculus ay hindi nilikha.
Ang simula ng representasyon ng titik at calculus ay lumitaw sa huling bahagi ng panahon ng Hellenistic bilang resulta ng pagpapalaya ng algebra mula sa geometric na anyo. Diophantus (marahil sa ika-3 siglo) ay sumulat ng hindi kilalang ( X) at ang mga antas nito na may mga sumusunod na palatandaan:
[ - mula sa salitang Griyego na dunamiV (dynamis - lakas), na tumutukoy sa parisukat ng hindi alam, - mula sa Griyegong cuboV (k_ybos) - kubo]. Sa kanan ng hindi alam o ang mga antas nito, isinulat ni Diophantus ang mga coefficient, halimbawa, ang 3x5 ay inilalarawan
(kung saan = 3). Kapag nagdadagdag, iniugnay ni Diophantus ang mga termino sa bawat isa, para sa pagbabawas gumamit siya ng isang espesyal na tanda; Ang Diophantus ay nagsasaad ng pagkakapantay-pantay sa letrang i [mula sa Griyegong isoV (isos) - katumbas]. Halimbawa, ang equation
(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X
Isusulat ito ni Diophantus tulad nito:
(dito
nangangahulugan na ang yunit ay walang multiplier sa anyo ng kapangyarihan ng hindi alam).
Pagkalipas ng ilang siglo, ang mga Indian ay nagpakilala ng iba't-ibang Mga palatandaan sa matematika para sa ilang mga hindi alam (mga pagdadaglat para sa mga pangalan ng mga kulay na nagsasaad ng mga hindi alam), parisukat, parisukat na ugat, bawas na numero. Kaya ang equation
3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1
Sa recording Brahmagupta (ika-7 siglo) ay magiging ganito:
Ya va 3 at 10 ru 8
Ya va 1 ya 0 ru 1
(ya - mula sa yavat - tawat - hindi alam, va - mula sa varga - parisukat na numero, ru - mula sa rupa - rupee coin - isang libreng miyembro, ang isang tuldok sa itaas ng numero ay nangangahulugan ng numero na ibawas).
Ang paglikha ng modernong simbolismong algebraic ay nagsimula noong ika-14-17 siglo; ito ay tinutukoy ng mga tagumpay ng praktikal na aritmetika at ang pag-aaral ng mga equation. Sa iba't ibang bansa kusang lumilitaw Mga palatandaan sa matematika para sa ilang mga aksyon at para sa mga kapangyarihan ng hindi kilalang dami. Maraming mga dekada at kahit na mga siglo ang lumipas bago nabuo ang isa o isa pang maginhawang simbolo. Kaya, sa dulo ng 15 at. N. Shuke at ako. Pacioli ginamit na mga palatandaan ng karagdagan at pagbabawas
(mula sa lat. plus at minus), ipinakilala ng mga German mathematician ang modernong + (marahil isang pagdadaglat ng lat. et) at -. Bumalik noong ika-17 siglo maaaring magbilang ng mga sampu Mga palatandaan sa matematika para sa pagpaparami ng operasyon.
ay iba at Mga palatandaan sa matematika hindi alam at ang mga antas nito. Noong ika-16 - unang bahagi ng ika-17 siglo. higit sa sampung notasyon ang nakipagkumpitensya para sa parisukat ng hindi kilalang nag-iisa, halimbawa se(mula sa census - isang terminong Latin na nagsilbi bilang pagsasalin ng Greek dunamiV, Q(mula sa quadratum), , A (2), , Aii, aa, a 2 atbp. Kaya, ang equation
x 3 + 5 x = 12
ang Italyano na matematiko na si G. Cardano (1545) ay magkakaroon ng anyo:
mula sa German mathematician na si M. Stiefel (1544):
mula sa Italian mathematician na si R. Bombelli (1572):
Pranses na matematiko na si F. Vieta (1591):
mula sa English mathematician na si T. Harriot (1631):
Noong ika-16 at unang bahagi ng ika-17 siglo pantay na mga palatandaan at bracket ang ginagamit: parisukat (R. Bombelli , 1550), bilog (N. Tartaglia, 1556), kulot (F. viet, 1593). Noong ika-16 na siglo ang modernong anyo ay tumatagal ng notasyon ng mga fraction.
Ang isang makabuluhang hakbang pasulong sa pagbuo ng simbolismong matematika ay ang pagpapakilala ni Vieta (1591) Mga palatandaan sa matematika para sa mga arbitrary na constant sa anyo ng mga capital consonant ng Latin na alpabeto B, D, na naging posible para sa kanya sa unang pagkakataon na isulat ang mga algebraic equation na may mga arbitrary coefficient at gumana sa kanila. Ang hindi kilalang Viet ay naglalarawan ng mga patinig sa malalaking titik A, E, ... Halimbawa, ang rekord na Vieta
Sa aming mga simbolo, ganito ang hitsura:
x 3 + 3bx = d.
Si Viet ang lumikha ng mga algebraic formula. R. Descartes (1637) ay nagbigay sa mga palatandaan ng algebra ng isang modernong hitsura, na nagsasaad ng mga hindi alam na may mga huling titik ng lat. alpabeto x, y, z, at arbitrary na ibinigay na dami - sa mga unang titik a, b, c. Siya rin ang nagmamay-ari ng kasalukuyang record ng degree. Ang notasyon ni Descartes ay may malaking kalamangan sa lahat ng nauna. Samakatuwid, sa lalong madaling panahon nakatanggap sila ng unibersal na pagkilala.
Karagdagang pag-unlad Mga palatandaan sa matematika ay malapit na konektado sa paglikha ng infinitesimal analysis, para sa pagbuo ng simbolismo kung saan ang batayan ay inihanda na sa isang malaking lawak sa algebra.
Mga petsa ng paglitaw ng ilang mga palatandaan sa matematika
| tanda | ibig sabihin | Sino ang nagpakilala | Kapag ipinakilala |
| Mga palatandaan ng mga indibidwal na bagay | |||
| ¥ | kawalang-hanggan | J. Wallis | 1655 |
| e | base ng natural logarithms | L. Euler | 1736 |
| p | ratio ng circumference sa diameter | W. Jones L. Euler | 1706 |
| i | square root ng -1 | L. Euler | 1777 (in press 1794) |
| ako j k | unit vectors, orts | W. Hamilton | 1853 |
| P (a) | anggulo ng paralelismo | N.I. Lobachevsky | 1835 |
| Mga Palatandaan ng Variable Objects | |||
| x,y,z | hindi alam o variable | R. Descartes | 1637 |
| r | vector | O. Koshy | 1853 |
| Mga palatandaan ng mga indibidwal na operasyon | |||
| + | karagdagan | German mathematician | Huling bahagi ng ika-15 siglo |
| – | pagbabawas |
||
| ´ | pagpaparami | W. Outred | 1631 |
| × | pagpaparami | G. Leibniz | 1698 |
| : | dibisyon | G. Leibniz | 1684 |
| a 2 , a 3 ,…, a n | degrees | R. Descartes | 1637 |
| I. Newton | 1676 |
||
| | mga ugat | K. Rudolph | 1525 |
| A. Girard | 1629 |
||
| Log | logarithm | I. Kepler | 1624 |
| log | B. Cavalieri | 1632 |
|
| kasalanan | sinus | L. Euler | 1748 |
| cos | cosine |
||
| tg | padaplis | L. Euler | 1753 |
| arc kasalanan | arcsine | J. Lagrange | 1772 |
Sh | hyperbolic sine | V. Riccati | 1757 |
Ch | hyperbolic cosine |
||
| dx, ddx,... | kaugalian | G. Leibniz | 1675 (in press 1684) |
d2x, d3x,… |
|||
| | integral | G. Leibniz | 1675 (in press 1686) |
| | derivative | G. Leibniz | 1675 |
| ¦¢x | derivative | J. Lagrange | 1770, 1779 |
| ikaw |
|||
| ¦¢(x) |
|||
| Dx | pagkakaiba | L. Euler | 1755 |
| | partial derivative | A. Legendre | 1786 |
| | tiyak na integral | J. Fourier | 1819-22 |
| | sum | L. Euler | 1755 |
| P | trabaho | K. Gauss | 1812 |
| ! | factorial | K. Crump | 1808 |
| |x| | modyul | K. Weierstrass | 1841 |
| lim | limitasyon | W. Hamilton, maraming mathematician | 1853, unang bahagi ng ika-20 siglo |
| lim |
|||
| n = ¥ |
|||
| lim |
|||
| n ® ¥ |
|||
| x | zeta function | B. Riemann | 1857 |
| G | gamma function | A. Legendre | 1808 |
| AT | beta function | J. Binet | 1839 |
| D | delta (operator ng Laplace) | R. Murphy | 1833 |
| Ñ | nabla (operator ng Hamilton) | W. Hamilton | 1853 |
| Mga palatandaan ng variable na operasyon | |||
| jx | function | I. Bernoulli | 1718 |
| f(x) | L. Euler | 1734 |
|
| Mga palatandaan ng mga indibidwal na relasyon | |||
| = | pagkakapantay-pantay | R. Itala | 1557 |
| > | higit pa | T. Harriot | 1631 |
| < | mas kaunti |
||
| º | maihahambing | K. Gauss | 1801 |
| | paralelismo | W. Outred | 1677 |
| ^ | perpendicularity | P. Erigon | 1634 |
AT. newton sa kanyang paraan ng fluxes at fluent (1666 at mga sumunod na taon) ay nagpakilala ng mga senyales para sa sunud-sunod na fluxions (derivatives) ng magnitude (sa anyo
at para sa isang infinitesimal increment o. Medyo kanina, si J. Wallis (1655) iminungkahi ang infinity sign ¥.
Ang lumikha ng modernong simbolismo ng differential at integral calculus ay si G. Leibniz. Siya, sa partikular, ay kabilang sa kasalukuyang ginagamit Mga palatandaan sa matematika mga kaugalian
dx, d 2 x, d 3 x
at integral
Ang isang malaking merito sa paglikha ng simbolismo ng modernong matematika ay pag-aari ni L. Euler. Ipinakilala niya (1734) sa pangkalahatang paggamit ang unang tanda ng variable na operasyon, lalo na ang tanda ng function f(x) (mula sa lat. function). Pagkatapos ng trabaho ni Euler, ang mga palatandaan para sa maraming indibidwal na mga pag-andar, tulad ng mga pag-andar ng trigonometriko, ay nakakuha ng isang karaniwang karakter. Pagmamay-ari ni Euler ang notasyon para sa mga constant e(base ng natural logarithms, 1736), p [malamang mula sa Greek perijereia (periphereia) - circumference, periphery, 1736], imaginary unit
(mula sa French imaginaire - imaginary, 1777, inilathala noong 1794).
Noong ika-19 na siglo lumalaki ang papel ng simbolismo. Sa oras na ito, ang mga palatandaan ng ganap na halaga |x| (TO. Weierstrass, 1841), vector (O. Cauchy, 1853), tagatukoy
(PERO. Cayley, 1841) at iba pa. Maraming mga teorya na lumitaw noong ika-19 na siglo, tulad ng Tensor Calculus, ay hindi mabubuo nang walang angkop na simbolismo.
Kasama ang tinukoy na proseso ng standardisasyon Mga palatandaan sa matematika sa makabagong panitikan ay madalas na mahahanap Mga palatandaan sa matematika ginagamit lamang ng mga indibidwal na may-akda sa loob ng saklaw ng pag-aaral na ito.
Mula sa punto ng view ng matematikal na lohika, bukod sa Mga palatandaan sa matematika makikilala ang mga sumusunod na pangunahing grupo: A) mga palatandaan ng mga bagay, B) mga palatandaan ng mga operasyon, C) mga palatandaan ng mga relasyon. Halimbawa, ang mga palatandaan 1, 2, 3, 4 ay naglalarawan ng mga numero, iyon ay, mga bagay na pinag-aralan ng aritmetika. Ang pandagdag na tanda + sa kanyang sarili ay hindi kumakatawan sa anumang bagay; tumatanggap ito ng nilalaman ng paksa kapag ipinahiwatig kung aling mga numero ang idinaragdag: ang notasyon 1 + 3 ay naglalarawan ng numero 4. Ang tanda > (mas malaki kaysa) ay ang tanda ng ugnayan sa pagitan ng mga numero. Ang tanda ng kaugnayan ay tumatanggap ng isang medyo tiyak na nilalaman kapag ito ay ipinahiwatig sa pagitan ng kung aling mga bagay ang kaugnayan ay isinasaalang-alang. Sa tatlong pangunahing pangkat sa itaas Mga palatandaan sa matematika magkadugtong sa ikaapat: D) pantulong na mga palatandaan na nagtatatag ng pagkakasunud-sunod ng kumbinasyon ng mga pangunahing palatandaan. Ang isang sapat na ideya ng naturang mga palatandaan ay ibinibigay ng mga bracket na nagpapahiwatig ng pagkakasunud-sunod kung saan ang mga aksyon ay ginanap.
Ang mga palatandaan ng bawat isa sa tatlong pangkat A), B) at C) ay may dalawang uri: 1) indibidwal na mga palatandaan ng mahusay na tinukoy na mga bagay, operasyon at relasyon, 2) pangkalahatang mga palatandaan ng "hindi paulit-ulit" o "hindi kilalang" mga bagay. , mga operasyon at relasyon.
Maaaring magsilbi ang mga halimbawa ng mga palatandaan ng unang uri (tingnan din ang talahanayan):
A 1) Notasyon ng mga natural na numero 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; transendental na mga numero e at p; haka-haka na yunit i.
B 1) Mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika +, -, ·, ´,:; pagkuha ng ugat, pagkita ng kaibhan
mga palatandaan ng kabuuan (unyon) È at produkto (intersection) Ç ng mga hanay; kabilang din dito ang mga palatandaan ng mga indibidwal na function sin, tg, log, atbp.
1) Katumbas at hindi pagkakapantay-pantay na mga palatandaan =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Ang mga palatandaan ng pangalawang uri ay naglalarawan ng mga di-makatwirang bagay, pagpapatakbo at relasyon ng isang partikular na klase o mga bagay, pagpapatakbo at mga relasyon na napapailalim sa ilang paunang natukoy na mga kondisyon. Halimbawa, kapag isinusulat ang pagkakakilanlan ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 letra a at b tukuyin ang mga di-makatwirang numero; kapag nag-aaral ng functional dependence sa = X 2 letra X at y - di-makatwirang mga numero na nauugnay sa isang ibinigay na ratio; kapag nilulutas ang equation
X nagsasaad ng anumang numero na nakakatugon sa ibinigay na equation (bilang resulta ng paglutas ng equation na ito, nalaman namin na dalawa lamang ang posibleng mga halaga +1 at -1 ang tumutugma sa kundisyong ito).
Mula sa isang lohikal na pananaw, ito ay lehitimong tawagan ang mga pangkalahatang palatandaan na mga palatandaan ng mga variable, gaya ng nakaugalian sa matematikal na lohika, nang hindi natatakot sa katotohanan na ang "rehiyon ng pagbabago" ng isang variable ay maaaring lumabas na binubuo ng isang solong. bagay o kahit na "walang laman" (halimbawa, sa kaso ng mga equation na walang solusyon). Ang karagdagang mga halimbawa ng gayong mga palatandaan ay:
A 2) Pagtatalaga ng mga punto, linya, eroplano at mas kumplikadong mga geometric na hugis na may mga titik sa geometry.
B 2) Notasyon f, , j para sa mga function at notasyon ng operator calculus, kapag ang isang titik L ilarawan, halimbawa, ang isang arbitrary na operator ng form:
Ang notasyon para sa "variable ratios" ay hindi gaanong karaniwan, at ginagamit lamang sa mathematical logic (cf. Algebra ng lohika ) at sa medyo abstract, karamihan ay axiomatic, mathematical studies.
Lit.: Cajori, Isang kasaysayan ng mga mathematical notation, v. 1-2, Chi., 1928-29.
Artikulo tungkol sa salita Mga palatandaan sa matematika" sa Great Soviet Encyclopedia ay nabasa nang 39767 beses
Infinity.J. Wallis (1655).
Sa unang pagkakataon ay natagpuan ito sa treatise ng English mathematician na si John Valis "On Conic Sections".
Base ng natural logarithms. L. Euler (1736).
Mathematical constant, transendental na numero. Minsan tinatawag ang numerong ito hindi Perov bilang parangal sa Scottish scientist Napier, may-akda ng akdang "Paglalarawan ng kamangha-manghang talahanayan ng logarithms" (1614). Sa unang pagkakataon, ang pare-pareho ay tahimik na naroroon sa apendiks sa pagsasalin sa Ingles ng nabanggit na gawain ni Napier, na inilathala noong 1618. Ang parehong pare-pareho ay unang kinakalkula ng Swiss mathematician na si Jacob Bernoulli sa kurso ng paglutas ng problema ng paglilimita ng halaga ng kita ng interes.
2,71828182845904523...
Ang unang kilalang paggamit ng pare-parehong ito, kung saan ito ay tinukoy ng titik b, natagpuan sa mga liham ni Leibniz kay Huygens, 1690-1691. sulat e nagsimulang gumamit ng Euler noong 1727, at ang unang publikasyon na may sulat na ito ay ang kanyang Mechanics, o ang Science of Motion, Stated Analytically, 1736. Kaugnay nito, e karaniwang tinatawag Numero ng Euler. Bakit napili ang liham? e, ay hindi eksaktong kilala. Marahil ito ay dahil sa ang katunayan na ang salita ay nagsisimula dito exponential("exponential", "exponential"). Ang isa pang palagay ay ang mga titik a, b, c at d malawak na ginagamit para sa iba pang mga layunin, at e ay ang unang "libreng" na liham.
Ang ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Matematika pare-pareho, hindi makatwiran na numero. Ang numerong "pi", ang lumang pangalan ay numero ni Ludolf. Tulad ng anumang hindi makatwirang numero, ang π ay kinakatawan ng isang walang katapusang non-periodic decimal fraction:
π=3.141592653589793...
Sa unang pagkakataon, ang pagtatalaga ng numerong ito na may letrang Griyego na π ay ginamit ng British mathematician na si William Jones sa aklat na A New Introduction to Mathematics, at ito ay naging pangkalahatang tinanggap pagkatapos ng gawain ni Leonhard Euler. Ang pagtatalagang ito ay nagmula sa unang titik ng mga salitang Griyego na περιφερεια - bilog, paligid at περιμετρος - perimeter. Pinatunayan ni Johann Heinrich Lambert ang irrationality ng π noong 1761, at si Adrien Marie Legendre noong 1774 ay nagpatunay ng irrationality ng π 2 . Ipinagpalagay nina Legendre at Euler na ang π ay maaaring transendental, i.e. hindi maaaring matugunan ang anumang algebraic equation na may mga integer coefficient, na kalaunan ay napatunayan noong 1882 ni Ferdinand von Lindemann.
haka-haka na yunit. L. Euler (1777, sa press - 1794).
Ito ay kilala na ang equation x 2 \u003d 1 ay may dalawang ugat: 1 at -1 . Ang haka-haka na yunit ay isa sa dalawang ugat ng equation x 2 \u003d -1, na tinutukoy ng letrang Latin i, isa pang ugat: -i. Ang pagtatalaga na ito ay iminungkahi ni Leonhard Euler, na kumuha ng unang titik ng salitang Latin para dito imaginarius(haka-haka). Pinalawak din niya ang lahat ng mga karaniwang pag-andar sa kumplikadong domain, i.e. set ng mga numero na kinakatawan sa anyo a+ib, saan a at b ay tunay na mga numero. Ang terminong "complex number" ay ipinakilala sa malawakang paggamit ng German mathematician na si Carl Gauss noong 1831, kahit na ang termino ay dati nang ginamit sa parehong kahulugan ng French mathematician na si Lazar Carnot noong 1803.
Mga vector ng unit. W. Hamilton (1853).
Ang mga unit vector ay madalas na nauugnay sa mga coordinate axes ng isang coordinate system (sa partikular, sa mga axes ng isang Cartesian coordinate system). Unit vector na nakadirekta sa kahabaan ng axis X, ipinahiwatig i, isang unit vector na nakadirekta sa kahabaan ng axis Y, ipinahiwatig j, at ang unit vector na nakadirekta sa kahabaan ng axis Z, ipinahiwatig k. Mga vector i, j, k ay tinatawag na orts, mayroon silang mga module ng pagkakakilanlan. Ang terminong "ort" ay ipinakilala ng English mathematician at engineer na si Oliver Heaviside (1892), at ang notasyon i, j, k Irish mathematician na si William Hamilton.
Ang integer na bahagi ng isang numero, antie. K. Gauss (1808).
Ang integer na bahagi ng bilang [x] ng numerong x ay ang pinakamalaking integer na hindi lalampas sa x. Kaya, =5, [-3,6]=-4. Ang function na [x] ay tinatawag ding "antier of x". Ang integer part function na simbolo ay ipinakilala ni Carl Gauss noong 1808. Mas gusto ng ilang mathematician na gamitin ang notasyong E(x) na iminungkahi noong 1798 ni Legendre sa halip.
Anggulo ng paralelismo. N.I. Lobachevsky (1835).
Sa eroplano ng Lobachevsky - ang anggulo sa pagitan ng linyabdumadaan sa puntoOparallel sa isang tuwid na linyaa, hindi naglalaman ng tuldokO, at patayo mula saO sa a. α ay ang haba ng patayo na ito. Habang ang punto ay tinanggalO mula sa tuwid abumababa ang anggulo ng parallelism mula 90° hanggang 0°. Nagbigay si Lobachevsky ng pormula para sa anggulo ng paralelismoP( α )=2arctg e - α /q , saan q ay ilang pare-pareho na nauugnay sa curvature ng Lobachevsky space.
Hindi alam o variable na dami. R. Descartes (1637).
Sa matematika, ang variable ay isang dami na nailalarawan sa hanay ng mga halaga na maaari nitong kunin. Ito ay maaaring mangahulugan ng parehong tunay na pisikal na dami, pansamantalang isinasaalang-alang sa paghihiwalay mula sa pisikal na konteksto nito, at ilang abstract na dami na walang mga analogue sa totoong mundo. Ang konsepto ng isang variable ay lumitaw noong ika-17 siglo. sa una ay nasa ilalim ng impluwensya ng mga hinihingi ng natural na agham, na nagdala sa unahan ng pag-aaral ng paggalaw, mga proseso, at hindi lamang ng mga estado. Ang konseptong ito ay nangangailangan ng mga bagong anyo para sa pagpapahayag nito. Ang literal na algebra at analytic geometry ni René Descartes ay mga bagong anyo. Sa unang pagkakataon, ang rectangular coordinate system at ang notation x, y ay ipinakilala ni Rene Descartes sa kanyang akdang "Discourse on the method" noong 1637. Nag-ambag din si Pierre Fermat sa pagbuo ng paraan ng coordinate, ngunit ang kanyang trabaho ay unang nai-publish pagkatapos ng kanyang kamatayan. Ginamit nina Descartes at Fermat ang coordinate method sa eroplano lamang. Ang coordinate method para sa tatlong-dimensional na espasyo ay unang inilapat ni Leonhard Euler noong ika-18 siglo.
Vector. O.Koshi (1853).
Sa simula pa lang, ang vector ay nauunawaan bilang isang bagay na may magnitude, direksyon, at (opsyonal) isang application point. Ang mga simula ng vector calculus ay lumitaw kasama ang geometric na modelo ng mga kumplikadong numero sa Gauss (1831). Ang mga advanced na operasyon sa mga vector ay inilathala ni Hamilton bilang bahagi ng kanyang quaternion calculus (ang mga haka-haka na bahagi ng isang quaternion ay bumuo ng isang vector). Pinuno ni Hamilton ang termino vector(mula sa salitang Latin vector, carrier) at inilarawan ang ilang mga operasyon ng pagsusuri ng vector. Ang pormalismong ito ay ginamit ni Maxwell sa kanyang mga gawa sa electromagnetism, at sa gayon ay nakuha ang atensyon ng mga siyentipiko sa bagong calculus. Hindi nagtagal, sumunod ang Gibbs' Elements of Vector Analysis (1880s), at pagkatapos ay ibinigay ng Heaviside (1903) ang vector analysis ng modernong hitsura nito. Ang vector sign mismo ay ipinakilala ng French mathematician na si Augustin Louis Cauchy noong 1853.
Pagdaragdag, pagbabawas. J. Widman (1489).
Ang mga plus at minus na palatandaan ay tila naimbento sa German mathematical school ng "kossists" (iyon ay, algebraists). Ginagamit ang mga ito sa aklat-aralin ni Jan (Johannes) Widmann na A Quick and Pleasant Count for All Merchants, na inilathala noong 1489. Bago ito, ang karagdagan ay tinukoy ng liham p(mula sa Latin plus"more") o ang salitang Latin et(conjunction "at"), at pagbabawas - sa pamamagitan ng titik m(mula sa Latin minus"mas kaunti, mas kaunti"). Sa Widman, pinapalitan ng plus sign hindi lamang ang karagdagan, kundi pati na rin ang unyon na "at". Ang pinagmulan ng mga simbolo na ito ay hindi malinaw, ngunit malamang na ginamit ang mga ito sa pangangalakal bilang mga palatandaan ng kita at pagkalugi. Ang parehong mga simbolo ay naging karaniwan sa Europa - maliban sa Italya, na gumamit ng mga lumang pagtatalaga sa loob ng halos isang siglo.
Pagpaparami. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Ang multiplication sign sa anyo ng isang oblique cross ay ipinakilala noong 1631 ng Englishman na si William Outred. Bago sa kanya, ang pinakakaraniwang ginagamit na sulat M, bagaman iminungkahi din ang iba pang mga pagtatalaga: ang simbolo ng parihaba (French mathematician na si Erigon, 1634), ang asterisk (Swiss mathematician na si Johann Rahn, 1659). Nang maglaon, pinalitan ni Gottfried Wilhelm Leibniz ang krus ng isang tuldok (katapusan ng ika-17 siglo), upang hindi malito sa liham x; bago sa kanya, ang gayong simbolismo ay natagpuan ng German astronomer at mathematician na si Regiomontanus (XV century) at ng English scientist na si Thomas Harriot (1560 -1621).
Dibisyon. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).
Ginamit ni William Outred ang slash / bilang tanda ng dibisyon. Ang dibisyon ng colon ay nagsimulang tukuyin si Gottfried Leibniz. Bago sa kanila, madalas ding gamitin ang liham D. Simula sa Fibonacci, ginagamit din ang pahalang na linya ng fraction, na ginamit ni Heron, Diophantus at sa mga sulating Arabic. Sa Inglatera at Estados Unidos, ang simbolo ng ÷ (obelus), na iminungkahi ni Johann Rahn (maaaring kasama si John Pell) noong 1659, ay naging laganap. Isang pagtatangka ng American National Committee on Mathematical Standards ( National Committee on Mathematical Requirements) upang alisin ang obelus mula sa pagsasanay (1923) ay walang tiyak na paniniwala.
Porsiyento. M. de la Porte (1685).
Isang daan ng isang kabuuan, kinuha bilang isang yunit. Ang salitang "porsiyento" mismo ay nagmula sa Latin na "pro centum", na nangangahulugang "isang daan". Noong 1685, inilathala sa Paris ang aklat na Manual of Commercial Arithmetic ni Mathieu de la Porte. Sa isang lugar, ito ay tungkol sa mga porsyento, na noon ay nangangahulugang "cto" (maikli para sa cento). Gayunpaman, napagkamalan ng typesetter na ang "cto" ay isang fraction at nag-type ng "%". Kaya dahil sa isang typo, ginamit ang sign na ito.
Degrees. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
Ang modernong notasyon para sa exponent ay ipinakilala ni René Descartes sa kanyang " geometries"(1637), gayunpaman, para lamang sa mga natural na kapangyarihan na may mga exponents na higit sa 2. Nang maglaon, pinalawak ni Isaac Newton ang form na ito ng notasyon sa mga negatibo at fractional exponents (1676), na ang interpretasyon ay iminungkahi na sa panahong ito: ang Flemish mathematician at inhinyero na si Simon Stevin, ang English mathematician na si John Vallis at French mathematician na si Albert Girard.
ugat ng aritmetika n ika kapangyarihan ng isang tunay na numero a≥0, - hindi negatibong numero n-ika na antas na katumbas ng a. Ang arithmetic root ng 2nd degree ay tinatawag na square root at maaaring isulat nang hindi nagpapahiwatig ng degree: √. Ang arithmetic root ng 3rd degree ay tinatawag na cube root. Tinukoy ng mga medieval mathematician (halimbawa, Cardano) ang square root na may simbolong R x (mula sa Latin Radix, ugat). Ang modernong pagtatalaga ay unang ginamit ng German mathematician na si Christoph Rudolf, mula sa Cossist school, noong 1525. Ang simbolo na ito ay nagmula sa inilarawan sa pangkinaugalian na unang titik ng parehong salita radix. Ang linya sa itaas ng radikal na ekspresyon ay wala sa una; kalaunan ay ipinakilala ito ni Descartes (1637) para sa ibang layunin (sa halip na mga panaklong), at ang tampok na ito sa lalong madaling panahon ay sumanib sa tanda ng ugat. Ang cube root noong ika-16 na siglo ay itinalaga bilang mga sumusunod: R x .u.cu (mula sa lat. Radix universalis cubica). Si Albert Girard (1629) ay nagsimulang gumamit ng karaniwang notasyon para sa ugat ng isang arbitraryong antas. Naitatag ang format na ito salamat kina Isaac Newton at Gottfried Leibniz.
Logarithm, Decimal Logarithm, Natural Logarithm. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
Ang terminong "logarithm" ay kabilang sa Scottish mathematician na si John Napier ( "Paglalarawan ng kamangha-manghang talahanayan ng logarithms", 1614); ito ay nagmula sa kumbinasyon ng mga salitang Griyego na λογος (salita, kaugnayan) at αριθμος (numero). Ang logarithm ng J. Napier ay isang pantulong na numero para sa pagsukat ng ratio ng dalawang numero. Ang modernong kahulugan ng logarithm ay unang ibinigay ng English mathematician na si William Gardiner (1742). Sa pamamagitan ng kahulugan, ang logarithm ng isang numero b sa pamamagitan ng dahilan a (a ≠ 1, a > 0) - exponent m, kung saan dapat itaas ang bilang a(tinatawag na base ng logarithm) para makuha b. Tinutukoy mag-log a b. Kaya, m = log a b, kung a m = b.
Ang mga unang talahanayan ng decimal logarithms ay nai-publish noong 1617 ni Oxford mathematics professor Henry Briggs. Samakatuwid, sa ibang bansa, ang decimal logarithms ay madalas na tinatawag na brigs. Ang terminong "natural logarithm" ay ipinakilala nina Pietro Mengoli (1659) at Nicholas Mercator (1668), bagaman ang guro sa matematika sa London na si John Spidell ay nag-compile ng isang talahanayan ng mga natural na logarithms noong 1619.
Hanggang sa katapusan ng ika-19 na siglo, walang pangkalahatang tinatanggap na notasyon para sa logarithm, ang base a ipinahiwatig sa kaliwa at sa itaas ng simbolo log, pagkatapos ay sa ibabaw nito. Sa huli, ang mga mathematician ay dumating sa konklusyon na ang pinaka-maginhawang lugar para sa base ay nasa ibaba ng linya, pagkatapos ng simbolo log. Ang tanda ng logarithm - ang resulta ng pagbawas ng salitang "logarithm" - ay nangyayari sa iba't ibang anyo halos kasabay ng paglitaw ng mga unang talahanayan ng logarithms, halimbawa. Log- I. Kepler (1624) at G. Briggs (1631), log- B. Cavalieri (1632). Pagtatalaga ln dahil ang natural na logarithm ay ipinakilala ng German mathematician na si Alfred Pringsheim (1893).
Sine, cosine, tangent, cotangent. W. Outred (gitna ng ika-17 siglo), I. Bernoulli (ika-18 siglo), L. Euler (1748, 1753).
Ang shorthand notation para sa sine at cosine ay ipinakilala ni William Outred noong kalagitnaan ng ika-17 siglo. Mga pagdadaglat para sa tangent at cotangent: tg, ctg ipinakilala ni Johann Bernoulli noong ika-18 siglo, naging laganap ang mga ito sa Germany at Russia. Sa ibang mga bansa, ginagamit ang mga pangalan ng mga function na ito. kayumanggi, higaan iminungkahi ni Albert Girard kahit na mas maaga, sa simula ng ika-17 siglo. Dinala ni Leonard Euler (1748, 1753) ang teorya ng mga function ng trigonometriko sa modernong anyo nito, at utang din natin sa kanya ang pagsasama-sama ng tunay na simbolismo.Ang terminong "trigonometric functions" ay ipinakilala ng German mathematician at physicist na si Georg Simon Klugel noong 1770.
Ang sine line ng mga Indian mathematician ay orihinal na tinawag "arha jiva"("semi-string", ibig sabihin, kalahati ng chord), pagkatapos ay ang salita "archa" ay itinapon at ang sine line ay nagsimulang tawaging simple "jiva". Hindi isinalin ng mga tagasalin ng Arabic ang salita "jiva" salitang Arabe "vatar", na nagsasaad ng bowstring at chord, at na-transcribe sa mga letrang Arabic at nagsimulang tawagan ang sine line "jiba". Dahil ang mga maikling patinig ay hindi ipinahiwatig sa Arabic, at mahaba ang "at" sa salita "jiba" na tinukoy sa parehong paraan tulad ng semivowel na "y", sinimulan ng mga Arabo na bigkasin ang pangalan ng linya ng sine. "jibe", na literal na nangangahulugang "guwang", "dibdib". Kapag nagsasalin ng mga akdang Arabe sa Latin, isinalin ng mga tagasalin sa Europa ang salita "jibe" salitang Latin sinus, may parehong kahulugan.Ang terminong "tangent" (mula sa lat.tangents- touching) ay ipinakilala ng Danish mathematician na si Thomas Fincke sa kanyang Geometry of the Round (1583).
Arcsine. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).
Ang mga inverse trigonometric function ay mga mathematical function na kabaligtaran ng trigonometric functions. Ang pangalan ng inverse trigonometric function ay nabuo mula sa pangalan ng katumbas na trigonometric function sa pamamagitan ng pagdaragdag ng prefix na "arc" (mula sa lat. arko- arko).Karaniwang kinabibilangan ng anim na function ang inverse trigonometriko: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arcsecant (arcsec) at arccosecant (arccosec). Sa unang pagkakataon, ginamit ni Daniel Bernoulli (1729, 1736) ang mga espesyal na simbolo para sa inverse trigonometriko function.Paraan ng pag-notate ng mga inverse trigonometric function na may prefix arko(mula sa lat. arcus, arc) ay lumitaw kasama ang Austrian mathematician na si Karl Scherfer at nakakuha ng foothold salamat sa French mathematician, astronomer at mekaniko na si Joseph Louis Lagrange. Iyon ay sinadya na, halimbawa, ang karaniwang sine ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang chord subtending ito sa kahabaan ng arko ng isang bilog, at ang inverse function ay malulutas ang kabaligtaran na problema. Hanggang sa katapusan ng ika-19 na siglo, ang mga paaralang matematika sa Ingles at Aleman ay nag-aalok ng iba pang notasyon: kasalanan -1 at 1/sin, ngunit hindi ito malawakang ginagamit.
Hyperbolic sine, hyperbolic cosine. W. Riccati (1757).
Natuklasan ng mga mananalaysay ang unang paglitaw ng hyperbolic function sa mga sinulat ng English mathematician na si Abraham de Moivre (1707, 1722). Ang modernong kahulugan at detalyadong pag-aaral ng mga ito ay isinagawa ng Italyano na si Vincenzo Riccati noong 1757 sa akdang "Opusculorum", iminungkahi din niya ang kanilang mga pagtatalaga: sh,ch. Nagpatuloy si Riccati mula sa pagsasaalang-alang ng isang hyperbola. Ang isang independiyenteng pagtuklas at karagdagang pag-aaral ng mga katangian ng hyperbolic function ay isinagawa ng German mathematician, physicist at pilosopo na si Johann Lambert (1768), na nagtatag ng malawak na parallelism sa pagitan ng mga formula ng ordinaryo at hyperbolic trigonometry. N.I. Kasunod na ginamit ni Lobachevsky ang parallelism na ito, sinusubukang patunayan ang pagkakapare-pareho ng non-Euclidean geometry, kung saan ang ordinaryong trigonometry ay pinalitan ng hyperbolic.
Kung paanong ang trigonometric sine at cosine ay ang mga coordinate ng isang punto sa isang coordinate circle, ang hyperbolic sine at cosine ay ang mga coordinate ng isang punto sa isang hyperbola. Ang mga hyperbolic function ay ipinahayag sa mga tuntunin ng isang exponent at malapit na nauugnay sa mga trigonometric function: sh(x)=0.5(e x-e-x) , ch(x)=0.5(e x +e -x). Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga function na trigonometric, ang hyperbolic tangent at cotangent ay tinukoy bilang mga ratio ng hyperbolic sine at cosine, cosine at sine, ayon sa pagkakabanggit.
Differential. G. Leibniz (1675, sa press 1684).
Ang pangunahing, linear na bahagi ng pagtaas ng function.Kung ang function y=f(x) isang variable x ay mayroon sa x=x0derivative, at incrementΔy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)mga function f(x) maaaring katawanin bilangΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , kung saan miyembro R walang katapusang maliit kumpara saΔx. Unang Miyembrody=f"(x 0 )Δxsa pagpapalawak na ito ay tinatawag na kaugalian ng pag-andar f(x) sa puntox0. AT gawa ng Gottfried Leibniz, Jacob at Johann Bernoulli salita"differentia"ay ginamit sa kahulugan ng "increment", I. Bernoulli denoted ito sa pamamagitan ng Δ. Ginamit ni G. Leibniz (1675, inilathala noong 1684) ang notasyon para sa "walang katapusang maliit na pagkakaiba"d- ang unang titik ng salita"kakaiba", nabuo niya mula sa"differentia".
Indefinite integral. G. Leibniz (1675, sa press 1686).
Ang salitang "integral" ay unang ginamit sa pag-print ni Jacob Bernoulli (1690). Marahil ang termino ay nagmula sa Latin integer- buo. Ayon sa isa pang palagay, ang batayan ay ang salitang Latin integro- ibalik, ibalik. Ang sign na ∫ ay ginagamit upang tukuyin ang isang integral sa matematika at isang inilarawang representasyon ng unang titik ng isang salitang Latin. summa- sum. Ito ay unang ginamit ng German mathematician na si Gottfried Leibniz, ang nagtatag ng differential at integral calculus, sa pagtatapos ng ika-17 siglo. Ang isa pa sa mga tagapagtatag ng differential at integral calculus, si Isaac Newton, ay hindi nag-aalok ng alternatibong simbolismo ng integral sa kanyang mga gawa, bagama't sinubukan niya ang iba't ibang mga pagpipilian: isang vertical bar sa itaas ng isang function o isang parisukat na simbolo na nakatayo sa harap ng isang function o hangganan nito. Indefinite integral para sa isang function y=f(x) ay ang koleksyon ng lahat ng antiderivatives ng ibinigay na function.
Tiyak na integral. J. Fourier (1819-1822).
Tiyak na integral ng isang function f(x) na may mas mababang limitasyon a at itaas na limitasyon b maaaring tukuyin bilang pagkakaiba F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , saan F(x)- ilang antiderivative function f(x) . Tiyak na integral a ∫ b f(x)dx katumbas ng numero sa lugar ng figure na nalilimitahan ng x-axis, mga tuwid na linya x=a at x=b at function graph f(x). Ang French mathematician at physicist na si Jean Baptiste Joseph Fourier ay iminungkahi ang disenyo ng isang tiyak na integral sa anyo na nakasanayan natin sa simula ng ika-19 na siglo.
Derivative. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
Derivative - ang pangunahing konsepto ng differential calculus, na nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng isang function f(x) kapag nagbago ang argumento x . Ito ay tinukoy bilang ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng isang function sa pagtaas ng argumento nito bilang ang pagtaas ng argumento ay may posibilidad na zero, kung umiiral ang naturang limitasyon. Ang isang function na may finite derivative sa isang punto ay tinatawag na differentiable sa puntong iyon. Ang proseso ng pagkalkula ng derivative ay tinatawag na differentiation. Ang kabaligtaran na proseso ay pagsasama. Sa classical differential calculus, ang derivative ay kadalasang binibigyang kahulugan sa pamamagitan ng mga konsepto ng theory of limits, gayunpaman, ayon sa kasaysayan, ang theory of limits ay lumitaw nang mas huli kaysa sa differential calculus.
Ang terminong "derivative" ay ipinakilala ni Joseph Louis Lagrange noong 1797; dy/dx— Gottfried Leibniz noong 1675. Ang paraan ng pagtatalaga ng derivative na may paggalang sa oras na may tuldok sa itaas ng titik ay mula kay Newton (1691).Ang terminong Ruso na "derivative ng isang function" ay unang ginamit ng isang Russian mathematicianVasily Ivanovich Viskovatov (1779-1812).
Pribadong derivative. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Para sa mga function ng maraming variable, ang mga partial derivatives ay tinukoy - derivatives na may paggalang sa isa sa mga argumento, na kinakalkula sa ilalim ng pagpapalagay na ang natitirang mga argumento ay pare-pareho. Notasyon ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y ipinakilala ng French mathematician na si Adrien Marie Legendre noong 1786; fx",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ x ∂ y- second-order partial derivatives - German mathematician Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).
Pagkakaiba, pagtaas. I. Bernoulli (huli ng ika-17 siglo - unang kalahati ng ika-18 siglo), L. Euler (1755).
Ang pagtatalaga ng pagtaas ng letrang Δ ay unang ginamit ng Swiss mathematician na si Johann Bernoulli. Ang simbolo na "delta" ay pumasok sa karaniwang kasanayan pagkatapos ng gawain ni Leonhard Euler noong 1755.
Sum. L. Euler (1755).
Ang kabuuan ay ang resulta ng pagdaragdag ng mga halaga (mga numero, function, vector, matrice, atbp.). Upang tukuyin ang kabuuan ng n mga numero a 1, a 2, ..., a n, ang Griyegong titik na "sigma" Σ ay ginagamit: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . Ang tanda Σ para sa kabuuan ay ipinakilala ni Leonhard Euler noong 1755.
Trabaho. K. Gauss (1812).
Ang produkto ay resulta ng pagpaparami. Upang tukuyin ang produkto ng n mga numero a 1, a 2, ..., a n, ang letrang Griyego na "pi" Π ay ginagamit: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Halimbawa, 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). Ang simbolo na Π para sa produkto ay ipinakilala ng German mathematician na si Carl Gauss noong 1812. Sa panitikan sa matematika ng Russia, ang terminong "trabaho" ay unang nakatagpo ni Leonty Filippovich Magnitsky noong 1703.
Factorial. K.Krump (1808).
Ang factorial ng isang numerong n (tinutukoy na n!, binibigkas na "en factorial") ay ang produkto ng lahat ng natural na numero hanggang sa at kabilang ang n: n! = 1 2 3 ... n. Halimbawa, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Sa kahulugan, 0! = 1. Ang factorial ay tinukoy lamang para sa mga hindi negatibong integer. Ang factorial ng isang numero n ay katumbas ng bilang ng mga permutasyon ng n elemento. Halimbawa, 3! = 6, talaga,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Lahat ng anim at anim na permutasyon lamang ng tatlong elemento.
Ang terminong "factorial" ay ipinakilala ng Pranses na matematiko at politiko na si Louis Francois Antoine Arbogast (1800), ang pagtatalaga n! - French mathematician na si Christian Kramp (1808).
Module, ganap na halaga. K. Weierstrass (1841).
Module, ang absolute value ng real number x - isang non-negative na numero na tinukoy bilang sumusunod: |x| = x para sa x ≥ 0, at |x| = -x para sa x ≤ 0. Halimbawa, |7| = 7, |- 0.23| = -(-0.23) = 0.23. Ang modulus ng complex number z = a + ib ay isang tunay na numero na katumbas ng √(a 2 + b 2).
Ito ay pinaniniwalaan na ang terminong "module" ay iminungkahi na gamitin ng Ingles na matematiko at pilosopo, isang estudyante ng Newton na si Roger Cotes. Ginamit din ni Gottfried Leibniz ang function na ito, na tinawag niyang "module" at tinukoy ang: mol x. Ang pangkalahatang tinatanggap na notasyon para sa absolute value ay ipinakilala noong 1841 ng German mathematician na si Karl Weierstrass. Para sa mga kumplikadong numero, ang konseptong ito ay ipinakilala ng mga French mathematician na sina Augustin Cauchy at Jean Robert Argan sa simula ng ika-19 na siglo. Noong 1903, ginamit ng Austrian scientist na si Konrad Lorenz ang parehong simbolismo para sa haba ng isang vector.
Norm. E. Schmidt (1908).
Ang pamantayan ay isang functional na tinukoy sa isang vector space at ginagawang pangkalahatan ang konsepto ng haba ng isang vector o ang modulus ng isang numero. Ang sign na "norm" (mula sa salitang Latin na "norma" - "rule", "sample") ay ipinakilala ng German mathematician na si Erhard Schmidt noong 1908.
limitasyon. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), maraming mathematician (hanggang sa simula ng ika-20 siglo)
Limitasyon - isa sa mga pangunahing konsepto ng mathematical analysis, ibig sabihin na ang ilang variable na halaga sa proseso ng pagbabago nito na isinasaalang-alang ay lumalapit sa isang tiyak na pare-parehong halaga nang walang katiyakan. Ang konsepto ng limitasyon ay ginamit nang intuitive noong ikalawang kalahati ng ika-17 siglo ni Isaac Newton, gayundin ng mga mathematician noong ika-18 siglo, gaya nina Leonhard Euler at Joseph Louis Lagrange. Ang unang mahigpit na kahulugan ng limitasyon ng isang sequence ay ibinigay ni Bernard Bolzano noong 1816 at Augustin Cauchy noong 1821. Ang simbolong lim (ang unang 3 titik mula sa salitang Latin na limes - hangganan) ay lumitaw noong 1787 kasama ang Swiss mathematician na si Simon Antoine Jean Lhuillier, ngunit ang paggamit nito ay hindi pa katulad ng modernong isa. Ang ekspresyong lim sa isang mas pamilyar na anyo para sa atin ay unang ginamit ng Irish mathematician na si William Hamilton noong 1853.Ipinakilala ni Weierstrass ang isang pagtatalaga na malapit sa modernong isa, ngunit sa halip na ang karaniwang arrow, ginamit niya ang equal sign. Ang arrow ay lumitaw sa simula ng ika-20 siglo kasama ang ilang mga mathematician nang sabay-sabay - halimbawa, kasama ang English mathematician na si Godfried Hardy noong 1908.
Zeta function, d Riemann zeta function. B. Riemann (1857).
Analytic function ng complex variable s = σ + it, para sa σ > 1, na tinutukoy ng ganap at pare-parehong convergent na serye ng Dirichlet:
ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
Para sa σ > 1, ang representasyon sa anyo ng produktong Euler ay wasto:
ζ(s) = Π p (1-p -s) -s ,
kung saan ang produkto ay kinuha sa lahat ng primes p. Malaki ang papel ng zeta function sa teorya ng numero.Bilang isang function ng isang tunay na variable, ang zeta function ay ipinakilala noong 1737 (na-publish noong 1744) ni L. Euler, na nagpahiwatig ng pagkabulok nito sa isang produkto. Pagkatapos ang function na ito ay isinasaalang-alang ng German mathematician na si L. Dirichlet at, lalo na matagumpay, ng Russian mathematician at mechanic na si P.L. Chebyshev sa pag-aaral ng batas ng pamamahagi ng mga pangunahing numero. Gayunpaman, ang pinakamalalim na katangian ng zeta function ay natuklasan sa ibang pagkakataon, pagkatapos ng gawain ng German mathematician na si Georg Friedrich Bernhard Riemann (1859), kung saan ang zeta function ay itinuturing bilang isang function ng isang complex variable; ipinakilala rin niya ang pangalang "zeta function" at ang notasyong ζ(s) noong 1857.
Gamma function, Euler Γ-function. A. Legendre (1814).
Ang gamma function ay isang mathematical function na nagpapalawak ng paniwala ng factorial sa larangan ng kumplikadong mga numero. Karaniwang tinutukoy ng Γ(z). Ang z-function ay unang ipinakilala ni Leonhard Euler noong 1729; ito ay tinukoy ng formula:
Γ(z) = limn→∞ n! n z /z(z+1)...(z+n).
Ang isang malaking bilang ng mga integral, walang katapusan na mga produkto, at mga kabuuan ng mga serye ay ipinahayag sa pamamagitan ng G-function. Malawakang ginagamit sa analytic number theory. Ang pangalang "Gamma function" at ang notasyong Γ(z) ay iminungkahi ng French mathematician na si Adrien Marie Legendre noong 1814.
Beta function, B function, Euler B function. J. Binet (1839).
Isang function ng dalawang variable p at q, na tinukoy para sa p>0, q>0 sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay:
B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Ang beta function ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng Γ-function: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Kung paanong ang gamma function para sa mga integer ay isang generalization ng factorial, ang beta function ay, sa isang kahulugan, isang generalization ng binomial coefficients.
Maraming mga katangian ang inilalarawan gamit ang beta function.elementarya na mga particle nakikilahok sa malakas na pakikipag-ugnayan. Ang tampok na ito ay napansin ng Italian theoretical physicistGabriele Veneziano noong 1968. Nagsimula ito teorya ng string.
Ang pangalang "beta function" at ang notasyong B(p, q) ay ipinakilala noong 1839 ng French mathematician, mekaniko at astronomer na si Jacques Philippe Marie Binet.
Operator ng Laplace, Laplacian. R. Murphy (1833).
Linear differential operator Δ, na gumaganap ng φ (x 1, x 2, ..., x n) mula sa n variable x 1, x 2, ..., iniuugnay ng x n ang function:
Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.
Sa partikular, para sa isang function na φ(x) ng isang variable, ang Laplace operator ay kasabay ng operator ng 2nd derivative: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Ang equation na Δφ = 0 ay karaniwang tinatawag na Laplace equation; dito nagmula ang mga pangalang "Laplace operator" o "Laplacian". Ang notasyong Δ ay ipinakilala ng English physicist at mathematician na si Robert Murphy noong 1833.
Hamiltonian operator, nabla operator, Hamiltonian. O. Heaviside (1892).
Vector differential operator ng form
∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂y j+ ∂/∂z k,
saan i, j, at k- coordinate vectors. Sa pamamagitan ng nabla operator, ang mga pangunahing operasyon ng vector analysis, pati na rin ang Laplace operator, ay ipinahayag sa natural na paraan.
Noong 1853, ipinakilala ng Irish mathematician na si William Rowan Hamilton ang operator na ito at nilikha ang simbolo ∇ para dito sa anyo ng isang baligtad na letrang Griyego Δ (delta). Sa Hamilton, ang punto ng simbolo ay nakaturo sa kaliwa; nang maglaon, sa mga gawa ng Scottish mathematician at physicist na si Peter Guthrie Tate, ang simbolo ay nakakuha ng modernong hitsura. Tinawag ni Hamilton ang simbolo na ito ng salitang "atled" (ang salitang "delta" ay binasa pabalik). Nang maglaon, ang mga iskolar ng Ingles, kabilang si Oliver Heaviside, ay nagsimulang tumawag sa simbolong ito na "nabla", pagkatapos ng pangalan ng titik ∇ sa alpabetong Phoenician, kung saan ito nangyayari. Ang pinagmulan ng liham ay nauugnay sa isang instrumentong pangmusika tulad ng alpa, ναβλα (nabla) sa sinaunang Griyego ay nangangahulugang "alpa". Ang operator ay tinawag na Hamilton operator, o ang nabla operator.
Function. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Isang konseptong matematikal na sumasalamin sa ugnayan sa pagitan ng mga elemento ng mga set. Masasabi nating ang isang function ay isang "batas", isang "rule" ayon sa kung saan ang bawat elemento ng isang set (tinatawag na domain ng kahulugan) ay itinalaga ng ilang elemento ng isa pang set (tinatawag na domain ng mga halaga). Ang konsepto ng matematika ng isang function ay nagpapahayag ng isang intuitive na ideya kung paano ganap na tinutukoy ng isang dami ang halaga ng isa pang dami. Kadalasan ang terminong "function" ay nangangahulugang isang numerical function; iyon ay, isang function na naglalagay ng ilang numero sa linya sa iba. Sa loob ng mahabang panahon, ang mga mathematician ay nagbigay ng mga argumento nang walang mga bracket, halimbawa, tulad nito - φх. Ang notasyong ito ay unang ginamit ng Swiss mathematician na si Johann Bernoulli noong 1718.Ginamit lamang ang mga panaklong kung mayroong maraming mga argumento, o kung ang argumento ay isang kumplikadong expression. Ang mga dayandang ng mga panahong iyon ay karaniwan at ngayon ay naitalakasalanan x, lg xatbp. Ngunit unti-unting naging pangkalahatang tuntunin ang paggamit ng mga panaklong, f(x) . At ang pangunahing merito dito ay kay Leonhard Euler.
Pagkakapantay-pantay. R. Record (1557).
Ang pantay na tanda ay iminungkahi ng Welsh na manggagamot at matematiko na si Robert Record noong 1557; ang balangkas ng karakter ay mas mahaba kaysa sa kasalukuyan, dahil ginaya nito ang larawan ng dalawang magkatulad na mga segment. Ipinaliwanag ng may-akda na wala nang higit na katumbas sa mundo kaysa sa dalawang magkatulad na mga segment na may parehong haba. Bago iyon, sa sinaunang at medyebal na matematika, ang pagkakapantay-pantay ay ipinahiwatig sa salita (halimbawa, egale). Si Rene Descartes noong ika-17 siglo ay nagsimulang gumamit ng æ (mula sa lat. aequalis), at ginamit niya ang modernong equals sign upang ipahiwatig na ang coefficient ay maaaring negatibo. Ang François Viète ay nagsasaad ng pagbabawas na may katumbas na tanda. Hindi agad kumalat ang simbolo ng Record. Ang pagkalat ng simbolo ng Record ay nahadlangan ng katotohanan na mula noong sinaunang panahon ang parehong simbolo ay ginagamit upang ipahiwatig ang paralelismo ng mga linya; sa huli, napagpasyahan na gawing patayo ang simbolo ng paralelismo. Sa continental Europe, ang sign na "=" ay ipinakilala ni Gottfried Leibniz lamang sa pagliko ng ika-17-18 na siglo, iyon ay, higit sa 100 taon pagkatapos ng pagkamatay ni Robert Record, na unang ginamit ito para dito.
Halos pareho, halos pareho. A. Günther (1882).
Tanda " ≈" ay ipinakilala ng German mathematician at physicist na si Adam Wilhelm Sigmund Günther noong 1882 bilang simbolo para sa relasyong "halos pantay".
Humigit kumulang. T. Harriot (1631).
Ang dalawang palatandaang ito ay ipinakilala sa paggamit ng English astronomer, mathematician, ethnographer at translator na si Thomas Harriot noong 1631, bago ang mga salitang "more" at "less" ay ginamit.
Paghahambing. K. Gauss (1801).
Paghahambing - ang ratio sa pagitan ng dalawang integer n at m, ibig sabihin ang pagkakaiba n-m ng mga numerong ito ay nahahati sa isang ibinigay na integer a, na tinatawag na modulus ng paghahambing; ito ay nakasulat: n≡m(mod a) at nagbabasa ng "mga numero n at m ay maihahambing na modulo a". Halimbawa, ang 3≡11(mod 4) dahil ang 3-11 ay nahahati sa 4; ang mga numero 3 at 11 ay magkatugmang modulo 4. Ang mga paghahambing ay may maraming katangian na katulad ng mga pagkakapantay-pantay. Kaya, ang termino sa isang bahagi ng paghahambing ay maaaring ilipat na may kabaligtaran na tanda sa isa pang bahagi, at ang mga paghahambing na may parehong module ay maaaring idagdag, ibawas, i-multiply, ang parehong mga bahagi ng paghahambing ay maaaring i-multiply sa parehong numero, atbp. Halimbawa,
3≡9+2(mod 4) at 3-2≡9(mod 4)
Kasabay ng totoong paghahambing. At mula sa isang pares ng totoong paghahambing 3≡11(mod 4) at 1≡5(mod 4) ang kawastuhan ng mga sumusunod ay sumusunod:
3+1≡11+5(mod 4)
3-1≡11-5(mod 4)
3 1≡11 5(mod 4)
3 2 ≡11 2 (mod 4)
3 23≡11 23(mod 4)
Sa teorya ng numero, ang mga pamamaraan para sa paglutas ng iba't ibang mga paghahambing ay isinasaalang-alang, i.e. mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga integer na nakakatugon sa mga paghahambing ng isang uri o iba pa. Ang mga paghahambing ng modulo ay unang ginamit ng German mathematician na si Carl Gauss sa kanyang 1801 na aklat na Arithmetic Investigations. Iminungkahi din niya ang simbolismo na itinatag sa matematika para sa paghahambing.
Pagkakakilanlan. B. Riemann (1857).
Pagkakakilanlan - ang pagkakapantay-pantay ng dalawang analytical expression, wasto para sa anumang mga tinatanggap na halaga ng mga titik na kasama dito. Ang pagkakapantay-pantay na a+b = b+a ay wasto para sa lahat ng mga numerical na halaga ng a at b, at samakatuwid ay isang pagkakakilanlan. Upang itala ang mga pagkakakilanlan, sa ilang mga kaso, mula noong 1857, ang sign na "≡" ay ginamit (basahin ang "identically equal"), ang may-akda kung saan sa paggamit na ito ay ang German mathematician na si Georg Friedrich Bernhard Riemann. Maaaring isulat a+b ≡ b+a.
Perpendicularity. P.Erigon (1634).
Perpendicularity - ang magkaparehong pag-aayos ng dalawang tuwid na linya, eroplano o isang tuwid na linya at isang eroplano, kung saan ang mga figure na ito ay gumagawa ng isang tamang anggulo. Ang sign na ⊥ upang tukuyin ang perpendicularity ay ipinakilala noong 1634 ng French mathematician at astronomer na si Pierre Erigon. Ang konsepto ng perpendicularity ay may ilang mga generalizations, ngunit lahat ng mga ito, bilang panuntunan, ay sinamahan ng sign ⊥ .
Paralelismo. W. Outred (1677 posthumous edition).
Parallelism - ang relasyon sa pagitan ng ilang mga geometric na hugis; halimbawa, mga tuwid na linya. Tinukoy nang iba depende sa iba't ibang geometries; halimbawa, sa geometry ng Euclid at sa geometry ng Lobachevsky. Ang tanda ng paralelismo ay kilala mula noong sinaunang panahon, ginamit ito nina Heron at Pappus ng Alexandria. Sa una, ang simbolo ay katulad ng kasalukuyang equals sign (mas pinalawak lamang), ngunit sa pagdating ng huli, upang maiwasan ang pagkalito, ang simbolo ay pinaikot nang patayo ||. Ito ay lumitaw sa anyong ito sa unang pagkakataon sa isang posthumous na edisyon ng mga gawa ng English mathematician na si William Outred noong 1677.
Intersection, unyon. J. Peano (1888).
Ang intersection ng mga set ay ang set kung saan nabibilang ang mga iyon at ang mga elementong iyon na sabay-sabay na nabibilang sa lahat ng ibinigay na set. Ang unyon ng mga set ay isang set na naglalaman ng lahat ng elemento ng orihinal na set. Ang intersection at unyon ay tinatawag ding mga operasyon sa mga set na nagtatalaga ng mga bagong set sa ilang mga set ayon sa mga panuntunan sa itaas. Tinutukoy na ∩ at ∪, ayon sa pagkakabanggit. Halimbawa, kung
A= (♠ ♣ ) at B= (♣ ♦ ),
yun
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Naglalaman, naglalaman. E. Schroeder (1890).
Kung ang A at B ay dalawang set at walang mga elemento sa A na hindi nabibilang sa B, sasabihin nila na ang A ay nakapaloob sa B. Isinulat nila ang A⊂B o B⊃A (Ang B ay naglalaman ng A). Halimbawa,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Ang mga simbolo na "naglalaman" at "naglalaman" ay lumitaw noong 1890 kasama ang German mathematician at logician na si Ernst Schroeder.
Pagkakaugnay. J. Peano (1895).
Kung ang a ay isang elemento ng set A, pagkatapos ay isulat ang a∈A at basahin ang "a ay kay A". Kung ang a ay hindi isang elemento ng A, isulat ang a∉A at basahin ang "a ay hindi kabilang sa A". Sa una, ang mga relasyon na "naglalaman" at "pag-aari" ("ay isang elemento") ay hindi nakikilala, ngunit sa paglipas ng panahon, ang mga konseptong ito ay nangangailangan ng pagkakaiba. Ang membership sign ∈ ay unang ginamit ng Italian mathematician na si Giuseppe Peano noong 1895. Ang simbolong ∈ ay nagmula sa unang titik ng salitang Griyego na εστι - upang maging.
Ang universal quantifier, ang existential quantifier. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
Ang isang quantifier ay isang pangkalahatang pangalan para sa mga lohikal na operasyon na nagpapahiwatig ng lugar ng katotohanan ng isang predicate (mathematical statement). Matagal nang binibigyang pansin ng mga pilosopo ang mga lohikal na operasyon na naglilimita sa saklaw ng katotohanan ng isang panaguri, ngunit hindi ibinukod ang mga ito bilang isang hiwalay na klase ng mga operasyon. Bagama't malawakang ginagamit ang quantifier-logical constructions kapwa sa pang-agham at pang-araw-araw na pananalita, ang kanilang pormalisasyon ay naganap lamang noong 1879, sa aklat ng German logician, mathematician at pilosopo na si Friedrich Ludwig Gottlob Frege "The Calculus of Concepts". Ang notasyon ni Frege ay mukhang masalimuot na mga graphic construction at hindi tinanggap. Kasunod nito, marami pang matagumpay na simbolo ang iminungkahi, ngunit ang notasyon ∃ para sa existential quantifier (basahin ang "umiiral", "meron"), iminungkahi ng American philosopher, logician at mathematician na si Charles Pierce noong 1885, at ∀ para sa universal quantifier ( basahin ang "any" , "every", "every"), na nabuo ng German mathematician at logician na si Gerhard Karl Erich Gentzen noong 1935 sa pamamagitan ng pagkakatulad sa existential quantifier symbol (ang binaliktad na unang titik ng mga salitang English na Existence (existence) at Any ( anumang)). Halimbawa, ang entry
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
ganito ang mababasa: "para sa anumang ε>0 mayroong δ>0 na para sa lahat ng x ay hindi katumbas ng x 0 at nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Walang laman na set. N. Bourbaki (1939).
Isang set na walang anumang elemento. Ang walang laman na set sign ay ipinakilala sa mga aklat ni Nicolas Bourbaki noong 1939. Ang Bourbaki ay ang kolektibong pseudonym ng isang grupo ng mga French mathematician na nabuo noong 1935. Isa sa mga miyembro ng pangkat ng Bourbaki ay si Andre Weil, ang may-akda ng simbolo ng Ø.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
Sa matematika, ang isang patunay ay nauunawaan bilang isang pagkakasunod-sunod ng pangangatwiran batay sa ilang mga patakaran, na nagpapakita na ang isang tiyak na pahayag ay totoo. Mula noong Renaissance, ang pagtatapos ng isang patunay ay tinukoy ng mga mathematician bilang "Q.E.D.", mula sa salitang Latin na "Quod Erat Demonstrandum" - "Ano ang dapat patunayan." Kapag lumilikha ng sistema ng layout ng computer ΤΕΧ noong 1978, ang Amerikanong propesor ng computer science na si Donald Edwin Knuth ay gumamit ng isang simbolo: isang punong parisukat, ang tinatawag na "Simbolo ng Halmos", na pinangalanan sa American mathematician ng Hungarian na pinagmulan na si Paul Richard Halmos. Ngayon, ang pagkumpleto ng isang patunay ay karaniwang tinutukoy ng Simbolo ng Halmos. Ang iba pang mga palatandaan ay ginagamit bilang isang kahalili: isang walang laman na parisukat, isang tamang tatsulok, // (dalawang slash), pati na rin ang abbreviation ng Ruso na "ch.t.d.".
