Ang isang quadratic equation ay isang equation ng anyong a*x^2 +b*x+c=0, kung saan ang a,b,c ay ilang arbitrary real (real) na mga numero, at ang x ay isang variable. At ang bilang na a=0.
Ang mga numerong a,b,c ay tinatawag na coefficients. Ang numerong a - ay tinatawag na nangungunang koepisyent, ang bilang b ay ang koepisyent sa x, at ang bilang c ay tinatawag na libreng miyembro.
Paglutas ng mga quadratic equation
Upang malutas ang isang quadratic equation ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga ugat nito, o itatag ang katotohanan na ang quadratic equation ay walang mga ugat. Ang ugat ng quadratic equation a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ay anumang halaga ng variable x, kung kaya't ang square trinomial a * x ^ 2 + b * x + c ay naglalaho. Minsan ang naturang halaga ng x ay tinatawag na ugat ng isang square trinomial.
Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang mga quadratic equation. Isaalang-alang ang isa sa kanila - ang pinaka maraming nalalaman. Maaari itong magamit upang malutas ang anumang quadratic equation.
Mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation
Ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation ay a*x^2 +b*x+c=0.
x=(-b±√D)/(2*a), kung saan ang D =b^2-4*a*c.
Ang formula na ito ay nakuha sa pamamagitan ng paglutas ng equation na a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 sa pangkalahatang anyo, sa pamamagitan ng pag-highlight sa parisukat ng binomial.
Sa formula ng mga ugat ng isang quadratic equation, ang expression na D (b^2-4*a*c) ay tinatawag na discriminant ng quadratic equation a*x^2 +b*x+c=0. Ang pangalang ito ay nagmula sa wikang Latin, isinalin na "distinguisher". Depende sa halaga ng discriminant, ang quadratic equation ay magkakaroon ng dalawa o isang ugat, o walang mga ugat.
Kung mas malaki sa zero ang discriminant, pagkatapos ang quadratic equation ay may dalawang ugat. (x=(-b±√D)/(2*a))
Kung zero ang discriminant, pagkatapos ang quadratic equation ay may isang ugat. (x=(-b/(2*a))
Kung negatibo ang discriminant, kung gayon ang quadratic equation ay walang mga ugat.
Pangkalahatang algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation
Batay sa nabanggit, bumubuo kami ng isang pangkalahatang algorithm para sa paglutas ng quadratic equation a*x^2 +b*x+c=0 gamit ang formula:
1. Hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang formula D =b^2-4*a*c.
2. Depende sa halaga ng discriminant, kalkulahin ang mga ugat gamit ang mga formula:
D<0, корней нет.
D=0, x=(-b/(2*a)
D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)
Ang algorithm na ito ay pangkalahatan at angkop para sa paglutas ng anumang mga quadratic equation. Kumpleto at hindi kumpleto, binanggit at hindi binanggit.
paglalarawan ng bibliograpiya: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation // Young scientist. - 2016. - Hindi. 6.1. - S. 17-20..04.2019).
Ang aming proyekto ay nakatuon sa mga paraan ng paglutas ng mga quadratic equation. Ang layunin ng proyekto: upang matutunan kung paano lutasin ang mga quadratic equation sa mga paraan na hindi kasama sa kurikulum ng paaralan. Gawain: hanapin ang lahat ng posibleng paraan upang malutas ang mga quadratic equation at matutunan kung paano gamitin ang mga ito sa iyong sarili at ipakilala ang mga kaklase sa mga pamamaraang ito.
Ano ang "quadratic equation"?
Quadratic equation- equation ng form palakol2 + bx + c = 0, saan a, b, c- ilang mga numero ( isang ≠ 0), x- hindi kilala.
Ang mga numerong a, b, c ay tinatawag na coefficients ng quadratic equation.
- a ay tinatawag na unang koepisyent;
- b ay tinatawag na pangalawang koepisyent;
- c - libreng miyembro.
At sino ang unang "nag-imbento" ng mga quadratic equation?
Ang ilang mga algebraic technique para sa paglutas ng mga linear at quadratic na equation ay kilala noon pang 4000 taon na ang nakakaraan sa Ancient Babylon. Ang nahanap na sinaunang Babylonian clay tablets, na may petsa sa pagitan ng 1800 at 1600 BC, ay ang pinakamaagang ebidensya ng pag-aaral ng quadratic equation. Ang parehong mga tablet ay naglalaman ng mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang mga uri ng quadratic equation.
Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang degree sa sinaunang panahon ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng lupa at earthworks ng isang militar na kalikasan, pati na rin ang pag-unlad ng astronomy at matematika mismo.
Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na nakasaad sa mga teksto ng Babylonian, ay talagang kasabay ng modernong isa, ngunit hindi alam kung paano napunta ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na nakasaad sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan. Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga tekstong cuneiform ay kulang sa konsepto ng negatibong numero at mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.
Babylonian mathematician mula noong mga ika-4 na siglo B.C. ginamit ang square complement method upang malutas ang mga equation na may mga positibong ugat. Mga 300 B.C. Nakaisip si Euclid ng isang mas pangkalahatang paraan ng solusyong geometriko. Ang unang mathematician na nakahanap ng mga solusyon sa isang equation na may mga negatibong ugat sa anyo ng isang algebraic formula ay isang Indian scientist. Brahmagupta(India, ika-7 siglo AD).
Binalangkas ni Brahmagupta ang isang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form:
ax2 + bx = c, a>0
Sa equation na ito, ang mga coefficient ay maaaring negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay esensyal na tumutugma sa atin.
Sa India, karaniwan ang mga pampublikong kompetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema. Sa isa sa mga lumang aklat ng India, ang mga sumusunod ay sinabi tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa taglay nitong kinang, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaluwalhatian sa mga pampublikong pagpupulong, na nagmumungkahi at naglulutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga gawain ay kadalasang binibihisan sa anyong patula.
Sa isang algebraic treatise Al-Khawarizmi isang klasipikasyon ng mga linear at quadratic na equation ang ibinigay. Ang may-akda ay naglista ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:
1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat", ibig sabihin, ax2 = bx.
2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng numero", ibig sabihin, ax2 = c.
3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang", ibig sabihin, ax2 = c.
4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat", ibig sabihin, ax2 + c = bx.
5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng numero", ibig sabihin, ax2 + bx = c.
6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat", ibig sabihin, bx + c == ax2.
Para kay Al-Khwarizmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga tuntunin ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend, hindi mga pagbabawas. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Binabalangkas ng may-akda ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito, gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-muqabala. Ang kanyang desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi banggitin ang katotohanan na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri, ang Al-Khwarizmi, tulad ng lahat ng mga mathematician bago ang ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero. solusyon, marahil dahil sa mga partikular na praktikal na gawain, hindi ito mahalaga. Kapag nilulutas ang kumpletong quadratic equation, itinakda ni Al-Khwarizmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na numerical na halimbawa, at pagkatapos ang kanilang mga geometric na patunay.
Ang mga form para sa paglutas ng mga quadratic equation sa modelo ng Al-Khwarizmi sa Europa ay unang inilarawan sa "Book of the Abacus", na isinulat noong 1202. Italyano na matematiko Leonard Fibonacci. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero.
Ang aklat na ito ay nag-ambag sa pagkalat ng algebraic na kaalaman hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansang Europeo. Maraming mga gawain mula sa aklat na ito ang inilipat sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-14-17 siglo. Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form x2 + bx = c kasama ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga sign at coefficient b, c, ay nabuo sa Europe noong 1544. M. Stiefel.
Ang Vieta ay may pangkalahatang derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation, ngunit ang Vieta ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Mga matematikong Italyano Tartaglia, Cardano, Bombelli kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. isaalang-alang, bilang karagdagan sa positibo, at negatibong mga ugat. Lamang sa siglo XVII. salamat sa trabaho Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay nasa modernong anyo.
Isaalang-alang ang ilang mga paraan upang malutas ang mga quadratic equation.
Mga karaniwang paraan upang malutas ang mga quadratic equation mula sa kurikulum ng paaralan:
- Factorization ng kaliwang bahagi ng equation.
- Buong parisukat na paraan ng pagpili.
- Solusyon ng mga quadratic equation sa pamamagitan ng formula.
- Graphical na solusyon ng isang quadratic equation.
- Solusyon ng mga equation gamit ang Vieta's theorem.
Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang solusyon ng pinababa at hindi pinababang mga quadratic na equation gamit ang Vieta theorem.
Alalahanin na upang malutas ang mga parisukat na equation sa itaas, sapat na upang makahanap ng dalawang numero na ang produkto nito ay katumbas ng libreng termino, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda.
Halimbawa.x 2 -5x+6=0
Kailangan mong maghanap ng mga numero na ang produkto ay 6 at ang kabuuan ay 5. Ang mga numerong ito ay magiging 3 at 2.
Sagot: x 1 =2, x 2 =3.
Ngunit maaari mong gamitin ang paraang ito para sa mga equation na may unang koepisyent na hindi katumbas ng isa.
Halimbawa.3x 2 +2x-5=0
Kinukuha namin ang unang coefficient at i-multiply ito sa libreng term: x 2 +2x-15=0
Ang mga ugat ng equation na ito ay mga numero na ang produkto ay - 15, at ang kabuuan ay - 2. Ang mga numerong ito ay 5 at 3. Upang mahanap ang mga ugat ng orihinal na equation, hinahati namin ang nakuha na mga ugat sa unang koepisyent.
Sagot: x 1 =-5/3, x 2 =1
6. Solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng "transfer".
Isaalang-alang ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0, kung saan a≠0.
Ang pagpaparami ng parehong bahagi nito sa pamamagitan ng a, makuha natin ang equation na a 2 x 2 + abx + ac = 0.
Hayaan ang ax = y, kung saan ang x = y/a; pagkatapos ay dumating tayo sa equation na y 2 + by + ac = 0, na katumbas ng ibinigay. Nahanap natin ang mga ugat nito sa 1 at sa 2 gamit ang Vieta theorem.
Sa wakas ay nakukuha natin ang x 1 = y 1 /a at x 2 = y 2 /a.
Sa pamamaraang ito, ang koepisyent a ay pinarami ng libreng termino, na parang "inilipat" dito, samakatuwid ito ay tinatawag na "paglipat" na paraan. Ang paraang ito ay ginagamit kapag madaling mahanap ang mga ugat ng isang equation gamit ang Vieta's theorem at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.
Halimbawa.2x 2 - 11x + 15 = 0.
"Ilipat" natin ang koepisyent 2 sa libreng termino at gawin ang kapalit na makuha natin ang equation na y 2 - 11y + 30 = 0.
Ayon sa inverse theorem ni Vieta
y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.
Sagot: x 1 =2.5; X 2 = 3.
7. Mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation.
Hayaang ibigay ang quadratic equation ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.
1. Kung a + b + c \u003d 0 (i.e., ang kabuuan ng mga coefficient ng equation ay zero), kung gayon x 1 \u003d 1.
2. Kung a - b + c \u003d 0, o b \u003d a + c, pagkatapos ay x 1 \u003d - 1.
Halimbawa.345x 2 - 137x - 208 = 0.
Dahil a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), pagkatapos ay x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.
Sagot: x 1 =1; X 2 = -208/345 .
Halimbawa.132x 2 + 247x + 115 = 0
kasi a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), pagkatapos ay x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132
Sagot: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132
Mayroong iba pang mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation. ngunit ang kanilang paggamit ay mas kumplikado.
8. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram.
Fig 1. Nomogram
Ito ay isang luma at kasalukuyang nakalimutang paraan para sa paglutas ng mga quadratic equation, na inilagay sa p. 83 ng koleksyon: Bradis V.M. Apat na digit na mathematical table. - M., Edukasyon, 1990.
Talahanayan XXII. Nomogram para sa Paglutas ng Equation z2 + pz + q = 0. Binibigyang-daan ng nomogram na ito, nang hindi nilulutas ang quadratic equation, na matukoy ang mga ugat ng equation sa pamamagitan ng mga coefficient nito.
Ang curvilinear scale ng nomogram ay binuo ayon sa mga formula (Larawan 1):
Ipagpalagay OS = p, ED = q, OE = a(lahat sa cm), mula sa Fig. 1 pagkakatulad ng mga tatsulok SAN at CDF nakukuha natin ang proporsyon
kung saan, pagkatapos ng mga pagpapalit at pagpapagaan, ang equation ay sumusunod z 2 + pz + q = 0, at ang sulat z nangangahulugang ang label ng anumang punto sa curved scale.
kanin. 2 Paglutas ng isang quadratic equation gamit ang isang nomogram
Mga halimbawa.
1) Para sa equation z 2 - 9z + 8 = 0 binibigyan ng nomogram ang mga ugat na z 1 = 8.0 at z 2 = 1.0
Sagot: 8.0; 1.0.
2) Lutasin ang equation gamit ang nomogram
2z 2 - 9z + 2 = 0.
Hatiin ang mga coefficient ng equation na ito ng 2, makuha natin ang equation z 2 - 4.5z + 1 = 0.
Ang nomogram ay nagbibigay ng mga ugat z 1 = 4 at z 2 = 0.5.
Sagot: 4; 0.5.
9. Geometric na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.
Halimbawa.X 2 + 10x = 39.
Sa orihinal, ang problemang ito ay nabuo tulad ng sumusunod: "Ang parisukat at sampung ugat ay katumbas ng 39."
Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid na x, ang mga parihaba ay itinayo sa mga gilid nito upang ang kabilang panig ng bawat isa sa kanila ay 2.5, samakatuwid, ang lugar ng bawat isa ay 2.5x. Ang resultang figure ay pagkatapos ay pupunan sa isang bagong parisukat ABCD, pagkumpleto ng apat na pantay na mga parisukat sa mga sulok, ang gilid ng bawat isa sa kanila ay 2.5, at ang lugar ay 6.25
kanin. 3 Graphical na paraan upang malutas ang equation x 2 + 10x = 39
Ang lugar S ng parisukat ABCD ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga lugar: ang orihinal na parisukat x 2, apat na parihaba (4 ∙ 2.5x = 10x) at apat na nakalakip na parisukat (6.25 ∙ 4 = 25), i.e. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Ang pagpapalit ng x 2 + 10x sa numero 39, nakuha namin na S \u003d 39 + 25 \u003d 64, na nagpapahiwatig na ang gilid ng parisukat na ABCD, i.e. segment AB \u003d 8. Para sa nais na bahagi x ng orihinal na parisukat, nakukuha namin
10. Solusyon ng mga equation gamit ang theorem ni Bezout.
Ang teorama ni Bezout. Ang natitira pagkatapos hatiin ang polynomial P(x) sa binomial na x - α ay katumbas ng P(α) (iyon ay, ang halaga ng P(x) sa x = α).
Kung ang bilang na α ay ang ugat ng polynomial P(x), kung gayon ang polynomial na ito ay mahahati ng x -α nang walang natitira.
Halimbawa.x²-4x+3=0
Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Hatiin ang P(x) sa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
x-1=0; x=1, o x-3=0, x=3; Sagot: x1 =2, x2 =3.
Konklusyon: Ang kakayahang mabilis at makatwiran na lutasin ang mga quadratic equation ay kailangan lamang para sa paglutas ng mas kumplikadong mga equation, halimbawa, fractional rational equation, equation ng mas mataas na kapangyarihan, biquadratic equation, at sa high school na trigonometric, exponential at logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aralan ang lahat ng mga pamamaraan na natagpuan para sa paglutas ng mga quadratic equation, maaari naming payuhan ang mga kaklase, bilang karagdagan sa mga karaniwang pamamaraan, upang malutas sa pamamagitan ng paraan ng paglipat (6) at lutasin ang mga equation sa pamamagitan ng pag-aari ng mga coefficient (7), dahil mas madaling ma-access ang mga ito para sa pag-unawa. .
Panitikan:
- Bradis V.M. Apat na digit na mathematical table. - M., Edukasyon, 1990.
- Algebra grade 8: textbook para sa grade 8. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teleyakovsky ika-15 ed., binago. - M.: Enlightenment, 2015
- https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
- Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. Isang gabay para sa mga guro. / Ed. V.N. Mas bata. - M.: Enlightenment, 1964.
1. Hanapin ang discriminant D ayon sa pormula D= -4ac.
2. Kung D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.
3. Kung D=0, ang equation ay may isang ugat:
4. Kung D>0, ang equation ay may dalawang ugat:
Ngayon simulan natin ang paglutas ng ating equation 3 -10x+3=0,
kung saan =3, b=-10 at c=3.
Paghahanap ng discriminant:
D= -4*3*3=64
Dahil D>0, ang equation na ito ay may dalawang ugat. Natagpuan namin sila:
;
.
Kaya, ang mga ugat ng polynomial f(x)=3 -10+3 ay ang mga numero 3 at .
pakana ni Horner
pakana ni Horner(o panuntunan ni Horner, pamamaraan ni Horner) - isang algorithm para sa pagkalkula ng halaga ng isang polynomial, na isinulat bilang isang kabuuan ng mga polynomial (monomial), para sa isang naibigay na halaga ng isang variable . Siya naman, ay tumutulong sa amin na malaman kung ang numero ay ugat ng isang binigay na polynomial o hindi.
Una, isaalang-alang kung paano nahahati ang polynomial f(x) sa isang binomial g(x).
Ito ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: f(x):g(x)=n(x), saan f(x)- dibidendo, g(x)- divisor a n(x)- pribado.
Ngunit sa kaso kung kailan f(x) hindi mahahati ng g(x) mayroong pangkalahatang notasyon ng expression
Dito, ang degree r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .
Isaalang-alang ang paghahati ng polynomial sa isang binomial. Hayaan
, 
Nakukuha namin
Kung saan ang r ay isang numero dahil ang antas ng r ay dapat na mas mababa kaysa sa antas ng (x-c).
Paramihin natin s(x) on at kumuha
Kaya, kapag hinahati sa isang binomial, posibleng matukoy ang mga coefficient ng quotient mula sa mga nakuhang formula. Ang pamamaraang ito ng pagtukoy ng mga coefficient ay tinatawag na Horner's scheme.
| ... | |||||
| + | ... | ||||
| c | ... | r |
Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng aplikasyon ng pamamaraan ni Horner.
Halimbawa. Magsagawa ng polynomial division f(x)= sa x+3.
Solusyon. Sa simula ay kailangan magsulat x+3) bilang ( x-(-3)), dahil eksaktong -3 ang lalahok sa scheme mismo. Sa tuktok na linya isusulat namin ang mga coefficient, sa ilalim na linya - ang resulta ng mga aksyon.
f(x)=(x-2)(1)+16.
Paghahanap ng mga ugat ayon sa pamamaraan ni Horner. Mga uri ng ugat
Ayon sa pamamaraan ni Horner, ang isa ay makakahanap ng mga integer na ugat ng isang polynomial f(x). Tingnan natin ito sa isang halimbawa.
Halimbawa. Hanapin ang lahat ng integer na ugat ng isang polynomial f(x)= , gamit ang Horner scheme.
Solusyon. Ang mga coefficient ng polynomial na ito ay mga integer. Ang koepisyent bago ang pinakamataas na antas (sa aming kaso bago) ay katumbas ng isa. Samakatuwid, hahanapin natin ang mga integer na ugat ng polynomial sa mga divisors ng libreng termino (mayroon tayong 15), ito ang mga numero:
Magsimula tayo sa numero 1.
Talahanayan #1
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 |
Mula sa resultang talahanayan makikita na para sa =1 ang polynomial ng polynomial f(x)= , nakuha namin ang natitirang r=192, hindi 0, na nangangahulugan na ang yunit ay hindi isang ugat. Samakatuwid, ipinagpatuloy namin ang tseke sa =-1. Upang gawin ito, hindi kami gagawa ng bagong talahanayan, ngunit magpapatuloy sa luma, at i-cross out ang data na hindi na kinakailangan.
Numero ng talahanayan 2
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 |
Tulad ng nakikita natin mula sa talahanayan, ang huling cell ay naging zero, na nangangahulugang r=0. Dahil dito? ang numero -1 ay ang ugat ng polynomial na ito. Paghahati sa aming polynomial polynomial f(x)= on ()=x+1 nakakuha kami ng polynomial
f(x)=(x+1)(),
ang mga coefficient na kinuha namin mula sa ikatlong linya ng talahanayan No. 2.
Maaari din nating gawin ang katumbas na notasyon
(x+1)(). Tag mo siya (1)
Ngayon ay kinakailangan na ipagpatuloy ang paghahanap para sa mga integer na ugat, ngunit ngayon pa lamang ay hahanapin na natin ang mga ugat ng polynomial. Hahanapin natin ang mga ugat na ito sa mga libreng termino ng polynomial, ang bilang na 45.
Suriin natin muli ang numero -1.
Talahanayan #3
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 |
Kaya, ang numero -1 ay ang ugat ng polynomial, maaari itong isulat bilang
Isinasaalang-alang ang pagkakapantay-pantay (2), maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay (1) sa sumusunod na anyo
Ngayon kami ay naghahanap ng mga ugat para sa polynomial, muli sa mga divisors ng libreng termino. Suriin natin muli ang numero -1.
Talahanayan Blg. 4
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 |
Ayon sa talahanayan, nakikita natin na ang numero -1 ay ang ugat ng polynomial.
Dahil sa (3*), maaari nating muling isulat ang pagkakapantay-pantay (2*) bilang:
Ngayon ay hahanapin natin ang ugat para sa . Muli naming tinitingnan ang mga divisors ng libreng termino. Simulan nating suriin muli gamit ang numero -1.
Numero ng talahanayan 5
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 |
Nakakuha kami ng natitira na hindi katumbas ng zero, na nangangahulugan na ang numero -1 ay hindi ugat para sa polynomial. Suriin natin ang susunod na numero 1.
Talahanayan Blg. 6
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 |
At nakita namin na muli ay hindi ito magkasya, ang natitira ay r(x) = 24. Kumuha kami ng bagong numero.
Suriin natin ang numero 3.
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 |
Numero ng talahanayan 7
r(x)= 0, nangangahulugan ito na ang numero 3 ay ang ugat ng polynomial, maaari nating isulat ang polynomial na ito bilang:
=(x-3)( 
)
Dahil sa resultang expression, maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay (5) tulad ng sumusunod:
(x-3)( ) (6)
Tingnan natin ngayon ang polynomial
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 | |||||||
| + | |||||||
Talahanayan Blg. 8
Batay sa talahanayan, makikita natin na ang numero 3 ay ang ugat ng polynomial . Ngayon ay isulat natin ang sumusunod:
Isinulat namin ang pagkakapantay-pantay (5*), na isinasaalang-alang ang nagresultang expression, tulad ng sumusunod:
(x-3)()= 
= .
Hanapin ang ugat para sa binomial sa mga divisors ng libreng termino.
Kunin natin ang numero 5
Talahanayan Blg. 9
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 | |||||||
| + | |||||||
| + | -5 | ||||||
| -5 |
r(x)=0, kaya 5 ang ugat ng binomial.
Kaya, maaari tayong magsulat
Ang solusyon sa halimbawang ito ay magiging talahanayan numero 8.
Tulad ng makikita mula sa talahanayan, ang mga numero -1; 3; 5 ay ang mga ugat ng polynomial.
Ngayon ay dumiretso tayo sa mga uri ng ugat.
Ang 1 ay ang ugat ng ikatlong antas, dahil ang bracket (x + 1) ay nasa ikatlong antas;
3- ugat ng ikalawang antas, bracket (x-3) sa ikalawang antas;
5 ang ugat ng unang antas o, sa madaling salita, simple.
Ang mga quadratic equation ay madalas na lumilitaw sa isang bilang ng mga problema sa matematika at pisika, kaya ang bawat mag-aaral ay dapat na kayang lutasin ang mga ito. Tinatalakay ng artikulong ito nang detalyado ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation, at nagbibigay din ng mga halimbawa ng kanilang paggamit.
Anong equation ang tinatawag na quadratic
Una sa lahat, sasagutin natin ang tanong ng talatang ito upang mas maunawaan kung ano ang tatalakayin sa artikulo. Kaya, ang quadratic equation ay may sumusunod na pangkalahatang anyo: c + b * x + a * x 2 \u003d 0, kung saan ang a, b, c ay ilang mga numero, na tinatawag na coefficients. Narito ang a≠0 ay isang ipinag-uutos na kondisyon, kung hindi, ang ipinahiwatig na equation ay bumababa sa isang linear. Ang natitirang mga coefficient (b, c) ay maaaring tumagal ng ganap na anumang halaga, kabilang ang zero. Kaya, ang mga expression tulad ng a*x 2 =0, kung saan b=0 at c=0 o c+a*x 2 =0, kung saan b=0, o b*x+a*x 2 =0, kung saan c=0 - ito rin ay mga parisukat na equation, na tinatawag na hindi kumpleto, dahil sa kanila alinman ang linear coefficient b ay katumbas ng zero, o ang libreng termino c ay zero, o pareho silang mawawala.
Ang isang equation kung saan ang isang \u003d 1 ay tinatawag na nabawasan, iyon ay, mayroon itong anyo: x 2 + c / a + (b / a) * x \u003d 0.
Ang solusyon ng isang quadratic equation ay upang mahanap ang mga halaga ng x na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay nito. Ang mga halagang ito ay tinatawag na mga ugat. Dahil ang equation na isinasaalang-alang ay isang expression ng pangalawang degree, nangangahulugan ito na ang maximum na bilang ng mga ugat nito ay hindi maaaring lumampas sa dalawa.
Anong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga square equation ang umiiral
Sa pangkalahatan, mayroong 4 na paraan ng solusyon. Ang kanilang mga pangalan ay nakalista sa ibaba:
- Factorization.
- Makadagdag sa parisukat.
- Gamit ang isang kilalang formula (sa pamamagitan ng discriminant).
- Ang solusyon ay geometriko.
Gaya ng malinaw sa listahan sa itaas, ang unang tatlong pamamaraan ay algebraic, kaya mas madalas silang ginagamit kaysa sa huli, na kinabibilangan ng pag-plot ng function graph.
May isa pang paraan upang malutas ang mga square equation gamit ang Vieta theorem. Maaari itong maisama sa ika-5 sa listahan sa itaas, gayunpaman, hindi ito nagawa, dahil ang teorama ni Vieta ay isang simpleng kinahinatnan ng ika-3 paraan.
Paraan numero 1. Factorization
Mayroong magandang pangalan para sa pamamaraang ito sa matematika ng mga quadratic equation: factorization. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay ang mga sumusunod: kinakailangang ipakita ang quadratic equation bilang isang produkto ng dalawang termino (mga expression), na dapat ay katumbas ng zero. Pagkatapos ng naturang representasyon, magagamit ng isa ang property ng produkto, na magiging katumbas ng zero lamang kapag zero ang isa o higit pa (lahat) ng mga miyembro nito.
Ngayon isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ng mga tiyak na aksyon na kailangang isagawa upang mahanap ang mga ugat ng equation:
- Ilipat ang lahat ng termino sa isang bahagi ng expression (halimbawa, sa kaliwa) upang 0 na lang ang natitira sa kabilang bahagi nito (kanan).
- Ipahayag ang kabuuan ng mga termino sa isang bahagi ng equation bilang produkto ng dalawang linear equation.
- I-equate ang bawat isa sa mga linear na expression sa zero at lutasin ang mga ito.
Tulad ng nakikita mo, ang algorithm ng factorization ay medyo simple, gayunpaman, karamihan sa mga mag-aaral ay nahihirapan sa pagpapatupad ng ika-2 punto, kaya ipapaliwanag namin ito nang mas detalyado.
Upang hulaan kung aling 2 linear na expression, kapag pinarami ng bawat isa, ang magbibigay ng nais na quadratic equation, kailangan mong tandaan ang dalawang simpleng panuntunan:
- Ang mga linear coefficient ng dalawang linear na expression, kapag pinarami sa isa't isa, ay dapat magbigay ng unang coefficient ng quadratic equation, iyon ay, ang numerong a.
- Ang mga libreng termino ng mga linear na expression, kapag sila ay pinarami, ay dapat magbigay ng bilang c ng nais na equation.
Matapos mapili ang lahat ng mga bilang ng mga kadahilanan, dapat silang paramihin, at kung ibibigay nila ang nais na equation, pagkatapos ay pumunta sa hakbang 3 sa algorithm sa itaas, kung hindi man ay dapat baguhin ang mga kadahilanan, ngunit dapat itong gawin upang ang mga panuntunan sa itaas ay laging natutupad.
Isang halimbawa ng solusyon sa pamamagitan ng paraan ng factorization
Ipapakita namin nang malinaw kung paano bumuo ng isang algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation at makahanap ng hindi kilalang mga ugat. Hayaang magbigay ng arbitrary na expression, halimbawa, 2*x-5+5*x 2 -2*x 2 = x 2 +2+x 2 +1. Lumipat tayo sa solusyon nito, na obserbahan ang pagkakasunud-sunod ng mga puntos mula 1 hanggang 3, na itinakda sa nakaraang talata ng artikulo.
Point 1. Ilipat natin ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi at buuin ang mga ito sa klasikal na pagkakasunod-sunod para sa isang quadratic equation. Mayroon kaming sumusunod na pagkakapantay-pantay: 2*x+(-8)+x 2 =0.
Point 2. Hinahati namin ito sa isang produkto ng mga linear equation. Dahil a=1, at c=-8, pipiliin natin, halimbawa, ang naturang produkto (x-2)*(x+4). Natutugunan nito ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga inaasahang salik na itinakda sa talata sa itaas. Kung bubuksan natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng: -8+2*x+x 2 , iyon ay, nakukuha natin ang eksaktong parehong expression tulad ng sa kaliwang bahagi ng equation. Nangangahulugan ito na nahulaan namin nang tama ang mga multiplier, at maaari kaming magpatuloy sa ika-3 hakbang ng algorithm.
Aytem 3. Itinutumbas namin ang bawat salik sa zero, nakukuha namin ang: x=-4 at x=2.
Kung mayroong anumang mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, inirerekumenda na suriin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga nahanap na ugat sa orihinal na equation. Sa kasong ito, mayroon tayong: 2*2+2 2 -8=0 at 2*(-4)+(-4) 2 -8=0. Nahanap nang tama ang mga ugat.
Kaya, sa pamamagitan ng paraan ng factorization, nalaman namin na ang ibinigay na equation ay may dalawang magkaibang ugat: 2 at -4.
Paraan #2. Makadagdag sa buong parisukat
Sa algebra ng mga square equation, ang paraan ng multiplier ay hindi palaging magagamit, dahil sa kaso ng mga fractional na halaga ng mga coefficient ng quadratic equation, ang mga paghihirap ay lumitaw sa pagpapatupad ng talata 2 ng algorithm.
Ang buong parisukat na pamamaraan, sa turn, ay pangkalahatan at maaaring ilapat sa mga quadratic equation ng anumang uri. Ang kakanyahan nito ay upang maisagawa ang mga sumusunod na operasyon:
- Ang mga tuntunin ng equation na naglalaman ng mga coefficient a at b ay dapat ilipat sa isang bahagi ng pagkakapantay-pantay, at ang libreng termino c sa isa pa.
- Dagdag pa, ang mga bahagi ng pagkakapantay-pantay (kanan at kaliwa) ay dapat na hatiin ng koepisyent a, iyon ay, ang equation ay dapat ipakita sa pinababang anyo (a=1).
- Ang kabuuan ng mga termino na may mga coefficient a at b ay kinakatawan bilang isang parisukat ng isang linear equation. Dahil ang isang \u003d 1, kung gayon ang linear coefficient ay magiging katumbas ng 1, tulad ng para sa libreng termino ng linear equation, pagkatapos ay dapat itong katumbas ng kalahati ng linear coefficient ng pinababang quadratic equation. Matapos mabuo ang parisukat ng linear na expression, kinakailangang idagdag ang kaukulang numero sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, kung saan matatagpuan ang libreng termino, na nakuha sa pamamagitan ng pagbubukas ng parisukat.
- Kunin ang square root na may mga sign na "+" at "-" at lutasin ang linear equation na nakuha na.
Ang inilarawan na algorithm ay maaaring sa unang tingin ay itinuturing na medyo kumplikado, gayunpaman, sa pagsasanay ay mas madaling ipatupad kaysa sa paraan ng factorization.
Isang halimbawa ng solusyon gamit ang full square's complement
Nagbibigay kami ng isang halimbawa ng isang quadratic equation para sa pagsasanay ng solusyon nito sa pamamagitan ng pamamaraang inilarawan sa nakaraang talata. Hayaang ibigay ang quadratic equation -10 - 6*x+5*x 2 = 0. Sinimulan naming lutasin ito, kasunod ng algorithm na inilarawan sa itaas.
Point 1. Ginagamit namin ang paraan ng paglipat kapag nilulutas ang mga square equation, nakukuha namin ang: - 6 * x + 5 * x 2 = 10.
Point 2. Ang pinababang anyo ng equation na ito ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa bilang 5 ng bawat isa sa mga miyembro nito (kung ang mga pagkakapantay-pantay ay parehong bahagi na hinati o pinarami ng parehong numero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay mapangalagaan). Bilang resulta ng mga pagbabago, nakukuha natin ang: x 2 - 6/5 * x = 2.
Item 3. Kalahati ng koepisyent - 6/5 ay katumbas ng -6/10 = -3/5, ginagamit namin ang numerong ito upang makagawa ng isang buong parisukat, nakukuha namin ang: (-3/5 + x) 2 . Pinalawak namin ito at ang nagreresultang libreng termino ay dapat ibawas mula sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay upang masiyahan ang orihinal na anyo ng quadratic equation, na katumbas ng pagdaragdag nito sa kanang bahagi. Bilang resulta, nakukuha natin ang: (-3/5+x) 2 = 59/25.
Point 4. Kinakalkula namin ang square root na may positibo at negatibong mga palatandaan at hanapin ang mga ugat: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. Ang dalawang natagpuang ugat ay may mga sumusunod na halaga: x 1 = (√59+3)/5 at x 1 = (3-√59)/5.
Dahil ang mga kalkulasyon na isinagawa ay nauugnay sa mga ugat, may mataas na posibilidad na magkamali. Samakatuwid, inirerekumenda na suriin ang kawastuhan ng mga ugat x 2 at x 1 . Nakukuha namin para sa x 1: 5*((3+√59)/5) 2 -6*(3+√59)/5 - 10 = (9+59+6*√59)/5 - 18/5 - 6 *√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. Ngayon palitan ang x 2: 5*((3-√59)/5) 2 -6*(3-√59)/5 - 10 = (9+59-6*√59)/5 - 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.
Kaya, ipinakita namin na ang mga natagpuang ugat ng equation ay totoo.
Pamamaraan numero 3. Paglalapat ng kilalang formula
Ang pamamaraang ito ng paglutas ng mga quadratic equation ay marahil ang pinakasimple, dahil binubuo ito sa pagpapalit ng mga coefficient sa isang kilalang formula. Upang magamit ito, hindi mo kailangang mag-isip tungkol sa pag-compile ng mga algorithm ng solusyon, sapat na upang matandaan lamang ang isang formula. Ito ay ipinapakita sa figure sa itaas.
Sa formula na ito, ang root expression (b 2 -4*a*c) ay tinatawag na discriminant (D). Mula sa halaga nito ay nakasalalay sa kung anong mga ugat ang nakuha. 3 kaso ang posible:
- D>0, pagkatapos ang root two equation ay may totoo at magkaiba.
- D=0, pagkatapos ay nakuha ang isang ugat, na maaaring kalkulahin mula sa expression na x = -b / (a * 2).
- D<0, тогда получается два различных мнимых корня, которые представляются в виде комплексных чисел. Например, число 3-5*i является комплексным, при этом мнимая единица i удовлетворяет свойству: i 2 =-1.
Isang halimbawa ng solusyon sa pamamagitan ng pagkalkula ng discriminant
Narito ang isang halimbawa ng isang quadratic equation upang magsanay gamit ang formula sa itaas. Hanapin ang mga ugat para sa -3*x 2 -6+3*x+4*x = 0. Una, kalkulahin ang halaga ng discriminant, makuha natin ang: D = b 2 -4*a*c = 7 2 -4* (-3)* (-6) = -23.
Mula nang matanggap si D<0, значит, корни рассматриваемого уравнения являются числами комплексными. Найдем их, подставив найденное значение D в приведенную в предыдущем пункте формулу (она также представлена на фото выше). Получим: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.
Paraan numero 4. Paggamit ng Graph ng isang Function
Tinatawag din itong graphical na paraan para sa paglutas ng mga quadratic equation. Dapat sabihin na ito ay ginagamit, bilang isang patakaran, hindi para sa isang dami, ngunit para sa isang pagsusuri ng husay ng equation na isinasaalang-alang.
Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang pagbalangkas ng isang parisukat na function y = f(x), na isang parabola. Pagkatapos, kinakailangan upang matukoy sa kung anong mga punto ang abscissa (X) axis ng parabola intersect, sila ang magiging mga ugat ng kaukulang equation.
Upang malaman kung ang isang parabola ay magsalubong sa x-axis, sapat na malaman ang posisyon ng pinakamababa (maximum) nito at ang direksyon ng mga sanga nito (maaari silang tumaas o bumaba). Mayroong dalawang katangian ng curve na ito na dapat tandaan:
- Kung a>0 - ang mga parabola ng sangay ay nakadirekta paitaas, vice versa, kung a<0, то они идут вниз.
- Ang coordinate ng pinakamababa (maximum) ng parabola ay palaging x = -b/(2*a).
Halimbawa, kinakailangan upang matukoy kung ang equation na -4*x+5*x 2 +10 = 0 ay may mga ugat. Ang katumbas na parabola ay ididirekta pataas, dahil a=5>0. Ang extremum nito ay may mga coordinate: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5) 2 +10 = 9.2. Dahil ang pinakamababa sa curve ay nasa itaas ng x-axis (y=9.2), hindi nito binabagtas ang huli para sa anumang mga halaga ng x. Iyon ay, ang ibinigay na equation ay walang tunay na mga ugat.
Ang teorama ni Vieta
Gaya ng nabanggit sa itaas, ang theorem na ito ay bunga ng pamamaraan No. 3, na nakabatay sa aplikasyon ng isang formula na may discriminant. Ang kakanyahan ng Vieta theorem ay nagbibigay-daan sa iyo na ikonekta ang mga coefficient ng equation at ang mga ugat nito sa pagkakapantay-pantay. Nakukuha namin ang kaukulang pagkakapantay-pantay.
Gamitin natin ang formula para sa pagkalkula ng mga ugat sa pamamagitan ng discriminant. Magdagdag tayo ng dalawang ugat, makuha natin: x 1 + x 2 \u003d -b / a. Ngayon pinarami namin ang mga ugat sa bawat isa: x 1 * x 2, pagkatapos ng isang serye ng mga pagpapasimple, nakuha namin ang numero c / a.
Kaya, upang malutas ang mga quadratic equation ng Vieta theorem, maaari mong gamitin ang dalawang pagkakapantay-pantay na nakuha. Kung ang lahat ng tatlong coefficient ng isang equation ay kilala, kung gayon ang mga ugat ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng naaangkop na sistema ng dalawang equation na ito.
Isang halimbawa ng paggamit ng teorama ni Vieta
Kinakailangan na gumuhit ng isang parisukat na equation kung alam na mayroon itong anyo x 2 + c \u003d -b * x at ang mga ugat nito ay 3 at -4.
Dahil sa equation na isinasaalang-alang a \u003d 1, ang mga formula ng Vieta ay magiging ganito: x 2 + x 1 \u003d -b at x 2 * x 1 \u003d c. Ang pagpapalit ng mga kilalang halaga ng mga ugat, nakukuha natin: b = 1 at c = -12. Bilang resulta, ang ibinalik na quadratic equation ay magiging ganito: x 2 -12 = -1*x. Maaari mong palitan ang halaga ng mga ugat dito at tiyaking nananatili ang pagkakapantay-pantay.
Ang reverse application ng Vieta theorem, iyon ay, ang pagkalkula ng mga ugat ayon sa kilalang anyo ng equation, ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis (intuitively) na makahanap ng mga solusyon para sa maliliit na integer a, b at c.
Ang mga quadratic equation ay pinag-aaralan sa grade 8, kaya walang kumplikado dito. Ang kakayahang malutas ang mga ito ay mahalaga.
Ang isang quadratic equation ay isang equation ng anyong ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang mga coefficient a , b at c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.
Bago pag-aralan ang mga tiyak na pamamaraan ng solusyon, tandaan namin na ang lahat ng mga quadratic equation ay maaaring nahahati sa tatlong klase:
- Walang mga ugat;
- Mayroon silang eksaktong isang ugat;
- Mayroon silang dalawang magkaibang ugat.
Ito ay isang mahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga quadratic at linear na equation, kung saan ang ugat ay palaging umiiral at natatangi. Paano matukoy kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang equation? Mayroong isang kahanga-hangang bagay para dito - may diskriminasyon.
diskriminasyon
Hayaang ibigay ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0. Kung gayon ang discriminant ay simpleng numero D = b 2 − 4ac .
Ang formula na ito ay dapat na kilala sa puso. Kung saan ito nanggaling ay hindi na mahalaga ngayon. Ang isa pang bagay ay mahalaga: sa pamamagitan ng pag-sign ng discriminant, matutukoy mo kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang quadratic equation. Namely:
- Kung si D< 0, корней нет;
- Kung D = 0, mayroong eksaktong isang ugat;
- Kung D > 0, magkakaroon ng dalawang ugat.
Pakitandaan: ang discriminant ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat, at hindi sa lahat ng kanilang mga palatandaan, dahil sa ilang kadahilanan na iniisip ng maraming tao. Tingnan ang mga halimbawa at mauunawaan mo ang lahat sa iyong sarili:
Isang gawain. Gaano karaming mga ugat mayroon ang mga quadratic equation:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Isinulat namin ang mga coefficient para sa unang equation at hanapin ang discriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Kaya, ang discriminant ay positibo, kaya ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Sinusuri namin ang pangalawang equation sa parehong paraan:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Ang discriminant ay negatibo, walang mga ugat. Ang huling equation ay nananatili:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Ang discriminant ay katumbas ng zero - ang ugat ay magiging isa.
Tandaan na ang mga coefficient ay naisulat para sa bawat equation. Oo, ito ay mahaba, oo, ito ay nakakapagod - ngunit hindi mo paghaluin ang mga posibilidad at huwag gumawa ng mga hangal na pagkakamali. Pumili para sa iyong sarili: bilis o kalidad.
Sa pamamagitan ng paraan, kung "punan mo ang iyong kamay", pagkatapos ng ilang sandali ay hindi mo na kailangang isulat ang lahat ng mga coefficient. Gagawin mo ang gayong mga operasyon sa iyong ulo. Karamihan sa mga tao ay nagsimulang gawin ito sa isang lugar pagkatapos ng 50-70 na nalutas na mga equation - sa pangkalahatan, hindi gaanong.
Ang mga ugat ng isang quadratic equation
Ngayon ay lumipat tayo sa solusyon. Kung ang discriminant D > 0, ang mga ugat ay makikita gamit ang mga formula:
Ang pangunahing formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation
Kapag D = 0, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula na ito - makukuha mo ang parehong numero, na siyang magiging sagot. Sa wakas, kung si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x 2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Unang equation:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila:
Pangalawang equation:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ ang equation muli ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]
Sa wakas, ang ikatlong equation:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ ang equation ay may isang ugat. Maaaring gamitin ang anumang formula. Halimbawa, ang una:
Tulad ng nakikita mo mula sa mga halimbawa, ang lahat ay napaka-simple. Kung alam mo ang mga formula at marunong kang magbilang, walang magiging problema. Kadalasan, ang mga error ay nangyayari kapag ang mga negatibong coefficient ay pinapalitan sa formula. Dito, muli, ang pamamaraan na inilarawan sa itaas ay makakatulong: tingnan ang formula nang literal, pintura ang bawat hakbang - at mapupuksa ang mga pagkakamali sa lalong madaling panahon.
Hindi kumpletong quadratic equation
Ito ay nangyayari na ang quadratic equation ay medyo naiiba sa kung ano ang ibinigay sa kahulugan. Halimbawa:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Madaling makita na ang isa sa mga termino ay nawawala sa mga equation na ito. Ang ganitong mga quadratic equation ay mas madaling lutasin kaysa sa karaniwang mga equation: hindi na nila kailangan pang kalkulahin ang discriminant. Kaya't ipakilala natin ang isang bagong konsepto:
Ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na incomplete quadratic equation kung b = 0 o c = 0, i.e. ang koepisyent ng variable na x o ang libreng elemento ay katumbas ng zero.
Siyempre, ang isang napakahirap na kaso ay posible kapag ang parehong mga coefficient na ito ay katumbas ng zero: b \u003d c \u003d 0. Sa kasong ito, ang equation ay tumatagal sa anyo ng ax 2 \u003d 0. Malinaw, ang gayong equation ay may isang solong ugat: x \u003d 0.
Isaalang-alang natin ang iba pang mga kaso. Hayaan ang b \u003d 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 + c \u003d 0. Bahagyang baguhin natin ito:
Dahil ang arithmetic square root ay umiiral lamang mula sa isang di-negatibong numero, ang huling pagkakapantay-pantay ay magiging makabuluhan lamang kapag (−c / a ) ≥ 0. Konklusyon:
- Kung ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 + c = 0 ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay (−c / a ) ≥ 0, magkakaroon ng dalawang ugat. Ang formula ay ibinigay sa itaas;
- Kung (−c / a )< 0, корней нет.
Gaya ng nakikita mo, hindi kailangan ang discriminant - walang kumplikadong kalkulasyon sa hindi kumpletong quadratic equation. Sa katunayan, hindi na kailangang tandaan ang hindi pagkakapantay-pantay (−c / a ) ≥ 0. Ito ay sapat na upang ipahayag ang halaga ng x 2 at makita kung ano ang nasa kabilang panig ng equal sign. Kung mayroong positibong numero, magkakaroon ng dalawang ugat. Kung negatibo, walang magiging ugat.
Ngayon ay haharapin natin ang mga equation ng form na ax 2 + bx = 0, kung saan ang libreng elemento ay katumbas ng zero. Ang lahat ay simple dito: palaging may dalawang ugat. Ito ay sapat na upang i-factor ang polynomial:
Inalis ang karaniwang salik sa bracketAng produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Dito nagmula ang mga ugat. Sa konklusyon, susuriin natin ang ilan sa mga equation na ito:
Isang gawain. Lutasin ang mga quadratic equation:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Walang mga ugat, dahil ang parisukat ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.
